UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

(1)

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas Aplicadas a las CCSS I

Departamento de Matemáticas

1

Bloque II: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Límites y Continuidad

UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

CONCEPTOS PREVIOS:

• Decimos que:

a

x→ y se lee “x tiende a a”, si x toma valores cada vez más próximos a a.

Ejemplo: La secuencia de números

0 ; 2 ; 0 ´ 5 ; 1 ´ 9 ; 0 ´ 8 ; 1 ´ 4 ; 0 ´ 9 ; 1 ´ 1 ; 0 ´ 99 ; 1 ´ 01 ; 0 ´ 999 ;

;...

001 ´

1

se aproxima a 1. Escribimos x →1.

Podemos distinguir dos modos de acercarnos a a, por la izquierda o por la derecha:

a-

x

→

se lee “x tiende a a por la izquierda”, si x toma valores cada vez más próximos a a pero menores que a, es decir x<a.

0 ; 0 ´ 5 ; 0 ´ 8 ; 0 ´ 9 ; 0 ´ 99 ; 0 ´ 999 ;...

se aproxima a 1 pero con valores menores que 1. Escribimos x

→1

⁻.

→ a

+

x se lee “x tiende a a por la derecha”, si x toma valores cada vez más próximos a a pero mayores que a, es decir x>a.

2 ; 1 ´ 9 ; 1 ´ 4 ; 1 ´ 1 ; 1 ´ 01 ; 1 ´ 001 ...

se aproxima a 1 pero con valores mayores que 1. Escribimos x

→1

⁺.

• Decimos que:

+∞

→

x y se lee “x tiende a +∞”, si x toma valores cada vez “más grandes” (mayores que cualquier número real prefijado k).

0 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1 . 000 ; 10 . 000 ; 100 . 000 ; 1 . 000 . 000 ;...

toma valores cada vez más grandes. Escribimos x

→ +∞

.

• Decimos que:

−∞

→

x y se lee “x tiende a

− ∞

”, si x toma valores cada vez “más pequeños” (menores que cualquier número real prefijado k).

0 ; − 1 ; − 10 ; − 100 ; − 1 . 000 ; − 10 . 000 ; − 100 . 000 ;

− 1 . 000 . 000 ;...

toma valores cada vez más pequeños. Escribimos x→−∞.

(2)

2

Nota: Hay un cuarto caso

“algo más raro”:

“Que los valores de f(x) no presenten tendencia alguna”, En ese caso:

) (x f lím

a x→ ⁻

∃/

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1.1 Límites laterales

¿Cómo se comporta

f (x )

cuando

x → a

⁻? Pueden presentarse tres casos:

1º) Que

f (x )

“crezca cada vez más” sin ninguna cota.

+∞

− =

→ f(x) líma

x

2º) Que los valores de

f (x )

se hagan cada vez “más pequeños y negativos”.

−∞

− =

→ f(x) líma

x

f (x )

se aproximen a un número real .l

lím f x l

a

x ₋ =

→ ( )

f (x )

cuando

x → a

⁺? De nuevo se presentan tres casos:

₊ =+∞

→ f(x) líma

x ₊ =−∞

→ f(x) líma

x lím f x l

a

x ₊ =

→ ( )

Se definen:

) (x f líma

x→ ⁻ → Límite lateral por la izquierda de la función f en a.

) (x f líma

x→ ⁺ → Límite lateral por la derecha de la función f en a.

A ambos se les llama límites laterales de la función f en a.

Observa: Para obtener el límite lateral de una función f en a, no es necesario que esté definida la función en a.

(3)

3

Ejemplo 1: Observa la función definida a trozos dada por su gráfica:

Si x se aproxima a 1 “por la izquierda”, f

( )

x se aproxima a 2.

( ) 2

1₋

=

→

f x lím

x

Si x se aproxima a 1 “por la derecha”, f

( )

x se aproxima a 3.

