A C T I V I D A D E S E N L O S E P Í G R A F E S Fracciones y decimales
P A R A P R A C T I C A R
Expresa en forma decimal las fracciones:
a) —
1 7
0 5
0
— b) —
1 2
0
— c) —
1 1 0 2
00
— d) —
1 2 0 0 0 — a) 1 7 0 5
0 0,75 b) 1
2
0 0,2 c) 1
1 0 2
00 0,012 d) 1
2 0
0
0 0,20
Escribe las siguientes fracciones en forma decimal e indica en cada caso la parte entera, el anteperíodo y el período.
a) —4
3— b) —
1 1 1 5
— c) —2
1 2 5
— d) —2
1 3 2
— e) —1
7 1
— f) —1
5 1
5 2
—
a) 1,3333 … d) 1,916666 …
Parte entera 1, período 3. Parte entera 1, anteperíodo 91, período 6.
b) 0,7333 … e) 1,571428 571428 …
Parte entera 0, anteperíodo 7, período 3. Parte entera 1, período 571428.
c) 1,46666 … f) 2,0363636 ...
Parte entera 1, anteperíodo 4, período 6. Parte entera 2, anteperíodo 0, período 36.
Amplifica cada fracción a otra que tenga por denominador una potencia de 10 y escribe su expresión decimal.
a) —7
4— b) —
1 2 1 0
— c) —2
1 7 8
— d) —1
2 2 5
—
a) 7
4 7 4 2 2 5 5
117050 1,75 c) 2
1 7 8
32 32 55 1150 1,5
b) 1 2 1 0
1210 55 15050 0,55 d) 1 2 2 5
1225 44 14080 0,48
Expresa estos números en forma de fracción irreducible.
a) 0,175 b) 8,4 c) 0,32 d) 2,125
a) 0,175 1 1 0 7 0 5 0
470 c) 0,32
1 3
0 2
0 285
b) 8,4 8 1 4 0
452 d) 2,125 2
1 1 0 2 0 5 0 187
Expresa estos números en forma de fracción irreducible.
a) 3,2121 … b) 12,333 … c) 81,162162 … d) 3,0101 …
a) 3,2121 … 321 99
3
3919 8 13036 c) 81,162162 … 81 16 9
2 99
81
81990 981 330703
b) 12,333 … 123 9 12
119 1 337 d) 3,0101 … 301 99
3 29998 2.5
Expresa estos números en forma de fracción irreducible.
a) 32,455 … b) 3,05353 … c) 8,9322 … d) 4,0034545 …
a) 32,455 … 3 245 90
324
299021 c) 8,9322 … 8 932
900 893
8900309
b) 3,05353 … 3 05 9 3
90 30
3909203 d) 4,0034545 … 400 3 9 4 9 5
000 4 003
252500109
Escribe la fracción irreducible de los siguientes números decimales.
a) 3,5 b) 3,5w c) 3,15v d) 2,17 e) 2,17v f) 2,4317v
a) 3 1 5 0
72 d) 2
1 1 0 7 0
b) 35 9 3
392 e) 217
99 2 29195
c) 315 99
3
3919 2 13034 f) 24 31
9 7
900 243
29490 0704 142905307
P A R A A P L I C A R Problema resuelto
Sandra y María quieren comprar una bicicleta con sus ahorros. Sandra aporta una cantidad equivalente al 0,5222… del precio, que es de 180 euros.
a) ¿Qué fracción del precio paga cada una? b) ¿Cuántos euros paga cada una?
a) Fracción de Sandra:x 0,5222 …; 10x5,222 …; 100x 52,222 … 90x 52 5 ⇒x
1 4
0 7
0
Fracción de María: 1 4 9 7 0 4930
b) Cantidad de Sandra:4 9 7 0
de 180 94 euros
Cantidad de María:4 9 3 0
de 180 86 euros
En una clase de 36 estudiantes son chicas el 0,555… del total de alumnos. ¿Cuántas chicas y chicos hay?
