TEMA 1: ÁLGEBRA MATRICIAL

TEMA 1: ÁLGEBRA MATRICIAL

Una matriz es una ordenación numérica en filas y columnas, donde cada elemento queda perfectamente determinado nombrando su fila y su columna.

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm n m

a a a

a a a

a a a _

 

 

 

 

 

 

Los números a_ijse llaman elementos o términos de la matriz. Los números naturales i y j representan respectivamente la fila y la columna a las que pertenece el elemento a_ij.

Todos los elementos de la misma fila tienen en común el primer subíndice y todos los elementos de la misma columna tienen en común el segundo subíndice.

Para expresar una matriz se hará con A, (A), ó (aij).

Se llama orden o dimensión de una matriz al número de filas y de columnas que tiene dicha matriz, y se escribe n m (n filas y m columnas)

En una matriz n×n (con mismo número de filas que columnas):

Se llama diagonal principal la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho. Sus elementos son a_ii.

Se llamará diagonal secundaria a la que va del extremo superior derecho al extremo inferior izquierdo. Sus elementos cumplen que i  j n 1.

1. T IPOS DE MATRICES

a) Matriz cuadrada: n m b) Matriz rectangular: n m c) Matriz fila o vector fila: 1 m



^a₁₁ ^a₁₂ ^a_1m



d) Matriz columna o vector columna: n1

11 21

1 n

a a

a

 

 

 

 

 

 

e) Matriz nula: a_ij  0 i,j.

f) Matriz opuesta: Es la que se obtiene cambiando el signo de todos los elementos de A. Se representa por -A. ^{Si A}

 

^{aij    A}

 

^{aij .}

Para matrices cuadradas tenemos:

g) Matriz diagonal: Matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, menos los de la diagonal principal que pueden o no serlo.

0 i j aij   

11 22

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 _nn

a a

a

 

 

 

 

 

 

h) Matriz escalar: Cuando siendo diagonal, los elementos de la diagonal son siempre iguales.

i) Matriz unidad: Matriz escalar siendo los elementos de la diagonal la unidad.

In= Identidad o unitaria En general:

i j i j i j

  

  

 

  

 

j) Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada donde los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.

ij 0;

a   i j

11

21 22

31 32 33

1 2 3

0 0 0

0 0

0 0

n n n nn

a

a a

a a a

a a a a

 

 

 

 

 

 

 

 

k) Matriz triangular superior: Matriz cuadrada donde los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos.

ij 0;

a   i j

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0

0 0

0 0 0

m

m

m

nn

a a a a

a a a

a a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Al conjunto de las matrices de orden n×m se nota _{n m} . Cuando las matrices son cuadradas _n.

2. MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los términos que ocupan el mismo lugar (homólogos) son iguales.

ij ij , A B a b i j

3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1 SUMA DE MATRICES

Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan el mismo orden.

:

( , )

n m n m n m

A B A B C

  

     

   (Ley de composición interna¹)

Dadas ,A BM_{n m} la matriz suma es otra matriz CM_{n m} tal que c_ij a_ijb_ij i,j . Es decir, para sumar dos matrices, sólo tenemos que sumar los elementos homólogos.

Ejemplo:

2 1 0 6 5 4 8 6 4

7 3 1 1 2 2 6 5 3

  

     

 

     

     

La diferencia de dos matrices se define como:^{A B   A}

 

^{B .}

Ejemplo:

2 1 0 6 5 4 4 4 4

7 3 1 1 2 2 8 1 1

   

     

      

     

P R O P I E D A D E S D E L A S U M A

Sumar matrices es sumar números reales, por lo tanto tiene todas las propiedades de los números reales.

a) Asociativa: ^A



^{B C}

 

^{ A B}



^C

b) Conmutativa:A B  B A

c) Elemento neutro: ^A

 

^{0  A}, la matriz nula.

d) Elemento simétrico: -A; la matriz opuesta. ^{A }

   

^{A  0}

3.2 P RODUCTO DE ESCALAR POR MATRIZ

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica cada término de la matriz por ese número.

:

( , ) ·

n m n m

A A

 

 

    

 (Ley de composición externa²)

1 Una ley de composición interna sobre un conjunto no vacío A, es cualquier aplicación de AxA en A, que a cualquier par de elementos de A le hace corresponder un único elemento de A.

