Uso de estrategias constructivistas en la enseñanza de la resolución de problemas algebraicos

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(2) Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación. Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza de la Resolución de Problemas Algebraicos. Tesis que para obtener el grado de:. Maestría en Educación. Presenta:. Delia Isabel Díaz Mérito Bou Asesor tutor:. Mtra. Elvira Guadalupe Rincón F. Asesor titular:. Dra. Ángeles Domínguez Cuenca. México, D. F.. Abril, 2009.

(3) Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza de la Resolución de Problemas Algebraicos. Tesis presentada por Delia Isabel Díaz Mérito Bou. ante la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey como requisito parcial para optar por el título de. MAESTRÍA EN EDUCACIÓN. Abril, 2009. - ii -.

(4) Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza de la Resolución de Problemas Algebraicos. Resumen El presente trabajo muestra las diferentes etapas de la investigación sobre el uso de estrategias constructivistas en la enseñanza de resolución de problemas algebraicos en estudiantes de nivel medio superior para revisar las diferencias entre la enseñanza de la resolución de problemas algebraicos con el uso de metodología tradicional y con el uso de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo, ver de de qué forma el uso de dichas estrategias constructivistas favorece el aprendizaje sobre la resolución de problemas y apoya a las alumnas en la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto y de que manera estas estrategias constructivistas contribuyen a que el estudiante mejore el rendimiento académico al resolver problemas similares a los desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos? Para el estudio se tomaron dos grupos en una escuela de la ciudad de México, uno de control en el que se impartió la clase con metodología tradicional, y otro experimental en el cual se trabajó bajo un enfoque constructivista aplicando las estrategias de aprendizaje colaborativo y el estímulo a la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo. El tema que se abordó para la investigación fue la resolución de problemas matemáticos que involucran ecuaciones de primer grado. Se efectuaron entrevistas previas y posteriores al experimento, con el fin de identificar diferencias cualitativas en la forma en que las alumnas resuelven los problemas matemáticos, y se aplicó un examen al término del tema enseñado para valorar y comparar resultados. Al analizar los datos obtenidos, el estudio encontró que las estudiantes que tomaron la clase con enfoque constructivista reflejaron un mejor desempeño durante el experimento, mostraron una actitud más activa y en clases tuvieron menos dudas que las estudiantes de la clase tradicional. Al estar motivadas, fueron responsables en todas las tareas y lograron resolver en equipo todos los problemas propuestos..

(5) índice de Contenidos. Introducción. 1. Capítulo 1 . NATURALEZA Y DIMENSIÓN DEL TEMA DE INVESTIGACIÓN Introducción. 3. 1.1 Marco contextual. 3. 1.1.1 Reseña histórica del modelo educativo. 4. 1.1.2 Metodología de la clase. 6. 1.2 Antecedentes del problema. 7. 1.3 Planteamiento del problema. 10. 1.4 Objetivos de la investigación. 11. 1.5 Supuesto de la investigación y justificación. 12. 1.6 Limitaciones y delimitaciones. 12. 1.7 Definición de términos. 13. Capítulo 2. REVISIÓN DE LA LITERATURA Introducción. 16. 2.1 Antecedentes de la investigación. 16. 2.2 La didáctica de las matemáticas. 22. 2.3 Constructivismo. 26. 2.3.1 Constructivismo en matemáticas. 29. 2.3.2 Aprendizaje colaborativo. 31. 2.3.3 Metacognición, como autorregulación del aprendizaje. 34. Capítulo 3. METODOLOGÍA Introducción. 39. 3.1 Diseño de la investigación. 39. 3.2 Contexto Sociodemográfico. 46. 3.3 Participantes. 47. 3.4 Tema, categorías e indicadores de estudio. 48. 3.5 Instrumentos. 48. 3.5.1 Técnicas de recolección y captura de datos. 49. 3.5.2 Prueba Piloto. 51. 3.6 Aplicación de instrumentos y análisis de datos. 51. - iv -.

(6) Capítulo 4. ANÁLISIS DE DATOS Introducción. 53 5. 4.1 Resultados. 3. 4.1.1 Entrevistas previas. 53. 4.1.2 Las clases y el examen. 60. 4.1.3 Las entrevistas posteriores. 66. 4.2 Análisis de resultados. 70. 4.2.1 Entrevistas. 70. 4.2.2 Las clases y el examen. 73. Capítulo 5. CONCLUSIONES Introducción. 77. 5.1 Hallazgos. 77. 5.2 Implicaciones de la investigación. 82. Referencias. 85 9. Apéndice A. 0. Apéndice B. 9. 2. Apéndice C. 9. 3. -v-.

(7) índice de tablas y figuras Tabla 1. Fases del estudio. 40. Tabla 2. Resultados de la resolución del primer problema. 56. Tabla 3. Comentarios de las alumnas en el primer problema. 57. Tabla 4. Resultados de la resolución del segundo problema. 58. Tabla 5. Comentarios de las alumnas. 59. Figura 1. Calificaciones del examen del grupo de control. 63. Figura 2. Calificaciones del examen del grupo experimental. 63. Figura 3. Puntos obtenidos por problema. 64. Figura 4. Estrategia de autorregulación del aprendizaje. 65. Tabla 6. Resultados de la resolución del problema del desinfectante. 68. Tabla 7. Resultados de la resolución del problema de animales. 69. - vi -.

(8) Introducción La resolución de problemas en matemáticas siempre ha sido una de las áreas que se dificulta al aprenderla. Los alumnos muchas veces no saben como comenzar cuando se les presenta un problema en el que tienen que utilizar los conceptos adquiridos en la clase, por lo que es importante continuar en la búsqueda de estrategias que permitan apoyar la enseñanza de la resolución de problemas. El presente estudio de investigación busca analizar la relación entre eñ uso en la enseñanza de estrategias constructivistas como el aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo en el desempeño de la resolución de problemas matemáticos, así como la transferencia de los conceptos matemáticos aprendidos en el aula a situaciones de la vida cotidiana. La investigación tiene como objetivos encontrar diferencias en el aprendizaje de resolución de problemas usando dos metodologías de enseñanza: la tradicional y con el uso de estrategias constructivistas como el aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo, ver de que forma el uso de dichas estrategias apoya a las alumnas en la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto con respecto a la enseñanza tradicional del mismo tema; así como identificar si las estudiantes pueden resolver problemas similares a los desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos. Para encontrar la relación entre el uso de las estrategias y la resolución de problemas, se utilizó un grupo de control y otro experimental al que se aplicaron las estrategias antes mencionadas para verificar las diferencias en su desempeño, también se realizaron entrevistas a alumnas de ambos grupos, antes y después del experimento para comparar la forma en que resuelven problemas matemáticos. Se presentan cinco capítulos en los que se detallan las fases de la investigación. En el primer capítulo se presenta el planteamiento del problema, se analiza la situación actual sobre la enseñanza de las matemáticas, el entorno en el que se va a desarrollar la investigación y se presenta la hipótesis a ser verificada y las limitaciones de la investigación.. -1 -.

(9) En el segundo capítulo se presenta una revisión de la literatura, se presenta una síntesis de los estudios realizados sobre el tema, seguido de una revisión de la literatura al respecto que da los fundamentos teóricos a la investigación. El capítulo de metodología (Capítulo III), muestra el diseño detallado de la investigación, el contexto en el que se desarrolló la misma, así cómo las participantes y los instrumentos utilizados en la investigación, su diseño, pruebas y forma de análisis. El Capítulo IV detalla los resultados obtenidos, tanto de las entrevistas como la forma en que se manejaron las clases y los resultados de los exámenes. Se finaliza con el análisis de dichos resultados. Se concluye el trabajo, en el Capítulo V, revisando los objetivos de la investigación y la confirmación de la hipótesis, se mencionan los hallazgos obtenidos y sus implicaciones, así como algunas sugerencias para investigaciones posteriores.. -2 -.

