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(1)[. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. El siguiente método se utiliza tomando en cuenta las siguientes características. Si un 2 2 a −x ,. integrador contiene una de las expresiones puede eliminar siguiente lista.. 2 2 2 2 a − x , x − a , donde a > 0, se. el radical haciendo una de las sustituciones trigonométricas de la. SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Expresión en el integrando. Sustitución trigonométrica x = a Sen θ. 2 2 a − x. x = a tg θ. 2 2 a + x. x = a Sec θ. 2 2 x + a. Al hacer una sustitución de este tipo se supone que θ está en el contra dominio de la función trigonométrica inversa correspondiente. Así por ejemplo, para la sustitución x = aSenθ , se tiene que. Cosθ ≥ 0 y. a2 − x2 =. a 2 − a 2 Sen 2θ ⇒. a 2 (1 − Sen 2θ ) ⇒. −π 2. 2. Mientras que para la sustitución x. a2 + x2 =. Sí. a 2 + a 2 tg 2θ ⇒. x2 − a2 =. Sí. a 2 Sec 2θ − a 2 ⇒. 2. , En este caso,. x ≠ a , o equivalente,. = atgθ , se tiene que en este caso, Secθ ≥ 0 y. a 2 (1 + tg 2θ ) ⇒. a 2 Sec 2θ = aSecθ. a 2 + x 2 aparece en el denominador se agrega la restricción. Y cuando la sustitución es. π. a 2 cos 2 θ = a cos θ. Sí a − x aparece en el denominador se agrega la restricción −π / 2 < θ < π / 2 2. ≤θ ≤. x ≠ a,. x = aSecθ , se tiene que en este caso, Secθ tgθ ≥ 0 y a 2 ( Sec 2θ − 1) ⇒. a 2 tag 2θ = atgθ. x 2 − a 2 aparece en el denominador se agrega la restricción. x ≠ a,. 33 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(2) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. EJERCICIOS RESUELTOS. 1)∫. dx 1 1 dx ⇒ I = ∫ ( 2 5 ) ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 3x + 5 3 x +3. x=. 2. 5 3. tgθ ⇒ dx =. 5 3. Sec2θ dθ ; x2 = 53 tg 2θ. ⎞ Sec2θ dθ θ 3 5 Sec2θ dθ 5 d ⇒ = θ = +k ⎟ 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 5 5 5 ⎟ tg θ + 1 3(5) 3 Sec θ 5 3 15 3 tg θ + 3 3 ⎠ x Arctg ( ) 5 Arctg ( x 53 ) 3 5 Del cambio : x = 3 tgθ ⇒ θ = + k ⇒θ = +k 15 15 5 3. 1 1 ∫ 3x2 + 5 dx = 3 ∫. Sec2θ dθ. Arctg ( x 1 ∫ 3x2 + 5 dx = 15 2)∫ x=. 3 5. ). 1⎛ ⇒ ⎜ 3 ⎜⎝. 5 3. +k. 1 dx dx ⇒ I = ∫ 2 8 ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 2 7x + 8 7 x −7 8 7. tgθ ⇒ dx =. 8 7. Sec2θ dθ ; x2 = 87 tg 2θ. ⎞ Sec2θ dθ 1 1 θ Sec2θ dθ ⇒ = = +k θ d ⎟ 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 8 7 8 ⎟ tg θ + 1 4 14 Sec θ 4 14 4 14 7 tg θ + 8 7 ⎠ x Arctg ( ) 8 Arctg ( x 78 ) 7 8 + k ⇒θ = +k Del cambio : x = 7 tgθ ⇒ θ = 4 14 4 14. 1 dx ∫ 7 x2 + 8 = 7 ∫. 8 7. Sec2θ dθ. 1⎛ ⇒ ⎜ 7 ⎜⎝. 8 7. Arctg ( x 78 ) dx = +k ∫ 7 x2 + 8 4 14 3)∫. x=. 1 dx dx ⇒I = ⇒ De la forma : a2 − x2 ⇒ Cambio : x = asenθ 2 ∫ + a b a −b ( a + b) − ( a − b) x − x2 a −b a +b a +b a +b 2 cosθ dθ senθ ⇒ x2 = sen θ ; dx = a −b a −b a −b. 1 (a + b) 1 ( ) cosθ dθ a − b a − b θ θ dx d cos cosθ dθ a −b ∫ ( a + b) − ( a − b) x2 = a 1−b ∫ ( aa +−bb ) − ( aa +−bb )sen2θ ⇒ a + b ∫ 1− sen2θ ⇒ a + b ∫ cos2 θ ( ) ( ) a −b a −b a +b a −b. 34 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(3) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 1 dθ a−b 1 1 Secθdθ = Ln Secθ +tgθ + k ⇒ ∫ ∫ a +b cosθ 2 2 2 2 (a −b (a −b ( ) a −b. Del + ⇒ Secθ =. 4) ∫. xdx 5 − (3 − x ). 2. a +b a −b , tgθ = x. x 1 Ln ⇒I= a+b 2 2 2 (a − b ( )− x a −b. ⇒ De la forma :. xdx 5 − (3 − x ). 2. =∫. x +k a+b 2 ( )−x a −b. a 2 − x 2 ⇒ Cambio : x = aSenθ. 3 − x = 5 Senθ ⇒ x = 3 − 5 Senθ ⇒ dx = − 5 Cosθ dθ ;. ∫. a+b a −b + x. (3 − 5 Senθ )( − 5Cosθ ) dθ 5 − 5 Sen θ 2. =. (3 − x ). 2. = 5 Sen 2θ. − 5 (3 − 5 Senθ )(Cosθ ) dθ Cosθ 5 ∫. I = − ∫ (3 − 5 Senθ )dθ ⇒ I = −3∫ dθ + 5 ∫ Senθ dθ ⇒ I = − (3θ + 5Cosθ ) + k. Del + ⇒ θ = arcSen(. 3− x 5. ) ; Cosθ =. 