UPSLP
Matemáticas III: Matriz Inversa
Autor: Dr. Javier Salvador González Salas
Introducción
Sea A una matriz de dimensión tamaño n n. La matriz inversa de A, denotada como A1, se define como la matriz que al multiplicarse AA1 A1A In. Donde In es la matriz identidad de tamaño n n (matriz que tiene unos en su diagonal principal y ceros en sus demás elementos).
Por ejemplo sea la matriz B
1 1 0 1 1 1 0 2 1
, su inversa es la matriz
B1
34 14 14
1 4
1 4
1 4 1
2 1 2 12
,
debido a que BB1
1 1 0 1 1 1 0 2 1
34 14 14
1 4
1 4
1 4 1
2 1 2 12
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Es importante hacer notar que solamente las matrices cuadradas que tienen determinante diferente de 0 pueden tener inversa.
En el presente documento primero se explica con un algoritmo sencillo como obetener matrices de tamaño 2 2 y después se presenta el algoritmo para el cálculo de matrices inversas para tamaño n n.
Inversa de una matriz de tamaño 2 2
Sea la matriz A a11 a12
a21 a22
, su inversa se obtiene de la siguiente forma
A1 1 detA
a22 a12
a21 a11
, (1)
esto es, se intercambian los elementos a22 y a21, y se le cambia de signo al resto de los elementos.
Ejemplo: Obtenga la inversa de la matriz C 3 1
1 2 .
Solución: Primero para obtener C1 debemos calcular el determinante de la matriz C (debido a que si el determinante es 0, entonces la matriz no tiene inversa). Sea detC 32 11 7 0 (entonces si tiene matriz inversa). Ahora aplicando la fórmula (1) donde a11 3, a12 1, a21 1, a22 2, entonces
C1 17
2 1
1 3 27 17
1 7
3 7
.
Para comprobar el resultado podemos multiplicar la matriz original con su inversa y debe resultar la matriz identidad del tamaño correspondiente (que en este ejemplo es de 2 2).
Realizando el producto tenemos:
CC1 3 1 1 2
27 1 7 1 7
3 7
1 0
0 1 ,
como se puede ver si resulta en lo esperado. Esto es que C1 27 17
1 7
3 7
es correcta.
Inversa de una matriz de tamaño n n
Para el algoritmo general para obtener la inversa de matrices cuadradas de cualquier tamaño se requiere obtener la matriz de cofactores y la matriz adjunta de una matriz.
Definición de Cofactor
Sea A la matriz de tamaño n n. El cofactor Aij de la matriz A está definido como:
Aij 1ij|Mij|,
donde Mij es una matriz de tamañon 1 n 1, que se forma de la matriz que queda al
eliminar el renglón i y la columna j de la matriz A y es llamada como el menor ij. Por
ejemplo, si se tiene la matriz B
3 2 1 2 2 0 1 1 1
, los menores M12y M31son :
M12 2 0
1 1 (se elimina el primer renglón y la segunda columna de la matriz B), M32 2 1
2 0 (se elimina el tercer renglón y la primer columna de la matriz B).
Ahora si quisieramos obtener los cofactores correspodientes de los menores que se acaban de obtener entonces se debe seguir la fórmula de cofactor:
B12 112|M12| y B31 131M31.
Recuerden que 1 como factor es un alternador de signo. Si está elevado a una potencia par deja el mismo signo a lo que se encuentre multiplicando; mientras que si 1 está elevado a una potencia impar cambia de signo al número que se encuentre multiplicando.
Entonces
A12 13 2 0
1 1 21 01 2; y
A13 14 2 1
2 0 20 21 2
Definición de la matriz de cofactores
Sea la matriz A
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
y sean Aij para 1 i n, 1 j n sus
cofactores. Entonces se define a la matriz de cofactores como:
B
A11 A12 A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
111|M11| 112|M12| 11n|M1n|
121|M21| 122|M22| 12n|M2n|
1n1|Mn1| 1n2|Mn2| 12n|Mnn|
|M11| |M1n| |M13|
|M11| |M22| |M23|
|M11| |M22| |M23|
.
Lo que se puede ver en la última matriz es que los signos de los cofactores van alternándose, empezando en el lugar de la fila 1 columna 1 con positivo; mientras que para el renglón 1 columna 2 y para el rengló 2 columna 1 los signos son negativos. Y así los signos de los cofactores siguen alternándose al cambiar de posición en la matriz de cofactores. Los signos se van alternando de la siguiente forma:
.
Definición de la Adjunta de un matriz
Sea la matriz A
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
la adjunta de la matriz A, AdjA es la transpuesta
de la matriz de cofactores, esto es:
adjA
A11 A12 A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann T
A11 A21 An1
A12 A22 An2
A1n A2n Ann
.
Teorema del cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta.
Sea A un matriz cuadrada de tamaño n n. Si detA 0, entonces la inversa de la matriz A denotada como A1 se obtiene como:
A1 1
det AadjA .
Para ser más explicita la fórmula del teorema anterior se va a presentar un ejercicio.
Ejemplo de la obtención de una matriz de tamaño 3 3.
Sea la matriz D
1 2 3 1 1 2 0 1 1
, obtener su matriz inversa.
Solución:
Primeramente se obtien el determinate de la matriz D :
|D|
1 2 3 1 1 2 0 1 1
1 2 1 1 0 1
|D| 111 220 311 013 121 112
|D| 1 0 3 0 2 2 2 4 6.
Utilizando la matriz de signos de la matriz de cofactores, la matriz de cofactores de la matriz D, a la cual podemos llamar B, resulta:
B
|M11| |M12| |M12|
|M21| |M22| |M22|
|M31| |M32| |M33|
1 2
1 1 1 2
0 1
1 1 0 1
2 3 1 1
1 3
0 1 1 2
0 1 2 3
1 2 1 3
1 2
1 2 1 1
1 2 1 0 1 0
2 3 1 0 1 0
4 3 2 3 1 2
1 1 1 5 1 1 7 5 1
.
La adjunta de la matriz A es matriz B transpuesta:
adjD BT
1 5 7 1 1 5 1 1 1
.
Ahora finalmente se obtiene la inversa de la matriz D :
D1 1
detDadjD 1 6
1 5 7 1 1 5 1 1 1
16 56 76
1 6
1 6
5 6 1
6 1 6 16
.
Para comprobar el resultado de la matriz inversa se realiza el siguiente producto:
DD1
1 2 3 1 1 2 0 1 1
16 56 76
1 6
1 6
5 6 1
6 1 6 16
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Como el resultado es la matriz identidad entonces la obtención de la inversa de la matriz D es correcta.
Bibliografía:
Grossman, S.,& Flores, J. (2012). Álgebra Lineal. México: Mc Graw Hill.
Lay, D. (2012). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. México: PEARSON EDUCATION.
David, P. (2011). Álgebra Lineal una Introducción Moderna. México: Cengage Learning.
Kilman, B.,& Hill, D. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCATION.
