0 si dos índices coinciden 1 si jkl es permutación impar de 123. = εjkl i X l (2) = εjkl i P l (3) = εjkl i L l (4)

Operador momento angular

~

L = R~ ∧ P ,~ L_j = ε_jklX_kP_l (1) Tensor antisim´etrico

ε_jkl =     

0 si dos ´ındices coinciden

1 si jkl es permutaci´on par de 123 −1 si jkl es permutaci´on impar de 123 Relaciones de conmutaci´on h L_j, X_ki = ε_jkli_~X_l (2) h L_j, P_ki = ε_jkli_~P_l (3) h L_j, L_ki = ε_jkli_~L_l (4) M´odulo al cuadrado L2 = L2_x + L2_y + L2_z , hL2, L_ji = 0

En general, un momento angular es un operador

~

J = J_x~u_x + J_y~u_y + J_z~u_z

cuyas componentes verifican

h

J_j, J_ki = ε_jkli_~J_l .

En consecuencia,

J2 = J_x2 + J_y2 + J_z2 verifica hJ2, ~Ji = 0.

Por tanto, podemos buscar autovectores comu-nes a J2 y J_z (elegimos el eje z como eje polar)

DEFINICIONES Y NOTACI ´ON Operadores escalera J₊ = J_x + iJ_y J₋ = J_x − iJ_y Conmutadores h J_z, J₊i = _~J₊ [J_z, J₋] = −_~J₋ h J₊, J₋i = 2_~J_z h J2, J_±i = hJ2, J_zi = 0 Relaci´on con J2 J₊J₋ = J_x2 + J_y2 − i[J_x, J_y] = J2 − J_z2 + _~J_z J₋J₊ = J_x2 + J_y2 + i[J_x, J_y] = J2 − J_z2 − _~J_z J2 = 1 2 J₊J₋ + J₋J₊ + J_z2

AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

Es claro que, para cualquier estado |ψi se tiene que hJ2i ≥ 0 ya que

hJ_i2i = hψ|J_i2|ψi = |J_i|ψi|2 ≥ 0.

Autovalores de J2 ser´an λ_~2, con λ ≥ 0, y adem´as

λ = 0 si y s´olo si J_i|ψi = 0,∀i .

Autovalores de J_z ser´an m_~ y los autovectores comunes a J2 y J_z los denotaremos |kλmi (J2

y J_z no forman en general un CCOC)

J2|kλmi = λ_~2|kλmi (5)

Se verifica la desigualdad entre autovalores λ ≥ m2. (λ − m2)_~2 = hkλm|(J2 − J_z2)|kλmi = hkλm|(J_x2 + J_y2)|kλmi ≥ 0. Utilizando que J_zJ_± = [J_z, J_±]+J_±J_z = ±_~J_±+J_±J_z = J_±(J_z±_~) y que hJ2, J_±i = 0 se tiene que

J_zJ₊|kλmi = (m + 1)_~J₊|kλmi (7)

J2J₊|kλmi = λ_~2J₊|kλmi (8)

J_zJ₋|kλmi = (m − 1)_~J₋|kλmi (9)

La condici´on λ ≥ m2 limita la magnitud de |m|. Por tanto, ha de existir un valor m´aximo de m, llam´emosle j tal que

J₊|kλji = 0 Multiplicando por J₋, J₋J₊|kλji = (J2 − J_z2 − _~J_z)|kλji = _~2(λ − j2 − j)|kλji = 0.(11) En consecuencia, λ = j2 + j = j(j + 1)

Tambi´en ha de existir un valor m´ınimo de m, sea j0, tal que

J₋|kλj0i = 0 .

Aplicando J₊ se obtiene que λ = j0(j0 − 1), de lo que se deduce j0 = −j.

Como los valores de m var´ıan en una unidad, deber ser j − j0 entero, esto es, j ha de ser entero o semientero, j = 0, 1 2,1, 3 2,2, 5 2, . . .

y para un valor dado de j, los posibles valores de m son

m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j .

CAMBIO DE NOTACI ´ON: Indexamos los au-tovectores con j en lugar de λ = j(j + 1), es-cribiremos |kjmi.