5 − (3 − x) 2 5. ⎡ 5 − (3 − x) 2 ⎡ ⎡ (3 − x ) ⎤ ⎤ I = − ⎢ arcSen ⎢ ⎥⎥ + 5 ⎢ 5 ⎢⎣ ⎣ 5 ⎦ ⎦⎥ ⎣⎢. ⎤ ⎡ ⎡ (3 − x ) ⎤ ⎤ 2 ⎥ + k ⇒ I = − ⎢ arcSen ⎢ ⎥ ⎥ + 5 − (3 − x ) + k ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ 5 ⎦ ⎦⎥. 35 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(4) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. dx. 5) ∫. ⇒ De la forma : a 2 − x 2 ⇒ Cambio : x = asenθ. x 16 − x x = 4 sen θ ( para −2π < θ <. ∫x ∫x. 2. 2. dx 16 − x 2. 2. dx 16 − x. 2. ∫x. 2. =∫. =. dx 2. 16 − x 2. [. −π 2. ) ⇒ x 2 = 16 sen 2θ ; dx = 4 cos θ d θ. 4 cos θ dθ 16 sen 2θ 16 − 16 sen 2θ. =. 1 cos θ dθ 1 cos θ dθ = ∫ ∫ 16 sen 2θ 1 − sen 2θ 16 sen 2θ cos θ. dθ Ctg θ 1 1 2 =− +k ∫ Csc θ d θ ⇒ I = − ∫ 2 16 sen θ 16 16. 1 16 − x 2 = +k 16 x. 6)∫ 1− x2 dx ⇒ De la forma : a2 − x2 ⇒ x = asenθ x = senθ ⇒ x2 = sen2 θ ; dx = cosθ dθ. ∫. 1− x2 dx = ∫ 1− sen2 θ cosθ dθ = ∫ cosθ cosθ dθ = ∫ cos2 θ dθ. I=∫. 1+ cos2θ θ sen 2θ θ 2senθ cosθ θ senθ cosθ dθ ⇒ I = + +k ⇒ I = + +k ⇒ I = + +k 2 2 4 2 4 2 2. 1 1 del cambio : θ = arcsenx ; cosθ = 1− x2 ⇒ ∫ 1− x2 dx = arcsenx + x 1− x2 + k 2 2. 36 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(5) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. ⎛ x2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ dx dx 7)∫ ⎜ 2 ⎟ dx ⇒ I = ∫ ⎜1− 2 ⎟ dx ⇒ I = ∫ dx − 2 ∫ 2 ⇒I = x − 2∫ 2 x +2 x +2 ⎝ x +2⎠ ⎝ x +2⎠ dx 2 2 ∫ x2 + 2 ⇒ De la forma : x + a ⇒ Cambio : x = atgθ x = 2 tgθ ⇒ dx = 2Sec 2θ dθ ; x 2 = 2tg 2θ dx 2Sec 2θ dθ 2 Sec 2θ dθ 2 2 ∫ x2 + 2 = ∫ 2tg 2θ + 2 = 2 ∫ tg 2θ + 1 = 2 ∫ dθ = 2 θ + k x 2 dx 2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ Del cambio : x = 2 tgθ ⇒ θ = arctg ⎜ arctg ⎜ ⇒ ⎟ ∫ x2 + 2 = x − ⎟+k 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠. x2 + 1 dx ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atg θ x x = tg θ ⇒ dx = Sec2θ dθ ; x2 = tg 2θ. 8)∫. ∫. Secθ (1 + tg 2θ ) dθ tg 2θ +1 Sec2θ dθ Sec2θ Sec2θ dθ Secθ Sec2θ dθ =∫ =∫ =∫ tg θ tg θ tg θ tg θ. ( Secθ + Secθ tg θ ) dθ = 2. ∫. tg θ. Secθ dθ Secθ tg 2θ ∫ tg θ + ∫ tg θ. 1 Secθ dθ Cosθ dθ dθ = ∫ Cosθ dθ = ∫ =∫ = Cscθ dθ = Ln Cscθ − Ctgθ + k I1 = ∫ Senθ Tanθ Cosθ Senθ Senθ ∫ Cosθ 2 Secθ tg θ dθ I2 = ∫ = ∫ Secθ tg θ dθ = Secθ + k tg θ. ∫. x2 + 1 dx = Ln Cscθ − Ctgθ + Secθ + k x. ∫. x2 +1 x2 +1 −1 dx = Ln + x2 +1 + k x x 37 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(6) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. dx. 9) ∫. ⇒ De la forma : x 2 − a 2 ⇒ Cambio : x = aSecθ. x x −1 x = Secθ ⇒ x 2 = Sec 2θ ⇒ x 4 = Sec 4θ ; dx = Secθ tgθ dθ 4. ∫x. 2. dx x −1. 4. 2. =∫. Secθ tgθ d θ Sec θ. =. Sec θ − 1. 4. 2. tgθ dθ = 3 tgθ. ∫ Sec θ. dθ. ∫ Sec θ = ∫ Cos θ 3. 3. dθ. ∫ Cos θ Cosθ dθ = ∫ (1 − Sen θ )Cosθ dθ = ∫ Cosθ dθ − ∫ Sen θ Cosθ dθ I = ∫ Cosθ dθ = Senθ + k I = ∫ Sen θ Cosθ d θ ⇒ Cambio de Variable : u = Senθ ⇒ du = Cosθ dθ 2. 2. 2. 1. 2. 2. u3 Sen 3θ Sen 3θ 3 ∫ u du = 3 + k ⇒ I 2 = 3 + k ⇒ ∫ Cos θ dθ = Senθ − 3 + k 2. dx. ∫x. x −1. 4. 2. =. x2 −1 − x. ( x −1) 2. 3. 3x3. +k. xdx dx xdx 5 dx ⎡ 2x − 5 ⎤ 10) ∫ ⎢ 2 ⎥ dx ⇒ I = 2∫ 2 − 5∫ 2 ⇒I = 2∫ 2 − ∫ 2 2 3x − 2 3x − 2 3x − 2 3 ( x − 3 ) ⎣ 3x − 2 ⎦ xdx 2 du 1 I1 = 2∫ 2 ⇒ sustitución : u = 3x2 − 2 ⇒ du = 6xdx ⇒ I1 = ∫ ⇒ I1 = Ln 3x2 − 2 + k 3x − 2 6 u 3 5 dx I2 = ∫ 2 2 De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ 3 (x − 3 ) x=. 2 3. Secθ ⇒ x2 = 23 Sec2θ ; dx =. 5 dx 5 I2 = ∫ 2 2 = ∫ 3 (x − 3 ) 3. 2 3. Secθtgθ dθ. 2 3. Sec θ − 2. 2 3. 2 3. =. Secθ tgθ dθ. 5. 2 3. 3( ) ∫ 2 3. Secθtgθ dθ 5 Secθtgθ dθ 5 Secθ dθ = = ∫ Sec2θ −1 3 23 ∫ tg2θ 6 tgθ. 5 ( cos1θ ) 5 cosθ 5 dθ I2 = ∫ senθ dθ = dθ = = ∫ 6 ( cosθ ) 6 senθ cosθ 6 ∫ senθ 5 I2 = Ln Cscθ − Ctgθ + k 6. 5 Cscθ dθ 6∫. 