Matrices y sistemas lineales.
6.1. Matrices y operaciones con matrices.
Definición 6.1 Una matriz real de orden m × n es una tabla ordenada de m × n números reales en la cual las líneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... ...
am1 am2 · · · amn
♣
Nota (Términos y notaciones)
Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos correspondientes son iguales.
El elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por ai j, indicando el primer subíndice la fila en la que está situado y el segundo la columna.
Una matriz genérica se denota por A= (ai j) ó A = (ai j)m,ni, j=1y el conjunto de todas las matrices reales de orden m × n se denota por Mm×n(R).
Las matrices cuadradas tienen el mismo número de filas que columnas (con orden n es m= n) y la diagonal principal la forman a11, a22, · · · , ann.
Las matrices de orden 1 × n reciben el nombre de matrices fila y las de orden m × 1 el de matrices
columna. ♣
▶ Aunque un vector de ℜnes un segmento orientado determinado por su longitud, dirección y sentido que se representa por la n-tupla correspondiente a las coordenadas cartesianas del vector trasladado al origen, desde el punto de vista del Álgebra un vector no es más que una matriz columna
Ejemplo 6.2
3 −1 0 2 1/2 5
4 0 1
1 −1 2 0
2 1
Matriz cuadrada (orden 3) Matriz fila (orden 4) Matriz columna (orden 2) ♣ Maxima 6.3 En Maxima un vector de ℜnse pueden representa mediante una lista. Sin embargo, las ma- trices tienen que declararse como matrices y se construyen con el comando matrix aplicado a sus filas, que es el que indica a Maxima que tenemos una matriz.
( % i1) u:[1,2,3];/*vector*/
[1, 2, 3] (u)
( % i2) A:matrix ([a,b], [c, d]);/*matriz*/
a b c d
(A) ( % i3) args(A);/*lista de listas*/
[[a, b], [c, d]] ( % o3)
( % i4) apply(’matrix,[[a,b],[c,d]]);/*matriz*/
a b c d
( % o4)
Ejercicio 6.4 Determinar las matrices reales de orden 3 × 2 (3 filas y 2 columnas) definidas por (a) ai j = i + j (b) bi j = (−1)i+ j (c) ci j = (1/2)i− j
Solución
(a) A=
2 3 3 4 4 5
(b) B=
1 −1
−1 1
1 −1
(c) C =
1 2
1
2 1
1 4
1 2
♣
Maxima 6.5 En Maxima podemos construir una matriz mediante una fórmula basada en los subíndices del elemento. En particular, aunque hay comandos para ello, podemos generar la matriz nula de orden m × n (formada solo por ceros) y la matriz identidad de orden n (cuadrada y formada por unos en la diagonal principal y ceros en el resto)
θ = (0)m,ni, j=1 I = (δi j)n,ni, j=1 con δi j =
1 si i= j 0 si i , j
donde la funciónδi j recibe el nombre de delta de Kronecker y en Maxima el comando es kron_delta:
( % i2) genmatrix (lambda ([i, j], 0), 3, 2);
zeromatrix (3, 2)$ /*mejor opción*/
0 0 0 0 0 0
( % o2)
( % i4) genmatrix (lambda ([i, j], kron_delta(i,j)), 3, 3);
ident(3)$ /*mejor opción*/
1 0 0 0 1 0 0 0 1
( % o3)
Ejemplo 6.6 Una empresa posee 3 tiendas en las que se venden 4 productos. Las unidades de cada uno de los 4 productos que la primera tienda tiene en existencia son 30, 20, 20 y 0; las de la segunda son 20, 30, 0 y 40; y las de la tercera son 10, 50, 20 y 20. Las existencias en cada tienda se pueden expresar mediante una tabla ordenada de3 × 4 números distribuidos en 3 filas y 4 columnas.
P1 P2 P3 P4 T1 30 20 20 0 T2 20 30 0 40 T3 10 50 20 20
En la tabla a14 = 0 indica que la primera tienda no tiene existencias del cuarto producto y a23 = 0 que la
segunda no tiene existencias del tercero. ♣
Ejemplo 6.7 (Tabla Input-Output) Si se divide el sistema económico de un territorio en n sectores produc- tivos y se representa por xi, j el valor en unidades monetarias de las ventas efectuadas por el sector i al sector j se obtiene una matriz que representa las interacciones entre los n sectores. En esta matriz conta-
bilizamos por filas los bienes y servicios vendidos por cada sector u outputs y por columnas los bienes y servicios adquiridos o inputs (cada xi,ide la diagonal principal es el valor de los productos del sector i que utiliza el propio sector i en su producción)
1 2 . . . j . . . n 1 x1,1 x1,2 . . . x1, j . . . x1,n 2 x2,1 x2,2 . . . x2, j . . . x2,n
... ... ... ... ... ... ... i xi,1 xi,2 . . . xi, j . . . xi,n ... ... ... ... ... ... ...
n xn,1 xn,2 . . . xn, j . . . xn,n ♣
Definición 6.8 (Suma de matrices) Sean A= (ai j), B= (bi j) ∈ Mm×n(R) La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m × n:
A+ B = (ai j+ bi j)m,ni, j=1. ♣
Obsérvese que la suma de matrices de ordenes distintos no está definida y que para poder sumar dos matrices ambas tienen que tener el mismo tamaño.