(10) CAPITULO 1 NATURALEZA Y DIMENSIÓN DEL TEMA DE INVESTIGACIÓN Introducción En el presente capítulo se hace un análisis del problema de investigación que llevó a plantear la pregunta de investigación que rige este trabajo. En el marco contextual se especifican las características del colegio en el que se desarrolló la investigación, haciendo una reseña histórica del modelo educativo del colegio y la metodología didáctica de sus clases. Se desarrollan los antecedentes y el planteamiento del problema revisando la situación actual de la enseñanza en la resolución de problemas matemáticos y se plantea la posible pregunta que pueda generar un nuevo conocimiento o uno que profundice sobre el tema, a partir del cual se definieron los objetivos y la hipótesis a ser comprobada sobre la relación entre el uso del aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje en la enseñanza de resolución de problemas. Finalmente se presentan la justificación de la investigación, sus limitantes y un glosario de términos.. 1.1 Marco Contextual. La resolución de problemas matemáticos, mediante ecuaciones algebraicas de primer grado, se estudia en los ciclos consecutivos de tercero de secundaria de la Secretaria de Educación Pública y primer año de preparatoria de la Escuela Nacional Preparatoria, programa propuesto por la Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que el presente estudio se realizó en alumnas que al principio de la investigación se encontraban en tercero de secundaria y pasaron a primer año de preparatoria. El colegio en el que se realizó la investigación forma parte de una red de colegios de religiosas a nivel mundial. Es un colegio para mujeres que tiene desde preescolar hasta el nivel medio superior. Es una escuela particular dirigida hacia la clase social media, media alta y alta ubicada en el sur del Distrito Federal. Es una escuela particular dirigida hacia la clase social media, media alta y alta. El modelo educativo del colegio busca favorecer las siguientes áreas de trabajo: espiritual, intelectual, social afectiva, artística, cultural y física. Los niveles de preescolar, primaria y secundaria están incorporadas a la Secretaria de Educación Pública, mientras que la preparatoria a la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México. El colegio tiene un programa de preparatoria de tres años,. -3-.

(11) en el que los dos primeros las materias son iguales para todas las alumnas y en el tercer año, cada alumna escoge un área de conocimiento dependiendo de sus gustos y habilidades. Las participantes en la investigación fueron adolescentes entre 14 y 16 años, de clase media a media alta. En la primera etapa de la investigación las alumnas cursaban tercero de secundaria, mientras que en las dos siguientes ya estaban en primer año de preparatoria. 1.1.1 Reseña histórica del modelo educativo. Ante los cambios e innovaciones que se han dado en la educación, el colegio donde se realizó la investigación optó hace varios años por modificar su curriculum y actualmente cuenta con una metodología propia de enseñanza basada en las teorías del constructivismo social de Vigotsky y una metodología didáctica con base en los principios de mediación de Feuerstein, certificada por la Universidad Panamericana. En ella se ve al educador como un mediador del aprendizaje y se promueve por medio del aprendizaje colaborativo el desarrollo de la metacognición, la comprensión y el uso habilidades del pensamiento, al mismo tiempo que se aprenden los contenidos académicos desde una visión humanista y ética. El curriculum actual esta integrado por: •. Los perfiles de egreso en función a las habilidades y competencias que se desea desarrollar en las alumnas por área y por nivel.. •. La metodología didáctica que incluye el diseño de la clase, planeaciones y estrategias usando diferentes métodos didácticos para las clases. La transversalidad, la comprensión, la mediación, transferencia y metacognición son los parámetros centrales para definir dicha didáctica.. •. La reestructuración de los contenidos, tomando como base los programas institucionales, para conjugarlos con los perfiles de egreso a través del uso de mapas semánticos de macroconceptos.. Las clases se imparten en tres etapas de acuerdo con los tres momentos del acto mental propuestos por Feuerstein, presentados por Prieto (1989): entrada, elaboración y salida, promoviendo de esta forma aprendizajes significativos, la comprensión y la transferencia de los conocimientos.. -4-.

(12) El desarrollo de la metodología de enseñanza propia del colegio inició en el año de 1998 con la introducción de un programa de desarrollo de habilidades del pensamiento, en el que las alumnas tenían una clase extra llamada Hábil. Al darse cuenta que se necesitaba más que una clase aparte y que era necesario promover las habilidades como un proceso formativo y significativo, se decidió organizar grupos de academias entre los profesores para analizar y discutir literatura sobre Vigotsky, Feuerstein, Gardner y Guilford entre otros. En 1999 se tomó la decisión de crear un proyecto educativo propio, construido de manera colegiada, deliberativo, y haciendo énfasis en las necesidades de cada sección o nivel educativo. Se crearon entonces de manera formal cinco academias de profesores: Ciencias Sociales, Ciencias Naturales, Matemáticas, Comunicación y Desarrollo de Habilidades del Pensamiento, así como un departamento formal de Psicopedagogía. Para el ciclo escolar 2000 - 2001 se presentó un plan de trabajo que incorporó estrategias de enseñanza vinculadas a los perfiles de egreso el cual tomó como base los ejes transversales de Educación para la Formación Profesional, Educación para la salud y cuidado del medio, Educación para los medios de comunicación, Educación para el reconocimiento de la identidad y Educación para la Justicia y la Paz. Ese mismo año se retomó el concepto de mediación y se desarrolló la metodología de enseñanza a implementarse en el aula, tomando como base los principios de Feuerstein sobre los momentos del acto mental y los ejes transversales. Para el año 2003, se contó con el apoyo de un despacho externo de educación y de una Universidad particular para lograr la certificación de la capacitación de los profesores y el avance del proyecto en los aspectos mencionados anteriormente. Se inició en ese año la capacitación para maestros y para finales del curso escolar 2004 - 2005 más del 75% de los docentes se encontraban certificados para impartir la metodología didáctica del colegio. Actualmente se cuenta con un documento formal que contiene la metodología que se aplica en la enseñanza, los perfiles de egreso de cada una de las áreas de formación y por niveles, definidos en función a competencias y los mapas semánticos de macroconceptos en todas las áreas. Actualmente, se continúa con la capacitación de los docentes. Se cuenta con academias de profesores en las áreas de. -5-.

(13) Ciencias Sociales, Ciencias Naturales y Comunicación, que continúan trabajando sobre el desarrollo y mejoras del proyecto. En el presente ciclo escolar (2008-2009) se realiza una evaluación sobre el impacto del modelo aplicado. Se revisan los formatos de las clases y los logros obtenidos. También se buscan estrategias que mejoren el aprendizaje significativo de las alumnas en todas las áreas. Esta investigación busca analizar el uso de estrategias constructivistas en la enseñanza de resolución de problemas matemáticos para aportar una herramienta en la materia y que pueda ser usada por maestros de matemáticas. 1.1.2 Metodología de la clase Una clase del colegio debe ser diseñada por cada uno de los maestros, bajo los fundamentos teóricos de Feuerstein presentados por Prieto (1989), que propone que el acto de la inteligencia se da en tres pasos: entrada, elaboración y salida. Específicamente en el aula, en la etapa de entrada, se revisan los objetivos de la clase, se motiva a las alumnas hacia el conocimiento a partir de un desajuste o desequilibrio, haciendo preguntas detonadoras. En la etapa de elaboración se desarrolla el tema, tomando en cuentas que el aprendizaje está centrado en el alumno, razón por la cual el profesor tiene el papel de mediador y provoca la construcción de conocimientos y el aprendizaje significativo de los alumnos. Esta segunda etapa se fundamenta en las teorías de Vigotsky acerca de la zona de desarrollo próximo y andamiaje. Finalmente, en la etapa de salida se lleva a cabo un cierre de la clase, desde tres puntos de vista: 1.. Contenido: haciendo que las alumnas verbalicen sobre los conocimientos adquiridos y la obtención de principios.. 2.. Operaciones y habilidades mentales: estimulando en las alumnas la metacognición, es decir, que logren reflexionar sobre su proceso de aprendizaje para que aprendan a aprender y manejen cada vez con mayor naturalidad el lenguaje del pensamiento.. 3.. Transferencia: haciendo que las alumnas encuentren utilidad y aplicación a los conocimientos adquiridos, buscando su uso en otras actividades diferentes a las propuestas en clase, en actividades cotidianas aplicando no sólo los conocimientos, sino también las habilidades.. -6-.