Tenemos: 0,555 … 5 9
Número de chicas: 36 0,555… 36 5 9 20 Número de chicos: 36 20 16
Un carpintero tiene que cortar exactamente un listón de madera de —1
3— de metro. ¿Es posible realizar el corte si solo se dispone de una cinta métrica para medir? Justifica la respuesta.
La expresión decimal de 1
3es: 0,333333 …
Una cinta métrica tiene como máximo hasta el orden del milímetro, luego solo puede medir hasta 0,333. Por tanto, la respuesta es negativa.
Expresa el área de estas figuras en forma fraccionaria.
a) b) Expresamos las medidas en forma fraccionaria.
a) 2,3333 … 2 9
1
; 3,2222 … 2 9
9
Área:2 9
1
299 680 19 22073
b) 3,5555 … 3 9
2
4,1222 … 3 9
7 0
1
Área:3 9
2
39701 2 1 9
6
3970 1 5891 306 2490658
Números racionales e irracionales
P A R A P R A C T I C A R
Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
a) —3
5— b) 4 c) 0,75 d) 632 e)
7 f) 0,14vTodos son racionales exceptuando
7, que es irracional.Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
a) 3,12112112 … c) 0,12332100123 ….
b) 4,030030003 … d) 2,19359348395 ….
a) Es racional, ya que tiene como período 121.
b) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales. c) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales. d) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales. 2.13
2.12 2.11 2.10
2,3 cm
3,2 cm
Indica si son irracionales las raíces cuadradas de estos números.
a) 60 b) 625 c) 92 d) 65
El único número que tiene raíz exacta es 625:
625 25 Los demás son irracionales ya que no tienen raíz exacta.Realiza las siguientes operaciones con números racionales utilizando su expresión fraccionaria.
a) —4
7— 3,5 e) —
2
3— 0,25 1,16w
b) 2,4 1w —1
8— f) —1
7 0
— 0,2w —3
5—
c) —3
4— 0,05 g) —
2 7— —
3
5— 0,12w
d) 4,1 —2
5— 3,4w h) 2,35 10,23 34,67
a) 4 7 3,5
4 7
7 2 1
8 4
4194 5174
b) 2,41w 18 2,41w 18 24190 24 18 291 07 18 8366 80 3465 0 832630
c) 3
4 0,05 3 4 1
5
00 1 7 0
5 0
1500 1800 0 45
d) 4,1 2 5 3,4w
4 1 1 0
25 349 3 3960 9 39 06 3910 0 9950 1198
e) 2
3 0,25 1,16w 2 3
1
4
116 9
0
11
23 14 190 05 23 14 2118 2346 396 43 62 5376 1192
f) 1 7
0 0,2w 3 5 1
7 0
29 35 6930 9200 5940 9970
g) 2 7
3 5 0,12w
2 7
3
5
12 9
0
1
1683 00 3673 08 6737 0 162310
h) 2,35 10,23 34,67 2 1 3 0 5 0
1100 203 3140 607 2160709 2.15
Calcula las siguientes expresiones utilizando la representación decimal de los números racionales.
a) —1
9 3
— 1,32 f) 3,05w —3
4— 0,68
b) 5,23w —1
2— g) —
4 7— —
5
6— 3,62
c) 0,4w —2
3— h) 8 —1
3 0
— —1
4— 2,35w
d) —3
4— 2,432 i) 1,234 —
3 7
0
—
—23 0
—
e) 10,5 —2
3— 0,75 j) —
2 9— —
4
3—: 0,25 — 5 7—
a) 1 9
3
1,32 1,4w1,32 0,124w f) 3,05w 43 0,68 3,05w 0,75 0,68 3,125w
b) 5,23w 12 5,23w 0,5 4,73w g) 4 7
5
6 3,62 0,571428 0,83w 3,62 3,88190476 c) 0,4w 23 0,4w 0,6w1,1w h) 8
1 3
0
14 2,35w 8 0,3 0,25 2,35w9,805w
d) 3
4 2,432 0,75 2,432 1,682 i) 1,234 3
7 0
230 1,234 4,285714 6,6w 9,71838095 e) 10,5 23 0,75 10,5 0,5 10 j) 2 9
4 30,25
5
7 0,2w 5,3w0,714285 4,3968253
Haz las siguientes operaciones con números reales utilizando su aproximación decimal.