Ejemplo 6.9
A=
1 2 0
3 −1 2
B=
0 1 4
2 3 −2
=⇒A + B =
1+ 0 2+ 1 0 + 4 3+ 2 −1 + 3 2 − 2
=
1 3 4 5 2 0
♣
Ejemplo 6.10 La compañía Refresquillos S.A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos países. Las ventas en miles de litros durante los dos semestres del año 2005 vienen dadas por las matrices:
A cola limón naranja
España 353 86 44
Portugal 81 50 31
B cola limón naranja
España 676 185 166
Portugal 324 157 107
La matriz correspondiente a las ventas del año completo es:
A+ B cola limón naranja
España 1029 271 210
Portugal 405 207 138 ♣
Proposición 6.11 (Propiedades de la suma de matrices)
1. A+ B ∈ Mm×n(R) ∀ A, B ∈ Mm×n(R) (operación interna).
2. A+ (B + C) = (A + B) + C ∀A, B, C ∈ Mm×n(R) (asociativa)
3. La matriz nula de orden m × n definida porθ = (0)m,ni, j=1verifica que A+ θ = θ + A = A ∀A ∈ Mm×n(R) (existencia del elemento neutro)
4. La matriz opuesta de A ∈ Mm×n(R) definida por −A = (−ai, j)m,ni, j=1verifica que A+ (−A) = (−A) + A = θ (existencia del elemento opuesto)
5. A+ B = B + A ∀A, B ∈ Mm×n(R) (conmutativa) ♣
Ejercicio 6.12 Sean A=
1 2 0
3 −1 2
, B =
1 3 4 5 2 0
y C =
0 −2 1
4 0 1
. Calcular
(a) A+ B + C (b) A − (B − C)
Solución
(a) A+ B + C =
2 3 5
12 1 3
(b) A − (B − C)=
0 −3 −3
2 −3 3
♣
Definición 6.13 (Producto de un escalar por una matriz) Sean A = (ai j) ∈ Mm×n(R) (matriz real) y α ∈ R (número real o escalar).
La matriz producto deα por A es la matriz real de orden m × n:
α · A = αA = (αai j)m,ni, j=1. ♣
Ejemplo 6.14
α = 1 2 A=
1 5
0 −1
2 3
=⇒ α · A =
1 2 1 1
2 5 1
2 0 1 2 (−1) 1
2 2 1 2 3
=
1 2
5 2 0 −1 2
1 3
2
♣
Ejemplo 6.15 La compañía Refresquillos S.A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos países. Si los precios de cada litro en 2005 venían dados por la matriz P y éstos experimentan una subida del 5 %, la matriz 1.05 · P corresponde a los precios en 2006 (redondeados al céntimo).
P cola limón naranja
España 0.91 1.05 1.32
Portugal 1.00 1.10 1.21
1.05 · P cola limón naranja
España 0.96 1.10 1.39
Portugal 1.05 1.16 1.27 ♣
Ejercicio 6.16 Determinar con los datos del ejercicio 6.10 la matriz correspondiente a las ventas medias mensuales de cada uno de los tres tipos de refrescos que produce la compañía Refresquillos S.A. en cada uno de los dos países.
Solución
1
12(A+ B) cola limón naranja España 85.75 22.58 17.5
Portugal 33.75 17.25 11.5 ♣
Proposición 6.17 (Propiedades del producto de escalares por matrices) Seanα, β ∈ R A, B ∈ Mm×n(R)
1. αA ∈ Mm×n(R) (operación externa).
2. (α+ β)A = αA + βA (distributiva respecto a la suma de escalares).
3. α(A + B) = αA + αB (distributiva respecto a la suma de matrices).
4. α(βA) = (αβ)A (asociativa mixta).
5. 1A = A (buen comportamiento del elemento neutro de los escalares). ♣
Ejercicio 6.18
Sean A=
3 −1 0 2 1/2 5
4 0 1
, B =
1 2 0
3 −1 2
, C =
1 3 4 5 2 0
y D=
0 −2 1
−2 2 5/3
4 0 1
.
