C ONTENIDO
1. Introducción_______________________________ 2 2. Grados de libertad _________________________ 7 3. Grados de libertar de una
matriz ortogonal __________________________ 11 4. Matrices ortogonales para
análisis de datos __________________________ 12
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M ATRICES
ORTOGONALES
Las técnicas de Diseño de Experimentos nacen como respuesta a la necesidad práctica de investigar sistemas (un sistema puede ser un producto, un proceso, una técnica, una reacción química, etc.). El objetivo final de la investigación es la creación de un modelo que nos permita intuir el comportamiento de nuestro sistema.
La creación de modelos se ha aplicado desde hace si- glos a la investigación científica. Así se han ido postu- lando modelos en los campos de la Física, de la Quí- mica, de la Biología , de la Técnica... Estos modelos se han basado siempre en el conocimiento empírico del efecto de una serie de factores sobre una característica.
De esta forma, y como ejemplo, en la ecuación del comportamiento de los gases (PV = nRT) se experi- mentó con el efecto que ejercen sobre la presión los factores "nº de moles del gas", "temperatura" y "volu- men".
A través de la experimentación directa con estos facto- res se llegó al establecimiento de un modelo de com- portamiento de este sistema. Este conocimiento sola- mente se obtiene a través de la experimentación dire- cta, es decir, mediante la introducción deliberada de cambios en el sistema, que nos va a permitir obtener una información.
Esta información, obtenida mediante experimentación y que nos sirve para el establecimiento de un modelo de comportamiento del sistema, puede ahora ser utili- zada de dos formas distintas:
1. Por una parte, está el enfoque puramente científi- co, en el que el fin último es el establecimiento del modelo en sí; es una investigación dirigida úni- camente al conocimiento de un comportamiento y al establecimiento de una Ley teórica que expli- que este comportamiento mediante ecuaciones matemáticas.
2. Por otra parte, está el enfoque práctico, en el que se persigue no el conocimiento en sí, sino la aplica-
1. INTRODUCCIÓN
ción de este conocimiento a la mejora u opti- mización del sistema. En este caso no es tan impor- tante el establecimiento de un modelo matemático riguroso, sino que lo que se busca, es la mejor con- dición para obtener el mejor funcionamiento o prestación del sistema.
Los experimentos industriales siguen este segundo en- foque, buscando no un conocimiento exacto del siste- ma, sino un conjunto de condiciones que nos permitan obtener el máximo rendimiento, el diámetro más ajus- tado, la mayor fuerza de soldadura, el peso de lote exacto o la textura más adecuada de nuestro producto o proceso.
El Diseño de Experimentos fue desarrollado por Sir Ronald A. Fisher, en Inglaterra, en la década de 1920.
Se aplicó por primera vez en agricultura, en el cultivo de diversas variedades de patatas utilizando diferen- tes fertilizantes.
Antes de Fisher, los experimentos se realizaban en in- vernaderos, con humedad y temperatura constantes, tierra artificial uniforme y manteniendo alejados a los insectos. Una de las principales aportaciones de Fisher fue la idea de realizar los experimentos bajo las condi- ciones "ruidosas" del mundo real. En caso contrario, un experimento realizado en condiciones que no son las reales no será reproducible en la producción nor- mal. Un buen Diseño de Experimentos debe conducir a resultados reproducibles (Ref.: "The Design of Expe- riments", de R. A. Fisher; Oliver & Boyd; Edimburg, 1935).
El Diseño de Experimentos de Fisher fue aplicado en EEUU en agricultura, y actualmente este país puede alimentar a la mitad de la población mundial. Durante la década de los 40 se desarrolló en EEUU la teoría fundamental y técnicas sofisticadas de análisis, por parte de George E. P. Box, William G. Hunter, J. Stuart Hunter y otros (Ref.: "Statistical for Experimenters", de
Box, Hunter y Hunter).
