Cálculo Integral
“con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”
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Cálculo Integral
Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso Octubre 19 de 2014
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 Cálculo Integral Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ... 4 LA INTEGRAL ... 5 ANTIDERIVADA... 5 INTEGRAL INDEFINIDA ... 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ... 8
Ecuaciones Diferenciales Separables ... 8
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ... 17
REGLA DE LA POTENCIA PARA LA INTEGRACIÓN ... 19
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES EXPONENCIALES ... 28
Integrales que Involucran Funciones Exponenciales de la forma 𝒃𝒏 ... 35
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES LOGARÍTMICAS ... 37
INTEGRACIÓN POR PARTES ... 41
INTEGRACIÓN POR TABULACIÓN ... 46
FRACCIONES PARCIALES ... 52
INTEGRALES DEFINIDAS ... 58
ÁREA BAJO LA CURVA ... 65
ÁREA ENTRE CURVAS ... 70
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA ... 75
Valor promedio ... 75
Ingreso Total ... 81
Valor Presente de un flujo continuo de ingreso ... 82
Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso ... 82
Superávit de Consumidor ... 87
Superávit del Productor ... 90
LA INTEGRAL DOBLES... 96
BIBLIOGRAFÍA ... 100
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Cálculo Integral
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino).
La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad.
El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional.
El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
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LA INTEGRAL
ANTIDERIVADA
La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2,
pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de la
función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante
Ejercicios 41
Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 si 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1 2. 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 si 𝑓´(𝑥) = 𝑥3− 2 3. 𝑓´(𝑥) =1 3𝑥 3+ 2𝑥2− 𝑥 + 2 si 𝑓(𝑥) =𝑥4 12+ 2 3𝑥 3−𝑥2 2 + 2𝑥 4. 𝑓´(𝑥) = 2𝑥3+ 2𝑥2− 5𝑥 + 10 es 𝑓(𝑥) =𝑥4 2 + 2 3𝑥 3 −5 2𝑥 2+ 10𝑥 5. 𝑓´(𝑥) = − 1 𝑥2 es 𝑓(𝑥) = − 1 𝑥 6. 𝑓´(𝑥) = 𝑥(𝑥2− 3) es 𝑓(𝑥) =(𝑥2−3)2 4 7. 𝑓´(𝑥) = 3 √𝑥 4 es 𝑓(𝑥) = 4√𝑥3 4 − 3 8. 𝑓´(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) 9. 𝑓´(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥2 si 𝑓(𝑥) =1 2𝑒 𝑥2 10. 𝑓´(𝑥) = 𝑥√𝑥2+ 1 si 𝑓(𝑥) =√(𝑥2+1)3 3 11. 𝑓´(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥) + 1 si 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) 12. 𝑓´(𝑥) = 𝑥−2(𝑥2 − 1) si 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1 𝑥 13. 𝑓´(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 3 + 𝑥 2− 3𝑥 14. 𝑓´(𝑡) = 5𝑡2+7 𝑡4/3 si 𝑓(𝑥) = 3𝑡 5/3− 21𝑡−1/3
Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante
A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo.
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 6 Cálculo Integral INTEGRAL INDEFINIDA Reglas de Integración Regla Expresión De una Constante
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 donde 𝒄 es una constante de integración
Ejemplo: ∫ 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 De la Potencia ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐 n ≠ -1 Ejemplo: ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =𝑥4 4 + 𝑐 De un múltiplo constante ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ejemplo: ∫ 2𝑥2𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 2 [𝑥3 3 + 𝑐] = 2x3 3 +c De la suma ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(3x2 + 4x – 1)dx = ∫3x2 dx + ∫4x dx – ∫1 dx =3x3 3 + 4x2 2 − x + c =x3 + 2x2 – x + c Ejercicios
Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando
∫ 225𝑑𝑥 ∫ 𝑥4𝑑𝑥 ∫ 15𝑥4𝑑𝑥
∫ 𝑥7𝑑𝑥 ∫ 8𝑥5𝑑𝑥 ∫(3 + 𝑥3)𝑑𝑥
El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así
∫ f(x) dx = F(x) + C
Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t, se escribe ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 7 Cálculo Integral ∫(𝑥4− 9𝑥2+ 3)𝑑𝑥 ∫(𝑥3 − 6𝑥2+ 1)𝑑𝑥 ∫(5𝑥4− 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 ∫(𝑥2+ 𝑥 − 𝑥−3)𝑑𝑥 ∫ 5 𝑥4𝑑𝑥 ∫ 2√𝑥𝑑𝑥 ∫ 1 3𝑥5𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 2 √𝑥3 2 ∫ 6 √𝑥 2 3 𝑑𝑥 ∫(𝑥3− 4 + 5 𝑥6)𝑑𝑥 ∫ 3√𝑥 √𝑥 3 ∫ ( 1 𝑥2+ √𝑥2 5 ) 𝑑𝑥 ∫(3𝑥4− 1 𝑥3+ 2 √𝑥 3 )𝑑𝑥 ∫ (√𝑥 + 3 √𝑥) 𝑑𝑥 ∫ (3√𝑥 3 +10 𝑥6) 𝑑𝑥 ∫ (𝑥 2− √𝑥5 2 𝑥2 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥4− 1 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ ( 𝑥 + √𝑥3 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫(1 − 16𝑥)3𝑑𝑥 ∫(25𝑥4+ 𝑥2− 12)𝑑𝑥 ∫ 𝑥2(𝑥 + 2 √𝑥) 𝑑𝑥 Ejercicios
En los siguientes problemas encontrar la función original dada la derivada y las condiciones iniciales 1. 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 − 4 y 𝑓(−1) = 13/2 2. 𝑓´(𝑥) = 𝑥2 − 1 y 𝑓(3) = 19/2 3. 𝑓´(𝑥) = −𝑥2+ 2𝑥 y 𝑓(2) = 1 4. 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 y 𝑓(2) = 15 5. 𝑓´(𝑥) = −2𝑥3 y 𝑓(6) = 10 6. 𝑓´(𝑥) = −𝑥2+ 4𝑥 y 𝑓(3) = 45 7. 𝑓´(𝑥) = 𝑥2+ 2𝑥 − 3 y 𝑓(−3) = 8 8. 𝑓´(𝑥) = 8𝑥3 − 3𝑥2 y 𝑓(2) = 8 9. 𝑓´(𝑥) = 5𝑥4− 6𝑥2 y 𝑓(5) = 140 10. 𝑓´(𝑥) = 6𝑥5 − 6𝑥2 y 𝑓(1) = 10 11. 𝑓´(𝑥) = 10 − 𝑥 + 𝑥2 y 𝑓(2) = −7 12. 𝑓´(𝑥) = 1 + 𝑒𝑥+1 𝑥; 𝑓(1) = 3 + 𝑒 13. 𝑓´(𝑥) = 4 √𝑥 y 𝑓(4) = 10
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Cálculo Integral
ECUACIONES DIFERENCIALES
Es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.
Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria; y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales.
Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son
Ecuación Tipo Orden
𝑑𝑦 𝑑𝑥= 2𝑥𝑦 2 Ordinaria Primer 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2− 4 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥) 3 + 3𝑦 = 0 Ordinaria Segundo 𝑥𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑢 Parcial Primer 𝜕3𝑢 𝜕𝑥3 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 − 4 𝜕𝑢 𝜕𝑡 Parcial Tercer
En esta unidad nos dedicaremos solo a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Ecuaciones Diferenciales Separables
Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑦) Se dice que es separable si se puede expresar:
𝑑𝑦
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, donde 𝑭(𝒙, 𝒚) representa el producto de dos funciones, una depende de la variable 𝒙 y la otra de la variables 𝒚 . En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: 𝑑𝑦 𝐺(𝑦)= 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 𝐺(𝑦)= ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 Ejercicios
Resuelva cada ecuación diferencial
1. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑦 Separamos variables: 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 Integramos: ∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 Resolviendo: 𝑦2 2 + 𝐶1 = 𝑥2 2 + 𝐶2 Despejando:𝑦2 = 𝑥2+ 𝐶 Es decir: 𝒚 = √𝒙𝟐+ 𝑪 2. 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 𝑦2 = 0 Despejamos la ecuación: 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥= − 1 𝑦2 Separando variable: 𝑦2𝑑𝑦 = −𝑑𝑥 𝑥2 Integrando: ∫ 𝑦2𝑑𝑦 = ∫ −𝑑𝑥 𝑥2 Resolviendo: 𝑦3 3 + 𝐶1 = 1 𝑥+ 𝐶2 Despejando: 𝑦 = (3 𝑥+ 𝐶) 1/3 3. 𝑦2𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦 Separando variables: 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑦2 Integrando: ∫𝑑𝑥𝑥 = ∫𝑑𝑦𝑦2 Resolviendo: 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶1 = −1 𝑦+ 𝐶2 Despejando: 𝑦 = − 1 𝐿𝑛(𝑥)+𝐶 4. 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑥 𝑒𝑦 Separando variables: 𝑒𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 Integrando: ∫ 𝑒𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 1 0 Cálculo Integral Resolviendo: 𝑒𝑦+ 𝐶1 = 𝑥2 2 + 𝐶2 Despejando: 𝑒𝑦 =𝑥2 2 + 𝐶 Por igualación: 𝐿𝑛(𝑒)𝑦 = 𝐿𝑛 (𝑥2 2 + 𝐶) Por tanto 𝑦 = 𝐿𝑛 (𝑥2 2 + 𝐶) 5. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = √𝑥𝑦
Por propiedad de los radicales √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥= √𝑥√𝑦 , despejando 𝑑𝑦 √𝑦= √𝑥𝑑𝑥 ∫𝑑𝑦 √𝑦= ∫ √𝑥𝑑𝑥 , como 1 𝑎𝑛 = 𝑎 −𝑛 ∫ 𝑦−1⁄2𝑑𝑦 = ∫ 𝑥1⁄2𝑑𝑥 , integrando 𝑦1⁄2 1 2 ⁄ + 𝑐1 = 𝑥3⁄2 3 2 ⁄ + 𝑐2 , dado que: 𝑐 = 𝑐2− 𝑐1 2𝑦1⁄2 = 2𝑥 3 2 ⁄ 3 + 𝑐 , despejando 𝑦1⁄2 =𝑥 3 2 ⁄ 3 + 𝑐
, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
𝑦 = (𝑥 3 2 ⁄ 3 + 𝑐) 2 Ejercicio Determine 𝑓(𝑥) si 𝑓´(𝑥) = 1 + 𝑒𝑥+1 𝑥 ; 𝑓(1) = 𝑒
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𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓´(𝑥) = ∫ (1 + 𝑒𝑥+1
𝑥) 𝑑𝑥 , aplicando la propiedad distributiva
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 + ∫𝑑𝑥
𝑥 , integrando, hallamos la solución general
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑒𝑥+ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 , como 𝑓(1) = 𝑒, remplazamos 𝑒 = 1 + 𝑒 + ln (1) + 𝑐 𝑒 = 1 + 𝑒 + 0 + 𝑐 , despejando 𝑒 − 𝑒 − 1 = 𝑐 , es decir −1 = 𝑐
, sustituyendo en la solución general
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑒𝑥+ 𝑙𝑛𝑥 − 1
Ejercicio
Resolver cada ecuación diferencial
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 − 5 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑒 𝑥𝑦3 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ (𝑥𝑦) 3 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2+ 𝑥 𝑦 + 1 𝑦 3− 𝑥2𝑑𝑦 𝑑𝑥= 0 𝑑𝑦𝑑𝑥= √𝑥𝑦 𝑦2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑥 2 2𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥 𝑦2 Ejercicio
Demuestre que si (𝑥2+ 9)𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 entonces 𝑦 = 1
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Cálculo Integral
Problemas
1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares
Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades. 𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (5 − 2𝑥 + 3𝑥2)𝑑𝑥 = 5𝑥 −2𝑥 2 2 + 3𝑥3 3 + 𝑐 C(x)=5x-x2+x3+c Solución General Como C(x)=29 050 cuando x=30, 29 050 = 5(30) − 302 + 303 + 𝑐 = 150 – 900 + 27 000 + 𝑐 = 26 250 + 𝑐 Despejando 29 050 - 26250 = c ó c = 2800 Remplazando en la solución general
C(x) = 5x - x2 + x3 + 2800 Solución Particular
Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular 𝐶(60) = 5(60) − 602 + 603 + 2 800 = 300 − 3 600 + 216 000 + 2 800
= 215 500
El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares
2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M'´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo
en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años
𝑀(𝑥) = ∫ 𝑀´(𝑥)𝑑𝑥
= ∫(90x2 + 5000)dx = 90x
3
3 + 5000x + c = 30x
3 + 5000x + c
Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es
𝑀(𝑥) = 30x3+ 5000x
Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando
𝑀(𝑥) = 30(5)3+ 5000(5) = 30(125) + 25000 = 3750 + 25000 = 28750
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Cálculo Integral
3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual R ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación t está dada por
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 100𝑡
3/2
, donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total
𝑅 = ∫𝑑𝑅 𝑑𝑡 = ∫ 100𝑡 3/2𝑑𝑡 = 100 ∫ 𝑡3/2𝑑𝑡 Integrando 𝑅 = 100 [𝑡 5/2 5 2 ] + 𝑐 = 100 [2 5𝑡 5/2] + 𝑐 , la solución general 𝑹 = 𝟒𝟎𝒕𝟓/𝟐+ 𝒄 , como R=55 000 cuando t=9, 55000 = 40(9)5/2+ 𝑐 = 9720 + 𝑐 , despejando 55000 − 9720 = 𝑐
, entonces 𝑐 = 45280, remplazando en la solución general, obtenemos la solución particular
𝑹 = 𝟒𝟎𝒕𝟓/𝟐+ 𝟒𝟓𝟐𝟖𝟎
b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio. Remplazamos en la solución particular 𝑡 = 5
𝑅 = 40(5)5/2+ 45280
𝑅 = 47516
Por tanto el ingreso anual que puede percibir una persona con 5 años de estudio es de 47516 miles de pesos
4. Dada la función de ingreso marginal para cierto producto 𝑅´(𝑞) = 275 − 𝑞 − 0.3𝑞2. Como para 𝑞 = 0, 𝑅(𝑞) = 0 determina
a. La función Ingreso Total
b. Calcula el ingreso para 𝑞 = 100
5. La tasa de variación del costo de cierto producto está dada por 𝑑𝐶
𝑑𝑞 = 0.08𝑞
2− 1.6𝑞 + 6.5
, donde 𝐶 es el costo total y 𝑞 las unidades producidas. Si producir 25 unidades cuesta 8000 U.M, determinar:
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a. La función costo total
b. ¿Cuánto cuesta producir 100 unidades?
6. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es 𝑅´(𝑥) = 15 − 4𝑥
Si 𝑥 unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de 𝑝 pesos: a. Determine la función ingreso total.
b. Determine la ecuación de demanda.
7. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es
𝑄´(𝑥) = 32𝑥 + 92
, donde 𝑥 es el número de seguros vendidos y 𝑄´(𝑥) es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0
entonces Q(x)=10 000).
b. Determinar el costo de vender 100 seguros.
