L´ımites inversos de estructuras compactas
Santiago Iv´
an Pinz´
on Palacios
Asesor: Xavier Caicedo Ferrer
´
Indice general
1. Introducci´on 2
2. Preliminares 4
3. Estructuras Topol´ogicas Compactas 8
3.1. Compacidad y Compacidad at´omica . . . 8 3.2. Inyectividad Pura . . . 10 3.3. Una topolog´ıa compacta para
estructuras at´omicamente compactas . . . 18
4. L´ımites Inversos y Estructuras Profinitas 20
4.1. L´ımites inversos . . . 20 4.2. Estructuras Profinitas y l´ımites inversos de estructuras
com-pactas . . . 25
5. Envolvente profinita 32
5.1. Definici´on y propiedades de la Envolvente Profinita . . . 32 5.2. Ejemplos . . . 35
6. Productos Subdirectos y Estructuras Subdirectamente
Irre-ducibles 41
Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
En el presente documento se estudian los l´ımites inversos de estructuras compactas, destacando sus propiedades de primer orden. Se comienza dando preliminares b´asicos. A continuaci´on se definen las estructuras compactas y se demuestran algunas de sus caracter´ısticas fundamentales, como el hecho de que son at´omicamente compactas.
Seguidamente se estudian consecuencias de la noci´on de compacidad at´ omi-ca y se demuestran resultados interesantes como el hecho de que esta compa-cidad tambi´en implica compacidad para f´ormulas positivas y para cierto tipo de f´ormulas infinitarias. Tambi´en se dan caracterizaciones conocidas de las estructuras at´omicamente compactas. Aqu´ı se presenta la pregunta de My-cielski de si toda estructura at´omicamente compactaes un retracto de una estructura compacta dando ejemplos de respuestas positivas y negativas pa-ra diferentes clases de estructupa-ras.
Despu´es se introducen los l´ımites inversos como una forma de obtener estructuras compactas a partir de otras del mismo tipo. Se da una caracte-rizaci´on intr´ınseca de las estructuras que se obtienen como l´ımite inverso de finitas. Tambi´en se prueba que todo l´ımite inverso de estructuras compactas de Hausdorff, se puede inyectar con un homomorfismo puro en un ultrapro-ducto de las estructuras que participan en su construcci´on. Esto permite dar unageneralizac´on de un resultado presentado en [MM2].
A continuaci´on se describe la envolvente profinita como una aplicaci´on importante de los l´ımites inversos de estructuras finitas, que permite
obte-ner un homomorfismo inyectivo can´onico de una ciertas estructuras en una profinita. Se presentan en este punto ejemplos particularmente relevantes. Se introduce el concepto de productos subdirectos y estructuras subdirectamen-te irreducibles con el fin de dar ejemplos en los cuales se pueda garantizar la existencia de la envolvente profinita.
Finalmente se hace un peque˜no estudio de las compactificaciones de una estructura. Se define la compactificaci´on maximal y se muestra que si la pre-gunta de Mycielski es positiva para cierta estructura, existe un retracto desde dicha compactificaci´on maximal.
Se asume que el lector tiene conocimientos b´asicos de topolog´ıa (ver [Mun-kres]) y de ultrafiltros y extensiones elementales, basicamente las definiciones y teorema de Los (ver [Marker]).
Cap´ıtulo 2
Preliminares
Sea Lun lenguaje de primer orden fijo, para cadaL estructura Ay cada s´ımbolo s ∈ L denotamos sA a la interpretaci´on de s en A usualmente se escribe simplemente s para referirse a sA si no hay ambig¨uedad. Para R un s´ımbolo de relaci´onn-aria,RA(a
1, ..., an) significa que (a1, ..., an)∈RA. Dadas
A, B, C L-estructuras, usaremos A, B y C para referirnos a sus respectivos universos. Denotamos LA al lenguaje L extendido con un nuevo s´ımbolo de constante ca para cada a∈A.
Si A y B son L-estructuras con A ⊆ B, A se dice subestructura de B, notaci´on A ≤ B, si para cada f s´ımbolo de funci´on n aria fA = fB An y
para cada R s´ımbolo de relaci´on m-aria, RA= RB∩Am. Es f´acil ver que si
Aα con α ∈ I es una familia indexada de subestructuras de una estructura
A cuya intersecci´on no es vac´ıa, entoncesT
α∈IAα ≤A
Una funci´onφ:A−→Bcon Ay B Lestructuras, es un homomorfismo si: para todo f ∈L s´ımbolo de funci´on n-aria y elementos a1, ..., an de A (el
universo deA) se tiene queφ(fA(a1, ...an)) =fB(φ(a1), ..., φ(an)) y para toda
R ∈ L s´ımbolo de relaci´on m-aria y elementos b1, ..., bm de A, RA(b1, ..., bn)
implica RB(φ(b
1), ..., φ(bn)). Si adem´as de eso φ cumple que para cualquier
s´ımbolo de relaci´onn-aria R y cualquier colecci´on a1, ..., an de elementos de
A,RB(φ(a
1), ..., φ(an)) implica la existencia deb1, ..., bnelementos de Atales
queRA(b
1, ..., bn) y para cadai φ(ai) =φ(bi),φ se dicehomomorfismo fuerte.
Siφes un homomorfismo tal que para cualquier s´ımbolo de relaci´onn-aria R
(R puede ser la igualdad) y cualquier colecci´on a1, ..., an de elementos deA,
RB(φ(a
de subestructura. Note φ es homomorfismo de subestructura si y s´olo siφ es un homomorfismo fuerte inyectivo. Un isomorfismo es un homomorfismo de subestructura sobreyectivo.
Una f´ormula se dicepositiva existencial (p.e) si es equivalente a una que se obtiene a partir de at´omicas usando ∨, ∧, y el cuantificador existencial ∃. φ se dice positiva si es equivalente a una obtenida a partir de at´omicas usando ∨, ∧, y los cuantificadores∃ y ∀.
Lema 2.0.1. Dadas dos L-estructuras A y B y h :A −→B un homomor-fismo entonces:
(i) Para cada L-f´ormula p.e. φ(x1, ..., xn) tal que A |= φ(a1, ..., an) para
ciertos ai ∈A, B|=φ(h(a1), ..., h(an))
(ii) Si h resulta ser sobreyectivo, entonces para cada f´ormula positiva φ
y elementos a1, ..., an de A tales que A |= φ(a1, ..., an), se tiene que
B|=φ(h(a1), ..., h(an))
Demostraci´on. La prueba se sigue facilmente por inducci´on en la complejidad de φ.
Si L no tiene s´ımbolos de relaci´on, a una L- estructura se le dice un ´
algebra. A una clase de ´algebras axiomatizable por sentencias del tipo
∀x1, ...,∀xn(φ)
con φ L-f´ormula at´omica, se le llama una variedad.
Dadas L-estructuras A y B, una funci´on h : A −→ B se dice elemental si para toda L-f´ormula φ(x1, ..., xn) y para toda n-tupla en A, (a1, ..., ab) se
tiene que A |=φ(a1, ..., an) si y s´olo si B |=φ(h(an), ..., h(an)). Es claro que
si h es elemental, es un homomorfsmo inyectivo. Si A ≤ B con A y B L -estructuras, la extensi´on se dice eleental si la inclusi´on deAenBes elemental.
Para cada L-estructura A definimos Diag(A) = {φ : φ es LA-sentencia at´omica tal queA|=φ}, interpretando enAcada constante ca (a∈A) como
a. Y se define Diagel(A) = {φ : φ es LA-sentencia tal que A |= φ}. Es un
hecho conocido que siC es unaLAestructura tal queC|=Diag(A), entonces
h : A −→ C definida por h(a) = cC
a para cada a ∈ A, es un homomorfismo,
y si C|=Diagel(A), el mismo h es elemental. En particular siDiagel(A)∪T
tiene modelos, con T alguna teor´ıa, entonces existe una extensi´on elemental de Aque modela T.
Dada una familia de L-estructuras {Ai}i∈I se usar ˜A¡ la definici´on usual
de la estructura producto Q Ai.
Dada unaL-estructura A, unacongruencia enAes una relaci´on de equi-valencia sobre A que es a su vez una subestructura de A2. El conjunto de
todas las congruencias sobre Ase denota Cong(A). Dadaθ ∈Cong(A) para cadaa∈A, denotamos poraθ a la clase de equivalencia dearespecto aθ. Sea
A/θ el conjunto de clases de equivalencia de A respecto a θ. Podemos ver a
A/θ como unaL-estructura de la siguiente manera: para cada c∈Ls´ımbolo de constante definimos cA/θ =cA
θ, para cadaRs´ımbolo de relaci´onn-aria
de-finimos RA/θ ={(C
1, ..., Cn)∈ A/θn|∃x1 ∈C1, ..., xn∈ Cn,(x1, ..., xn)∈RA}
y dado h ∈ L s´ımbolo de funci´on m-aria y a1, ..., am elementos de A
defi-nimos hA/θ((a
1)θ, ...,(an)θ) := (h(a1, ..., an))θ, para ver que es una operaci´on
bien definida sobre las clases de equivalencia suponga a01, ..., a0n elementos de A tales que (ai, a0i) ∈ θ para cada i ∈ {1, ..., n}, ahora como θ es una
subestructura de A2 se tiene queh((a
1, a01), ...,(an, a0n))∈θ, es decir (por
de-finici´on de la estructura producto) (h(a1, ..., an), h(a01, ..., a0n))∈θ con lo cual
hA/θ est´a bien definida. Note que con esta definici´on la proyecci´on natural
π : A −→ A/θ dada por π(a) = aθ para cada a ∈ A es un homomorfismo
fuerte.
Ahora, si A y B son L-estructuras y Φ : A−→ B es un homomorfismo podemos definir ker(Φ) ={(a, b)∈A2 : Φ(a) = Φ(b)}que es claramente una
relaci´on de equivalencia sobre A y adem´as es una congruencia en A ya que si hes un s´ımbolo de funci´onn-aria y (a1, b1), ...,(an, bn) est´an enker(Φ) as´ı
y adem´as
(Φ(hA(a1, ..., an)),Φ(hA(b1, ..., bn))) = (hB(Φ(a1), ...,Φ(an)), hB(Φ(b1), ...,Φ(bn)))
y como para cada i∈ {1, ..., n} Φ(ai) = Φ(bi) entonces
hA2((a1, b1), ...,(an, bn))∈ker(Φ)
.
