PROPUESTA DE UNA SECUENCIA DE ACTIVIDADES SOBRE INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN COMO PARTE - TODO EN CONTEXTOS CONTINUOS Y DISCRETOS, A PARTIR DE LA PROPUESTA
DE SAENZ
DIANA PAOLA PRIETO HERNÁNDEZ MAICOL STIFF VÁSQUEZ GONZÁLEZ.
DIRECTOR MAURICIO BECERRA
CO-DIRECTOR JORGE RODRIGUEZ
Universidad Distrital Francisco José De Caldas Facultad Ciencias y Educación
TABLA DE CONTENIDO
1.5 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ... 14
1.5.1 FASES ... 15
1.5.2 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN ... 15
1.5.3 INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ... 16
CAPÍTULO 2 ... 19
MARCO TEÓRICO ... 19
2.2 REFERENTE DIDÁCTICO ... 19
2.2.1 Actividades de Adalira Sáenz (2010) ... 19
1) FRACCIONES EQUIVALENTES. ... 19
2) FRACCIÓN PARTE 1:1 ... 20
3)FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO. ... 20
4) FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO. ... 21
5) FRACCIÓN PARTE-TODO. COMO PARTE DE UN NÚMERO. ... 21
6) FRACCIÓN PARTE-TODO REPARTO. ... 22
7) LA FRACCIÓN COMO PARTE DE UN NÚMERO CONTEXTO CONTINUO. ... 23
8) REPRESENTACIÒN FRACCIÒN PARTE TODO CONTEXTO DISCRETO. .. 23
2.3 METODOLOGÍA DE LAS ACTIVIDADES ... 28
CAPÍTULO 3: ... 29
DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ... 29
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICO ... 33
3.2 ACTIVIDAD DE INTRODUCCIÓN “EL TANGRAM”... 34
3.3 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1 “HABLEMOS DE ÁREAS” ... 37
3.4 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2“IDENTIFICANDO LA PARTE”... 41
3.5 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3 “CUANDO ES MAYOR QUE LA UNIDAD” ... 50
3.6 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 1. “REPARTIENDO EQUITATIVAMENTE” ... 55
3.7 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 2 “AHORA LA UNIDAD ES UN NÚMERO” ... 60
3.8 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 3 “ENCONTRANDO LA UNIDAD” 63 CAPÍTULO 4: ... 67
ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ... 67
4.1 DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA ... 67
4.3 ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES DE LA SECUENCIA. ... 68
ACTIVIDAD 1. ... 72
ACTIVIDAD 2. ... 73
ACTIVIDAD 3. ... 75
ACTIVIDAD 4. ... 77
ACTIVIDAD 5. ... 78
ACTIVIDAD 6. ... 80
ACTIVIDAD 7. ... 81
ACTIVIDAD 8. ... 83
ACTIVIDAD 9 ... 85
ACTIVIDAD 10 ... 87
4.3.1 Análisis actividad de introducción “EL TANGRAM” ... 89
4.3.2Análisis actividad de desarrollo 1 “HABLEMOS DE ÁREAS” ... 90
4.3.3Análisis actividad de desarrollo 2 “IDENTIFICANDO LA UNIDAD FRACCIONARIA” ... 91
4.3.4 Análisis actividad de desarrollo 3“CUANDO ES MAYOR QUE LA UNIDAD” ... 94
4.3.5 Análisis actividad de profundización 1. “REPARTIENDO EQUITATIVAMENTE” ... 97
4.3.6 Análisis actividad de profundización 2 “AHORA LA UNIDAD ES UN NÚMERO” ... 99
4.3.7Análisis actividad de profundización 3 “ENCONTRANDO LA UNIDAD” 101 CONCLUSIONES ... 102
BIBLIOGRAFÍA ... 104
PROTOCOLOS DE LA SECUENCIA DE ACTIVIDADES. ... 131
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: Matriz de análisis. ... 18 Tabla 2: Matriz general de la secuencia de actividades. ... 32 Tabla 3: Relación entre contenidos, sesiones y descripción de las actividades.¡Error! Marcador no definido.
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INTRODUCCIÓN
En tercero de primaria, generalmente se introduce la idea de fracción, mediante repartos equitativos, utilización de figuras estándar: cuadrados, rectángulos y círculos. La fracción como relación parte todo es un concepto importante para el desarrollo del uso de la fracción en otros campos, por ejemplo, como razón y proporción, como numero racional…etc. También ejercicios de la fracción como relación parte todo propone reconstrucción de la unidad y definición de la unidad fraccionaria que es muy útil en muchos aspectos de la matemática en general y al introducirlos al aula de clase se convierte en un proceso de cuidado.
El primer capítulo presenta el planteamiento del problema; teniendo como comienzo la fracción como uno de los conceptos en matemáticas en el que se puede establecer que los estudiantes presentan dificultades para su comprensión. como Fandiño (2009) evidencia dificultades relacionadas con las diversas representaciones de la fracción, así como dificultades relacionas a la forma como el docente introduce la fracción en el aula; “La introducción del concepto de fracción parece ser igual en todo el mundo; una determinada unidad concreta es dividida en partes iguales, luego, de dichas unidades se toman algunas” (Fandiño, 2009, p.81), esta forma de introducir la fracción a partir de la unidad concreta tiene la ventaja de ser clara y fácil de comprender por los estudiantes, porque se relaciona con objetos (pizza, tortas, manzanas, etc…) de la vida cotidiana. Partiendo de este punto el docente de matemáticas desde su concepción de la fracción trasmite unas definiciones y representaciones que acercan a sus estudiantes a la construcción de un conocimiento de la fracción. Desde dicha práctica en el aula se debe reflexionar si estas construyen un verdadero conocimiento o simplemente favorecen un ejercicio rutinario en el que el estudiante por medio de la repetición logre representar fracciones en determinado contexto, mas no favorece la comprensión de la fracción, generando en él un obstáculo didáctico.
El segundo capítulo se presenta el marco teórico de la fracción. Mediante los atributos propuestos por Suydam (1979) y se presentan conceptos que constituyen la base para la construcción de las actividades y organización de estas, en las que se incluye el referente didáctico para la construcción y adecuación de las actividades, los elementos y herramientas conceptuales utilizadas para el diseño y aplicación de esta, así como también los autores que se toma para definir algunos obstáculos que se tuvo en cuenta dentro de cada una de las actividades.
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actividades cognitivas ligadas a la Semiosis y que en este trabajo de grado contextualiza con el tema de las fracciones.
En el tercer capítulo se presenta el diseño de las actividades desde la propuesta de Adalira Sáenz (2010), cada una contiene nombre de la actividad, el objetivo general, hipótesis de aprendizaje y descripción de esta durante el desarrollo en clase.
El cuarto capítulo presenta el correspondiente análisis. Se parte de lo obtenido en la prueba piloto; dentro de este análisis se incluyen tablas de análisis y una matriz comparativa que permite evidenciar los resultados obtenidos con lo que se había planeado, se anexan fotografías y registros realizadas por los estudiantes en los que se evidencian algunos procesos y obstáculos presentados durante la aplicación de la prueba piloto.
