LICEO ARTISTICO
IDONEITÀ V ANNO
MATEMATICA
- Luogo Geometrico
- Cerchio E Circonferenza
- Definizione Di Funzione
- Logaritmo
- Disequazioni Logaritmiche
- Dominio Esponenziale
- Angoli Associati
- Formula Per L'area Di Un Triangolo
- Convertire I Gradi In Radianti E Viceversa
LUOGO GEOMETRICO
Un luogo geometrico è l'insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una certa proprietà; tale può essere espressa sotto forma di equazione o di formula matematica.
Inoltre si parla di luogo geometrico del piano quando il luogo geometrico è definito nel piano cartesiano, mentre se ci si trova nello spazio euclideo si sentirà parlare di luogo geometrico dello spazio.
Ad esempio, la circonferenza è un luogo geometrico del piano, infatti è definita come l'insieme dei punti del piano per cui è fissa la distanza da un dato punto, detto centro della circonferenza.
Invece la superficie di una sfera è un luogo geometrico dello spazio, infatti è definita come l'insieme di tutti e soli i punti dello spazio per cui è fissa la distanza da un dato punto, detto centro della sfera.
Esempi di luogo geometrico
In Geometria Analitica, le coniche si definiscono come particolari luoghi geometrici, nello specifico:
- la parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta r detta direttrice. In formule
dove d(P,r) indica la distanza punto retta.
- L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la somma delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 detti fuochi. Quindi la formula matematica che descrive questo luogo geometrico è la seguente:
- l'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 detti fuochi. In formule:
Altri esempi di luogo geometrico che si incontrano in Geometria Piana:
- l'asse di un segmento, definito come il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti dagli estremi A e B del segmento:
- La bisettrice di un angolo definita come il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti dai lati a e b di un angolo; in formule
- Il circocentro del triangolo che è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai vertici del triangolo, quindi
In particolare il circocentro è un luogo geometrico che si riduce ad un solo punto.
- L'incentro di un triangolo, definito come il luogo geometrico dei punti equidistanti dei lati di un triangolo, ossia
CERCHIO E CIRCONFERENZA
Cerchio e circonferenza in Geometria sono rispettivamente la parte di piano delimitata dalla circonferenza e l'insieme dei punti equidistanti da un punto fissato, detto centro del cerchio. La distanza dei punti della circonferenza dal centro viene detta raggio.
Questo formulario è interamente dedicato a circonferenza e cerchio. Partendo dalla definizione, elencheremo nel dettaglio tutte le formule del cerchio, comprese le formule inverse, tra cui in particolare quella per calcolare l'area del cerchio e il perimetro, ossia la cosiddetta formula della circonferenza. Successivamente analizzeremo tutte le proprietà di cerchio e circonferenza, le parti che li costituiscono e tutte le possibili posizioni reciproche tra due circonferenze.
Definizione di cerchio e circonferenza
Nell'introduzione abbiamo già accennato alla definizione di cerchio e alla definizione di circonferenza. Rivediamole con calma:
- si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto, detto centro della circonferenza; il valore della distanza viene detto raggio;
Attenzione dunque: quando si scrive cerchio, si intende la regione di piano contenuta all'interno della circonferenza. Il cerchio è quindi una figura piana, caratterizzata da un'area e da un perimetro. Il perimetro del cerchio coincide con la lunghezza della circonferenza che lo delimita.
Formule cerchio e circonferenza
Prima di passare all'elenco delle formule del cerchio e delle formule della circonferenza, occupiamoci dei nomi e dei simboli. Indicheremo con r il raggio del cerchio, con d il diametro (doppio del raggio), con 2p il perimetro (lunghezza della circonferenza) e con A l'area del cerchio.
Per quanto numerose siano le formule è sufficiente ricordare quelle in grassetto: tutte le altre formule inverse possono essere ricavate facilmente con passaggi algebrici immediati.
DEFINIZIONE DI FUNZIONE
Iniziamo introducendo un concetto fondamentale nello studio dell'Analisi: la definizione di funzione, per poi entrare nel dettaglio delle funzioni reali di variabile reale. Per farlo è necessario avere presente la definizione di funzione tra due insiemi qualsiasi, per cui prima di procedere vediamo un breve ripasso con tutti i commenti del caso.
Nel seguito passiamo ad enunciare la definizione mettendo in luce tutte le difficoltà che comporta quando viene studiata per la prima volta. Per agevolare la comprensione della stessa affiancheremo al linguaggio simbolico parole molto spicciole.