J2|kjmi = j(j + 1)_~2|kjmi (12)

J_z|kjmi = m_~|kjmi (13) Es sencillo demostrar que

J_±|kjmi = q (j ∓ m)(j ± m + 1)_~|kjm ± 1i = q j(j + 1) − m(m ± 1)_~|kjm ± 1i . (14)

Como consecuencia de las relaciones de con-mutaci´on, en cualquier estado |ψi,

∆J_x∆J_y ≥ ~

2 |hJzi| .

Para poder dar con toda precisi´on las tres com-ponentes del momento angular debemos tener que

hJ~i = ~0,

pero adem´as necesitaremos, dado que ∆J_x = ∆J_y = ∆J_z = 0,

hJ_x2i = hJ_y2i = hJ_z2i = 0 ,

esto es, ha de verificarse

~

J|ψi = 0 , J2|ψi = 0 .

El ´unico estado en que se pueden medir con toda precisi´on las tres componentes del mo-mento angular es el vector |k00i. Para todos los dem´as estados, las fluctuaciones cu´anticas hacen imposible medir las tres componentes simult´aneamente.

MOMENTO ANGULAR ORBITAL

Coordenadas esf´ericas

x = r sinθ cos φ y = r sinθ sin φ z = r cosφ ,

(15) donde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π. El elemen-to de volumen es

d~r = r2drdΩ dΩ = sinθdθdφ . (16) Expresiones de las componentes de L~

L_x = i_~ sinφ ∂_θ + cosφ tanθ ∂φ , (17) L_y = i_~ −cos φ ∂_θ + sin φ tanθ ∂φ , (18) L_z = −i_~∂_φ . (19) A partir de ellas, L2 = −_~2 ∂_θ2 + 1 tanθ ∂θ + 1 sin2 θ ∂φ2 , (20) L_± = _~e±iφ ±∂_θ + icotθ ∂_φ . (21)

Representaci´on de posiciones: ecuaci´on de au-tovalores y autofunciones, teniendo en cuenta que L~ s´olo act´ua sobre las variables angulares

L2Y_lm(θ, φ) = l(l + 1)_~2Y_lm(θ, φ) , (22)

L_zY_lm(θ, φ) = m_~Y_lm(θ, φ) . (23) Estas ecuaciones s´olo tienen una ´unica solu-ci´on linealmente independiente para cada pa-reja de autovalores l(l + 1) y m.

Incluyendo la dependencia respecto de r,

ψ_klm(r, θ, φ) = f_klm(r)Y_lm(θ, φ) . (24) Normalizaci´on: Z dΩ |Y_lm(θ, φ)|2 = 1 , (25) Z ∞ 0 dr r2 |f_klm(r)|2 = 1 . (26)

Tenemos que L_z ~ Y_lm(θ, φ) = −i∂_φY_lm(θ, φ) = mY_lm(θ, φ) , (27) por tanto, Y_lm(θ, φ) = F_lm(θ)eimφ . (28) La funci´on de onda es monovaluada: φ y φ+2π

corresponden al mismo punto del espacio,

eim2π = 1, m es entero, l es entero.

(29) Vamos a demostrar que todos los valores en-teros no negativos son posibles para el n´umero cu´antico l,

Por tanto, d dθ − l cotθ F_ll(θ) = 0, (31) cuya soluci´on es F_ll(θ) = c_l (sinθ)l , (32) lo que significa que existe una ´unica funci´on l. i.

Y_ll(θ, φ) = c_l (sinθ)l eilφ . (33) Actuando con L₋, obtenemos sucesivamente el resto de autofunciones Y_ll−1, . . . , Y_lm, . . . , Y_l−l, que tambi´en son ´unicas.