La aplicación eficiente de estas técnicas a la industria se llevó a cabo por primera vez en Japón, donde se aplicó a la mejora de procesos productivos.
En la industria, nuestro objetivo diario es la mejora continua de nuestros diseños, de nuestros productos y de nuestros procesos. La única forma de conseguir es- ta mejora continua es mediante el contacto directo con el sistema, del que obtenemos la información necesa- ria para mejorarlo.
Sin embargo, en los experimentos industriales entra en juego un nuevo factor: el coste. No podemos per- mitirnos un coste más elevado que el beneficio que pudiéramos obtener al realizar una mejora. Es necesa- rio siempre realizar un balance entre el coste de la ex- perimentación y el beneficio que obtendríamos al con- seguir el objetivo que nos hemos fijado. De aquí tam- bién la necesidad de marcar siempre un objetivo.
Al entrar en juego el factor coste, el Diseño de Experi- mentos en la industria adquiere una importancia fun- damental. Se requiere un método que permita un nú- mero mínimo de experimentos, para conseguir esta- blecer las condiciones óptimas en el tiempo más corto posible y por tanto al menor coste posible. Aquí el cos- te lo medimos en dinero empleado en la experimenta- ción, recursos humanos y materiales que hemos inver- tido en la consecución del objetivo.
Por lo tanto, la experimentación industrial requiere dos cosas:
??Un método eficiente de experimentación.
??Un conocimiento especializado del producto o del proceso que queremos mejorar.
El método eficiente lo proporciona la estadística, y nos permite reducir el coste hasta el mínimo necesario.
Sin embargo, sin un conocimiento especializado del sistema, el coste aumentará mucho. A la hora de expe- rimentar es necesario un conocimiento del sistema, que no nos evitará realizar los experimentos, pero sí los va a reducir mucho en número. El conocimiento especializado nos lo proporcionan aquellas personas que están más cerca del sistema y, por tanto, en condi- ciones de obtener mejor información de éste.
Hay, por lo tanto, partes bien diferenciadas en la ex- perimentación industrial:
1. Una parte es la planificación del experimento, que incluye la definición de la característica del sistema que hemos de mejorar, la selección de los factores que influyen más fuertemente sobre esta caracte- rística (desechando aquellos con una influencia no significativa) y la selección de los valores que da- remos a éstos factores en el experimento (valores que han de permitir el funcionamiento del siste- ma).
2. La otra parte corresponde al diseño del experimen- to, análisis de datos, obtención de un modelo del sistema, lo que lleva consigo el conocimiento del efecto de los factores sobre él, la determinación de las condiciones óptimas de funcionamiento y la predicción del resultado.
3. Finalmente, hay una parte fundamental que con- siste en la comprobación de la exactitud del mode- lo que hemos predicho a través del análisis de los datos obtenidos de la experimentación.
La primera parte sólo la pueden realizar las personas con conocimiento especializado del sistema, es decir, los ingenieros, técnicos y operarios que estén más re- lacionados con él.
La parte correspondiente al análisis de datos requiere de la participación de un analista, con conocimientos de estadística aplicada a la experimentación. Cuanto menor sea la sofisticación del método empleado, ma-
yor será el número de personas capaces de llevar a ca- bo el análisis, lo que nos lleva a la búsqueda de un mé- todo que no sólo sea eficiente, sino que además no sea excesivamente sofisticado y permita que personas con formación estadística mínima sean capaces de llevar a cabo el análisis.
La realización de los experimentos es una etapa in- termedia entre planificación y análisis, y es la fase en la que se va a definir el coste del experimento. Cuanto mayor sea el número de experimentos a realizar sobre la línea, mayor será el coste, en forma de tiempos de máquina, productos defectuosos resultantes de los ex- perimentos y recursos dedicados a su ejecución.