Infine concluderemo la lezione mostrando alcuni esempi di funzioni reali e come effettuare la valutazione di una funzione in un punto.
Definizione di funzione tra due insiemi
Qual è, in generale, la definizione di funzione tra due insiemi?
Una funzione è una corrispondenza (o legge, o associazione) che collega gli elementi di due insiemi. Non basta però. Da tutti gli elementi dell'insieme di partenza deve partire una freccia e ogni freccia non può avere più di una punta. In altri termini non è possibile che ad un elemento del primo insieme sia associato più di un elemento del secondo insieme.
In matematichese, detti A e B i due insiemi rispettivamente di partenza e di arrivo, abbiamo che
è una funzione se e solo se, per definizione, ad ogni elemento di A è associato uno ed uno solo elemento di B.
In modo equivalente una funzione è una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo.
è una funzione se e solo se, per definizione, ad ogni elemento di A è associato uno ed uno solo elemento di B.
In modo equivalente una funzione è una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo.
La definizione di funzione che abbiamo dato si traduce in simboli nel modo seguente:
ma non di questo tipo
L'ultimo diagramma non rappresenta una funzione per due motivi:
- c'è un elemento dell'insieme A da cui non parte alcuna freccia;
- ad uno stesso elemento di A vengono associati due elementi distinti di B.
Nomenclatura delle funzioni
In generale possiamo assegnare dei nomi estremamente comodi ai vari personaggi coinvolti nella definizione di funzione.
Immagine di un elemento dell'insieme di partenza, preimmagine di un elemento dell'insieme di arrivo
Se un elemento b in B viene raggiunto da una freccia che parte da un elemento a di A mediante la funzione f, ossia
allora scriviamo
e chiamiamo:
- b l'immagine di a mediante la funzione f
- a la preimmagine (o controimmagine) di b mediante f.
Dominio, codominio e immagine di una funzione
Diciamo che l'insieme degli elementi ai quali è applicata la funzione f, ossia l'insieme di partenza A, è il dominio della funzione f o insieme di definizione di f.
L'insieme di arrivo B prende il nome di codominio.
Il sottoinsieme degli elementi di B che vengono raggiunti dalle frecce viene detto immagine della funzione f, e può eventualmente coincidere con il codominio B.
Legge di una funzione ed esempi sulle funzioni
La legge di una funzione è la regola che definisce la corrispondenza tra gli insiemi A e B. Tale regola può essere espressa in qualsiasi forma: a parole (ossia mediante proposizioni), mediante tabulazione insiemistica, mediante diagrammi e grafici, o ancora mediante un'espressione analitica. Ognuno di tali metodi è equivalente agli altri.
Analizziamo caso per caso e approfittiamone per ragionare su alcuni esempi.
1) La descrizione della legge di una funzione a parole prevede di descrivere gli insiemi A,B per elencazione e di definire la corrispondenza esplicitamente.
Dati gli insiemi A={Marco,Luca,Giovanni} e B={Laura,Martina,Elena}, la legge che associa Laura a Marco, Martina a Luca ed Elena a Giovanni è una funzione.
2) La rappresentazione di una legge mediante tabulazione insiemistica consiste nel riportare in una tabella gli elementi del dominio e le rispettive immagini in due colonne distinte. Ogni riga definisce la corrispondenza tra l'elemento del dominio e la relativa immagine.
Un esempio? Al termine di ogni giornata la classifica del campionato di calcio di Serie A definisce una funzione che associa ad ogni squadra un punteggio.
3) La rappresentazione mediante diagrammi si basa sull'utilizzo dei diagrammi di Eulero Venn, con particolare riferimento agli insiemi costituiti da un numero finito di elementi, o eventualmente sull'utilizzo di grafici. Ne parleremo nel dettaglio nella lezione successiva.
4) La definizione di una funzione mediante un'espressione analitica è possibile solamente nel caso di alcune leggi tra insiemi numerici. Solitamente l'espressione analitica di una funzione si indica con la scrittura
e consiste nell'esprimere la legge mediante una serie di funzioni elementari preventivamente definite e tramite operazioni algebriche di base, le quali delineano l'espressione f(x) che definisce la legge.
La rappresentazione mediante espressione analitica è uno strumento potentissimo in Matematica e consente, ove possibile, di definire in un colpo solo l'associazione tra gli elementi di due insiemi numerici con un numero finito o infinito di elementi. La lettera x prende il nome di variabile, o più precisamente di variabile indipendente, e può assumere qualsiasi valore che appartiene al dominio; la lettera y è detta variabile dipendente poiché dipende dalla scelta di x e assume valori che appartengono al codominio. Un esempio: la funzione definita sull'insieme dei numeri naturali e a valori nell'insieme dei numeri naturali, rappresentata dall'espressione analitica
associa ad ogni numero naturale il suo doppio. È piuttosto evidente che tale funzione avrà come immagine l'insieme dei numeri pari.
