MSc. Ennio Mérida
Intervalos de confianza y Contraste de hipótesis
Unidad 2
Distribución Normal
Distribución Normal
Se dice que muchos fenómenos en el campo de la salud se distribuyen normalmente. Esto significa que si uno toma al azar un número suficientemente grande de casos y construye un polígono de frecuencias con alguna variable continua, por ejemplo, peso, talla, presión arterial o temperatura, se obtendrá una curva de características particulares, llamada distribución normal. Es la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.
La gráfica de la distribución normal tiene la forma de una
campana, por este motivo también es conocida como la
campana de Gauss.
Distribución Normal
Sus características son las siguientes:
• Es una distribución simétrica.
• Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden a infinito.
• En el centro de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda.
• El área total bajo la curva representa el 100% de los casos.
• Los elementos centrales del modelo son la media y la
varianza.
Distribución Normal
Esta distribución es un modelo matemático que permite
determinar probabilidades de ocurrencia para distintos
valores de la variable.
Distribución Normal
Para encontrar las probabilidades de ocurrencia para distintos valores de la variable, debemos emplear La tabla de la distribución normal, el cual presenta los valores de dicha probabilidad para una variable estándar Z, con media igual a 0 y varianza igual a 1
Para usar la tabla, siempre debemos estandarizar la variable
por medio de la expresión:
Intervalo de Confianza
Nivel de confianza: son dos valores simétricos con respecto a la media que dentro de si encierran un porcentaje que se
desea conocer.
Intervalo de Confianza
¿Entre que dos pesos se encuentra el 80% de la población?
Intervalo de Confianza
Ejemplo 1: Calcule el intervalo de confianza del 95%
Intervalo de Confianza
Ejemplo 1: Calcule el intervalo de confianza del 95%
97,5%
Intervalo de Confianza
Ejemplo 1: Calcule el intervalo de confianza del 95%
Intervalo de Confianza
Ejemplo 2: Calcule el intervalo de confianza del 90%
Intervalo de Confianza
Ejemplo 2: Calcule el intervalo de confianza del 90%
Intervalo de Confianza
Ejercicio 3:
Intervalo de Confianza
Ejercicio 3:
Intervalo de Confianza
N(48.000,3.000)
44160 51840
Conclusión: el 80% de los neumáticos duran entre 44160 y 51840 kilómetros
48000 Ejercicio 4:
Distribución Normal Estandarizada N(0,1)
1. Dada una variable aleatoria continua Z, con distribución normal estándar, es decir, N(0,1), encuentre las probabilidades usando la tabla:
a) P( 0 ≤ Z ≤ 1,25 ) Sol. 0,39435= 39,44%
b) P(Z ≥ 1,25 ) P(Z ≥ 1,25 ) =
P(Z ≤ -1,25 ) = c) P(Z ≤ -1,25 )
d) P( 0 ≤ Z ≤ 1,33 ) Sol. 0,40824
1 - P(Z < 1,25 ) = 1 – 0,89435 = 0,10565
= 1 – 0,89435 = 0,10565
P(Z ≥ 1,25 ) = 1 - P(Z < 1,25 )
Distribución Normal
2. El peso de cierto modelo de baterías sigue una distribución normal con una media de 6g y una desviación estándar de 2g.
Determine el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 8g.
N(6,2) P(X > 8 )
Z=1
P(X > 8 )= P(Z > 1) Entonces,
= 1 - P(Z ≤ 1)
= 1 – 0,84134
= 0,15866
= 15,87 %
Conclusión: el porcentaje de
baterías cuyo peso es mayor a 8 g
es de 15,87%
Distribución Normal
3. Los precios de las acciones de cierta industria se distribuyen en forma normal con una media de $20 y desviación estándar de $3. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa de esta industria se encuentre entre $18 y $20? Sol. 0,24857
4. La estatura de mujeres adultas en cierta ciudad tiene una distribución normal con media de 160 cm y desviación de 2 cm. ¿Qué porcentaje de mujeres de esta región tiene una estatura entre 158 y 163 cm?
Sol. 78,07%
5. Si X es una variable aleatoria continua distribuida de forma normal con media de 18 y varianza de 6,25. Encontrar el valor de a, tal que P(X ≥ a ) =
0,1814
Sol. a = 20,26
6. La altura de los estudiantes de una población se distribuye según una normal de media 167 y desviación típica 3,2.
Se toma una muestra de 10 estudiantes. Calcula la probabilidad de que la media muestral sea menor que 165 cm. Sol. 2,44%
7. En cierta región, el gasto familiar realizado en gas natural, medido en euros, durante un mes determinado se puede aproximar a una distribución N(250, 75).
Se toma una muestra aleatoria simple de 81 familias. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 230 euros?
Sol 0,9918
Inferencia Estadística
Estatura media en España
Ejercicio Probabilidades
a. Si escogemos una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
funcione más de 1524 h?
Ejercicios probabilidades
b. Si escogemos una MUESTRA de 100 bombillas al azar y calculamos
su duración media, ¿cuál es la probabilidad de que sea superior a
1524 h?
Ejercicio probabilidades
Ejercicio probabilidades
1 - 0,98713
= 0,01287
Estatura media en España
Tipificación
Conclusión: la media del tiempo que dedica al deporte la
población está entre 87,92 y 92,08 minutos diarios con un
90% de certeza o de seguridad.
error ≤ 1
N = ?
Intervalo de Confianza para µ
Ejercicio 2. Se toma una muestra de 100 estudiantes del ITF, obteniendo un gasto promedio en fotocopias por cada módulo de $30 y una desviación estándar de $12. Obtener el nivel de confianza de gastos de la población total de estudiantes a un nivel de confianza del 90%, 95% y 99%
n= 100
Conclusión: Estamos 90% seguros que el gasto promedio de
todos los estudiantes en fotocopias es de 28,03 a 31,96
dólares.
Ejercicios: Intervalo de Confianza para µ
Intervalo de confianza (proporciones)
Ejercicio 1. En una muestra de 400 pilas tipo B, fabricados por ECONOMIC, se encontraron 20 pilas defectuosas. Encontrar el intervalo de confianza para las pilas defectuosas tipo B, utilizar un nivel de confianza del 95%, y también determinar la proporción de pilas defectuosas.
Intervalo de confianza (proporciones)
Ejercicio 2. Un fabricante de reproductores de discos compactos, utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica y mecánica del producto, todos los reproductores deben de pasar las pruebas antes de venderse.
Una muestra aleatoria de 400 reproductores dio como resultado que 8 mostraron fallas en su mecanismo. Encontrar el intervalo de confianza para la proporción de reproductores con fallas, así como la proporción de reproductores con fallas, y utilizar un nivel de confianza del 90%.
Intervalo de confianza (proporciones)
Ejercicio 3. Se tomo una encuesta de 384 estudiantes de una Universidad, de los cuales 120 trabajan y nos piden hacer una inferencia estadística para saber cual es la proporción de estudiantes que trabajan en toda la Universidad, con un nivel de confianza del 95%.