(14) Para impartir la clase también se toman en cuenta, a la hora de la planeación, los ejes transversales de la institución.. 1.2 Antecedentes del problema La aplicación de las matemáticas como una herramienta para resolver problemas de contexto es de gran importancia en el contexto mundial actual. Esto, se aprecia en la relevancia que le da la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos) en uno de sus últimos ejercicios de evaluación, el Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA). Esta evaluación es un proceso de colaboración entre treinta países miembros y cerca de otros treinta países no miembros orientado hacia el diseño de políticas. Es un esfuerzo internacional sin precedentes, que reúne la experiencia científica de los países participantes, guiado conjuntamente por los gobiernos de los participantes para medir los logros de los estudiantes. PISA evalúa cada tres años la medida en que los estudiantes terminan el período de escolaridad obligatoria así como los conocimientos y aptitudes que son esenciales para su participación en la sociedad. El ejercicio de PISA, realizado en el 2003, fue enfocado hacia el área de las matemáticas y examinó por primera vez el desempeño estudiantil en la resolución de problemas. En este mismo estudio también se analizaron factores que se asocian con el desempeño de los estudiantes eficaces: motivación, lo que piensan acerca de ellos mismos, factores emocionales como la ansiedad y estrategias de aprendizaje. Dentro de sus resultados se encuentra que los alumnos motivados, que confían en su capacidad y que aplican con regularidad estrategias de aprendizaje tienden a tener un mejor desempeño escolar. Además, se menciona en el reporte de PISA que los estudiantes que aprenden con eficacia, particularmente los que han conseguido regular su propio proceso de aprendizaje, al terminar sus estudios tienen mayor probabilidad de continuar formándose a lo largo de su vida. En los reporte de PISA, los resultados presentan de manera independiente el área de matemáticas y la de resolución de problemas, a partir de ellos se puede observar que todos los países en promedio, muestran un desempeño similar en la escala de ambas áreas. Entre los países participantes de la evaluación, los que mejor desempeño muestran sus estudiantes en el área de. -7-.

(15) matemáticas y de solución de problemas son: Hong Kong - China, Finlandia, Corea y Holanda, y los de peor desempeño son: México, Indonesia, Túnez y Brasil. Debido a la importancia que está tomando la resolución de problemas a nivel mundial, se están proponiendo reformas en la enseñanza de las matemáticas para lograr mejor desempeño en los estudiantes. En Europa, la CIEAEM (Comisión Internacional para el estudio y la mejora de la enseñanza de las matemáticas) propone el formato constructivista para el área en todos los países que se encuentran representados. En Estados Unidos el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics o NCTM por sus siglas en inglés) las promueve en sus estándares en todos los niveles educativos. En China, Nueva Zelanda y otros países se comienza a ver la influencia para promover el constructivismo en la enseñanza de las matemáticas, aunque en China la instrucción matemática todavía sigue siendo en su mayoría lineal y con un enfoque tradicional. En los exámenes internacionales, las culturas del este, como Japón o China han obtenido mejores puntajes que en los países occidentales, por lo que se viven grandes debates de las ventajas y desventajas de la instrucción constructivista. Al hacer comparaciones entre ambas metodologías, Zhao (2005) menciona que aunque los rendimientos de los estudiantes de los países del este son mejores, han perdido creatividad y que son muchos los factores para un mejor rendimiento, como mayor número de clases o tutorías particulares. Al mismo tiempo, afirma que es importante aprender de los errores y aciertos que se tienen en otros países o regiones sin perder las fortalezas de cada uno y teniendo siempre en consideración cuales son los objetivos de la enseñanza en cada país. También existen autores que no están totalmente de acuerdo con la introducción del constructivismo en la enseñanza de las matemáticas. Matthews (2000) menciona que el constructivismo es la mayor influencia que está teniendo la educación en la actualidad, pero no es la panacea, como la quieren ver algunos autores. Afirma que el constructivismo ha logrado poner de manifiesto la importancia en la comprensión y el compromiso de los estudiantes, pero al mismo tiempo, afirma que no son conocimientos aportados por el constructivismo, y existían desde Sócrates. Concluye diciendo que en la historia de la pedagogía de la educación, han existido infinidad de ideas que en su momento fueron las correctas, por lo que es necesario revisar los compromisos y las relaciones del constructivismo con el comportamiento en el aula.. -8-.

(16) En el año 2001 se llevó a cabo una reunión en Estados Unidos de Learn NC (2001) organización de la Universidad de North Carolina, para dar soporte a maestros y dirigida por Grayson Wheatley, donde se analizó un enfoque constructivista para la enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas y centrada en el estudiante. Este enfoque es promovido por el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas, el NCTM, en Estados Unidos, ya que se ha demostrado que los estudiantes realizan mejor las operaciones matemáticas si ellos desarrollan sus estrategias o procedimientos. Esta reforma ha traído controversias en Estados Unidos, como todas las reformas educativas. Existen grupos de profesores que apoyan el cambio y ven la matemática como conceptos y, por otra parte existen grupos, como el de los tradicionalistas, que lo consideran inadecuado, y dicen que para poder entender los conceptos es necesario realizar primero los algoritmos básicos y ven a la matemática sólo como habilidades. La reforma propuesta en Estados Unidos, requiere también cambios en la forma de actuar de los docentes en el aula, dando mayor libertad a los alumnos y un mejor entendimiento de la matemática. Wheatley, Walbert, Kestner y Montagne Kestner (2001) afirman que en Estados Unidos actualmente los alumnos de octavo grado son eficientes en los procedimientos pero no entienden los conceptos al resolver los problemas, y que al salir al mundo real, no van a encontrar problemas parecidos a los presentados en el salón de clases, por lo que es necesario promover la comprensión al resolver los problemas para que puedan lograr la transferencia de lo aprendido. Los maestros deben revisar cual es el proceso por medio del cual los estudiantes obtienen los conocimientos matemáticos además de propiciar ambientes con situaciones en donde se utilicen de forma variada los conocimientos y las estrategias y no sólo algoritmos usados de forma rutinaria. De esta forma se logra que los estudiantes relacionen sus conocimientos matemáticos con otras áreas del conocimiento. Wheatley, Walbert, Kestner y Montagne Kestner (2001), mencionan la importancia de que el docente conozca el estado de conocimientos de sus alumnos así como el reconocer si tienen sentido numérico, es decir, si entienden los conceptos de números y sus relaciones, si sólo han memorizado procedimientos o si únicamente saben aplicar algoritmos.. -9-.