La rappresentazione più basilare possibile della legge di una funzione
È bene notare che ognuna delle precedenti rappresentazioni è riconducibile a una rappresentazione mediante prodotto cartesiano: possiamo cioè descrivere in modo rigoroso e univoco qualsiasi funzione sotto forma di insieme. In particolare ogni funzione può essere rappresentata (o addirittura definita) come un particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano tra il dominio e il codominio.
Esempio
Consideriamo l'insieme A delle tre regioni più popolose d'Italia (Lombardia, Campania, Lazio) e l'insieme B costituito da quattro elementi: Milano, Napoli, Roma e Torino. Chiamiamo f la funzione che associa ad ogni elemento di A il relativo capoluogo.
Ebbene, la legge proposta individua una funzione perché ne soddisfa la definizione. L'immagine è data dall'insieme {Milano,Napoli,Roma} ed è un sottoinsieme del codominio. Se consideriamo il prodotto cartesiano tra il dominio e il codominio
{ (Lombardia,Milano) , (Lombardia,Napoli) , (Lombardia,Roma) , (Lombardia, Torino)
(Campania,Milano) , (Campania,Napoli) , (Campania,Roma) , (Campania,Torino) (Lazio,Milano) , (Lazio,Napoli) , (Lazio,Roma) , (Lazio,Torino) }
allora possiamo descrivere la funzione mediante un unico sottoinsieme del prodotto cartesiano
{ (Lombardia,Milano) , (Campania,Napoli) , (Lazio,Roma) }
Funzioni reali di variabile reale
Ora che abbiamo introdotto la definizione di funzione nel caso più generale possibile possiamo passare a parlare delle protagoniste dell'Analisi Matematica: le funzioni reali di variabile reale, vale a dire funzioni per cui:
- l'insieme di definizione A è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali \mathbb{R}, che eventualmente può coincidere con esso (funzione di variabile reale).
Gli elementi del dominio prendono spesso e volentieri il nome di punti, pur trattandosi di un abuso di linguaggio;
- l'insieme di arrivo B, ossia il codominio, è l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} (funzione reale o funzione a valori reali).
Notate che deve valere sempre con la stessa regola: non è possibile avere una funzione che a un valore del dominio associ due o più elementi del codominio.
Esempi di funzioni reali
1) La funzione identità: f(x)=x
Questa è una tra le più semplici funzioni, infatti dato un numero reale x lo restituisce esattamente tale e quale.
2) f(x)=3x+2
Le funzioni di questa forma sono dette funzioni lineari; il loro grafico corrisponde a quello di una retta.
3) f(x)= x^2 x+2
A differenza delle altre due, questa è una funzione che non è definita ovunque sull'insieme dei numeri reali. Essendo infatti in presenza di un denominatore, per individuare il dominio dobbiamo escludere il valore che lo annulla: non si può dividere per zero!
Come valutare una funzione in un punto
Per valutare una funzione reale di variabile reale in un punto basta sostituire al posto della variabile indipendente (che generalmente è indicata con x) il valore del punto in cui si vuole valutare la funzione e, svolgendo qualche calcolo, ottenere la corrispondente immagine mediante la funzione. Ovviamente ha senso valutare una funzione solo nei punti in cui essa è definita.
Vediamo ora qualche esempio sulla valutazione delle funzioni in alcuni punti.
1) La funzione identità
f(x)=x
nei punti x=0, x=1,x=2 vale
f(0)=0 ; f(1)=1 ; f(2)=2
e così via. Basta sostituire al posto di x i valori 0, 1 e 2 e ricavare i corrispondenti valori f(0),f(1),f(2).
2) Le valutazioni della funzione lineare
f(x)=3x+2
nei punti x=1, x=2, x=3 sono date da
f(1)=5, f(2)=8, f(3)=11
infatti sostituendo 1 al posto di x avremo
f(1)=3 x 1 + 2 = 3+2 = 5
3) Infine, volendo valutare la funzione
nei punti x=0, x=1, x=2 otterremo:
Trucco per non sbagliare nella valutazione di una funzione
In Matematica l'errore di distrazione è sempre dietro l'angolo. Gli esempi considerati si riferiscono a funzioni dalle espressioni analitiche semplici ma la situazione può degenerare molto facilmente e possiamo trovarci a dover valutare funzioni dalle espressioni particolarmente elaborate.