38 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(7) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. x − 23 x − 23 5 2x − 5 1 5 2 I2 = Ln + k ⇒ ∫ 2 dx = ln 3x − 2 − Ln +k 3x − 2 3 6 2 6 x2 − 23 x2 − 23. ⎡ 1 + x2 ⎤ 2 2 11)∫ ⎢ ⎥ dx ⇒ De la forma : a + x ⇒ Cambio : x = atgθ 2 ⎣⎢ x ⎦⎥ x = tgθ ⇒ x2 = tg 2θ ; dx = Sec2θ dθ ⎡ 1 + tg 2θ Sec2θ ⎤ ⎡ 1 + x2 ⎤ ⎡ Sec2θ Sec2θ ⎤ ⎡ Secθ Sec2θ ⎤ ∫ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ dx = ∫ ⎢⎢ tg 2θ ⎥⎥ dθ = ∫ ⎢⎢ tg 2θ ⎥⎥ dθ = ∫ ⎢⎣ tg 2θ ⎥⎦ dθ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 ⎡ 1 + x2 ⎤ ⎡ sen2θ + cos2 θ ⎤ 1 Sec3θ ⎡ ⎤ Cosθ ∫ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ dx = ∫ tg 2θ dθ = ∫ sen22θ dθ = ∫ ⎢⎣ sen2θ cosθ ⎥⎦ dθ = ∫ ⎢⎣ sen2θ cosθ ⎥⎦ dθ Cos θ ⎣ ⎦. ⎡ 1 + x2 ⎢ ∫ ⎢ x2 ⎣. ⎤ ⎡ sen 2θ ⎤ ⎡ cos 2 θ ⎤ ⎡ dθ ⎤ ⎡ cos θ ⎤ θ θ ⎥ dθ = ∫ ⎢ + + d ⎥ dx = ∫ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ∫ ∫ ⎢⎣ sen 2θ ⎥⎦ dθ ⎣ cos θ ⎥⎦ ⎣ sen θ cos θ ⎦ ⎣ sen θ cos ⎦ ⎥⎦. ⎡ dθ ⎤ I1 = ∫ ⎢ = ∫ Secθ dθ = Ln tgθ + sec θ + k ⎣ cos θ ⎥⎦ 1 ⎡ cos θ ⎤ I2 = ∫ ⎢ dθ ⇒ sustitución : z = senθ ⇒ dz = cos θ dθ ⇒ I 2 = ∫ z −2 dz = − +k 2 ⎥ senθ ⎣ sen θ ⎦. ∫. 1 + x2 1 1+ x2 1 + x2 2 = Ln tgθ + secθ − +k⇒∫ = Ln x + 1+ x − +k x2 senθ x2 x. 39 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(8) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 12)∫. ⎛ ( 2 − 5x) ⎞ ⎛ x2 − 5x + 6 ⎞ (x2 + 4)(2 − 5x) x2 − 5x + 6 ⇒ = dx dx dx = ∫ ⎜1+ 2 ⎟ dx ⇒ ⎜ 2 ⎟ 2 2 ∫ ∫ x +4 x +4 x +4 ⎠ ⎝ x +4 ⎠ ⎝. 2 − 5x x2 − 5x + 6 dx x ∫ x2 + 4 dx =∫ dx + ∫ x2 + 4dx = ∫ dx + 2 ∫ x2 + 4 −5 ∫ x2 + 4 dx I1 = ∫ dx = x + k I2 = 2 ∫. dx ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ x +4 2. x = 2tgθ ⇒ x2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ 2∫. dx 2Sec2θ dθ Sec2θ dθ Sec2θ dθ = 2 = = = ∫ dθ ⇒ I2 = θ + k ⇒ I2 = arctg( 2x ) + k 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ x +4 4tg θ + 4 tg θ +1 Sec θ. I3 = − 5 ∫. x −5 dz −5 dx ⇒ sustitución : z = x2 + 4 ⇒ dz = 2xdx ⇒ I3 = ∫ ⇒ I3 = Ln x2 + 4 + k 2 z 2 x +4 2. 5 x2 − 5x + 6 2 ∫ x2 + 4 dx = x + arctg( 2x ) − 2 Ln x + 4 + C Sec2 x. 13)∫. ∫. tg x − 2 2. Sec2 x dx tg x − 2 2. dx ⇒ Cambio de Variable : u = tgx ⇒ du = Sec2 x dx. =∫. du u −2 2. ⇒ De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ. u = 2Secθ ⇒ u 2 = 2Sec2θ ; du = 2Secθ tgθ dθ. ∫. ∫. du u2 − 2. du u2 − 2. =∫. 2Secθ tgθ dθ 2Sec2θ − 2. =∫. Secθ tgθ dθ Sec2θ −1. = 2 Ln u + u2 − 2 + k ⇒ ∫. =∫. du u2 − 2. Secθ tgθ dθ tg 2θ. = ∫ Secθ dθ = Ln Secu + tgu + k. = Ln tgx + tg 2 x − 2 + k. 40 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(9) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. x. 14)∫. ∫. a −x 4. dx ⇒I = ∫. 4. x. dx =. a 4 − ( x2 )2. x a − (x ) 4. 2 2. dx ⇒ Cambio de Variable : u = x2 ⇒ du = 2xdx. 1 du ⇒ De la forma : a2 − u 2 ⇒ Cambio : u = asenθ ∫ 2 2 2 2 (a ) − u. u = a2 senθ ⇒ u2 = (a2 )2 sen2θ ; du = a2 cosθ dθ 1 1 1 1 1 cosθ dθ u du a2 cosθ dθ ( )+k = θ = = = d arcsen 2 2 ∫ (a2 )2 − u2 2 ∫ (a2 )2 − (a2 )2 sen2θ 2 ∫ 1 − sen2θ 2 ∫ a2. ∫. 1 u dx = arcsen( 2 ) + k 2 a a −x x. 4. 4. ax + b xdx dx dx a b ⇒ + ∫ a2x2 + b2 ∫ a2x2 + b2 ⇒ a2 x2 + b2 xdx 1 du 1 I1 = a∫ 2 2 2 ⇒ sust : u = a2 x2 + b2 ⇒ du = 2a2 xdx ⇒ I1 = ∫ ⇒ I1 = Ln a2 x2 + b2 + k a x +b 2a u 2a dx dx b dx b dx a2 I2 = b∫ 2 2 2 = b∫ a2x2 b2 = 2 ∫ 2 b2 = 2 ∫ 2 b 2 ⇒ De la forma : x2 + a2 a x +b + a2 a x + a2 a x + ( a ) a2. 15)∫. Cambio : x = atgθ ⇒ x = ( ba )tgθ ⇒ x2 = ( ba )2 tg2θ; dx = ( ba )Sec2θ dθ b dx b ( ba )Sec2θdθ b Sec2θdθ 1 θ ⇒ = = = +k d θ a2 ∫ x2 + ( ba )2 a2 ∫ ( ba )2 tg2θ + ( ba )2 a2 ( ba ) ∫ tg2θ +1 a ∫ a. arctg ( b ) ⎛ ax ⎞ +k Del Cambio : x = ( ba )tgθ ⇒θ = arctg ⎜ ⎟⇒ I2 = a ⎝b⎠ arctg ( axb ) ax + b 1 2 2 2 ∫ a2x2 + b2 dx = 2a Ln a x + b + a + k ax. ⎛ 2(2x2 +1) + x ⎞ 2dx xdx dx xdx =∫ 2 1 + ∫ 16)∫ ⎜ dx ⇒I = ∫ 2 + ∫ 2 2 2 ⎟ 2x +1 ( 2x2 +1) x + 2 ( 2x2 +1)2 ⎝ (2x +1) ⎠ I1 = ∫. dx ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 2 1 x +2. x=. 