8. Sea 𝑆´(𝑡) = 4 + 5𝑡2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es 𝑆(0) = 3000.
a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas
9. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo está dado por 𝐶´(𝑥)
̅̅̅̅̅̅̅ = −48 𝑥2 + 6𝑥
, si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos
10. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 – 0.0004x
Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades
11. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2
Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre a.La función costo
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 1 5
Cálculo Integral
12. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es
𝑑𝑟
𝑑𝑞 = 100 − 3𝑞
2
, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades.
13. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es 𝑀𝑅
̅̅̅̅̅ =-0.3x + 450,
¿Cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades?
14. Una compañía ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es 𝑐´(𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ =1 4− 100 𝑥2
, donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40.
a.Encuentre la función de costo promedio del producto b.Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto
15. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante
𝑑𝐴
𝑑𝑡 = 160.869𝑡
0.5307
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990.
a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos.
b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000
16. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con
𝑑𝐻
𝑑𝑡 = −0.0042𝑡
2+ 2.1𝑡 − 8.349
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a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al
cuidado de la salud para el 2010
17. Si el ingreso marginal está dado por 𝑑𝑟
𝑑𝑞 = 100 −
3 2√2𝑞 Determine la ecuación de la demanda correspondiente
18. Si el costo marginal está dado por 𝑑𝑐
𝑑𝑞 = 𝑞
2+ 7𝑞 + 6
, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares
19. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se
mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la
producción y venta de relojes
20. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por
R`(x)=-0.009x + 12
, donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Ejercicio
Evaluar cada integral 1. ∫(2𝑥 + 1)7𝑑𝑥
Hacemos 𝑢 = 2𝑥 + 1 derivando u respecto a x obtenemos 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 2
, despejando 𝑑𝑥 =𝑑𝑢
2 remplazando en la función original
∫ 𝑢7𝑑𝑢 2 = 1 2∫ 𝑢 7𝑑𝑢 =1 2 𝑢8 8 + 𝑐 = 𝑢8 16+ 𝑐 Remplazando el valor de u obtenemos
∫(2𝑥 + 1)7𝑑𝑥 =(2𝑥 + 1)
8
16 + 𝑐
2. Evalué la integral ∫1+ √𝑥
1− √𝑥𝑑𝑥
Le sumamos y restamos √𝑥 en el numerador ∫1 + √𝑥 + √𝑥 − √𝑥 1 − √𝑥 𝑑𝑥 , operando ∫(2√𝑥 + 1 − √𝑥) 1 − √𝑥 𝑑𝑥 , como 𝑎+𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑐+ 𝑏 𝑐 ∫ 2√𝑥 1 − √𝑥𝑑𝑥 + ∫ 1 − √𝑥 1 − √𝑥𝑑𝑥 Ahora para la primera integral
𝑈 = 1 − √𝑥 , despejando √𝑥 = 1 − 𝑈 , derivando 𝑑𝑈 = −2√𝑥1 𝑑𝑥 , despejando −2√𝑥 ∗ 𝑑𝑈 = 𝑑𝑥 y remplazando −2(1 − 𝑈)𝑑𝑈 = 𝑑𝑥 Reemplazando en la integral ∫2(1 − 𝑈)(−2)(1 − 𝑈) 𝑈 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 −4 ∫(1 − 𝑈)(1 − 𝑈) 𝑈 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥
Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable.
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 1 8
Cálculo Integral
, aplicando la propiedad distributiva
−4 ∫(1 − 𝑈 − 𝑈 + 𝑈 2) 𝑈 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 −4 ∫(1 − 2𝑈 + 𝑈 2) 𝑈 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 −4 ∫ (1 𝑈− 2𝑈 𝑈 + 𝑈2 𝑈) 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 Simplificando −4 ∫ (1 𝑈− 2 + 𝑈) 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 Integrando −4 [𝐿𝑛(𝑈) − 2𝑈 +𝑈 2 2] + 𝑥 + 𝐶 , remplazando el valor de U, −4 [ln(1 − √𝑥) + 2(1 − √𝑥) −(1 − √𝑥) 2 2 ] + 𝑥 + 𝑐 −4 ln(1 − √𝑥) − 8(1 − √𝑥) + 2(1 − √𝑥)2+ 𝑥 + 𝑐 Ejercicio
Evalué cada integral
1. ∫(2−5𝑡)1 2𝑑𝑡 2. ∫√5−2𝑥1 𝑑𝑥 4. ∫ √3𝑥 − 5𝑑𝑥 5. ∫ 𝑒3𝑥+2𝑑𝑥 6. ∫ 𝑒5−2𝑥𝑑𝑥 7. ∫ 𝑥 𝑥2+2𝑑𝑥 8. ∫ 𝑡2 √𝑡3+8 3 𝑑𝑡 9. ∫ 𝑥√𝑥2 + 1𝑑𝑥 10. ∫ √𝑥(2𝑥 + 𝑥√𝑥)5𝑑𝑥 11. ∫𝑥3𝑥3−12 𝑑𝑥= 12. ∫ 𝑦 2𝑒𝑦3𝑑𝑦 13. ∫(1 − 𝑥)3𝑑𝑥 14. ∫ 6𝑥(3𝑥2− 5)1/2𝑑𝑥 15. ∫ 4𝑥(2𝑥2+ 3)−3𝑑𝑥 16. ∫2√7𝑥+57𝑑𝑥 17. ∫𝑥+1𝑥2 𝑑𝑥 18. 19.
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REGLA DE LA POTENCIA PARA LA INTEGRACIÓN
Ejercicios
1. ∫(𝑥2+ 1)4. 2𝑥𝑑𝑥
Si comparamos con la definición 𝑢(𝑥) = 𝑥2+ 1 y 𝑢´(𝑥) = 2𝑥
entonces ∫(𝑥2+ 1)4. 2𝑥𝑑𝑥 = (𝑥 2+ 1)5 5 + 𝑐 Si derivamos =(𝑥 2+ 1)5 5 + 𝑐 obtenemos =5(𝑥 2+ 1)4. 2𝑥 5 = (𝑥 2+ 1)4. 2𝑥 2. ∫(3𝑥 + 1)7𝑑𝑥
Para que tenga la forma ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y dividimos por 3 = ∫(3𝑥 + 1) 7. 3 3 𝑑𝑥 Factorizando =1 3∫(3𝑥 + 1) 7. 3𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + 𝒄 =1 3. (3𝑥 + 1)8 8 + 𝑐 = (3𝑥 + 1)8 24 + 𝑐 Si derivamos (3𝑥 + 1)8 24 + 𝑐 obtenemos 8. (3𝑥 + 1)7 24 . 3 = 24. (3𝑥 + 1)7 24 = (3𝑥 + 1)7 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝒄, 𝒏 ≠ −𝟏
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 0
Cálculo Integral
3. ∫ √4𝑥 − 5𝑑𝑥
El ejercicio se puede expresar ∫(4𝑥 − 5)12𝑑𝑥
Para que tenga la forma ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y dividimos por 4 = ∫(4𝑥 − 5) 1 2 4 . 4𝑑𝑥 Factorizando =1 4∫(4𝑥 − 5) 1 2. 4𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + 𝒄 =1 4. (4𝑥 − 5)32 3/2 + 𝑐 = (4𝑥 − 5)32 6 + 𝑐 Si derivamos (4𝑥 − 5)3 2 6 + 𝑐 obtenemos 3 2 (4𝑥 − 5)12(4) 6 = 12(4𝑥 − 5)12 12 = √4𝑥 − 5 4. ∫(2−5𝑡)1 2𝑑𝑡
El ejercicio se puede expresar ∫(2 − 5𝑡)−2𝑑𝑡
Para que tenga la forma
∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y dividimos por -5 = ∫(2 − 5𝑡) −2 −5 . (−5)𝑑𝑡 Factorizando = −1 5∫(2 − 5𝑡) −2. (−5)𝑑𝑡 Aplicamos la fórmula ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + 𝒄 = −1 5. (2 − 5𝑡)−1 −1 + 𝑐 = 1 5. 1 (2 − 5𝑡)+ 𝑐 = 1 5(2 − 5𝑡)+ 𝑐 Si derivamos 1 5(2 − 5𝑡)+ 𝑐 = (2 − 5𝑡)−1 5 + 𝑐 obtenemos −1(2 − 5𝑡)−2(−5) 5 = (2 − 5𝑡) −2 = 1 (2 − 5𝑡)2
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 1 Cálculo Integral Ejercicios. Integrar 1. ∫(𝑥2+ 3)32𝑥𝑑𝑥 2. ∫(3𝑥 − 𝑥3)2(3 − 3𝑥2)𝑑𝑥 3. ∫(𝑥2+ 5)3𝑥𝑑𝑥 4. ∫(𝑥2+ 1)−3𝑥𝑑𝑥 5. ∫(2𝑥3− 𝑥)(𝑥4− 𝑥2)6𝑑𝑥 6. ∫ 7𝑥3√𝑥4+ 6 𝑑𝑥 7. ∫(𝑥𝑥32−1)𝑑𝑥2 8. ∫(𝑥𝑥43−4𝑥)−13 𝑑𝑥 9. ∫√𝑥(𝑥23−4𝑥)𝑑𝑥−6𝑥2+2 10.∫ 4𝑥 (2𝑥2+3)3𝑑𝑥 11.∫ 𝑥𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 12.∫1−𝑥𝑥45𝑑𝑥 Problemas
1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de
𝐶´(𝑡) = − 58
(3𝑡 + 2)2 (0 ≤ 𝑡 ≤ 10)
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares.