El método del Dr. Taguchi para el diseño de experi- mentos utiliza técnicas que implican bajos costes y que son aplicables a los problemas y requisitos de la in- dustria moderna. El propósito que se tiene en el dise- ño del producto es encontrar aquella combinación de factores que sea la que nos proporcione el funciona- miento más estable y fiable al precio de fabricación más bajo. La práctica de la experimentación ha existi- do desde hace tiempo; sin embargo, se ha utilizado muy poco en la industria. Se ha entrenado poco a los ingenieros en el área del diseño de experimentos. Los métodos clásicos son difíciles de implantar debido a las suposiciones, procedimientos y al nivel de sofisti- cación estadística requeridos para su uso.
El método Taguchi es una herramienta ingenieril.
Simplifica y, en algunos casos elimina, gran parte de los esfuerzos de diseño estadístico. Es una forma de examinar simultáneamente muchos factores a bajo coste.
Taguchi recomienda el uso de matrices ortogonales para diseñar los experimentos, introduciendo factores de ruido en el mismo. Ha simplificado el uso de este tipo de diseño al incorporar las matrices ortogonales y las gráficas lineales.
Por último, en contraste con los enfoques tradiciona- les, se ven las interacciones como equivalentes del ruido: mientras las interacciones sean relativamente suaves, el análisis de los efectos principales nos pro- porcionará las condiciones óptimas y una buena re- productibilidad en un experimento. Las matrices or- togonales son herramientas que permiten al ingeniero evaluar la robustez de los diseños del proceso y del producto con respecto a los factores de ruido.
Los grados de libertad son una medida de la cantidad de información que puede obtenerse. Si tenemos más grados de libertad, mayor será la información.
En las aplicaciones de este curso, entenderemos como grados de libertad relativos a un conjunto de datos, el mínimo número de comparaciones necesarias para or- denar dichos datos.
Así, en el siguiente ejemplo:
A
1A
2A
3¿Cuál es el número mínimo de comparaciones para
2. GRADOS DE
LIBERTAD
saber qué persona es la más alta?
Grados de libertad de un factor.
Cuando investigamos el efecto de un factor determi- nado en un experimento, estamos comparando la fun- cionalidad del producto o proceso considerando el factor mencionado en varios niveles.
Por ejemplo, el factor A tiene dos niveles, A1 y A2, y deseamos determinar qué nivel proporciona el mejor funcionamiento. Para determinar esto, debemos hacer una comparación: comparamos el funcionamiento en el nivel A1 y en el A2, como se muestra en la figura:
A1 A2
Los grados de libertad del factor A son el número de comparaciones que es necesario hacer. Por lo tanto, el factor A tiene 1 gl.
Supongamos que el factor B tiene tres niveles: B1, B2 y B3. Para encontrar qué nivel ofrece el mejor funciona- miento, podemos comparar:
1. B2 con B1
2. B3 con B1
Si hacemos estas dos comparaciones, ¿necesitamos comparar B2 con B3? No, ya que sería redundante. Ne- cesitamos hacer sólo dos comparaciones, por lo tanto, el factor B tiene 2 gl.
B1 B2 B3
Los grados de libertad de un factor son el número de comparaciones que es necesario hacer entre los nive- les, sin ser redundantes. Esta es una definición intuiti- va de lo que es grado de libertad.
En general, los grados de libertad de un factor son el número de niveles menos 1. Esto representa el núme- ro de afirmaciones independientes que pueden hacer- se sobre un factor.
Como el factor B, en el ejemplo de arriba, tiene un gl más que el factor A, podemos obtener más informa- ción acerca de B que la que se puede obtener de A.
¿Cuál es esta información adicional?
Factor A: Observe otra vez la gráfica del efecto del fac- tor A a dos niveles.
A1 A2 B1 B2 B3
Se representa el efecto para A1 y para A2; pero, ¿real- mente conocemos cómo se comporta el factor A cuan- do se sitúa en algún lugar entre A1 y A2? No. Sin em- bargo, conectamos los puntos con una línea recta para visualizar mejor la diferencia en el funcionamiento en-
tre los dos niveles, admitiendo que no tenemos infor- mación acerca de la no linealidad del factor A.