Lema 2.0.2. Si Φ : A −→ B es un homomorfismo fuerte y sobreyectivo entonces existe un ´unico isomorfismo Φ :ˆ A/ker(Φ) −→ B. Tal que Φ =
ˆ
Φ◦πker(Φ)
Demostraci´on. Sea ˆΦ :A/ker(Φ)−→Bdado por ˆΦ(aker(Φ)) = Φ(a) que est´a
bien definido de la definici´on de ker(φ) y que claramente es un homomorfis-mo al ser la proyecci´on de A en A/ker(Φ) un homomorfismo fuerte y Φ un homomorfismo. Es claro que es sobre al ser Φ sobre, y la inyectividad se sigue directo de las definiciones. Para ver que es un homomorfismo de subestructura supongamosRes un s´ımbolo de relacionn-aria ya1, ..., anson elementos deA
tales que RB( ˆΦ((a1)ker(Φ)), ...,Φ(ˆ an)ker(Φ)) entoncesRB(Φ(a1), ...,Φ(an)) y al
ser Φ fuerte, existeb1, ..., bnelementos deAtales queRA(b1, ..., bn) y para
ca-da i∈ {1, ..., n} (ai, bi)∈ker(Φ) con lo cual ((b1)ker(Φ), ...,(bn)ker(Φ))∈ RA/θ
es decir ((a1)ker(Φ), ...,(an)ker(Φ))∈RA/θ.
La unicidad se sigue directo de la condici´on Φ = ˆΦ◦πker(Φ).
Sean A y B dos L-estructuras con i :A −→ B un homomorfismo, A se dice un retracto deBsi existeh:B−→Ahomomorfismo tal queh◦i=idA, en este caso ahse le llama una retracci´on deBenA(o dei). Note que en esta situaci´on,hes sobreyectiva al serisu inversa drecha. Adem´ashes fuerte por-que si paraR s´ımblo de relaci´onn-aria, si para ciertosb1, ..., bn elementos de
B se tiene que (h(b1), ..., h(bn)) ∈ RA, entonces (i(h(b1)), ..., i(h(bn))) ∈ RB
y comoh◦ies la identidad enA, para cadaj ∈ {1, ..., n},h(i(h(bj))) =h(bj).
Note queiun homomorfismo de subestructura, pues siRes un s´ımbolo de relaci´onn-aria ya1, ..., anson elementos deAtales que (i(a1), ..., i(an))∈RB,
entonces al ser h homomorfismo, (h(i(a1)), ..., h(i(an)))∈RA y comoh◦ies
Cap´ıtulo 3
Estructuras Topol´
ogicas
Compactas
3.1.
Compacidad y Compacidad at´
omica
Una estructura Aes unaestructura topol´ogica si est´a dotada con una to-polog´ıa en la cual las operaciones son continuas y las interpretaciones de los s´ımbolos de relaci´on n-arios, son conjuntos cerrados de An, (para cualquier
n natural mayor o igual a 1, consideramos a An con la topolog´ıa producto),
generalmente se considera a la igualdad como una relaci´on con lo cual las estructuras topol´ogicas son de Hausdorff.
Es f´acil ver, por inducci´on, que siA es una estructura topol´ogica, enton-ces para cada φ(x),LA-f´ormula positiva, se tiene que{x∈A:A|=φ(x)}es un cerrado en A.
Una estructuraAse dice at´omicamente compacta si todo conjunto de LA f´ormulas at´omicas, tal que todos sus subconjuntos finitos se satisfacen en
A, es satisfactible en A. A las ´algebras at´omicamente compactas se les dice ecuacionalmente compactas. Esta noci´on de compacidad es implicada, como lo muiestra el siguiente resultado conocido, por la compacidad topol´ogica.
Lema 3.1.1. Si A es una L-estructura topol´ogica compacta de Hausdorff entonces A es at´omicamente compacta.
Demostraci´on. Sea ∆ un conjunto de f´ormulas at´omicas con constantes enA
finitamente satisfactible en A, supongamos que ∆ tiene todas sus variables entreX :={xα}α∈β con β alg´un cardinal. si tomamos ψ(X)∈∆ entonces ψ
es de la forma R(t1(X), ..., tn(X)) para alg´un s´ımbolo de relaci´on n-aria R y
ti(X) t´ermino con constantes en Apara cadai∈ {1, .., n}, note queR puede
ser =, y como A es de Hausdorff en todo caso R es un subconjunto cerrado de An. Cada t´ermino t(X) se puede ver como una funci´on de P :=Aβ enA
dada por t(Y) = tA(Y) para cualquier Y ∈P. Si dotamos a P con la topo-log´ıa producto, cada una de estas funciones est´a dada por proyectar y aplicar finitas veces funciones continuas (interpretaciones de s´ımbolos funcionales de
L), con elementos de A, lo cual es claramente continuo al ser A ´algebra to-pol´ogica. Ahora considerefψ :P −→Andada porf ψ(Y) = (t1(Y), ..., tn(Y))
una funci´on continua. Sea Sψ := {Y ∈P :A |=ψ(Y)} es decir, el conjunto
de tuplas que satisfacen ψ en A. Note que como Sψ = fψ−1(R) y R es
ce-rrado, cada Sψ es un subconjunto cerrado de P. Ahora, el hecho de que ∆
sea finitamente satisfactible en A nos dice que S := {Sψ|ψ ∈ ∆} tiene la
propiedad de intersecciones finitas, adem´as es un conjunto de cerrados. Dado que A es compacto y por Tychonoff P tambi´en, existe Y ∈T
S es decir, ∆ es satisfactible en A.
Este lema tambi´en es conocido y no muy dif´ıcil de probar.
Lema 3.1.2. Sean A y B L-estructuras con B ⊆ A una sub-estructura. Suponga que A es at´omicamente compacta y que existe h : A −→ B ho-momorfismo que extiende a la identidad de B, entonces B es at´omicamente compacta. Es decir, retractos de ecuacionalmente compactos son ecuacional-mente compactos.
Demostraci´on. Sea ∆ un conjunto de f´ormulas at´omicas con constantes en
B finitamente satisfactible en B. Como B es sub estructura de A, ∆ tam-bi´en es un conjunto de f´ormulas con constantes en A y al ser finitamente satisfactible en B tambi´en lo es en A: Si ψ(~x,~b) (con ~x vector de varia-bles y ~b vector de constantes de B) es de la forma R(t1(~x,~b), ..., tk(~x,~b))
con R s´ımbolo de relacion n-aria y cada ti un t´ermino. Si para ciertos
~
y ∈ B, (tB
1(~y,~b), ..., tBn(y,~b~ ) ∈ RB como B es subestructura de A, cada
tA1(~y,~b) = tB1(~y,~b) y por tanto (tA1(~y,~b), ..., tAn(~y,~b)∈RA es decirA|=ψ(~y,~b). De aqu´ı se tiene que si J ⊆ ∆ finito y J es satisfactible en B tamb´en lo es en A. Luego al ser A ecuacionalmente compacto, existe~a = {aβ}β∈κ un
vector en Aque satisface cada f´ormula en ∆. Es decir para cadaψ(~x,~b)∈∆,
A |=ψ(~a,~b) y como h es homomorfismo y ψ es at´omica, B |=ψ(h(~a), h(~b)) donde h(~a) := {h(aβ)}β∈κ. Como h es la identidad en B esto significa que
B|=ψ(h(~a),~b). Lo que significa que h(~a) satisface ∆ en B.
Los dos lemas anteriores muestran que toda estructura que sea retracto de una estructura topol´ogica compacta es ecuacionalmente compacta. My-cielski se pregunt´o si el rec´ıproco es cierto, y esta pregunta ha tenido un gran impacto especialmente en el campo del ´algebra universal. Ver por ejemplo el ap´endice de compacidad at´omica en [Gr¨atzer].
En [Gr¨atzer] (ap´endice de compacidad at´omica) se muestra que no es cierto en general, por ejemplo hay semigrupos ecuacionalmente compactos que no son retracto de ning´un semigrupo topol´ogico compacto. Existen tam-bi´en grafos que no son subgrafo de ningun grafo compacto, ver por ejemplo [Taylor]. Pero se sabe que es cierto para ciertas clases de ´algebras como las ´
algebras booleanas, los m´odulos sobre un anillo y los semiret´ıculos (para el caso de los semiret´ıculos, ver [BF]). Y para otras ´algebras como los ret´ıculos distributivos y los grupos no abelianos la pregunta a´un est´a abierta.
Vale la pena en este punto estudiar algunas de las propiedades de las estructuras at´omicamente compactas. Para esto primero daremos una carac-terizaci´on extr´ınseca de las estructuras at´omicamente compactas.
3.2.
Inyectividad Pura
UnaL-f´ormula ψ se dice positiva primitiva (p.p.) si es equivalente a una del tipo ∃~xφ(~x) donde φ(~x) es una conjunci´on de at´omicas.
SiA y B son L-estructuras, un homomorfismof :A−→B se dice puro si para cualquier ψ(~x) f´ormula p.e. y para toda tupla~a de elementos de A, se tiene que B|=ψ(f(~a)) implica A |=ψ(~a). Dado que f es homomorfismo siempre se tiene que A |= ψ(~a) implica B |= ψ(f(~a)). Note que cualquier homomorfismo puro es inyectivo pues si B|=f(a) =f(b) para ciertos a y b
Es ´util observar que cierto homomorfismo f :A −→ B es puro si y s´olo si, dados φ(~x, ~y) positiva libre de cuantificadores y~a una tupla de elementos deA tales queB|=∃~xφ(~x, f(~a)) entonces A|=∃~xφ(~x, ~a). Y como φ es libre de cuantificadores, podemos tomar forma normal disyuntiva y supongamos que φ(~x, f(~a)) es equivalente a
j=m
_
j=1
(
i=nj
^
i=0
φij(~x, f(~a)))
para ciertas φij at´omicas. EntoncesB|=∃~xφ(~x, f(~a)) si y s´olo si
B|=∃~x
nj
^
i=1
φij(~x, f(~a))
para ciertoj ∈ {1, ..., m}. Y dado queφij es (p.p.) para quef sea puro, basta
con que refleje f´ormulas p.p.