 

_{ij n m} entonces



· _ij



A a M _  A a

Se puede hacer el proceso contrario. Si observamos que una matriz está multiplicada por un número, puedo sacar ese número de la matriz.

Ejemplo:

2 1 0 4 2 0

2· 7 3 1 14 6 2

 

   

   

   

P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O P O R E S C A L A R

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: ^·



^{A B}



^{·A·B}

b) Distributiva respecto a la suma de escalares:



 



^·A^·A^·A c) Asociativa mixta: ^{ ·}



^·A

 

^{  ·}



^A

d) Elemento neutro, unitario o unidad:1 A  A



_{n m} ^{, ,·}



donde hemos definido una ley de composición interna llamada suma, y una ley de composición externa llamada producto por escalar, se dice que tiene estructura de espacio vectorial por cumplir estas ocho propiedades.

3.3 P RODUCTO DE MATRICES

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

En tal caso, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda, del siguiente modo:

1

, ·

·

n p p m n m

p

ij ik kj

k

A B C A B

c a b

  



    





Ejemplo:

2 1 1 2 3 2 5 4

0 3 · 4 1 2 12 3 6

     

       

     

2 Una ley de composición externa en A con dominio de operadores K es cualquier aplicación de KxA en A que atribuye a todo par (k,a) un elemento de A.

P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O

a) Asociativa: A B C(  )(A B C )

b) ¡No es conmutativa! 2×3, 3×5 si se invierte el orden no se pueden multiplicar. No es conmutativa aunque podamos encontrar alguna matriz que lo cumpla.

c) Elemento neutro:A_{n m}  A I_mA y I_n A A

d) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices:

 

( ) y

A B C     A B A C B C     A B A B C

3.4 T RASPOSICIÓN DE M ATRICES

La matriz traspuesta se obtiene permutando entre sí filas por columnas.

t

m n n m

A _ A _ Ejemplo:

2 3

3 2

2 7

2 1 0

1 3

7 3 1

0 1

A At





  

    

     

P R O P I E D A D E S D E L A T R A S P O S I C I Ó N

a) (A^{t t})  A

b) (A B )^t  A^tB^t c) (A)^t aA^t

d) ¡La traspuesta del producto no es el producto de las traspuestas!

2×3 3×5

3×2 5×3 no se pueden multiplicar e) ( ·A B)^t B A^t· ^t

Como consecuencia de la trasposición tenemos los siguientes tipos de matrices:

a) Matriz simétrica:AM_n;A^t A

Ejemplo: Primera fila igual a primera columna, segunda fila igual a segunda columna,…

1 2 3 2 4 8 3 8 2

 

 

 

 

 

b) Matriz antisimétrica: AM_n;A^t  A o equivalentementeA^t A 0. Ejemplo:

0 2 4

2 0 3

4 3 0

 

 

  

 

 

 

4. U TILIZACIÓN DE LAS MATRICES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Problema 1: Para viajar de A a C, no hay vuelo directo. Necesariamente hay que hacer escala a alguno de los aeropuertos intermedios.

a) ¿Cómo representar matricialmente esta situación?

b) ¿Cuántas combinaciones hay de A a C?

Solución:

a)

1

1 2 3 4 2

3 4

C 3

; 0

(1 2 0 3) 2

2 B B

B B B B

B A

B

  

  

  

b)

 

3 1 2 0 3 · 0 9

2 2

  

  

  

 

Problema 2: El número de estudiantes en cierta academia es: 100 en 1º, 90 en 2º y 80 en 3º. Al finalizar el curso pasan a 3º: el 20% de los que había en 3º (repiten), el 70% de los de 2º, y el 5% de los de 1º que han tenido un aprovechamiento extraordinario. ¿Cuántos alumnos habrá en 3º?

Solución:

 

0, 05 1º 2º 3º

; 0, 70 (100 90 80)

0, 20 0, 05 100 90 80 · 0, 70 84

0, 20

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Problema 3: En una ciudad A hay tres aeropuertos internacionales, A₁, A₂, A₃;

en una ciudad B hay cuatro B₁, B₂, B₃, B₄, y en una ciudad C hay dos, C₁, C₂. Las combinaciones para ir de A a C vienen dadas en el gráfico siguiente:

Aplicar el producto de matrices para obtener las combinaciones para ir de cada aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por alguno de B.