Factor B: Recordemos que el factor B tiene tres niveles;
por lo tanto, tenemos tres datos para dibujar:
Ahora bien, es posible obtener información acerca del efecto no lineal (¿cuadrático?) del factor B, informa- ción que no tuvimos del factor A.
Con esto concluimos que, cuantos más niveles se utili- cen para un factor en un experimento, mayor será el número de gl que va a tener y, por lo tanto, mayor la información que puede obtenerse.
Los grados de libertad de una matriz ortogonal son el número de experimentos menos 1. Por ejemplo, los grados de libertad de una L4 son 3, para una L8 serán 7.
Estos grados de libertad están distribuidos en la ma- triz de una manera específica. Para una L8, como cada columna tiene dos niveles, los 7 gl están distribuidos uno en cada columna.
L4(23)
Número 1 2 3
1 1 1 1
2 1 2 2
3 2 1 2
4 2 2 1
Grados de libertad = 4 - 1 = 3
3. GRADOS DE
LIBERTAD DE
UNA MATRIZ
ORTOGONAL
L8(27)
Nº 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
Grados de libertad = 8 - 1 = 7
Una matriz ortogonal es una tabla de combinaciones de niveles de factores ordenados ortogonalmente. El empleo de matrices ortogonales nos permite hacer nuestras comparaciones entre niveles de manera equilibrada, en lugar de hacerlas arbitrariamente. La convención que se utiliza para nombrar las matrices ortogonales es La(bc), donde:
a = número de experimentos,
b = número de niveles de cada factor, y c = número de columnas de la matriz.
A continuación se muestra una matriz L4(23) junto con su gráfica lineal. La L4 puede albergar 3 factores a dos niveles. Es la más pequeña de la serie 2n. La L4
tiene 3 grados de libertad (3 factores a dos niveles, un grado de libertad por factor).
Número 1 2 3
1 1 1 1
2 1 2 2
3 2 1 2
4 2 2 1
1 3 2
La construcción de la gráfica lineal sigue criterios muy sencillos:
??Cada punto representa una columna (identificada por su número).
??El segmento representa una columna (identificada por su número) que alberga la interacción de las columnas que une.
4. MATRICES
ORTOGONALES
PARA ANÁLISIS
DE DATOS
Matriz Ortogonal L8
La siguiente matriz de la serie 2n es la L8(27), que puede albergar 7 factores a dos niveles. La L8 tiene 7 grados de libertad. A continuación se muestra la ma- triz L8 junto con sus gráficas lineales y su matriz trian- gular.
Nº 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
3 1
2 4
5
6
3 2
5 4 6 1
7
Col. Nº 1 2 3 4 5 6 7
(1) 3 2 5 4 7 6
(2) 1 6 7 4 5
(3) 7 6 5 4
(4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7)
La matriz ortogonal L8(b) puede albergar un factor a 4 niveles y 4 factores a dos niveles:
Nº 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2
3 2 1 1 2 2
4 2 2 2 1 1
5 3 1 2 1 2
6 3 2 1 2 1
7 4 1 2 2 1
8 4 2 1 1 2
Matriz Ortogonal L12(211)
La L12 es una matriz ortogonal muy especial. Las in- teracciones están distribuidas entre todas las colum- nas de forma uniforme. Por ejemplo, en lugar de asig- nar la interacción AxB a una sola columna, esta inter- acción se encuentra mezclada de forma uniforme en todas las columnas. En matrices como la L8 o la L16, las gráficas lineales nos dicen dónde hemos de colocar las interacciones. No hay gráficas lineales para una L12. Con una L12 no se pueden analizar los efectos de las interacciones. Si queremos estudiar interacciones, no podemos utilizar esta matriz ortogonal.