a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t.
b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000?
Para hallar la expresión del costo de
producción debemos hallar ∫ −
58
(3𝑡 + 2)2𝑑𝑡 =
Que podemos expresar ∫ −58(3𝑡 + 2)−2𝑑𝑡
= −58 ∫(3𝑡 + 2)−2𝑑𝑡
Para que tenga la forma
∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y dividimos por 3 = −58 ∫(3𝑡 + 2) −2(3) 3 𝑑𝑡 Factorizando = −58 3 ∫(3𝑡 + 2) −2(3)𝑑𝑡 Aplicamos la fórmula ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + 𝒄 𝐶(𝑡) = −58 3 (3𝑡 + 2)−1 −1 + 𝑐
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 2 Cálculo Integral =58 3 1 (3𝑡 + 2)+ 𝑐 = 58 3(3𝑡 + 2)+ 𝑐 La ecuación general sería
𝐶(𝑡) = 58
3(3𝑡 + 2)+ 𝑐 Como para 1990 los panales costaban
$10 dólares. 10 = 58 3(3(0) + 2)+ 𝑐; 10 = 58 6 + 𝑐 Despejando 𝑐 = 10 −58 6 Entonces 𝒄 = 𝟎. 𝟑𝟑
Remplazando en la ecuación general se
obtiene la ecuación particular 𝑪(𝒕) =
𝟓𝟖
𝟑(𝟑𝒕 + 𝟐)+ 𝟎. 𝟑𝟑
Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t 𝑡 = 2000 − 1990 = 10 Remplazando 𝐶(𝑡) = 58 3(3(10) + 2)+ 0.33 𝐶(𝑡) =58 96+ 0.33 = 0.6 + 0.33 ≈ 0.93
Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares
2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de
𝑁´(𝑡) = 2000(1 + 0.2𝑡)−3/2
Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años.
b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Para hallar la expresión total de
estudiantes inscritos debemos hallar ∫ 2000(1 + 0.2𝑡)
−3/2𝑑𝑡
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 3
Cálculo Integral
Para que tenga la forma
∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y dividimos por 0.2 = 2000 ∫(1 + 0.2𝑡) −32(0.2) 0.2 𝑑𝑡 Factorizando =2000 0.2 ∫(1 + 0.2𝑡) −32(0.2)𝑑𝑡 Aplicamos la fórmula ∫[𝒖(𝒙)]𝒏. 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + 𝒄 𝑁(𝑡) = 10000(1 + 0.2𝑡) −12 −1/2 + 𝑐
La ecuación general sería
𝑁(𝑡) = −20000 1 (1 + 0.2𝑡)12 + 𝑐 𝑁(𝑡) = −20000 1 (1 + 0.2𝑡)12 + 𝑐 𝑵(𝒕) = −𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟏 + 𝟎. 𝟐𝒕+ 𝒄 Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes 1000 = −20000 √1 + 0.2(0)+ 𝑐 Despejando 𝑐 = 1000 + 2000 Entonces 𝑐 = 3000
Remplazando en la ecuación general se
obtiene la ecuación particular 𝑵(𝒕) =
−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
√𝟏 + 𝟎. 𝟐𝒕+ 𝟑𝟎𝟎𝟎
Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos 𝑡 = 5 Remplazando 𝑵(𝒕) = −𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟏 + 𝟎. 𝟐(𝟓)+ 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑵(𝒕) =−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 = −𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏. 𝟒𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 = −𝟏𝟒𝟏𝟒 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟖𝟔
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 4
Cálculo Integral
3. El gerente de una zapatería determina que el precio 𝑝 (dólares) por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de
𝑝’(𝑥) = −300𝑥
(𝑥2+ 9)3 2⁄
cuando los consumidores demandan 𝑥 (cientos) de pares. Cuando el precio es de US$ 75 por par, son demandados 400 pares (𝑥 = 4). Determine la función de demanda 𝑝(𝑥) (precio). ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par?
Debemos hallar 𝑝(𝑥) = ∫ 𝑝´(𝑥) = ∫ −300𝑥 (𝑥2+ 9)3 2⁄ 𝑑𝑥 , hacemos 𝑢 = 𝑥2+ 9, derivando 𝑑𝑢 𝑑𝑥= 2𝑥, despejando 𝑑𝑢 2𝑥 = 𝑑𝑥 , remplazando 𝑝(𝑥) = ∫−300𝑥 (𝑢)3 2⁄ 𝑑𝑢 2𝑥 , simplificando 𝑝(𝑥) = −150 ∫ 𝑢−32𝑑𝑢 = −150 (𝑢 −12 −12 + 𝐶) = 300 𝑢1/2+ 𝐶 , remplazando el valor de 𝑢: 𝑝(𝑥) = 300 (𝑥2+9)1/2+ 𝐶, Solución general
, como cunado 𝑥 = 4, 𝑝 = 75, remplazando
75 = 300
(42+ 9)1/2+ 𝐶 = 60 + 𝐶
, luego 𝐶 = 15, remplazando en la solución general
𝑝(𝑥) = 300
(𝑥2+9)1/2+ 15, solución particular o función de demanda
¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? 𝑥 = 5 , remplazando en
𝑝(𝑥) = 300
(𝑥2+ 9)1/2+ 15 = 66.44
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 5
Cálculo Integral
¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? 𝑥 = 0 , remplazando en:
𝑝(𝑥) = 300
(9)1/2+ 15 = 115
, A un precio de US$ 115 no se demandarán zapatos.
¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par? 𝑝(𝑥) = 90 , remplazando en: 90 = 300 (𝑥2+ 9)1/2+ 15 , despejando: 75 = 300 (𝑥2+ 9)1/2 (75)2 = (300) 2 ((𝑥2+ 9)1/2)2 5625 = 90000 𝑥2+ 9 𝑥2+ 9 =90000 5625 𝑥2 = 16 − 9 = 7 𝑥 ≈ 2.64
A un precio de 90 dólares por par se demandarán aproximadamente 264 pare de zapatos.
4. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
𝐶´(𝑥) = 𝑥
100√𝑥2+ 2500
, en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo
b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos
5. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por: 𝑑𝑟
𝑑𝑞 =
900 (2𝑞 + 3)3
Encuentre la función de la demanda si q=100
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 6 Cálculo Integral 𝑑𝑅 𝑑𝑞 = 200 (𝑞 + 2)2 Determine
a. La función ingreso total
b. El ingreso si se producen y venden 5 unidades
6. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por
𝑀𝑅
̅̅̅̅̅ = −30
(2𝑥 + 1)2+ 30
, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total.
7. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por 𝑀𝑅
̅̅̅̅̅ = 60 000 − 40 000
(10 + 𝑥)2
, donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras.
8. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de máquinas o trabajadores. Si 𝑃 = 𝑓(𝑥) es la productividad física, 𝑑𝑃
𝑑𝑥 es la productividad
física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es 𝑑𝑃
𝑑𝑥 = 90(𝑥 + 1)
2
, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0
9. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 200[1 +
400 (𝑡 + 40)2]
, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción.
a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo.
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 7
Cálculo Integral
b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana?
10. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por
𝑑𝑁
𝑑𝑡 =
1 2√𝑡 + 1
, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas?
11. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:
R´(x) = x
2
√x3+3600
a.Encuentre la función ingreso
b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades
11. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de
𝑔`(𝑡) = 5.45218
(1 + 1.09𝑡)0.9
, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para 𝑔(𝑡) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991?
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 8
Cálculo Integral
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejercicios
Calcule las integrales 1. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑐
2. ∫ 5𝑒5𝑥𝑑𝑥
El ejercicio lo podemos escribir ∫ 𝑒5𝑥(5)𝑑𝑥
Tiene la forma ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝑐, aplicando la fórmula
= 𝑒5𝑥+ 𝐶
3. ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥
Para que quede expresado de la forma ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥,
multiplicamos y dividimos por 2 ∫
𝑒2𝑥(2) 2 𝑑𝑥 Factorizamos =1 2∫ 𝑒 2𝑥(2)𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝑐 =1 2𝑒 2𝑥+ 𝐶 4. ∫ 5𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥
La expresión se puede escribir
5 ∫ 𝑒−𝑥2(𝑥)𝑑𝑥
Si multiplicamos y dividimos por -2
= 5 ∫𝑒 −𝑥2 (−2𝑥) −2 𝑑𝑥 Factorizamos = −5 2∫ 𝑒 −𝑥2(−2𝑥)𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝑐 = −5 2𝑒 −𝑥2+ 𝐶 ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝑐
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 9
Cálculo Integral
Ejercicios Calcule cada integral
∫ 3𝑒3𝑥𝑑𝑥 ∫ 1 000𝑒0.1𝑥𝑑𝑥 ∫ 840𝑒−0.7𝑑𝑥 ∫ 3 𝑒2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥5 𝑒2−3𝑥6𝑑𝑥 ∫ 𝑥 3𝑒𝑥4𝑑𝑥 ∫ 𝑡𝑒𝑡2𝑑𝑡 ∫𝑒 √𝑥 √𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑒 4𝑥− 3 𝑒𝑥/2𝑑𝑥 Problemas
1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 8𝑒
0.05𝑡
, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa.
a. Encuentre V(t)
b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida
La expresión 𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 8𝑒
0.05𝑡equivale a 𝑉(𝑡) = ∫ 8𝑒0.05𝑡𝑑𝑡
Factorizando 𝑉(𝑡) = 8 ∫ 𝑒0.05𝑡𝑑𝑡
Multiplicamos y dividimos por 0.05 𝑉(𝑡) = 8 ∫𝑒0.05𝑡(0.05)
0.05 𝑑𝑡 Factorizando 𝑉(𝑡) = 8 0.05∫ 𝑒 0.05𝑡(0.05)𝑑𝑡 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 =
𝑒𝑢+ 𝑐, obtenemos la ecuación general 𝑉(𝑡) =
8 0.05𝑒
0.05𝑡+ 𝐶
Para t=0 V=350000, remplazando hallamos
el valor de la constante C 350000 = 8 0.05𝑒 0.05(0)+ 𝐶 350000 = 160(1) + 𝐶 350000 − 160 = 𝐶 𝐶 = 349840
Remplazando en la ecuación general
𝑉(𝑡) = 8
0.05𝑒
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 0
Cálculo Integral
Para hallar el valor de la casa 10 años después
de construida hacemos t=10, remplazamos 𝑉(10) =
8 0.05𝑒 0.05(10) + 349840 𝑉(10) = 160𝑒0.5+ 349840 𝑉(10) = 160(1.64) + 349840 𝑉(10) = 263.79 + 349840 𝑉(10) = 350103
En 10 años la casa costará 350103 dólares
2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es 𝑀𝑅
̅̅̅̅̅ = 𝑅´(𝑥) = 6𝑒0.01𝑥
¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto?
La expresión 𝑅´(𝑥) = 6𝑒0.01𝑥 equivale a 𝑅(𝑥) = ∫ 6𝑒0.01𝑥𝑑𝑥
Factorizando 𝑅(𝑥) = 6 ∫ 𝑒0.01𝑥𝑑𝑥
Multiplicamos y dividimos por 0.01 𝑅(𝑥) = 6 ∫𝑒0.01𝑥(0.01)
0.01 𝑑𝑥 Factorizando 𝑅(𝑥) = 6 0.01∫ 𝑒 0.01𝑥(0.01)𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒𝑢. 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝑐, obtenemos la ecuación general
𝑅(𝑥) = 600𝑒0.01𝑥+ 𝐶
Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C
0 = 600𝑒0.01(0)+ 𝐶 0 = 600(1) + 𝐶 𝐶 = −600
Remplazando en la ecuación general 𝑅(𝑥) = 600𝑒0.01𝑥− 600
𝑅(𝑥) = 600(𝑒0.01𝑥− 1) Para hallar el ingreso por la venta de 100
unidades hacemos x=100 𝑅(𝑥) = 600(𝑒0.01(100)− 1) 𝑅(𝑥) = 600(𝑒1− 1) 𝑅(𝑥) = 600(2.71 − 1) 𝑅(𝑥) = 600(1.71) 𝑅(𝑥) = 1030.96
El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 1
Cálculo Integral
3. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por 𝑅´(𝑥) = 40
𝑒𝑜.01𝑥+ 10.
