EPSEM-UPC Métodos Matemáticos
E.T.S. MinasTema 1: Preliminares Practica 2
Prof: Francisco Palacios
Septiembre 2008, versión 1.2• Extremos de funciones continuas en intervalos cerrados
• Complejos
• Inecuaciones
• Acotación
• Polinomio interpolador
Ejemplo 4.1 del Tema Preliminares
Extremos absolutos de la función f(x)=x^2-4*x+3 en el intervalo [0,3]
> f:=x^2-4*x+3;#definimos f como expresión :=
f x2 − + 4 x 3
> df:=diff(f,x); #calculamos la derivada :=
df 2 x − 4
> s:=solve(df=0,x);# calculamos los puntos estacionarios :=
s 2
> fs:=unapply(f,x); #definimos f como función con el nombre fs :=
fs x → x2 − + 4 x 3
> fs(0); #calculamos fs en el punto frontera incial fs(s); #calculamos fs en el punto crítico interio fs(3); #calculamos fs en el punto frontera final
3 -1 0
El máximo absoluto es M=3 y se produce en x=0, el mínimo absoluto es m=-1 y se produce en x=2. Verificamos el resultado con una representación gráfica.
> plot(f,x=0..3);
x
3 2.5
2 1.5
1 0.5
3
2
1
0
25 25
Exercicio 13: Cálculo de módulo y argumento. Conversión a forma polar. Entrada de complejos en forma polar.
> z3:=-1+I;
:=
z3 − + 1 I
> r:=abs(z3);
:=
r 2
> theta:=argument(z3);
θ := 3 4π Podemos obtener la forma polar con convert(complejo, polar).
> convert(z3,polar);
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
polar 2,3 4π
> z4:=z3^2;
:=
z4 −2 I
> convert(z4,polar);
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
polar 2,−1 2π Tabién podemos entrar un complejo en forma polar.
> z:=polar(2,Pi/4);
:=
z ⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
polar 2,1 4π Para pasar a forma binómica, usamos evalc (evaluación compleja).
> evalc(z);
+
2 I 2
Ejercicio 1: Inecuaciones, resolución con solve.
> ineq:=2*x-3<=1;
:=
ineq 2 x − 3 ≤ 1
> solve(ineq,x);
( )
RealRange −∞ 2, RealRange(a,b) representa el intervalo cerrado [a,b],
> ineq:=2*x-3<1;
:=
ineq 2 x − 3 < 1
> solve(ineq,x);
( )
RealRange −∞,Open 2( ) Open(2) indica que el intervalo es abierto en ese extremo.
> ineq:=x^2>=2*x+1;
:=
ineq 2 x + 1 ≤ x2
> s:=solve(ineq,x);
:=
s RealRange(−∞ − ,1 2),RealRange( 2 + 1,∞)
Resolcuón gráfica. Si la inecuación es cierta, toma el valor 1; cuando es falsa toma el valor cero. La opción thickness controla el grosor de linea.
> plot(ineq,x=-3..3,thickness=3);
Page 2
x 2 3 1
-1 -2
-3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Ejercicio 9
Máximo absoluto de la cuarta derivada de f(x)=x^2*ln(x) en el intervalo [1,2].
> f:=x^2*ln(x);
:=
f x2ln x( )
> f4:=diff(f,x$4);
:=
f4 − 2 x2
> plot(abs(f4),x=1..2);
x
2 1.8
1.6 1.4
1.2 1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Vemos que M4 vale 2
> M4:=2;
:=
M4 2
> a:=1;
b:=2;
ineq:=(b-a)/180*h^4*M4<=0.5*10^(-4);
:=
a 1
:=
b 2
> p:=interp(xx,yy,t);
:=
p 2 t2 − + 5 t 2 Transformamos el polinomio p en función.
> pf:=unapply(p,t);
:=
pf t → 2 t2 − + 5 t 2 Verificamos que p cumple las condiciones.
> pf(0);
2
> pf(1);
-1
> pf(2);
0 Ejemplo inicial de Polinomio de Taylor
> f:=exp(x);
:=
f ex Calculamos la serie de Taylor.
> s4:=series(f,x=0,5);
:=
s4 1 + + x 1 + + + 2x2 1
6x3 1
24x4 O x( 5) Calculamos el polinomio de orden 4.
> p4:=convert(s4,polynom);
:=
p4 1 + + x 1 + + 2x2 1
6x3 1 24x4 Representación conjunta del polinomio y la función en [-1,1]
> plot([f,p4],x=-1..1,colour=[red,blue]);
x
1 0.5
0 -0.5
-1
2.5
2
1.5
1
0.5
Representación en [-2,2].
> plot([f,p4],x=-2..2,colour=[red,blue]);
Page 4
x
2 1
-1 -2
7
6
5
4
3
2
1
0
Aproximación y error para x=0.5.
> p4f:=unapply(p4,x);
:=
p4f x → 1 + + x 1 + + 2x2 1
6x3 1 24x4
> v:=exp(0.5);
vp:=p4f(0.5);
error:=exp(0.5)-p4f(0.5);
:=
v 1.648721271 :=
vp 1.648437500 :=
error .000283771 Aproximación del valor de la integral entre 0 y 0.5
> v:=int(f,x=0..0.5);
:=
v .648721271
> vp:=int(p4,x=0..0.5);
:=
vp .6486979167
> error:=v-vp;
:=
error .0000233543
>