LOGARITMO
Il logaritmo è un operatore matematico indicato generalmente con loga(b); detta a la base e b l'argomento, il logaritmo in base a di b è definito come l'esponente a cui elevare la base per ottenere l'argomento.
In questa lezione parliamo dei logaritmi. Daremo innanzitutto la definizione di logaritmo di un numero, vedremo quali sono le relative proprietà e daremo dei suggerimenti su come e dove tali proprietà vanno utilizzate, soprattutto per quel che concerne il calcolo dei logaritmi. A tal proposito potete consultare le proprietà descritte nell'articolo successivo, quello sulle proprietà dei logaritmi.
Cos'è il logaritmo in base a di b
Siano a e b due numeri reali, entrambi positivi e con a 1. Definiamo il logaritmo in base a di b, e scriviamo
per indicare quel numero reale c che realizza l'uguaglianza
In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli
Prima cosa: quella che abbiamo appena dato è una definizione. Non dovete capire perché, dovete solo capire come. Cosa stiamo dicendo nella definizione di logaritmo in base a di b? Che il logaritmo in base a di b è un numero, che possiamo anche chiamare c.
Qual è la regola che definisce questo numero? È semplicemente il numero c tale per cui, elevando ac otteniamo proprio b.
In parole povere, il logaritmo in base a di b è l'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza. Diamo dei nomi ai personaggi a, b, c:
- chiamiamo a la base del logaritmo;
- chiamiamo b l'argomento del logaritmo;
- chiamiamo c il valore del logaritmo.
Nella definizione si richiede che la base a e l'argomento b siano maggiori di zero. Come mai? Non abbiamo fatto nient'altro che dare la definizione di logaritmo, quindi la risposta deve essere contenuta nella definizione stessa.
Se rileggiamo un attimino, vediamo che il logaritmo in base a di b è il numero c tale che a elevato alla c è uguale a b:
Essendo il logaritmo definito in modo che valga questa uguaglianza, osserviamo quanto segue: prendiamo a positivo. Se eleviamo un numero positivo (a) ad un qualsiasi numero (c) otteniamo un numero che è solo e soltanto positivo (nè zero nè negativo).
Tutto qui: prendiamo la base a 1 e positiva (positivo vuol dire maggiore strettamente di zero) e quindi dobbiamo necessariamente considerare un argomento b positivo.
Esempi sui logaritmi
Vediamo un paio di esempi elementari sul calcolo del logaritmo di un numero. Come abbiamo anticipato, nella lezione successiva riprenderemo l'argomento nel dettaglio.
1) Il primo e più semplice esempio che possiamo calcolare è il logaritmo di 1 con base a
Qualsiasi numero diverso da zero (come è previsto dalle nostre ipotesi) ed elevato alla zero dà 1, quindi
2) Consideriamo il logaritmo in base a di a2
Se applichiamo la definizione, qual è quel numero c tale che, elevando la base a alla c, si ottiene a2 ?
La risposta è facile: 2, quindi
3) Consideriamo il logaritmo in base pluto di pluto alla -4/3
Per calcolare il valore di questo logaritmo ci poniamo la domanda magica: qual è quel numero pippo tale per cui, elevando la base a pippo,
otteniamo esattamente
Evidentemente il numero è e quindi risulta
4) Quanto vale il logaritmo di 0 in base a?
Attenzione alle nostre ipotesi: il logaritmo di zero, quale che sia la base in accordo con la definizione, non è definito perché l'argomento deve essere positivo.
Logaritmo naturale e logaritmo decimale
Ci sono due particolari tipi di logaritmi che si incontrano spesso, e che sono
caratterizzati da una particolare scelta della base: il logaritmo naturale ed il logaritmo decimale.
Il logaritmo naturale, in cui si prende come base il numero di Nepero
Logaritmi con base maggiore o minore di 1
Vale la pena di fare un'altra distinzione. Fate molta ma molta attenzione alla base del generico logaritmo che vi capita di incontrare per strada. Dato che i logaritmi sono definiti a partire dalle potenze, e dato che le potenze si comportano in modo diverso a seconda che le loro basi siano maggiori di 1 oppure comprese tra 0 ed 1, anche nel caso dei logaritmi succederà qualcosa di diverso.
Se la base del logaritmo è maggiore di 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi otteniamo valori del logaritmo sempre più grandi. Questo perchè, ragionando secondo la definizione, è esattamente così che si comporta la potenza con base un numero maggiore di 1.