La ventaja de distribuir uniformemente las interaccio- nes entre todas las columnas es que ello nos permite investigar 11 efectos principales sin sacrificar determi- nadas columnas para el estudio de estas interacciones.
La L12 tiende a ofrecer una muy buena reproductibili- dad. Es una matriz muy recomendada.
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1
7 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1
8 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2
9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1
10 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2
12 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1
Matriz Ortogonal L16(215)
La matriz L16 estándar puede albergar 15 factores a 2 niveles. Esta matriz tiene 15 grados de libertad.
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
5 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
6 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1
7 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
8 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
11 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
13 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
14 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
15 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
16 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
La tabla triangular de interacciones entre columnas para la L16 estándar es la siguiente:
Columna
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(1) 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
(2) 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
(3) 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
(4) 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
(5) 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
(6) 1 14 15 12 13 10 11 8 9
(7) 15 14 13 12 11 10 9 8
(8) 1 2 3 4 5 6 7
(9) 3 2 5 4 7 6
(10) 1 6 7 4 5
(11) 7 6 5 4
(12) 1 2 3
(13) 3 2
(14) 1 (15)
Además del diseño estándar L16, existen otras 6 matri- ces L16 modificadas. Estas matrices permiten la inves- tigación de combinaciones de factores con 2, 3, hasta 8 niveles.
Matriz L16(b):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 6 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 7 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 8 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 9 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 11 3 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 12 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 13 4 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 14 4 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 15 4 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 16 4 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
a)
b)
2 10 6
0
3 13 8
5 12 7
4 11 9
1 2
3,4,5
Matriz L16(c):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 6 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 7 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 8 2 4 2 1 1 2 1 1 1 2 2 9 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 10 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 11 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 3 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 13 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 14 4 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 15 4 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 16 4 4 1 1 2 1 1 2 2 2 1
3 11
5 6
4 8
7 10
9
Matriz L16(d):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 1 2 2 2 2
3 1 3 3 2 2 1 1 2 2
4 1 4 4 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 2 2 1 2 1 2
6 2 2 1 2 2 2 1 2 1
7 2 3 4 1 1 1 2 2 1
8 2 4 3 1 1 2 1 1 2
9 3 1 3 1 2 2 2 2 1
10 3 2 4 1 2 1 1 1 2
11 3 3 1 2 1 2 2 1 2
12 3 4 2 2 1 1 1 2 1
13 4 1 4 2 1 2 1 2 2
14 4 2 3 2 1 1 2 1 1
15 4 3 2 1 2 2 1 1 1
16 4 4 1 1 2 1 2 2 2
4 7
5 6
8 9
Matriz L16(e):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2
3 1 3 3 3 2 1 2
4 1 4 4 4 2 2 1
5 2 1 2 3 2 2 1
6 2 2 1 4 2 1 2
7 2 3 4 1 1 2 2
8 2 4 3 2 1 1 1
9 3 1 3 4 1 2 2
10 3 2 4 3 1 1 1
11 3 3 1 2 2 2 1
12 3 4 2 1 2 1 2
13 4 1 4 2 2 1 2
14 4 2 3 1 2 2 1
15 4 3 2 4 1 1 1
16 4 4 1 3 1 2 2
5 7 6
Matriz L16(f):
Núm. 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3
4 1 4 4 4 4
5 2 1 2 3 4
6 2 2 1 4 3
7 2 3 4 1 2
8 2 4 3 2 1
9 3 1 3 4 2
10 3 2 4 3 1
11 3 3 1 2 4
12 3 4 2 1 3
13 4 1 4 2 3
14 4 2 3 1 4
15 4 3 2 4 1
16 4 4 1 3 2
1 3,4,5 2
Matriz L16(g):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 1 1 1 1 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 1 1 1 1
5 3 1 1 2 2 1 1 2 2
6 3 2 2 1 1 2 2 1 1
7 4 1 1 2 2 2 2 1 1
8 4 2 2 1 1 1 1 2 2
9 5 1 2 1 2 1 2 1 2
10 5 2 1 2 1 2 1 2 1
11 6 1 2 1 2 2 1 2 1
12 6 2 1 2 1 1 2 1 2
13 7 1 2 2 1 1 2 2 1
14 7 2 1 1 2 2 1 1 2
15 8 1 2 2 1 2 1 1 2
16 8 2 1 1 2 1 2 2 1
Matriz Ortogonal L9(34):
La L9 es la más pequeña de la serie 3n, que nos permi- ten investigar factores a tres niveles. La L9 puede al- bergar 4 factores a tres niveles y tiene 8 grados de li- bertad, que se pueden descomponer en dos grados de libertad por columna.