Solución:

1 2 3 4

1 2 3

B B B B

1 0 2 0

0 1 1 1 ;

0 0 0 1

A A A

 

 

 

 

 

1 2

1 2 3 4

C C 3 2 1 0 1 0 0 2 B

B B B

 

 

 

 

 

 

Al multiplicarlas nos da la matriz:

1 2

1 2 3

C C 5 2 2 2 0 2 A

A A

 

 

 

 

 

.

Problema 4: En la academia del ejercicio 2 se han dado los resultados siguientes:

 Primer curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (el resto abandona)

 Segundo curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.

 Tercer curso: 20% repiten.

Utiliza el producto de matrices para obtener el número de alumnos que habrá el próximo año en cada nivel (salvo los nuevos).

Solución:

Están en 1º 2º 3º Pasan a 1º 0, 25 0 0

2º 0, 60 0,30 0 3º 0, 05 0, 70 0, 20

 

 

 

 

 

;

1º 100 2º 90 3º 80

 

 

 

 

 

Al multiplicarlas nos da la matriz:

Pasan a 1º 25

2º 87

3º 84

  

  

 

5. N - UPLAS DE NÚMEROS REALES

A una colección de n números ordenados, se llama n-upla.

Una combinación lineal (C.L.) de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas.

Varias n-uplas se dicen que son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás; en caso contrario se dicen linealmente independientes (L.I.).

Ejemplos:

a) {(1,3), (2,0)} son L.I.

b) {(1,1), (2,2)} son L.D.

Un conjunto de n-uplas donde esté la n-upla cero



^{0, 0, 0, , 0}



es siempre linealmente dependiente.

6. R ANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos rango de una matriz al número de filas que son linealmente independientes.

Teorema: El número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I.

Las transformaciones a las que se somete una matriz cuando aplicamos el método de Gauss no modifica el rango, es decir, se conservan las relaciones de dependencia o independencia lineal de la fila transformada con las restantes.

Por tanto, para hallar el rango de una matriz, podemos proceder a "hacer ceros".

M É T O D O D E G A U S S

El objetivo del método de Gauss es pasar de una matriz, mediante transformaciones elementales, a otra equivalente (con el mismo rango) pero siendo esta escalonada.

El rango de una matriz escalonada final es, el número de filas distintas de



^{0, 0, 0, , 0}



.

Transformaciones elementales:

1) Si se cambian el orden de las filas la matriz obtenida es equivalente.

2) Si multiplico una fila por un número distinto de cero, la matriz obtenida es equivalente.

3) Si en la matriz quito una fila que sea C.L. de otras obtengo una matriz equivalente.

4) Si en una matriz sustituyo una fila por una C.L. de otras donde ella esté, obtengo una matriz equivalente.

Ejemplo:

a)

 

2 1

3 1 3 2

2

5 4

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

2 3 4 4 0 1 8 6 0 1 8 6 3

5 1 3 16 0 4 13 21 0 0 45 45

F F

F F F F

A Rg A

 

        

     

     

         

      

     

b)

 

2 1

3 1 3 2

1 2

2

2 2 1 1 2 2 1 2 2 3· 1 2 2

1 2 2 2 2 1 0 6 3 0 6 3 2

1 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0

F F

F F F F

F F

B Rg B

 

     

       

       

             

          

       

7. M ATRIZ INVERSA

Una matriz se dice inversible o que tiene inversa, si existe una matriz A⁻¹ llamada inversa de A tal que:

1 1

A A ^  A^  A I

Por lo tanto, es claro que A y A⁻¹ deben ser cuadradas y del mismo orden.

Si una matriz tiene inversa se llama regular. En caso contrario se llama singular.

La condición necesaria y suficiente para que una matriz A tenga inversa es que su rango coincida con su orden.

Para calcular la matriz inversa se puede utilizar el método de Gauss-Jordan por filas.



