Geometría de curvas y computación 5. Un problema isoperimétrico para curvas PH

(1)

Geometr´ıa de curvas y computaci´ on 5. Un problema isoperim´ etrico para curvas PH

Fausto Ongay

CIMAT, Gto., M´exico

Julio, 2012

(2)

El problema isoperim´ etrico

El problema isoperim´ etrico cl´ asico es el siguiente:

Problem

Encontrar, entre todas las curvas cerradas y simples de longitud fija 2l , aquella que encierre la mayor ´ area posible.

Los or´ıgenes de este problema se remontan a los ge´ ometras de la Grecia cl´ asica, quienes lo describieron mediante la siguiente historia:

Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 30

(3)

Despu´ es de la guerra de Troya Eneas, junto con un peque˜ no pu˜ nado de troyanos, desembarcaron en las costas de lo que hoy es T´ unes, en el norte de ´ Africa. Eneas, que mostr´ o ser un h´ abil negociante, consigui´ o que la reina del lugar, llamada Dido (y al problema isoper´ımetrico se le llama a veces ‘el problema de Dido’), le diera algo de terreno para instalarse; Dido impuso, sin embargo, la condici´ on de que dicho terreno ser´ıa s´ olo aqu´ el que Eneas consiguiera encerrar usando una piel de buey.

Entonces Eneas, inteligentemente, cort´ o la piel en tiras delgadas y,

uni´ endolas, consigui´ o una larga cuerda con la que encerr´ o un terreno

suficientemente grande como para fundar ah´ı lo que seg´ un la tradici´ on se

volvi´ o la importante Ciudad de Cartago.

(4)

Despu´ es de la guerra de Troya Eneas, junto con un peque˜ no pu˜ nado de troyanos, desembarcaron en las costas de lo que hoy es T´ unes, en el norte de ´ Africa. Eneas, que mostr´ o ser un h´ abil negociante, consigui´ o que la reina del lugar, llamada Dido (y al problema isoper´ımetrico se le llama a veces ‘el problema de Dido’), le diera algo de terreno para instalarse; Dido impuso, sin embargo, la condici´ on de que dicho terreno ser´ıa s´ olo aqu´ el que Eneas consiguiera encerrar usando una piel de buey.

Entonces Eneas, inteligentemente, cort´ o la piel en tiras delgadas y, uni´ endolas, consigui´ o una larga cuerda con la que encerr´ o un terreno suficientemente grande como para fundar ah´ı lo que seg´ un la tradici´ on se volvi´ o la importante Ciudad de Cartago.

(5)

Ahora bien, que la soluci´ on de este problema, dentro de la clase de todas las curvas cerradas simples, es el c´ırculo de per´ımetro 2l era conocido ya desde esos tiempos; sin embargo, la primera demostraci´ on formal s´ olo se dio en el siglo XIX, y se debe al matem´ atico suizo Jakob Steiner.

La demostraci´ on de Steiner es a la vez elegante e ingeniosa, y aprovecha

las simetr´ıas que el problema impone en la curva (pero en honor a la

verdad, la demostraci´ on de Steiner es incompleta, pues supone algo que no

es matem´ aticamente obvio, y es que la soluci´ on existe).

(6)

La curva debe ser convexa

(7)

La curva debe ser sim´ etrica

(8)

Todos los puntos subtienden ´ angulos rectos

(9)

El c´ırculo no es a priori una de las curvas convenientes para la graficaci´ on por ordenador.

El c´ırculo no se puede parametrizar como una curva polinomial, peroen cierto modo s´ı es computable, ya que s´ı se puede parametrizar como una curva racional: la curva

(x (t), y (t)) = 1 − t

²

1 + t

²

, 2t

1 + t

²

satisface que x (t)

²

+ y (t)

²

= 1, de modo que esta curva describe un trozo

del c´ırculo unitario S

¹

. De hecho, no es dif´ıcil convencerse de que s´ olo

falta el punto (−1, 0), que corresponde a l´ım

_t→±∞

(x (t), y (t)).