Ad esempio, leggiamo da sinistra a destra il grafico che segue, dove vengono mostrati i valori del logaritmo in base 3 (ordinate y) al variare dell'argomento (ascisse x, positive).
Se invece la base del logaritmo è compresa tra 0 ed 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi otteniamo valori del logaritmo sempre più piccoli. Ciò è dovuto al fatto che la potenza in base un numero compreso tra 0 ed 1 fornisce valori sempre più piccoli prendendo esponenti via via più grandi.
Nella figura vediamo ad esempio il comportamento del , dove le ordinate y sono i valori del logaritmo e le ascisse x sono i valori dell'argomento.
DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Che cosa sono le disequazioni logaritmiche, e come si risolvono? Qui di seguito vogliamo mostrarvi i metodi per risolvere una qualsiasi disequazione con i logaritmi, proponendo svariati esempi.
Si dice logaritmica una disequazione in cui l'incognita compare come argomento di un logaritmo. I casi possibili di cui tratteremo la risoluzione in questo articolo sono:
dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti l'incognita, c è un qualsiasi numero reale, mentre a e b sono numeri reali positivi diversi da 1.
La prima cosa da fare per risolvere questo tipo di disequazioni è ricordarsi di stabilire le condizioni di esistenza, infatti il logaritmo è definito a patto che il suo argomento sia strettamente maggiore di zero. Sappiamo anche che le condizioni di esistenza vanno sempre confrontate con le soluzioni che troveremo alla fine. Un modo furbo per non dimenticarsele mai è scriverle mettendole a sistema con la disequazione, ovvero:
Scrivendo questi sistemi siamo sicuri di non dimenticarci le condizioni di esistenza!
Primo tipo di disequazione logaritmica
Ora è sufficiente risolvere il sistema di disequazioni, provate a leggere gli esempi qui sotto, vedrete che è più facile del previsto.
le soluzioni del sistema sono date da
Con gli intervalli:
Esempi sulle disequazioni logaritmiche
Scriviamo la disequazione a sistema con le sue condizioni di esistenza:
Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo spostare 3 ad esponente dell'argomento del logaritmo di cui è coefficiente:
Adesso che abbiamo logaritmi da entrambe le parti possiamo confrontare gli argomenti, e poiché la base dei logaritmi è maggiore di 1 lo facciamo in una disequazione avente lo stesso verso della disequazione logaritmica:
Svolgiamo i calcoli e risolviamo entrambe le disequazioni:
Riportiamo le soluzioni nel grafico che usiamo per risolvere i sistemi:
Le soluzioni del sistema e quindi della disequazione logaritmica da cui siamo partiti sono date da
ovvero
Adesso che abbiamo logaritmi da entrambe le parti possiamo confrontare gli argomenti, e poiché la base dei logaritmi è compresa tra 0 e 1, lo facciamo in una disequazione avente verso opposto rispetto alla disequazione logaritmica:
Svolgiamo i calcoli e risolviamo entrambe le disequazioni:
Le soluzioni del sistema e della disequazione logaritmica ad esso associata sono per
Terzo tipo di disequazione logaritmica
Caso 3:
Metodo risolutivo
Nel caso in cui le basi dei due logaritmi fossero uguali, avremmo la strada spianata. Infatti per le prime due disequazioni non ci sono problemi. Per quanto riguarda l'ultima possiamo passare direttamente all'esponenziale (togliere cioè il logaritmo) prestando attenzione solo alla base del logaritmo. Infatti, come ormai dovreste aver capito, se essa è maggiore di 1 il verso della disequazione rimane inalterato,
altrimenti dobbiamo cambiarlo.
Nel caso più delicato in cui le due basi sono diverse, scegliendo ad esempio di risolvere la disequazione logaritmica con simbolo >, avremmo:
Notate che le condizioni di esistenza sono due, infatti dobbiamo assicurarci che gli argomenti di entrambi i logaritmi siano strettamente positivi, e li mettiamo a sistema perché devono essere positivi entrambi, in sostanza non vogliamo che un logaritmo sia definito mentre l'altro no!
Qui la difficoltà sta tutta nel fatto che abbiamo due logaritmi con basi diverse.
Fortunatamente sappiamo cambiare le basi dei logaritmi a nostro piacimento. Vale in generale la formula del cambiamento di base per i logaritmi:
Se a>1: risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione i cui membri sono gli argomenti dei logaritmi e avente lo stesso verso di quella di partenza:
Esempi
Grazie alle proprietà dei logaritmi portiamo il coefficiente del logaritmo a esponente dell'argomento nella terza disequazione:
Le soluzioni del sistema sono quindi date da
DOMINIO ESPONENZIALE
Come si determina il dominio dell'esponenziale? Il dominio dell'esponenziale è sempre tutto R o varia a seconda dei casi? Potreste mostrarmi qualche esempio sul calcolo del dominio della funzione esponenziale a base variabile?