1 2. tgθ ⇒ x2 = 12 tg2θ; dx =. dx ∫ x2 + 12 = ∫. 1 2 1 2. Sec2θdθ. tg2θ + 12. =. 1 2 1 2. 1 2. Sec2θ dθ. dx Sec2θdθ ∫ tg2θ +1 = 2∫ dθ = 2θ + k ⇒ ∫ x2 + 12 = 2 arctg. ( 2 x) + k 41. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(10) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. I2 = ∫. xdx. ( 2x +1) 2. ⇒sust. z = 2x2 +1⇒dz = 4xdx ⇒I2 = 2. xdx 1 −2 1 u du ⇒ =− ( ) ∫ 2x2 +1 2 4( 2x2 +1) + k 4∫ ( ). ⎛ 2(2x2 +1) + x ⎞ 1 ∫⎜⎝ (2x2 +1)2 ⎟⎠dx=− 4( 2x2 +1) + 2 arctg 2 x +k. ( ). dx. 17)∫. 7 − 5x2. x=. 7 5. 1 5∫. ∫. ∫. 1 ∫ 5. dx 7 5. − x2. ⇒ De la forma : a2 − x2 ⇒ Cambio : x = asenθ. senθ ⇒ x2 = 75 sen2θ ; dx = dx. 1 = ∫ 2 7 5 − x 5. dx 7 − 5x x2. 18)∫. ⇒I =. 2. =. x −1 6. x2dx. 7 5 7 5. 1 arcsen( 5. dx ⇒I = ∫. cosθ dθ. − 75 sen2θ 5 7. =. 7 5. cosθ dθ. 1 cosθ dθ 1 cosθ dθ 1 = = θ +k ∫ 5 1− sen2θ 5 ∫ cos2 θ 5. x) + k. x2dx (x ) −1 3 2. ⇒ sustitución : u = x3 ⇒ du = 3x2dx. du 1 ⇒ De la forma : u2 − a2 ⇒ cambio : u = aSecθ ∫ 3 2 2 (x ) −1 3 (u) −1 =. u = Secθ ⇒ u2 = Sec2θ ; du = Secθtgθ dθ du 1 1 Secθtgθ dθ 1 1 Sec d Ln Secθ + tgθ + k = = = θ θ 3 ∫ (u)2 −1 3 ∫ Sec2θ −1 3 ∫ 3. 1 du 1 1 du 1 = Ln Sec θ + tg θ + k ⇒ = Ln u + u2 −1 + k ∫ ∫ 2 2 3 (u) −1 3 3 (u) −1 3. ∫. x2. 1 dx = Ln x3 + x6 −1 + k 3 x6 − 1. 42 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(11) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ⎡ 3x +1 ⎤ ⎡ xdx ⎤ 1 dx 19)∫ ⎢ dx ⇒ I = 3∫ ⎢ + ∫ ⎥ ⎥ 2 2 2 ⎣ 5x +1 ⎦ ⎣ 5x +1 ⎦ 5 x + 15 ⎡ x ⎤ 3 dz 6 I1 = 3∫ ⎢ dx ⇒ sustitución : z = 5x2 +1 ⇒ dz = 10xdx ⇒ I1 = ∫ = u +k ⎥ 2 10 10 z ⎣ 5x +1 ⎦ ⎡ x ⎤ 3 I1 = 3∫ ⎢ dx = 5x2 +1 + k ⎥ 2 5 ⎣ 5x +1 ⎦ I2 = x=. 1 dx ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ ∫ 2 5 x + 15 1 5. tgθ ⇒ x2 = 15 tg 2θ ; dx =. 1 dx 1 = ∫ ∫ 5 x2 + 15 5. 1 5. 1 5. Sec2θ dθ. 1 5. tg 2θ + 15. Sec2θ dθ. =. 1 Sec2θ dθ 1 1 Secθ dθ = Ln Secθ + tgθ + k = ∫ ∫ 5 tg 2θ +1 5 5. ⎡ 3x +1 ⎤ 3 1 2 = 5 + 1 + dx x Ln x2 + 15 + x 5 + k ⎢ ⎥ ∫ ⎣ 5x2 +1 ⎦ 5 5 x+3. 20) ∫ I1 = ∫. ∫. x2 − 4 x. x2 − 4. x x −4 2. I 2 = 3∫. dx ⇒ I = ∫. dx = dx. x x2 − 4. dx + 3∫. dx x2 − 4. dx ⇒ sustitución : w = x 2 − 4 ⇒ dw = 2 xdx ⇒ I1 =. 1 du = u +k 2∫ u. x2 − 4 + k ⇒ De la forma : x 2 − a 2 ⇒ Cambio : x = aSecθ. x −4 x = 2 Secθ ⇒ x 2 = 4 Sec 2θ ; dx = 2 Secθ tgθ dθ dx Secθ tgθ dθ 2 Secθ tgθ dθ = 3∫ = 3∫ Secθ dθ = 3 Ln Secθ + tgθ + k 3∫ = 3∫ x2 − 4 Sec 2θ − 1 4 Sec 2θ − 4 2. 43 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(12) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. x + x2 − 4 = 3Ln +k 2 x2 − 4 dx. I 2 = 3∫. ∫. [. x+3 x2 − 4. dx = x 2 − 4 + 3Ln. x + x2 − 4 +k 2. 21) ∫ x 2 − 1 dx ⇒ De la forma : x 2 − a 2 ⇒ Cambio : x = aSecθ x = Secθ ⇒ x 2 = Sec 2θ ; dx = Secθ tgθ dθ. ∫. x2 −1 dx = ∫ Sec2θ −1 Secθtgθ dθ = ∫ Secθtg2θ dθ = ∫ Secθtgθtgθ dθ ( por partes). Selección : u = tgθ ⇒ du = Sec2θ dθ; v = ∫ Secθtgθ dθ ⇒ v = Secθ + k. ∫ Secθtg θdθ = tgθ Secθ − ∫ Sec θdθ 2. 3. 1 pero : ∫ Sec3θ dx = ⎣⎡Secθ tgθ + Ln Secθ + tgθ ⎤⎦ + k(resuelta en el archivode Int. por partes) 2 1 2 ∫ Secθtg θdθ = tgθ Secθ − 2 ⎡⎣Secθ tgθ + Ln Secθ +tgθ ⎤⎦ + k 1 1 2 ∫ Secθtg θdθ = 2 tgθ Secθ − 2 ⎡⎣ Ln Secθ +tgθ ⎤⎦ + k. ∫. x x2 −1 1 ⎡ x −1 dx = − Ln x + x2 −1 ⎤ + k ⎢ ⎣ ⎦⎥ 2 2 2. 44 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(13) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. 22)∫ 4 x − x2 dx ⇒Completamos cuadrado en el radicando. 2 2 2 4x − x2 =− ⎡⎣ x2 − 4x⎤⎦ =− ⎡( x − 2) − 4⎤ = 4 − ( x − 2) ⇒ ∫ 4 − ( x − 2) dx ⎣ ⎦. De la forma : a2 − x2 ⇒ Cambio : x = aSenθ x − 2 = 2 senθ ⇒ ( x − 2)2 = 4 sen2θ ; dx = 2cosθ dθ. ∫. 4 − ( x − 2) dx = ∫ 4 − 4 sen2θ 2cosθ dθ = 4 ∫ 1− sen2θ cosθ dθ = 4∫ cos2 θ dθ. ∫. 4 − ( x − 2) dx = 4 ∫. ∫. 