(17) 1.3 Planteamiento del problema La enseñanza de resolución de problemas matemáticos es uno de los temas de álgebra que cuesta más trabajo entender a los alumnos. Muchas veces cuando se les plantea un problema, no saben por donde comenzar, y cuando tratan de aplicar los conceptos matemáticos a problemas nuevos o de la vida cotidiana, no logran transferirlos, no cuentan con una metodología de análisis de los problemas y no saben a veces como comenzar dicho análisis. Existen en el temario de primer año de preparatoria problemas específicos que se resuelven por medio de una o dos ecuaciones de primer grado como es el caso de los problemas de números, geométricos, de mezclas, de dinero, de móviles o problemas de interés o de trabajo. Los problemas de mezclas, por ejemplo, se explican en contextos que no son afines a las alumnas y no alcanzan a ver su utilidad, por lo cual, pierden interés en la clase y en su forma de resolución. Todos ellos tienen aplicaciones prácticas que pueden ser del interés de las alumnas y con manejo de información sencilla. En la actualidad muchas escuelas modifican sus curricula hacia una visión constructivista, en la que se promueve la construcción del conocimiento y el aprendizaje está centrado en el estudiante sin embargo, al revisar algunos libros de álgebra a nivel preparatoria en español como el Algebra de los autores Oteyza, Lam, Hernández y Carrillo (2003) o Algebra de Leithold (1999), se puede encontrar que, al plantear la resolución de problemas se sigue un método en el cual se plantea el problema en lenguaje coloquial, a continuación se presenta la ecuación planteada para la resolución del problema y los pasos necesarios para resolver la ecuación, de la que al final se obtiene la respuesta. No se presenta la forma como se obtiene la ecuación, ni la forma de analizar el problema. El comentario de algunos alumnos muchas veces es que lo pueden realizar en compañía del maestro, pero se les dificulta mucho cuando pretenden hacerlo solos y sin la ayuda del maestro. Por lo anterior, los cuestionamientos que se presentan son ¿Qué diferencias existen entre la enseñanza de la resolución de problemas algebraicos con el uso de metodología tradicional y con el uso de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo? ¿De qué forma el uso de dichas estrategias constructivistas favorece el aprendizaje sobre la resolución de problemas y apoya a las alumnas en la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto? ¿En qué manera estas estrategias constructivistas contribuyen. - 10 -.

(18) a que el estudiante mejore el rendimiento académico al resolver problemas similares a los desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos? Los textos sobre resolución de problemas hacen un análisis sobre los problemas y la forma en que se resuelven, y varias son las propuestas existentes para la resolución de problemas, como la de Polya (2001) que aunque data de 1965, sigue siendo un importante referente en el tema, y se detalla más adelante. La presente investigación busca, tomando como base la propuesta de Polya (2001) de cuatro pasos para resolver problemas, encontrar si el uso de estrategias constructivistas en el aula, pueden complementar la primera fase de su propuesta, es decir ¿Cómo se pueden incluir estrategias constructivistas a la propuesta de Polya para la enseñanza de resolución de problemas en álgebra? Como se comentó, el colegio en el que se desarrolló la investigación, desde hace más de 6 años viene realizando cambios hacia una metodología constructivista de educación; una de las áreas de oportunidad de la investigación es apoyar la metodología propuesta por la escuela, y buscar evidencia de las mejoras que promueve el enfoque constructivista, específicamente en la enseñanza de las matemáticas, no sólo para los padres de familia, sino también para los profesores que no están convencidos de la metodología. Para realizar la presente investigación se propuso tener dos grupos de alumnas de primer año de preparatoria para enseñarles la resolución de problemas con dos metodologías distintas: la tradicional y la constructivista. En el primer grupo se enseñó la resolución de problemas de forma tradicional, con la ayuda de un texto y sirvió como grupo de control. En el segundo grupo se utilizó el aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo para tratar que las alumnas construyeran estrategias o lineamientos para la resolución de problemas. Ambos grupos presentaron después un examen sobre el tema, para comparar los resultados obtenidos en cada uno de ellos.. 1.4 Objetivos de la investigación La presente investigación tiene como objetivo principal encontrar diferencias en el aprendizaje de la resolución de problemas algebraicos con el uso de dos metodologías: la tradicional y la basada en el uso de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo.. -11 -.

(19) Como objetivos específicos se plantea: •. Encontrar de que manera el uso de las estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo apoya a las alumnas en la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto con respecto a la enseñanza tradicional del mismo tema.. •. Identificar si las alumnas pueden resolver problemas similares a los desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos.. 1.5 Supuesto de investigación y justificación de la investigación Mediante la investigación, se desea verificar si el uso de las estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo en la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos permite lograr un mejor desempeño de las alumnas en la resolución de problemas matemáticos y la transferencia de los conceptos a problemas tanto similares como nuevos, es decir, diferentes a los propuestos en el experimento. De obtener la confirmación de la hipótesis propuesta, y tomando en cuenta las limitantes de la investigación, se podrá concluir que el uso de dichas estrategias, pueden ser una herramienta de apoyo en la enseñanza de las matemáticas, específicamente en la resolución de problemas, que podría favorecer a los maestros en su enseñanza y auxiliar a los estudiantes a mejorar la comprensión del tema.. 1.6 Limitaciones y delimitaciones El estudio se realizó dentro de la enseñanza del curso escolar, la conformación de los grupos no fue elegida de forma aleatoria, es la Dirección Escolar la que determina la asignación de las alumnas en cada uno de los grupos. La propuesta de la investigación fue tomar de forma aleatoria dos de los tres salones existentes en los que se imparte el tema, para en uno de ellos usar la metodología tradicional en el aprendizaje y en el otro, utilizar las estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo. Al no ser aleatoria la elección de las participantes, es posible que otras variables no contempladas impidan tener resultados confiables en un alto porcentaje.. - 12 -.

(20) En los exámenes existe la posibilidad que se tengan resultados en los que influya la capacidad de las alumnas tanto o más que la metodología de enseñanza. Al ser los grupos de más de 25 alumnas se revisó de forma estadística para comparar los resultados. Las entrevistas de las alumnas pueden aportar información sobre la forma en la que resuelven los problemas, pero en algunos de los casos, las alumnas pueden mostrar apatía debido a que no ven utilidad en la resolución de problemas y no se esfuerzan en realizar los problemas propuestos. El tiempo dedicado a la enseñanza de los problemas fue muy corto, por lo cual es posible que no se obtengan resultados que permitan comprobar la hipótesis. Una limitante muy importante es que la investigación fue realizada por la misma persona que impartió la clase en ambos salones, por lo cual es posible que el ser juez y parte del proceso no permita un análisis completamente objetivo de los resultados, y las creencias y las convicciones de la maestra e investigadora pueden llegar a influir sobre el análisis de los resultados.. 1.7 Definición de términos. Constructivismo: Paradigma que tiene como raíces filosóficas el Idealismo, racionalismo-dialéctico, empirismo, positivismo lógico, fenomenología y hermenéutica y se sustenta en el subjetivismo, la realidad se descubre, se construye. El conocimiento es una construcción humana, se negocia, se hace por consenso. Las metas de la educación son potenciar el desarrollo del alumno y promover su autonomía moral e intelectual, contribuir a la génesis de hombres que sean capaces de hacer cosas nuevas y formar mentes críticas, capaces de verificar y no aceptar todo lo que se les ofrezca. Alcanzar el pensamiento racional. La meta de la enseñanza consiste en favorecer en el estudiante la construcción significativa y representativa de la estructura del mundo, que pueda elaborar e interpretar la información existente. Su concepción del aprendizaje consiste en la construcción de nuevos conocimientos a partir de los conocimientos previos, del desarrollo y de la maduración. El aprendizaje consiste en la creación de significados a partir de las propias experiencias del estudiante y de su nivel de maduración. El aprendizaje es una actividad mental, la mente filtra lo que llega del mundo exterior para producir su propia y única realidad. El constructivismo reconoce que las experiencias individuales y directas con el medio ambiente son críticas. Pero son los seres humanos quienes crean significados, y. -13-.