( ) 3

1₊

=

→

f x lím

x

Observa que

lím f ( ) x lím f ( ) x

x

x→⁻

≠

→⁺

1 1

Ejemplo 2: Calcula

lím f ( ) x

x→1⁻ y también

lím f ( ) x

x→1⁺ en los siguientes casos e indica si coinciden.

a)

( )

1 1

= − x x f

−∞

− =

→−

1

x

lím

x

+∞

− =

→+

1

x

lím

No coinciden.

b)

( )

( 1 )

²

1 = − x x f

( − ) ⁼ ^+∞

→1−

1

2

1 lím x

x

( − ) ⁼ ^+∞

→1+

1

2

1 lím x

x

Sí coinciden.

c)

f ( ) x = x

²

+ 5

(

² ⁵

)

⁶

1₋ + =

→ x

límx

(

² ⁵

)

⁶

1₊ + =

→ x

límx

Sí coinciden.

1.2 Límite de una función en un punto.

Si

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−

∞ +

=

= ₊

− →

→ l

x f lím x f

líma x a

x (alguna de las tres posibilidades), entonces se dice que existe el límite cuando x→a (x tiende a a)

y se escribe así:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−

∞ +

=

∃ →

l x f

límx a respectivamente.

Es decir:

• Una función f tiene límite en un punto a si existen los límites laterales en dicho punto y además coinciden, y recíprocamente.

• En caso contrario, NO existe el límite en ese punto (pero podrán existir los límites laterales).

• El límite, si existe, es único.

Si los límites laterales no toman el mismo valor, es decir, si

lím f ( ) x lím f ( ) x

a x a

x→ ⁻

≠

→ ⁺ , o bien no

existe alguno de ellos, se dice que NO existe el límite cuando x→a y se escribe:

lím f ( ) x

x→a

∃/

x 0 0´9 0´99 0´999 …

f(x) -1 -10 -100 -1000 …

x 2 1´1 1´01 1´001 …

f(x) 1 10 100 1000 …

x 0 0´9 0´99 0´999 …

f(x) 1 100 10000 1000000 …

x 2 1´1 1´01 1´001 …

f(x) 1 100 10000 1000000 …

x 0 0´9 0´99 0´999 …

f(x) 5 5´81 5´9801 5´9980 …

x 2 1´1 1´01 1´001 …

f(x) 9 6´21 6´0201 6´002001 …

(4)

4

Ejemplo 1 anterior:

( )

( ) lím f ( ) x x

f lím

x f lím

x x

x

1 1

1

3 2

→

⇒ ∃/

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

=

+

− ya que

lím f ( ) x lím f ( ) x

x

x→⁻

≠

→⁺

1 1

Ejemplo 2 anterior:

a)

1

−

∃/ lím

→

x

x b)

( − ) ⁼ ^+∞

∃

→1

1

2

1 lím x

x c)

(

² ⁵

)

⁶

1 + =

∃lím→ x

x

Por tanto, el concepto de límite de una función en un punto da respuesta a la pregunta:

f (x )

cuando x→a?

= +∞

→

f (x )

lím

x a

= −∞

→

f (x )

lím

x a

lím f x l

a

x

=

→

( ) lím f (x )

x→a

∃/

Fíjate: Si existe

lím f ( ) x

x→a , entonces f(x) se aproxima al mismo valor cuando x→a, tanto si nos aproximamos a a por la izquierda como por la derecha.

Ejemplo1: Fíjate en la gráfica y en el cálculo de los siguientes límites:

ℜ

= ) ( f

Dom

Re f c ( ) = ℜ

) 3 (

) (

2 ) (

4 4

4

lím f x

x f lím

x x

x

−

→

−

→

−

→

⇒ ∃/

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

=

−

=

+

−

3 ) 3 (

) (

3 ) (

1 1

1

⇒ ∃ = −

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

−

=

−

=

→

+

−

lím f x

x f lím

x x

x

Observa que, sin embargo,

f ( 1 ) = 1

Ejemplo2: Observa ahora, con atención, estos otros ejemplos:

a)

f x 1 x )

( =

Dom ( f ) = ℜ

\

{ }

0

Re f c ( ) = ℜ

\

{ }

0

1 1

1

=

→

x

lím

x

1 1

1

= −

−

→

x

lím

x

¿Sin embargo, qué valor toma

lím x

x

1

→0 ? Estudiamos los límites laterales:

Como

lím x lím x

lím x

x x

x

1 1 1

0

0 0

→

⇒ ∃/

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

+∞

=

−∞

=

+

−

(No existe el límite)

(5)

5

b)

f x 1 x )

( =

Dom ( f ) = ℜ

\

{ }

0 Rec(f)= ,

(

0 +∞

)

¿Existe en este caso

lím x

x

1

→0 ?