Dadas A y B L-estructuras, un homomorfismo i : A −→ B es una sec-ci´on si existe g :B −→A, una retracci´on de i. Es claro que toda inyecci´on elemental y toda secci´on son homomorfismos puros.
Ejemplo1: Considere aZcomo grupo abeliano, entonces la inclusi´on dia-gonalideZenZ×Z, dada pori(z) = (z, z) para todoz ∈Z. Es una secci´on ya que la proyecci´onpen cualquier componente es un homomorfismo deZ×Z enZ, tal quep◦i=idZ. Pero no es elemental puesZy Z×Zni siquiera son elementalmente equivalentes ya que Z|=∃x∀y∃z(z+z =y∨z+z+x=y) tomando x= 1. Pero dicha f´ormula no vale enZ×Z.
Ejemplo2: Cualquier inclusi´on de un campo algebraicamente cerrado en un dominio de integridad es pura. Sea (F,+,˙,0,1) un campo algebraicamente cerrado contenido en un dominio D. Sea φ(~x, ~y) una f´ormula libre de cuan-tificadores. Sea ~a una tupla en F y suponga que D |= ∃~xφ(~x, ~a). Como D
es dominio de integridad, existe el campo de fracciones de D digamosKD y
podemos tomar su clausura algebr´aica KD. Ahora como D es un subanillo
de KD, φ es libre de cuantificadores y D |=φ(~x, ~a), para alguna tupla ~x de
elementos de D. Con lo cual KD |= ∃~xφ(~x, ~a). Y como la teoria de campos
equivalente en dicha teor´ıa a una f´ormula ψ libre de cuantificadores y co-mo F es un subcampo deKD algebraicamente cerrado, y las f´ormulas libres
de cuantificadores bajan, se tiene entonces queF |=∃~xφ(~x, ~a) como se quer´ıa.
Una noci´on que en el caso de las L-estructuras es equivalente a la de ecuacionalmente compactas es la de inyectivas puras. Para esto es natural definir primero la noci´on de objetos inyectivos respecto a una categor´ıa C. Un objeto de C, A se dice inyectivo si para todo par de objetos B, B0 y morfismos h:B−→A,i:B−→B0 conimonomorfsmo, se tiene que existe
g :B0 −→A morfismo tal que g◦i=h.
El estudio de la inyectividad ha tenido particular relevancia en el caso de los m´odulos sobre un anillo R. Dado un R-m´odulo M, este es inyectivo si todo homomorfismo que llegue a ´el desde unR-m´odulo N se puede extender a cualquier m´odulo que sea extensi´on de N. Un hecho que ayuda entender los R-m´odulos inyectivos es el siguiente.
Lema 3.2.1. Dado un R-m´odulo M, M es inyectivo (en la categor´ıa de R -m´odulos con los homomorfismos de R-m´odulos) si y s´olo si M es sumando directo de cualquier extensi´on. Es decir si N es un R-m´odulo del cual M es subm´odulo, existe K subm´odulo de N tal que N =M⊕K.
Demostraci´on. Supongamos primero queM es inyectivo y seaN unR-m´ odu-lo que extiende aM. Luego tomando la identidad deM enM como homomor-fismo y la inclusi´on deM enN como homomorfismo inyectivo en la definici´on de inyectivo, existe h :N −→M homomorfismo tal que h M =idM.
Vea-mos que N =M ⊕ker(h). Seam ∈M∩ker(h), por estar m enM, se tiene que h(m) = m pero como m ∈ ker(h) se concluye que m = 0. Ahora para cada n ∈N se tiene que n=f(n) + (n−f(n)) donde claramente f(n)∈M
y comof(n−f(n)) =f(n)−f(f(n)) =f(n)−f(n) = 0, tenemos que M es sumando directo de N. Note que esto es equivalente a que cualquier m´odulo inyectvo es retracto de cualquier extensi´on, ya que si M es un subm´odulo de
N, y h:N −→M es una retracci´on, entonces N =M ⊕ker(h).
Si suponemos que M es sumando de cualquier extensi´on. Suponga N y
N0 R-m´odulos con N ⊆ N0 y h : N −→ M un homomorfismo. Sea L :=
N0 ⊕M/I. Donde I es el ideal generado por {(n,−h(n)) : n ∈ N} que es un conjunto cerrado bajo multiplicaci´on por elementos de R ya que h es
homomorfismo. Considere f : N0 −→ L dado por f(n0) = (n0,0) +I para cada n0 ∈ N0 y g : M −→ I definido por g(m) = (0, m) +I para todo
m ∈ M. Claramente f y g son homomorfismos al ser compocisi´on . Por la definici´on deI se tiene que para cadan∈N,f(n) = g(h(n)).Veamos ahora que g es inyectiva. Supongamos que para cierto m ∈ M, (0, m) +I = I, es decir, existenn1, ..., nkelementos deN tales que (0, m) = (n1,−h(n1)) +...+
(nk,−h(nk)) con lo que n1 +...+nk = 0 y h(n1) +...+h(nk) = −m y por
lo tanto al ser h homomorfismo, 0 = h(0) = −m es decir, m = 0. Por esto existe K sub m´odulo de L tal que L =K ⊕g(M) pues g(M) es isomorfo a
M v´ıag. Considerej :N0 −→M dada porj =g−1◦π
g(M)◦f d´ondeπg(M)es
la proyecci´on sobre g(M) a lo largo de K. Es claro que j es homomorfismo y j N =h pues si n∈N,j(n) = g−1(πg(M)((n,0) +I)) lo cual implica que
(n,−j(n))∈I y esto claramente muestra que j(n) = h(n).
En el caso de los Z m´odulos, i.e. los grupos abelianos se tiene una ca-racterizaci´on intr´ınseca de los elementos inyectivos. Es necesario enunciar un Lema conocido cuya prueba es f´acil y omitiremos.
Lema 3.2.2. (Lema del pegamento)SiG yC son grupos abelianos (usa-mos notaci´on aditiva) yA, B subgrupos deG. Entonces para cualquier par de homomorfismos f :A−→C, h:B −→C que coincidan enA∩B, existe un ´
unico homomorfismo f+h:A+B −→C dado porf+h(a+b) = f(a) +h(b) para todo a∈A y b∈B
Un grupo abeliano G se dice divisible si para cada n ∈Z diferente de 0, y g ∈G se tiene que existe g0 ∈Gtal que ng0 =g.
Lema 3.2.3. Un grupo abelianoGes inyectivo (en la categor´ıa de los Grupos abelianos con los homomorfismos de grupo) si y s´olo si es divisible.
Demostraci´on. Supongamos primero queGes divisible. SeanH y H0 grupos abelianos con H ⊆ H0 y sea f : H −→ G homomorfismo. Considere P = {(K, g)|K es un subgrupo deH0 que contiene a H,y g :K −→H un homo-morfismo que extiende a f}. Parcialmente ordenado por (K1, g1) ≤(K2, g2)
si y s´olo si K1 ⊆K2 y g2 K1 =g1.
Para probar que toda cadena est´a acotada basta notar que la uni´on de una cadena de subgrupos de un grupo es subgrupo y que la uni´on de una cadena de homomorfismos es de nuevo homomorfismo. Luego por lema de
Zorn existe un (M, g) maximal en P. Veamos que H0 = M. Si suponemos que no, existex∈H0\M. LuegoM (M∪< x >. Podemos extenderg a un homomorgismog0 enM+< x >de la siguiente manera. SiM∩< x >={0}, entonces la suma M+< x > es directa y podemos definirg0(x) como un ele-mento arbitrario de G y g0 M =g y extendemos linealmente. Si existe un elemento diferente de cero en M+< x > entonces para alg´un entero n dife-rente de 0 se tene quenx ∈M entoncesg(nx) est´a bien definida y como Ges divisible existe un ´unicoy∈Gtal queg(nx) = ny. Podemos definirg0(x) = y
y extender usando el lema del pegamento a g+g0 :M+< x >−→G lo cual contradice la maximalidad de (M, g) entonces M =H0.
Ahora siG es un grupo abeliano inyectivo, sean un natural diferente de 0 y x un elemento de G. Considere el homomorfismo f : nZ −→ G dado por f(nz) =ng para todo z ∈Z entonces f se extiende a un homomorfismo
ˆ
f :Z−→Gcon lo que nfˆ(1) =f(n) =g y por lo tanto G es divisible.
Una L-estructura A se dice inyectiva pura si para cualquier par de L -estructurasBy B0 tales que hayh:B−→Ahomomorfismo yj :B−→B0
puro, existe h0 : B0 −→ A tal que h0 ◦j = h. Claramente las L-estructuras inyectivas son inyectivas puras.
Diremos que unaL-estructura es un retracto puro si es retracto de toda extensi´on pura. Claramente unaL-estructuraAinyectiva pura es un retracto puro pues si A ≤ B0 y la extens´on es pura podemos tomar en la definici´on de inyectiva pura h como la identidad en A y j la inclusı´on de A en B con lo cual h0 ser´ıa una retracci´on de Ben A.
El siguiente lema ayuda a comprender mejor las L-estructuras at´ omica-mente compactas.
Lema 3.2.4. Dada una L-estructura A son equivalentes:
(i) A es at´omicamente compacta.
(ii) A es inyectiva pura.
(iii) A es retracto puro.
Demostraci´on. :
“(i)⇒(ii)”
SupongamosAat´omicamente compacta, seanB≤B0 L-estructuras tales que la extensi´on es pura y seah:B−→A un homomorfismo. Sea
Diag(+)(B0) :={φ(~b) f´ormula at´omica con~buna tupla enB0 :B0 |=φ(~b)}
el diagrama positivo de B0, note que este conjuto de f´ormulas est´a en el lenguaje LB0. Ahora cada φ(~b0) en este conjunto ser´a vista como φ(~b,~a)
donde~b es una tupla en B y~a una en B0\B. Considere ahora el conjunto ∆ de f´ormulas at´omicas con constantes en A obtenido a partir de las de
Diag(+)(B0) cambiando las constantes de B por las de su imagen bajo h y
viendo las constantes de B0\Bcomo variables.