^{A I}



^



^{I A1}



Ejemplo:

1 1 0 1 0 0 0 1 1 A

 

 

  

 

 

;

3 2

2 1

1 2 1·2

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

F F

F F

F F F





 

     

         

     

      

     

   

      

   

     

   

Por lo tanto, la inversa de A es: ¹

0 1 0

1 1 0

1 1 1

A^

 

 

  

 

 

.

P R O P I E D A D E S

a) La matriz inversa si existe es única.

b )

 

^{A1 1A}

c )



^{A B·}



^{1 B1·A1}

d )

   

^{At 1 A1 t}

A P L I C A C I Ó N

El cálculo de la inversa sirve para resolver ecuaciones matriciales.

1 . AX  B X A B^

8. APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA MATRICIAL A LA TEORÍA DE GRAFOS

8.1 INTRODUCCIÓN: Algo de historia

La teoría de grafos tiene un claro origen y comienzo en un trabajo publicado en 1736 por el matemático suizo Leonhard Euler relacionado con el popular problema conocido como “los siete puentes de Königsberg”. La antigua ciudad de Königsberg pertenecía a Prusia y hoy es denominada Kaliningrado. Ésta se encuentra a orillas del Mar Báltico, en territorio ruso, a unos 50 kilómetros de la frontera con Polonia. Uno de sus habitantes más ilustres fue el filósofo Kant.

“En la antigua ciudad de Königsberg, sobre el río Pregel, se construyeron siete

puentes que unían las dos partes de la ciudad asentada sobre ambas orillas y en dos islas situadas sobre el río (tal como se ve en el dibujo). En estas circunstancias geográficas, el problema a resolver era: ¿Sería posible circular a lo largo de la ciudad iniciando y finalizando en el mismo lugar del paseo de tal forma que los puentes se crucen una sola vez?” (La respuesta fue “No”).

 Ciudad;  Puente

Hoy en día, los grafos se están convirtiendo en una herramienta muy poderosa de múltiples disciplinas. Ingeniería eléctrica, redes de comunicación, computación, economía, sociología, etc. Tanto por su simplicidad como modelo de muy variadas situaciones, como por su sencillez en dar solución a los problemas, en muchos casos, en forma de algoritmos computables en ordenador. Aparecen en diferentes campos bajo denominaciones distintas:

“redes” en ingeniería eléctrica, “estructuras moleculares” en química, “mapas de carreteras”, “sociogramas”, “redes de telecomunicaciones” etc. El modelado es simple pues se tomarán los objetos (lugares, aparatos, personas, …) como vértices y las conexiones (cables, relaciones, tratos, …) como aristas.

8.2 Tipos de grafos. Elementos de un grafo

³

.

Definición: Un grafo es un par de conjuntos finitos, G=(V, A), donde V es el conjunto de vértices y A es el conjunto de aristas. Una arista es un par no ordenados de vértices, esto es, cada arista conecta dos vértices que llamaremos extremos de la arista {vⁱ,v^j}.

En un grafo nos podemos encontrar:

 Lazos o bucles: aristas cuyos extremos coinciden.

 Aristas múltiples o paralelas: cuando dos vértices están conectados por más de una arista. En este caso se habla de multígrafo.

 Vértices aislados: vértices que no están conectados a ningún otro vértice.

Ejemplo:

En este grafo tenemos 7 vértices (representados con puntos) y 9 aristas (representadas con líneas)



v v3, 3



es un lazo o bucle.



v v1, 6



es una arista múltiple.

v7

es un vértice aislado.

Cuando un grafo no posee ni aristas múltiples ni bucles, se dice que se trata de un grafo simple.

3 Hay que advertir que la terminología utilizada en la teoría de grafos no está estandarizada, pudiendo variar de unos textos a otros.

La figura 1 es un grafo que no es simple ya que tiene un bucle, la figura 2 es un multigrafo y la figura 3 es un grafo simple.

También podemos hablar de grafos dirigidos donde cada arista tiene una dirección de recorrido. Estos grafos se utilizan, por ejemplo, como modelo para una distribución de agua por la red de tuberías de una ciudad, la red viaria con calles de sentido único, etc.

Definición: Un grafo dirigido o dígrafo está formado por un par de conjuntos finitos, D=(V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas dirigidas o arcos; En este caso los arcos son pares ordenados de elementos de V. Cada arco conecta dos vértices que llamaremos respectivamente extremo inicial y extremo final del arco,



v vi^, j



. (Nótese que ahora utilizamos los paréntesis en vez de llaves {}).

