Métodos Numéricos Ejercicios Tema 4: Resolución aproximada de EDO's Prof: Francisco Palacios EPSEM-UPC Marzo 2008, Versión 1.

(1)

Métodos Numéricos

Ejercicios Tema 4: Resolución aproximada de EDO's Prof: Francisco Palacios

EPSEM-UPC

Marzo 2008,

Versión 1.3

Ejercicio 2

Resolución con Maple de las EDO's del Ejercicio 1 Ejercicio 1.1

Este ejercicio es muy simple de resolver manualmente, sin embargo, la resolución con Maple puede complicarse.

Si calculas la integral de sin(5x), obtendrás

> f:=int(sin(5*x),x);

:=

f −1 5cos 5 x( ) Si optas por resolver la ecuación con dsolve, resulta

> edo:=diff(y(x),x)=sin(5*x);

s:=dsolve(edo,y(x));

:=

edo =

∂

xy x( ) sin 5 x( )

:=

s y x( ) = −16 + − + 5 cos x( )⁵ 4cos x( )³ cos x( ) _C1

Las dos soluciones son equivalentes, aunque no lo parezca a simple vista. Una forma de verificarlo es demostrar que difieren en una constante, para ello las restamos y derivamos respecto de x.

> g:=rhs(s)-f;

:=

g −16 + − + +

5 cos x( )⁵ 4cos x( )³ cos x( ) _C1 1 5cos 5 x( )

> g1:=diff(g,x);

:=

g1 16sin x( )cos x( )⁴ − 12sin x( )cos x( )² + sin x( ) − sin 5 x( ) El resultado aún no es evidente, simplificamos

> simplify(g1);

0 Ejercicio 1.2

Para resolver con Maple, tenemos que escribir la ecuación de forma que aparezca y', por ejemplo y'=-exp(-3x) o bien 1+exp(3x)y'=0. Usaremos esta última en la resolución.

> edo:=1+exp(3*x)*diff(y(x),x)=0;

:=

edo 1 + e⁽^{3 x}⁾⎛ =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) 0

> dsolve(edo,y(x));

= ( )

y x 1 +

3e⁽^{−3 x}⁾ _C1 Ejercicio 1.3

> edo:=(x+1)*diff(y(x),x)=x+6;

:=

edo (x + 1)⎛ =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) x + 6

> sol:=dsolve(edo,y(x));

:=

sol y x( ) = x + 5ln(x + 1) + _C1 Ejercicio 1.4

> edo:=x*diff(y(x),x)=4*y(x);

:=

edo x⎛ =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) 4 ( )y x

= ( )

y x x⁴_C1 Ejercicio 1.5

> edo:=diff(y(x),x)=y(x)^3/x^2;

:=

edo =

∂

xy x( ) y x( )³ x²

Page 1

(2)

1 = ( ) y x ²

+ 2 _C1 x

x Usamos la opción explicit=true para obtener una solución explícita.

> dsolve(edo,y(x),explicit=true);

= , ( )

y x (2 + _C1 x x) +

2 _C1 x y x( ) = − (2 + _C1 x x) + 2 _C1 x

Hemos obtenido dos soluciones. Observa que la solución no corresponde exactamente con la solución manual porque Maple ha racionalizado el denominador.

Ejercicio 3

Resolución del problema de valor inicial.

> edo:=(exp(-y(x))+1)*sin(x)=(1+cos(x))*diff(y(x),x);

:=

edo (e⁽^{− ( )}^{y x} ⁾ + 1)sin x( ) = (1 + cos x( ))⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

∂ xy x( )

> sol:=dsolve({edo,y(0)=0},y(x));

:=

sol y x( ) = ⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

ln − −e^{ln 4}^{( )} + + 1 cos x( ) +

1 cos x( )

> sol:=simplify(sol);

:=

sol y x( ) = ⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

ln − − + 3 cos x( ) + 1 cos x( ) Definimos la función f(x) con la solución.

> f:=unapply(rhs(sol),x);

:=

f x → ⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

ln −− + 3 cos x( ) + 1 cos x( ) Representación gráfica en el intervalo [0,2]

> plot(f(x),x=0..2);

x 1.5 2

1 0.5

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Ejercicio 4

> edo:=y(x)*diff(y(x),x)=4*x*sqrt(y(x)^2+1);

:=

edo y x( )⎛ =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) 4 x y x( )² + 1

:=

sol y x( ) = 1 + 4 x⁴ + 4 x² 2

Verifica manualmente que esta solución coincide con la presentada en la resolución manual de los ejercicios.

Definimos la función f(x) con la solución.