(10)

El c´ırculo no es a priori una de las curvas convenientes para la graficaci´ on por ordenador.

El c´ırculo no se puede parametrizar como una curva polinomial, peroen cierto modo s´ı es computable, ya que s´ı se puede parametrizar como una curva racional: la curva

(x (t), y (t)) = 1 − t

²

1 + t

²

, 2t

1 + t

²

satisface que x (t)

²

+ y (t)

²

= 1, de modo que esta curva describe un trozo del c´ırculo unitario S

¹

. De hecho, no es dif´ıcil convencerse de que s´ olo falta el punto (−1, 0), que corresponde a l´ım

_t→±∞

(x (t), y (t)).

(11)

El estudio de las curvas racionales puede hacerse de manera similar al de las curvas polinomiales; pero esto va m´ as all´ a de nuestros objetivos.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Figura 9. Parametrizaci´ on racional del c´ırculo

(12)

El estudio de las curvas racionales puede hacerse de manera similar al de las curvas polinomiales; pero esto va m´ as all´ a de nuestros objetivos.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Figura 9. Parametrizaci´ on racional del c´ırculo

(13)

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010): Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

¹

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado

menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

(14)

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010):

Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

¹

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

(15)

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010):

Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

¹

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado

menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

(16)

Pero entonces, y siguiendo la filosof´ıa de que las curvas de hod´ ografo pitag´ orico son especialmente importantes, resulta natural plantearse el problema en esta clase (Monterde y Ongay, 2012).

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva de hod´ ografo pitag´ orico de longitud fija 2l y de grado menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

(17)

Pero entonces, y siguiendo la filosof´ıa de que las curvas de hod´ ografo pitag´ orico son especialmente importantes, resulta natural plantearse el problema en esta clase (Monterde y Ongay, 2012).

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva de hod´ ografo pitag´ orico de longitud fija 2l y

de grado menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

(18)

En vista de lo anterior, el problema isoperim´ etrico para curvas PH tiene sentido realmente s´ olo para grado impar y n ≥ 3. Para trabajar el

problema, conviene suponer que las curvas est´ an definidas en J = [−1, 1], y basados en la prueba de Steiner, supondremos desde el inicio que las curvas aceptables para nuestro an´ alisis son sim´ etricas con respecto del eje y y satisfacen α(0) = (0, 0) y α(−1) = α(1).

(19)

Se sigue que si α(t) = (x (t), y (t)), la funci´ on x (t) impar, y la funci´ on y (t) es par. Esto es x (−t) = −x (t) y y (−t) = y (t).

a(-t) = (-x(t),y(t)) a(t) = (x(t),y(t))

a(0) = (0,0) a(-1) = a(1)

Simetr´ıas de la curva

(20)

Lemma

Si α(t) = (x (t), y (t)) es una curva PH primitiva, y

α

⁰

(t) = (x

⁰

(t), y

⁰

(t)) = (e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t)),

con x (t) funci´ on x (t) impar, y y (t) par, entonces e(t) es par y f (t) es impar o viceversa.

Demostraci´ on.

Las hip´ otesis implican que ||α

⁰

||

²

= (x

⁰

)

²

+ (y

⁰

)

²

es par, y por consiguiente

||α

⁰

|| = p(x

⁰

)

²

+ (y

⁰

)

²

es tambi´ en par. Como α

⁰

= (e

²

− f

²

, 2ef ), then

||α

⁰

|| = e

²

+ f

²

. de modo que

e

²

= x

⁰

+ ||α

⁰

||

2 ,

es una funci´ on par. Pero como e(t) es un polinomio, necesariamente, e es par o impar.

Pero como f =

_2e^y⁰

, si e par, f es impar, y viceversa.

(21)

Lemma

Si α(t) = (x (t), y (t)) es una curva PH primitiva, y

α

⁰

(t) = (x

⁰

(t), y

⁰

(t)) = (e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t)),

con x (t) funci´ on x (t) impar, y y (t) par, entonces e(t) es par y f (t) es impar o viceversa.

Demostraci´ on.