∆ ={φ(h(~b), ~a)) :φ(~b,~a)∈Diag(+)(B0)}
Veamos que ∆ es finitamente satisfactible en A.
Siφ1(h(~b1), ~a1), ..., φn(h(~bn), ~an) son f´ormulas en ∆, entonces
B0 |=∃~a
i=n
^
i=1
φ(~bi, ~a)
donde~a es el vector de todas las variables que ocurren entre~a1, ..., ~an. Al ser
la inclusi´on deB en B0 pura,
B|=∃~a
i=n
^
i=1
φ(~bi, ~a)
sean ~y los testigos respectivos. Luego por ser h homomorfismo y cada φ
at´omica se tiene que
A|=
i=n
^
i=1
φ(h(~bi), h(~y))
con lo cualφ1, ..., φnson simultaneamente satisfactibles enA. Esto sumado al
hecho de que Aes at´omicamente compacta nos dice que ∆ es satisfactible en
b = b, existe una interpretaci´on en A para cada b s´ımbolo de constante de
B0\B.
As´ı pues, podemos definirh0 :B0 −→A tal queh0 coincide con h enB y para cada b ∈B0 h0(b) = bA. Claramente h0 extiende a h y se tiene que para
cada f´ormula at´omica φ(~b) del diagrama at´omico deB0, con~b una tupla en
B0,A|=φ(h0(~b)). Esto muestra queh0 es un homomorfismo, pues sif ∈Les un s´ımbolo de funci´onn-aria y a1, ..., an, an+1 son elementos de B0 tales que
fA(a
1, ...an) = an+1, entoncesf(a1, ...an) =an+1 est´a en el diagrama positivo
de B0. Por lo tanto A|=f(h0(a1), ..., h0(an)) =h0(an+1). Del mismo modo si
R es un s´ımbolo de funci´onm-aria y (b1, ..., bm)∈RB
0
, entonces R(b1, ..., bm)
est´a en el diagrama positivo de B0 con lo cual (h0(b1), ..., , h0(bm))∈RA.
“(ii)⇒(iii)”
Fue una observaci´on previa.
“(iii)⇒(iv)”
Se sigue de que las extensiones elementales son puras.
“(iv)⇒(i)”
Sea Σ un conjunto de f´ormulas at´omicas finitamente satisfactible con constantes en A cuyas variables ocurren entre ~x := {xα}α∈β para β alg´un
ordinal, veamos que Σ es satisfactible en A.
SeaJ :={S ⊆Σ :S finito}. Para cadaS ∈J sea~aS la tupla de todas las
constantes de A que aparecen en f´ormulas de S. Ahora, dado S ∈ J, existe una tupla~xS :={xSα}α∈β de elementos enAtal que para todaφ(~aS, ~x). Aho-ra paAho-ra cada φ ∈ Σ sea Aφ :={S ∈ J :φ ∈S}. Veamos que {Aφ}φ∈Σ tiene
la propiedad de intersecciones finitas. Sean φ1, ..., φn f´ormulas en Σ.
Enton-ces {φ1, ..., φn} ∈Tii==1nAφi. Luego usando lema de Zorn existe un ultrafiltro
U sobre J tal que para cada φ ∈ Σ, Aφ ∈ U. Considere el ultraproducto
P:=Q
S∈J(A, ~xS)/U viendo a~xcomo un vector de constantes del cual~xS es
la interpretaci´on en (A, ~xS). El universo de dicho ultraproducto es claramente
respecto a U. Sea Φ : A −→ P la inclusi´on diagonal, es decir, para cada
a∈AΦ(a) es la clase respecto aU de la funci´on constantea. Por el teorema de Los, la inclusi´on es elemental y por tanto existe Ψ : P−→ A homomor-fismo tal que Ψ◦Φ =idA, la identidad en A.
Ahora, para cada α ∈ β considere yα ∈ QS∈J(A, ~xS) dado por yα(S) =
xSα. Ahora sea~y :={yα/U}α∈β. Veamos que para toda φ(~a, ~x)∈Σ (donde~a es la tupla de constantes deAque aparecen enφ) se tiene queP|=φ(Φ(~a), ~y). Para esto, por el teorema de Los, basta ver que Bφ := {S ∈ J : A |=
φ(Φ~a, ~xS)} ∈ U, lo cual es claro ya que por nuestra elecci´on de ~xS se tiene
queAφ⊆Bφy por la elecci´on deU, que cada Aφ∈U. Es f´acil mostrar ahora
que Ψ(~y), la β-tupla conformada por las im´agenes bajo Ψ de los elementos de ~y, satisface Σ en A.
Una estructura A se dice positivamenete compacta si para cualquier P, conjunto de de f´ormulas positivas con constantes enA, el hecho de que P sea finitamente satisfactible en A implica que es satisfactible enA.
El lema anterior permite caracterizar las estructuras at´omicamente com-pactas como las positivamente comcom-pactas:
Lema 3.2.5. Si A es una estructura at´omicamente compacta, entonces es positivamente compacta.
Demostraci´on. SupongaAat´omicamente compactayP un conjunto de f´ ormu-las positivas con constantes enA. Digamos que las variables libres que ocurren enP est´an entre{xα}α∈κ paraκun cardinal. SeaP0 igual aP cambiando las
ocurrencias de cada variable xα por un nuevo s´ımbolo de constante cα. Del
hecho de que P es finitamente satisfactible en A se sigue de que para cada
J ⊆P finito, se puede hacer a A modelo de J∪Diagel(A). Interpretando a
cada constante nueva como el valor de la variable respectiva en una soluci´on de J enA.
Esto, por el teorema de compacidad nos dice que existe un modelo de
J ∪Diagel(A), por lo cual hay una extesi´on elemental A0 de A tal que para
toda φ(~a, xα1, ..., xαn)∈P (~a es el vector de las constantes de A usadas)
Como la extensi´on es elemental y A es at´omicamente compacta, existe un retracto,h:A0 −→Aque por ser sobre cumple
A|=φ(h(~a), h(cα1), ..., h(cαn)) y al ser retracto, es la identidad en A, entonces
A|=φ(~a, h(cα1), ..., h(cαn)) .
3.3.
Una topolog´ıa compacta para
estructuras at´
omicamente compactas
Uno puede darle a cada potencia de una estructura at´omicamente com-pacta A, una topolog´ıa compacta que en general no es de Hausdorff, y la compacidad de este espacio implica la compacidad bajo f´ormulas que sean conjunciones infinitarias de disyunciones finitas de f´ormulas at´omicas.
Sea A una L-estructura y κ un cardinal cualquiera. se puede definir una topolog´ıa τAκ en Aκ de la siguiente manera. Fijamos un vector de variables
~
x={xi}i∈κ y para cadaφ f´ormula at´omica con constantes enA, si sus
varia-bles libres est´en entre las entradas de~x, definimosVφ:={~a ∈Aκ :A|=φ(~a)}
y se tiene que {Vφ :φ es at´omica con constantes en A}, es una sub base de
cerrados para una topolog´ıa. Para mostrar esto, basta ver por ejemplo que para cada ~a ∈ Aκ se tiene que A 6|= φ(~a) con φ := x0 = a donde a ∈ A es
cualquier elemento diferente de~a0. DefinimosτAκcomo el generado por dicha sub base de cerrados.
Para cada α ∈ κ sea πα : Aκ −→ A la proyecci´on en la α-´esima
coorde-nada. Para ver que es continua basta ver que la pre imagen de un sub´asico cerrado es cerrada. Sea φ(x) una f´ormula en una variable libre (si φ es una sentencia entonces su conjunto de verdad es todoAo es vac´ıo y en todo caso claramente la preimagen bajoπα es un cerrado). Entonces πα−1(Vφ) es el
con-junto de verdad en Aκ deφ(xα), es decir de la f´ormulaφ pero construida con
la variable xα en vez de x. Esto muestra que si dotamosAκ con la topolog´ıa
fina.
Si exigimos que A sea at´omicamente compacta, usando la versi´on para cerrados del teorema de la sub base de Alexander, se tiene por definici´on de at´omicamente compacta que cada κ cardinal, (Aκ,τ
Aκ) es un espacio com-pacto. Este espacio, sin embargo no es Hausdorff en general pero si es T1 ya
que para cada a ∈ A se tiene que {a} = Vx0=a. Con lo cual los puntos son
cerrados. Note que la topolog´ıa de cerrados de este espacio es el conjunto de intersecciones infinitas de uniones finitas conjuntos de verdad de f´ormulas at´omicas, lo cual implica que conjunto de verdad de una f´ormulas infinitaria de la forma
^
i∈I j=n
_
j=1
φij
donde cada φij es una f´ormula at´omica, es un cerrado deτAκ.
De lo cual se sigue inmediatamente el siguiente lema.
Lema 3.3.1. Si A es at´omicamente compactaentonces dado un conjunto de disyunciones infinitarias de conjunciones finitas de LA f´ormulas at´omicas es finitamente satisfactible en A, entonces es satisfactible en A.
Es f´acil ver por ejemplo que la diagonal de A como subconjunto de A2
es un cerrado de hecho sub-b´asico en τA2 pero dado que en general τA no
es Hausdorff, la diagonal no es un cerrado en A2 con la topolog´ıa producto.
Y esto mismo pasa para todas las relaciones, si R es un s´ımbolo de relacion
n-aria, entonces RA es un cerrado deτ
An, pero generalmente no lo es en An con la topolog´ıa producto de τA.
Estos hechos muestran que la noci´on de compacidad at´omica es mucho mas fuerte de lo que uno en principio creer´ıa.
Cap´ıtulo 4
L´ımites Inversos y Estructuras
Profinitas
4.1.