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CAPÍTULO 1:
DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
1.1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En nuestras prácticas como docentes de matemáticas, percibimos que la enseñanza de las fracciones es uno de los temas difíciles de introducir en el aula de básica primaria. Esto lo ha constatado Fandiño (2009), no solo en su experiencia particular: ) “Entre todos los argumentos de matemática que tuve posibilidad de enseñar y de hacer aprender a mis estudiantes, puedo decir con seguridad que uno de los más complejos fue siempre el de las fracciones” (p. 29), si no con su trabajo investigativo sobre la fracción. En efecto, plantea complejidades importantes respecto a la fracción:
Dificultades en el reconocimiento de esquemas. Dificultad en la gestión del adjetivo “igual”. Dificultades en la gestión de equivalencia. Dificultad en la gestión de figuras no estándar.
Dificultades al pasar de una fracción a la unidad que lo genero.
Confusión en la idea de que a/a=1 (Escolano & Gairin, 2005 p. 23 y 24 ) No existen las fracciones impropias (Bonotto, 1993).
El “todo” o unidad no es número (Gairin, 2001).
Ahora bien, el docente de matemáticas dentro del aula de clase tiende a incluir ciertas prácticas que desconocen las dificultades mencionadas anteriormente y que en cambio no favorecen a la comprensión de la fracción parte-todo, ni de la fuerza del concepto mismo, lo que conlleva estrictamente a un manejo tecno-algorítmico de la fracción finalmente originando un obstáculo didáctico (Brousseau, 1993).
En este sentido, Giménez y Rico (2003), plantean obstáculos didácticos como el de la interpretación del concepto, que se refiere al énfasis que el docente hace al introducirlo en el aula; un ejemplo de éste es cuando el docente puede decir que cierto objeto es la tercera parte de un todo, pero no dice cómo puede obtener esa parte mediante la división del todo en tres partes equivalentes y que se tome una de ellas, estableciendo de esta manera una interpretación de parte-todo igual a la interpretación como operador, generando así una confusión en las distintas interpretaciones de la fracción: parte-todo, razón, cociente y operador establecidas por Llinares y Sanchez (1997).
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movilización y a la articulación cuasi-inmediatas de algunos registros de representación semiótica” (p. 18).
En “primaria las fracciones se centra principalmente en identificar las partes en las que se ha dividido la unidad y las partes que de él se toma, basada en su mayoría en representaciones gráficas que se ocupan primordialmente en el aspecto parte-todo” (Llinares & Sánchez, 1997, p. 37), pero el tipo de representación gráfica que es más utilizada en la enseñanza de la fracción corresponde a un mismo prototipo, habitualmente el cuadrado, el rectángulo y el círculo; es decir que se trabaja sobre contextos continuos y no en contextos discretos.
Al proponer tareas al estudiante como: Expresa la fracción de la parte sombreada (coloreada) de la siguiente figura
Exige al estudiante realizar transformaciones de conversión entre la representación gráfica y simbólica, generando inicialmente la interpretación de la representación gráfica con respecto a lo que representa el “todo” y lo que representan las partes coloreadas, para después establecer las partes iguales que forman el todo y el de las partes coloreadas y por último se representa de forma simbólica: se escribe debajo de una raya el número que es el resultado de contar el “todo”, y sobre la raya se escribe el número que es el resultado de contar las partes coloreadas, así: 14.
En consecuencia tal como lo plantea Escolano y Gairin (2004), la construcción del significado parte-todo mediante tareas como la descrita anteriormente, tienen las siguientes características: 1) La mayor parte del conocimiento se obtiene de forma visual. 2) Indefinición de la unidad. 3) Promueve el aprendizaje pasivo. 4) Se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas.
Ahora bien, al pasar la fracción de un registro de representación a otro (conversión) o al pasarlo en el mismo registro de representación (tratamiento), se presentan dificultes para los estudiantes, como el problema de no-congruencia propuesto por Duval (1999), el
Dichas representaciones que se presentan en las tareas, además apartan contextos como los discretos que propician la interpretación de las fracciones, cuyo camino es necesario para que los estudiantes se aproximen a la construcción del concepto de fracción.
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momento se le proporcionaba fracciones unitarias y el estudiante a través de la secuencia de contar, reconstruía la unidad (Llinares & Sánchez, 1997).
Dado los anteriores argumentos sobre obstáculos didácticos para la enseñanza y aprendizaje de las fracciones en el aula, se plantea la siguiente pregunta de investigación:
¿QUÉ ESTRUCTURA HA DE TENER UNA SECUENCIA DIDÁCTICA QUE CONTRIBUYA A UNA INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN COMO PARTE TODO EN CONTEXTOS CONTINUOS Y DISCRETOS EN ESTUDIANTES DE GRADO CUARTO, A PARTIR DE UNA ADAPTACIÓN REALIZADA DEL TRABAJO DE ADALIRA SÁENZ?
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 General
Estructurar una secuencia de actividades a partir de la propuesta de Sáenz y de los registros semióticos de Duval, que tenga como finalidad la comprensión de la fracción parte todo en contextos continuos y discretos, en estudiantes de cuarto grado.
1.2.2 Específicos
Adaptar los ejercicios de la propuesta de Sáenz en el diseño de la secuencia de actividades teniendo en cuenta los tipos de representación semióticas de Duval, que permitan la comprensión de la fracción en contextos continuos y discretos. Caracterizar los registros semióticos de representación, las transformaciones
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1.3 JUSTIFICACIÓN
Por la importancia social de las matemáticas, es preciso decir que la contextualización de las mismas es uno de los objetivos más importantes de la matemática en general, tanto así, que en todo momento de la vida se hace necesario mejorar procesos generales como lo son la comunicación y la ejercitación de procedimientos de tal manera que se obtenga un pensamiento lógico-matemático. Ahora bien, en acuerdo con los lineamientos curriculares de matemáticas (Ministerio de Educación Nacional [MEN], 1998), uno de los objetivos de las matemáticas es el de desarrollar los procesos generales para que los estudiantes razonen al momento de abordar situaciones y las modele, con medios de comunicación para la socialización y la institucionalización de cada parte del proceso, para llevar finalmente a cabo la ejercitación del uso de las matemáticas en otros contextos.
En la matemática se ve la importancia de las fracciones, puesto que su uso en la vida cotidiana es más común de lo que se puede imaginar, por el simple hecho de repartir se
maneja implícitamente el concepto de fracción, por ejemplo cuando se relaciona un
objeto con otro de mayor o menor tamaño para observar la equivalencia o la relación entre una parte y el todo. El estudiante está notablemente inmerso en las fracciones en la vida diaria, en momentos tan comunes como repartir algo en tantas partes (ya sean objetos en contextos continuos o discretos) realizar sumatorias de partes o unidades fraccionarias… etc. De esta manera el concepto de fracción en la escuela es uno de los tópicos en el que el docente debe hacer más énfasis.