Las hip´ otesis implican que ||α

⁰

||

²

= (x

⁰

)

²

+ (y

⁰

)

²

es par, y por consiguiente

||α

⁰

|| = p(x

⁰

)

²

+ (y

⁰

)

²

es tambi´ en par.

Como α

⁰

= (e

²

− f

²

, 2ef ), then

||α

⁰

|| = e

²

+ f

²

. de modo que

e

²

= x

⁰

+ ||α

⁰

||

2 ,

es una funci´ on par. Pero como e(t) es un polinomio, necesariamente, e es

par o impar.

(22)

De hecho, se puede probar que si la curva se recorre en direcci´ on positiva, e(t) es impar y f (t) par.

Lemma

Sea α(t) = (x (t), y (t)), t ∈ [−1, 1] una curva PH primitiva de longitud 2`, con

α

⁰

(t) = (x

⁰

(t), y

⁰

(t)) = (e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t)). Entonces, α es una curva cerrada si y s´ olo si

Z

1

−1

e

²

(t)dt = ` = Z

1

−1

f

²

(t)dt, y

Z

1

−1

e(t)f (t)dt = 0.

(23)

De hecho, se puede probar que si la curva se recorre en direcci´ on positiva, e(t) es impar y f (t) par.

Lemma

Sea α(t) = (x (t), y (t)), t ∈ [−1, 1] una curva PH primitiva de longitud 2`, con

α

⁰

(t) = (x

⁰

(t), y

⁰

(t)) = (e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t)).

Entonces, α es una curva cerrada si y s´ olo si Z

1

−1

e

²

(t)dt = ` = Z

1

−1

f

²

(t)dt, y

Z

1

−1

e(t)f (t)dt = 0.

(24)

Demostraci´ on. Es directa de

0 = α(1) − α(−1)

= R

1

−1

α

⁰

(t)dt

= R

1

−1

(e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t))dt.

(25)

Demostraci´ on.

Es directa de

0 = α(1) − α(−1)

= R

1

−1

α

⁰

(t)dt

= R

1

−1

(e

²

(t) − f

²

(t), 2e(t)f (t))dt.

(26)

En lo que sigue, supondremos por comodidad que ` = 1.

Finalmente, notamos que es una consecuencia sencilla del teorema de Green que el ´ area encerrada por una curva cerrada simple

α(t) = (x (t), y (t)), t ∈ [−1, 1] se puede calcular mediante la f´ ormula A(α) =

Z

₁

−1

x

⁰

(t)y (t)dt .

(27)

En lo que sigue, supondremos por comodidad que ` = 1.

Finalmente, notamos que es una consecuencia sencilla del teorema de Green que el ´ area encerrada por una curva cerrada simple

α(t) = (x (t), y (t)), t ∈ [−1, 1] se puede calcular mediante la f´ ormula A(α) =

Z

₁

−1

x

⁰

(t)y (t)dt

.

(28)

La c´ ubica de Tschirnhaus

Como ya dijimos, para n = 3, la c´ ubica de Tschirnhaus es la ´ unica curva cerrada simple de hodo´ ografo pitag´ orico, de modo que esta es la soluci´ on del problema.

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

-0.2 -0.1 0.1 0.2

Figura 9. El lazo de la curva de Tschirnhaus

(29)

Como el grado de la curva es ≤ 3 se sigue que, x

⁰

and y

⁰

de grado ≤ 2, y por tanto, e(t) and f (t) son de grado ≤ 1. Supongamos que e(t) = e

₁

t es impar y f (t) = f

₀

par, entonces

e(t) = e

₁

e L

₁

(t),

f (t) = f

₀

e L

₀

(t).

(30)

Como el grado de la curva es ≤ 3 se sigue que, x

⁰

and y

⁰

de grado ≤ 2, y por tanto, e(t) and f (t) son de grado ≤ 1. Supongamos que e(t) = e

₁

t es impar y f (t) = f

₀

par, entonces

e(t) = e

1

e L

1

(t), f (t) = f

₀

e L

₀

(t).