a) 3
3 e) 5 5 3,48b) 2
2 5 f) —35— 2,312
c) 3
2 0,25 g) —14—
d) —
2 6
— 0,16 3 h)
3 2 —54—
a) 3
34,732 … e) 5 5 3,48 7,700 …b) 2
2 50,592 … f) 35 2,312 1,4295 …
c) 3
2 0,25 4,4926 g) 14 5,3332 … d)
2 6
0,12 3 8,080 … h)3
2
5
4 4,9249 … 2.17
P A R A A P L I C A R
Un aula de planta rectangular tiene como medidas de las aristas 6 metros de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Indica si las medidas de las diagonales de las paredes y del suelo son números racionales o irra-cionales
Diagonal del suelo: Datos: 6 y 5 m
Teorema de Pitágoras:d262 52 61 Medida de la diagonal:
61, es irracional. Diagonales de las paredes laterales:Datos: 5 y 4 m
Teorema de Pitágoras:d252 42 41 Medida de la diagonal:
41, es irracional. Datos: 6 y 4 mTeorema de Pitágoras:d262 42 52 Medida de la diagonal:
52, es irracional.Escribe la longitud de la diagonal de la plaza indicando si se trata de un número racional o irracional.
Valor de la diagonal:
352 352 352 49,4974 …Problema resuelto
Con la cuarta parte de un alambre de 3 metros de longitud construimos una circunferencia. ¿Cuánto medirá su radio?
La longitud de la circunferencia será de 1
4 3 0,75 m
Como la longitud de la circunferencia es igual a 2r, el radio valdrá: r long
itud 2 0, 3
7 , 5 141
... 0,119 m
Calcula el área del círculo correspondiente a una circunferencia construida con las dos quintas partes de un hilo de 50 centímetros de longitud.
La longitud de la circunferencia será:2
5 50 20 cm
La longitud de la circunferencia es igual a 2rpor tanto el radio será: r long
itud
2230,14 ...3,18 El área del círculo es r2. Por tanto su valor será:
Área 3,182 31,75 cm2 2.21
Aproximaciones y errores
P A R A P R A C T I C A R Ejercicio resuelto
Escribe las aproximaciones de —
1 7
3
— por defecto y por exceso con una, dos y tres cifras decimales.
La expresión decimal de 1 7
3
es 0,53846 …
Copia y completa la siguiente tabla utilizando dos cifras decimales en las aproximaciones.
Calcula el error absoluto cuando se toman para —4
3—las siguientes aproximaciones.
a) 1,3 b) 1,33 c) 1,333 d) 1,3333
Valor de 4
3 1,33333333… Errores:
a) 1,333333 … 1,3 0,033333 … b) 1,333333 … 1,33 0,0033333 … c) 1,333333 … 1,333 0,00033333 … d) 1,333333 … 1,3333 0,00003333 …
Escribe las aproximaciones decimales por defecto de estos números con un error menor que una milé-sima.