Calcular
(a) −A+ 2D (b) 2B − (3/2)C (c) 3A − 2B
Solución
(a) −A+ 2D =
−3 −3 2
−6 7/2 −5/3
4 0 1
(b) 2B − (3/2)C=
1/2 −1/2 −6
−3/2 −5 4
(c) No es posible calcular 3A − 2B ♣
Definición 6.19 (Producto de una matriz fila por una matriz columna)
Sean a una matriz de orden1 × n (matriz fila) y b una matriz de orden n × 1 (matriz columna).
El producto de la fila a por la columna b es el número real:
ab=
a1 . . . an
b1
... bn
= a1b1+ a2b2+ · · · + anbn.
♣
Ejemplo 6.20
a=
1 2 3
b=
0
−1 2
=⇒ a b =
1 2 3
0
−1 2
= 1 · 0 + 2 · (−1) + 3 · 2 = 4
♣ Ejemplo 6.21 La compañía Ropacara S. A. ha vendido durante la campaña de navidad 100 pantalones para niños, 210 para jóvenes, 150 para caballeros y 110 para señoras. Los respectivos precios en euros son 20, 25, 40 y 35. El valor de las ventas es
100 210 150 110
20 25 40 35
= 100 · 20 + 210 · 25 + 150 · 40 + 110 · 35 = 17.100 euros
♣
Definición 6.22 (Producto de matrices) Sean A = (ai j)m,ni,k=1 ∈ Mm×n(R) (matriz real de orden m × n) y B= (bkl)kp,q, j=1 ∈ Mp×q(R) (matriz real de orden p × q) con n = p.
El producto de A por B es la matriz de orden m × q:
A · B= AB = (ci j)m,qi, j=1 donde ci jes el producto de la fila“i” de A por la columna “ j” de B. ♣
▶ Obsérvese que el producto AB sólo está definido si el número de columnas de A es igual al número de filas de B y que, siempre y cuando esté definido, tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.
Ejemplo 6.23
A=
1 2 0 1 3 1
B=
2 3 1 0 1 1 5 0 1
=⇒ A · B =
c11 c12 c13 c21 c22 c23
=
2 5 3 7 6 5
donde la matriz producto se obtienemultiplicando las filas de A por las columnas de B:
c11 =
1 2 0
2 0 5
= 2 c12=
1 2 0
3 1 0
= 5 c13 =
1 2 0
1 1 1
= 3
c21 =
1 3 1
2 0 5
= 7 c22=
1 3 1
3 1 0
= 6 c23 =
1 3 1
1 1 1
= 5
♣
Ejemplo 6.24 Las tres tiendas de la compañía Ropacara S.A. (T1, T2, T3) venden cuatro tipos de panta- lones (P1, P2, P3, P4) que les suministran dos fabricas distintas (F1, F2). El número de pantalones que necesita cada una de las tiendas viene dado por la matriz A y los precios de cada pantalones según el ca- tálogo de los dos proveedores por la matriz B. El valor total del pedido de cada tienda en cada proveedor
viene dado por la matriz A B.
A P1 P2 P3 P4 T1 400 200 0 300 T2 0 100 200 100 T3 200 200 100 0
B F1 F2 P1 32 30 P2 10 12 P3 22 20 P4 16 18
A B F1 F2
T1 19.600 17.800 T2 7.000 7.000 T3 10.600 10.400
aik= cantidad que la tienda Ti necesita del pantalón Pk. bk j= precio del pantalón Pk en el proveedor Fj.
ci j = valor total del pedido de la tienda Ti al proveedor Fj
donde ci j corresponde al producto de la fila i de A por la columna j de B:
ci j = ai1b1 j+ ai2b2 j+ ai3b3 j+ ai4b4 j. ♣
Nota (Matriz identidad) La matriz cuadrada de orden n con unos en la diagonal principal y con ceros en el resto recibe el nombre de matriz identidad de orden n
1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ...
0 0 · · · 1
Esta matriz se puede escribir como I = (δi j)n,ni, j=1 con δi j =
1 si i= j
0 si i , j ♣
Proposición 6.25 (Propiedades del producto de matrices)
1. A(BC)= (AB)C ∀A ∈ Mn×m(R), ∀B ∈ Mm×p(R) ∀C ∈ Mp×q(R) (asociativa)
2. A(B+ C) = AB + AC ∀A ∈ Mn×m(R) ∀B, C ∈ Mm×p(R) (distributiva respecto a la suma).
3. AI = IA = A ∀A ∈ Mn×n(R) (existencia de elemento neutro para matrices cuadradas). ♣
Nota Las propiedades del producto de matrices son similares a las propiedades del producto de números.