Encuentre la función de demanda para el producto. Inicialmente hallamos la función ingreso 𝑅(𝑥) = ∫ 𝑅´(𝑥) Utilizando las propiedades
de la potenciación 1
𝑎𝑛 = 𝑎
−𝑛 y
La integral de la suma ∫[𝑓 + 𝑔](𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) + ∫ 𝑔(𝑥)
𝑅(𝑥) = ∫ 𝑅´(𝑥) = ∫ 40𝑒−0.01𝑥𝑑𝑥 + ∫ 10 𝑑𝑥
, para la primera integral, hacemos 𝑈 = −0.01𝑥 derivando 𝑑𝑈 = −0.01 𝑑𝑥
despejando 𝑑𝑈 −0.01= 𝑑𝑥 , reemplazando 𝑅(𝑥) = 40 ∫ 𝑒𝑈 𝑑𝑈 −0.01+ ∫ 10 𝑑𝑥 𝑅(𝑥) = 40 −0.01∫ 𝑒 𝑈𝑑𝑈 + ∫ 10 𝑑𝑥 , integrando 𝑅(𝑥) = 4000𝑒𝑈 + 10𝑥 + 𝑐
, remplazando U, obtenemos la solución general
𝑅(𝑥) = 4000𝑒−0.01𝑥+ 10𝑥 + 𝑐 , ahora como 𝑅 = 0 si 𝑥 = 0 0 = 4000𝑒−0.01(0)+ 10(0) + 𝑐 , resolviendo y despejando 0 = 4000 + 𝑐 , por tanto 𝑐 = −4000
, remplazando en la solución general, obtenemos la función ingreso
𝑅(𝑥) = 4000𝑒−0.01𝑥+ 10𝑥 − 4000
, sabemos que el ingreso (𝑅) es igual al producto de la cantidad demandada (𝑥) por el precio unitario (𝑝), es decir
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 2
Cálculo Integral
, despejando hallamos la función demanda 𝑝 =𝑅
𝑥, dividiendo la función ingreso por 𝑥
𝑝 =𝑅(𝑥) 𝑥 = 4000𝑒−0.01𝑥+ 10𝑥 − 4000 𝑥 𝑝 =4000𝑒 −0.01𝑥 𝑥 + 10𝑥 𝑥 − 4000 𝑥 , simplificando encontramos que la función demanda es:
𝑝 = 4000
𝑥𝑒0.01𝑥+ 10 −
4000 𝑥
4. Durante una crisis económica reciente, el porcentaje de desempleados creció a razón de
𝑝´(𝑡) = 0.4𝑒
−0.1𝑡
(1 + 𝑒−01𝑡)2
Donde t es el tiempo en meses. Dado que t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado un año después de la crisis?
, debemos hallar 𝑝(𝑡) = ∫ 𝑝´(𝑡)𝑑𝑡 𝑝(𝑡) = ∫ 0.4𝑒 −0.1𝑡 (1 + 𝑒−01𝑡)2𝑑𝑡 , hacemos 𝑈 = (1 + 𝑒−01𝑡) derivando 𝑑𝑈 = −0.1𝑒−0.1𝑡 𝑑𝑡 y , despejando 𝑑𝑈 −0.1𝑒−0.1 𝑡 = 𝑑𝑡 , remplazando 𝑝(𝑡) = ∫0.4𝑒 −0.1𝑡 𝑈2 𝑑𝑈 −0.1𝑒−0.1 𝑡 , simplificando 𝑝(𝑡) = 0.4 −0.1∫ 𝑑𝑈 𝑈2 = −4 ∫ 𝑈 −2𝑑𝑢 , integrando 𝑃(𝑡) = −4𝑢 −1 −1 + 𝑐 𝑃(𝑡) = 4 (1 + 𝑒−0.1𝑡)+ 𝑐
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 3 Cálculo Integral , como 𝑃(𝑡) = 4 cuando 𝑡 = 0 4 = 4 (1 + 𝑒−0.01(0))+ 𝑐 4 = 4 1 + 1+ 𝑐 4 =4 2+ 𝑐 4 = 2 + 𝑐 𝑐 = 2 , por tanto 𝑃(𝑡) = 4 (1 + 𝑒−0.1𝑡)+ 2
, ahora un año tiene 12 meses por lo tanto 𝑡 = 12
𝑃(12) = 4
(1 + 𝑒−0.1 (12))+ 2
𝑃(12) = 5.07%
Como se pregunta el número de empleados un año después de la crisis restamos el total de empleados al iniciar la crisis (100) menos el número de desempleados a la fecha 5.07
100 − 5.07 = 94.93
Por tanto el número de empleados un año después de la crisis será de 94.93%
5. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es
𝑑𝑆
𝑑𝑛 = 0.1𝑃𝑒
0.1𝑛
a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro?
6. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante
𝑑𝑇
𝑑𝑡 = 16.984𝑒
0.06891𝑡
, donde t es el número de años transcurridos desde 1950.
a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos.
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 4
Cálculo Integral
b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).
7. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa
𝑆´(𝑡) = −147.78𝑒−0.2𝑡, 0 ≤ t ≤ 100
, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0.
a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña
b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña
8. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 32.324𝑒
0.0763𝑡
, donde t es el número de años que han pasado desde 1960
a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total.
b. Encuentre e intérprete 𝑇(60) y 𝑇´(60).
9. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por
dx
dt = 10 (1-e-t/50)
Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas
10.Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por 𝐶´(𝑥) = 20𝑥𝑒0.01𝑥2, donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.
11. Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 5
Cálculo Integral
Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado?
Integrales que Involucran Funciones Exponenciales de la forma 𝒃𝒏
Para integrar una función de la forma 𝑏𝑛 , donde 𝑏 ∈ 𝑅, la expresamos de la forma 𝑒𝐿𝑛( 𝑏)𝑢 = 𝑒𝑢𝐿𝑛(𝑏) y la integramos de la forma ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢. Ejercicio Integrar 1. ∫ 3𝑥𝑑𝑥 Expresamos de la forma 𝑒𝐿𝑛( 𝑏)𝑢 = 𝑒𝑢𝐿𝑛(𝑏) ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝐿𝑛(3)𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥𝐿𝑛(3)𝑑𝑥 , hacemos 𝑢 = 𝑥𝐿𝑛(3) derivando 𝑑𝑢 𝑑𝑥= 𝐿𝑛(3), despejando 𝑑𝑢 𝐿𝑛(3)= 𝑑𝑥 , remplazando ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝐿𝑛(3)= 1 𝐿𝑛(3)∫ 𝑒 𝑢𝑑𝑢 = 1 𝐿𝑛(3)(𝑒 𝑢+ 𝐶) , remplazando 𝑢: ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥𝐿𝑛(3) 𝐿𝑛(3) + 𝐶 = 𝑒𝐿𝑛(3)𝑥 𝐿𝑛(3) + 𝐶 ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = 3 𝑥 𝐿𝑛(3)+ 𝐶 2. ∫ 51−2𝑥𝑑𝑥 Expresamos de la forma 𝑒𝐿𝑛( 𝑏)𝑢 = 𝑒𝑢𝐿𝑛(𝑏) ∫ 51−2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝐿𝑛(5)1−2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒(1−2𝑥)𝐿𝑛(5)𝑑𝑥 , hacemos 𝑢 = (1 − 2𝑥)𝐿𝑛(5) derivando 𝑑𝑢 𝑑𝑥= −2𝐿𝑛(5), despejando 𝑑𝑢 −2𝐿𝑛(5)= 𝑑𝑥 , remplazando ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 −2𝐿𝑛(5)= 1 −2𝐿𝑛(5)∫ 𝑒 𝑢𝑑𝑢 = 1 −2𝐿𝑛(5)(𝑒 𝑢+ 𝐶) , remplazando 𝑢:
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 6 Cálculo Integral ∫ 3𝑥𝑑𝑥 =𝑒(1−2𝑥)𝐿𝑛(5) −2𝐿𝑛(5) + 𝐶 = 𝑒𝐿𝑛(5)(1−2𝑥) −2𝐿𝑛(5) + 𝐶 ∫ 3𝑥𝑑𝑥 = 5 1−2𝑥 −2𝐿𝑛(5)+ 𝐶 Problema
1. La tasa de variación del volumen de ventas 𝑣 de un detergente disminuye 𝑡 meses después de culminar una campaña publicitaria a razón de
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = −750𝐿𝑛(1.3) × 1.3
−𝑡
Si al mes de culminar la campaña publicitaria el volumen de ventas fue de 577 unidades, ¿cuál será el volumen de ventas 6 meses después de culminar la campaña publicitaria?