Si los grafos se representan con puntos y líneas que los unen, los dígrafos se representan con puntos y flechas entre ellos.

Definición: Un grafo o un digrafo es conexo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. En caso contrario se dice no conexo o disjunto.

Ejemplo:

  

Los grafos (a) y (b) son conexos. El (c) no es conexo.

Definición: Un grafo (no dígrafo) o multigrafo, es un árbol si es conexo y no contiene ciclos (es decir, un camino que no posee aristas ni vértices repetidos y en el que coinciden los vértices inicial y final).

Ejemplo:

 G¹, es un grafo conexo que no posee ciclos, por lo tanto, es un árbol.

 G2, es un grafo conexo que posee el ciclo abc, por lo tanto, no es un árbol.

 G3, no es conexo, por lo tanto, no es un árbol.

8.3 Representación de grafos. Matriz de adyacencia. Matriz de incidencia.

Definición:

a) En un grafo no dirigido, el número de aristas incidentes en un vértice se denomina grado del vértice, gr(v).

b) En un digrafo, se denomina ingrado de un vértice al número de arcos incidentes en un vértice, ing(v), y exgrado al número de arcos salientes del vértice, exg(v).

Definición: Dado un grafo G = (V, E) con n vértices { ,v₁ , }v_n su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A G

 

⁽aij⁾donde a_ijes el número de aristas que unen los vértices vi y v_j.

Ejemplo:

Nota: La matriz de adyacencia de un grafo (no dirigido) es simétrica. Si un vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) está compuesta sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene sólo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal está compuesta sólo por ceros.

Definición:Dado un grafo dirigido o dígrafo D = (V, E) con n vértices { ,v₁ , }v_n su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A D

 

⁽aij⁾donde a_ij es el número de arcos que tienen a v_i como extremo inicial y a v_j como extremo final.

Ejemplo:

Nota:La matriz de adyacencia de un dígrafo no es simétrica. Suponiendo el grafo simple entonces es una matriz binaria. El número de unos que aparecen en una fila es igual al grado de salida del correspondiente vértice (exgrado) y el número de unos que aparecen en una determinada columna es igual al grado de entrada del correspondiente vértice (ingrado).

Definición:Dado un grafo simple G = (V, E) con n vértices { ,v₁ , }v_n y m aristas



e1,...,e_m



,su matriz de incidencia es la matriz de orden nxm, B G

 



 

bij , donde b_ij 1si vi es incidente con e_j y b_ij 0en caso contrario.

Ejemplo:

La matriz de incidencia será:

 

1 2 3 4

1 2 3 4

1 1 1 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 0 1

e e e e v

B G v v v



8.4 Para saber +

A la hora de dibujar un mapa de cartografía, se representan los respectivos países con colores distintos con el fin de distinguir aquellos fácilmente. Esto no supone problema alguno si se dispone de un gran número de colores. Pero la cuestión es encontrar el número mínimo de estos con los que completar un determinado mapa y tratando que dos zonas adyacentes no sean del mismo color.

Por ejemplo, para colorear el mapa M1, que posee cinco zonas, en las condiciones que acaban de enunciarse, serían necesarios, como mínimo tres colores.

Este problema se puede representar mediante un grafo si cada país se le hace corresponder con un vértice del grafo y de forma que los lados conecten dos vértices siempre y cuando los países tengan frontera común. El problema es asignar colores a vértices de manera que no existan vértices adyacentes con el mismo color.

Este problema descrito sería análogo a este otro:

En un laboratorio farmacéutico es conveniente por seguridad, que determinados compuestos químicos para la fabricación de medicamentos no estén almacenados unos próximos a otros. Por ello, habrá que prever que los agentes químicos incompatibles se almacenen en áreas separadas. El problema será determinar el total de compartimentos a disponer.

Otro problema sería cómo planificar los exámenes en un centro formativo para que no le coincidan a un alumno dos exámenes al mismo tiempo.

Todos estos problemas se traducen en problemas de grafos.

Como diría el matemático ruso del siglo XIX Lobachevski:

“No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”.