L´ımites inversos
Un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) se dice dirigido si para cual-quier par de elementos i, j en P existek ∈P tal que i≤k y j ≤k. Es f´acil ver por inducci´on que si (P,≤) es dirigido y J ⊆ P es finito, etonces existe
i∈P tal que j ≤i para todoj ∈J.
Dado un orden parcial dirigido (P,≤) y una categor´ıa C, un sistema inverso de C sobre P es un conjunto de objetos de C indexados por P, {Mi : i ∈ P} junto con un momorfismo fij : Mi −→ Mj para cada j ≤ i
en P, de tal manera que si j ≤ i ≤ k, fkj es la composici´on de fki con
fij y para todo i ∈ P, fii = idMi. Un sistema de este tipo se nota as´ı: M=< Mi,{fji, i≤j}>i∈P.
Un co-cono sobreMes un objeto deC M junto con morfismospi :M −→
Mi para cada i∈P de tal forma que si i≤j, fji◦pj =pi.
Un co-cono (M,{pi}i∈P) es (isomorfo a) el l´ımite inverso de M(notaci´on
M = l´ım
← M) si para cualquier co-cono sobreM(M 0,{p0
i}i∈P) existe un ´unico
morfismo ρ :M0 −→M tal que para todoi∈P, pi◦ρ=p0i.
Si (M,{pi}i∈P) y (M0,{p0i}i∈P) son l´ımites inversos de M existe una ´unica
ρ : M0 −→ M tal que para cada i ∈ P, pi ◦ρ = p0i y exste π : M −→ M0
tal que p0i ◦π = pi. Luego se tiene que ρ◦π◦pi =pi para cada i∈ P pero
la identidad en M cumple tambi´en que para cada i ∈ P idM ◦pi = pi y
como M es un cono y es el l´ımite inverso usando la unicidad de idM en la
definici´on de l´ımite inverso se tiene queρ◦π =idM. Similarmente se muestra
queπ◦ρ=id0M. Con lo cualρy π son homomorfismos mutuamente inversos y por lo tanto M y M0 son isomorfas.
Si K es una clase de L-estructuras cerrada bajo productos y subestruc-turas. Y considereamos la categor´ıa deK junto con losL-homomorfismos, se tiene que
l´ım
← M=L:={X ∈
Y
i∈P
Mi :∀i≤j, fji(X(j)) =X(i)}
con las operaciones y relaciones heredadas deQ
i∈P Miy junto con los
morfis-mosρi dados por la composici´on de la inclusi´on en
Q
i∈P Micon la proyecci´on
en cada Mi, a estas proyecciones se les llama πi, es decir si llamamos i a la
inclusi´on de L en el producto, ρi :=πi◦i.
Para probar esta ´ultima afirmaci´on notemos primero que (L,{ρi}i∈P) es
un co-cono sobre M dada la definici´on de L. Para probar que L cumple la propiedad universal, si suponemos que (M,{pi}i∈P) es un co-cono sobre M,
podemos definir Φ : M −→ Q
i∈PMi dada por Φ(m)(i) = pi(m) para cada
m ∈My cadai∈P. Que Φ es homomorfismo es claro a partir de la definici´on de la estructura producto y de que cada pi es homomorfismo. Veamos ahora
que Φ(M)⊆ L. Es decir que para todom∈M, Φ(m)∈ L. Esto significa que para cualquier par de elementos de P, i, j si i≤ j, fji(Φ(m)(j)) = Φ(m)(i).
Lo cual es equivalente a fij(pj(m)) = pi(m) y esto claramente se sigue del
hecho de que (M,{pi}i∈P) es un co-cono sobre M. Adem´as es claro de la
definici´on de Φ que para cada i ∈ P, se tiene que pi ◦Φ = ρi. La unicidad
de dicha Φ es clara, Supongamos Φ0 : M −→ L homomorfismo tal que para cada i∈P, ρ◦Φ0 =pi esto es, para cadam ∈M, Φ0(m)(i) = pi(m), es decir
Φ = Φ0.
Note queL es una subestructura del producto de las Mi porque si h∈L
es un s´ımbolo de funci´on n-aria (n >0), y tomamosX1, ..., Xn elementos de
h(fij(X1(i)), ..., fij(Xn(i))) = h(X1(j), ..., Xn(j)) = h(X1, ..., Xn)(j) donde
la primera y la ´ultima gualdad se dan por la definici´on del producto, la se-gunda porque fij es homomorfismo y la tercera porque los Xi est´an en L.
Y si c ∈ L es un s´ımbolo de constante, como para todo par i ≤ j en P,
fji(cMj) =cMi se tiene que (cMi)i∈P ∈ L.
Esta construcci´on tambie´n funciona en el para espacios topol´ogicos, to-mando como morfismos las funciones continuas. En este caso si I es un conjunto parcialmente ordenado hXi,{fji : i ≤ j}i es un sistema inverso
sobre I, es decir, cada fji : Xj −→ Xi es una funci´on continua. Se define
L = l´ım
← hXi,{fji : i ≤ j}i como el subespacio del producto de las tuplas
coherentes, tal cual como en L-estructuras. Note que la topolog´ıa enL tiene como sub-base {π−i 1(U) :i∈I y U es abierto enXi}. D´ondeπi es la
proyec-ci´on en la i-´esima coordenada.
Ahora, si tenemos que cada Mi es una L-estructura compacta de
Haus-dorff y exigimos que todos los homomorfismos considerados en el sistema inverso sean continuos, se le puede dar a Q
i∈P Mi la topolog´ıa producto.
Con esta topolog´ıa, es una estructura topol´ogica de Haudorff ya que las ope-raciones son continuas dado que una base para Q
i∈PMi son los abiertos de
la forma U = Q
i∈P Ui donde cada Ui es un abierto que est´a contenido en
Mi y s´olo para fnitos i0s, digamos i0, ..., in, la contentencia es propia.
Aho-ra Q
i∈P Mi \U =
Sk=n
k=0(Mik \Uik ×
Q
j6=ikMj) un abierto en
Q
i∈PMi. Si
h ∈ L es s´ımbolo de funci´on n-aria y tomamos la preimagen de un b´ asi-co, h−1(Q
i∈PUi) =
Q
i∈P(hMi)
−1(U
i) pues dado (X1, ..., Xn) ∈
Q
i∈P Min,
(X1, ..., Xn) ∈ h−1(
Q
i∈PUi) si y s´olo si para todo i ∈ P, h(X1, ..., Xn)(i) =
h(X1(i), ..., Xn(i)) pertenece a Ui lo es equivalente a que para cada i ∈ P,
(X1(i), ..., Xn(i))∈ (hMi)−1 como se quer´ıa. Para ver que las relaciones son
cerradas,se tiene que = es un cerrado deL2al serHausdorff , seaR ∈Luna
relaci´onn-aria, entonces paraX = (X1, ..., EXn) un elemento deLn, se tiene
queX ∈RLsi y s´olo si (πi(X1), ..., πi(Xn))∈RMi, es decir, si para cadai∈P
definimosπi0 :Ln−→ Mn
i dada porπi0(X1, ..., Xn) = (πi(X1), ..., πi(Xn)) una
funci´on continua, tenemos que RL = T
i∈P π
0−1
i (RMi) que es cerrado al ser
Es un sub espacio cerrado deQ
i∈P Mi ya que
L =\
i≤j
Cji
D´onde para cada k≤j elementos de P,
Cjk ={X ∈
Y
i∈P
Mi :fjk(X(j)) =X(k)}
pero a su vez
{X ∈Y
i∈P
Mi :fjk(X(j)) =X(k)}={X ∈
Y
i∈P
Mi :fjk ◦πj(X) = πi(X)}
es decir el conjunto donde se igualan dos funciones continuas, y dado que
Q
i∈P Mi es Hausdorff al ser producto de Hausdorff, cada Cjk es cerrado con
lo que L es cerrado y por tanto compacto al ser Q
i∈PMi compacto (esto
´
ultimo se tiene por Tychonoff).
Por todo esto tenemos queLes unaL-estrcutura compacta de Hausdorff.
En esta situaci´on, si cada Mi es no vac´ıa, entonces l´ım
← M 6=∅. Para ver
esto, como el producto de las Mi es compacto, basta notar que C := {Cji :
i≤j}tiene la propiedad de las intersecciones finitas ya que es un conjunto de cerrados en un compacto tal que l´ım
← M=
\
C. SupongamosCj1i1, ..., Cjn,in finitos elementos en C. Como P es dirigido, existe j ∈ P tal que es mayor o igual a cada jk, para k ∈ {1, ..., n}. Ahora seax ∈Mj, entonces considere
una tupla
Y ∈Y
i∈P
Mi
tal queY(j) =xy para cadak ∈ {1, ..., n},Y(ik) = fjik(x) yY(jk) =fjjk(x). Evidentemente dicha tupla existe, y pertenece a
n
\
k=1
Cjkik
Esto sumado a que C es un conjunto de cerrados en un compacto, implica
T
C 6=∅.
Lema 4.1.1. Sea (P,≤) un orden parcial dirigido y
M=< Mi,{fji :i≤J}>i∈P
un sistema inverso de L-estructuras compactas de Hausdorff donde cada fji
es un homomorfismo continuo. Entonces si llamamos (M,{πi : i ∈ P}) al
l´ımite inverso de M, tenemos que Si cada fij, para j ≤ i es sobre Mj,
entonces para todo k ∈P, πk es sobre Mk.
Demostraci´on. Fijemos k ∈P, para ver que πk es sobre, basta ver que para
cada x ∈ Mk, existe X ∈ M tal que X(k) = x. Note que un X es tal, si y
s´olo si
X ∈π−k1(x)∩M
Pero es claro que
M = \
I∈[P]<ω
DI
Donde [P]<ω denota el conjunto de los subconjuntos finitos de P. Y para
cadaI ∈[P]<ω DI es el conjunto de losX, elementos de
Q
Mi tales que para
todos i≤j ∈I, fji(X(j)) =X(i).
Adem´as es f´acil de ver que cada DI es cerrado al ser intersecci´on de los
Cji con i≤ j elementos de I. Esto implica que πk−1(x)∩DI es cerrado para
cada I ⊆P finito. Pues {x} es cerrado y πk continua.