(21) los interpretan. En el aprendizaje entran en juego el estudiante, las condiciones ambientales (que incluyen al docente) y la interacción entre estos componentes. Los conceptos cambian, evolucionan continuamente con toda nueva utilización que se hace de ellos. La transferencia se basa en cuan efectiva es la estructura del conocimiento del estudiante para facilitarle el pensamiento y el desempeño en el sistema en el cual realmente se utilizan esas herramientas. El rol del docente es acompañar al educando en la construcción de los conocimientos, promueve una atmósfera de reciprocidad, respeto y confianza para el aprendiz. Es un facilitador, respeta las estrategias de conocimiento del educando, los errores que se suceden en la aproximación a la construcción de "conocimientos acordados" y sabe hacer uso de ellos para profundizar en el aprendizaje. El rol del estudiante es ser creativo e inventivo, constructor activo de su propio conocimiento. No está exento de equivocaciones y confusiones, esto es parte central de su aprendizaje. La evaluación debe ser integral. Sirve de fundamento a la evaluación cualitativa, y está dirigida igualmente al aprendizaje. Aprendizaje colaborativo:. conjunto de métodos de instrucción y entrenamiento así como estrategias para. propiciar el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social) donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje como del de los restantes del grupo. Panitz (1999) lo define no solo como una técnica a usarse en el aula, sino como una filosofía de vida; lo propone para todas las situaciones donde se trabaja en grupos, y sugiere que es una manera de tratar a la gente respetuosamente y destacando las capacidades y las contribuciones de los miembros individuales del grupo, compartiendo la autoridad y la aceptación de la responsabilidad entre los miembros del grupo, de las acciones de los grupos. Está basada en la creación del consenso con la cooperación de los miembros del grupo, en contraste con un ambiente competitivo en la cual los individuos intentan mejorara otros miembros del grupo. Metacognición. Burón (1997) la define como el conocimiento y regulación de las cogniciones y los procesos mentales, entendiendo por cognición a cualquier operación mental. Problemas matemáticos:. Ñapóles (2005) afirma que para que exista un problema debe existir una. persona para resolver (resolutor), un estado inicial y un estado final o meta a alcanzar, y algún tipo de impedimento para el paso de un estado a otro.. - 14 -.

(22) El objetivo de la investigación es encontrar si el uso de estrategias constructivistas en la enseñanza de resolución de problemas permite lograr mejores resultados llevando a cabo dos clases: una con el uso de estrategias y otra sin su uso verificando los resultados en un examen posterior. A continuación se presentan los fundamentos teóricos encontrados para la realización de la investigación.. - 15-.

(23) CAPITULO 2 REVISIÓN DE LA LITERATURA Introducción En este capítulo se analizan los conceptos que fundamentan el estudio de investigación propuesto. Se presenta primero una revisión de investigaciones relativas al tema propuesto y se detalla como ha evolucionado la didáctica de las matemáticas en el tiempo para tener una visión completa de la situación de la enseñanza. Posteriormente, se revisan las propuestas sobre resolución de problemas, se presentan los fundamentos del constructivismo y como han afectado a la enseñanza de las matemáticas.. 2.1 Antecedentes de la investigación Fortunato y Hetch (1991) realizaron un estudio en alumnos de séptimo grado y se les pidió contestar un cuestionario sobre habilidades de metacognición al momento de resolver problemas matemáticos. El cuestionario consistía de cuatro secciones, tres corresponden a los momentos de la resolución de un problema: antes de resolver el problema, durante la resolución, al finalizar el problema y una sección sobre las estrategias de resolución del problema. El cuestionario permitía las respuestas de si, no o tal vez. Participaron ciento sesenta y cinco estudiantes de veintitrés clases sobre la forma en que resolvían problemas no rutinarios. Las investigadoras encontraron que para verificar las habilidades metacognitivas es necesario que los estudiantes trabajen con problemas no rutinarios, y si se les presentan problemas sencillos que pueden resolver aplicando un algoritmo, no reflexionan sobre sus formas de resolución. Lo anterior lleva a concluir que es necesario que los problemas a usar presenten a los estudiantes un reto y que se puedan resolver por varias formas. Fortunato y Hetch (1991) comentan que las respuestas que se reciben al usar este tipo de cuestionarios que hacen que los alumnos reflexionen permiten a los maestros diseñar actividades para el aula. Entre los posibles usos del cuestionario, las investigadoras comentan que puede resolverse de manera individual y usarse para una discusión plenaria en el salón en donde se pida a los estudiantes que reflexiones sobre sus respuestas. También puede servir para que los alumnos reconozcan las. - 16 -.

(24) estrategias que utilizan y las puedan usar a la hora de resolver otros problemas. Asimismo puede usarse para que los estudiantes identifiquen la forma en que analizan los problemas en la etapa de planeación. A manera de conclusión las autoras comentan que el uso de este tipo de cuestionarios sobre habilidades metacognitivas para la resolución de problemas matemáticos puede apoyar a los maestros a identificar como los estudiantes reflexionan los problemas y definir estrategias o temas que deban enfatizarse a la hora de la enseñanza, para poder mejorar el aprendizaje del tema. Por otro lado, Alsup (2005) realizó una investigación en la que compara la instrucción tradicional y la instrucción constructivista en matemáticas. Con su estudio, demuestra que la instrucción constructivista ofrece muchas ventajas. En su estudio utilizó modelos de clases constructivistas en salones de maestros de matemáticas de nivel elemental; examinó la eficacia de la instrucción constructivista sobre la ansiedad hacia las matemáticas, las creencias sobre su eficiencia y sus percepciones sobre autonomía. Los participantes de la investigación fueron estudiantes de matemáticas conceptual I y II, cursos obligatorios a nivel licenciatura. Se tomaron, de ambas materias, grupos de control y grupos experimentales. Investigó la ansiedad, porque puede tener efectos nocivos en el aprendizaje de las matemáticas, y porque como comenta Hembree 1990 (citado por Alsup, 2005), los maestros de nivel elemental presentan mayores grados de ansiedad que los de otros niveles. Se escogió la eficiencia personal porque tiene una relación directa con la apertura hacia nuevas metodologías y reformas prácticas (De Mesquita & Drake, 1994), citado por el autor, y según la teoría de Bandura (1997) citado por Alsup (2005), el aprendizaje social aplicado a las clases de matemáticas, tiene buenos resultados cuando las expectativas del maestro son buenas tanto en la metodología como en su capacidad de enseñar matemáticas. Se eligió la autonomía porque los profesores de nivel elemental son a menudo, dependientes de sus maestros pasivos, confían en la memorización, los algoritmos y procedimientos en vez de su propio pensamiento independiente como comenta Ball (1990) citado por Alsup (2005). Para el análisis de la ansiedad, el estudio utilizó una escala tipo likert en la cual entre mayor es el resultado obtenido, mayor es el nivel de ansiedad. Para ello, se analizaron la ansiedad hacia las pruebas de matemáticas, ansiedad hacia ejecutar operaciones numéricas y ansiedad sobre tomar un curso de las matemáticas. Para la las creencias sobre la eficacia en matemáticas se utilizó un instrumento, creado. - 17-.