Sin embargo, el producto de matrices no posee la propiedad conmutativa. Esto hace que las propiedades de los números que proceden de la propiedad conmutativa no se cumplan. En particular, las fórmulas de las
potencias de un binomio no son ciertas para matrices. ♣
Ejercicio 6.26 Sean A=
1 2
−1 0
y B=
0 1 2 1
Calcular
(a) AB y BA (b) (A+ B)(A − B) y A2− B2 (c) (A+ B)2y A2+ 2AB + B2
Solución
(a) Obsérvese que AB , BA:
AB=
4 3
0 −1
BA=
−1 0
1 4
(b) Obsérvese que (A+ B)(A − B) , A2− B2:
(A+ B)(A − B) =
−8 −2
−2 0
A2− B2 =
−3 1
−3 −5
(c) Obsérvese que (A+ B)2 , A2+ 2AB + B2:
(A+ B)2=
4 6 2 4
A2+ 2AB + B2 =
9 9
1 −1
♣
▶ Al cambiar el orden en el producto de dos matrices puede que la operación no se pueda hacer, puede que las matrices sean distintas y puede que las dimensiones de las matrices cambien.
Ejemplo 6.27 Si multiplicamos una matriz fila de orden 1×n y una matriz columna de orden n×1 la matriz A · B es un número y la matriz B · A es una matriz cuadrada de orden n × n:
• A · B=
a11 a12 · · · a1n
b11 b21 ... bn1
= a11b11+ a12b21+ · · · a1nbn1
• B · A=
b11
b21
... bn1
a11 a12 · · · a1n
=
b11a11 b11a12 · b11a1n
b21a11 b21a12 · · · b21a1n
· · · ... · · · bn1a11 bn1a12 · · · bn1a1n
♣
▶ El producto de la matriz cero por cualquier matriz es la matriz cero, pero no es el único caso en el cual el producto es la matriz cero, ya que también puede serlo sin que ninguna sea cero.
Ejemplo 6.28 (θ · A = θ y AB = θ con A, B , 0)
0 0 0 0
0 0 2 3
=
0 0 0 0
1 0 2 0
0 0 2 3
=
0 0 0 0
♣
Definición 6.29 (Potencia de una matriz)
An= A ·n veces ·A ♣
Ejemplo 6.30
A=
1 3 1 1
=⇒ A3=
10 18 6 10
♣
Ejercicio 6.31
Sean A=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
, B=
1 0 0 0
y C =
cosθ senθ senθ −cosθ
.
Probar:
1. A3 = θ (A es nilpotente de orden 3) 2. B2 = B (B es idempotente)
3. C2= I (C es involutiva)
Solución Es una simple comprobación. ♣
Definición 6.32 (Traspuesta de una matriz) Sea A= (ai j)m,ni, j=1∈ Mm×n(R)
La matriz traspuesta de A es la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas
At = (aji)n,mj,i=1. ♣
Ejemplo 6.33
A=
1 2 3 4 5 6
=⇒ At =
1 4 2 5 3 6
♣
Proposición 6.34 (propiedades de la trasposición de matrices) a) Si A es d e orden m × n su traspuesta es de orden n × m b) (At)t = A ∀A ∈ Mm×n(R).
c) (A+ B)t = At+ Bt ∀A, B ∈ Mm×n(R).
d) (αA)t = αAt ∀α ∈ R ∀A ∈ Mm×n(R).
e) (AB)t = Bt · At ∀A ∈ Mm×n(R) ∀B ∈ Mn×p(R). ♣
Ejercicio 6.35
Sean A=
1 2 −2
2 −1 4
−2 4 0
, B=
0 1 2
−1 0 −3
−2 3 0
y C =
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
.
Probar:
1. A= At(A es simétrica) 2. B= −Bt (B es antisimétrica) 3. C · Ct = I (C es ortogonal)
Solución Es una simple comprobación (A simétrica, antisimétrica u ortogonal =⇒ A cuadrada). ♣
Ejercicio 6.36 Demostrar que se verifica 1. A+ At simétrica ∀A ∈ Mn×n(R).
2. A − At antisimétrica ∀A ∈ Mn×n(R).
3. A · At es simétrica ∀A ∈ Mm×n(R).
Solución Es una simple comprobación. ♣
Maxima 6.37 Se pueden realizar las operaciones habituales con matrices, teniendo en cuenta que en Ma- xima hay múltiples formas de operar que utilizan distintos signos o combinaciones de símbolos. Utilizamos para la suma tanto de vectores como de matrices el signo “+”, para el producto escalar de vectores y el producto de matrices el punto normal “.” y para la potencia de matrices el doble exponente “ ˆˆ ” (en este ejemplo indicamos algunas operaciones que se realizan de forma distinta).