:=

f x → 1 + 4 x⁴ + 4 x² 2 Representación gráfica en el intervalo [0,2]

> plot(f(x),x=0..2,y=0..10);

Page 2

(3)

x 1.5 2 1

0.5 y

10

8

6

4

2

0

Ejercicio 5

> edo:=x^2*diff(y(x),x)=y(x)-x*y(x);

:=

edo x²⎛ =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) y x( ) − x ( )y x

> sol:=dsolve({edo,y(-1)=-1},y(x));

:=

sol y x( ) = e

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

−1 x

x e

:=

sol y x( ) = e

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

−x + 1 x

x Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → e

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

−x + 1 x

x Representación gráfica en el intervalo [-1,-0.5].

> plot(f(x),x=-1..-0.5,y=-6..0);

x -0.7 -0.6 -0.5

-0.8 -0.9

-1

y 0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Ejercicio 6

> edo:=diff(y(x),x)=(2*x+1)/(2*y(x));

:=

edo =

∂

xy x( ) 1 2

+ 2 x 1

( ) y x

> sol:=dsolve({edo,y(-2)=-1},y(x));

:=

sol y x( ) = − x² + − x 1

Ejercicio 8

Resolución de las EDO's del ejercicio 7.

Ejercicio 7.1

> edo:=diff(y(x),x)=5*y;

Page 3

(4)

:=

edo =

∂

xy x( ) 5 y

:=

sol y x( ) = e⁽^{5 x}⁾_C1 Ejercicio 7.2

> edo:=diff(y(x),x)+y(x)=exp(3*x);

:=

edo ⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) y x( ) e⁽^{3 x}⁾

:=

sol y x( ) = ⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

1 +

4 e⁽^{−4 x}⁾_C1 e⁽^{3 x}⁾

Intentamos obtener una solución más parecida a la que aparece en la resolución manual. Para ello aplicamos el comando simplify.

:=

sol y x( ) = 1

4(1 + 4 e⁽^{−4 x}⁾_C1 e) ⁽^{3 x}⁾ El resultado no es del todo bueno, usamos expand para que se efectuen los productos.

> sol:=expand(sol);

:=

sol y x( ) = 1 + 4(e^x)

3 _C1

e^x Ejercicio 7.3

> edo:=diff(y(x),x)+3*x^2*y(x)=x^2;

:=

edo ⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) 3 x²y x( ) x²

:=

sol y x( ) = 1 +

3 e⁽^−x3⁾_C1 Ejercicio 7.4

> edo:=x^2*diff(y(x),x)+x*y(x)=1;

:=

edo x²⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) x ( )y x 1

:=

sol y x( ) = ln x( ) + _C1 x Ejercicio 7.5

> edo:=x*diff(y(x),x)-y(x)=x^2*sin(x);

:=

edo x⎛ − =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) y x( ) x²sin x( )

:=

sol y x( ) = −xcos x( ) + _C1 x Ejercicio 7.6

> edo:=x*diff(y(x),x)+4*y(x)=x^3-x;

:=

edo x⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) 4 ( )y x x³ − x

:=

sol y x( ) = 1 35

− + 5 x⁷ 7 x⁵ 35 _C1

x⁴ Efectuamos los productos con expand.

:=

sol y x( ) = 1 − + 7x³ 1

5x _C1 x⁴ Ejercicio 7.7

> edo:=x^2*diff(y(x),x)+x*(x+2)*y(x)=exp(x);

:=

edo x²⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) x (x + 2)y x( ) e^x

Page 4

(5)

:=

sol y x( ) =

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

1 +

2e⁽^{2 x}⁾ _C1 e⁽^−x⁾ x²

Efectuamos los productos con expand.

:=

sol y x( ) = 1 + 2

e^x x²

_C1 e^xx²

Ejercicio 9

> edo:=x*diff(y(x),x)+y(x)=exp(x);

:=

edo x⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) y x( ) e^x

:=

sol y x( ) = e^x − + e 2 x Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → e^x − + e 2 x Representación gráfica en el intervalo [1,3].