Con lo cual, dada la compacidad de Q
Mi, basta ver que para cadaJ ⊆
[P]<ω finito, existe
Y ∈ \
I∈J
πk−1(x)∩DI
Lo cual es claramente equivalente a que exista Y ∈ πk−1(x)∩DI para todo
I ⊆P finito. Tomando I =S J.
Para ver esto, seaI ∈[P]<ωy seai∈P mayor o igual a cada elemento de
I∩ {k}. Tome una preimagen dexbajofik digamosy, y considereY ∈
Q Mi
tal que para cada j ∈I∩ {k}, Y(i) =fij(y). Claramente existe unaY as´ı y
pertenece a
πk−1(x)∩DI
Lema 4.1.2. Sean A y B L-estructuras y B topol´ogica. Si f : A −→ B
es un homomorfismo de imagen densa, para toda φ L-f´ormula positiva y
a1, ..., an elementos de A tales que A |= φ(a1, ..., an), se tiene que B |=
φ(f(a1), ..., f(an))
Demostraci´on. Por inducci´on en la complejidad deφ. Los pasos∨,∧y ∃son triviales. Para ver el ∀, suponga φ(a1, ..., an) de la forma ∀x(ψ(x, a1, ..., an))
donde para ψ se tiene el resultado, ahora como se not´o,
{y∈B:B|=ψ(y, f(a1), ..., f(an))}
es un cerrado en B. Adem´as es denso pues claramente contiene a la imagen de f.
4.2.
Estructuras Profinitas y l´ımites inversos
de estructuras compactas
A una estructura que es (isomorfa a) un l´ımite inverso de estructuras fi-nitas, con los homomorfismos de L-estructuras, se le llama profinita.
Para cadaL-estructura topol´ogica (A,τ) sea
Congτ(A) ={θ ∈Cong(A) :∀a∈A, aθ ∈τ}
Veamos que si L = l´ım
← M, d´onde Mes un sistema inversamente dirigido de
estructuras finitas, entonces para cada Y ∈ L, {Yθ : θ ∈ Congτ(L)} es una
base para local de Y. SupongamosX ∈ L y U una vecindad b´asica de X en
Q
i∈P Mi digamosU =mi0×...×min×
Q
i /∈{i0,...,in}Mi d´onde mij ∈Mij para todo j ∈ {0, ..., n},.
Considere h : L −→ Qj=n
j=0Mij dado por h(Y) = (Y(i0), ..., Y(in)) pa-ra cada Y ∈ L que claramente es un homomorfismo de L-estructuras. Sea
ker(h) := {(Y, Z)∈ L2|h(Y) = h(Z)} que es una congruencia.
Veamos ahora que ker(h)∈Congτ(L). Sea Y ∈ L entonces
Yker(h) ={Z ∈ L:Z(ij) = Y(ij)∀j ∈ {0, ..., n}}
pero a su vez
{Z ∈ L:Z(ij) = Y(ij)∀j ∈ {0, ..., n}}=Y(i0)×...×Y(in)×
Y
i /∈{i0,...,in}
que es un abierto enL. Ahora claramenteX ∈Xker(h) y tambi´en es evidente
que Xker(h)⊆U ∩ L.
Estas propiedades topol´ogicas de las estrucutras profinitas premiten ca-racterizarlas completamente como lo muestra el siguiente lema, una versi´on equivalente que usa uniformidades es presentada por Mariano y Miraglia en [MM].
Teorema 4.2.1. Sea(A,τ)una estructura topol´ogica, entoncesAes profinita si y s´olo si A es compacta de Hausdorff y para todo a ∈ A, {aθ : θ ∈
Congτ(A)} es una base local para a en A.
Demostraci´on. Acabamos de probar el “s´olo si”del lema.
Veamos el “si”, sea A una estructura topol´ogica compacta de Hausdorff tal que para todo a ∈ A, ∆a := {a
θ|θ ∈ Congτ(A)} es una base local para
a. Note que si θ ∈ Congτ(A) entonces A/θ es un recubrimiento de A por
abiertos disjuntos, por lo cual no tiene sub recubrimientos propios y como
A es compacta forzosamente A/θ es finito. Podemos considerar a Congτ(A)
parcialmente ordenado con la contentencia inversa. Es dirgido pues si θ1 y
θ2 son elementos deCongτ(A) entonces θ1∩θ2 ∈Congτ(A), pues para cada
a ∈ A, a/θ1∩θ2 = a/θ1 ∩/θ2 que es un abierto al ser intersecci´on de dos
abiertos. Por inducci´on se sigue inmediatamente que Congτ(A) es cerrado
bajo intersecciones finitas.
Ahora, siθ1 yθ2 son elementos deCongτ(A) con θ1 ⊆θ2 podemos definir
fθ1θ2 : A/θ1 −→ A/θ2 dada por fθ1θ2(a/θ1) = a/θ2 que est´a bien definido
porque si dos elementos se relacionan seg´un θ1 tamb´en se relacionan seg´un
θ2. Adem´as es un homomorfismo ya que las relaciones y las operaciones en
la estructura cociente se definen por representantes.
Con esto tenemos que M:=<A/θ >θ∈Congτ(A) es un sistema inverso so-bre Congτ(A). Sea ( ˆA,{pθ}θ∈∆A) = l´ım← A/θ que es una estructura profinita. Veamos que A y ˆA son isomorfas como estrucuras y homeomorfos como es-pacios topol´ogicos. Es claro que A junto con las proyecciones naturales en cada cociente pθ es un co-cono sobre M. Sea φ : A −→ Aˆ el
φ(a) = (aθ)θ∈ Congτ(A) ya que claramente para todos θ1 ⊆ θ2 elementos de
Congτ(A) se tiene quefθ1θ2◦pθ1 =pθ2, y adem´asφ es un homomorfismo pues
si f y R son elementos de L que son respectivamente un s´ımbolo de funci´on
n-aria y s´ımbolo de relaci´onm-aria ya1, ..., an, b1, ..., bm son elementos deA,
φ(hA(a
1, ..., an)) = (hA(a1, ...,1n)θ)θ∈Congτ(A) = (h A/θ((a
1)θ, ...,(an)θ)θ∈∆A =
hAˆ(φ(a
1), ..., φ(an)). Adem´as si (b1, ..., bm) ∈ RA, entonces para todo θ ∈
Congτ(A), ((b1)θ, ...,(bm)θ)∈RA/θ con lo cual (((b1)θ)θ∈∆A, ...,((bm)θ)θ∈∆A)∈
RAˆ.
Veamos ahora queφes un isomorfismo de L-estructuras y un homeomor-fismo de espacios topol´ogicos. Para ver que es sobreyectivo sea ((aθ)
θ)θ∈Congτ(A) ∈ ˆ
A d´onde cada aθ es un elemento de A. Es claro que si θ ∈ Cong
τ(A) como
para cada a ∈ A, A\aθ =
S
x∈A\aθ que es una uni´on de abiertos. Es decir cada (aθ)θ es un cerrado enA. Ahora si θ1, ..., θn son elementos deCongτ(A)
seaθ :=Ti=n
i=1θi. Como ((a
θ)
θ)θ∈∆A ∈Aˆ se tiene que para todo i∈ {1, ..., n},
fθθi(((a
θ)
θ)θ∈Congτ(A)) = a
θi
θi, es decir a
θ ∈ aθi
θi con lo cual se muestra que
A :={(aθ)θ|θ ∈ ∆A} es un conjunto de cerrados con la propiedad de
inter-secciones finitas, y dado que A es compacto se tiene que existe a ∈ T A y ahora de las definiciones de A y de φ es inmediato concluir que
φ(a) = (aθ)θ∈Congτ(A) = ((a
θ)
θ)θ∈Congτ(A)
lo que muestra la sobreyectividad de φ. Para ver la inyectividad supongaa y
b elementos diferentes en A, como A es Hausdorff existen U y V vecindades abiertas deaybrespectivamente, conU∩V =∅. Por la condici´on de que para cadax∈A,{xθ|θ ∈Congτ(A)}es una base local parax, se tiene que existen
θ1 y θ2 elementos de Congτ(A) tales que aθ1 ⊆U y bθ2 ⊆V, esto implica en
particular que b /∈ aθ1 y como a ∈ aθ1, esto muestra que φ(a) 6= φ(b) como
se quer´ıa. Por esto, φ es un isomorfismo. Ahora, dado que A es compacta y ˆ
A es Hausdorff, para ver que φ es un homeomorfismo basta ver que es una funci´on continua.
Veamos para esto que es continua en cada a ∈ A. Sea Ba = {Q{A/τ :
τ ∈Congτ(A), θ *τ}×Q{{aτ}:τ ∈Congτ(A), θ ⊆τ}∩Aˆ :θ ∈Congτ(A)}.
NoteBa es un conjunto de abiertos en ˆA ya que s´olo finitas congruencias
pueden extender a una de ´ındice finito pues si para θ ∈ Cong(A) se tiene que A/θ es finito y θ⊆τ, para cierta congruenciaτ, entonces |A/τ| ≤ |A/θ|
y ya hab´ıamos visto que las congruencias en Congτ(A) son de ´ındice finito.
Adem´as calramente φ(a) ∈ U para todo u ∈ Ba. Veamos que Ba es base
local de φ(a). Es claro que una base local en φ(a) es Da := {Q{A/τ : τ /∈
J} ×Q
{{aτ} : τ ∈ J} ∩Aˆ : J ⊆ Congτ(A) finito}. Pero Ba = Da d´onde
“ ⊆ ” se tiene porque s´olo hay finitas congruencias que extiendan a una en
Congτ(A) y “ ⊇ ” se da ya que si J es un subconjunto finito de Congτ(A)
entonces θ := T
J ∈ Congτ(A) con lo cual
Q
{A/τ : τ ∈ Congτ(A) y θ *
τ} ×Q{{
aτ} : τ ∈Congτ(A) y θ ⊆ τ} ∩Aˆ =Q{A/τ : τ /∈J} ×Q{{aτ} :
τ ∈J} ∩Aˆ. Lo que muestra la igualdad entre Da y Ba y por tanto tenemos
que Ba es base local de φ(a). Por lo tanto para mostrar la continuidad de
φ basta notar que si θ ∈ Congτ(A) entonces φ−1(Q{A/τ : τ ∈ Congτ(A) y
θ *τ} ×Q
{{aτ}:τ ∈Congτ(A) y θ ⊆τ} ∩Aˆ) ={x∈A:∀τ ∈Congτ(A),
si θ ⊆τ entonces (x, a)∈τ}=aθ que es un abierto en A lo cual termina la
prueba.