Por lo anterior, al desarrollar en los estudiantes la apropiación y reconocimiento de la fracción como relación parte-todo, su aplicación en contextos cotidianos. De esta manera y a partir de las experiencias de los trabajos de grado sobre fracciones, se llega a la hipótesis que es un tema muy investigado en la didáctica de las matemáticas, por su nivel de complejidad, lo que nos motiva a proponer este trabajo de grado.
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1.4 ANTECEDENTES
A continuación se presentan algunos trabajos de grado (pregrado) y artículos de revistas de educación matemática, relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las fracciones como interpretación parte-todo, la representación de la unidad en contextos continuos y discretos, y la relación de la parte con el todo en los cuales se desarrollan una serie de dificultades o limitaciones.
En cuanto se refiere a la relación parte todo se han realizado investigaciones como la de las profesoras Lazcano y Martínez (2001) titulada “ACERCA DE DIFICULTADES PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES”, en la que se detectaron algunos problemas en los estudiantes para el reconocimiento de los atributos: 1. Considera las partes como totalidad y 2. El reconocimiento de las subdivisiones equivalentes, que fueron objetos de análisis para este artículo. A través del desarrollo de las actividades (propuestas en el artículo) solo en las respuestas de tres estudiantes se observaron evidencias del reconocimiento del primer atributo y en la respuesta de un estudiante se evidencio el reconocimiento del segundo. Por lo que se verifico que dichas dificultades persisten.
Así pues, los resultados a los que se llegan muestran la necesidad de efectuar una labor didáctica aún más profunda, de manera que se aborde más específicamente estos dos atributos de la fracción como relación parte todo y de esta forma permitir que los estudiantes los reconozcan, y se apropien de ellos. Por consiguiente se requiere afrontar preguntas como: ¿Cuáles son los elementos que subyacen en estos atributos?, ¿Qué destreza o habilidades necesita el estudiante para reconocerlos y apropiarse de ellos?, ¿Cuáles son las actividades que permiten superar en los estudiantes las dificultades en torna al reconociendo y apropiación de los mismos?
En este mismo sentido, reflexiones posteriores emergen algunas ideas que podrían contribuir para la estructuración de actividades que aborden estos atributos. Por ejemplo tener en cuenta que una de los problemas relevantes para reconocer subdivisiones equivalentes puede ser que el significado de los números está directamente relacionado a la cantidad de elementos, dado que los estudiantes tienen como referente el universo de los números naturales, y en la fracción para simbolizar la cantidad hay que utilizar dos números que representen la relación entre la parte y le todo.
En cuanto a la fracción en contexto discreto, el escenario es más complejo para ser enseñado. Esto debido a que el estudiante tendría que reagrupar para ver 3 en donde hay 6 o 9 o 12 y conservar de esta manera la congruencia en este contexto (la misma cantidad de elementos en cada subgrupo).
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problema?, debido a que la problemática que encontraron giraba en torno a las dificultades que se tienen en procesos de enseñanza y de aprendizaje en el ámbito escolar (Maza y Arce 1991, Llinares y Sánchez 1997).
En el trabajo de Beltrán (2005) llamado: “UNA SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FRACCIÓN: RELACIÓN PARTE-TODO GRADO SÉPTIMO” Presenta una problemática que surge en la publicación del archipiélago de los fraccionarios publicado por Vasco (1994). Se hace una alusión a la falta de comprensión en el concepto. Los siguientes son algunos ítems de problemáticas y limitaciones encontradas según los autores:
Falta de consideración de las distintas interpretaciones del concepto de fracción. El aislamiento de representaciones y modelos.
Ausencia de contextos significativos.
Para la introducción a fracciones no se comienza por la relación – parte todo que es muy importante.
Los autores finalmente concluyen que la secuencia contribuyó a que los estudiantes comprendieran los atributos de las fracciones en la experimentación parte – todo, ya que la secuencia permitió que los estudiantes aprendieran a escribir la fracción según la gráfica, además identificaron la congruencia entre las partes de una figura a partir de la representación gráfica y simbólica. principal a Vicenc Fond (2009), indicando que la fracción “es una situación que supera el aprendizaje pasivo gracias a la incorporación del proceso enseñanza-aprendizaje, entre otras”.
Los autores del anterior trabajo de grado también toman algunos de los siguientes aspectos: actividad del estudiante, el uso de materiales, problemas contextualizados, grupos de trabajos, uso de diferentes representaciones, las relaciones entre diferentes contenidos. etc.
Los objetivos que se plantean en este trabajo de grado es proponer una secuencia de actividades para una aproximación comprensiva de la noción de fracción, como la relación parte todo mediante el rompecabezas como herramienta heurística que represente el modelo sub-área.
El planteamiento del problema se enfoca desde la perspectiva de Payne: La conservación de la unidad que es atributo indispensable. Comprensión de la necesidad de áreas de igual tamaño.
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No reconocimiento de la igualdad de las partes en la división de la unidad. Dificultad de la representación gráfica y simbólica de la fracción.
En el trabajo de grado se presentan las siguientes afirmaciones:
“La enseñanza usual alrededor de la fracción en los primeros cursos de básica primaria no es significativa para los estudiantes, debido a que este proceso está centrado en la adquisición y uso mecánico de algoritmos que no permiten a los niños comprender, interiorizar y expresar la relación entre el todo y sus partes en situaciones cotidianas”, luego la pregunta orientadora dice ¿Qué características debemos tener en cuenta en el diseño de la secuencia de actividades de modo que nos proporcione elementos que enriquezcan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la fracción como relación parte-todo en contextos de sub-áreas?, dicho trabajo de grado muestra los obstáculos que tienen los estudiantes en el reconocimiento de subdivisiones equivalentes.
El trabajo de grado presentado por Fernández y Ortiz (2010), LA FRAGMENTACIÓN DE LA MATEMÁTICA ESCOLAR EN LOS PENSAMIENTOS. ELEMENTOS PARA LA REFLEXIÓN ENTORNO AL TRATAMIENTO DE LA FRACCIÓN, es un estudio de caso basado en la interpretación de la fracción en la escuela y los errores usuales que se presentan durante el proceso de aprendizaje; se centran especialmente sobre los errores cometidos por los estudiantes que están relacionados con el tratamiento algorítmico excesivo que se suele dar en los procesos de enseñanza iníciales.
Los autores mencionan que durante el proceso de aprendizaje de las fracciones los estudiantes presentan diferentes dificultades, algunas asociadas al entendimiento mismo del concepto de la fracción a partir de los atributos y las representaciones, y otros asociados a la forma como se enseñanza la fracción en la formación inicial. Por lo tanto es muy importante que los estudiantes construyan elementos pertinentes para entender la fracción a partir de procesos en los que se incluyan actividades orientadas a la estimación, como el desarrollo del sentido del orden y tamaño, y el desarrollo de las representaciones. Por tal razón se concluye que las dificultades que muestran los estudiantes son a causa de la familiaridad entre el paso de los números naturales a los fraccionarios, ya que no es fácil romper con la idea de número natural.
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1.5 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
La metodología de la investigación se sustenta desde la ingeniería didáctica, de acuerdo con Artigue (1998, p.36) “la ingeniería didáctica se caracteriza en primer lugar por un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza”.