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 7
Cálculo Integral
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Ejercicios
Calcule cada integral
1. ∫8𝑥8 𝑑𝑥
Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫u´udu aplicando la formula ∫u´udu = 𝑙𝑛(u) + c obtenemos
∫ 8
8𝑥𝑑𝑥 = ln(8𝑥) + 𝐶
2. ∫4𝑥+91 𝑑𝑥
Multiplicamos y dividimos el integrando por 4
∫ 1(4) (4)(4𝑥 + 9)𝑑𝑥 Factorizamos 1 4∫ 4 4𝑥 + 9𝑑𝑥 El integrando tiene la forma ∫u´udu = 𝑙𝑛(u) + c,
resolvemos
1
4ln(4𝑥 + 9) + 𝐶
3. ∫3𝑥𝑥2+1𝑑𝑥
Observamos que la derivada del denominador del integrando (3𝑥2+ 1) es 6𝑥, por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6
∫ 6𝑥
(6)(3𝑥2 + 1)𝑑𝑥
Factorizamos el 6 del denominador 1
6∫
6𝑥
(3𝑥2+ 1)𝑑𝑥
El integrando tiene la forma ∫u´udu = 𝑙𝑛(u) + c, resolvemos 1 6ln(3𝑥 2 + 1) + 𝐶 ∫𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑢) + 𝑐
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 8
Cálculo Integral
Ejercicios
Calcule cada integral
1. ∫1𝑥𝑑𝑥 2. ∫2𝑥2 𝑑𝑥 3. ∫𝑥𝑥3+82 𝑑𝑥 4. ∫2𝑥+3𝑑𝑥 5. ∫3𝑥𝑥2+1𝑑𝑥 6. ∫ 2𝑥 𝑥2+1𝑑𝑥 7. ∫𝑥3𝑥3+42 𝑑𝑥 8. ∫4𝑧+1𝑑𝑧 9. ∫3𝑥 2−2 𝑥3+2𝑥𝑑𝑥 Problemas
1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por
𝑥´(𝑝) = − 3
2(𝑝 + 1)
, si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares
Debemos hallar 𝑥(𝑝) = ∫ − 3 2(𝑝 + 1)𝑑𝑝 Factorizamos 𝑥(𝑝) = −3 2∫ 1 (𝑝 + 1)𝑑𝑝
El integrando tiene la forma ∫u´udu = 𝑙𝑛(u) + c, resolvemos y obtenemos la ecuación general
𝑥(𝑝) = −3
2ln(𝑝 + 1) + 𝐶
Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades 27 = −3
2ln(7 + 1) + 𝐶 27 = −3.11 + 𝐶
𝐶 = 30.11
Remplazando en la ecuación general 𝑥(𝑝) = −3
2ln(𝑝 + 1) + 30.11
Para p=14 dólares 𝑥(14) = −3
2ln(14 + 1) + 30.11 𝑥(14) = 26
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 9
Cálculo Integral
Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades
2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por
𝐶´(𝑥) = 400
2𝑥 + 1 , donde x es el número de unidades producidas
a. Encuentre la función costo
b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades? Debemos hallar 𝐶(𝑥) = ∫ 400 2𝑥 + 1𝑑𝑥 Factorizamos 𝐶(𝑥) = 400 ∫ 1 2𝑥 + 1𝑑𝑥 El integrando tiene la forma ∫u´udu =
𝑙𝑛(u) + c, resolvemos y obtenemos la ecuación general 𝐶(𝑥) = 400 ln(2𝑥 + 1) + 𝐶 Como C(5)=1980 1980 = 400 ln(2(5) + 1) + 𝐶 1980 = 400 ln(2(5) + 1) + 𝐶 1980 = 959 + 𝐶 𝐶 = 1021
Remplazando en la ecuación general 𝐶(𝑥) = 400 ln(2𝑥 + 1) + 1021
Para x=50 unidades 𝐶(𝑥) = 400 ln(2(50) + 1)
+ 1021 𝐶(𝑥) = 2867
Producir 50 unidades costaría 2867 dólares
3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por 𝑑𝑐
𝑑𝑞= 10 −
100 𝑞 + 10
, donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades
4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente está dado por
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 0
Cálculo Integral
𝐴´(𝑥) = 200
500−𝑥 , dólares
Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades
5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por
𝑥´ = − 3
2(𝑝 + 1)
Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares.
6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por
𝑝´ = 150
3𝑥 + 1
Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 1
Cálculo Integral
INTEGRACIÓN POR PARTES
Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes
Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. Así 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑑𝑢𝑣 + 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑑𝑢𝑣 Integrando ∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫(𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢) ∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢𝑣) − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Para aplicar la fórmula en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a 𝑢 y la otra, junto con 𝑑𝑥 a 𝑑𝑣.
Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes.
a. La parte que se iguala a 𝑑𝑣 debe ser fácilmente integrable. b. La ∫ 𝑣𝑑𝑢 no debe de ser más complicada que ∫ 𝑢𝑑𝑣
Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar.
Para escoger en orden el “𝑢” y “𝑑𝑣” se utiliza una técnica denominada ILATE, acrónimo que resume los nombres de las funciones que podemos encontrar.
I: inversas (arctan(x), arcsec(x)…etc.) L: logarítmicas (ln(x))
A: algebraicas (polinomios de grado n: en suma, multiplicación y división) T: trigonométricas (sen(x), cos(x), tan(x), csc(x) ,..etc)
E: exponenciales (𝑒𝑥)
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 2
Cálculo Integral
Para seleccionar la función 𝑢, se clasifican las funciones en las siguientes categorías ILATE la que aparece primero de izquierda a derecha va ser 𝑢 y lo que sobra será 𝑑𝑣
Ejercicio Integrar
1. ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝐿𝑛(𝑥) 𝑥
Como la primera función es 𝐿𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
Entonces 𝑑𝑢 =1 𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 2 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥) (𝑥 2 2) − ∫ 𝑥2 2 1 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =𝑥 2𝐿𝑛(𝑥) 2 − 1 2∫ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =𝑥 2𝐿𝑛(𝑥) 2 − 1 2[ 𝑥2 2] + 𝐶 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =𝑥 2𝐿𝑛(𝑥) 2 − 𝑥2 4 + 𝐶 2. ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝑥 𝑒2𝑥
Como la primera función es 𝑥 hacemos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
Entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =𝑒2𝑥 2 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑒 2𝑥 2 ) − ∫ 𝑒2𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =𝑥𝑒 2𝑥 2 − 1 2∫ 𝑒 2𝑥𝑑𝑥
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 3 Cálculo Integral ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =𝑥𝑒 2𝑥 2 − 1 2( 𝑒2𝑥 2 ) + 𝐶 ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =𝑥𝑒 2𝑥 2 − 𝑒2𝑥 4 + 𝐶 3. ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝑥 √1 + 𝑥
Como la primera función es 𝑥 hacemos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = √1 + 𝑥𝑑𝑥
Entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = 2 3(1 + 𝑥) 3/2 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (2 3(1 + 𝑥) 3/2) − ∫2 3(1 + 𝑥) 3/2𝑑𝑥 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 =2𝑥(1 + 𝑥) 3/2 3 − 2 3∫(1 + 𝑥) 3/2𝑑𝑥 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 =2𝑥(1 + 𝑥) 3/2 3 − 2 3[ 2 5(1 + 𝑥) 5/2] + 𝐶 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 =2𝑥(1 + 𝑥) 3/2 3 − 4 15(1 + 𝑥) 5/2+ 𝐶 4. ∫ 𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝐿𝑛(𝑥)