Il dominio dell'esponenziale si trova imponendo che la sua base sia una quantità maggiore di zero ed aggiungendo eventuali condizioni di esistenza dell'esponente.
Pertanto non è vero che il dominio della funzione esponenziale è tutto R. Tale affermazione è vera solo nei casi in cui:
- la base è un numero maggiore di zero
e
- l'esponente è una quantità definita in tutto l'insieme R dei numeri reali.
Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi sul dominio dell'esponenziale, mettendo in evidenza alcuni dei casi più frequenti negli esercizi.
Dominio esponenziale in base e
Il dominio della funzione esponenziale in base e è dato dal dominio del suo
esponente, quindi per trovare il dominio della funzione esponenziale avente come base il numero di Nepero basta imporre le eventuali condizioni d'esistenza del suo esponente.
Dominio esponenziale fratta
Se la funzione esponenziale presenta ad esponente una funzione razionale fratta, per trovare il dominio dobbiamo:
- imporre che la base sia maggiore di zero
e
- imporre le eventuali condizioni di esistenza della base
e
- imporre che il denominatore sia diverso da zero.
Esempio
Per trovare il dominio di
dobbiamo risolvere il seguente sistema di disequazioni
le cui soluzioni sono
e coincidono col dominio della funzione in esame.
Dominio esponenziale sotto radice
Quando l'esponenziale è il radicando di una radice con indice pari, per trovare il dominio dobbiamo:
- imporre che tutto il radicando sia maggiore o uguale di zero;
- imporre che la base dell'esponenziale sia maggiore di zero;
- imporre le eventuali condizioni di esistenza della base dell'esponenziale;
- aggiungere eventuali condizioni di esistenza dell'esponente.
Esempio
Trovare il dominio della funzione
Dal momento che la base dell'esponenziale è un numero maggiore di zero, per calcolare il dominio della funzione data è sufficiente imporre le seguenti condizioni
Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva, indipendentemente dal valore dell'esponente, la disequazione esponenziale
è soddisfatta per ogni x ad eccezione dei valori che annullano il denominatore dell'esponente, che troveremo risolvendo la seconda relazione del sistema
Procedendo col metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado troviamo che
ANGOLI ASSOCIATI
Gli angoli associati non sono altro che gli archi associati: essi si riferiscono alle formule che permettono di esprimere le funzioni goniometriche riducendole agli angoli del primo quadrante
Nella precedente lezione dedicata agli archi associati abbiamo introdotto alcune formule e ne abbiamo dimostrato la validità con semplici osservazioni di natura geometrica. Abbiamo quindi ricavato una serie di formule per seno e coseno di angoli esprimibili come somma mediante gli angoli notevoli.
Ora riprendiamo l'argomento da un punto di vista più pratico: ci preme capire qual è l'utilità delle formule degli angoli associati (sinonimo di archi associati) ed estenderle alle funzioni goniometriche derivate, ossia a tangente e cotangente e a secante e cosecante.
Formule degli angoli associati
Innanzitutto richiamiamo tutte le formule che abbiamo dimostrato nel precedente formulario. Ve le ricordate? Si riferivano esclusivamente al seno e al coseno di archi associati.
Dato un angolo , gli angoli associati ad esso ed espressi in radianti sono:
e, come potete vedere, si ottengono addizionando e sottraendo all'angolo gli angoli notevoli della circonferenza goniometrica.
Valore degli angoli associati per seno e coseno
Valore degli angoli associati per tangente e cotangente
Elenchiamo le formule degli angoli associati per tangente e cotangente. Attenzione: non è necessario impararle a memoria, infatti è sufficiente ricordare le definizioni.
Valori degli archi associati per secante e cosecante
In modo analogo rispetto al caso di tangente e cotangente ricaviamo il valore degli angoli associati per secante e cosecante partendo dai valori di seno e coseno. Per farlo è sufficiente ricordare le definizioni:
Esplicitiamo il procedimento solo per alcuni valori e riportiamo solamente il risultato per gli altri.
Utilità degli angoli associati
Pensateci per un istante: se ci ricordiamo i valori di seno e coseno per angoli di 30°, 45° e 60° allora saremo in grado di ricavarne tutti i valori per gli angoli di ampiezze pari a 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°.