(31)

De R

1

−1

e

²

(t)dt = 1 = R

1

−1

f

²

(t)dt, tenemos e

₁²

= 1 = f

₀²

, de modo que podemos poner

e

₁

= +1, f

₂

= +1.

(Otras elecciones de signos dar´ıan lugar a la misma curva, salvo por alguna simetr´ıa.) Estos valores dan la curva

α(t) = 1

2 t t

²

− 1 ,

√ 3t

²

2 ! .

que es la c´ ubica de Tschirnhaus, salvo por una traslaci´ on y una reflexi´ on.

(32)

De R

1

−1

e

²

(t)dt = 1 = R

1

−1

f

²

(t)dt, tenemos e

₁²

= 1 = f

₀²

, de modo que podemos poner

e

₁

= +1, f

₂

= +1.

(Otras elecciones de signos dar´ıan lugar a la misma curva, salvo por alguna simetr´ıa.) Estos valores dan la curva

α(t) = 1

2 t t

²

− 1 ,

√ 3t

²

2 ! .

que es la c´ ubica de Tschirnhaus, salvo por una traslaci´ on y una reflexi´ on.

(33)

Escalando (esto es, haciendo l = π, para comparar con S

¹

, lo que simplemente equivale a multiplicar el ´ area por el factor π

²

), el ´ area encerrada por esta curva es2π

²

/5 √

3 ≈ 2,279, que es aproximadamente un 72.5 % del ´ area del c´ırculo.

Es interesante por otro lado observar que si suprimimos la condici´ on de

hod´ ografo pitag´ orico, la curva polin´ omica soluci´ on encierra un ´ area ([S-R])

de 2.94, lo que es un 93 % del ´ area del c´ırculo. As´ı pues, en este grado

particular la restricci´ on de hod´ ografo pitag´ orico es considerable.

(34)

Escalando (esto es, haciendo l = π, para comparar con S

¹

, lo que simplemente equivale a multiplicar el ´ area por el factor π

²

), el ´ area encerrada por esta curva es2π

²

/5 √

3 ≈ 2,279, que es aproximadamente un 72.5 % del ´ area del c´ırculo.

Es interesante por otro lado observar que si suprimimos la condici´ on de hod´ ografo pitag´ orico, la curva polin´ omica soluci´ on encierra un ´ area ([S-R]) de 2.94, lo que es un 93 % del ´ area del c´ırculo. As´ı pues, en este grado particular la restricci´ on de hod´ ografo pitag´ orico es considerable.

(35)

curvas de grado 5

Ahora, x

⁰

and y

⁰

satisfacen deg ≤ 4, y por tanto e(t) y f (t) son de grado

≤ 2.Como antes, si e(t) impar y f (t) par, tenemos e(t) = e

₁

t,

f (t) = f

0

+ f

2

t

²

. De la relaci´ on R

1

−1

e

²

(t)dt = 1 = R

1

−1

f

²

(t)dt, obtenemos

e

₁²

= 1 = f

₀²

+ 2f

₀

f

₂

+ f

₂²

*

(36)

curvas de grado 5

Ahora, x

⁰

and y

⁰

satisfacen deg ≤ 4, y por tanto e(t) y f (t) son de grado

≤ 2.Como antes, si e(t) impar y f (t) par, tenemos e(t) = e

₁

t,

f (t) = f

0

+ f

2

t

²

. De la relaci´ on R

1

−1

e

²

(t)dt = 1 = R

1

−1

f

²

(t)dt, obtenemos e

₁²

= 1 = f

₀²

+ 2f

₀

f

₂

+ f

₂²

*

(37)

Haciendo un cambio de variable es posible llevar estas restricciones a la forma

e

1

= +1, f

2

= + q

1 − f

₀²

, y con esto, la curva que se obtiene es:

α(t) =

¹₈

t t

²

− 1

5 − 4f

₀

√ 5

q

1 − f

₀²

− 9t

²

+ f

₀²

9t

²

− 1

, √

3t

²

4f

₀

+ √ 5

q

1 − f

₀²

3t

²

− 2

(38)