Este teorema generaliza un resultado presentado en por ejemplo en [JL]. Aqu´ı se prueba que un grupo topol´ogico es profinito si y s´olo si el conjunto de sus subgrupos normales que son abiertos, forma una base local de la iden-tidad.
Note que el teorema anterior, junto con el Lema 3.2.4. muestra que las estructuras profinitas son inyectivas puras. Esto es demostrado en [MM] usando el teorema enunciado a continuaci´on, probado por Mariano y Miraglia en [MM2], y el hecho de que las estructuras finitas son inyectivas, lo cual se tiene inmediatamente de de que cualquier estructura finita es at´omicamente compacta.
Es f´acil ver que si P es un orden parcial dirigido, entonces existe un ultrafiltro U sobre P tal que para cada j ∈ P, [j) = {i ∈ P : j ≤ i} pertenece aU. A un ultrafiltro as´ı se le llama un ultrafiltro dirigido sobreP. El siguiente es un resultado de Mariano y Miraglia probado en [MM2].
Teorema 4.2.2. Sea P un orden parcial dirigido,
M=hAi,{fji:i≤j}i
dirigido sobre P. Entonces si definimos
h: l´ım
← M −→
Y
i∈P
Ai/U
dado por la restricci´on de la proyecci´on natural del producto de las Ai en el
ultraproducto, existe una retracci´on de h.
Demostraci´on. En [Mariano M.2] se prueba dando una retracci´on expl´ıcita. Para una prueba alterna, dado que las profinitas son en particular at´ omica-mente compactas, basta ver que hes puro. Este ´ultimo hecho es garantizado por el siguiente teorema.
Teorema 4.2.3. Sea P un orden parcial dirigido,
M=hAi,{fji:i≤j}i
un sistema inversamente dirigido de L-estructuras compactas de Hausdorff, (se asume cada fji continuo) yU un ultrafiltro dirigido sobre P. Entonces si
definimos
h: l´ım
← M −→
Y
i∈P
Ai/U
dado por la restricci´on de la proyecci´on natural del producto de las Ai en el
ultraproducto, es decir h(Y) =Y /U, este h es puro.
Demostraci´on. Primero miremos queh es inyectivo. Suponga dos elementos de M, digamos Y y Y0 tales que Y /U = Y0/U. Como U es dirigido, para cada j ∈P existei≥j tal queY(i) =Y0(i). Es decir un j en la intersecci´on de [j) con {i:Y(i) = Y0(i)}. Ahora,
Y(j) = fij(Y(i)) =fij(Y0(i)) =Y0(j)
Donde la primera y la ´ultima igualdad se dan por la coherencia en las coor-denadas de Y y de Y0. Con lo cualY =Y0.
Adem´as es un homomorfismo de subestructura pues si φ es L-f´ormula at´omica tal que
l´ım
con Yi elementos de l´ım
← M. Entonces para cada i∈P
Mi |=φ(Y1(i), ..., Yn(i))
lo cual por Los implica que
Y
Mi/U |=φ(Y1/U, ..., Yn/U)
Ahora si
l´ım
← M 6|=φ(Y1, ..., Yn)
entonces existe un j ∈ P tal que Mj |=¬φ(Y1(j), ..., Yn(j)) con lo cual para
todo i ∈ P mayor o igual a j se tiene que Mi |= ¬φ(Y1(i), ..., Yn(i)) y como
U es dirigido, esto implica
Y
Mi/U |=¬φ(Y1, ..., Yn)
Ahora veamos queh es puro. Para cada I ⊆P finito, sea DI como en la
demostraci´on del Lema 4.1.1. Supongaφ positiva tal que
Y
Mi/U |=φ(Y1/U, ..., Yn/U, X)
con cada Yi ∈l´ım
← M. Para cualquier J ⊆P finito, sea
EJ :={X ∈DJ :∀j ∈J(Mj |=φ(Y1(j), ..., Yn(j), X(j))}
es un cerrado en Q
Mi. Ya que el conjunto de verdad de una LA-f’ormula positiva es cerrado. Y por otro lado no es vac´ıo, ya que
S ={i≥J :P |=φ((Y1(i), ..., Yn(i), X(i)))} ∈U
Aqu´ıi ≥ J significa que i es mayor o igual que todo elemento de J. Luego tomando i∈S y para cadak entre 1 ym,Xk0(j) =fij(X(i)) paraj ∈J y de
resto arbitrario se tiene X0 ∈EJ. Adem´as la familia de EJ tal que J ⊆f in P
tiene propiedad de intersecciones finitas pues EJ1 ∩...∩EJn = ESJi. Por compacidad del producto de los Mi tenemos que
{X ∈l´ım
← M: l´ım← M |=φ(Y1, ..., Yn, X)}=
\
I⊆f inP
EI 6=∅
Corolario 4.2.4. Si φ(~x) yθ(~x) son libres de cuantificadores y
M=<Ai,{fji :i≤j}>
un sistema inversamente dirigido de L-estructuras compactas de Hausdorff, tal que cada fji es continuo y sobreyectivo, entonces si para cada i ∈ P,
Ai |=∀~x(φ(~x)→θ(~x)), entonces
l´ım
← M |=∀~x(φ(~x)→θ(~x))
Demostraci´on. Supongamos por facilidad en la notaci´on que~x es un vector de una sola variable. En caso de que sean m´as, la prueba es id´entica. Si para cierta tupla Y ∈ l´ım
← M se tiene que l´ım← M |= φ(Y), entonces para
cada i ∈ P, Ai |= φ(Y(i)), ya que las proyecciones son homomorfismos
sobreyectivos por el Lema 4.2.0.,Ai |=θ(ai). Ahora por el teorema de Los,
Y
i∈P
Ai/U |=θ((ai)i∈P/U).
Pero como h es retraible, esto implica que l´ım
← M |=θ((ai)i∈P)
El teorema anterior tiene otro corolario que generaliza el resultado de Mariano y Miraglia.
Corolario 4.2.5. Sea
M=hAi,{fji:i≤j}i
un sistema inversamente dirigido deL-estructuras compactas de Hausdorff(cada
fij contino), entonces l´ım
← Mes un retracto de un ultraproducto de las Ai.
Demostraci´on. Ya se mostr´o que los l´ımites inversos de estructuras compac-tas de Hausdorff son compactos de Hausdorff y por tanto son at´omicamente compactos. Esto implica que son retractos de cualquier inyecci´on pura. Esto sumado al Teorema 4.2.3. termina la prueba.
Cap´ıtulo 5
Envolvente profinita
5.1.
Definici´
on y propiedades de la
Envolven-te Profinita
A continuaci´on presentaremos una aplicaci´on de los l´ımites inversos de estructuras finitas, la envolvente profinita. Esta construcci´on proviene origi-nalmente del ´Algebra Universal, pero se puede generalizar facilmente para cualquier tipo de estructuras.
Para este cap´ıtulo trabajaremos con una clase deL-estructurasK que sea cerrada bajo productos, subestructuras y bajo im´agenes de homomorfismos fuertes.
DadaA∈K una L-estructura, definimos
DA:={θ ∈Cong(θ) :|A/θ|< ω}.
Es decir, el conjunto de todas las congruencias de A de ´ındice finito. Por la condici´on de clausura deK, cadaA/θpertenece a K. Podemos considerear a
DA parcialmente ordenado por inclusi´on inversa. Con este orden es un orden dirigido ya que si θ1 y θ2 son elementos de DA entonces θ1 ∩θ2 ∈ DA. Ya
que la intersecci´on claramente es una congruencia al ser la intersecci´on de dos subestructuras de A2, y es claro que la intersecci´on de dos relaciones de
equivalencia es relaci´on de equivalencia. Para ver que θ1 ∩ θ2 es de ´ındice
finito note de
definido por
g(aθ1∩θ2) = (aθ1, aθ2)
es una funci´on bien definida que adem´as es una inyecci´on.
Ahora definimos el sistema inverso sobreDA dado por
hA/θ,{fτ θ :θ ⊆τ}i.
Donde si θ ⊆τ son elementos de DA definimos fθτ :A/θ −→A/τ dado por
fθτ(aθ) =aτ. El cual est´a bien definido puesθ ⊆τ. Adem´as por la definici´on
de la estructura cociente se tiene que es un homomorfismo fuerte.
Sea ( ˆA,{pθ :θ ∈DA}) el l´ımite inverso dehA/θ,{fτ θ :θ ⊆τ}iθ∈DA junto con los homomorfismos que lo hacen un co-cono sobre dicho sistema. Es cla-ro que Ajunto con las proyecciones naturales πθ en cadaA/θ es un co-cono
sobre el sistema inverso descrito. Por lo cual de la propiedad universal de los l´ımites inversos, existe un ´unico homomorfismo Φ : A −→ Aˆ tal que para todoθ ∈DApθ◦Φ =πθ. Es f´acil ver que Φ est´a dado por Φ(a)(θ) =aθ para
cada a∈A y cada θ ∈DA.
Adem´as se tiene que Φ es fuerte ya que si R es un s´ımbolo de relaci´on
n-aria y a1, ..., an son elementos de A tales que (Φ(a1), ...,Φ(an)) ∈ RB lo
cual implica en particular que ((a1)A2, ...,(an)A2)∈(R)A/A 2
ya queA2 es una
congruenca de ´ındice finito y c´omo por defnici´on la proyecci´on natural de A
enA/A2 es fuerte, existenb
1, ..., bn elementos de Atales que (b1, ...bn)∈RA.
Es conveniente notar tambi´en que Φ(A) es denso en ˆA. Para esto sea
~a = ((aθ)
θ)θ∈DA un elemento de ˆA (d´onde cada a
θ pertenece a A) y U un
abierto b´asico a su alrededor. Digamos que U = Q
θ∈J{(a θ)
θ} ×
Q
θ /∈JA/θ.