De hecho según Douady (1996), el término “ingeniería didáctica”, es usada en el área de las matemáticas para dos funciones, una de ellas es como metodología de investigación, la cual se propone como:
un conjunto de secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de una clase (Douady, 1996, p. 241).
En los procesos de construcción de las ingenierías didácticas se encuentran varias dimensiones relacionadas como lo son:
a) la dimensión epistemológica: se relacionan estrechamente, con las características del saber puesto en funcionamiento.
b) la dimensión cognitiva: se asocia a las características cognitivas de los estudiantes.
c) la dimensión didáctica: se observan las características del funcionamiento del sistema enseñanza (Artigue, 1998, p. 40).
En la ingeniería didáctica como metodología de investigación De Faria (2006) distingue dos niveles, que son:
1. Nivel de micro-ingeniería: Son las que tienen como objetivo el estudio de un determinado tema. Ellas son locales y toman en cuenta principalmente la complejidad de los fenómenos en el aula.
2. Nivel de macro-ingeniería: Tienen como objetivo permitir ajustar la complejidad de las investigaciones de micro ingeniería con las de los fenómenos asociados a la duración de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje (Faria, 2006, párr 6)
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1.5.1 FASES
FASE 1.
Diseño de la investigación:
En esta fase se realizó el análisis preliminar de los conocimientos teóricos y didácticos de la fracción. Las condiciones bajo las cuales se presentara la situación didáctica efectiva y los objetivos de la investigación, entre otros.
En esta fase se incluyó la búsqueda y estudio de los referentes teóricos, y la construcción del marco teórico.
FASE 2.
Construcción y adaptación de las actividades
En esta fase se realizó el análisis a priori en la ingeniería didáctica, donde se hizo el diseño y la organización de la secuencia de actividades; en esta incluimos:
a) Elaboración de objetivos para cada actividad b) Creación de los criterios de evaluación.
c) Adaptación de la propuesta de Sáenz con los objetivos generales del trabajo de grado.
d) Estructuración de las actividades mediante las fases DECA.
FASE 3.
Análisis de las actividades
En esta fase se realizó el análisis a posteriori y validación; donde se analizó el conjunto de datos recogidos en la aplicación de la secuencia de enseñanza mediante los instrumentos de recolección de información, para poder establecer su validación o reestructuración de la propuesta.
FASE 4.
Propuesta final.
En esta fase se presentó la propuesta final con los respectivos ajustes para adaptar la propuesta en el aula, basados en el análisis de información, la formación como docentes en el área de las matemáticas, el desarrollo y construcción del concepto.
1.5.2 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
1.5.2.1 Entrevista
La entrevista basada en tareas:
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Las tareas están en el marco de unas actividades que se conformaron por un objetivo general, y dos específicos, además de una guía de tareas a desarrollar con sus respectivas indicaciones; para cada actividad se realizó una hipótesis de aprendizaje y se especificó el recurso que se utilizó, (la guía o algún material didáctico) que permitió el buen desarrollo de las tareas en particular y las actividades en general.
1.5.2.2 Protocolos de clase
Cada una de las actividades presentó un análisis y su debido registro, así como la evaluación de la pertinencia de la tarea y actividad. Esto se registró por medio de escritos y fotos que permitieron evidenciar algunos esquemas pictográficos, el lenguaje utilizado y el proceso empleado por los estudiantes para desarrollar las guías, así como también obstáculos que presentan los estudiantes en el momento de enfrentar las situaciones puestas.
1.5.2.3 Observación participante.
Cada una de las actividades constó de una aplicación e intervención participativa por parte de los practicantes, con el fin de orientar a los estudiantes a desarrollar las tareas propuestas atendiendo a los objetivos fijados.
1.5.3 INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2.2.4.1 Matriz de análisis.
Como método de análisis se planteó una matriz (Tabla 1), en la primera columna se ubicaron las actividades basadas en la propuesta del grupo DECA, que se establecen con las siguientes fases: Introducción, desarrollo, restructuración, profundización; en la segunda columna se proponen las representaciones semióticas propuestas por Duval (1993) y que son utilizadas en cada una de las actividades de cada una de las fases, las representaciones a analizar son las de lenguaje común, lenguaje aritmético y el registro pictográfico, además se observara si los estudiantes realizan transformaciones de conversión de: 1) lenguaje común al lenguaje aritmético, 2) esquema pictográfico a lenguaje aritmético y 3) esquema pictográfico a lenguaje común; en la tercera columna se tienen en cuenta los siete atributos propuestos por Suydam (1979) y Payne (1976) que son:
1. El todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie podría ser divisible.
2. La separación de las partes se pueden desarrollar por medio de una división de números determinados de partes, la suma total de estas partes forman el todo o la unidad (en el caso que se están manejando fracciones propias).
3. Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño- congruentes o equivalentes.
4. El todo o la unidad se conserva. 5. El control simbólico de las fracciones.
6. Las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos.
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Estos atributos se analizaron en cada una de las tareas de las actividades establecidas; en la última columna se presentaron las observaciones de cada una de las actividades, en las fases y su relación con los obstáculos didácticos planteados en la aplicación de la actividad.
1.5.4 POBLACIÓN
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Tabla 1: Matriz de análisis.
ACTIVIDADES REPRESENTACIONES (Duval, 1993) ATRIBUTOS
(Suydam y Payne, ) unidad (en el caso que se están manejando fracciones propias).
3. Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño- congruentes o equivalentes.
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CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
La teoría que respalda este trabajo se orienta según tres vías: 1) la histórica que permite evidenciar la evolución del concepto del objeto matemático (la fracción), 2) la didáctica la cual tiene su soporte en la teoría de las representaciones de Duval (1999) y 3) la metodología propia de la construcción e implementación de las actividades.
Números Racionales se establece como teoría estructural que se conoce hoy día. (Rico, 1984).
2.2 REFERENTE DIDÁCTICO
2.2.1
Actividades de Adalira Sáenz (2010)
1) FRACCIONES EQUIVALENTES.
Esta actividad presenta los siguientes elementos: deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
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2) FRACCIÓN PARTE 1:1
Esta actividad presenta los siguientes elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
CONTEXTO: Continuo. ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo. subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos, triángulos.
3)FRACCIÓN PARTE-TODO
CONEXTO DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN: REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
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4) FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO.
Esta actividad presenta los siguientes elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN:Transformación de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo. subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área. FIGURAS: Objetos y conjunto de objetos.
5) FRACCIÓN PARTE-TODO. COMO PARTE DE UN NÚMERO.
Esta actividad presenta los siguientes elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN: REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
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6) FRACCIÓN PARTE-TODO REPARTO.
Esta actividad presenta los siguientes elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN: REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo.