Haciendo un cambio de variable es posible llevar estas restricciones a la forma

e

1

= +1, f

2

= + q

1 − f

₀²

, y con esto, la curva que se obtiene es:

α(t) =

¹₈

t t

²

− 1

5 − 4f

0

√ 5

q

1 − f

₀²

− 9t

²

+ f

₀²

9t

²

− 1

, √

3t

²

4f

0

+ √ 5

q

1 − f

₀²

3t

²

− 2

(39)

El ´ area se puede escribir en t´ erminos de la variable f

₀

: Area(f

₀

) = 2

35 √ 3

3f

₀

− 10f

₀³

+ √ 5

q

1 − f

₀²

(1 + 5f

₀²

) . Es interesante notar que el m´ aximo de esta funci´ on se puede calcular expl´ıcitamente, y se alcanza en f

₀

= −

q

2

15

3 + √

14 cos(a) donde a =

¹₃

arctan

5√ 335 51

. f

₀

' −0,931629

(40)

El ´ area se puede escribir en t´ erminos de la variable f

₀

: Area(f

₀

) = 2

35 √ 3

3f

₀

− 10f

₀³

+ √ 5

q

1 − f

₀²

(1 + 5f

₀²

) . Es interesante notar que el m´ aximo de esta funci´ on se puede calcular expl´ıcitamente, y se alcanza en f

₀

= −

q

2

15

3 + √

14 cos(a) donde a =

¹₃

arctan

5√ 335 51

. f

₀

' −0,931629

(41)

-1.0 -0.5 0.5 1.0 0.5

1.0 1.5 2.0

La soluci´ on del problema isoperim´ etrico para una curva PH de grado 5

comparada con S

¹

.

(42)

-1.0 -0.5 0.5 1.0 0.5

1.0 1.5 2.0

La soluci´ on del problema isoperim´ etrico para una curva PH de grado 5 comparada con S

¹

.

(43)

Reescalando para que ` = π, el ´ area obtenida es A ' 3,13568,

¡que es ya aproximadamente 99,8 % del ´ area del c´ırculo!

Finalmente, supongamos ahora que la curva se cierran de clase C

¹

; esto es

que α

⁰

(−1) = −α

⁰

(1), de modo que en todos los puntos se tiene una

tangente bien definida. Notamos que esto no es posible si deg = 3, ya que

la c´ ubica de Tschirnhaus no tiene esta propiedad.

(44)

Reescalando para que ` = π, el ´ area obtenida es A ' 3,13568,

¡que es ya aproximadamente 99,8 % del ´ area del c´ırculo!

Finalmente, supongamos ahora que la curva se cierran de clase C

¹

; esto es que α

⁰

(−1) = −α

⁰

(1), de modo que en todos los puntos se tiene una tangente bien definida. Notamos que esto no es posible si deg = 3, ya que la c´ ubica de Tschirnhaus no tiene esta propiedad.

(45)

Reescalando para que ` = π, el ´ area obtenida es A ' 3,13568,

¡que es ya aproximadamente 99,8 % del ´ area del c´ırculo!

Finalmente, supongamos ahora que la curva se cierran de clase C

¹

; esto es

que α

⁰

(−1) = −α

⁰

(1), de modo que en todos los puntos se tiene una

tangente bien definida. Notamos que esto no es posible si deg = 3, ya que

la c´ ubica de Tschirnhaus no tiene esta propiedad.

(46)

Esto implica la restricci´ on adicional Y

⁰

(−1) = y

⁰

(1) = 0, ya que para una curva sim´ etrica respecto dl eje y esta es la ´ unica opci´ on, y esto se traduce en la restricci´ on adicional f

₀²

+ f

₂

= 0, que combinado con las restricciones

∗ detrminan completamente a e

₁

ya f

0

, f

2

; la curva, reescalando para que tenga longitud 2π se escribe

α(t) = π − 3 16 t

⁵

+ 9

8 t

³

− 15 16 t,

r 5 2

− 3 16 t

⁴

+ 3

8 t

²

!