Las autofunciones Y_lm(θ, φ), con la elecci´on de la fase para c_l c_l = (−1) l 2ll! s (2l + 1)! 4π , (34)

Arm´onicos esf´ericos para l = 0, 1 y 2 Y₀0 = √1 4π Y₁±1(θ, φ) = ∓ s 3 8π sinθe ±iφ Y₁0(θ, φ) = s 3 4π cos θ Y₂±2(θ, φ) = s 15 32π sin 2 θe±2iφ Y₂±1(θ, φ) = ∓ s 15

8π sinθ cos θe

±iφ Y₂0(θ, φ) = s 5 16π 3 cos2 θ − 1

Propiedades de los arm´onicos esf´ericos (comp. A_{V I}) L_±Y_lm(θ, φ) = q l(l + 1) − m(m ± 1)_~Y_lm±1(θ, φ) . (35) Ortonormalidad Z 2π 0 dφ Z π 0 dθ sin θ Y_lm0 0∗(θ, φ)Y_lm(θ, φ) = δ_ll0δ_mm0 . (36) Cualquier funci´on de los ´angulos

f(θ, φ) = ∞ X l=0 +l X m=−l c_lmY_lm(θ, φ), (37) c_lm = Z 2π 0 dφ Z π 0 dθsin θ Y_lm∗(θ, φ)f(θ, φ) . (38) Paridad Y_lm(θ, φ) = (−1)lY_lm(π − θ, π + φ) . (39) Conjugado Y_lm∗(θ, φ) = (−1)mY_l−m(θ, φ) . (40)

Base est´andar del espacio de las funciones de onda de una part´ıcula sin esp´ın

Los operadores L2 y L_z no constituyen un CCOC para el espacio de las funciones de onda de una part´ıcula sin esp´ın. En general, hay que intro-ducir un ´ındice k para denotar la degeneraci´on existente una vez fijados (l, m).

ψ_klm(~r) = R_klm(r)Y_lm(θ, φ) . (41) Por ser autofunci´on de L2 y L_z,

L_±ψ_klm(~r) =

q

l(l + 1) − m(m ± 1)_~ψ_klm±1(~r) ,

(42) y como L_± s´olo act´ua sobre las variables an-gulares, L_±ψ_klm(~r) = R_klm(r)L_±Y_lm(θ, φ) = q l(l + 1) − m(m ± 1)_~R_klm(r) ×Y_lm±1(θ, φ) . (43) Por tanto, R_klm±1(r) = R_klm(r) . (44)

La parte radial no puede depender de m, esto es, ψ_klm(~r) = R_kl(r)Y_lm(θ, φ) . (45) Relaci´on de ortonormalidad Z d~rψ_klm∗ (~r)ψ_k0_l0_m0(~r) = δ_kk0δ_ll0δ_mm0 . (46) En consecuencia, Z ∞ 0 dr r2R∗_kl(r)R_k0_l(r) = δ_kk0 , (47)

ya que los arm´onicos esf´ericos son ortogonales para l 6= l0.

Predicciones f´ısicas Sea una funci´on de onda arbitraria

ψ(~r) = X k ∞ X l=0 +l X m=−l c_klmR_kl(r)Y_lm(θ, φ) , (48) donde c_klm = Z ∞ 0 dr r2R∗_kl(r) × Z 2π 0 dφ Z π o dθ sinθ Y_lm∗(θ, φ)ψ(r, θ, φ) . (49) La probabilidad de una medida conjunta de L2

y L_z es P_L2_,L z(l, m) = X k |c_klm|2 , (50) y si s´olo medimos L2 o L_z las probabilidades respectivas son P_L2(l) = +l X m=−l P_L2_,L z(l, m), (51) P_Lz(m) = X l≥|m| P_L2_,L z(l, m) . (52)

Como el momento angular s´olo act´ua sobre las variables (θ, φ), s´olo la dependencia en ´estas es relevante para los c´alculos anteriores,

ψ(r, θ, φ) = ∞ X l=0 +l X m=−l a_lm(r)Y_lm(θ, φ),(53) a_lm(r) = X k c_klmR_kl(r) . (54) Debido a la ortogonalidad de las funciones ra-diales, Z ∞ 0 dr r2 |a_lm(r)|2 = X k X k0 c∗_klmc_k0_lm × Z ∞ 0 dr r2R∗_kl(r)R_k0_l(r) = X k |c_klm|2 , (55) y a_lm(r) = Z 2π 0 dφ Z π 0 dθ sinθ Y_lm∗(θ, φ)ψ(r, θ, φ) . (56)