(25) con anterioridad, que mide la confianza en la capacidad de enseñar matemáticas y la creencia que la enseñanza eficaz influencia sobre el aprendizaje de los estudiantes. Para medir la autonomía se usó una escala simple. El estudio examinó la hipótesis referente a que los profesores de nivel elemental que tomaron un curso de las matemáticas diseñado para acentuar aprendizaje activo y modelo constructivista mostrarían un aumento en la percepción sobre su capacidad de enseñar matemáticas a los niños, una sensación creciente de autonomía, y una disminución de su ansiedad hacia las matemáticas, en comparación con los profesores que habían tomado un formato más tradicional de instrucción. Para las clases tradicionales se explicó un primer ejemplo completo, contestando todas las dudas que surgieron en los alumnos y se siguió con el trabajo en equipo utilizando problemas afines al explicado en el pizarrón, para lo que se dio un método de solución. En el grupo experimental se les presentó el primer problema sin explicación previa y se permitió a los alumnos encontrar varias formas de solución; se centró en todo momento el aprendizaje en el alumno, se promovió la comunicación, el razonamiento y el desarrollo de la comprensión conceptual profunda de las matemáticas. En todos los grupos, se enfatizó la resolución de problemas y la comparación conceptual, así como el análisis de los procedimientos. Para reflexionar sobre los procedimientos, se hizo escribir un ensayo a los participantes sobre las formas que solucionaban los problemas. Al los participantes se les midió, antes y después de las clases, los niveles de ansiedad, eficacia y autonomía. Como resultados se obtuvo que en general el nivel de ansiedad de todos los participantes bajó de manera colectiva. La percepción sobre la eficacia también aumentó de manera significativa en ambos grupos, sin mostrarse diferencias significativas entre los grupos de control y experimental. Los participantes experimentaron un aumento impresionante en su sentido de la autonomía, en mayor escala los del grupo experimental. Así mismo el investigador menciona que aunque solo en autonomía los resultados fueron mejores en el grupo experimental, no se puede concluir que esto hubiera sido debido a la metodología puesto que existen otras variables que intervienen como el contenido, el instructor, y el ambiente del grupo.. - 18-.

(26) Suk (2005) realizó una investigación para determinar la eficacia de la instrucción constructivista en matemáticas a nivel primaria, en el área de desempeño académico, auto - concepto, estrategias de aprendizaje, y preferencia sobre la metodología constructivista sobre la tradicional. Participaron setenta y seis estudiantes de sexto grado en Korea divididos en dos grupos, uno de control con un enfoque tradicional y otro experimental con enfoque constructivista. El objetivo del estudio fue validar las reformas constructivistas propuestas en las escuelas por el estado. El tema que se impartió en ambos grupos fue de geometría que incluía áreas de círculos y se trabajó durante cuarenta horas en nueve semanas. Las clases constructivistas consideraban el aprendizaje centrado en el estudiante y estaban divididas en cinco fases: apertura, exploración, propuestas, explicación y solución y tomar acción sobre lo propuesto. Las clases tradicionales eran centradas en el maestro el cual daba la clase en tres fases: introducción, desarrollo y revisión de conceptos. En su estudio, Suk (2005) utilizó instrumentos para medir las variables definidas y se concluyó que la enseñanza constructivista es más eficaz en términos de logro académico de estudiantes; la enseñanza constructivista no es eficaz en términos de mejora del auto - concepto; la estrategia de aprendizaje de los estudiantes cambia en términos generales, pero tiene efecto sobre la motivación para aprender las tareas académicas y los estudiantes tienen cierta preferencia por un ambiente de enseñanza constructivista. Pugalee (2001) realizó un experimento para revisar la relación entre las matemáticas y la metacognición. El estudió validó si la escritura de los estudiantes sobre sus procesos matemáticos al solucionar problemas mostró evidencia de comportamientos metacognitivos. Se incluyeron veinte estudiantes de noveno grado de la clase de álgebra que dieron descripciones escritas de sus procesos o estrategias de resolución de problemas mientras trabajaban en problemas matemáticos. Las descripciones escritas de los estudiantes demostraron el uso de varios comportamientos metacognitivos durante la planeación, la organización, la ejecución y fases de la verificación de solucionar de problema matemático. Los resultados de este estudio subrayan la importancia de incluir la escritura de los procesos como parte integral del plan de estudios de las matemáticas y acentúan la necesidad de la investigación. - 19-.

(27) adicional sobre escribir en matemáticas. El estudio menciona sobre la importancia de la escritura como proceso constructivo del conocimiento, y cita a Vygotsky que sostuvo que el escribir involucra la acción de análisis conciente del que lo realiza, y que las palabras escritas requieren condensar máximo el discurso interno de modo que sea comprensible. Se escogieron para el estudio seis problemas de diferente grado de dificultad, y con varias formas de resolución. Para obtener la información se pidió a los participantes, que ya tenían experiencia previa en escribir en matemáticas, tomar nota de todo lo que les viniera a la mente al resolver los problemas propuestos, el maestro les hizo comentarios todas las clases sobre sus escritos y se pidió a les participantes leer dichos comentarios. Como resultados, el investigador obtuvo a través de un análisis cualitativo y revisando las frecuencias de los procesos, los comportamientos metacognitivos en las cuatro fases de la solución de problemas. En la fase de planeación se incluyeron comportamientos como evaluar y entender el problema y los comportamientos metacognitivos asociados fueron: leer una o varias veces, representación del problema, análisis de la información y de las condiciones y verificación de la dificultad del problema. Los comportamientos metacognitivos que se verificaron en la etapa de organización se enfocaron al plan de acción y fueron: identificación de metas; desarrollo de un plan general de resolución, representaciones o diagramas realizados y organización de la información. En la etapa de ejecución se incluyeron el logro y revisión de metas locales y globales, así como la realización de cálculos. La fase de la verificación consistió en evaluar las decisiones y los resultados; incluyeron cualquier comprobación del trabajo. Pugalee (2001) concluye que el escribir tiene implicaciones importantes en la enseñanza el aprendizaje de las matemáticas. Un marco metacognitivo fue evidente en los estudiantes que escriben sobre sus procesos en las cuatro etapas de la resolución de problemas: planeación, organización, ejecución y verificación. Comenta que con el fin de reforzar estos resultados es necesario mayor investigación, para profundizar sobre la escritura y el desarrollo metacognitivo en matemáticas. Un punto interesante es que adicionalmente se obtiene información que puede servir a los maestros, tanto para la enseñanza como para la evaluación de los alumnos en la forma que aprenden y piensan en matemáticas.. -20-.

(28) Mevarech y Kramarski (2003) realizaron un estudió en Israel que examina dos formas de estructurar la interacción de un grupo, uno se basa en los ejemplos previamente elaborados y el otro en el entrenamiento metacognitivo. Los dos métodos fueron realizados en ambientes colaborativos y ambos dirigían a los estudiantes a enfocarse en las partes esenciales de los problemas y en las estrategias de solución. El objetivo del estudio era investigar los efectos del entrenamiento metacognitivo contra ejemplos elaborados en el razonamiento matemático y la comunicación matemática de los estudiantes y comparar los efectos a largo plazo de los dos métodos en el desempeño matemático. El estudio fue conducido en dos años académicos. Los participantes durante el primer año del estudio fueron 122 estudiantes israelíes del octavo grado que estudiaron álgebra en cinco salones heterogéneos. Un año más tarde, cuando estos participantes eran de noveno grado, los reexaminaron usando la misma prueba. Tres medidas fueron utilizadas de determinar el logro matemático de los estudiantes: una prueba anterior al experimento, un examen inmediato al experimento, y un examen posterior, estando en noveno grado. Se analizaron los siguientes criterios: explicaciones verbales, representaciones algebraicas y solución algebraica, comportamientos cooperativos, cognoscitivos, y metacognitivos. En el experimento, todos los estudiantes trabajaron en ambiente colaborativo, con el mismo libro de texto y el mismo número de clases. Resolvieron exactamente los mismos problemas y el uso los mismos problemas como introducción y revisión. El tema que se trató fue el de velocidad uniforme durante cuatro semanas un grupo usando ejemplos previamente elaborados y con ejercicios en un cuadernillo y otro en un ambiente metacognitivo. El grupo que trabajó por medio de ejemplos elaborados, los problemas son explicados por medio de un ejemplo, especificando todos los pasos para la resolución; seguido de la resolución de cuatro problemas similares por parte para consolidar los procedimientos aprendidos. En el ambiente metacognitivo, a los estudiantes no se les dio un ejemplo previamente elaborado, fueron dirigidos para activar preguntas metacognitivas que incluyeron preguntas de comprensión, preguntas de conexión, preguntas estratégicas y preguntas de reflexión. Los estudiantes formularon y contestaron a las preguntas metacognitivas mientras trabajaron en los problemas. Cada nuevo tipo de. -21 -.