El ´ area de esta curva es A ' 3,12104, que es aproximadamente 99,3 % del

´

area de S

¹

.

(47)

Esto implica la restricci´ on adicional Y

⁰

(−1) = y

⁰

(1) = 0, ya que para una curva sim´ etrica respecto dl eje y esta es la ´ unica opci´ on, y esto se traduce en la restricci´ on adicional f

₀²

+ f

₂

= 0, que combinado con las restricciones

∗ detrminan completamente a e

₁

ya f

0

, f

2

; la curva, reescalando para que tenga longitud 2π se escribe

α(t) = π − 3 16 t

⁵

+ 9

8 t

³

− 15 16 t,

r 5 2

− 3 16 t

⁴

+ 3

8 t

²

!

El ´ area de esta curva es A ' 3,12104, que es aproximadamente 99,3 % del

´

area de S

¹

.

(48)

Esto plantea dos preguntas adicionales:

¿qu´ e sucede para curvas PH de grado mayor? y ¿qu´ e sucede si imponemos restricciones mayores en la suavidad de las curvas?

Es conveniente notar que para estudiar el problema en este grado de generalidad, es conveniente introducir una base de polinomios distinta a las que hemos considerado aqu´ı, la base de polinomios de Legendre.

(49)

Esto plantea dos preguntas adicionales:

¿qu´ e sucede para curvas PH de grado mayor? y ¿qu´ e sucede si imponemos restricciones mayores en la suavidad de las curvas?

Es conveniente notar que para estudiar el problema en este grado de

generalidad, es conveniente introducir una base de polinomios distinta a

las que hemos considerado aqu´ı, la base de polinomios de Legendre.

(50)

Farouki, R. T., Pythagorean-Hodograph Curves. Algebra and Geometry inseparable, Springer, Berlin (2008).

Smarzewski, R. and Rutka, P. An isoperimetric type problem for B´ ezier curves of degree n, Computer Aided Geometric Design 27 313–321 (2010).

(51)

Farouki, R. T., Pythagorean-Hodograph Curves. Algebra and Geometry inseparable, Springer, Berlin (2008).

Smarzewski, R. and Rutka, P. An isoperimetric type problem for

B´ ezier curves of degree n, Computer Aided Geometric Design 27

313–321 (2010).

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Ejercicios

Ejercicio

Busca en alg´ un libro de an´ alisis vectorial el enunciado del Teorema de Green y deduce la f´ ormula usada para calcular el ´ area encerrada por una curva cerrada simple.

Calcula con ella el ´ area encerrada por el c´ırculo unitario S

¹

.

Ejercicio

Calcula la curvatura del pseudo-c´ırculo que definimos en el curso.

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Ejercicios

Ejercicio

Busca en alg´ un libro de an´ alisis vectorial el enunciado del Teorema de Green y deduce la f´ ormula usada para calcular el ´ area encerrada por una curva cerrada simple.

Calcula con ella el ´ area encerrada por el c´ırculo unitario S

¹

. Ejercicio

Calcula la curvatura del pseudo-c´ırculo que definimos en el curso.

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Farouki, R. T., Pythagorean-Hodograph Curves. Algebra and Geometry inseparable, Springer, Berlin (2008).

Smarzewski, R. and Rutka, P. An isoperimetric type problem for B´ ezier curves of degree n, Computer Aided Geometric Design 27 313–321 (2010).

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Geometría de curvas y computación 5. Un problema isoperimétrico para curvas PH

Geometr´ıa de curvas y computaci´ on 5. Un problema isoperim´ etrico para curvas PH

Fausto Ongay

El problema isoperim´ etrico

El problema isoperim´ etrico cl´ asico es el siguiente:

Problem

Encontrar, entre todas las curvas cerradas y simples de longitud fija 2l , aquella que encierre la mayor ´ area posible.