a) —4
3— b) —1
5 2
— c) —4
7— d) —1
3 0
—
a) 4
3 1,333333 … la aproximación es 1,333 c) 4
7 0,571428 … la aproximación es 0,571 b)
1 5
2 0,416666 … la aproximación es 0,416 d) 1 3
0 0,3000 … la aproximación es 0,300
Halla los errores absoluto y relativo cuando se toma —2
7 2
—con cuatro cifras decimales como aproximación del número 3,1415…
Para comparar, expresamos los números con varias cifras decimales:2 7
2
3,142 8 … Diferencia: 3,142 8 … 3,141 5 … 0,001 3 …
Error absoluto: 0,0013 Error relativo:0,0
013
0,0004 2.26
2.25 2.24 2.23 2.22
Por defecto Por exceso
Una cifra decimal 0,5 0,6
Dos cifras decimales 0,53 0,54
Tres cifras decimales 0,538 0,539
Por defecto Por exceso
4,5279... 4,52 4,53
12,9394... 12,93 12,94
0,0023... 0 0,01
Copia y completa la siguiente tabla calculando las aproximaciones y los redondeos con tres cifras deci-males.
P A R A A P L I C A R
Redondea las siguientes medidas.
a) A metros cuadrados, el área de una clase que mide 35,7 metros cuadrados. b) A kilómetros, la distancia entre dos pueblos, que es de 17,23 kilómetros. c) A metros, el largo de una sala que mide 3,78 decámetros.
d) A miles de euros, la recaudación de un espectáculo benéfico, que ha sido de 34 241 euros.
a) 36 m2 b) 17 km c) 38 m d) 34 mil €
Copia y completa la siguiente tabla redondeando la superficie de los continentes a millones de kilóme-tros cuadrados.
Problema resuelto
Una persona ha cometido un error de 10 kilómetros al medir una distancia de 200 kilómetros, y otra ha cometido un error de 20 kilómetros en una distancia de 500 kilómetros.
¿Quién de las dos personas se ha equivocado más?
Se calculan los errores relativos: Primera persona:
2 1
0 0
0 0,05 Segunda persona:5 2 0
0
0 0,04 Por tanto, se ha equivocado más la primera persona.
2.30 2.29 2.28 2.27
Por defecto Por exceso Redondeo
—3
7— 0,428 0,429 0,429
—8
5— 1,6 1,6 1,6
7 2,645 2,646 2,646 5 2,236 2,237 2,23618,8 18,8 18,8 18,8
0,3413 0,341 0,342 0,341
1,618 1,619 1,619
1,99999 1,999 2,000 2,000
3,141 3,142 3,142
Superficie (km2) Redondeo
África 30 213 059 30
América 42 074 773 42
Asia 44 500 779 45
Al comprobar dos modelos de medidores de líquidos obtenemos los siguientes errores: Modelo A: 2 litros al medir 1 000 litros.
Modelo B: 1,3 litros al medir 750 litros. ¿Qué modelo es el mejor?
Para comparar estos modelos calculamos el error relativo. Modelo A: 2 1 000 0,002
Modelo B: 1,3 750 0,0017 … Por tanto, es mejor el modelo B.
Representación en la recta real
P A R A P R A C T I C A R
El punto representado en la recta se corresponde con el —3
7—.
Copia la recta y representa estos puntos.
a) —1
7— b) —
3
7— c) —
8
7— d) —
5 7—
Utilizamos el teorema de Tales para dividir el segmento en sie-te parsie-tes iguales y representamos los puntos pedidos.
Representa en la recta real los números fraccionarios.
a) —3
5— b) —1
3 1
— c) —7
8— d) —
4 7—
En los cuatro casos debemos utilizar el teorema de Tales.
a) Dividimos el segmento unidad en 5 partes. La tercera división corresponde a
5 3 .
b) Dividimos el segmento unidad en 11 partes. La tercera división corresponde a
1 3
1 .
c) Dividimos el segmento unidad en 8 partes. La séptima división corresponde a 7
8
d) Dividimos el segmento unidad en 7 partes. La cuarta división corresponde a 4
7. 2.33
2.32 2.31
0 3
— 7
1
_ 3_ 7
1
0 1_
7
3 _ 7
5 _ 7
8 _
7 = 1 + 1_
7
0 3_ 1
5
0 __3 1
11
0 4_ 1
7
7 _ 8
Representa en la recta real estos números fraccionarios negativos.
a) —1
3— b) —
3 4—
En los dos casos debemos utilizar el teorema de Tales.
a) Dividimos el segmento unidad negativo [1, 0] en tres partes. La primera división hacia la izquierda corresponde a 1
3.
b) Dividimos el segmento unidad negativo [1, 0] en cuatro partes. La tercera división hacia la izquierda corresponde a 3
4.