4 − ( x − 2) dx = 2 arcsen(. 2. 2. 1+ cos 2θ ⎡ sen 2θ ⎤ + k = 2θ + 2 senθ cosθ + k dθ = 2 ⎢θ + 2 2 ⎥⎦ ⎣. 2. 23)∫. x−2 2. ( x − 2) 4x − x2 )+ +k 2. dx ⇒ Cambio de Variable : u = x +1 ⇒ u2 = x +1⇒ x = u2 −1⇒ dx = 2udu ( x + 2) x +1 dx. ∫ ( x + 2). x +1. =. ∫ (u. 2. du 2udu = 2∫ 2 ⇒ De la forma :u2 + a2 ⇒ Cambio : u = atgθ −1+ 2)u (u +1). u = tgθ ⇒ u2 = tg2θ; du = Sec2θ dθ du Sec2θ dθ dx 2∫ 2 = 2∫ 2 = 2∫ dθ = 2θ + k = 2 arctg(u) + k ⇒ ∫ = 2 arctg( x +1) + k ( x + 2) x +1 (u +1) (tg θ +1) 24)∫ 1 4. ∫. senx senx dx 1 dx ⇒ 4 ∫ 14 + cos2 x ⇒ Cambio de Variable : u = cos x ⇒ du = senxdx 1+ 4cos2 x. du ⇒ De la forma :u2 + a2 ⇒ Cambio : u = atgθ 2 1 4 +u. u=. 1 4. tgθ ⇒ u2 = 14 tg2θ; du =. 1 4. Sec2θ dθ. 45 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(14) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. du ∫ 14 + u2 = 14 ∫. 1 4. (. 1 4 1 4. Sec2θ dθ. tg 2θ + 14 ). [. Sec2θ dθ 1 θ = ∫ = 2 ∫ dθ = + k = arctg (2u) + k 2 2 (1+ tg θ ) 1 2. senx arctg (2cos x) dx = +k ∫ 1+ 4cos2 x 2 25)∫. e−bx e−bx dx I dx ⇒ Cambiode Variable : u = e−bx ⇒ du = −be−bx dx ⇒ = −2bx −bx 2 ∫ 1− e 1 − (e ). e−bx 1 du dx ⇒ De la forma : a2 − u2 ⇒ Cambio : x = aSenθ = − 2 ∫ ∫ 1− (e−bx )2 b 1− u u = senθ ⇒ u2 = sen2θ ; du = cosθ dθ 1 du 1 cosθ dθ 1 cosθ dθ 1 1 =− ∫ =− ∫ = − ∫ Secθ dθ = − Ln Secθ + tgθ + k 2 2 2 ∫ b 1− u b 1 − sen θ b cos θ b b 1 du 1 − ∫ = − Ln Secθ + tgθ + k 2 b 1− u b −. −. 1 du 1 1+ u 1 du 1 1+ u = − Ln + k ⇒− =− Ln +k 2 2 ∫ 2 1 b ∫ 1−u b b − u b (1 ) (1 ) − u + u 1−u. −. (1+ u) 1 du 1 1 du 1 (1+ u) 1 1+ e−2bx e−bx Ln k Ln k dx Ln = − + ⇒− = − + ⇒ =− +k ∫1−e−2bx 2b (1−u) 2b 1− e−2bx b ∫ 1−u2 b b ∫ 1−u2 (1−u). 26)∫. et et dt dt I ⇒ = ⇒cambiodeVariable : u = et ⇒du = et dt t 2 2t ∫ 1+ e 1+ (e ). et dt du 2 2 2 2 2 ∫1+ (et )2 = ∫1+u2 ⇒ De la forma :u + a ⇒Cambio: u = atgθ ⇒u = tgθ ⇒u = tg θ; du = Sec θdθ du Sec2θdθ et t d k arctg u k θ θ = = = + = + ⇒ ( ) ∫1+u2 ∫ 1+tg2θ ∫ ∫1+ e2t dt = arctg(e ) + k. 46 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(15) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. ax ax dx ⇒ I = ∫ dx ⇒ Cambio de Variable : u = a x ⇒ du = a x Ln(a)dx 27)∫ 2x x 2 1+ a 1 + (a ) ax du 1 2 2 ∫ 1 + (a x )2 dx = ln ( a ) ∫ 1 + u 2 ⇒ De la forma :u + a ⇒ Cambio : u = atgθ u = tgθ ⇒ u 2 = tg 2θ ; du = Sec2θ dθ du Sec2θ dθ arctg (u) 1 1 1 dθ = θ + k = = = +k 2 2 ∫ ∫ ∫ ln ( a ) 1 + u ln ( a ) 1 + tg θ ln ( a ) ln ( a ). arctg ( a x ) ax ∫ 1 + a2 x dx = ln ( a ) + k. 28)∫ 16 − x2 dx ⇒ De la forma : a2 − x2 ⇒ x = asenθ x = 4 senθ ⇒ x2 =16sen2 θ ; dx = 4cosθ dθ. ∫. 16 − x2 dx = ∫ 16 −16sen2 θ 4cosθ dθ = 16∫ cosθ cosθ dθ = 16∫ cos2 θ dθ. I = 16∫. ∫. sen 2θ 1+ cos 2θ dθ ⇒ I = 8(θ + ) + k ⇒ I = 8θ + 8 senθ cosθ + k 2 2. ⎡ x 16 − x2 ⎤ ⎡ x 16 − x2 ⎤ 2 x + k ⇒ − x = arcsen + 16 − x2 = 8arcsen( 4x ) + 8 ⎢ 16 8 ( ) ⎥ ⎢ ⎥+k 4 ∫ 16 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥. 29) ∫. dx x 25 − 4 x. 2. ⇒I =. 1 2∫x. x = 52 sen θ ( para −2π < θ < 1 2∫x. ∫x. dx 25 4. − x2. dx 25 − 4 x. 2. −π 2. dx 25 4. −x. 2. ) ⇒ x2 =. De la forma : a 2 − x 2 ⇒ Cambio : x = asenθ 25 4. sen 2θ ; dx = 52 cos θ dθ. =. 5 1 1 cos θ dθ 1 cos θ dθ 2 cos θ dθ = 5 ∫ = ∫ ∫ 2 2 2 52 senθ 254 − 254 sen θ 2( 2 ) senθ 1 − sen θ 5 senθ cos θ. =. 1 dθ 1 1 Cscθ d θ ⇒ I = Ln Cscθ − Ctgθ + k = ∫ ∫ 5 sen θ 5 5. 47 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(16) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 1 5 − 25 − 4x2 = +k ∫ x 25 − 4x2 5 Ln 2x dx. x 2 dx. 30) ∫. ⇒ De la forma : a 2 − x 2 ⇒ Cambio : x = asenθ. 4− x x = 2 sen θ ⇒ x 2 = 4 sen 2θ ; dx = 2 cos θ d θ. ∫ ∫ ∫. ∫. 2. 