Los or´ıgenes de este problema se remontan a los ge´ ometras de la Grecia cl´ asica, quienes lo describieron mediante la siguiente historia:

Entonces Eneas, inteligentemente, cort´ o la piel en tiras delgadas y,

uni´ endolas, consigui´ o una larga cuerda con la que encerr´ o un terreno

suficientemente grande como para fundar ah´ı lo que seg´ un la tradici´ on se

volvi´ o la importante Ciudad de Cartago.

Entonces Eneas, inteligentemente, cort´ o la piel en tiras delgadas y, uni´ endolas, consigui´ o una larga cuerda con la que encerr´ o un terreno suficientemente grande como para fundar ah´ı lo que seg´ un la tradici´ on se volvi´ o la importante Ciudad de Cartago.

La demostraci´ on de Steiner es a la vez elegante e ingeniosa, y aprovecha

las simetr´ıas que el problema impone en la curva (pero en honor a la

verdad, la demostraci´ on de Steiner es incompleta, pues supone algo que no

es matem´ aticamente obvio, y es que la soluci´ on existe).

La curva debe ser convexa

La curva debe ser sim´ etrica

Todos los puntos subtienden ´ angulos rectos

El c´ırculo no es a priori una de las curvas convenientes para la graficaci´ on por ordenador.

El c´ırculo no se puede parametrizar como una curva polinomial, peroen cierto modo s´ı es computable, ya que s´ı se puede parametrizar como una curva racional: la curva

(x (t), y (t)) =  1 − t

1 + t

, 2t

1 + t



satisface que x (t)

+ y (t)

= 1, de modo que esta curva describe un trozo

del c´ırculo unitario S

. De hecho, no es dif´ıcil convencerse de que s´ olo

falta el punto (−1, 0), que corresponde a l´ım

(x (t), y (t)).

El c´ırculo no es a priori una de las curvas convenientes para la graficaci´ on por ordenador.

El c´ırculo no se puede parametrizar como una curva polinomial, peroen cierto modo s´ı es computable, ya que s´ı se puede parametrizar como una curva racional: la curva

(x (t), y (t)) =  1 − t

1 + t

, 2t

1 + t



satisface que x (t)

+ y (t)

= 1, de modo que esta curva describe un trozo del c´ırculo unitario S

. De hecho, no es dif´ıcil convencerse de que s´ olo falta el punto (−1, 0), que corresponde a l´ım

(x (t), y (t)).

El estudio de las curvas racionales puede hacerse de manera similar al de las curvas polinomiales; pero esto va m´ as all´ a de nuestros objetivos.

Figura 9. Parametrizaci´ on racional del c´ırculo

El estudio de las curvas racionales puede hacerse de manera similar al de las curvas polinomiales; pero esto va m´ as all´ a de nuestros objetivos.

Figura 9. Parametrizaci´ on racional del c´ırculo

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010): Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado

menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010):

Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

Algunas observaciones

Esto plantea es la siguiente pregunta (Smarzewski y Rutka. 2010):

Problem

¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l que encierra la mayor ´ area posible?

La respuesta, depende del grado de los polinomios. Con la serie de Taylor de las funciones trigonom´ etricas, podemos aproximar la parametrizaci´ on de S

por polinomios tanto como se quiera. En el l´ımite obtendr´ıamos al c´ırculo; por ello es natural imponer una restricci´ on sobre el grado (Smarzewski y Rutka):

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva polin´ omica de longitud fija 2l y de grado

menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

Pero entonces, y siguiendo la filosof´ıa de que las curvas de hod´ ografo pitag´ orico son especialmente importantes, resulta natural plantearse el problema en esta clase (Monterde y Ongay, 2012).

Problem

Sea n fija. ¿Cu´ al es la curva de hod´ ografo pitag´ orico de longitud fija 2l y de grado menor o igual a n que encierra la mayor ´ area posible?

Pero entonces, y siguiendo la filosof´ıa de que las curvas de hod´ ografo pitag´ orico son especialmente importantes, resulta natural plantearse el problema en esta clase (Monterde y Ongay, 2012).

Problem

(x (t), y (t)) = 1 − t

(x (t), y (t)) = 1 − t