⇒ ∃ = +∞

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

+∞

= +∞

=

→

+

−

lím x lím x

lím x

x x

x

1 1 1

0

0 0

c)

f ( x ) = x

Dom( f)= ,

[

0+∞

)

Rec(f)= ,

[

0+∞

)

En este caso

lím x

x→−4

∃/

(Fíjate:^{− 4}^∉^Dom

( )

^f ⁾

Tampoco existe el límite en x=0 ya que no existe el límite lateral por la izquierda en x=0:

) 0 (

) (

0 0

0

lím f x

x f lím

x x

x

→

⇒ ∃/

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

=

∃/

=

+

−

No obstante

2

4

=

→

x

lím

x

2. LÍMITES EN EL INFINITO

2.1 Comportamiento de una función cuando x

→ +∞

f (x )

cuando

x → +∞

? Pueden presentarse cuatro casos:

1º) Que

f (x )

“crezca cada vez más” sin ninguna cota.

+∞

=

→

f (x )

x

lím

f (x )

se hagan cada vez “más pequeños y negativos”.

f (x )

se aproximen a un número .l

l

x f

x

lím =

+∞

→

( )

4º) Que

f (x )

no presente tendencia alguna.

En este caso

lím f (x )

x→+∞

∃/

como

f ( x ) = sen x

−∞

+∞ =

→ f(x)

xlím

(6)

6

2.2 Comportamiento de una función cuando x→−∞

f (x )

cuando x→−∞? De nuevo pueden presentarse cuatro casos:

= +∞

−∞

→

f (x )

x

lím

= −∞

−∞

→

f (x )

x

lím

lím f x l

x

=

−∞

→

( )

lím f (x )

x→−∞

∃/

Ejemplo: Calcula

lím f ( ) x

x→+∞ y

lím f ( ) x

x→−∞ en los siguientes casos a)

f ( x ) = x

²

=+∞

+∞

→

x2

xlím =+∞

−∞

→

x2 xlím

b)

f ( x ) = − x

³

^lím_→_+∞

( )

⁻^x³ ⁼^−∞

x ^lím_→_−∞

( )

⁻^x³ ⁼^+∞

x

c)

5 3 ) 2

(

₂

2

+

= − x x x

f

2 5 3 2

2

=

+

−

+∞

→

x

lím x

x

2 5 3 2

2

=

+

−

−∞

→

x

lím x

x

d)

f ( x ) = sen x

lím sen x

x→+∞

∃/

x 0 1 10 100 …

f(x) 0 1 100 10000 …

x 0 -1 -10 -100 …

f(x) 0 1 100 10000 …

x 0 1 10 100 …

f(x) 0 -1 -1000 -1000000 …

x 0 -1 -10 -100 …

f(x) 0 1 1000 1000000 …

x 0 1 10 100 …

f(x) -0´6 -0´167 1´876 1´999 …

x 0 -1 -10 -100 …

f(x) -0´6 -0´167 1´876 1´999 …

(7)

7 3. CÁLCULO DE LÍMITES

El cálculo de un límite a partir de la gráfica de una función es una tarea fácil, basta con observar con atención dicha gráfica. Sin embargo no siempre se dispondrá de ella por lo que habrá que recurrir a su expresión algebraica. Sin embargo, el cálculo analítico del límite de una función puede ser fácil de obtener, o bien dar lugar a una indeterminación que se debe resolver del modo adecuado.

Propiedades: Si lím f

( )

x L

x a

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

y lím g

( )

x M

x a

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

Entonces:

^a ^lím

[

^f

( ) ( )

^x ^g ^x

]

^L ^M

x a

±

=

±

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

) ^b ^lím

[

^f

( ) ( )

^x ^g ^x

]

^L ^M

x a

⋅

=

⋅

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

)

( )

( ) ( 0 )

) = ≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

M M Si

L x g

x lím f

c

a

x

) ( )

^{( )}

= ( > 0 )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

−∞ +

→

L L x

f lím

d

^g ^x ^M

x a

NOTA: En algunos casos como cuando L y/o M son límites infinitos ó M=0, pueden aparecer indeterminaciones en las expresiones anteriores. Se resolverán de un modo específico.