( % i1) u:[u1,u2];
[u1, u2] (u)
( % i2) v:[v1,v2];
[v1, v2] (v)
( % i3) A:matrix ([a11,a12], [a21, a22]);
a11 a12 a21 a22
(A)
( % i4) B:matrix ([b11,b12], [b21, b22]);
b11 b12 b21 b22
(B) ( % i5) u+v; /*suma de vectores (=v+u) */
[v1+ u1, v2 + u2] ( % o5)
( % i6) A+B; /*suma de matrices (=B+A) */
b11+ a11 b12 + a12 b21+ a21 b22 + a22
( % o6) ( % i7) α+A; /*suma α a los elementos de A
(=A+α)*/
α + a11 α + a12 α + a21 α + a22
( % o7)
( % i8) u+A; /*fila i de A más coordenada i de u (=A+u)*/;
u1+ a11 u1 + a12 u2+ a21 u2 + a22
( % o8) ( % i9) α*u; /*producto de
escalar por vector (=u*α)*/
[u1α, u2α] ( % o9)
( % i10) u.v; /*producto escalar de vectores
(=v.u)*/
u2 v2+ u1 v1 ( % o10)
( % i11) u*v; /*elemento a ele- mento
(=v*u)*/
[u1 v1, u2 v2] ( % o11)
( % i12) A.u,u.A; /*producto de matriz por vector*/
a12 u2+ a11 u1 a22 u2+ a21 u1
,
a21 u2+ a11 u1 a22 u2 + a12 u1
( % o12)
( % i13) A.B,B.A; /*producto de matrices*/
a12 b21+ a11 b11 a12 b22 + a11 b12 a22 b21+ a21 b11 a22 b22 + a21 b12
,
a21 b12+ a11 b11 a22 b12 + a12 b11 a21 b22+ a11 b21 a22 b22 + a12 b21
( % o13)
( % i14) A*u;/*fila i de A por coordenada i de u (=u*A)*/
a11 u1 a12 u1 a21 u2 a22 u2
( % o14)
( % i15) A*B; /*elemento a elemento (=B*A)*/
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22
( % o15) ( % i16) Aˆˆ2;/*potencia de matrices*/
a12 a21+ a112 a12 a22+ a11 a12 a21 a22+ a11 a21 a222+ a12 a21
( % o16)
( % i17) Aˆ2;/*elemento a elemento*/
a112 a122 a212 a222
( % o17)
Maxima 6.38 Las tres granjas de una cooperativa (G1, G2, G3) venden huevos de tres calidades distintas (C1, C2, C3) a dos cadenas de supermercados (S1, S2). La producción de huevos de cada granja viene dada por la matriz A y los precios de cada tipo de huevos en cada cadena por B:
A C1 C2 C3 G1 500 200 350 G2 170 250 100 G3 400 250 150
B C1 C2 C3
F1 1.25 1.00 0.75 F2 1.5 0.75 0.60
Determinar el valor de las ventas de cada granja en cada cadena si venden los huevos con un descuento del 25 % con respecto a los precios de venta en el supermercado. ¿Con cuál de las cadenas le interesaría
firmar un contrato de exclusividad a cada granja? ♣
6.2. Determinantes de matrices cuadradas.
Para definir el determinante de una matriz cuadrada vamos a utilizar la fórmula de Leibniz en la que el determinante es la suma de todos los productos de elementos de la matriz con un sólo elemento de cada fila y un sólo elemento de cada columna, multiplicados por+1 ó -1 dependiendo de los subindices de los elementos del producto. Este signo,+1 ó -1, recibe el nombre de signatura y se denota por sgn(σ).
Para determinar el signo ordenamos los elementos del producto con respecto al primer subíndice y consideramos el segundo subindice, denotándolo por σi si el primero es i. De esta forma obtenemos una permutación en el orden de los subindices 1, 2, · · · , n que se denota por σ:
σ = (σ1, σ2, . . . , σn)
El signo será+1 si la permutación se puede obtener con un número par de intercambios sucesivos de elementos dos a dos (transposiciones) y -1 si este número es impar, distinguiendo entre permutaciones pares
e impares1. ♣
Definición 6.39 (Fórmula de Leibniz) El determinante de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R) se denota pordet(A) o |A| y se define
det(A)= X
σ∈Pn
sgn(σ)a1,σ1 · a2,σ2· · · an,σn
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones de los n primeros números (el número de permu-
taciones pares e impares es el mismo). ♣
Para calcular un determinante mediante la fórmula de Leibniz hay que calcular una suma con n! suman- dos, cada uno producto de n factores y en el que hay que determinar su signatura. Sólo la usaremos en la práctica para órdenes pequeños en los que existen reglas nemotécnicas para recordarlos (n ≤ 3).