(29) problema fue seguido por una serie de cuatro problemas que requirieron una solución con preguntas metacognitivas. Los estudiantes que fueron expuestos al entrenamiento metacognitivo superaron a los estudiantes que fueron expuestos a los ejemplos elaborados en los exámenes inmediatos y posteriores. Las diferencias entre las dos condiciones fueron observadas en la capacidad de los estudiantes de explicar su razonamiento matemático durante el discurso y en la escritura. Los estudiantes más bajos mejoraron más cuando trabajaron en el ambiente metacognitivo. Mevarech y Kramarski (2003) concluyen a partir de su análisis que tanto la tarea como la forma en que interactúan los estudiantes son variables importantes en la implementación de los ambientes colaborativos que afectan en el resultado obtenido. Mencionan que para promover un alto nivel cognitivo, es importante usar tareas no rutinarias o tareas polémicas que implican situaciones complejas. Encontraron que los estudiantes académicamente más bajos fueron los que obtuvieron mayores beneficios en el ambiente metacognitivo.. 2.2 La didáctica de las matemáticas La enseñanza de las matemáticas ha sufrido una gran evolución en las últimas décadas. García (s.f.) comenta que ha existido, y existe en la actualidad, una lucha entre la postura idealista que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y la postura práctica que pide el reestablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje de las matemáticas. En dichas décadas, las tendencias del currículo sobre la materia han estado definidas por las siguientes corrientes: • La enseñanza clásica o tradicional de la matemática, anterior en tiempo y que consideraba cada una de las áreas de forma independiente y se enfoca sobre cada uno de los capítulos de las matemáticas que constituían los elementos-base de la teoría misma, es decir sobre los números, sobre el punto, sobre la recta, etc. abordados de manera discontinua. En este plan, se impone un proceso mecánico para la resolución de los problemas, así como el aprendizaje por memorización. Los conocimientos no están relacionados entre sí y las aplicaciones de los procesos algorítmicos toman mayor relevancia que sus aplicaciones.. -22 -.

(30) Kline (1999) menciona que el plan tradicional tiene algunos defectos como pueden ser la confianza en la memorización, el tratamiento dispar entre el álgebra y la geometría, la falta de motivación o atractivo para los estudiantes, así como el uso de libros oscuros y repetitivos. • La matemática moderna: inicia en los años cincuenta y pretendía transmitir a los alumnos el carácter lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo, unificar los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función. El plan de la matemática moderna toma al razonamiento lógico como el camino para la construcción de los conocimientos, el rigor, la precisión de la terminología y la simbología así como el énfasis de la matemática por la matemática misma. Castelnuovo (1990) explica como en la década de los sesenta se crearon organizaciones de matemáticos en Europa como la OECE (Organización Europea de Cooperación Económica) para promover la reforma de la matemática moderna en muchos países y promover programas afines, haciendo hincapié en algunos temas como la teoría de conjuntos, funciones y transformaciones. La forma de enseñar es por medio de la enseñanza verbal, uso de definiciones, el paso de lo concreto a lo abstracto usando de múltiples materiales que favorezcan esta transición. Esta metodología, menciona Castelnuovo (1990), exige del docente una seria preparación y una larga visión de la ciencia junto con un profundo conocimiento de la psicología infantil. En Europa se tienen dos posturas de esta metodología, por un lado la de los países bajos, donde por medio de otras representaciones se encuentran conceptos y propiedades de la aritmética o de la geometría y se busca obtener por medio del uso de ejemplos la abstracción de conceptos y por otro, la italiana que busca encontrar ejemplos de los conceptos abstractos. Kline (1999) menciona que el término matemáticas moderna, se estableció porque se creía que las matemáticas en el plan tradicional eran anticuadas. • La resolución de problemas, que inicia hace algunas décadas y puede ser visto desde tres enfoques: enseñar para resolver problemas, enseñar sobre la resolución de problemas y enseñar vía resolver problemas, que se usa hasta la actualidad. El Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM) propuso desde la década de los ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar.. -23-.

(31) Profundizando sobre el término, existen múltiples definiciones de problemas matemáticos. Ñapóles (2005) afirma que para que exista un problema es necesario que exista una persona para resolver (resolutor), un estado inicial, un estado final o meta a alcanzar, así como algún tipo de impedimento para el paso de un estado a otro. Al hablar sobre los principales resultados de investigación Vilanova y otros (2001) mencionan cuatro áreas de indagación sobre resolución de problemas en las que se han hecho importantes progresos: la determinación de la dificultad en los problemas; la distinción entre buenos y malos resolutores; la instrucción y el estudio de la metacognición. Borasi (1985) define cuatro elementos estructurales en los problemas a los que se debe prestar atención que son la formulación del problema, el contexto, las soluciones y los métodos de resolverlos así como la persona a la que se plantea el problema, es decir, la capacidad del resolutor. Borasi (1985) clasifica los problemas como ejercicios de contexto, problema de palabras, de conjetura, acertijos, problemas de la vida real, situación problemática o situación. Blanco (1993) tomando como base otros autores, clasifica los problemas matemáticos según las actividades necesarias para realizarlos en ejercicios de reconocimiento, ejercicios algorítmicos o de repetición, problemas de traducción simple o compleja, problemas de procesos, problemas sobre situaciones reales, problemas de investigación matemática, problemas de acertijos o historias matemáticas. García (s. f.) al definir un problema, afirma que debe tener tres elementos: la aceptación y compromiso por parte del grupo o individuo, el bloqueo o la falta de fruto con intentos o técnicas habituales y la exploración de nuevos métodos para atacar el problema. Polya (2001) por su parte, los definió como buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. Para Schoenfeld (citado en Resnick, 1989) un problema matemático es una tarea en la que el estudiante esta interesado, comprometido y para el cual desea obtener una solución y no tiene o conoce el proceso para llegar a dicha solución. Esta definición tiene como consecuencia que el estudiante debe tener un compromiso de resolución; de igual forma, toma en consideración que las tareas no son problemas en sí mismos y que dependen del nivel de conocimiento del resolutor.. -24-.