Ejercicio resuelto
Representa en la recta el número racional —
3 5 .
—
El número 5
3 lo podemos expresar como 2 3 1.
Representa en la recta real los siguientes números fraccionarios.
a) —7
5— b) —
1 1 4 1
— c) —1
8 9
— d) —1
7 6
—
Descomponemos los números fraccionarios como suma del mayor número entero y una parte fraccionaria menor que la unidad, como hemos hecho en el ejercicio anterior.
a) 7 5 1
2
5 c)
1 8
9
2 3 8
b) 1 1 4
1 1 1
3 1
d) 1
7 6
2 2 7 2.36
2.35 2.34
_1 _ 1_ 0
3
_1 _ 3_ 0
4
0 5
— 3
1 2
7 _ 5
0 1 2
0 1 14__ 2
11
0 1 2 19__ 3
8
3 2
0 1 16__
Ejercicio resuelto
Representa en la recta el número
10.El número
10lo podemos expresar como 321 2 . Utilizamos el teorema de Pitágoras para construir un triángulo de hipotenusa 10y catetos 3 y 1.Representa en la recta de forma exacta y de forma aproximada.
a)
5 b) 13a) El número 5 lo podemos expresar así:
5 22 1 2 Tomamos en la recta OX,OA2.Por Atrazamos una recta perpendicular y elegimos AB 1. OB22212 4 1 5
Con el compás llevamos la distancia OB OPsobre el eje OX. El punto Pes la abscisa de
5.De forma aproximada:
5 2,236 …Tomando este valor obtenemos prácticamente el mismo punto. b) El número
13 podemos expresarlo así:13 223 2 Tomamos en la recta OX,OA3.Por A trazamos una recta perpendicular y elegimos AB 2. OB2
32 22
9 4 13
Con el compás llevamos la distancia OB OPsobre el eje OX. El punto Pes la abscisa de
13.De forma aproximada:
13 3,60 …Tomando este valor obtenemos prácticamente el mismo punto. 2.38
2.37
A
0
B
2
1
P =√5
√5
0
B
A
3 2
P = √13
√13
0 1 2 3 10
Representa en la recta real estos números reales negativos.
a) —4
7— b) —
1 5
2
— c)
17 d) 8Un camino cómodo es hallar primero las coordenadas positivas, y luego, el simétrico respecto del origen. En a) y b) utilizamos el teorema de Tales, y en c) y d), el de Pitágoras.
a) Dividimos la unidad OUen 7 partes iguales. Para ello podemos utilizar el teorema de Tales. Elegimos el punto de OA 4 partes.
Hallamos el simétrico de Arespecto de O, es A. A es la abscisa de 4
7.
b) Dividimos la unidad OUen 5 partes iguales. Para ello podemos utilizar el teorema de Tales.
Elegimos el punto de OA 12 partes iguales a las anteriores. Hallamos el simétrico de Arespecto de O, es A.
A es la abscisa de 1 5
2 .
c) El número
17 se puede expresar así:17 16 1 42 12 Tomamos en la recta OX,OA 2.Por Atrazamos una recta perpendicular y elegimos AB1. OB242 12 16 1 17. Luego OB
17.Con el compás se lleva la distancia OP OB
17 sobre OX. El punto Pes la abscisa de 17.d) El número
8podemos expresarlo así:8 22 22 Tomamos en la recta OX,OA 2.Por Atrazamos una recta perpendicular y elegimos AB2. OB222 22 4 4 8, luego OB
8.Con el compás llevamos la distancia OP OB 8 sobre OX. El punto Pes la abscisa de
8.P A R A A P L I C A R
Escribe el valor de las letras
Valor de x:x 1 3
Valor de y:y1 5 8
8 8
5 8
1 8
3 2.40
2.39
0 1
u
_ 4_ 7
4 _ 7
u
_3 _2 _1 0 1 2 3
12 — —— 5
12 —— 5
√17
P = √17
0 A
B
4 1
_√17
B
0 2 A
2
_√8 P = √8
√8
0
x
y
Escribe, en centímetros, la medida del lapicero con una aproximación de dos décimas.