Si la matriz es de orden 1 el determinante es el número (no es el valor absoluto)
1Una permutación es par si puede ser obtenida con un número par de intercambios sucesivos e impar si este número es impar (aunque el número de intercambios sucesivos en los que se puede descomponer no es único si lo es su paridad). La signatura también se puede definir considerando que un par de elementos de la permutación forman una inversión si el número mayor precede al menor, en cuyo caso una perputación es par si su número total de inversiones es par e impar si este numero es impar.
Si es de orden 2 su determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la diagonal secundaria;
a11 a12
a21 a22
= a11a22− a12a21.
Si A es una matriz de orden 3 su determinante sigue la regla de Sarrus:
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32.
Ejemplo 6.40 (a) det(−2)= −2 (b)
1 −2 3 −4
= 1 · (−4) − (−2) · 3 = −4 + 6 = 2
(c)
1 −2 3 3 −2 4
0 1 3
= 1 · (−2) · 3 + (−2) · 4 · 0 + 3 · 3 · 1 − 3 · (−2) · 0 − (−2) · 3 · 3 − 1 · 4 · 1 = 17
♣
Maxima 6.41 Maxima calcula el determinante directamente con el comandodeterminat(A). ♣
Para calcular el determinante de una matriz de orden 4 no existe ninguna fórmula fácil de recordar y se utiliza una forma alternativa que nos permite reducir su cálculo al cálculo de determinantes de orden inferior de manera recursiva (diremos que el determinante se calcula por adjuntos).
Teorema 6.42 (Teorema de Laplace) El determinante de A ∈ Mn×n(R) con n > 1 se puede calcular desarrollándolo por los adjuntos de la fila i
|A|=
a11 · · · a1 j · · · a1n
... ... ... ai1 · · · aij · · · ain
... ... ... an1 · · · an j · · · ann
= ai1Ai1+ ai2Ai2+ · · · + aijAin· · ·+ ainAin.
donde el adjunto de ai j es Ai j = (−1)i+ jMi jcon Mi jsu menor complementario, correspondiente al determi- nante de la submatriz de orden n −1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de A
Ai j = (−1)i+ jMi j = (−1)i+ j
a11 · · · a1 j · · · a1n ... ... ... ai1 · · · ai j · · · ain
... ... ... an1 · · · an j · · · ann
♣
Observación El valor del determinante no depende de la fila elegida para su cálculo y también se puede calcular por los adjuntos de una columna: det(A)= a1 jA1 j+ a2 jA2 j+ · · · + an jAn j. ♣ Ejercicio 6.43 Comprobar la regla de Sarrus desarrollando por los adjuntos de la primera fila.
Solución
El menor complementario de a11es M11 y su adjunto A11 = (−1)1+1M11= a22a33− a23a32 El menor complementario de a12es M12 y su adjunto A12 = (−1)1+2M12= −(a21a33− a23a33) El menor complementario de a13es M13 y su adjunto A13 = (−1)1+3M13= a21a32− a22a31
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a33)+ a13(a21a32 − a22a31) = a11a22a33− a11a23a32− a12a21a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31. ♣
Proposición 6.44 (Propiedades del determinante) Sea A ∈ M(R)n×n(matriz cuadrada de orden n).
a) det(A) = det(At) (las propiedades son válidas intercambiando el papel de filas y columnas).
b) Si B se obtiene multiplicando una fila porα ∈ R |B| = α|A| (por tanto |αA| = αn|A|).
c) Si una fila de se descompone en suma de dos filas y se forman dos matrices A1 y A2 con el resto de las filas iguales |A|= |A1|+ |A2|
d) Si B se obtiene de A por intercambio de dos filas consecutivas |B|= −|A|.
e) Si A tiene dos filas iguales o una es múltiplo de la otra |A|= 0.
f) Si B se obtiene sumando a una fila otra fila distinta multiplicada por un escalar |B|= |A| ♣
Ejemplo 6.45 Desarrollamos un determinante por la primera fila se tiene
3 12 −1 0
1 0 5 6
0 3 0 0
0 4 −1 2
= 3
0 5 6
3 0 0
4 −1 2
− 12
1 5 6
0 0 0
0 −1 2
− 1
1 0 6 0 3 0 0 4 2
− 0
1 0 5
0 3 0
0 4 −1
= −150.
Obsérvese que el calculo del determinante es más corto desarrollanándolo por la tercera fila. De he- cho, un procedimiento que se utiliza para calcular un determinante es transformar la matriz en otra cuyo determinante coincida y cuyo cálculo sea más sencillo (método de Gauss):
3 12 −1 0
1 0 5 6
0 3 0 0
0 4 −1 2
= (−1)3+23
3 −1 0
1 5 6
0 −1 2
= −150.