Esempio di applicazione delle formule per gli angoli associati
Determinare il valore della cosecante di 300°.
Esprimiamo 300° come angolo associato e passiamo ai radianti
da cui otteniamo
dove nell'ultimo passaggio abbiamo applicato la regola per la frazione di una frazione.
Come ricordare le formule sugli angoli associati
C'è un piccolo stratagemma che permette di ricordare le formule sugli angoli associati delle funzioni goniometriche. Abbiamo visto che gli angoli associati, espressi in radianti, sono:
Come possiamo osservare alcuni di essi sono definiti mediante una frazione, mentre gli altri sono definiti da un multiplo intero .
Il trucco mnemonico prevede che per gli angoli associati in cui compare la funzione si trasformi. In termini espliciti il seno diventa coseno, la tangente si trasforma in cotangente, la secante diviene cosecante e, viceversa, il coseno diventa seno, la cotangente diviene tangente e la cosecante si trasforma in secante.
Se invece nell'arco associato compare allora la funzione rimane la stessa.
Per quanto riguarda il segno basta ricordare i segni delle funzioni goniometriche nei vari quadranti. Tali segni si possono ricavare, tramite la circonferenza goniometrica, dal segno di seno e coseno:
Ad esempio, sfruttando questa regola, ricaviamo il valore del
Poiché compare il a funzione seno si trasforma nella funzione coseno. Inoltre, essendo un angolo del primo quadrante, è situato nel quarto quadrante, dove la funzione seno è negativa. Per questi motivi
Allo stesso modo, ad esempio
dove dato che compare la funzione rimane inalterata e, poiché siamo nel secondo quadrante in cui il seno è positivo ed il coseno è negativo, la tangente è negativa.
Ancora
In tal caso abbiamo un , per cui la funzione rimane inalterata. Con siamo inoltre nel terzo quadrante in cui il seno è negativo, e dunque anche la cosecante sarà negativa.
FORMULA PER L'AREA DI UN TRIANGOLO
L'area di un triangolo qualsiasi può essere calcolata con una semplice formula trigonometrica, mediante il prodotto tra le misure di due lati consecutivi per il seno dell'angolo tra essi compresi, il tutto fratto 2.
Lo studio della Trigonometria e tutti gli argomenti trattati fin qui hanno una semplice e importante applicazione: ci consentono infatti di scrivere una semplice formula per l'area di un triangolo qualsiasi.
Come vedremo tra poco è possibile usare la Trigonometria per calcolare l'area di un triangolo mediante le lunghezze dei lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso.
Area di un triangolo qualsiasi con la Trigonometria
Fino ad ora per il caso generale abbiamo potuto fare affidamento solamente alla formula di Erone: molto utile in diversi casi, ma non così agevole perché prevede ci disporre delle misure dei tre lati del triangolo.
Poco male: la Trigonometria viene in nostro soccorso e ci permette di ricavare una comoda formula per l'area di un triangolo qualsiasi, che ci aiuterà in tantissimi esercizi e applicazioni teoriche.
Enunciato: in un triangolo qualsiasi l'area è data dal prodotto della lunghezza di due lati per il seno dell'angolo tra essi compreso, il tutto fratto due.
In riferimento alla figura possiamo scrivere le seguenti formule:
Esempi sulla formula per l'area di un triangolo qualsiasi
1) Calcolare l'area di un triangolo equilatero con
Svolgimento: prima procediamo con la formula per l'area del triangolo equilatero
Se decidiamo di usare la formula per l'area di un triangolo qualsiasi, abbiamo
Come potete notare è importante conoscere i valori delle funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli notevoli. In questo esempio è palesemente più comoda la prima formula che abbiamo utilizzato.
2) Calcolare l'area del triangolo scaleno con lati e angolo compreso tra
Svolgimento: proviamo con la formula di Erone. Ci serve il semiperimetro p
Dimostrazione della formula per l'area di un triangolo qualsiasi
La dimostrazione della formula per l'area di un triangolo qualsiasi è abbastanza semplice. Per prima cosa ricordiamo che l'area di un triangolo generico si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza diviso 2.
Consideriamo un triangolo ABC come in figura. Tracciamo l'altezza relativa alla base AB e chiamiamola h. Il triangolo ADB è un triangolo rettangolo e, grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, avremo che:
A questo punto utilizziamo la formula dell'area e sostituiamo la precedente espressione
Abbiamo così dimostrato la prima formula.