> plot(f(x),x=1..3,y=0..8);

x 2.5 3

2 1.5

1 y

8

6

4

2

0

Ejercicio 10

> edo:=(x+1)*diff(y(x),x)+y(x)=ln(x);

:=

edo (x + 1)⎛ + =

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

∂

xy x( ) y x( ) ln x( )

:=

sol y x( ) = xln x( ) − + x 21 + x 1 Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → xln x( ) − + x 21 + x 1 Representación gráfica en el intervalo [1,3]

> plot(f(x),x=1..3,y=0..10);

Page 5

(6)

x 2.5 3 2

1.5 1

y 10

8

6

4

2

0

Ejercicio 11

> edo:=diff(y(x),x)=x^2-y(x);

:=

edo =

∂

xy x( ) x² − y x( )

:=

sol y x( ) = e^xx² − 2 x e^x + 2 e^x − 1 e^x

:=

sol y x( ) = x² − + − 2 x 2 1 e^x Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → x² − + − 2 x 2 1 e^x Representación gráfica en el intervalo [1,3].

> plot(f(x),x=0..1,y=0..2);

x 0.6 0.8 1

0.4 0.2

y 2

1.5

1

0.5

0

• Método de Euler

Usamos F(x,y) para la función de la ecuación en forma normal y'=F(x,y).

> F:=(x,y)->x^2-y;

yb0:=1.;#valor inicial a:=0;

b:=1.;

n:=4;

h:=(b-a)/n;

x0:=a;

for j from 0 to n-1 do

`***** Fase`,j,`******`;

yb.(j+1):=yb.j+h*F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

e.(j+1):=abs(yb.(j+1)-f(x.(j+1)));# Errores de truncamiento od;

:=

F (x y, ) → x² − y :=

yb0 1.

:=

a 0 Page 6

(7)

:=

b 1.

:=

n 4 :=

h .2500000000 :=

x0 0 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 .7500000000 :=

x1 .2500000000 :=

e1 .0336992171 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 .5781250000 :=

x2 .5000000000 :=

e2 .0653443404 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 .4960937500 :=

x3 .7500000000 :=

e3 .0940396973 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 .5126953125 :=

x4 1.000000000 :=

e4 .1194252463 Resolución con dsolve.

> solnum:=dsolve({edo,y(0)=1},y(x),type=numeric,method=classical,stepsize=0.25);

:=

solnum proc(x_classical) ... end

> solnum(0.75);

[x = .75,y x( ) = .4960937500000000]

> solnum(1);

[x = 1,y x( ) = .5126953125000000]

Ejercicio 12

Resolución exacta del problema de valor inicial y definición de la función solución.

> edo:=diff(y(x),x)=x^2-y(x);

sol:=dsolve({edo,y(0)=1},y(x));

f:=unapply(rhs(sol),x);

:=

edo =

∂

xy x( ) x² − y x( ) :=

sol y x( ) = x²e^x − 2 x e^x + 2 e^x − 1 e^x

:=

f x → x²e^x − 2 x e^x + 2 e^x − 1 e^x

• Método de Euler modificado.

Usamos F(x,y) para la función de la ecuación en forma normal y'=F(x,y) .

> F:=(x,y)->x^2-y;

b:=1.;

n:=4;

h:=(b-a)/n;

x0:=a;

`***** Fase`,j,`******`;

k1:=F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

k2:=F(x.(j+1),yb.j+h*k1);

yb.(j+1):=yb.j+h/2*(k1+k2);

Page 7

(8)

:=

F (x y, ) → x² − y :=

yb0 1.

:=

a 0 :=

b 1.

:=

n 4 :=

h .2500000000 :=

x0 0 , ,

***** Fase 0 ******

:=

k1 -1.

:=

x1 .2500000000 :=

k2 -.6875000000 :=

yb1 .7890625000 :=

e1 .0053632829 , ,

***** Fase 1 ******

:=

k1 -.7265625000 :=

x2 .5000000000 :=

k2 -.3574218750 :=

yb2 .6535644531 :=

e2 .0100951126 , ,

***** Fase 2 ******

:=

k1 -.4035644531 :=

x3 .7500000000 :=

k2 .0098266602 :=

yb3 .6043472290 :=

e3 .0142137817 , ,

***** Fase 3 ******

:=

k1 -.0418472290 :=

x4 1.000000000 :=

k2 .4061145782 :=

yb4 .6498806477 :=

e4 .0177600889

Puedes obtener un programa para aplicar el método de Euler modificado usando dsolve con las opciones:

- type=numeric

- method=classical[heunform]

- usa la opción stepsize para fijar el paso.

> nsol:=dsolve({edo,y(0)=1},y(x),type=numeric,method=classical[heunform],stepsize=0.25);

:=

nsol proc(x_classical) ... end

> nsol(1.);

[x = 1.,y x( ) = .6498806476593018]

Ejercicio 13

Resolución del problema de valor inicial y definición de la función solución.