Casos de indeterminación:

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ) 0 k

a

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ 0 ) 0 b

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∞ ) ∞

c

^d⁾

[

^∞⁻^∞

]

^e⁾

[ ]

⁰^⋅^∞

^f ⁾ [ ] ¹

^∞

^g ⁾ [ ] ^∞

⁰

^h ⁾ [ ] ⁰

⁰

3.1. Cálculo de límites cuando x→a a) Casos inmediatos

Se obtiene el límite calculando f

( )

a ,es decir,

lím f ( ) x f ( ) a .

a

x

=

→

Ejemplos:

9 3

) ² ²

3 = =

→ x lím

a x

3 10 5 ) 5

2

= −

−

→

x lím x

b

x ) 3 4 3 7 4 25 5

7 + = ⋅ + = =

→ x

lím c x

(

5 2

)

5 1

) ⁰

0 + = =

→

x

x x

lím

d =∃/

−

→ x

lím

e)x 3

( )

ln1 0 1 ¹

0 cos 0 1 1

ln

) cos ₃

0 2 2

3 2 2

0 =

+ +

+

= ⋅ + + +

+ ^⋅

→

e x

x

e x lím x

f

x

( ² ² ¹ ) ² ² ² ² ¹ ⁹

)

³ ² ³ ²

2

− + − = − ⋅ + ⋅ − = −

→

x x

lím

g

x ) 0

0₊ =

→ x

lím

h x ₋ =∃/

→ x

lím

i)x 0 =∃/

→ x

lím

j)x 0 3

3 ) 12 − =

→ x

lím

k x ₋ − =∃/

→ 2

)lím2 x

l x ) 2 0

2₊ − =

→ x

lím

m x − =∃/

→ 2

)lím2 x n x

b) Cociente de polinomios Objetivo: calcular

( )

( ) x Q

x lím P

x→a siendo ^P

( )

^x ^yQ

( )

x funciones polinómicas.

Caso 1º Q

( )

a ≠0

Sigue siendo un caso inmediato.

Ejemplos:

3 3 9 4 )

₂

8

1

= −

− +

→

x lím x

a

x

0 2 0 1

)

³ ₂²

1

= =

+ + + +

−

→

x

x x lím x

b

x

Caso 2º P

( )

a ≠0 y Q

( )

a =0.Indeterminación

0 k

Se resuelve obteniendo el valor de los límites laterales.

(8)

8

Ejemplos:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

→

0 6 3 ) 2

3

x lím x

a

x Indeterminación.

( )

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

→ 0

6 3

) 2 ₂

3 x lím x

b x Indeterminación.

Límites laterales: Límites laterales:

3 2 3

2 3 2

3

3 3

∃/ −

⇒

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

+∞

− =

−∞

− =

→

+

−

x lím x

x x

x

( )

( ) ⇒ ( − ) ⁼ ^+∞

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

+∞

− =

+∞

− =

→

+

−

3 2 3 2

3 2

3 2 3

2 3 2

x lím x

x x

x

Caso 3º P

( )

a =0 y Q

( )

a =0. Indeterminación

0 0

Se resuelve factorizando el numerador y el denominador.

Ejemplos:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

− +

+

−

→ 0

0 10 3

6 ) ₂ 5

2

2 x x

x lím x

a x Indeterminación. ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

− +

−

+

−

→ 0

0 12 16 7

6 ) ₃ ₂5

2 3

3x x x

x x lím x

b x Indeterminación.

Factorizando: Factorizando:

( )( )

( )( ) 7

1 5 3 2

5 2 3

2 2

= − +

= −

− +

−

→

x

lím x x

x x lím x

x

( )( )

( 3 )( 2 ) ² ³

2 3

3

=

= −

−

→

x

lím x x

x

x x lím x

x x

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

− +

−

+

−

→ 0

0 12 16 7

6 ) ₃ ₂5

2 3

2 x x x

x x lím x

c x Indeterminación.

Factorizando:

( )( )

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

= −

−

→

→ 0

2 2 2

3

2 3

2 2

2 x

lím x x

x

x x lím x

x

x Indeterminación.