♣ En el método de Gauss el objetivo es utilizar las propiedades de los determinantes para transformar en ceros todos elementos de una fila/columna menos uno sin que cambie el valor del determinante. Posterior- mente se desarrolla el determinante por esta fila/columna. En general se parte de un elemento distinto de
cero que recibe el nombre de pivote. Si vamos a hacer ceros por columnas, la columna en la que está el pivote recibe el nombre de columna objetivo y la fila el de fila del pivote (la posición recibe el nombre de posición del pivote). El método de Gauss consiste en combinarla con las otras filas de forma que todos los elementos de la columna objetivo menos el pivote sean cero. Como el valor del determinante no cambia podemos calcular este determinante como el producto de un número por un determinante de orden inferior.
Ejemplo 6.46 En este primer caso el pivote es el elemento a11 = 1 y transformamos en ceros los elemento de la columna objetivo restando a cada fila la fila del pivote multiplica por su primer elemento (en general hay que multiplicar por el elemento de la fila del pivote dividido por el pivote).
Columna objetivo
↓
1 2 −1 0
−1 0 2
0 1 2
2 3 0
1 1 −2
← Fila del pivote
El elemento en la posición 2.1. se transforma en cero restando a la fila2 la fila del pivote multiplica por a21 = −1 (lo que corresponde a sumar la fila).
El elemento a31ya es cero, por lo que no tenemos que transformarlo.
El elemento en la posición 2.1. se transforma en cero restando a la fila4 la fila del pivote multiplica por a41 = 2 (lo que corresponde a sumar la fila multiplicada por −2).
1 2 −1 0
−1 0 1 2
0 2 3 0
2 1 1 −2
F2+ F1 →
F4− 2F1 →
1 2 −1 0
0 2 0 2
0 2 3 0
0 −3 3 −2
= 1 ·
2 0 2
2 3 0
−3 3 −2
= 18
♣
Ejercicio 6.47 Calcular por el método de Gauss
3 2 −1 0
−1 0 1 2
0 2 3 0
1 1 1 −2
Solución
♦ Opción 1 El pivote va a ser a11 = 3 y la columna objetivo en la que vamos a “hacer ceros” la columna 1 (la fila del pivote será la fila 1):
Transformamos los elemento de la columna objetivo en ceros restando a la fila correspondiente la fila del pivote multiplica por un número adecuado (el determinante no cambia por la propiedad 5):
Restamos a la fila 2 la fila del pivote multiplica por aa21
11 = −13 .
El elemento a31ya es cero, por lo que no tenemos que transformarlo.
Restamos a la fila 4 la fila del pivote multiplica por aa41
11 = 13.
3 2 −1 0
−1 0 1 2
0 2 3 0
1 1 1 −2
F2+ 13F1 →
F4− 13F1 →
3 2 −1 0
0 23 23 2
0 2 3 0
0 13 43 −2
= 3 ·
2 3
2
3 2
2 3 0
1 3
4
3 −2
= 6
♦ Opción 2 Si trasladamos el elemento a23 = 1 a la posición del pivote evitamos el uso de fracciones
Como está en la columna 3 y queremos llevarlo a la columna 1 hay que realizar dos cambios entre columnas consecutivas, que suponen dos cambios de signo (propiedad 3)
3 2 −1 0
−1 0 1 2
0 2 3 0
1 1 1 −2
= C2× C3= −
3 −1 2 0
−1 1 0 2
0 3 2 0
1 1 1 −2
= C1× C2= +
−1 3 2 0
1 −1 0 2
3 0 2 0
1 1 1 −2
Como está en la fila 2 y queremos llevarlo a la fila 1 hay que realizar un cambio entre filas consecuti- vas, que supone un cambio de signo (propiedad 3)
−1 3 2 0
1 −1 0 2
3 0 2 0
1 1 1 −2
= F1× F2 = −
1 −1 0 2
−1 3 2 0
3 0 2 0
1 1 1 −2
A continuación procedemos como antes.
♦ Opción 3 Se puede calcular el determinante trabajando con un elemento que no esté en la posición 1.1, como ejemplo vamos a utilizar el elemento a23 = 1 como pivote para hacer ceros en la columna 3 restando múltiplos de la fila 2 a las filas 1, 3 y 4 (al estar en la posición 2.3 hay que multiplicar luego el determinante por (−1)2+3):
3 2 −1 0
−1 0 1 2
0 2 3 0
1 1 1 −2
F1+ F2 →
F3− 3F2 → F4− F2 →
2 2 0 2
−1 0 1 2
3 2 0 −6
2 1 0 −4
= (−1)2+3· 1 ·
2 2 2
3 2 −6 2 1 −4
= 6
♣
Definición 6.48 Sea A ∈ Mn×n(R) (matriz cuadrada de orden n).