> edo:=diff(y(x),x)=x^2-y(x);

sol:=dsolve({edo,y(0)=1},y(x));

f:=unapply(rhs(sol),x);

:=

edo =

∂

xy x( ) x² − y x( ) :=

sol y x( ) = x²e^x − 2 x e^x + 2 e^x − 1 e^x

:=

f x → x²e^x − 2 x e^x + 2 e^x − 1 e^x

• Método de Taylor de orden 2. Page 8

(9)

> F:=(x,y)->x^2-y;

Fx:=unapply(diff(F(x,y),x),x,y);# función derivada parcial respecto de x Fy:=unapply(diff(F(x,y),y),x,y);# función derivada parcial respecto de y yb0:=1.;#valor inicial

a:=0;

b:=1.;

n:=4;

h:=(b-a)/n;

x0:=a;

`***** Fase`,j,`******`;

yb.(j+1):=yb.j+h*F(x.j,yb.j)+h^2/2*(Fx(x.j,yb.j)+Fy(x.j,yb.j)*F(x.j,yb.j));

x.(j+1):=x.j+h;

:=

F (x y, ) → x² − y :=

Fx (x y, ) → 2 x :=

Fy -1 :=

yb0 1.

:=

a 0 :=

b 1.

:=

n 4 :=

h .2500000000 :=

x0 0 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 .7812500000 :=

x1 .2500000000 :=

e1 .0024492171 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 .6396484375 :=

x2 .5000000000 :=

e2 .0038209030 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 .5856628418 :=

x3 .7500000000 :=

e3 .0044706055 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 .6274709702 :=

x4 1.000000000 :=

e4 .0046495886

Ejercicio 14

Ejercicio 14.1

> edo:=diff(y(x),x)=3*y(x)+3*x;

:=

edo =

∂

xy x( ) 3 ( )y x + 3 x

:=

sol y x( ) = − − + x 1 3

4 3e⁽^{3 x}⁾ Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → − − + x 1 3

4 3e⁽^{3 x}⁾ Representación gráfica en el intervalo [0,0.2].

Page 9

(10)

> plot(f(x),x=0..0.2,y=0..2.5);

x 0.15 0.2

0.1 0.05

y 2.5

2

1.5

1

0.5

0

14.2 Método de Euler.

> F:=(x,y)->3*y+3*x;

b:=0.2;

n:=5;

h:=(b-a)/n;

x0:=a;

`***** Fase`,j,`******`;

yb.(j+1):=yb.j+h*F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

:=

F (x y, ) → 3 y + 3 x :=

yb0 1.

:=

a 0 :=

b .2 :=

n 5 :=

h .04000000000 :=

x0 0 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 1.120000000 :=

x1 .04000000000 :=

e1 .009995803 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 1.259200000 :=

x2 .08000000000 :=

e2 .022465533 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 1.419904000 :=

x3 .1200000000 :=

e3 .037868553 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 1.604692480 :=

x4 .1600000000 :=

e4 .056740056 , ,

***** Fase 4 ******

:=

yb5 1.816455578 :=

x5 .2000000000 :=

e5 .079702822 14.3 Método de Euler modificado.

> for j from 0 to n-1 do

`***** Fase`,j,`******`;

Page 10

(11)

k1:=F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

k2:=F(x.(j+1),yb.j+h*k1);

yb.(j+1):=yb.j+h/2*(k1+k2);

, ,

***** Fase 0 ******

:=

k1 3.

:=

x1 .04000000000 :=

k2 3.480000000 :=

yb1 1.129600000 :=

e1 .000395803 , ,

***** Fase 1 ******

:=

k1 3.508800000 :=

x2 .08000000000 :=

k2 4.049856000 :=

yb2 1.280773120 :=

e2 .000892413 , ,

***** Fase 2 ******

:=

k1 4.082319360 :=

x3 .1200000000 :=

k2 4.692197682 :=

yb3 1.456263461 :=

e3 .001509092 , ,

***** Fase 3 ******

:=

k1 4.728790383 :=

x4 .1600000000 :=

k2 5.416245228 :=

yb4 1.659164173 :=

e4 .002268363 , ,

***** Fase 4 ******

:=

k1 5.457492519 :=

x5 .2000000000 :=

k2 6.232391622 :=

yb5 1.892961856 :=

e5 .003196544 14.4 Método de Taylor de orden 2.