Límites laterales:

7 16 12

6 5 2

2 2

2 3

2 2

− +

−

+

∃/ −

− ⇒

∃/

⇒

⎪ ⎪

⎭

⎪⎪ ⎬

⎫

+∞

− =

−∞

− =

→

+

−

x x x

x x lím x

x lím x

x x

x

d) Cálculo de límites de funciones definidas a trozos

Ejemplo: Hallar el límite de la función

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<

≤ +

−

<

−

=

6 6

/

6 3 7

3 5

2

x si x

x

f en 1, 3 y 6.

En x=1 En x=3 Límites laterales

( ) ( 2 5 ) 3

1

= − = −

→

f x lím x

lím

x x

( ) ( )

lím f

( )

x

x lím x f lím

x x

x

x x

3 3

3

3 3

4 7

1 5 2

→

→ ⇒∃/

⎪⎭

⎪⎬

⎫

= +

−

=

−

=

+ +

−

En x=6 Límites laterales

( ) ( )

1

6 1

1 7

6 6

6

6 ⇒ =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= +

−

=

→

+ +

−

x f x lím

lím x f lím

x lím x f lím

x x

x

(9)

9

Bloque II: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Límites y Continuidad 3.2. Cálculo de límites cuando x

→ +∞

a) Casos inmediatos

En el caso de funciones polinómicas tendremos en cuenta el signo del coeficiente del término de mayor grado.

Ejemplos:

(

⁻

)

⁼^+∞

+∞

→ x x

lím

a)x 3 ² 7 ^b ^lím_→_+∞

(

⁻ ^x ⁺ ^x

)

⁼^−∞

x 4 5

) ² ^c ^lím_→_+∞

(

^x ⁻ ^x

)

⁼^+∞

x 5 30

) ²

(

⁻

)

⁼^+∞

+∞

→

2 3 5000

) lím x x

d x

− = +∞

+∞

→

3 ) lím x

e

x + =+∞

+∞

→ 7

) lím x²

f x

∃/

=

+∞

−

→

x

lím g )

x

3

b) Cociente de polinomios Surge la indeterminación

.

∞

Se resuelve analizando los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

Ejemplos:

+∞

+ =

−

− +

+∞

→

10 7 3

1 2 ) 3

³₂

x x

x lím x

a

x

= −∞

− +

−

+∞

→

5 3 2

7 ) 2

₂⁴

x x

x lím x

b

x

3 1 1

3 6

1 5

) 2

₃³ ²

= −

+ +

−

+∞

→

x x

x lím x

c

x

5 2 2

1 3

) 4

₇

7

=

+ + +

+∞

→

x

x lím x

d

x

0 2 5

1 ) 3

₂

=

+ +

+∞

→

x

lím x

e

x

0 2 5 3

1 )

₂

2 =

− +

+

+∞

→

x x

lím x f

x

3.3. Cálculo de límites cuando x→−∞

Tendremos en cuenta que:

( ) x lím f ( ) x f

lím

x

= −

+∞

→

−∞

→

y calcularemos el límite de la expresión resultante.

Ejemplos:

( ⁻ ⁺ ) ⁼

_→_+∞

( ( ) ⁻ ⁻ ( ) ⁻ ⁺ ) ⁼

_→_+∞

( ⁺ ⁺ ) ⁼ ^+∞

−∞

→

5 3 5 3 5 3

) lím x

²

x lím x

²

x lím x

²

x

a

x x x .

( ⁺ ⁻ ) ⁼

_→_+∞

( ( ) ⁻ ⁺ ( ) ⁻ ⁻ ) ⁼

_→_+∞

( ⁻ ⁻ ⁻ ) ⁼ ^−∞

−∞

→

3 2 1 3 2 1 3 2 1

) lím x

³

x lím x

³

x lím x

³

x

b

x x x .

( ) ( ) 2 ( ) 1 ³ ² ² ⁷ ¹ ⁰ 3

7 2

1 2 3

7 ) 2

₂ ₂ ₂

=

−

= −

−

− +

−

= −

− +

−

+∞

→ +∞

→

−∞

→

x x

lím x x

x lím x x

x lím x

c

x x x .

3.4. Límites de funciones irracionales. Indeterminación

0

e

∞ − ∞

Se resuelven multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

Ejemplos:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

− +

→

0 0 1

2 ) 3

1

x

lím x

a

x Indeterminación.