Per capire come ricavare la seconda espressione è sufficiente considerare il triangolo DBC, che è appunto rettangolo, e grazie ad uno dei teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli risulta che:
Per dimostrare l'ultima formula è sufficiente prendere come base il lato c e costruirne l'altezza relativa ad esso. In questo modo otteniamo un triangolo rettangolo sul quale possiamo applicare i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli, ottenendo:
CONVERTIRE I GRADI IN RADIANTI E VICEVERSA
Come passare dai gradi ai radianti, e viceversa
Sappiamo bene che esistono due tipi di misure degli angoli: i gradi e i radianti, entrambi utilizzati sia nelle applicazioni pratiche (soprattutto il grado) che per le questioni teoriche (principalmente il radiante). Da qui nasce l'esigenza di un metodo che consenta di passare dai gradi ai radianti e viceversa dai radianti ai gradi.
Tenete presente che in Goniometria vi capiterà di affrontare misure angolari espresse indifferentemente nell'una e nell'altra forma, quindi saperle gestire e convertire all'occorrenza è estremamente importante per la risoluzione degli esercizi.
Siano la misura di un angolo espressa in gradi e la misura dello stesso angolo espressa in radianti. Esse soddisfano la proporzione:
Da qui possiamo applicare la proprietà fondamentale
e, a seconda del dato da ricavare, trattare la precedente uguaglianza come un'equazione per ricavare la misura angolare di nostro interesse. Possiamo così scrivere le seguenti relazioni.
Per passare dai radianti ai gradi
Attenzione: la formula per la conversione dai gradi ai radianti prevede che la misura in gradi sia espressa sotto forma di numero decimale. Di conseguenza per convertire le misure in gradi, primi e secondi, con primi e secondi non nulli, andranno espresse come misura decimale in gradi. In questo senso si può ricorrere alla formula
che deriva direttamente dalla definizione di sistema sessagesimale: 60 secondi formano un primo, 60 primi formano un grado.
Esempi di conversione dai gradi ai radianti e dai radianti ai gradi
1) Vogliamo esprimere 1 radiante in gradi.
Svolgimento: utilizziamo la prima formula
2) Supponiamo ora di voler esprimere in radianti la misura 30^, 15', 30''.
Svolgimento: per prima cosa scriviamo la misura in gradi in forma di numero decimale
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Come risolvere le equazioni goniometriche
Esiste una moltitudine di equazioni goniometriche, dette anche equazioni trigonometriche (si tratta di un piccolo abuso di linguaggio piuttosto diffuso che talvolta commetteremo anche noi). In realtà in generale sarebbe più corretto parlare di equazioni goniometriche dacché la Goniometria si occupa dello studio degli angoli e delle funzioni definite sugli angoli, mentre la Trigonometria si riferisce all'applicazione della Goniometria nel contesto dei triangoli.
Non perdiamoci in ulteriori preamboli e passiamo a un'elenco dei principali tipi di equazioni goniometriche:
1) equazioni goniometriche elementari
2) equazioni goniometriche per sostituzione, del tipo
3) equazioni goniometriche per sostituzione, varie ed eventuali
5) equazioni goniometriche riconducibili alle elementari mediante definizioni e formule trigonometriche
6) equazioni goniometriche lineari in seno e coseno
7) equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno
Il tipo 1) sarà il protagonista di questa lezione. I tipi 2), 3), 4), 5) verranno affrontate nella seconda parte della lezione, il 6) nella lezione sulle equazioni lineari in seno e coseno e infine il 7) in quella sulle equazioni di secondo grado in seno e coseno.
Equazioni goniometriche elementari
Studiamo la tecnica risolutiva per le equazioni goniometriche elementari, ossia per le equazioni del tipo
Equazioni goniometriche elementari del tipo sin(x)=m
Ricordando che il seno di un angolo rappresenta l'ordinata del punto della circonferenza goniometrica associato a tale angolo, risolvere l'equazione equivale a cercare i punti della circonferenza goniometrica con ordinata uguale a m e ricavare gli angoli che essi individuano.
Disegniamo quindi una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1, individuiamo sull'asse y il valore m e tracciamo la retta di equazione y=m. I casi che si possono presentare sono i seguenti:
L'equazione è impossibile, infatti la retta sarà esterna alla circonferenza.
La retta di equazione y=m incontrerà la circonferenza in due punti distinti situati nel primo e nel secondo quadrante. Uniamo l'origine con tali punti.
Si verranno così a formare i due angoli che soddisfano l'equazione goniometrica. Non ci resta che determinarne l'ampiezza.
Attenzione! Per esprimere correttamente le soluzioni dovremo considerare l'angolo del primo quadrante per cui .
Dopo aver individuato tale angolo, le soluzioni saranno:
