Optimització de xarxes d'interconnexió. Aplicació a una xarxa d'aeroports.

(1)

TÍTOL DEL TFG: Optimitzaci ó de xarxes d’interconnexi ó. Aplicaci ó a una xarxa d’aeroports

TITULACI ´O: Grau en Enginyeria d’Aeronavegaci ´o AUTORS: Montserrat Monjo Cursach

DIRECTOR: Francesc Comellas Padr ´o DATA: 7 de setembre de 2017

(2)

(3)

Director: Francesc Comellas Padr ´o Data: 7 de setembre de 2017

Resum

L’objectiu d’aquest treball de fi de grau és l’estudi dels possibles par àmetres que deter-minen, a trav és de la seva optimitzaci ó, les propietats que presenten xarxes reals. En concret s’ha considerat la xarxa d’aeroports dels Estats Units amb dades corresponents a l’any 2001. Cada aeroport és un node de la xarxa i cont é la seg üent informaci ó: el nom de l’aeroport, les seves coordenades i les operacions que efectua en un any.

L’estudi es basa en generar una xarxa aleat òria amb els mateixos nodes i, conseq üent-ment, la informaci ó de cada un d’ells, per ò amb connexions entre nodes a l’atzar. Les propietats d’aquesta xarxa s ón, l ògicament, molt diferents a les de la xarxa real. Per aquest motiu i per tal d’aconseguir una xarxa similar a l’original, cal considerar un proc és d’optimitzaci ó que es realitza mitjançant el m ètode del llindar (threshold accepting). Aquest algorisme efectua canvis en les connexions optimitzant una determinada funci ó de cost de manera que el proc és permeti trobar una xarxa final amb propietats com les de la xarxa real considerada: petit m ón, una distribuci ó de graus segons la mateixa llei potencial, etc.

Les funcions de cost que s’han analitzat es basen en la centralitat (import ància relativa) dels nodes i s’han considerat diverses centralitats basades en el nombre de camins entre nodes (camins curts, tots els possibles), passeigs aleatoris, models de c àrrega, etc. La funci ó de cost tamb é t é en compte les coordenades i el nombre d’operacions associats a cada node. Per poder realitzar m és r àpidament el proc és d’optimitzaci ó, s’han considerat xarxes redu¨ıdes extretes de la xarxa d’aeroports real. Un cop determinades les millors funcions de cost, s’ha aplicat el proc és d’optimitzaci ó a la xarxa completa.

(4)

(5)

Advisor: Francesc Comellas Padr ´o Date: September 7, 2017

Overview

The purpose of this degree’s final project is the study of those parameters that determine, after their optimitzation, the properties of a network. We will focus on the optimitzation of the airports network of the United States of 2001. Each airports is represented by a node, which contains this information: name of the airport, coordinates and the total number of airport’s operations during a year.

The study is based on the creation of a random network. It has the same nodes but they are connected randomly. For this reason, its properties are very different to the real network properties. Hence, an optimitzation process should be apllied: threshold accepting. The algorithm performs an optimitzation to a certain cost function by making changes to the connections between nodes. Therefore, a final network with properties of small-world, a degree histogram which follows a potential law (both properties of real networks), etc, is achieved.

Seven cost functions have been used and each of them is formed by one centrality. The centralities used are based on the paths between nodes, load models, etc. Moreover, the number of airport’s operations and its coordinates have been took into account. To prove the correct performance of the algorithm, four reduced networks has been generated from the real network. Once the results are obtained, the optimization of the airports network of USA has been performed by using the cost functions that works properly for this case.

(6)

(7)

Introducci ´

o

. . .

1 CAP´ITOL 1. Grafs: definicions

. . .

3 CAP´ITOL 2. Xarxes complexes

. . .

5

2.1. Tipus de xarxes . . . 5

2.1.1. Xarxes biol `ogiques . . . 5

2.1.2. Xarxes socials i econ `omiques . . . 5

2.1.3. Xarxes tecnol `ogiques . . . 5

2.1.4. Xarxa de computadors . . . 6

2.1.5. Xarxes tecnol `ogiques virtuals: World Wide Web . . . 6

2.2. Propietats principals . . . 6

2.2.1. Dist `ancia . . . 7

2.2.2. Coeficient d’agrupament . . . 8

2.2.3. Distribuci ´o de graus . . . 8

2.2.4. Correlaci ´o entre graus . . . 9

2.2.5. Centralitat de proximitat . . . 10

2.3. Models . . . 10

2.3.1. Model d’Erd ¨os-R ´enyi . . . 10

2.3.2. Model de Watts i Strogatz . . . 11

2.3.3. Model de Barab ´asi i Albert . . . 12

CAP´ITOL 3. Optimitzaci ´

o

. . .

15

3.1. Simulated annealing . . . 15 3.2. Threshold accepting . . . 16

CAP´ITOL 4. Simulacions

. . .

19

4.1. Variables. . . 21 4.1.1. Index Q . . . 21

4.1.2. Weighted communicability centrality . . . 22

4.1.3. Betweenness centrality . . . 23

(8)

4.1.7. Katz centrality . . . 24

4.1.8. Load centrality . . . 24

4.2. Funcions de cost . . . 25

CAP´ITOL 5. Resultats

. . .

27

5.1. Betweenness Centrality . . . 27

5.2. Weighted Communicability Centrality . . . 29

5.3. Current Flow Betweenness Centrality. . . 31

5.4. Current Flow Closenness Centrality. . . 33

5.5. Eigenvector Centrality . . . 35

5.6. Katz Centrality . . . 37

5.7. Load Centrality . . . 39

5.8. An `alisi dels resultats . . . 40

Conclusions

. . .

45 Bibliografia

. . .

47

(9)

1 Ponts de K ¨onigsberg (1736) . . . 1

2 Graf que representa el problema . . . 1

1.1 Graf . . . 3

1.2 Graf amb pesos . . . 3

1.3 Matriu d’adjac `encia deG . . . 4

2.1 Xarxa d’interconnexions entre aeroports d’Estats Units [1] . . . 6

2.2 Dist `ancies en xarxes dirigides i no dirigides . . . 7

2.3 Clusteringdel nodei . . . 8

2.4 Distribucions de grau segons una distribuci ´o de Poisson i una llei potencial . . . 9

2.5 Centralitat de proximitat . . . 10

2.6 Xarxes aleat òries d’Erd ös-R ényi . . . 11

2.7 Xarxes aleat `ories de Watts i Strogatz (N=20,k=6) . . . 12

4.1 Centralitat d’intermediaci ´o d’un graf . . . 23

4.2 Informaci ´o del node 493 . . . 25

5.1 Histograma de graus de la xarxa 1 (cercle) i de la reconstrucci ´o (rombe) a partir de la funci ´o de cost WCC. . . 40

(10)

(11)

4.1 Propietats de la xarxa d’interconnexions d’aeroports d’Estats Units a l’any 2001. 19 4.2 Propietats de la xarxa redu¨ıda a partir de la xarxa d’interconnexions d’aeroports

d’Estats Units a l’any 2001. . . 20

5.1 Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost BC. . . 27 5.2 Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost BC. . . 28 5.3 Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost WCC. 29 5.4 Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost WCC. . . 30 5.5 Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost CFBC. 31 5.6 Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost CFBC. . . 32 5.7 Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost CFCC. 33 5.8 Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost CFCC. . . 34 5.9 Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost EC. . . 35 5.10Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost EC. . . 36 5.11Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost KC. . . 37 5.12Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost KC. . . 38 5.13Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ó de cost LC. . . 39 5.14Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost LC. . . 40 5.15Reconstrucci ó mitjançant la funci ó de cost WCC a partir la xarxa real

d’aero-ports d’Estats Units ambα=0,99,T0=10−8,MAX IT =120000 . . . 42 5.16Histograma per a la reconstrucci ó amb funci ó de cost WCC. . . 42 5.17Reconstrucci ó mitjançant la funci ó de cost CFCC a partir la xarxa real

d’aero-ports d’Estats Units ambα=0,99,T0=10−8,MAX IT =120000 . . . 43 5.18Histograma per a la reconstrucci ´o amb funci ´o de cost CFCC. . . 43

(12)

(13)

Les xarxes estan molt presents arreu: des de la uni ó ordenada d’ àtoms per a formar una mol ècula fins a les relaciones que s’estableixen entre individus. Una xarxa representa la relaci ó (enllaços) que existeix entre un cert conjunt d’elements (nodes). Observant el m ón que ens envolta es poden trobar exemples: carreteres que connecten un conjunt de ciutats; cables que permeten la connexi ó entre ordinadors; rutes establertes per tal de connectar aeroports...

L’estudi de les xarxes en el camp de les matem àtiques es coneix com teoria de grafs i va n éixer l’any 1736 amb la publicaci ó de la resoluci ó del problema dels ponts de K önigsberg pel matem àtic su´ıs Leonhard Euler. En aquesta citutat el riu Pregel travessava la ciutat i envoltava una illa anomenada Kneiphof. Per tal de comunicar totes les zones va ser necess ària la construcci ó de set ponts (figura1).

Figura 1: Ponts de K önigsberg (1736) Figura 2: Graf que representa el problema La q üesti ó que van fer-se era si podia traçar-se una ruta a trav és de la ciutat que creu és nom és un cop per cada pont (el que es coneix ara com cam´ı euleri à). Euler va ser el primer que va analitzar-ho matem àticament: va associar les zones a punts (v èrtexs) que estaven connectats mitjançant l´ınies (branques), les quals es corresponien amb els ponts (figura2). D’aquesta manera, va arribar a una s èrie de conclusions generals sobre les xarxes d’aquest tipus: si m és de dos v èrtexs tenen grau senar, un cam´ı euleri à no és possible; si dos v èrtexs tenen grau senar i la resta el tenen parell, un cam´ı euleri à pot existir si comença en un dels v èrtexs amb grau senar i acaba en l’altre; si tots els v èrtexs tenen grau parell, existeix un cam´ı euleri à i, a m és a m és, tamb é un circuit euleri à (un cam´ı que comença i acaba en el mateix v èrtex).

Aquell moment correspon, com s’ha comentat, a l’inici de l’estudi de les propietats ma-tem àtiques de xarxes. En els darrers anys l’inter és s’ha centrat en l’an àlisi de xarxes reals com facebook, twitter, internet, la WWW, la xarxa el èctrica, la xarxa d’aeroports, etc. Aquestes xarxes presenten molt sovint unes propietats comunes: dist àncies mitges curtes entre nodes, un agrupament de nodes oclusteringelevat, una distribuci ó de graus que se-gueix una llei potencial, etc. S’han proposat models com, per exemple, els ja cl àssics de Watts i Strogatz o el model de Barab ási i Albert, i tamb é m ètodes d’optimitzaci ó que per-metin explicar el proc és de generaci ó de la xarxa. En aquest treball de fi de grau s’estudia aquest proc és en el cas de la xarxa d’aeroports.

(14)

(15)

Una xarxa, tamb é coneguda com agraf, és una representaci ó en forma de diagrama del sistema d’interconnexions entre nodes (v èrtexs), a partir d’un enllaç (aresta) per a cada parell de nodes.

Figura 1.1: Graf

Tal i com pot veure’s en la figura1.1, els cercles(v1, v2, v3, v4, v5)es corresponen amb v èrtexs i les l´ınies que uneixen els cercles, amb arestes (e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈). Aix´ı, es pot definir l’ordre del graf com el nombre de v èrtexs que t é, n=|V| i la mida

com el nombre d’arestes que el formen, m=|E|. A la figura1.1 pot establir-se l’ordre i la mida, essent 5 i 8, respectivament. Quan un graf no t é cap aresta és un graf buit, mentre que si no t é cap v èrtex és un graf nul. Si únicament est à format per un v èrtex es denominagraf trivial. En ocasions, les arestes tenen associat un nombre real, w(e), conegut com el seu pes (figura1.2). Aleshores, el graf vendr à definit perG= (V,W,f)on W ={w1,w2, ...,wm} és el conjunt dels pesos de cada cam´ı. A m és a m és, aquest graf

´es ungraf dirigit, ja que la direcci ´o de les arestes ve donada.

Figura 1.2: Graf amb pesos

En cas que en un graf es permeti m és d’una aresta per connectar un parell de nodes i la connexi ó d’un v èrtex amb ell mateix a partir d’una aresta (fet que es coneix com bucle), s’anomena multigraf. En canvi, es defineix un graf simple quan no t é arestes paral·leles ni bucles. Les arestes paral·leles s ón aquelles que connecten els mateixos v èrtexs, anomenatsv èrtexs extrems, mentre que lesarestes adjacentss ón aquelles que comparteixen un v èrtex extrem (anomenatv èrtex adjacent).

S’associa a la xarxa Gla matriu d’adjac `encia, A(G). Aquesta est `a formada pel nombre d’arestes que uneixenv_iiv j(figura1.3).

El nombre d’arestes que tenen el v èrtexv com a v èrtex extrem és el que determina el seu grau (d_G(v)). S’indica el m´ınim i el m àxim grau de v com δ(G)i ∆(G), respectivament.

(16)

Figura 1.3: Matriu d’adjac `encia deG

Aquest ve donat pel seg ¨uent teorema, el qual implica que el nombre de v `ertexs de grau senar sigui parell:

∑

v∈V

d(v) =2ε (1.1)

Onε ´es el nombre de columnes de la matriu d’incid `encia1.

Aix´ı, de l’exemple de la figura1.1, el grau de v4 ´es 3. Si el grau ´es 0, es coneix com a

v èrtex a¨ıllat; si el grau és 1, es tracta d’unv èrtex fulla(v₁).

Matem àticament, un graf es defineix com G = (V, E, f). Aquest est à constituit per un conjunt de v èrtexs,V, un conjunt d’arestes,E, i una funci ó,f, que relaciona una aresta de

Gamb un parell no ordenat (i no necess `ariament diferents) de v `ertexs deG:

G = (V, E, f)

On,

V ={v1, v2, v3, v4, v5}

E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

Definintf com la funci ´o que implica que dos v `ertexs estiguin units per una determinada aresta:

f(e1) =v1v2 f(e2) =v2v3 f(e3) =v3v3 f(e4) =v3v4 f(e₅) =v₂v₄ f(e₆) =v₄v₅ f(e₇) =v₂v₅ f(e₈) =v₂v₅

S’anomena cam´ı aquell recorregut que comença al v èrtex u i acaba al v èrtex v sense passar dos cops per la mateixa aresta. Es defineixen dos tipus de camins: si tots els v èrtexs (no necess àriament totes les arestes) del graf estan inclosos es tracta d’uncam´ı hamiltoni à, mentre que si totes les arestes (no necess àriament tots els v èrtexs) del graf estan incloses en el cam´ı es coneix comcam´ı euleri à. En el cas que el v èrtex inicial i el v èrtex final sigui el mateix, es coneix com acircuit.

1_{Matriu composta pel nombre de cops que}_v

(17)

Les xarxes complexes estan molt presents en quasi tots els aspectes de la nostra vida, des del m ón tecnol ògic i les xarxes socials, fins a les xarxes biol ògiques. El seu estudi és essencial per tal de determinar el seu comportament, crear models i millorar les seves propietats a partir de modificacions adients.

2.1. Tipus de xarxes

A continuaci ´o s’expliquen alguns exemples de xarxes complexes.

2.1.1. Xarxes biol `

ogiques

Un tipus de xarxes que formen part de la naturalesa i de l’anatomia dels éssers vius s ón les xarxes biol ògiques. En una d’aquestes xarxes pot representar-se la interacci ó f´ısica entre prote¨ınes, entre gens o b é entre prote¨ınes i gens, com a conseq ü ència de les forces f´ısiques establertes entre aquests. Una altra xarxa biol ògica és aquella que representa l’intercanvi d’energia o b é de massa entre mol·l ècules, ja sigui per una reacci ó o per una seq ü ència metab òlica. A nivell anat òmic, pot establir-se la interconnexi ó entre neurones com una xarxa, aix´ı com el sistema circulatori i el sistema nervi ós.

2.1.2. Xarxes socials i econ `

omiques

Una xarxa important és la xarxa social. Aquesta es produeix per les relacions socials establertes entre individus: des de relacions d’amistat a relacions de treball, passant per les relacions ´ıntimes. La xarxa social és un focus d’estudi important per tal de con éixer un altre tipus de xarxa: la xarxa de la propagaci ó d’una epid èmia [23].

Les xarxes econ òmiques s ón tamb é xarxes socials, per ò amb la petita difer ència que no es tracta d’individus en particular, sin ó d’empreses o pa¨ısos. Aix´ı, a partir de les intercon-nexions entre aquests, pot determinar-se l’intercanvi econ òmic establit.

2.1.3. Xarxes tecnol `

ogiques

Aquest tipus de xarxes engloba la xarxa el èctrica, la xarxa telef ònica i la xarxa de trans-port, entre d’altres. Aquesta última pot ser generada per la proximitat geogr àfica entre regions (carreteres, vies de tren...) o b é per la xarxa de transport aeri.

En la figura2.1pot veure’s que els aeroports estan connectats si hi ha un vol directe entre ells. A m és a m és, aquells aeroports que presenten una major capacitat per a realitzar operacions s ón aquells que tenen una major c àrrega de connexions.

(18)

Figura 2.1: Xarxa d’interconnexions entre aeroports d’Estats Units [1]

2.1.4. Xarxa de computadors

La xarxa de computadors és un conjunt d’equips (ordinadors o dispositius) que es con-necten entre ells a partir de cables, senyals o ones, tots ells mitjans de transports de dades per tal de transmetre informaci ó, serveis... Cada un dels computadors connectats a la xarxa s’anomena node. Aquests tipus de xarxes es classifiquen segons la cobertura (PAN, LAN, MAN i WAN), topologia (estrella, anell, bus, jer àrquica i h´ıbrida) i la relaci ó funcional(client-servidor i igual-igual).

2.1.5. Xarxes tecnol `

ogiques virtuals:

World Wide Web

El WWW (World Wide Web) és la xarxa formada per les p àgines HTML (HyperText Markup Language) que poden veure’s emprant un navegador. En aquest cas no es tracta de nodes f´ısics, com en els casos anteriors, sin ó de nodes l ògics: les p àgines. Aquestes empren el llenguatge HTML, el qual cont é uns camps anomenatsanchor tags1, de manera que és possible crear hipervincles a un altre document de la web. Aix´ı, quan l’usuari clica en un d’aquests camps, el navegador carrega l’URL (Uniform Resource Locator)2 especificada a l’hipervincle. Aleshores estem parlant d’una connexi ó directa entre dues p àgines.

2.2. Propietats principals

Per tal d’estudiar els sistemes complexos cal analitzar la seva estructura. Degut al seu comportament com a xarxes complexes, la seva estructura s’estudia com a tal. D’acord amb aix `o, a partir de les caracter´ıstiques de la xarxa es poden establir les propietats del sistema.

1_{Etiqueta HTML que permet definir les paraules que poden clicar-se d’un hipervincle}

(19)

2.2.1. Dist `ancia

La dist ància,d(i,j), és el nombre d’arestes requerides en el cam´ı m és curt per anar de

i a j en un graf. En cas que cada aresta tengui un pes, el cam´ı òptim ser à aquell que comporti una suma total de pesos menor. Aix´ı mateix, es pot definir ladist ància suma, s(i), tamb é coneguda com la dist ància total del nodei, com

s(i) =

_∑

j∈V(G)

d(i,j) (2.1)

Per a determinar ladist ància mitjanadel graf cal calcular el promig de la dist ància únicament per a les parelles de v èrtexs que estan connectats, la qual ve donada per

l= 1

n(n−1)

∑

i,j∈V(G)

d(i,j) (2.2)

Dues matrius poden generar-se, segons si el graf és dirigit o no, a partir de la dist ància m és curta entre nodes.

Figura 2.2: Dist `ancies en xarxes dirigides i no dirigides

Es defineix l’excentricitat d’un node,e(i), com la m `axima dist `ancia entre aquest i qualsevol altre node.

e(i) = max x∈V(G)

{d(i,x)} (2.3)

La m `axima excentricitat entre els nodes de la xarxa es coneix com eldi `ametred’aquesta, diam(G) = max

x,y∈V(G){d(

x,y)}. El radi ve donat per la m´ınima excentricitat del nodes. Aquell node l’excentricitat del qual ´es igual al radi s’anomenacentral.

(20)

2.2.2. Coeficient d’agrupament

Figura 2.3:Clustering del nodei

El coeficient d’agrupament, tamb ´e conegut com

clustering, és aquell que d óna la informaci ó sobre quants ve¨ıns del v èrtexiestan connectats entre ells. Per tal de calcular el seu valor (figura2.3), cal fixar un node: u, i con éixer el seu grau: 4. Finalment, es determina el nombre de connexions establertes entre els ve¨ıns dei: 2. A partir de l’equaci ó 2.4es troba que el coeficient d’agrupament és1/3.

Ci=

2Ni

k_i(k_i−1) (2.4)

OnN_i és nombre d’enllaços entre ve¨ıns dei ik_iel grau del v èrtexi

El coeficient d’agrupament deGvendr `a donat pel promig del valor individual d’aquest per a cada node del graf.

C= 1 n n

∑

i=1 Ci (2.5)

El coeficient d’agrupament, per a ambd ós casos, est à dintre del rang0₆C₆1. Si és 0 implica que els v èrtexs adjacents auno estan connectats entre s´ı, mentre que si és 1 tots els v èrtexs adjacents ai tamb é presenten enllaços entre ells.

Una segona opci ó, m és gr àfica, per calcular-ho és la seg üent.

C_i= #triangles connectats ai

#triples centrats eni (2.6)

En la figura2.3es pot observar que hi ha 2 triangles connectats al v `ertexidels 6 possibles. Aleshores, s’arriba al mateix valor que anteriorment:2/6= 1/3.

2.2.3. Distribuci ´

o de graus

Tal i com es comenta al cap´ıtol 1, el grau d’un node és igual al nombre de nodes adjacents a aquest. En grafs dirigits, es pot diferenciar entre els enllaços entrants i els enllaços sortints, aix´ı com el grau total obtingut a partir de la suma d’ambd ós.

La distribuci ó de graus ve donada per la representaci ó de la probabilitat que un node escollit a l’atzar tengui grau k (p(k) = n(k)/n) en funci ó de k. Les xarxes reals solen presentar una distibuci ó que segueix una llei potencial,P(k)∼k−γ_{, les quals es coneixen}

comscale-free, tot i que per a xarxes aleat òries el model d’Erd ös-R ényi va predir que la distribuci ó de graus segueix una distribuci ó de Poisson.

P(k) = e

−z_zk

k! (2.7)

(21)

En la figura2.4poden veure’s els dos tipus de distribucions.

(a) Distribuci ´o de Poisson (b) Distribuci ´o de llei potenial

Figura 2.4: Distribucions de grau segons una distribuci ´o de Poisson i una llei potencial

2.2.4. Correlaci ´

o entre graus

Tot i que en una xarxa aleat òria s’assumeix que no hi ha correlaci ó entre graus de nodes ve¨ıns, en moltes xarxes reals s’estudia com estan connectats els nodes amb un determinat grau a la xarxa. D’aquest s’obt é que en xarxes on els nodes de grau major tendeixen a connectar-se entre ells, resulta una correlaci ó positiva, mentre que en xarxes on els nodes de major grau es connecten a nodes amb menor grau presenten una correlaci ó negativa. Newman propos à la definici ó d’un coeficient per a explicar aquest comportament. La

distribuci ´o del grau excedent q(kj), essent k+1 el grau total, ve donada pel grau del node,k_i, i el grau del node al qual est `a connectat, k_j, aix´ı com per la probabilitat que un node escollit a l’atzar tengui grauk_j.

q(k_j) =(kj+1)p(kj+1) ∑ikip(ki)

(2.8) Definint, tamb ´e, elcoeficient d’aparellament com

r= ∑kikjkikj[e(kikj)−q(ki)q(kj)

σ2_q (2.9)

Onσq és la desviaci ó est àndard de la distribuci óq(kj). Ara b é, aquest no es pot definir per a xarxes regulars3.

En cas que es tracti de xarxes dirigides aquest coeficient és elcoeficient de correlaci ó de Pearsondels graus dels nodes en ambd ós extrems de l’enllaç.

r= m −1 ∑eki(e)kj(e)− m−1∑e12[ki(e) +kj(e)] 2 m−1_∑ e12[ki2(e) +k2j(e)]− m−1_∑ e12[ki(e) +kj(e)] 2 (2.10)

One és l’enllaç tal que el grau dels seus extrems s ónk_i(e)ik_j(e), im és la mida del graf.

(22)

2.2.5. Centralitat de proximitat

Una forma de mesurar la centralitat d’un node és fer-ho a partir de la centralitat de pro-ximitat (closeness centrality). Aquesta permet mesurar el grau de proximitat d’un node respecte de la resta de nodes que formen el graf. El seu c àlcul ve donat per la inversa de la suma dels camins m és curts des del node d’estudi fins a la resta de nodes.

CC(i) = n−1

s(i) (2.11)

Onn és el nombre de nodes is(i) és la suma de dist àncies.

En la figura2.5poden veure’s els valor de la centralitat de proximitat dels nodes.

Figura 2.5: Centralitat de proximitat

2.3. Models

Durant anys s’han desenvolupat nombrosos models per tal de generar xarxes amb propi-etats semblants a les reals: clustering elevat, dist `ancies mitges curtes i distrubucions de grau segons una llei potencial. A continuaci ´o se’n detallen tres d’ells.

2.3.1. Model d’Erd ¨

os-R ´enyi

El model que van proposar els matem àtics hongaresos Paul Erd ös (1913-1996) i Alfr éd R ényi (1921-1970) és per a xarxes aleat òries, i a vegades es coneix com el model cl àssic dels grafs aleatoris. El model parteix dennodes a¨ıllats. Segons una determinada proba-bilitatp>0cada parell de nodes es connecta mitjançant un enllaç. Conseq üentment, un graf aleatori d’Erd ös-R ényi s’escriu comG(n,p), onn és el nombre de v èrtexs de la xarxa ip és la probabilitat que existeixi una aresta(i,j)per a toti,j. Al tractar-se d’enllaços que v énen donats segons una determinada probabilitat, les xarxes resultants seran diferents i, per tant, presentaran propietats distintes.

Les xarxes aleat òries d’aquest model s’obtenen de la seg üent manera. Es designaE_n_,_N com els grafs lineals ambnv èrtexs iNarestes. Aleshores, un graf que pertany al conjunt En,N s’obt é escollint N fora de les n₂

possibles arestes entre V1,V2, ...,Vn, tal que el nombre d’elements d’E_n,N ´es igual a (

n

2)

N

. Una xarxa aleat `oria Γn,N, doncs, pot ser definida com un element d’En,N escollit a l’atzar, tal que cada element d’En,N ´es escollit amb la mateixa probabilitat 1/ (n2)

N

. Ara b é, la seva formaci ó tamb é pot considerar-se un proc és estoc àstic. Aix´ı, a t =1, s’escull un fora dels n₂ possibles connectant els v èrtexsV1,V2, ...,Vn, tots amb la mateixa probabilitat. A l’aresta generada, l’anomenem

(23)

Figura 2.6: Xarxes aleat òries d’Erd ös-R ényi

e₁. A un t =2, es torna a realitzar el mateix proc és, per ò escollint l’aresta e₂ diferent d’e₁ entre les n₂−1 possibles. Com en el cas d’abans, amb la mateixa probabilitat. Successivament es repeteix el mateix procediment, fins arribar a t =k+1. S’escull la branca entre les n₂−k possibles, diferent dee₁,e₂, ...,e_k. Aleshores, s’obt é Γn,N amb V₁,V₂, ...,V₃ie₁,e₂, ...,e_N. Tot i ser dues definicions diferents, s ón equivalents. Un cop es defineix la xarxa, el model d’Erd ös-R ényi proposa dos teoremes per tal de determinar la seva evoluci ó. El primer d’ells estudia l’aparença de determinats subgrafs o components, o b é d’altres propietats locals estructurals. El teorema demostra que, per a diversos tipus de propietats locals estructuralsApot establir-se un llindar A(n)tal que si N_A₍(_nn₎) →0per an→+∞la probabilitat queΓ_n_,_N₍_n₎ presenti la probabilitat local estructuralAtendeix a 0 per a n→+∞. Si N_A₍(n_n₎) →+∞ per a n→+∞ la probabilitat que Γ_n_,_N₍_n₎ presenti la probabilitat local estructuralAtendeix a1per an→+∞. El segon és igual al primer, per ò les propietats no s ón a nivell local, sin ó global. Aleshores, pot dir-se que algunes de les propietats de la xarxa estan relacionades amb la funci ó llindar,p_t(N).

Estudiant l’evoluci ó de les xarxes aleat òries [6] van poder concloure que la distribuci ó de graus d’aquestes segueix una distribuci ó de Poisson. Emper ò, actualment, despr és d’estudis enfocats a les xarxes reals, s’ha arribat a la conclusi ó que el model d’Erd ös-R ényi falla per a diverses propietats: no permeita generar clustering a nivell local i la distribuci ó de graus no seguia una llei potencial.

2.3.2. Model de Watts i Strogatz

Duncan J. Watts, sociologista, i Steven H. Strogatz, matem àtic, van desenvolupar, l’any 1998, un model alternatiu al d’Erd ös i R ényi per tal de generar xarxes amb propietats de petit m ón.

El fen òmen petit m ón va sorgir a partir de l’experiment dut a terme per Stanley Milgram l’any 1967. Es va plantejar la seg üent q üesti ó: quina és la probabilitat que dues persones selecionades arbitr àriament en una gran poblaci ó com la d’Estats Units es coneguin? No nom és aix ò, sin ó tenint en compte que, tot i queaiz no es coneguin directament, pot ser comparteixen un o m és coneguts. És a dir, existeix un conjuntB,b₁,b₂, ...b_k, que enllaça

aambz. Per tal de respondre la pregunta, va proposar el seg üent: arbitr àriament es se-leccionava a una persona (objectiu) i a un grup de persones (iniciadors). Cada persona del grup rebia un document. En aquest s’indicava el destinatari i es donava informaci ó sobre

(24)

aquest per tal de guiar l’emissor a l’hora d’escollir el destinatari. L’experiment començava quan els iniciadors enviaven el document als seus coneguts que, un cop el rebien. Ales-hores, la cadena finalitzava quan el document arribava al destinatari final o b é quan alg ú rompia la cadena. Despr és de dur-lo a terme, van concloure que la mitjana d’intermediaris requerits era 6. D’aquesta manera, van poden establir que els camins curts existeixen en la xarxa global d’amistats.

El seu model, doncs, permet obtenir una xarxa amb l’exist ència de camins curts, per ò tamb é d’un gran coeficient d’agrupament. Per tal de fer-ho, es comença a partir d’un anell regular ambN nodes, cada un connectat als seus2k ve¨ıns (k a cada costat). Per a cada noden_i=n₁,n₂, ...,n_N s’agafa cada enllaç(n_i,n_j)tal que i< j, i es reenllaça amb una certa probabilitatβ, evitantloopsi duplicaci ó d’enllaços. Una variant del proc és és afegir

m és enllaços, en comptes de reenllaçar, de manera que l’an àlisi es veu simplificat sense que els resultats es vegin fortament alterats.

Figura 2.7: Xarxes aleat `ories de Watts i Strogatz (N=20,k=6)

Van adonar-se’n que, per a probabilitats petites, s’obtenien grafs petits amb coeficient d’agrupament grans i dist `ancies mitges curtes, tal i com succe¨ıa a les xarxes reals.

2.3.3. Model de Barab ´asi i Albert

Aquest model va sorgir l’any 1999 per tal d’explicar la distribuci ´o de graus que mostraven les xarxes reals: un model on la probabilitat de trobar un node amb grauk decreix seguint una llei potencial p(k)_∼k−γ_.

En les xarxes creades a partir d’aquest model es t é en compte el seu car àcter de creixe-ment i la regla d’aparellacreixe-ment preferent. Aquesta última considera que la probabilitat que un node ja existent a la xarxa s’enllaci als nous nodes afegits és proporcional al seu grau

k.

En aquest model s’assigna a cada node un par àmetreaien el moment de la seva addici ó, el qual mesura com de pr òxim o distint és un node de la resta d’elements de la xarxa. Aleshores, s’aplica la regla d’aparellament preferent a les proximitats. La xarxa es crea, doncs, a partir de repetides iteracions de les seg üents regles:

i. S’agafa un nombre, mo, de nodes. S’assigna a cada node de mo una afinitat aleat `oria,a_i, determinada a partir d’una distribuaci ´o de probabilitat.

ii. A cada pas s’afegeix un nou node, j, amb una afinitat aleat `oria, aj, a la xarxa i s’enllac¸a a m(₆m_o) nodes que ja estan presents en la xarxa.

(25)

iii. Es recorren tots els nodes de la xarxa verificant quan la condici óa_i−µ₆a_j₆ a_i+µ es compleix, onµ és el par àmetre que controla la toler ància d’afinitat dels nodes. Tots aquells nodes que satisfan la condici ó s’agrupen en un conjunt, A, com a candidats potencials per a ”guanyar”enllaços.

iv. S’aplica la regla d’aparellament preferent als nodes del conjunt A: s’enllac¸a el nodeiamb un node existent segons la probabilitat seg ¨uent.

Π(ki) = ki

∑

s∈A

k_s (2.12)

v. Es repeteixen els punt ii-iv tal que la mida final de la xarxa ´esN=m_o+t.

Aix´ı, s’obt ´e una xarxa ambN nodes despr ´es det temps de passos.

Ara b é, at ès que aquest model no especifica com d’enllaçats han d’estar els nodes de mo, el model pot entendre’s de dues maneres distintes. La primera és com si aquesta fos una xarxa aleat òria inicial d’Erd ös-R ényi ambm_onodes, tal que el proc és implica que les petites ”no homogene¨ıtats”en la distribuci ó de graus de la xarxa creixen amb el temps. La segona opci ó és la proposada per Ballob ás i Riordan. S’assumeix qued=1i que els i

nodes s’enllacen alsj nodes amb una probabilitat de

pi=          kj 1+i−∑1 j=0 kj si j<i 1 1+i−∑1 j=0 kj si j=i (2.13)

Un cop quendnodes s ´on creats, la xarxa deixa de cr ´eixer com sid=1i la seva mida es redueix anagrupantd nodes consecutis. Aleshores, la xarxa s’especifica com BA(n,d). En aquestes, la heterogene¨ıtat decreix amb l’increment del grau promig.

Una de les caracter´ıstiques d’aquest tipus de xarxa ´es que la probabilitat que un node tengui grauk_>dve donada per

p(k) = 2d(d−1)

k(k+1)(k+2) ∼k

−3 _(2.14)

On l’exponent-3 roman constant independentment del valor de d. Com a conseq ü ència, la distribuci ó de graus acumulada és

P(k)_∼k−2 (2.15)

Per a valors determinatsd_>1, Bollob ´as va provar, a l’any 2001, que el valor del coeficient d’agrupament ´es

C_∼d−1 8

log2n

n (2.16)

Per an→∞. L’any 2004 van ser Ballob ´as i Riordan que estimaren el valor de la dist `ancia

(26)

que per a xarxes amb el mateix nombre de nodes i igual grau promig, la dist `ancia mitja era inferior en les xarxes BA respecte les seves xarxes ER an `alogues.

l= ln n−ln(d/2)−1−γ

ln ln n+ln(d/2) +

3

(27)

La optimitzaci ó combinat òria es centra en buscar el valor m àxim o m´ınim d’una funci ó de v àries variables independents, la qual s’anomena funci ó cost o funci ó objectiu i represen-ta com de bo és un sistema complex. Un exemple d’aquest tipus de optimitzaci ó és el problema del viatjant: donat un nombre N de ciutats i els mitjans per al c àlcul del cost del viatge entre dues ciutats, cal determinar aquella ruta que minimitzi el cost total, pas-sant únicament un cop per ciutat i finalitzant al punt d’inici. A mesura que augmenta el nombre de ciutats, la dificultat per tal de resoldre’l s’incrementa i, com a conseq ü ència, a la pr àctica nom és es pot definir una soluci ó exacta per a casos amb uns centenars de ciutats o menys. Aix´ı, aquest problema forma part del tipus NP-complet (temps polinomial no determin´ıstic).

Per tal de trobar solucions aproximades a aquests problemes hi ha dues alternatives: di-vidir el problema en subproblemes, resoldre’s i unir les solucions, o b é millorar a partir d’iteracions. Kirkpatrick va introduir el concepte ”annealing” per tal de trobar la configu-raci ó que minimitza una determinada funci ó entre v àries configuconfigu-racions i, juntament amb Gelatt i Vecchi [15], van crear un algoritme d’optimitzaci ó estoc àstica: simulated annealing

(recuita simulada).

3.1. Simulated annealing

L’algorisme de recuita simulada es va crear a partir del proposat per Metropolis [17]. Aquest va sorgir a partir de la necessitat d’analitzar les propietats que comporten els àtoms que formen part de les mostres l´ıquides o s òlides. Degut al nombre tan elevat d’ àtoms per cent´ımetre c úbic, el comportament del sistema m és probable en equilibri t èrmic a una determinada temperatura únicament pot observar-se de manera experimen-tal.

A partir del conjunt de les posicions at òmiques,{ri}, es defineix cada configuraci ó. El pes d’aquestes ve donat pel factor de probabilitat de Boltzmann, la qual dep èn de l’energia de la configuraci ó,E{ri},kB és la constant de Boltzmann iT és la temperatura.

exp(−E{ri}/kBT) (3.1)

Ara b é, qu è succeeix quan s’assoleix la temperatura m´ınima? Metropolis va introduir l’al-gorisme que permet obtindre una simulaci ó eficient d’un seguit d’ àtoms en equilibri a una certa temperatura. A cada pas un àtom sofreix un lleu desplaçament aleatori, que impli-ca un impli-canvi en l’energia total del sistema. Es impli-calcula la difer ència entre la configuraci ó original i la configuraci ó actual, ∆E, tal que si aquesta és negativa, ∆E 60, s’accepta

el desplaçament i, conseq üentment, la nova configuraci ó substitueix la original. Per altra banda, si la difer ència d’energia és positiva,∆E >0, únicament s’accepta la nova

confi-guraci ´o amb una probabilitat determinada.

P(∆E) =exp(−∆E/kBT) (3.2) Es compara un nombre aleatori de l’interval (0, 1) amb P(∆E). Si és inferior, la nova configuraci ó s’accepta, sin ó es retorna a la configuraci ó original. D’aquesta manera, a

(28)

partir de les repeticions del proc és, s’aconsegueix simular el moviment t èrmic dels àtoms en contacte amb un bany de calor a una certa temperatura.

Aleshores, l’algorisme de recuita simulada és molt semblant a n’aquest. S’escull una confi-guraci ó inicial i, a cada pas, es provoca un petit canvi en la conficonfi-guraci ó per tal d’obtenir-ne una de nova. Es comparen ambdues configuracions per tal de determinar quina presenta una millor qualitat (millor valor de la funci ó objectiu). Aix´ı, si la nova configuraci ó és millor, s’accepta i substitueix l’antiga. Si és pitjor, únicament s’accepta amb una certa probabili-tat, la qual dep èn d’un par àmetre temporal i del decrement de la qualitat. A mesura que augmenta el temps, degut al factor de reducci ó, la probabilitat d’acceptar una configuraci ó que empitjora la qualitat disminueix.

L’esquema de l’algorisme es defineix tal que: − Generar una configuraci ´o inicial

− Escollir una temperatura inicial,To>0, i una tempertatura final,Tf − Determinar un nombre m `axim d’iteracions

− Generar una nova configuraci ó a partir d’una petita perturbaci ó en la configuraci ó original

− Mentre no s’assoleixi la temperatura final establerta

– Mentre el nombre de iteracions no superi el m `axim establert

∆s= funci ó cost (configuraci ó nova) - funci ó cost (configuraci ó original) Si∆s>0

Configuraci ´o original = Configuraci ´o nova

Sin ´o siP=exp(∆s/T)>ξ, onξ∈(0,1) ´es un nombre aleatori

Configuraci ´o original = Configuraci ´o nova – Disminuir la temperatura segons un factorα

A major temperatura, s’accepten pitjors configuracions. Aleshores, cal escollir el par àmetre adequat per a reduir la temperatura, ja que és molt important en la converg ència de l’al-gorisme.

3.2. Threshold accepting

El m ètodethreshold accepting (llindar d’acceptaci ó) és un m ètode de recerca local molt semblant al de recuita simulada. Aquest algorisme, versi ó determin´ıstica de simulated annealing, va ser proposat per Dueck i Scheuer (1990) [12] i, independentment, Moscato i Fontanari (1990), on la funci ó de probabilitat d’acceptaci ó és

a_k(∆_ω,ω0) = (

1 siQ_k_>∆ω,ω0

0 altrament (3.3)

(29)

L’algorisme parteix d’un llindar d’acceptaci ó, el qual es calcula a partir de la soluci ó de la funci ó objectiu: el cost inicial. El seu valor es percentual i es defineix com la toler ància amb que s’accepten aquelles solucions que empitjoren el cost (per exemple, amb un 10% de toler ància,T_o= cost inicial * 0.1). Aleshores, a cada iteraci ó es genera una nova soluci ó, la qual genera un nou valor del cost. Aquest cost es compara amb l’incial, si és superior les iteracions segueixen (a no ser que estigui dintre del rang de la toler ància), mentre que si és inferior s’accepta aquesta soluci ó com la òptima. Finalment, el llindar es redueix per tal que l’algorisme convergeixi.

L’esquema de l’algorisme es defineix com: − Determinar la funci ´o objectiu

− Escollir un llindar d’acceptaci ´o inicial,T_oi m´ınim,T_min − Generar soluci ´o inicial

− Determinar un nombre m `axim d’iteracions − Mentre llindar T>T_min

– Mentre no s’arribi al m `axim d’iteracions

Modificar la soluci ´o lleugerament i obtenir un nou valor de la funci ´o objectiu

Si la soluci ´o ´es millor, s’accepta el canvi

Si la soluci ó és pitjor, per ò est à dintre del llindar d’acceptaci ó, s’accepta el canvi

(30)

(31)

Redu¨ınt de manera aleat òria la xarxa d’aeroports d’Estats Units s’han obtingut quatre xarxes (un exemple és la xarxa de la taula 4.2), de manera que la simulaci ó es pugui dur a terme m és r àpidament. Aquestes xarxes presenten les mateixes caracter´ıstiques que l’original (taula4.1), per ò ara amb 60 nodes escollits aleat òriament. Aix´ı doncs, els resultats no es veuen alterats i s ón concloents.

Taula 4.1: Propietats de la xarxa d’interconnexions d’aeroports d’Estats Units a l’any 2001. Original

Mida 2072

Ordre 295

Di `ametre 5

Dist `ancia mitja 2,459

Clustering 0,705 Histograma de graus [0, 48, 45, 27, 21, 12, 20, 7, 5, 9, 14, 3, 4, 6, 5, 2, 4, 5, 4, 2, 4, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Grau mitj `a 14,074 Grau m´ınim 1 Grau m `axim 132

Correlaci ´o de grau -0,416

´Index Q -17,414

Índex Q amb pes 7,214 Índex Wiener 106656 Índex Wiener amb

pes 97,614·10

6 ´Index d’Estrada 3,141·1018 ´Index d’Estrada amb

pes 298,722

(32)

Taula 4.2: Propietats de la xarxa redu¨ıda a partir de la xarxa d’interconnexions d’aeroports d’Estats Units a l’any 2001.

Xarxa redu¨ıda 1

Mida 256

Ordre 60

Di `ametre 4

Dist `ancia mitja 2,093

Clustering 0,65 Histograma de graus [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Grau mitj `a 8,533 Grau m´ınim 1 Grau m `axim 43

Correlaci ´o de grau -0,457

´Index Q -5,268

´Index Q amb pes 7,066

´Index Wiener 3705

´Index Wiener amb

pes 3441070,604

´Index d’Estrada 14397165,846 ´Index d’Estrada amb

pes 61,869

Aleat òriament s’agafen dos nodes, als que denominaremuiv. Mentreu=vo b é existeixi un enllaç entreu iv, seguim buscant el node v que compleixi les condicions. Un cop determinat, es connecten els dos nodes i, coneixent les seves coordenades i aplicant la f órmula d’Haversine, s’asigna a la branca el seu pes, que és la dist ància entre ambd ós aeroports. Aquest proc és es repeteix fins que la nova xarxa t é la mateixa mida que l’or-ginal. Ara b é, pot donar-se el cas que un o m és nodes quedin sense connectar-se a un altre node, generant aix´ı v àries xarxes independents. Aquesta soluci ó no és acceptable, ja que la finalitat és partir d’una xarxa connexa i obtenir-ne una d’optimizada tan versem-blant a la xarxa d’aeroports com sigui possible.. Tal i com s’ha explicat abans, el m ètode d’optimitzaci ó ser à elthreshold accepting, seguint aquest esquema:

− C àlcul de la difer ència entre la funci ó de cost de la xarxa redu¨ıda, G, i de la xarxa aleat òria, GG,∆f c=|f c(G)−f c(GG)|

− Determinar el cost desitjat

− Definir la toler `ancia,T OL, per tal de determinar el valor inicial de T0,T₀=∆f c·T OL

− Definir el nombre m `axim d’iteracions,MAX IT − Definir el valor m´ınim que pot assolirT₀,T₀_min − WHILE T₀>T₀_min & iters<MAX IT:

– Modificaci ó de la xarxa i c àlcul de la funci ó de cost ∗ SI la funci ó de cost és millor, s’accepta el canvi

(33)

∗ SI la funci ó de cost és pitjor per ò est à dintre del llindar d’acceptaci ó, s’ac-cepta el canvi

– Definir el factor de reducci ´o,α, per tal de reduir el valor deT₀

Les variables que cal con éixer per tal de definir les funcions de cost s ón les detallades en la secci ó 4.1.

4.1. Variables

4.1.1. Index Q

Ernesto Estrada [14] proposa aquest ´ındex per a determinar si una xarxa est `a o no efici-entment configurada.

Q=ln(0.8578W/γ) (4.1)

On la constant 0.8578 correspon a la dist ància de comunicaci ó entre parells de nodes de K_nambβ1=1,W és l’´ındex de Wiener iγ és l’´ındex de la dist ància de comunicaci ó.

L’´ındex de Wiener és un dels ´ındex topol ògics que van ser força importants durant l’estudi de la part matem àtica de la qu´ımica. El motiu principal és que poden calcular-se a partir de grafs moleculars i correlar-se amb les propietats, tant f´ısiques com qu´ımiques, de la mol ècula corresponent. Aquest ´ındex ha estat emprat per obtenir diversos objectius: la correlaci ó amb diferents par àmetres termodin àmics (Harry Wiener, 1947), predir constants cr´ıtiques (Stiel i Thordos, 1962), la correlaci ó amb la densitat, viscositat i tensi ó superficial (Rouvray i Craffor, 1976), entre d’altres. Les defineix, per a un graf G connex, com la suma de les dist àncies entre tots els parells de nodes que formen el graf.

W = 1 2 n

∑

i=1 n

∑

j=1 d_{i j} (4.2)

L’´ındex de la dist ància de comunicaci ó es correspon amb el que van proposar Crofts i Highman [11] per a la comunicaci ó en una xarxa amb pesos:

ξpq(β) =Gpp(β) +Gqq(β)−2Gpq(β) (4.3) On laGpq ´es la comunicabilitat entre els nodespiq.

Gpq = ( ∞

∑

k=0 Ak k!)pq (4.4)

Per tal de determinar quins s ón els par àmetres del m ètode d’optimitzaci ó que permeten obtenir una xarxa m és semblant a l’original s’ha emprat aquest ´ındex.

Els par `ametres s ´on:

1

(34)

− Toler `ancia amb que s’accepten les solucions que empitjoren el cost − T0m´ınim

− Nombre m `axim d’iteracions

− Cada quantes iteracions es produeix la reducci ´o deT₀ − Factor de reducci ´o (α) deT0

4.1.2. Weighted communicability centrality

Crofts i Highman [11] proposen un m ètode que tracta directament la connectivitat entre dades, evitant aix´ı la discretitzaci ó de la corresponent matriu d’adjac ència.

Es parteix d’un graf no dirigit i sense pesos que es defineix a partir de la seva matriu d’adjac `encia:

A∈IRNxN (4.5)

Tal quea_{i j} =a_ji=1si els nodes i ij estan connectats, o b ´e prenen el valor 0 si no ho estan.

Si s’avalua la matriu d’adjac `encia a lak pot `encia, el seu elementi,jcompta el nombre de camins de longitudk que comencen al nodeii acaben al nodej:

(Ak)_{i j} := N

∑

r1=1 N

∑

r2=1 ... N

∑

rk=1 a_i_,_r₁a_r₁_,_r₂a_r₂_,_r₃...a_r_k₋₁_,_r_ka_r_k_,_j (4.6)

On els camins s ón qualsevol recorregut possible que segueix les branques i el n úmero d’aquestes és la longitud.

Degut a que els camins curts s ´on m ´es impotants que els llargs, els camins de longitudk

es penalitzen amb un factor _k1_!. Aleshores, es defineix la comunicabilitat entre dos nodes

iij diferents com ( ∞

∑

k=1 Ak k!)i j (4.7)

Ara b é, el nostre estudi es basa en un graf no dirigit i amb pesos. Aix ò implica que el producte de l’equaci ó4.6no prendr à el valor de 1 ó 0, sin ó que ser à el producte de tots els pesos de les branques. Aix´ı doncs, la comunicabilitat entre nodes vendr à donada per

(exp(D−1/2AD−1/2))i j (4.8) OnD ´es la diagonal de la matriu de grausD∈IRNxN amb la formaD:=diag(di), ondi

(35)

4.1.3. Betweenness centrality

Establir la centralitat d’intermediaci ó (betweenness centrality) permet con éixer la import ància relativa d’un node en la comunicaci ó entre altres parelles de nodes, si la facilita o b é si la dificulta. Per tal d’obtenir aquest par àmetre, cal considera que tot el flux d’informaci ó únicament va pels camins curts.

BC(k) =

_∑

i

∑

j

ρ(i,k,j)

ρ(i,j) (4.9)

Es defineixρ(i,j)com el nombre de camins m ´es curts que s’estableixen entre els nodes

i i j, i ρ(i,k,j) com el nombre de camins m ´es curts entre i i j que passen pel node k. Remarcar quei6= j6=k, aix´ı comρ(i,j) =ρ(j,i)iρ(i,k,j) =ρ(j,k,i).

Tot i aix ò, a la pr àctica, les comunicacions no es donen pel cam´ı m és curt, sin ó per altres camins possibles. Ferman, Borgatti i White [8] van definir-la tenint en compte no nom és els camins m és curts.

BC_f(k) =

_∑

i

∑

j

f(i,k,j)

f(i,j) (4.10)

On f(i,j) és el m àxim flux entre els nodesiij, i f(i,k,j) és el m àxim flux entre els nodes

iij passant perk.

Figura 4.1: Centralitat d’intermediaci ´o d’un graf

4.1.4. Current flow betweenness centrality

Labetweenness centrality és una mesura que nom és contempla la transmissi ó (mai divi-dida) d’informaci ó pels camins curts. Aleshores, cal implementar una nova mesura que s´ı accepti la divisi ó d’informaci ó [24]. Aquesta s’anomenacurrent flow betweenness centra-lityi es defineix de la seg üent manera.

cCB(v) = 1

n_B _s_,

∑

_t_∈_Vτst(v), per tot v∈V (4.11)

Onn_B és una constant per a normalitzar el valor (n_B= (n−1)(n−2)) iτst(v) és el rendi-ment del v èrtexv∈V en el fluxe d’informaci ó desat.

(36)

4.1.5. Current flow closeness centrality

Una de les funcions de cost que s’ha emprat és la current flow betweenness centrality, que inclou el pes de cada connexi ó. Laclosenness centrality (secci ó 2.2.5) és la mesura del grau de proximitat d’un v èrtex a la resta (en promig). Ara b é, amb aquesta mesura s’assumeix que la informaci ó va sempre pels camins cuts i no es divideix. Aleshores, es proposa una nova mesura que s´ı ho permet [24].

cCC(v) =

nc

∑t6=vpvt(v)−pvt(t)

, per tot v∈V (4.12)

Onn_c és una constant per a normalitzar (n_c=n−1) i el denominador és la dist ància entre

v it.

4.1.6. Eigenvector centrality

La centralitat del valor propi ´es una mesura que determina que la centralitat de cada node ´es proporcional a la centralitat dels seus nodes ve¨ıns.

Aquesta ve donada per

x_i= 1

λ

∑

t∈M(v)

a_v_,_tx_t (4.13)

De manera matricial queda

Ax=λx (4.14)

OnM(v) és el conjunt de nodes ve¨ıns dev, A=a_v,t és la matriu adjacent iλ és el valor (absolut) m és gran del vector de valors propis.

4.1.7. Katz centrality

Aquesta mesura de centralitat parteix de la idea proposada per Kantz l’any 1953 [19], on la centralitat del nodeies mesurava a partir de la matriu adjacent,A, i dels valors propis,

λ.

xi=α

_∑

j

Ai jxj+β (4.15)

Onβ és el par àmetre que permet donar m és pes als enllaços iα pren valors inferiors a

1

λmax per tal de penalitzar aquells enllac¸os que s’estableixen entre nodes molt llunyans.

4.1.8. Load centrality

La centralitat de c àrrega s’especifica tal que cada node envia una determinada quantitat d’informaci ó a un altre node. Aquesta informaci ó viatjar à pels nodes adjacents pr òxims

(37)

al node final, de manera que la c àrrega de cada un d’ells vendr à definida per la quantitat d’informaci ó que passar à a trav és seu durant l’intercanvi.

Goh [22] aproxima el valor de laload centrality d’un node com la fracci ´o de tots els camins curts que passen per aquest.

li∼(NlogN)(N/i)β (4.16) En la secci ´o 4.2 es detallen les funcions de cost emprades per l’optimitzaci ´o de les xarxes.

4.2. Funcions de cost

Cada node representa un aeroport i cont é la seg üent informaci ó.

Figura 4.2: Informaci ´o del node 493

El par àmetre ’code’ és el codi IATA per als aeroports [25] i el ’name’ és el nom complet; el par àmetre ’iden’ és el que s’usa per a anomenar el node, de manera que quan s’escriu la comandaG.node[iden] t’apareix tota la seva informaci ó; els par àmetres ’lat’ i ’lng’ s ón les coordenades de l’aeroport (en radians) i s’empren per al c àlcul de la dist ància entre aeroports (que ser à el pes dels enllaços), aix´ı com per dibuixar el gr àfic final i, finalment, el par àmetre ’oper’ és aquell que t é en compte el nombre d’operacions de l’aeroport. Al generar la xarxa aleat òria es copia tota la informaci ó dels nodes, la qual cosa implica que el nombre d’operacions sigui el mateix. Per aquest motiu, el que s’ha fet és definir una s èrie de funcions de cost que afavoreixen els nodes que presenten un major nombre d’operacions.

A m és a m és, és una xarxa amb pesos. Aquest fet suposa que els enllaços formats com-porten un determinat pes. En aquest cas, ve donat per la dist ància entre els dos aeroports i ser à un factor limitant a l’hora de generar una nova optimitzaci ó: nom és s’accepeteran aquells canvis que formin enllaços entre dos nodes, la dist ància dels quals sigui inferior a la dist ància m àxima de la xarxa original.

Pel seu c `alcul s’empra la f `ormula de Haversine

sin2( d

2R) =sin 2₍∆φ

2 ) +cosφ1cosφ2sin 2₍∆λ 2 ) (4.17) d=2R arcsin( r d R) (4.18)

(38)

On els angles s ón en radians i les dist àncies en quil òmetres.

Aleshores, les funcions de cost emprades tenen la mateixa estructura: s’obt é un vector de centralitats i es fa la difer ència amb el vector d’operacions, de manera que aquells aeroports amb un major nombre d’operacions sempre presentaran una centralitat major, possibilitant aix´ı una funci ó de cost nula.

− Weighted Communicability Centrality

Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − WCC(v) ∑v∈VWCC(v) (4.19) − Betweenness Centrality Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − BC(v) ∑v∈VBC(v) (4.20)

− Current Flow Betweenness Centrality

Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − CFBC(v) ∑v∈VCFBC(v) (4.21)

− Current Flow Closeness Centrality

Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − CFCC(v) ∑v∈VCFCC(v) (4.22) − Eigenvector Centrality Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − EC(v) ∑v∈VEC(v) (4.23) − Katz Centrality Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − KC(v) ∑v∈VKC(v) (4.24) − Load Centrality Cost=

_∑

v∈V OP(v) ∑v∈VOP(v) − LC(v) ∑v∈VLC(v) (4.25)

(39)

L’algorisme s’ha implementat en Python (Ap èndix A) i executat en MacBook Pro (processa-dor 2,9 GHz Intel Core i7). Els resultats s’han obtingut considerant aquests par àmetres:T₀ com la difer ència inicial entre el cost de la xarxa redu¨ıda i la xarxa aleat òria;Tmin=10−7; T OL=30%; reducci ó deT₀cada 400 iteracions;MAX IT =20000iα=0,9.

5.1. Betweenness Centrality

Taula 5.1: Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ´o de cost BC.

BC Xarxa 1 Xarxa 2

Orig. Rec. Orig. Rec.

Di àmetre 4 3,5 4 4,95 Dist ància 2,093 2,089 2,305 2,562 Grau promig 8,533 8,533 5,3 5,3 M àx. grau 43 20,55 37 13,2 M´ın. grau 1 2,7 1 1,25 Clustering 0,650 0,168 0,625 0,094 Correlaci ó -0,457 -0,168 -0,539 -0,162 Índex W 3705 3726 4080 4535,8

´Index W (amb pesos) 3,441·106 3,743·106 4,068·106 6,51·106

´Index Q -5,286 -1,667 -2,783 -0,555

´Index Q (amb pesos) 7,066 7,268 7,23 7,67

´Index d’Estrada 14,397·106 21,974·103 0,126·106 974,575 ´Index d’Estrada (amb pesos) 61,869 64,163 62,262 66,289

BC 0,020 0,025 0,023 0,033

F. de cost BC 0,996 0,097 1,052 0,11

Xarxa 3 Xarxa 4

Di àmetre 4 5,45 4 3,55 Dist ància 2,289 2,591 2,105 2,056 Grau promig 5,267 5,267 8,967 8,967 M àx. grau 34 15 42 20,05 M´ın. grau 1 1 1 2,85 Clustering 0,504 0,103 0,599 0,171 Correlaci ó -0,502 -0,164 -0,489 -0,146 Índex W 4053 4585,631 3726 3683,45

´Index W (amb pesos) 3,279·106 5,2·106 3,743106 4,494·106

´Index Q -2,842 -0,573 -5,602 -1,757

´Index Q (amb pesos) 7,013 7,443 7,150 7,318

´Index d’Estrada 133,889·103 1,081·103 27,413·106 28,7·103 ´Index d’Estrada (amb pesos) 62,309 66,464 61,837 64,168

BC 0,023 0,034 0,020 0,025

F. de cost BC 1 0,124 0,934 0,07

(40)

Taula 5.2: Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost BC. Histograma Xarxa 1 [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 0, 2, 2, 1, 8, 6, 8, 10, 8, 2, 2, 4, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1] Xarxa 2 [0, 15, 13, 11, 6, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 2, 8, 11, 7, 9, 7, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 0, 0, 1] Xarxa 3 [0, 20, 12, 8, 2, 1, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 2, 5, 7, 15, 8, 8, 6, 2, 2, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 4 [0, 14, 6, 4, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 0, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 10, 10, 4, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 0, 0, 1]

(41)

5.2. Weighted Communicability Centrality

Taula 5.3: Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ´o de cost WCC.

WCC Xarxa 1 Xarxa 2

Di àmetre 4 8,3 4 9,15 Dist ància 2,093 2,885 2,305 3,414 Grau promig 8,533 8,533 5,3 5,3 M àx. grau 43 29,5 37 24,65 M´ın. grau 1 1 1 1 Clustering 0,65 0,356 0,625 0,265 Correlaci ó -0,457 -0,009 -0,539 -0,025 Índex W 3705 5113 4080 6042,4

´Index W (amb pesos) 3,441·106 6,53·106 4,068·106 9,404·106

´Index Q -5,286 -4,6 -2,783 -2,357

´Index Q (amb pesos) 7,066 7,634 7,23 7,989

WCC 2519,816 2685,569 2529,422 2707,336

F. de cost WCC 0,887 0,787 0,82 0,711

Di àmetre 4 8,7 4 8,25 Dist ància 2,289 3,368 2,105 2,836 Grau promig 5,267 5,267 8,967 8,967 M àx. grau 34 28,8 42 28,25 M´ın. grau 1 1 1 1 Clustering 0,504 0,294 0,599 0,34 Correlaci ó -0,502 -0,088 -0,489 -0,076 Índex W 4053 5961,15 3726 5019,15

´Index W (amb pesos) 3,279·106 9,05·106 3,743106 6,79·106

´Index Q -2,842 -2,399 -5,602 -4,54

´Index Q (amb pesos) 7,013 7,949 7,150 7,669

WCC 2531,227 2698,8 2519,11 2092,25

(42)

Taula 5.4: Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost WCC. Histograma Xarxa 1 [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 10, 12, 1, 3, 5, 1, 4, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1] Xarxa 2 [0, 15, 13, 11, 6, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 14, 13, 5, 3, 3, 6, 3, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 3 [0, 20, 12, 8, 2, 1, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 15, 14, 4, 5, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 4 [0, 14, 6, 4, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 8, 14, 4, 2, 2, 2, 0, 4, 2, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1]

(43)

5.3. Current Flow Betweenness Centrality

Taula 5.5: Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ´o de cost CFBC.

CFBC Xarxa 1 Xarxa 2

Di àmetre 4 3,15 4 4,20 Dist ància 2,093 1,969 2,305 2,337 Grau promig 8,533 8,533 5,3 5,3 M àx. grau 43 38,15 37 30,60 M´ın. grau 1 1,65 1 1,35 Clustering 0,650 0,476 0,625 0,278 Correlaci ó -0,457 -0,409 -0,539 -0,318 Índex W 3705 3485 4080 4136,35

´Index W (amb pesos) 3,441·106 4,022·106 4,068·106 5,132·106

´Index Q -5,286 -3,512 -2,783 -1,113

´Index Q (amb pesos) 7,066 7,214 7,23 7,436

CFBC 0,041 0,044 0,043 0,055

F. de cost CFBC 0,476 0,032 0,671 0,042

Di àmetre 4 4,35 4 3 Dist ància 2,289 2,394 2,105 1,935 Grau promig 5,267 5,267 8,967 8,967 M àx. grau 34 25,75 42 39,55 M´ın. grau 1 1,65 1 1,85 Clustering 0,504 0,25 0,599 0,503 Correlaci ó -0,502 -0,275 -0,489 -0,411 Índex W 4053 4237,45 3726 3424,9

´Index W (amb pesos) 3,279·106 4,48·106 3,743106 4,221·106

´Index Q -2,842 -1,02 -5,602 -3,742

´Index Q (amb pesos) 7,013 7,299 7,150 7,263

CFBC 0,043 0,056 0,04 0,043

(44)

Taula 5.6: Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost CFBC. Histograma Xarxa 1 [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 0, 3, 10, 6, 11, 7, 3, 3, 3, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1] Xarxa 2 [0, 15, 13, 11, 6, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 1, 13, 15, 8, 9, 4, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 3 [0, 20, 12, 8, 2, 1, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 1, 5, 21, 12, 10, 1, 1, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 4 [0, 14, 6, 4, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 0, 3, 11, 5, 9, 5, 2, 7, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

(45)

5.4. Current Flow Closenness Centrality

Taula 5.7: Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ´o de cost CFCC.

CFCC Xarxa 1 Xarxa 2

Di àmetre 4 3,05 4 4,6 Dist ància 2,093 2,025 2,305 2 Grau promig 8,533 8,533 5,3 5,3 M àx. grau 43 32 37 21,3 M´ın. grau 1 1 1 1,7 Clustering 0,65 0,51 0,625 0,31 Correlaci ó -0,457 -0,351 -0,539 -0,29 Índex W 3705 3584,95 4080 4292,65

´Index W (amb pesos) 3,441·106 3,75·106 4,068·106 4,9·106

´Index Q -5,286 -3,813 -2,783 -2

´Index Q (amb pesos) 7,066 4,146 7,23 7,394

CFCC 9,905 48,954 9,084 20,82

F. de cost CFCC 0,735 0,643 0,726 0,566

Di àmetre 4 4,35 4 3 Dist ància 2,289 2 2,105 2 Grau promig 5,267 5,267 8,967 8,967 M àx. grau 34 21,55 42 31,8 M´ın. grau 1 1 1 1,7 Clustering 0,504 0,256 0,599 0,524 Correlaci ó -0,502 -0,214 -0,489 -0,377 Índex W 4053 4361,35 3726 3541,55

´Index W (amb pesos) 3,279·106 3,935·106 3,743106 3,895·106

´Index Q -2,842 -1,78 -5,602 -4

´Index Q (amb pesos) 7,013 7 7,150 7

CFCC 6,027 17,306 11 60,643

(46)

Taula 5.8: Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost CFCC. Histograma Xarxa 1 [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 1, 1, 8, 11, 13, 7, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 2 [0, 15, 13, 11, 6, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 6, 20, 8, 14, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1] Xarxa 3 [0, 20, 12, 8, 2, 1, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 4, 22, 13, 4, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 1] Xarxa 4 [0, 14, 6, 4, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 1, 2, 7, 8, 12, 9, 5, 3, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1]

(47)

5.5. Eigenvector Centrality

Taula 5.9: Resultats pel promig de 20 reconstruccions a partir de la funci ´o de cost EC.

EC Xarxa 1 Xarxa 2

Di àmetre 4 3,95 4 5 Dist ància 2,093 2,138 2,305 2,57 Grau promig 8,533 8,533 5,3 5,3 M àx. grau 43 16,95 37 14,85 M´ın. grau 1 2,75 1 1 Clustering 0,65 0,188 0,625 0,114 Correlaci ó -0,457 -0,009 -0,539 -0,063 Índex W 3705 3783,95 4080 4550,15

´Index W (amb pesos) 3,441·106 3,965·106 4,068·106 6,064·106

´Index Q -5,286 -1,763 -2,783 -0,707

´Index Q (amb pesos) 7,066 7,189 7,23 7,594

EC 0,083 0,084 0,043 0,085

F. de cost EC 0,453 0,235 0,671 0,219

Di àmetre 4 4,95 4 3,85 Dist ància 2,289 2,572 2,105 2,1 Grau promig 5,267 5,267 8,967 8,967 M àx. grau 34 14 42 18,7 M´ın. grau 1 1,05 1 2,5 Clustering 0,504 0,116 0,599 0,202 Correlaci ó -0,502 -0,093 -0,489 0,006 Índex W 4053 4552 3726 3715,2

´Index W (amb pesos) 3,279·106 5,121·106 3,743106 4,232·106

´Index Q -2,842 -0,642 -5,602 -2,014

´Index Q (amb pesos) 7,013 7,425 7,150 7,254

EC 0,073 0,087 0,084 0,084

(48)

Taula 5.10: Histograma per a les reconstruccions amb funci ó de cost EC. Histograma Xarxa 1 [0, 11, 9, 5, 6, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 0, 0, 1, 5, 7, 5, 11, 4, 5, 4, 5, 5, 2, 4, 1, 0, 0, 1] Xarxa 2 [0, 15, 13, 11, 6, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 2, 9, 10, 9, 8, 6, 5, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Xarxa 3 [0, 20, 12, 8, 2, 1, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 3, 7, 9, 14, 5, 6, 5, 4, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 1] Xarxa 4 [0, 14, 6, 4, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] Reconstrucci ó [0, 1, 0, 2, 5, 4, 7, 3, 11, 3, 3, 5, 5, 1, 3, 3, 1, 2, 1]