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Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o
equivalentes en área. FIGURAS:
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2.2.2 Atributos de la fracción
Las fracciones vistas como una relación parte-todo se desemboca en los atributos que se ven deben tener en cuenta como punto de partida al momento de trabajar con los
fraccionarios. Lo que conlleva a la utilización de atributos necesarios para llegar al manejo de los contextos (continuo y discreto de la fracción) se basa en el conocimiento de los atributos en una relación parte-todo. De esta manera el estudiante debe conocer que el todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie podría ser divisible, además la separación de las partes se pueden llevar a cabo por medio de una división de números determinados de partes y que la suma total de estas partes forman el todo o la unidad (en el caso que se están manejando fracciones propias), las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño, y algo que es muy importante es que el todo o la unidad se conserva.
Estos atributos que fueron propuestos por Suydam (1979) no demoraron mucho en ser ampliadas por Payne (1976) quien agrega algunos atributos: el control simbólico de las fracciones, las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos, las fracciones mayores que la unidad y las subdivisiones equivalentes.
De la misma manera dichos atributos se ven representados en la utilización de contextos (forma de representación de la unidad), hacen que el estudio de las fracciones se
convierta en una materia con una forma de análisis un poco más delicada. Debido a lo anterior se describen dos formas de representar la una unidad, “continua y discreta”. Por las primeras se refiere a las formas de representar la unidades de forma cerrada única, la idea de única se da cuando se dice que la unidad no está compuesta por varios
25 Figura
2.2.3 Representaciones semióticas
Al estudiar la fracción como parte todo, es necesario estudiar los significados de cada uno de sus aspectos. Estos aspectos van desde las representaciones pictóricas, numéricas y verbales de la fracción, hasta el análisis de cómo se llega al concepto o Noética; Según los estudios de R. Duval (1999) se pueden abordar tres actividades cognitivas ligadas a la Semiosis y que en este trabajo de grado contextualiza con el tema de las fracciones:
La formación de una representación identificable: Para conseguir la formación de una representación identificable, debe hacer una selección de rasgos y de datos de tema de las fracciones. Tal selección depende de unidades y reglas de formación y
características especiales que son propias del campo semiótico en el cual se produce la representación.
Esta formación respetará las reglas del registro y así estas asegurarán “en primer lugar, las condiciones de identificación y de reconocimiento de la representación y, en segundo lugar, la posibilidad de su utilización para los parámetros. Son reglas de conformidad, no son reglas de producción efectiva de un sujeto.” (Duval, 1993) El tratamiento de una representación
Al pensar en el tratamiento de una representación, se debe pensar en una transformación que se lleva a cabo dentro del mismo registro donde ha sido formada la representación de la fracción. El tratamiento es una transformación interna a un registro.
“Naturalmente, existen reglas de tratamiento propias de cada registro (o campo). Su naturaleza y su número varían considerablemente de un registro a otro” (Duval, 1999-b, p. 178). Así, tomando como ejemplo el lenguaje aritmético, tenemos por ejemplo, [dos tercios de la unidad] el cual está en un campo matemático como un número
fraccionario. La fracción puede verse siguiendo con el mismo campo como: expresión aritmética; o bien con la división de una unidad o una medida o una razón
permaneciendo con el número fraccionario en el mismo campo de representación, provocando transformaciones de tratamiento.
La Conversión de una representación.
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Con el lenguaje gráfico podemos considerar la representación numérica de la parte de un todo, vemos que es una expresión aritmética que al ser transformada a otro registro puede representar una razón entre dos medidas, o bien, transformarla a un registro geométrico como la medida de lados menores que uno. Así, se puede notar que a pesar que los registros de representación sean diferentes, la idea es que allí hay una relación entre dos números a y b que pertenecen a los naturales tal que a/b, no se abandona. Así pues: “La conversión es una actividad cognitiva diferente e independiente de la del tratamiento” (Duval, 1999-b, p. 178).Para Duval, en el momento en que los pasos de una representación a otra se dan de manera espontánea, son congruentes y deben cumplir con tres condiciones:
Correspondencia semántica entre las unidades significantes que las constituyen. Igual orden posible de aprehensión de estas unidades en las dos representaciones, Convertir una unidad significante en la representación de partida de una sola unidad significante en la representación de llegada.
Pero cuando no se cumple alguna de las tres condiciones, entonces diremos que las representaciones no son congruentes entre ellas y el pasar de una a la otra no es espontáneo.
Igualmente puede ocurrir que dos representaciones sean congruentes en un sentido de conversión y no congruentes en la conversión inversa. Por ejemplo la representación gráfica cartesiana de dos cuadrantes determinados respectivamente por los semi-ejes y positivos, y negativos, son congruentes si se pasa de la escritura algebraica al gráfico, pero ya no lo son en el plano inverso. (Duval, 1999-a, p. 16).
Antes de continuar, merece atención destacar algo que es importante. Como ya hemos visto, las transformaciones de tratamiento y de conversión son independientes; sin embargo, la última puede confundirse con actividades que se encuentran relacionadas a ella: la codificación y la interpretación.
Duval (1999-b, p. 179) plantea que la interpretación requiere un cambio de marco teórico, o de un cambio de contexto. Este cambio no implica un cambio de registro, sino que con frecuencia moviliza analogías; en cuanto a la codificación menciona que es la trascripción de una representación en otro sistema semiótico distinto de aquél donde está dada.
Existen dos razones que justifican la introducción y consolidación de la relación parte-todo y su representación según Escolano (2004):
Eludir el proceso de medida con objetos tangibles (dificultad del propio proceso de medida, gestión del aula por la utilización de material, control de la diversidad de resultados obtenidos, prioridad de la enseñanza del sistema métrico decimal etc.). Abreviar los periodos de instrucción: el significado parte-todo permite una introducción rápida de la representación simbólica de la fracción y además con elevados niveles de éxito a corto plazo.
Tomando los lineamientos curriculares referentes a los procesos de visualización y de razonamiento discursivo en la actividad matemática, tomaremos los siguientes: La resolución de problemas: La actividad de resolver problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático.
En diferentes propuestas curriculares recientes se afirma que la resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas. Por esto, debe ser un objetivo
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constituya aparte del currículo, deberá cubrirlo en su totalidad y propiciar un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos.
A medida que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el uso de las matemáticas, desarrollando una mente constante que van aumentando su capacidad de comunicar matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel.
El razonamiento: En el razonamiento matemático es necesario tener en cuenta dos aspectos: el primero la edad de los estudiantes y su nivel de desarrollo, y el segundo, que cada logro alcanzado en un conjunto de grados se retome y amplíe en los conjuntos de grados siguientes. Así mismo, se debe partir de los niveles informales del
razonamiento en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más elaborados del razonamiento, en los conjuntos de grados superiores.
Además, conviene enfatizar que el razonamiento matemático debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes y por consiguiente, este eje se debe articular con todas sus actividades matemáticas.
La comunicación: Una necesidad común que tenemos todos los seres humanos en todas las actividades, disciplinas, profesiones y sitios de trabajo es la habilidad para
comunicarnos. Los retos que nos plantea el siglo XXI requieren que en todas las profesiones científicas y técnicas las personas sean capaces de:
Expresar ideas hablando, escribiendo, demostrando y describiendo visualmente de diferentes formas.
Comprender, interpretar y evaluar ideas que son presentadas oralmente, por escrito y en forma visual.