Como la primera función es 𝐿𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
Entonces 𝑑𝑢 =1 𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑥 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥)(𝑥) − ∫ 𝑥1 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝐿𝑛(𝑥) − ∫ 𝑑𝑥
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 4
Cálculo Integral
∫ 𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝐿𝑛(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
5. ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
Hacemos 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑒𝑥 remplazando en la
fórmula ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥− ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥− 𝑒𝑥+ 𝐶 6. ∫ ln(𝑥2) 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥2) 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 =2𝑥 𝑥2𝑑𝑥 = 2 𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑥 remplazando en la fórmula ∫ ln(𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥2) − ∫ 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥 2) − ∫ 2𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥2) − 2𝑥 + 𝐶 7. ∫ 𝑥2𝑒2𝑥𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑥2 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 =1 2𝑒 2𝑥 remplazando en la fórmula ∫ 𝑥2𝑒2𝑥𝑑𝑥 =1 2𝑥 2𝑒2𝑥− ∫1 2𝑒 2𝑥2𝑥𝑑𝑥 =1 2𝑥 2𝑒2𝑥 − ∫ 𝑒2𝑥𝑥𝑑𝑥
Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx
entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑣 =1 2𝑒 2𝑥 remplazando ∫ 𝑥2𝑒2𝑥𝑑𝑥 =1 2𝑥 2𝑒2𝑥− ∫ 𝑒2𝑥𝑥𝑑𝑥 =1 2𝑥 2𝑒2𝑥−1 2𝑥𝑒 2𝑥− ∫1 2𝑒 2𝑥𝑑𝑥 =1 2𝑥 2𝑒2𝑥−1 2𝑥𝑒 2𝑥+1 4𝑒 2𝑥 + 𝐶 =1 4𝑒 2𝑥(2𝑥2− 2𝑥 + 1) + 𝐶 8. ∫ 𝑥3√𝑥2 + 1 𝑑𝑥
Hacemos 𝑢 = 𝑥2 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑥(𝑥2+ 1)1/2dx luego:
𝑣 =1
3(𝑥
2+ 1)3/2
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 5 Cálculo Integral ∫ 𝑥3√𝑥2+ 1 𝑑 =1 3𝑥 2(𝑥2+ 1)32 − ∫1 3(𝑥 2+ 1)322𝑥𝑑𝑥 =1 3𝑥 2(𝑥2+ 1)32−1 3∫(𝑥 2+ 1)322𝑥𝑑𝑥 = 1 3𝑥 2(𝑥2+ 1)3/2− 2 15(𝑥 2+ 1)5/2+ 𝐶 9. ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 24
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝑙𝑛(𝑥) √𝑥
Como la primera función es 𝑙𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = √𝑥𝑑𝑥 , por tanto 𝑑𝑢 = 1 𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 = 2 3𝑥 3 2 ⁄
Remplazamos en la fórmula de integración por parte ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = ln (𝑥) (2 3𝑥 3 2 ⁄ ) − ∫ (2 3𝑥 3 2 ⁄ )1 𝑥𝑑𝑥 4 2 , simplificando ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 2 3𝑥 3 2 ⁄ ln (𝑥) − 2 3∫ 𝑥 1/2𝑑𝑥 4 2 = [2 3𝑥 3 2 ⁄ ln (𝑥) − 2 3( 2 3𝑥 3/2)]4 2 , remplazando ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 4 2 [2 3𝑥 3 2 ⁄ ln (𝑥) − 4 9𝑥 3/2]4 2= 2 3𝑥 3 2 ⁄ [ln (𝑥) − 2 3] 4 2 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 4 2 {2 3(4) 3 2 ⁄ [ln (4) − 2 3]} − { 2 3(2) 3 2 ⁄ [ln (2) − 2 3]} ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 4 2 {2 3(4) 3 2 ⁄ [ln (4) − 2 3]} − { 2 3(2) 3 2 ⁄ [ln (2) − 2 3]} ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 3.83 4 2 − 0.049 = 3.78 , en conclusión ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 4 2 = 3.78
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 6 Cálculo Integral 10. ∫ 𝑥√𝑥 + 2𝑑𝑥 11. ∫ 3𝑥√2𝑥 + 3𝑑𝑥 12. ∫(5𝑥+2)𝑥 3𝑑𝑥 13. ∫ 3𝑥 √4−𝑥𝑑𝑥 14. ∫ 𝑥𝑒 2𝑥𝑑𝑥 15. ∫ 𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 16. ∫ 𝐿𝑛(𝑥2+ 4)𝑑𝑥 17. ∫ 𝑥2𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 18. ∫𝐿𝑛(𝑥) 𝑥2 𝑑𝑥 19. ∫√4−𝑥3𝑥32𝑑𝑥 20. ∫ √𝑥3 𝐿𝑛(𝑥5)𝑑𝑥 21. ∫01√4+𝑟𝑟3 2𝑑𝑟 22. ∫01𝑒𝑦2𝑦𝑑𝑦 23. ∫ 𝑥𝑒−4𝑥𝑑𝑥 24. ∫(𝑥2− 3𝑥 + 2)𝑒−𝑥𝑑𝑥
INTEGRACIÓN POR TABULACIÓN
En algunos casos las integrales de productos de polinomios con funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas) conllevan cálculos demasiado laboriosos al aplicar la fórmula de integración por partes varias veces. En tales situaciones se utiliza una técnica denominada integración tabular, que consiste en:
Derivar las funciones polinómicas hasta llegar a cero e integrar las trascendentes tantas veces como se derivó la otra función. Colocando las derivadas e integrales correspondientes una al frente de la otra, luego conectamos la primera derivada con la segunda integral y le ubicamos los signos más (+) y el signo (-) intercalado, luego multiplicamos la derivada con le integral correspondiente y se le asigna el signo que le corresponde, al final se le agrega la constante de integración. Para verificar se deriva.
Este método funcionas bien con las funciones exponenciales, hiperbólicas, senos y cosenos.
Ejercicio Integrar 1. ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
Clasificamos las funciones en el acrónimo
I L A T E
𝑥2 𝑒𝑥
Como la primera función es 𝑥2 la función a derivar es 𝑥2, por tanto la función a integrar será 𝑒𝑥. Hacemos una tabla con las derivadas de 𝑥2 y al frente colocamos las integrales de 𝑒𝑥
Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 7 Cálculo Integral Las derivadas de la función 𝑥2 Las integrales de 𝑒𝑥 2𝑥 + 𝑒𝑥 2 -- 𝑒𝑥 0 𝑒𝑥
Relacionamos las derivadas con las integrales partiendo de la primera derivada y segunda integral, le colocamos signos intercalados partiendo del +, luego se multiplican la derivada con la integral relacionada
∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒𝑥− 2𝑒𝑥+ 𝐶 2. ∫ 𝑡2𝑒4𝑡𝑑𝑡 3. ∫ 𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 4. ∫ 𝑡4𝑒−𝑡𝑑𝑡 5. ∫(𝑥2− 5𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 6. (2𝑥4− 8𝑥3)𝑒−3𝑥𝑑𝑥 7. ∫(𝑥2− 3𝑥 + 2)𝑒−𝑥𝑑𝑥 8. ∫ (𝑥22+ 𝑥) 𝑒2𝑥𝑑𝑥 Problemas
1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el
número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas?
Debemos hallar
𝑆(𝑥) = ∫ 4000𝑡𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡
𝑆(𝑥) = 4000 ∫ 𝑡𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡
Hacemos 𝑢 = 𝑡 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 y 𝑑𝑣 = 𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡 entonces 𝑣 = − 1
0.2𝑒
−0.2𝑡+ 𝐶,
aplicando la formula de integración por parte ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝑆(𝑥) = 4000 ∫ 𝑡𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡 = 4000[(𝑡) (− 1 0.2𝑒 −0.2𝑡) − ∫ − 1 0.2𝑒 −0.2𝑡𝑑𝑡 𝑆(𝑥) = 4000[− 1 0.2𝑡𝑒 −0.2𝑡+ 1 0.2∫ 𝑒 −0.2𝑡𝑑𝑡]