Para cada factor se requiere una columna:
glA = 3 - 1 = 2 glB = 3 - 1 = 2
Para la interacción AxB, se necesitan dos columnas:
glAxB = 2 x 2 = 4
Núm. 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
1 3,4 2
Matriz Ortogonal L18(21x37):
Al igual que la L12, esta es una matriz ortogonal con un diseño especial, presentando una columna con dos niveles y siete columnas a tres niveles.
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2 2
3 1 1 3 3 3 3 3 3
4 1 2 1 1 2 2 3 3
5 1 2 2 2 3 3 1 1
6 1 2 3 3 1 1 2 2
7 1 3 1 2 1 3 2 3
8 1 3 2 3 2 1 3 1
9 1 3 3 1 3 2 1 2
10 2 1 1 3 3 2 2 1 11 2 1 2 1 1 3 3 2 12 2 1 3 2 2 1 1 3 13 2 2 1 2 3 1 3 2 14 2 2 2 3 1 2 1 3 15 2 2 3 1 2 3 2 1 16 2 3 1 3 2 3 1 2 17 2 3 2 1 3 1 2 3 18 2 3 3 2 1 2 3 1
1 2
¿Cuántos grados de libertad tiene la L18?
gl = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15
Sin embargo, se supone que una matriz L18 debe tener 17 grados de libertad. En esta matriz hay una interacción construida entre las columnas 1 y 2. Esto significa que podemos obtener información de la interacción sin sacri- ficar ninguna columna.
Los grados de libertad de la interacción son:
gl = 1 x 2 = 2
Esto significa que los grados de libertad totales son:
Total gl = 15 + 2 = 17
La L18 es otra matriz muy recomendable. Al igual que ocurría en la L12, las interacciones están distribuidas de forma más o menos uniforme entre todas las columnas, con lo que podemos investigar efectos principales puros.
Las dos primeras columnas de la L18 pueden ser reem- plazadas por un factor a 6 niveles, para producir la ma- triz L18(b).
Matriz L18(b):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3 3 3
4 2 1 1 2 2 3 3
5 2 2 2 3 3 1 1
6 2 3 3 1 1 2 2
7 3 1 2 1 3 2 3
8 3 2 3 2 1 3 1
9 3 3 1 3 2 1 2
10 4 1 3 3 2 2 1
11 4 2 1 1 3 3 2
12 4 3 2 2 1 1 3
13 5 1 2 3 1 3 2
14 5 2 3 1 2 1 3
15 5 3 1 2 3 2 1
16 6 1 3 2 3 1 2
17 6 2 1 3 1 2 3
18 6 3 2 1 2 3 1
Matriz Ortogonal L27(313).
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3
5 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1
6 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2
7 1 3 3 3 1 1 1 3 3 3 2 2 2
8 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3
9 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1
10 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
11 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1
12 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2
13 2 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2
14 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3
15 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1
16 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1
17 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2
18 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3
19 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
20 3 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3
21 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1
22 3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
23 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2
24 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3
25 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3
26 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1
27 3 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2
Con una L27, al igual que ocurría con la L9, se necesi- tan dos columnas para cada interacción.