Construir, interpretar y ligar varias representaciones de ideas y de relaciones.
Hacer observaciones y conjeturas, formular preguntas, y reunir y evaluar información. Producir y presentar argumentos persuasivos y convincentes.
En los últimos años se ha incrementado el interés de los investigadores por estudiar cómo comunican ideas matemáticas los alumnos y qué factores facilitan o impiden el desarrollo de habilidades comunicativas.
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El punto de partida de la modelación es una situación problemática real. Esta situación debe ser simplificada, idealizada, estructurada, sujeta a condiciones y suposiciones, y debe precisarse más, de acuerdo con los intereses del que resuelve el problema. Esto conduce a una formulación del problema (que se pueda manejar en el aula), que por una parte aún contiene las características esenciales de la situación original, y por otra parte está ya tan esquematizada que permite una aproximación con medios matemáticos. Los datos, conceptos, relaciones, condiciones y suposiciones del problema enunciado matemáticamente deben trasladarse a las matemáticas, es decir, deben ser
matematizados y así resulta un modelo matemático de la situación original. Dicho modelo consta esencialmente de ciertos objetos matemáticos, que corresponden a los “elementos básicos” de la situación original o del problema formulado, y de ciertas relaciones entre esos objetos, que corresponden también a relaciones entre esos “elementos básicos”.
La elaboración de procedimientos: También se hace necesario que el estudiante razone y se comunique matemáticamente, además que elabore modelos de todos los sistemas complejos de la realidad en la que está. Por su puesto que con esto se espera también que haga cálculos correctamente, que pueda seguir instrucciones, que utilice de manera correcta la calculadora para efectuar operaciones, que tenga la facilidad de transformar expresiones algebraicas desde una forma hasta otra, que domine la capacidad de medir correctamente longitudes, áreas, volúmenes, etc.; en pocas palabras se necesita que el estudiante ejecute tareas netamente matemáticas que suponen el dominio de los
procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. El aprendizaje de procedimientos o en otras palabras “modos de saber hacer” es
realmente muy importante en el currículo ya que éstos facilitan aplicaciones de las matemáticas en la vida cotidiana.
2.3 METODOLOGÍA DE LAS ACTIVIDADES
Con el fin de desarrollar los procesos anteriormente mencionados se estructura una secuencia didáctica tomando el modelo DECA. Este modelo permite una sucesión de actividades que van desde las de inicio hasta las de evaluación. Según Guerrero, Sánchez y Lurduy (2005) todo el proceso no sugiere que la interacción social en clase sea un aspecto central en la resolución de problemas, pero todo el proceso de aprendizaje del estudiante se debe llevar a cabo mediante la guía del profesor o del tutor o de sus propios compañeros de clase. Tomando la estructura de actividades que se explica en todo su documento se llevaran a cabo las actividades mediante las siguientes fases:
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2. Desarrollo y restructuración: donde se va a tener un primer contacto y manejo de los contenidos trabajados en la unidad didáctica, de igual forma se espera realizar un cambio en los esquemas cognitivos, donde se logre la reflexión a partir de la superación del conflicto cognitivo aparecido con las actividades de iniciación.
3. Aplicación y profundización: donde se vuelven a retomar los conocimientos ya antes adquiridos pero a partir de otra situación en la cual se logre la reflexionar sobre las características, esenciales de esos contenidos y así ampliar el conocimiento conseguido, para trabajar nuevas situaciones y contextos.
30 Actividad Nombre de la
actividad Objetivo de la actividad
Número
Atributos de la Fracción Suydam (1979) y Payne (1976)
31
Registro semiótico: la lengua común.(un medio)(la mitad)
5 2 Transformación del tratamiento.
Las relaciones "parte-todo" en contextos continuos y discretos.
Las partes también se pueden considerar como totalidad.
32
Tabla 2: Matriz general de la secuencia de actividades.
ProfundizaciónLas relaciones "parte-todo" en contextos continuos y discretos. (atributo)(PAYNE, 1976).
El número de partes no es necesariamente idéntico al de cortes.
33
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICO
3.1.1
Objetivo general profesor
Evidenciar los conocimientos previos que poseen los estudiantes acerca de la fracción como relación parte-todo.
3.1.1.2
Objetivos específicos profesor
Implementar una actividad que permita indagar sobre los conocimientos básicos que poseen los estudiantes referentes a la fracción como relación parte-todo.
Adaptar una actividad que permita empezar la propuesta de la secuencia de actividades que potencialice la fracción como parte-todo en contextos continuos y discretos. conocimiento sobre temas básicos para trabajar la fracción como relación parte-todo en contextos continuos y discretos.
3.1.3
Hipótesis de aprendizaje
El estudiante al enfrentarse a las situaciones utilizará sus conocimientos previos que le ayudaran a resolver cada uno de los problemas al que se enfrente, mostrando así sus dificultades y virtudes. En este instante del proceso se evidenciara el punto exacto de un inicio de una secuencia de actividades.
3.1.4
Descripción
34
La guía se desarrollará de manera individual, sin orientación por parte del docente puesto que esto puede perjudicar el desarrollo de los ítems. Cada punto será justificado por los estudiantes para evidenciar procedimientos y se pedirá a los estudiantes registrar y escribir su procedimiento así llegue a ser errado.
3.1.5
Tarea
3.2 ACTIVIDAD DE INTRODUCCIÓN “EL TANGRAM”
3.2.1
Objetivo general profesor
Implementar el tangram como instrumento para establecer relaciones de equivalencia entre cada una de las piezas del tangram.
3.2.1.2
Objetivos específicos profesor
Proponer las posibles relaciones entre las piezas del tangram, para que los estudiantes hallen relaciones de equivalencia.
Orientar a los estudiantes a encontrar características y equivalencias entre las piezas indicadas para establecer criterios de equivalencia entre ellas.
3.2.2
Objetivo general estudiante
Establecer relaciones de equivalencia entre las piezas del tangram con el fin de hallar figuras equivalentes en área pero no en forma.
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Establecer relaciones de equivalencia entre las piezas del tangram inicialmente mediante la sobre posición de fichas.
Evidenciar que se pueden encontrar piezas del tangram equivalentes sin ser estas congruentes.
3.2.3
Hipótesis de aprendizaje
El estudiante al abordar la situación propuesta inicialmente tomará como estrategia la sobre posición de las figuras o piezas del tangram dada la unidad o figura de partida, esto con el fin de cubrir el todo sin que falten partes de esta, es decir el estudiante tendrá un primer acercamiento al atributo de la fracción “las partes cubren en totalidad el todo”.
En un segundo momento el estudiante realizará un registro escrito utilizando un lenguaje común para establecer relaciones entre las piezas del tangram, realizando de esta manera la introducción a la fracción como relación parte-todo.
Ahora bien al establecer las diferentes relaciones entre las piezas del tangram con la unida, el estudiante identificará que las subdivisiones hechas al todo no son todas congruentes, y que se puede establecer una relación de equivalencia entre las subdivisiones realizadas en las piezas que no son iguales pero sin embargo pueden ser equivalentes.