Con las unidades de las divisiones de la regla solo podemos aproxi-mar el valor de las unidades y las décimas, que es 14,5.
Intervalos y semirrectas
Ejercicio resuelto
Escribe el intervalo que representa cada dibujo.
a) b) c) d)
a) (, 3) b) [1, 3] c) [2,) d) (0,4]
P A R A P R A C T I C A R Ejercicio resuelto
Representa en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas.
a) (1, 4] b) [3, 1] c) (, 1] d) [2, )
a) Intervalo
b) Intervalo
c) Semirrecta
d) Semirrecta
Representa en la recta real estos intervalos.
a) (0, 3) b) [1, 1] c) [3, 3) d) (3, 5]
a) Abierto: (0, 3):
b) Cerrado: [1, 1]:
c) Semiabierto: [3, 3):
d) Semiabierto: (3, 5]: 2.44
2.43 2.42 2.41
11 12 13 14 15 16
0 3 –1 0 3 0 2 0 4
–3 –1 0
–1 0 4
–2 0
0 –1
0 3
_1 0 1
_3 0 3
Representa en la recta real estas semirrectas.
a) (3, ) b) (, 1) c) [2, ) d) (, 2]
a) (3,):
b) (,1):
c) [2,):
d) (, 2]:
Escribe el intervalo que se describe en cada frase.
a) Los números reales mayores que 2 y menores o iguales que 5. b) Los números reales menores que 4.
c) Los números reales mayores o iguales que 3.
d) Los números reales mayores o iguales que 4 y menores o iguales que 1.
a) (2, 5] b) (,4) c) [3,) d) [4,1]
Representa estos intervalos y escribe el número entero que está en el centro de cada uno.
a) (4, 6) b) (3, 9] c) [0, 4] d) (2, 4]
a) (4, 6)
b) (3, 9]
c) [0, 4]
d) (2, 4]
Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.
a)
b)
c)
d)
Intervalos determinados en los dibujos:
a) (2, 0] b) [1, 1) c) [2, 5] d) (4,1)
2.48 2.47 2.46 2.45
0 3
_1 0
0 2
0 2
0 4 5 6
0 3 6 9
0 2 4
_2 0 1 4
–2 0
–1 0 1
0 2 5
Ejercicio resuelto
Escribe el intervalo abierto más pequeño, de extremos números enteros en cuyo interior se encuentra el número irracional
2.Representamos en la recta real, de forma aproximada, el número
2.Por tanto, el intervalo buscado es (1, 2).
Representa el intervalo cerrado más pequeño, de extremos números enteros, en cuyo interior se en-cuentran los siguientes números irracionales
a)
35 b) 24 c) 10 d) 899a) 5
35 6, es decir, [5, 6] c) 3 10 4, es decir, [5, 6] b) 4 24 5, es decir, [4, 5] d) 29 89930, es decir, [29, 30]P A R A A P L I C A R
¿Qué intervalo determinan los puntos de la recta real que pertenecen al círculo?
Puntos del intervalo: [1, 5]
Escribe el intervalo que determina los puntos del cuadrado de la construcción que pertenecen a la recta real.
Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular el punto del intervalo
22 2 28. Por tanto, el intervalo es: [0,8]. 2.52
2.51 2.50 2.49
0 1 2
2 = 1,41...
3
0 5
1
0 2 3 4
–1