(32) Diferentes autores han propuesto fases, pasos, o etapas para poder resolver problemas matemáticos. Sobre el proceso de resolución de un problema la postura de Polya (2001) presentada desde 1945 y aún vigente y cuenta con cuatro fases bien definidas: •. Comprender el problema. Aunque parece obvio, a veces no se puede resolver el problema porque no se entiende todo o alguna parte de la él. Es necesario verificar que se comprenden todas las palabras, se sabe que están preguntando, revisar si se tiene la suficiente información o se puede usar un esquema o un gcáfico pava entendev vnejov e\ problema.. •. Concebir un plan para llegar a la solución. Muchas son las formas de resolver problemas; la habilidad para escoger la mejor estrategia, se obtiene resolviendo problemas. Entre las posibles estrategias están tanteo, por eliminación, buscando patrones, o usando gráficas, por métodos algebraicos, o usando una fórmula, entre otros.. •. Ejecutar el plan. Normalmente, más fácil que la planeación, se debe tener paciencia y cuidado, trabajar sobre lo planeado, pero estar abierto al uso de otra estrategia si la elegida no funciona.. •. Mirar atrás, examinar la solución obtenida, si es congruente, revisar los pasos realizados así como los cálculos, ver i es posible una comprobación o la obtención del resultado por otro método o estrategia.. Schoenfeld (1985) propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis del comportamiento en la resolución de problemas: •. Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del estudiante que resuelve.. •. Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas. Las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas. Sobre las heurísticas Schoenfeld (1985), las define como reglas o modos de comportamiento en el proceso de resolución y dice que la mayor parte de las veces se carece de ellas.. -25-.

(33) •. Control: es aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles del resolutor. Las decisiones que permiten realizar el proceso y tienen consecuencias globales en la resolución. Son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica para este tipo de decisiones.. •. Sistema de creencias: La perspectiva de cada persona con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella. Existen actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución como son la inflexibilidad para considerar alternativas, la rigidez en la ejecución de procedimientos, o la incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.. Para solucionar problemas en matemáticas Wilson, Fernández y Hadaway (1993) proponen una buena base de conocimientos específicos en matemáticas, algoritmos y heurísticas que son tipos de información a disposición de los estudiantes en la toma de decisiones durante la resolución de problemas. También propone la construcción de algunos mecanismos de decisión para seleccionar de entre las heurísticas disponibles o el desarrollo de otras nuevas según la situación. Una parte muy importante es reflexionar sobre lo realizado, mirar atrás para aprender de los aciertos y de los errores y cuestionarse sobre otras opciones de resolución. Las nuevas propuestas curriculares toman a la resolución de problemas como la base de la enseñanza de las matemáticas buscando cambiar la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas y su aprendizaje, Con los nuevos curricula se busca que en la clase de matemáticas mediante el uso de la resolución de problemas, se promuevan habilidades cognitivas como abstraer, aplicar, convencer, clasificar, inferir, organizar, representar, idear, generalizar, comparar, explicar, diseñar y desarrollar modelos, validar, conjeturar, analizar, contar, medir, sintetizar y ordenar.. 2.3 Constructivismo Una de las nuevas corrientes en la enseñanza que surgió después del conductismo es el constructivismo. Dicha corriente como menciona Woolflook (1999) destaca la convicción que el conocimiento se construye activamente por sujetos cognoscentes, que no se recibe pasivamente del ambiente. Los estudiantes interactúan a través de actividades colaborativas para construir el. -26-.

(34) conocimiento. En la actualidad existen varios tipos de constructivismo, Díaz Barriga (2002) propone el cognitivo o procesamiento de la información y aprendizaje estratégico, caracterizado por la teoría de la atribución y la motivación por aprender, y el énfasis en el desarrollo de habilidades del pensamiento; el psicogenético el cual propone que la competencia cognitiva está en función al nivel de desarrollo intelectual y la adquisición del conocimiento es un proceso de adaptación; y el socio cultural que determina la naturaleza social del conocimiento, el énfasis en el aprendizaje guiado y cooperativo y así como el andamiaje y el ajuste de la ayuda pedagógica en contexto. Para el constructivismo aprender es aprender a aprender. Es hacerse autónomo e independiente, necesitar cada vez menos del apoyo de los adultos o pares con mayor experiencia. El constructivismo equipara al aprendizaje con la creación de significados a partir de experiencias. Los constructivistas consideran que la mente filtra lo que llega del mundo para producir su propia y única realidad. No niegan la existencia del mundo real, sostienen que lo que se conoce de él nace de la propia interpretación de las experiencias personales. Afirman que los humanos crean significados, no los adquieren. Woolflook (1999) afirma que en el constructivismo el alumno es autónomo y autorregulado. Constructor activo con los otros y consigo mismo, aprende a aprender. Procesador activo de la información, interpreta y cuestiona. Tiene una participación social activa. La posición constructivista, definen Ertmery Newby (1993), es que la transferencia de los conocimientos se facilita colocando a la persona o estudiantes en tareas auténticas, ubicadas o situadas en contextos significativos porque el aprendizaje siempre toma lugar en un contexto y que el contexto forma un vínculo con el conocimiento inmerso en él. Los orígenes del constructivismo se encuentran con los primeros trabajos realizados por Jean Piaget sobre la lógica y el pensamiento verbal de los niños y que se realizaron a partir de sus inquietudes sobre el conocimiento. Piaget proponía que existía una continuidad entre la vida y el pensamiento. Los piagetianos, comenta Hernández (2002), otorgan un papel activo al sujeto en el proceso del conocimiento y proponen que la información del medio es importante pero no suficiente para que el sujeto conozca. Consideran que la información obtenida por los sentidos está fuertemente condicionada por los marcos conceptuales que orientan todo el proceso de adquisición de los conocimientos, que son construidos por el sujeto cognoscente cuando interactúa con los objetos físicos y sociales.. -27-.

(35) Para Piaget existen dos funciones fundamentales en el proceso de desarrollo cognitivo que son los procesos de organización y de adaptación. La organización permite conservar en sistemas coherentes la interacción con el medio, mientras la adaptación permite al sujeto lograr un ajuste dinámico con el ambiente y supone dos procesos igualmente indisolubles: la asimilación y la acomodación. Ambos procesos buscan lograr el equilibrio del sujeto con el medio. Partiendo del hecho de que el desarrollo cognitivo es resultado de equilibrios progresivos, Piaget define etapas en el desarrollo cognitivo, cortes de tiempo, en los cuales tiene lugar la génesis, desarrollo y consolidación de estructuras mentales. Los piagetianos distinguen tres etapas del desarrollo intelectual, a saber sensorio-motriz, de las operaciones concretas y de las operaciones formales. Durante la etapa de operaciones formales, el adolescente construye esquemas operatorioformales, el pensamiento se vuelve más abstracto, al grado de razonar sobre proposiciones verbales sin referencia a situaciones concretas, su pensamiento se vuelve hipotético-deductivo. Vigotsky, como el representante del constructivismo sociocultural, resalta la importancia de la interacción social en el proceso de aprendizaje aparte de la construcción individual. Para él, la relación entre el sujeto y el objeto de conocimiento está mediada por la actividad que el individuo realiza sobre el objeto con el uso de instrumentos socioculturales, es decir, las herramientas y los signos. Define que a través de la actividad mediada, en interacción con su contexto sociocultural, el sujeto construyeinternaliza las funciones psicológicas superiores y la conciencia. El cree que el conocimiento tiene su origen en la interacción dialéctica entre el sujeto cognoscente y el objeto, dentro de un marco históricocontextual del que forma parte el sujeto y que lo determina. Su teoría está basada en los principios del método genético o evolutivo, en donde las funciones psicológicas superiores tienen su raíz en las relaciones sociales y los procesos psicológicos superiores pueden entenderse mediante el estudio de la actividad mediada instrumental, donde influye de manera determinante el contexto sociocultural. A partir de esto, crea el concepto de "zona de desarrollo próximo" (ZDP) I cual define como la distancia existente entre el nivel real y autónoma de desarrollo del niño y el nivel de desarrollo potencial manifestada gracias al apoyo de otra persona, por lo tanto, es crucial el desarrollo cognoscitivo y la cultura.. -28-.