ConJ ⊆DAfinito. Entoncesτ :=
T
J pertenece aDA, con lo cual al pertene-cer~a a ˆA, se tiene que para todoθ ∈J, (aτ)
θ = (aθ)θ, por lo que Φ(aτ)∈U.
Ya hab´ıamos notado que el l´ımite inverso de estructuras topol´ogicas com-pactas es un cerrado en la topolog´ıa producto. Esto muestra entonces que
ˆ
A= Φ(A). Esto implica en particular que las f´ormulas positivas se preservan bajo Φ.
Teorema 5.1.1. El par ( ˆA,Φ) cumple la siguiente propiedad universal res-pecto a estructuras finitas deK (dotadas con la topolog´ıa discreta): siB∈K
es una L-estructura finita, y φ : A −→ B es un homomorfismo, entonces existe un ´unico ψ : ˆA−→B homomorfismo continuo tal que φ =ψ◦Φ.
Esto implica que cumple esta m´as general respecto a estructuras profinitas. Si B ∈ K es profinita (obtenida como l´ımite inverso de estructuras finitas en K) y φ : A −→ B es un homomorfismo, existe un ´unico ψ : ˆA −→ B
homomorfismo continuo, tal que φ =ψ◦Φ.
Demostraci´on. Para probar la existencia, sea B0 la L-estructura cuyo uni-verso es el mismo de B (B) y en la cual los s´ımbolos de funci´on se interpre-tan como en B y para cada R s´ımbolo de relaci´on n-aria se define RB0 = {(φ(a1), ..., φ(an)) ∈ Bn : ∃(b1, ..., bn) ∈ An,(b1, ..., bn) ∈ RA ∧ ∀i(φ(ai) =
φ(bi))}.
Luego, por definici´on de B0, φ es un homomorfismo fuerte de A en B0. Ahora, si vemos la imagen de φ, im(φ), como una sub-estructura finita de B0, esta pertenece a K pues la clase es cerrada bajo im´agenes por ho-momorfismos fuertes, y por el Lema 2.0.2., existe un ´unico isomorfismo
ι : A/ker(φ) −→ im(φ) tal que ι◦π =φ, donde π es la proyecci´on natural de Aen A/ker(φ).
En particular, esto implica que ker(φ) es de ´ındice finito, con lo cual se puede tomar ψ := ι◦pker(φ) que cumple la propiedad pues si a ∈ A es un
elemento cualquiera, entonces ψ(Φ(a)) =ι(aker(φ)) = ι(π(a)) que por la
pro-piedad de conmutatividad de ι, es igual a φ(a).
Para la unicidad si ψ0 : ˆA −→ B homomorfismo continuo tal que φ =
ψ0◦Φ, entoncesψ yψ0 coinciden en Φ(A) que es un subconjunto denso de ˆA. Esto sumado al hecho de queψ yψ0 son continuos yBes Hausdorff, muestra que ψ =ψ0.
Para ver que cumple la propiedad universal respecto a profinitas. Supon-gamos en esta situaci´on que
(B,{ρi :A−→Bi :i∈I}) = l´ım
← M
dondeMes un sistema inversamente dirigido de estructuras finitas, digamos
conI un orden parcial dirigido y cadaρi es un homomorfismo. Entonces para
cada homomorfismo φ : A −→ B, (A,{ρi ◦φ : i ∈ I}) es un co-cono sobre
M, pues sii≤j son elementos de I, entonces
fji◦(ρj ◦φ) = (fji◦ρj)◦φ = (fji◦ρj)◦φ=ρi◦φ
dado que (B,{ρi : A −→ Bi : i ∈ I}) es un co-cono sobre M. Esta es una
propiedad universal en la categor´ıa de las estructuras profinitas en el sentido de que si (A0,Φ0) la cumple, entonces existe π : ˆA −→ A0 isomorfismo y homeomorfismo, el cual es un hecho f´acil de ver usando la propedad universal deA0 para ˆAy viceversa, se obtienen homomorfismos continuosπ: ˆA−→A0
y π :A0 −→Aˆ que, debido a la unicidad de la identidad en A0 y en ˆA dada por la propiedad universal, son mutuamente inversos.
A ˆAse le llama la envolvente profinita deAsi Φ es inyectiva, lo cual pasa si y s´olo si para cualquier para, bde elementos deAdiferentes, existe θ∈DA tal que (a, b)∈/θ.
En algunas clases de estructuras esta ´ultima condici´on se puede garanti-zar como se ver´a en los siguientes cap´ıtulos.
5.2.
Ejemplos
EjemploUn caso importante en el que se usa la envolvente profinita, es en la teor´ıa de Galois infinita. Sea F ≤ L una extensi´on algebraica de campos de dimensi´on infinita, entonces el grupo de Galois G(L/F) se define como el l´ımite inverso de los grupos G(K/F), y F ≤ K ≤ L con [K : F] finita. Considerando para cada K ⊆ K0 extensiones finitas de F contenidas en L, el morfismo ηK0,K : G(K0/F) −→ G(K/F) dado por la restricci´on. De esta
manera se obtiene un sistema inversamente dirigido pues si K, K0 son exten-siones finitas de F contenidas en L, entonces se puede generar la extensi´on m´ınima que contiene a K y a K0 llamada K ∨K0 que es claramente finita sobre K.
Es f´acil ver que G(K/F) ∼= AutG(L/K(L/F)) de manera que G(L/F) es precisa-mente la envolvente profinita deAut(L/F) (los automorfismos deLque fijan
F). Para ver que se tiene una inyecci´on hay que verificar que los morfismo na-turales Aut(L/F) −→ηK G(K/F) dados por las restricciones, separan puntos. Esto se tiene ya que si f, g son elementos diferentes de Aut(L/F) entonces existe x∈L\F tal que f(x)6=g(x) con lo cualηF(x)(f)6=ηF(x)(g).
Ahora presentaremos otro ejemplo en el que la envolvente profinita existe y es conocida.
Ejemplo (Tomado de [Guram]). Si F es un campo finito, los espacios vectoriales sobre F se pueden ver como una L-estructura tomando L = {+,−,0} ∪ {ha : a ∈ F} d´onde + y − son s´ımbolos de funciones binario
y unario respectivamente, y para cada a ∈ F, ha es un s´ımbolo de funci´on
unario. Dado un espacio vectorial V sobre F, podemos verlo como una L
estructura interpretando + y − como las operaciones suma e inverso de V
como grupo abeliano. Para cada a ∈ V definimos hVa(v) = av para todo
v ∈ V. Con este lenguaje, se puede axiomatizar la clase de espacios vecto-riales sobreF, con ecuaciones. Para decir por ejemplo que para todos a, ben el campo y para todo vector x a(bx) = (ab)x, se usa para cada a, b ∈ F la sentencia ∀x(ha(hb(x)) = hab(x)). Ahora bien dado un espacio vectorial V
sobre F, llamamos V∗∗ a su doble dual es decir V∗∗ es el espacio vectorial de transformaciones lineales deV∗ enF donde a su vez V∗ es el conjunto de transformaciones lineales de V enF. Note que hay una funci´on can´onica de
V enV∗∗, que es la evaluaci´on, llamada ev, dada por ev(x)(f) =f(x) para todo x ∈ V y todo f ∈ V∗. Claramente ev es inyectiva pues si v y v0 son elementos deV diferentes, hay dos opciones. Si son linealmente idependientes se puede extender {v, v0} a una base para V y definir f : V −→ F como la extensi´on lineal de la funci´on que env´ıa v a 0 y todos los dem´as elementos de la base a 1, claramente ev(v)(f) 6= ev(v0)(f). Si v y v0 son linealmente dependientes, considere g :V −→ F que env´ıa v a 1. Es obvio entonces que
g(v)6=g(v0) si v y v0 son diferentes.
Es un hecho conocido que si V tiene dimensi´on finita sobre F, entonces
ev es un isomorfismo de F-espacios vectoriales. Veamos que V∗∗ es isomorfo a ˆV. Sea I el conjunto de todos los subespacios W de V tales que V /W es finito, y considere a I ordenado por inclusi´on inversa ⊆∗, claramente (I,⊆∗)
con los n´ucleos de homomorfismos en cocientes, se tiene que
ˆ
V = l´ım
←hV /W,{fU,W :U ⊆W}iW∈I
Tomando para cada U ⊆ W elementos de I, fU,W :V /U −→V /W dado
por fU,W(v +U) = v +W que est´a bien deinido porque U ⊆ W y que es
lineal por la definici´on de espacio cociente.
Ahora, para cada W ∈ I sea πW : V −→ V /W la proyecci´on natural.
Esta induce π∗∗W : V∗∗ −→ (V /W)∗∗ dada por πW∗∗(f)(h) = f(h◦πW) para
toda f ∈ V∗∗ y toda h ∈ (V /W)∗. Claramente es F-lineal. Note que al ser
V /W finito, es de dimensi´on finita por lo tantoevV /W :V /W −→(V /W)∗∗es
isomorfismo. Ahora considereρW :V∗∗−→V /W dado porρW =ev−V /W1 ◦π∗∗W.
Es f´acil ver que (V∗∗,{ρW :W ∈I}) es un co-cono sobre
hV /W,{fU,W :U ⊆W}iW∈I
Es decir, si U ⊆W elementos de I el siguiente diagrama conmuta
V (V /W)∗∗ V /W
(V /U)∗∗ V /U
π∗∗W
π∗∗U
evV /W−1
ev−V /U1
D´onde el mapa considerado de V /U a V /W es fU,W. La conmutatividad
del diagrama se tiene se tiene ya que es conocido que la operaci´on ∗∗ es funtorial en la categor´ıa de F-espacios vectoriales lo cual implica que
V (V /W)∗∗
(V /U)∗∗
π∗∗
W
π∗∗
U
fU,V∗∗
conmuta, y es inmediato
V /W (V /W)∗∗
V /U (V /U)∗∗
evV /W
fU,W
evV /U
f∗∗