8 sen 2θ cos θ d θ = 4 ∫ sen 2θ d θ ∫ ∫ 2 2 2 2 4− x 4 − 4 sen θ 1 − sen θ 2 x dx sen 2θ (1 − cos 2θ ) d θ = 4∫ = 2 ∫ (1 − cos 2θ ) d θ = 2(θ − )+ k 2 2 4 − x2 x 2 dx = 2 (θ − senθ cos θ ) + k 4 − x2. x 2 dx. =. (4 sen 2θ )2 cos θ d θ. =. x 4 − x2 = 2arcsen( ) − +k 2 4 − x2. x2dx. 31) ∫. x 2. dx. ⇒ De la forma : a 2 − x 2 ⇒ Cambio : x = asenθ. (5 − x 2 )3. x = 5 sen θ ⇒ x 2 = 5sen 2θ ; dx = 5 cos θ dθ. ∫ ∫. dx (5 − x 2 )3 dx (5 − x ). 2 3. =∫ =. 5 cos θ dθ (5 − 5sen 2θ )3. =∫. 5 cos θ dθ (5(1 − sen 2θ ))3. =. 5 cos θ dθ 5 5 ∫ cos 6 θ. 1 cos θ dθ 1 dθ 1 1 = ∫ = ∫ Sec 2θ dθ = tgθ + k 3 2 ∫ 5 cos θ 5 cos θ 5 5. 48 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(17) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫. dx (5 − x ) dx. 32)∫. ∫. =. 2 3. 4+ x. dx. dx. ∫. 4 + x2. 33)∫. Ln. x2dx x +6 2. ∫. x2dx. ∫. x2dx. ∫. x2dx. x2 +6 x2 +6. 5 5 − x2. +k. ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : u = atgθ ⇒ x = 2tgθ ⇒ x2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ. 2. =∫. 4 + x2. x. [. 2Sec2θ dθ 4 + 4tg 2θ. =∫. Sec2θ dθ 1+ tg 2θ. = ∫ Secθdθ = Ln Secθ + tgθ + k. 4 + x2 + x +k 2. ⇒Dela forma:x2 +a2 ⇒Cambio: x =atgθ ⇒x = 6tgθ ⇒x2 =6tg2θ; dx = 6Sec2θdθ. =∫. (6tg2θ) 6Sec2θdθ 6 6 tg2θSec2θdθ = =6∫tg2θSecθdθ ∫ 2 2 6 6tg θ +6 1+tg θ. =6∫(Sec2θ −1)Secθdθ =6∫(Sec3θ −Secθ)dθ =6∫Sec3θdθ −6∫Secθdθ. ⎡(Secθtgθ) +LnSecθ +tgθ ⎤ x2dx =6⎢ ⎥ −6⎡⎣Ln Secθ +tgθ ⎤+ ⎦ k ⇒∫ 2 =3(Secθtgθ)−3Ln Secθ +tgθ +k 2 x2 +6 ⎣ x +6 ⎦. 49 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(18) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ⎡ x x2 + 6 ⎤ ⎡ x x2 + 6 ⎤ x + x2 + 6 x + x2 + 6 x2dx = 3⎢ + k ⇒∫ =⎢ +k ⎥ − 3Ln ⎥ − 3Ln 6 6 x2 + 6 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ x2 + 6 ⎢⎣ 2 ⎥⎦. x2dx. ∫. xdx. 34) ∫. (9 + 4 x 2 ) 3. ⇒. 1 xdx ⇒ De la forma : x 2 + a 2 ⇒ Cambio : x = atgθ ∫ 2 3 9 8 (4 + x ). x = 32 tgθ ⇒ x 2 = 94 tg 2θ ; dx = 32 Sec 2θ dθ ( 94 ) (tgθ ) Sec 2θ dθ xdx 1 1 ( 32 tgθ ) 32 Sec 2θ dθ 1 (tgθ ) Sec 2θ dθ = = 27 ∫ = 8 ∫ ( 94 + x 2 ) 3 8 ∫ 8( 8 ) 12 ∫ Sec 6θ ( 94 + 94 tg 2θ ) 3 (1 + tg 2θ ) 3 1 (tgθ ) Sec 2θ dθ 1 (tgθ ) dθ 1 xdx 1 = = = 3 ∫ ∫ ∫ 12 12 ∫ Sec θ Secθ 8 ( 94 + x 2 ) 3 12 1 8∫. xdx 9 4. =. + x2. xdx. ∫. (9 + 4 x ). 2 3. 35)∫. dθ =. 1 senθ dθ 12 ∫. −1 cos θ + k 12. =. ⎤ −1 ⎡ 3 ⎢ ⎥+k ⇒ ∫ 12 ⎢⎣ (9 + 4 x 2 ) ⎥⎦. dx x ( x + 3) 4. senθ cos θ 1 cos θ. 2. xdx (9 + 4 x ). 2 3. =. −1 4 (9 + 4 x 2 ). +k. ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ. x = 3tgθ ⇒ x2 = 3tg 2θ ⇒ x4 = 9tg 4θ dx = 3Sec2θ dθ 3Sec2θ dθ. ∫. 1 1 Secθ dθ Sec2θ dθ =∫ = ∫ = ∫ 4 9tg 4θ (3tg 2θ + 3) 9 tg 4θ (tg 2θ +1) 9 tg θ x4 ( x2 + 3). ∫. 1 = ∫ x4 ( x2 + 3) 9. dx dx. ∫x. dx 4. ( x2 + 3). =. 1 cosθ sen4θ cos4 θ. 1 cos4 θ 1 cos3 θ 1 cos2 θ cosθ dθ = ∫ 4 dθ = ∫ dθ dθ = ∫ 4 sen4θ 9 sen θ cosθ 9 sen θ 9. 1 (1 − sen2θ )cosθ 1 (cosθ − sen2θ cosθ ) d dθ θ = 9∫ sen4θ 9∫ sen4θ. 50 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(19) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫x. 1 cosθ dθ 1 sen2θ cosθ dθ 1 cosθ dθ 1 cosθ dθ = ∫ − ∫ = ∫ − ∫ 4 9 sen4θ 9 sen4θ 9 sen2θ ( x2 + 3) 9 sen θ dx. 4. 1 cosθ dθ 1 dz −1 ⇒ sustitución : z = senθ ⇒ dz = cosθ dθ ⇒ I1 = ∫ 4 = I1 = +k 4 ∫ 9 sen θ 9 z 27sen3θ 1 1 cos θ dθ 1 dz +k ⇒ sustitución : z = senθ ⇒ dz = cosθ dθ ⇒ I1 = ∫ 2 = I 2 = I2 = ∫ 2 9senθ 9 sen θ 9 z. I1 =. ∫x. dx ( x + 3). 4. 2. dx. ∫x. (x2 + 3). 4. x. 36)∫. =. =. 1 −1 + +k 3 27sen θ 9senθ. −1 3. ⎡ x ⎤ 27 ⎢ ⎥ 2 ( 3) x + ⎣⎢ ⎦⎥. +. − (x2 + 3)3 (x2 + 3) +k ⇒∫ = + +k 3 4 2 27 x 9 x ⎤ x ( x 3) + x ⎥ 2 (x + 3) ⎥⎦ 1. ⎡ 9⎢ ⎢⎣. dx. dx ⇒ De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ. x −9 x = 3Secθ ⇒ x2 = 9Sec2θ ; dx = 3Secθ tgθ dθ. ∫. ∫. 