La matriz inversa de A es una matriz, denotada por A−1, tal que A · A−1= A−1· A= In. ♣
Teorema 6.49 Sea A ∈ Mn×n(R) (matriz cuadrada de orden n).
A tiene inversa si y sólo sidet(A) , 0. En este caso
A−1= 1
det(A)Adj(A)t
dondeAdj(A) es la matriz adjunta, formada por los adjuntos de los elementos de A. ♣
Ejemplo 6.50 Calcular la matriz inversa de
A=
2 1 −1
0 2 0
1 −1 3
B=
−1 1
2 −2
Solución
(a) En primer lugar tenemos que ver si existe, calculando el determinante de A:
|A|= 14 , 0 =⇒ ∃A−1
Una vez comprobado que existe, calculamos la matriz de los adjuntos:
A11 = +
2 0
−1 3
= 6 A12 = −
0 0 1 3
= 0 A13 = +
0 2
1 −1
= −2
A21 = −
1 −1
−1 3
= −2 A22 = +
2 −1
1 3
= 7 A23 = −
2 1
1 −1
= 3
A31 = +
1 −1
2 0
= 2 A32 = −
2 −1
0 0
= 0 A33 = +
2 1 0 2
= 4
Por tanto
Adj(A)=
6 0 −2
−2 7 3
2 0 4
Por último, calculamos la matriz inversa:
A−1= 1
det(A)Adj(A)t = 1 14
6 −2 2
0 7 0
−2 3 4
=
3 7 −1
7 1 7
0 1
2 0
−1 7
3 14
2 7
(b) B no tiene inversa, ya que, |B|= 0 ♣ Ejemplo 6.51 Calcular la inversa de
(a) A =
3 5 1 2
(b) B=
−3 1
2 −2
(c) C =
−1 0
−2 −1
Solución
A−1=
2 −5
−1 3
B−1 =
−1/2 −1/4
−1/2 −3/4
C−1=
−1 0
2 −1
♣
Ejemplo 6.52 Calcular la inversa de
(a) A=
1 −1 1
2 1 2
0 0 1
(b) B =
1 −1 1
2 1 −2
−1 −2 3
Solución
Como |A|= 3 , 0 tenemos A−1= 1
det(A)Adj(A)t = 1 3
1 1 −3
−2 1 0
0 0 3
=
1/3 1/3 −1
−2/3 1/3 0
0 0 1
B no tiene inversa, ya que, |B|= 0. ♣
Maxima 6.53 Maxima calcula la inversa de una matriz cuadrada con el comandoinvert(A)o escribiendo Aˆˆ-1 siempre y cuando su determinante sea distinto de cero (también podemos obtener la matriz adjunta
traspuesta con el comandoadjoint (A)). ♣
6.3. Rango de una matriz.
Definición 6.54 Sea A ∈ Mm×n(R).
Un menor de orden h de A es el determinante de una submatriz cuadrada de orden h que resulta de
suprimir filas y/o columnas de A. ♣
Ejemplo 6.55 A la primera submatriz marcada le corresponde un menor de orden 2 (resulta de suprimir la fila 3 y las columnas 2 y 4), pero a la segunda no le corresponde ningún menor (no resulta de suprimir filas y columnas)
2 3
4 0
1 5
2 3 0 3 0 7
2 4 1 2
3 0 5 3
0 3 0 7
♣
Definición 6.56 (rango de una matriz) Sea A ∈ Mm×n(R).
La matriz A tiene rango r, rg(A) = r, si existen menores de orden r distintos de cero y todos los menores de orden superior a r son cero.
Cuando A tiene rango r, cualquier menor de orden r distinto de cero recibe el nombre de menor
principal de A. ♣
Maxima 6.57 Maxima calcula directamente el rango de una matriz cualquiera con el comandorank(A) pero no tiene un comando para obtener un menor principal ni distingue los distintos casos que aparecen
en una matriz con parámetros. ♣
Ejemplo 6.58 Calcular el rango de
2 1 3 4 1 1 2 3 3 2 5 7
Solución
hay menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo:
2 1 1 1
3 4 2 3
3 2 5 7
con
2 1 1 1
= 1 , 0
2 1 3 4
1 1 2 3
3 2 5 7
con
2 4 3 7
= 2 , 0
suprimimos las columnas 3 y 4 y la fila 3 suprimimos las columnas 2 y 3 y la fila 2