1
2
5
8
11 3,4
6,7 9,10
12,13
1
8,11
2 5
3,4 6,7 9 10 12 13
En general, no es correcto investigar interacciones usando diseños de tres niveles. Si fuera necesario es- tudiar interacciones, la mejor práctica es efectuar un experimento previo a dos niveles. De esta forma, solo las interacciones fuertes necesitarán ser incluidas en el experimento a tres niveles. este enfoque minimiza- rá el número total de experimentos necesarios.
A continuación se muestra la tabla triangular de in- teracciones de la matriz L27.
Columna
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(1)
3 2 2 6 5 5 9 8 8 12 11 11
4 4 3 7 7 6 10 10 9 13 13 12
(2)
1 1 8 9 10 5 6 7 5 6 7
4 3 11 13 13 11 12 13 8 9 10
(3)
1 9 10 8 7 5 6 6 7 5
2 13 11 12 12 13 11 10 8 9
(4)
10 8 9 6 7 5 7 5 6
12 13 11 13 11 12 9 10 8
(5)
1 1 2 3 4 2 4 3
7 6 11 13 12 8 10 9
(6)
1 4 2 3 3 2 4
5 13 12 11 10 9 8
(7)
3 4 2 4 3 2
12 11 13 9 8 10
(8)
1 1 2 3 4
10 9 5 7 6
(9)
1 4 2 3
8 7 6 5
(10)
3 4 2
6 5 7
(11)
1 1
13 12 (12)
1 11
La matriz L27(b) permite la investigación de un factor a 9 niveles y otros 9 factores a tres niveles.
Matriz L27(b):
Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3
5 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1
6 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2
7 3 1 1 1 3 3 3 2 2 2
8 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3
9 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1
10 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3
11 4 2 3 1 2 3 1 2 3 1
12 4 3 1 2 3 1 2 3 1 2
13 5 1 2 3 2 3 1 3 1 2
14 5 2 3 1 3 1 2 1 2 3
15 5 3 1 2 1 2 3 2 3 1
16 6 1 2 3 3 1 2 2 3 1
17 6 2 3 1 1 2 3 3 1 2
18 6 3 1 2 2 3 1 1 2 3
19 7 1 3 2 1 3 2 1 3 2
20 7 2 1 3 2 1 3 2 1 3
21 7 3 2 1 3 2 1 3 2 1
22 8 1 3 2 2 1 3 3 2 1
23 8 2 1 3 3 2 1 1 3 2
24 8 3 2 1 1 3 2 2 1 3
25 9 1 3 2 3 2 1 2 1 3
26 9 2 1 3 1 3 2 3 2 1
27 9 3 2 1 2 1 3 1 3 2
Matrices más utilizadas (estándar y modificadas)
Matriz Número Máximo de Factores
L4 3 factores x 2 niveles 2 2 2
L8 a 7 factores x 2 niveles 2 2 2 2 2 2 2
b 1 factor x 4 niveles y 4 factores x 2 niveles 4 2 2 2 2
L9 4 factores x 3 niveles 3 3 3 3
L12 11 factores x 2 niveles (sin interacciones) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
L16 a 15 factores x 2 niveles 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 1 factor x 4 niveles y 12 factores x 2 niveles 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c 2 factores x 4 niveles y 9 factores x 2 niveles 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 3 factores x 4 niveles y 6 factores x 2 niveles 4 4 4 2 2 2 2 2 2 e 4 factores x 4 niveles y 3 factores x 2 niveles 4 4 4 4 2 2 2
f 5 factores x 4 niveles 4 4 4 4 4
g 1 factor x 8 niveles y 8 factores x 2 niveles 8 2 2 2 2 2 2 2 2 L18 a 7 factores x 3 niveles y 1 factor x 2 niveles 3 3 3 3 3 3 3 2
b 1 factor x 6 niveles y 6 factores x 3 niveles 6 3 3 3 3 3 3
L27 a 13 factores x 3 niveles 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b 1 factor x 9 niveles y 9 factores x 3 niveles 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3