2. xdx x −9 2. =∫. (3Secθ )3Secθ tgθ dθ 9Sec θ − 9 2. = 3∫. Sec2θ tgθ dθ Sec θ − 1 2. = 3∫ Sec2θ dθ = 3tgθ + k. ⎡ x2 − 9 ⎤ xdx =3 ⎢ = x2 − 9 + k ⎥+k ⇒ ∫ 2 2 x −9 x −9 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ xdx. 51 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(20) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. x2 − 14 4 x2 − 1 37)∫ dx ⇒ 2∫ dx ⇒ De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ x x 2 2 1 1 x = 2 Secθ ⇒ x = 4 Sec θ ; dx = 12 Secθ tgθ dθ Sec2θ − 14 12 Secθ tgθ dθ Sec2θ −1Secθ tgθ dθ =∫ 1 Secθ 2 Secθ. 2∫. x2 − 14 dx = 2∫ x. 2∫. x2 + 14 dx = ∫ Sec2θ −1tgθ dθ = ∫ tg 2θ dθ = ∫ (Sec2θ −1)dθ = tgθ − θ + k x. 1 4. 4x2 −1 dx = 4x2 −1 − arcSec(2x) + k x. ∫. 38)∫. dx x. x −8. 2. 2. ⇒De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ ⇒. x = 8Secθ ⇒ x2 = 8Sec2θ ; dx = 8Secθ tgθ dθ. ∫x. dx 2. ∫x. ∫x. 2. 8Sec2θ 8Sec2θ − 8 senθ = +k 2 8 x −8. x2 − 8 dx. dx 2. 39) ∫. 8Secθ tgθ dθ. =∫. x2 − 8. =. 1 1 dθ 1 tgθ dθ = = cosθ dθ 8 ∫ Secθ Sec2θ −1 8 ∫ Secθ 8 ∫. x2 − 8 +k 8x. dx x − 6 x + 13 2. =. ⇒Completamos cuadrado en el radicando.. 2 x 2 − 6 x + 13 = x 2 − 6 x + 9 + 13 − 9 = ( x 2 − 6 x + 9) + 4 = ⎡( x − 3) + 4 ⎤ ⎣ ⎦. 52 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(21) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. dx. ∫. x − 6 x + 13 2. =∫. dx. ( x − 3). 2. +4. ⇒ De la forma : x 2 + a 2 ⇒ Cambio : x = atgθ. x − 3 = 2 tgθ ⇒ ( x − 3) 2 = 4tg 2 θ ; dx = 2 Sec 2 θ d θ. ∫ ∫. ∫. dx. ( x − 3). 2. +4. 2. +4. =∫. dx. ( x − 3). dx. ( x − 3). 40)∫. +4. 2. 2 Sec 2 θ d θ 4tg 2 θ + 4. Sec 2 θ d θ. =∫. tg 2 θ + 1. = ∫ Sec θ d θ = Ln Sec θ + tgθ + k. =Ln Sec θ + tgθ + k. = Ln. ( x − 3). 2. + 4 + ( x − 3) 2. +k. x2dx. ⇒Completamos cuadrado en el radicando. 21+ 4x − x2 21+ 4x − x2 = −(x2 − 4x − 21) = −((x2 − 4x + 4) − 21− 4) = −((x − 2)2 − 25) = 25 − (x − 2)2. ∫. x2dx 21+ 4x − x. 2. x2dx. =∫. 25 − ( x − 2). 2. ⇒De la forma : a2 − x2 ⇒ Cambio : x = asenθ. x − 2 = 5 senθ ⇒ x = 5 senθ + 2 ⇒ x2 = (5 senθ + 2)2 ; (x − 2)2 = 25sen2 θ; dx = 5cosθ dθ. ∫ ∫ ∫ ∫. x2dx 25 − ( x − 2). 2. =∫ (25sen2θ + 20senθ + 4)dθ = 25∫ sen2θdθ + 20∫ senθdθ + 4∫ dθ. x2dx 25 − ( x − 2). 2. x2dx 25 − ( x − 2). 2. 25 − 25sen θ 2. =∫. (5 senθ + 2)2 cosθ dθ. 2. x2dx 25 − ( x − 2). (5 senθ + 2)2 5cosθ dθ. =∫. 1− sen θ 2. = ∫ (5 senθ + 2)2 dθ. =. 25 25 25 (1− cos2θ )dθ + 20∫ senθdθ + 4∫ dθ = ∫ dθ − ∫ cos2θdθ + 20∫ senθdθ + 4∫ dθ ∫ 2 2 2. =. 25θ 25sen2θ 33θ 25sen2θ − − 20cosθ + 4θ + k = − − 20cosθ + k 2 4 2 4. 53 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(22) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫. 2 x−2 25−( x−2) 25⎡⎢( 5 ) 5 ⎤⎥ 33arcsen( ) x dx 33θ 25senθ cosθ ⎦ −20 = − −20cosθ + k = − ⎣ 2 2 2 2 2 25−( x−2). x−2 5. 2. ∫. ( x−2) 25−( x−2) 33 2 = arcsen( x−52) − −4 25−( x−2) + k 2 2 2 25−( x−2). ∫. x−2) 21+ 4x − x2 ( 33 x−2 = arcsen( 5 ) − −4 21+ 4x − x2 + k 2 2 21+ 4x − x 2. 25−( x−2) 5. 2. +k. 2. x2dx. x2dx. 2xdx. 41)∫. ⇒Completamos cuadrado en el radicando. x2 + 4 x + 3 x2 + 4x + 3 = ( x2 + 4x + 4) + 3 − 4 = ( x + 2)2 −1. ∫. 2xdx x + 4x + 3 2. 2xdx. =∫. ( x + 2). 2. −1. ⇒De la forma : x2 − a2 ⇒ Cambio : x = aSecθ. x + 2 = Secθ ⇒ x = Secθ − 2; ( x − 2)2 = Sec2 θ ; dx = Secθ tgθ dθ. ∫ ∫ ∫. ∫ ∫. 2xdx. ( x + 2) − 1 2. 2xdx. ( x + 2). 2. −1. 2xdx. ( x + 2). 2. −1. =∫. 2(Secθ − 2)Secθ tgθ dθ Sec2 θ −1. =2∫. (Secθ − 2)Secθ tgθ dθ tg 2 θ. =2∫ (Secθ − 2)Secθ dθ. =2∫ Sec2θdθ − 4∫ Secθ dθ = 2tgθ − 4Ln Secθ + tgθ + k = 2tgθ − 4Ln Secθ + tgθ + k. 2 xdx. ( x + 2) −1 2. 2 xdx x2 + 4x + 3. =2. ( x + 2). 2. − 1 − 4 Ln ( x + 2 ) +. ( x + 2). 2. −1 + k. = 2 x 2 + 4 x + 3 − 4 Ln ( x + 2 ) + x 2 + 4 x + 3 + k. 54 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(23) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ( x + 2)dx. 41) ∫. (3 + 2 x − x 2 )3. ⇒Completamos cuadrado en el radicando.. 