( )( )

( ) ( ) ( )

( ⁻ ) ( ⁺ ⁺ ⁻ ⁺ ) ⁼ ( ⁻ ) ( ⁻ ⁺ ⁺ ) ⁼

+ = +

−

+ +

− +

→

1 3 2

1 2

3 1

2 3 2

3 1

2 3 2

3

1 2 2

1

x x

lím x x

x lím x x

x

x lím x

x x

x

4 1 2 3 1

1

=

+

= +

→

x

lím

x

.

4 1 1

2 3

1

=

−

⇒ +

→

x

lím x

x

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

<

=

<

>

∞

−

∞ + + =

+ +

+ + +

+∞

→

m n si

m n b si

a

b bien a b o

y a m n si ó

b x b x

b

a x a x

lím a

m n

m n m

n

m m

n n x

0

0 ,

, 0 ,

...

0 1

(10)

10 ⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

→

0 0 4 ) 2

4

x lím x

b

x Indeterminación.

( )( )

( ) ( ) ( )

( ⁴ ) ( ² ² ) ⁽ ⁴ ⁾ ( ⁴ ² ) ¹ ² ¹ ⁴

2 4

2 2

4 4

2 2

4

=

= + +

−

= − +

−

= − +

−

+

−

→

lím x

x x

lím x x

x lím x x

x

x lím x

x x

.

4 1 4

2

4

=

−

⇒ −

→

x

lím x

x

(

⁺ ⁻ ⁻

)

⁼

⁽

^∞⁻^∞

⁾

+∞

→ 4 2

)lím x² x²

c x Indeterminación.

( )( ) ( ) ( ) ₌

− + +

−

= +

− + +

−

− +

+∞

→ +∞

→

4 2

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

x x

x lím x

x x

x lím x

x

⁶ ⁰ ( ⁴ ² ) ⁰ ^.

2 4

6 2

4

2

4

₂ ₂

2 2

2

= ⇒ + − − =

∞

= +

− +

= +

− + +

+

− +

+∞

→ +∞

→

lím x x

x lím x

x x

x lím x

x x

x

(

⁺ ⁻

)

⁼

⁽

^∞⁻^∞

⁾

+∞

→ x x x

lím d x

) 2 Indeterminación.

( )( ) ( ) _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

= ∞ +

= + + +

−

= + + +

−

= + +

+

+ +

− +

+∞

→ +∞

→

x x x

lím x x x x

x x lím x x x x

x x lím x

x x x

x x x x x lím x

x x

x

x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

Indet.

Se divide por x el numerador y el denominador:

( )

^.

2 1 2

1 1 1

1 1

1 2

2 2

2 = ⇒ + − =

+ +

= + +

+ =

+ ^→^+∞ ^→^+∞ ^→^+∞

+∞

→ lím x x x

x lím

x x x

x lím x

x x x x

x x

lím x x x

x

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

− +

→

0 0 3 6

2 ) 1

3

x lím x

e

x Indeterminación.

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

_⎥⎦^⎤

(

⁺ ⁺

)

⁼

⎢⎣⎡ + −

+

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ + −

+ = + +

+

− +

+ + +

+

− +

→

→ 6 3 1 2

3 6 2

1 2

1 3

6 3

6

3 6 2

1 2

1

2 2 2 2

3

3 x x

x x

x lím x

x

x x

lím x

x x

( ) ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

(

³³

) (

¹⁶ ²³

)

¹⁶ ²³ ⁴⁶ ²³

2 1 9

6

3 6 4

1

3 3

3 = =

+ +

+

= + + +

−

+ +

= − + +

− +

+ +

− +

→

→ x

lím x x

x

x lím x

x x

x lím x

x x

x

.

2 3 3 6

2 1

3

=

− +

−

⇒ +

→

x

lím x

x

3.5. Indeterminación 0⋅∞ y otros casos de

∞ − ∞

Se opera previamente y pasamos a un caso de indeterminación conocida tipo

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 0

0

ó

⎟ .

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

Ejemplos:

(

⋅∞

)

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ −

− +

+∞

→ 0

4 4 3

1

) 5₂ ²

x x x

lím x

a x Indeterminación.

.

4 5 4

4 3

1 5 4

5 12

4

4 20

5 ²

2 3

2

3 ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ −

−

⇒ +

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− +

+∞

→ +∞

→ x

x x

lím x x

x

x x

lím x

x x

UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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