3.2.4
Descripción
Para introducir el tema de las fracciones es primordial que los niños puedan manejar la equivalencia entre dos figuras rompiendo la idea de que son equivalentes si son la misma figura con las mismas dimensiones. Ahora bien, lo que se busca con la actividad del tangram es que el niño pueda reflexionar sobre la equivalencia y darse cuenta que un triángulo puede ser equivalente a un cuadrado mediante el concepto de área. En la fracción como parte-todo, la representación gráfica es un factor que puede llevar al niño a confusiones o al contrario a afianzar más el tema, esto mediante las representaciones semióticas se interpreta como un tipo de transformación. Si el niño ve un cuadrado divido en dos partes congruentes mediante un línea paralela a uno de sus lados y tomado uno de sus lados va a decir que tomo ½ del cuadrado, pero si se plantea el mismo cuadrado dividido en dos partes congruentes mediante una línea diagonal el niño tendrá dificultades porque la representación de ½ como un rectángulo y no como un triángulo.
36
3.2.5
Tarea
TRABAJANDO CON EL TANGRAM
1. Utilizando el tangram discute con tu grupo: a. ¿Qué piezas equivalen al cuadrado? b. ¿Qué piezas equivalen al paralelogramo?
c. ¿Qué piezas equivalen a uno de los triángulos grandes? d. ¿Qué piezas equivalen al triángulo mediano?
e. ¿Qué pieza equivale a los dos triángulos pequeños? 2. Crea otras relaciones entre las piezas del tangram.
3. Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene un área equivalente a la del triángulo mediano.
4. Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene un área equivalente a la del paralelogramo.
3.2.6.
Recursos
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3.3 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1 “HABLEMOS DE
ÁREAS”
3.3.1
Objetivo general profesor
Fomentar la comprensión de congruencia entre figuras y equivalencia entre áreas.
3.3.1.2
Objetivos específicos profesor
Desarrollar el concepto de equivalencia entre áreas y congruencia de figuras mediante la utilización de material didáctico tangible.
Proporcionar a los estudiantes los medios y recursos necesarios para elegir un registro semiótico y representar dicho concepto en el registro elegido.
3.3.2
Objetivo general estudiante
Partir de una representación semiótica y realizar los registros posibles. Evidenciar que para identificar si una subdivisión representa la misma parte
del todo no es necesario que las partes sean congruentes pues estas pieden ser equivalentes.
3.3.3
Hipótesis de Aprendizaje
El estudiante mediante el uso del geoplano podrá evidenciar que las formas o figuras que se presentan no son congruentes, sin embargo al realizar conteo de unidades cuadradas se identificara una equivalencia de área más no de congruencia en las formas.
38
En un segundo momento dichos dobleces pasaran de utilizar como registro semiótico el esquema pictográfico para realizar un registro en un lenguaje común (un medio, un cuarto) y finalmente un registro en el lenguaje aritmético
Al desarrollar los dobleces con la hoja y dividir un cuadrado en dos partes congruentes se pueden llevar a cabo 2 tipos de división de la figura: la primera mediante la división de una línea paralela a uno de sus lados y la otra de forma diagonal. Doblar la hoja permite que el estudiante interiorice el concepto de congruencia y equivalencia; son congruente las figuras que comparten todas las relaciones, como forma, tamaño, área, numero de lados etc., pero podrían ser equivalentes cuando son dos figuras de diferentes dimensiones, diferentes número de lados pero comparten una relación que es el área, así de esta manera el trabajo con los dobleces de la hoja de papel permite ver estas dos diferencias y saber que puedo hallar ½ de una figura cualquiera (cuadrado)hallando subdivisiones equivalentes.
Construir un reloj permite una división en partes perfectamente congruentes cuando se manejan las circunferencias, siempre es de notar que cuando se propone una subdivisiones equivalentes, utilizando y desarrollando así las competencias matemáticas en su totalidad.
33.4
Descripción
La actividad se dividirá en tres momentos:
En un primer momento se presentará a los estudiantes la actividad de los dobleces de la hoja, tal como se especifica en la guía el docente ira realizando el mismo procedimiento y orientando a los estudiantes para que sigan las indicaciones de la guía, de esta manera cada estudiante registrará lo que observa (relaciones entre los dobleces) en la guía.
39
docente dividirá esta en partes congruentes mediante la división de ángulos, durante la actividad el docente hará preguntas referidas a estas subdivisiones tales como: la forma en que se dividió la circunferencia y el por qué se garantiza que estas subdivisiones realizadas sean partes congruentes.
En un tercer momento se toma como recurso didáctico el geoplano, que inicialmente en la guía se toma para ser representado mediante un dibujo, sin embargo la tarea del estudiante será la de construirlo con la ayuda en la casa.
Con las bandas de caucho según las indicaciones de la guía cada estudiante mediante el conteo de unidades cuadradas del geoplano construirá las figuras indicadas, en estas figuras se incluirán subdivisiones con áreas equivalentes
3.3.5
Tarea.
FIGURAS CONGRUENTES Y ÁREAS EQUIVALENTES
1.
CON LA HOJA:
Siga las siguientes instrucciones:
Tome una hoja rectangular y dóblela en la mitad
Una la punta izquierda con su correspondiente de la derecha y argumenta: ¿Por qué son congruentes las dos figuras formadas? (relacione lados correspondientes)
Con una hoja de forma cuadrada doblela por la mitad
¿Que figuras obtiene? ¿son congruentes?, argumente mediante relaciones correspondencia. anterior y dibújelo para cada caso.
40 internas sean iguales que las del cuadrado.
b. Construya un rectángulo cuyas unidades internas sean las mismas que un cuadrado
c. Construya un triángulo, un rectángulo y un cuadrado con las mismas unidades internas.
d. Dentro de un cuadrado construya dos figuras con la misma cantidad de unidades cuadradas.
e. Construya las siguientes figuras y estime la cantidad de unidades cuadradas que se encuentran en el interior de las partes sombreadas en cada una de ellas. Argumente cuales de ellas se encuentran divididas en áreas equivalentes y por qué.
4.
a. Encuentre el área de cada una de las figuras. ¿que observa? b. Describa el proceso
c. ¿Qué puede decir de las figuras que tienen diferente forma pero que tienen área equivalente?
3.3.6 Recurso
El material didáctico que se utiliza para esta actividad es:
Para el desarrollo de las actividades propuestas se utiliza una guía anexo (3) que permite que el estudiante establezca relaciones y tenga herramientas para cumplir con los objetivos propuestos.
41
3.4 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2“IDENTIFICANDO LA
PARTE”
3.4.1
Objetivo general profesor
Implementar una actividad que permita al estudiante identificar la unidad fraccionaria en contexto continuo y discreto.
3.4.1.2
Objetivos específicos profesor
Incluir situaciones que permita al estudiante realizar transformaciones de conversión.
Implementar dos ítems en el que se trabaje la unidad fraccionaria haciendo uso del contexto continuo y discreto simultáneamente.
3.4.2
Objetivo general estudiante.
Identificar la unidad fraccionaria en contexto continuo y discreto haciendo uso de subdivisiones equivalentes.