3 + 2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x − 3) = −(( x 2 − 2 x + 1) − 3 − 1) = −(( x − 1) 2 − 4) = 4 − ( x − 1) 2 ( x + 2)dx ( x + 2)dx 2 2 ∫ (3 + 2 x − x 2 )3 = ∫ (4 − ( x − 1)2 )3 ⇒De la forma : a − x ⇒ Cambio : x = asenθ x −1 = 2 senθ ⇒ x = 2 senθ + 1 ⇒; ( x −1)2 = 4sen2 θ ; dx = 2cosθ dθ ( x + 2)dx (2 senθ + 1 + 2)2cos θ dθ 2 (2 senθ + 3)cosθ dθ = ∫ ∫ (4 − ( x −1)2 )3 = ∫ 8 (4 − 4sen2 θ )3 (1 − sen2 θ )3 ( x + 2)dx. ∫. (4 − ( x − 1) ). 2 3. ( x + 2)dx. ∫. (4 − ( x − 1)2 )3. =. 1 (2 senθ + 3)cosθ dθ 1 (2 senθ + 3) cosθ dθ 1 (2 senθ + 3) dθ = ∫ = ∫ ∫ 6 cos2 θ 4 4 cos3 θ 4 cos θ. =. 1 senθ dθ 3 dθ 1 senθ dθ 3 + ∫ = ∫ + ∫ Sec2θ dθ 2 2 2 ∫ 2 cos θ 4 cos θ 2 cos θ 4. 1 senθ dθ −1 dz −1 ⇒ sustitución : z = cos θ ⇒ dz = −senθ dθ ⇒ I1 = ∫ 2 = +k 2 ∫ 2 cos θ 2 z 2cosθ 3tgθ 3 3tgθ ( x + 2)dx −1 + +k +k ⇒∫ = I 2 = ∫ Sec2θ dθ = 2 3 4 4 4 (4 − ( x − 1) ) 2cos θ I1 =. (x + 2)dx. ∫. (4 − (x −1)2 )3. 42) ∫. dx. =. −1. 3(x −1). +. ⎡ 4 − (x −1)2 ⎤ 4 4 − (x −1)2 2⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎥⎦. + k ⇒∫. (x + 2)dx (3+ 2x − x2 )3. =. −1. +. 3(x −1). 4 − (x −1)2 4 4 − (x −1)2. ⇒De la forma : a2 − x2 ⇒Cambio : x = asenθ. x 4− x x = 2senθ ⇒ x2 = 4sen2θ; dx = 2cosθdθ. ∫x. 2. 2. 2. dx 4− x. 2. =∫. 2cosθdθ (4sen θ) 4 − 4sen θ 2. 2. =. 1 cosθdθ 1 −Ctgθ = ∫ Csc2θdθ = +k ∫ 2 2 4 sen θ 1− sen θ 4 4. 55 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS. +k.

(24) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫x. dx 4 − x2. 2. 43)∫. =. − 4 − x2 +k 4x. dx ⇒Completamos cuadrado en el radicando. (x −2x +5)2 2. x2 −2x +5 =(x2 −2x +1) +5−1=⎡( x−1) +4⎤ ⎣ ⎦ dx dx 2 2 ∫ (x2 −2x +5)2 =∫ ( x−1)2 +4 ⇒De la forma: x +a ⇒Cambio: x = atgθ 2. x−1 = 2tgθ ⇒(x−1)2 = 4tg2 θ; dx = 2Sec2 θ dθ 2Sec2 θ dθ. 2 Sec2 θ dθ 1 Sec2 θ dθ 1 dθ ∫ ⎡ 2 ⎤2 =∫ ⎡4tg2 θ +4⎤2 =16 ∫ ⎡tg2 θ +1⎤2 = 8 ∫ Sec4θ = 8 ∫ Sec2θ x−1 +4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣( ) ⎦ dx. dx. ∫⎡. x−1 ⎣( ). 2. 2. +4⎤ ⎦. ∫⎡. dx. ∫ ⎡x. dx. x −1) ⎣( ⎣. 2. 2. =. + 4⎤ ⎦. − 2x + 5⎤⎦. dx 1 1 θ sen2θ θ senθ cosθ cos2 θdθ = ∫ (1+cos2θ)dθ = + + k ⇒∫ = + +k 2 ∫ 8 16 16 32 16 ⎡( x−1)2 +4⎤ 16 ⎣ ⎦. ( x −1) 2 2 2 ( x −1) + 4 ( x −1) + 4. 2. =. arctg ( x2−1) + 16. 2. =. ( x −1) + k arctg ( x2−1) + 16 8 ⎡⎣ x2 − 2x + 5⎤⎦. 16. +k =. arctg ( x2−1) ( x −1) + k + 2 16 8 ⎡( x −1) + 4⎤ ⎣ ⎦. 56 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(25) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. 25 − x2 44)∫ dx ⇒ De la forma : a 2 − x2 ⇒ x = asenθ x x = 5 senθ ⇒ x 2 = 25sen2 θ ; dx = 5cosθ dθ. ∫. 25 − x2 25 − 25sen2 θ 5cosθ dθ 1 − sen2 θ cosθ dθ dx = ∫ = 5∫ x 5 senθ senθ. ∫. 25 − x2 cos2 θ dθ (1 − sen2θ )dθ dx = 5∫ = 5∫ = 5∫ Cscθ dθ − 5∫ senθ dθ x senθ senθ. ∫. 25 − x2 dx = 5Ln Cscθ − Ctgθ + 5cosθ + k x. ∫. 25 − x2 5 − 25 − x2 dx = 5Ln + 25 − x2 + k x x. 44)∫ 4 + x2 dx ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : u = atgθ x = 2tgθ ⇒ x2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ. ∫. 4 + x2 dx = ∫ 4 + 4tg 2θ 2Sec2θ dθ = 4∫ 1+ tg 2θ Sec2θ dθ = 4∫ Sec3θ dθ ( por partes). ∫. ⎡ Secθtgθ Ln Secθ + tgθ + 4 + x2 dx = 4 ⎢ 2 2 ⎣. ∫. 4 + x2 x + 2 Ln 4 + x dx = 2 2 2. ∫. x 4 + x2 + 2 Ln 4 + x dx = 2. 2. 2. ⎤ 2 ⎥ + k ⇒ ∫ 4 + x dx = 2Secθtgθ + 2Ln Secθ + tgθ + k ⎦. 4 + x2 + x +k 2 4 + x2 + x +k 2 57. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

(26) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 45)∫. [. x x 1 du dx ⇒ ∫ dx ⇒ sustitución : u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ ∫ 4 2 2 1+ x 1+ ( x ) 2 1+ u2. De la forma :u2 + a2 ⇒ Cambio : u = atgθ ⇒ u = tgθ ⇒ u2 = tg 2θ ; du = Sec2θ dθ 1 du 1 Sec2θ dθ 1 1 = = ∫θ dθ = θ + k 2 2 ∫ ∫ 2 1+ u 2 1+ tg θu 2 2 x arctg(u) x arctg( x2 ) ∫ 1+ x4 dx = 2 + k ⇒ ∫ 1+ x4 dx = 2 + k. 58 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.

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