Usamos F(x,y) para la función de la ecuación en forma normal y'=F(x,y)

> Fx:=unapply(diff(F(x,y),x),x,y);# función derivada parcial respecto de x Fy:=unapply(diff(F(x,y),y),x,y);# función derivada parcial respecto de y for j from 0 to n-1 do

`***** Fase`,j,`******`;

x.(j+1):=x.j+h;

:=

Fx 3 :=

Fy 3 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 1.129600000 :=

x1 .04000000000 :=

e1 .000395803 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 1.280773120 :=

x2 .08000000000Page 11

(12)

:=

e2 .000892413 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 1.456263460 :=

x3 .1200000000 :=

e3 .001509093 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 1.659164172 :=

x4 .1600000000 :=

e4 .002268364 , ,

***** Fase 4 ******

:=

yb5 1.892961855 :=

x5 .2000000000 :=

e5 .003196545

Ejercicio 15

Ejercicio 15.1

> edo:=diff(y(x),x)=exp(-2*x)-2*y(x);

:=

edo =

∂

xy x( ) e⁽^{−2 x}⁾ − 2 ( )y x

:=

sol y x( ) = e⁽^{−2 x}⁾x + e⁽^{−2 x}⁾ Definimos función f(x) con la solución.

:=

f x → e⁽^{−2 x}⁾x + e⁽^{−2 x}⁾ Representación gráfica en el intervalo [0,0.5].

> plot(f(x),x=0..0.5,y=0..1.5);

x 0.3 0.4 0.5

0.2 0.1

y 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0

14.2 Método de Euler.

> F:=(x,y)->exp(-2*x)-2*y;

b:=0.5;

n:=5;

h:=(b-a)/n;

x0:=a;

`***** Fase`,j,`******`;

yb.(j+1):=yb.j+h*F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

:=

F (x y, ) → e⁽^{−2 x}⁾ − 2 y :=

yb0 1.

:=

a 0 :=

b .5 :=

n 5 Page 12

(13)

:=

h .1000000000 :=

x0 0 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 .9000000000 :=

x1 .1000000000 :=

e1 .0006038284 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 .8018730753 :=

x2 .2000000000 :=

e2 .0025109799 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 .7085304648 :=

x3 .3000000000 :=

e3 .0049246621 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 .6217055354 :=

x4 .4000000000 :=

e4 .0073550143 , ,

***** Fase 4 ******

:=

yb5 .5422973247 :=

x5 .5000000000 :=

e5 .0095218371 14.3 Método de Euler modificado .

> for j from 0 to n-1 do

`***** Fase`,j,`******`;

k1:=F(x.j,yb.j);

x.(j+1):=x.j+h;

k2:=F(x.(j+1),yb.j+h*k1);

yb.(j+1):=yb.j+h/2*(k1+k2);

, ,

***** Fase 0 ******

:=

k1 -1.

:=

x1 .1000000000 :=

k2 -.9812692469 :=

yb1 .9009365377 :=

e1 .0003327093 , ,

***** Fase 1 ******

:=

k1 -.9831423219 :=

x2 .2000000000 :=

k2 -.9349245650 :=

yb2 .8050331934 :=

e2 .0006491382 , ,

***** Fase 2 ******

:=

k1 -.9397463410 :=

x3 .3000000000 :=

k2 -.8733054829 :=

yb3 .7143806022 :=

e3 .0009254753 , ,

***** Fase 3 ******

:=

k1 -.8799495679 :=

x4 .4000000000 :=

k2 -.8034423269 Page 13

(14)

:=

yb4 .6302110075 :=

e4 .0011504578 , ,

***** Fase 4 ******

:=

k1 -.8110930509 :=

x5 .5000000000 :=

k2 -.7303239638 :=

yb5 .5531401568 :=

e5 .0013209950 14.4 Método de Taylor de orden 2 .

> Fx:=unapply(diff(F(x,y),x),x,y);# función derivada parcial respecto de x Fy:=unapply(diff(F(x,y),y),x,y);# función derivada parcial respecto de y for j from 0 to n-1 do

`***** Fase`,j,`******`;

x.(j+1):=x.j+h;

:=

Fx (x y, ) → −2 e⁽^{−2 x}⁾ :=

Fy -2 , ,

***** Fase 0 ******

:=

yb1 .9000000000 :=

x1 .1000000000 :=

e1 .0006038284 , ,

***** Fase 1 ******

:=

yb2 .8034984602 :=

x2 .2000000000 :=

e2 .0008855950 , ,

***** Fase 2 ******

:=

yb3 .7124943411 :=

x3 .3000000000 :=

e3 .0009607858 , ,

***** Fase 3 ******

:=

yb4 .6281502906 :=

x4 .4000000000 :=

e4 .0009102591 , ,

***** Fase 4 ******

:=

yb5 .5510295554 :=

x5 .5000000000 :=

e5 .0007896064

>

Page 14