3.4.2.1
Objetivos específicos estudiante
Realizar subdivisiones equivalentes de un todo en contexto continuo haciendo uso de áreas equivalentes y figuras congruentes, para que estas sean divididas en partes equitativas.
Realizar transformaciones de tratamiento y diferentes registros.
Identificar mediante el uso de esquemas pictográficos el contexto continuo y discreto de la fracción.
3.4.3
Hipótesis de Aprendizaje.
42
2/5 y 3/5, de tal manera que el niño reconocerá y comprenderá que toda unidad dividía en número de partes tendrá una unidad fraccionaria que podrá utilizar. Pero algo más allá de una actividad de reconocimiento es una transformación del lenguaje con el que se puede representar la parte de una fracción, lo que el niño va a realizar es representar la misma parte mediante una gráfica, un número o un conjunto de palabras que representa la parte.
Regresando al énfasis en la unidad fraccionaria Adalira Sáenz propone una unidad fraccionaria que cambia dependiendo del cambio de la unidad, se ejercita así la comprensión y el razonamiento de la mente cuando el niño al notar que ahora la unidad es una parte de la unidad original propone un valor para la unidad fraccionaria que queda fija como se ve en el ejercicio. Así pues se puede evidenciar con este ejercicio que un niño comprende a la perfección el concepto de lo que es la unidad fraccionaria.
Sáenz también propone la actividad donde se debe identificar la fracción podada de un terreno con diferente número de personas, es decir, que si son x personas que deben podar cierta área del pasto cual es la parte que debe podar cada persona, esto es un ejercicio de práctica para dominar el tema de la unidad fraccionaria, de la misma forma que lo hace la actividad del grupo de niños.
En esta actividad la unidad es un grupo de niños (conjunto de objetos) que simulan una unidad en el contexto discreto y donde se debe encontrar una unidad fraccionaria dependiente del cambio en la cantidad de niños en cada subgrupo. Luego de esto se implementan ejercicios donde los niños dividen una unidad (continua o discreta) afianzando así el manejo de las partes de una unidad.
Mediante la implementación del contexto continuo y discreto simultáneamente el estudiante establecerá las relaciones correspondientes para identificar la unidad fraccionaria en los dos contextos sin llegar estos a ser apartados (contextos continuos y discretos).
En la guía se incluye un ejemplo de la unidad fraccionaria propuesto en las actividades de Sáenz, tomando un todo y posteriormente ir modificando ese todo e identificando la unidad fraccionaria. En ese momento el estudiante ejercita la comprensión y el razonamiento de la mente cuando nota que ahora la unidad es una parte de la unidad origina, propone un valor para la unidad fraccionaria que queda fija como se ve en el ejercicio.
43
3.4.4
Descripción.
Se iniciará con la presentación de la guía, en el primer ítem se presenta
un cuadro que tiene tres columnas, en donde se presenta un registro
pictográfico, un esquema pictográfico, un lenguaje común y un
lenguaje aritmético. De esta manera la primera indicación dada por el
docente será completar la tabla de acuerdo al primer ejemplo propuesto
en la tabla, adicionalmente el docente orientará el proceso de los
estudiantes mediante la implementación de un ejemplo real, en esta
parte se tomará una manzana, y se realizarán diversos cortes con el fin
de que el estudiante observe y además realice el correspondiente
registro en lenguaje común.
Se presentará a los estudiantes un esquema pictográfico que representa
la unidad o el todo en un contexto continuo, y se relaciona con el
número que representa la unidad, el 1.
Posteriormente se pedirá a los estudiantes completar la actividad
propuesta, gradualmente el docente intervendrá durante el desarrollo de
la actividad.
La actividad presentará ítems, enfocados a diferentes registros, en cada
uno de estos ítems los estudiantes tendrán la correspondiente
orientación de la actividad.
44
¼
La mitad de estas
canicas
1/3
2.
El rectángulo se considera como un “todo” y numéricamente se simboliza 1.
Conteste las siguientes preguntas teniendo en cuenta el siguiente ejemplo: A es 𝟏𝟓 de𝟓𝟖 ó 𝟏𝟖de 1
En este caso cuando se quiere averiguar qué parte es A de 𝟓𝟖identificamos la
45
y nos damos cuenta que en este caso A equivale a 1 de 5 partes es decir 𝟏𝟓. Y A equivale a𝟏𝟖de 1 o del todo inicial.
A es de 12 ó de 1. A es de 38 ó de 1. A es de 28 ó de 1. A es de 78 ó de 1. A es de 34 ó de 1. A es de 2
4 ó de 1. A es de 18 ó de 1.
3. ¿Qué parte del césped podara cada persona si se reparten el trabajo por igual?
a. 2 personas: b. 4 personas c. 8 personas d. 16 personas
4. Una clase de 24 estudiantes es dividida en grupos. ¿Qué fracción de la clase es cada grupo si hay:
46 5. Divide la figura según se indica.
En séptimos En octavos En cuartos
1/3 3/5
6. Tomando como unidad un conjunto de objetos, diga a que parte de la unidad corresponden las figuras sombreadas o sombree según el caso.
Un sexto
1/4
Dos octavos
Tres quintos
47
Tres cuartos tres quintos
7. Tomando como unidad la figura ¿a qué parte de área corresponde la parte sombreada?
En letra: _______________ En letra:_________ _____________ En número: _____________ En número: __________
En letra: _______________ En letra: ____________ En número: _____________ En número: _________
48 En letra: ___________________
En número: ________________ 8. Completa el cuadro:
Representación numérica Representación grafica Representación verbal
3 5
Ocho novenos de pastel
49
3.4.6
Recurso
La guía (anexo 4) que permite orientar y ejemplificar algunos conceptos tales como la de unidad fraccionaria, subdivisiones equivalentes (el todo se puede dividir en el número de partes pedido, estas partes son congruentes en forma o equivalentes en área, reparto equitativo).
50
3.5 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3 “CUANDO ES MAYOR
QUE LA UNIDAD”
3.5.1
Objetivo general profesor
Implementar una actividad que permita al estudiante abordar situaciones en las que el número de subdivisiones o repartos requiera utilizar más de una unidad.
3.5.1.2
Objetivos específicos profesor
Implementar situaciones en las que el estudiante utilice más de la unidad para resolverlas.
Proponer graficas en las que el estudiante por medio de la visualización identifique fracciones mayores que la unidad.
3.5.2
Objetivo general estudiante
Identificar como fracciones impropias aquellas en las que el número de subdivisiones o repartos requiera utilizar más de una unidad.
3.5.2.1
Objetivos específicos estudiante
Realizar registros semióticos y transformaciones de tratamiento en cada una de las actividades propuestas.
Identificar fracciones mayores que la unidad en contexto continuo y discreto.
3.5.3
Hipótesis de Aprendizaje.
En un primer momento mediante una situación de reparto equitativo el estudiante identificará que una sola pizza no alcanza para realizar un reparto entre el número de partes o porciones pedidas, por tanto es necesario tomar otra pizza. Lo que permite al estudiante encontrar la razón por la cual se hace uso de fracciones impropias.
