601 EJERCICIOS. Temas de examen CN-FIUNA Teórico y Práctico. Años 1979/2014. Matemática II

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601 EJERCICIOS

Temas de examen

CN-FIUNA

Teórico y Práctico

Años 1979/2014

Matemática II

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Cursillo π 2 Ing. Raúl Martínez

Año 1979

1) Por un punto P exterior a un circulo se traza una recta secante PAB a su circunferencia , tal que PB mide 18,50 m y una tangente PT que mide 9 m. Determinar la longitud del segmento PA. Graficar.

2) Deducir la fórmula de en función de . 3) Expresar en función del arco únicamente:

4) Verificar la siguiente identidad:

(√ √ )

5) Transformando previamente en producto, hallar el valor de N:

6) Hallar el arco del primer cuadrante que verifica la siguiente ecuación:

7) Una escalera apoyada contra una pared vertical forma con el piso un ángulo de 70°35’ y su pie se halla a 3,50 m de la pared. Calcular:

a) La longitud de la escalera

b) La altura del extremo de la escalera sobre el nivel del piso.

Año 1980

9) Sin empleo de máquinas y tablas, usando fórmulas trigonométricas encontrar el valor de N.

10) Resolver la siguiente ecuación para 180°

11) Se va a construir un puente a través de un rio, desde un punto A a otro punto B. Se ha determinado que la distancia de A a otro punto C es de 500,20 m y de B a C es de 722,30 m. ¿Cuál es la longitud del puente si el ángulo ABC es igual a 36°14’?

(3)

13) Sin empleo de máquinas y tablas, usando fórmulas trigonométricas encontrar el valor de la siguiente expresión:

14) Resolver la siguiente ecuación para 180°

15) Se va a construir un túnel a través de una montaña, desde un punto A hasta otro punto B. El punto C es visible desde A y B se encuentra a 384,80 m de A y a 555,60 m de B. ¿Cuál es la longitud del túnel si el ángulo ABC es igual a 35°14’?.

16) Demostrar: Todas las rectas perpendiculares a una recta en un mismo punto están en un plano perpendicular a ella en ese punto.

17) Demostrar: “Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí”.

18) Demostrar: La mediatriz de un segmento de recta, es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos del segmento.

Año 1981

20) Siendo y , calcular

21) Hallar un arco del primer cuadrante que verifique la sgte. ecuación:

22) Un buque, partiendo de un punto A, debe llegar a otro punto B, situado a 590 km. Habiendo recorrido 675 km, se dan cuenta de que estaban navegando en dirección equivocada, en 36°24’40”. ¿Qué ángulo debe tomar con respecto a la dirección que traía para llegar a B, u cuanto falta recorrer?

(4)

Cursillo π 4 Ing. Raúl Martínez 23°40' 60°20'18" C A B S

Año 1982

23) Los lados de un triángulo miden 6 m, 8 m y 2 m. Determinar, la altura correspondiente al mayor de los lados.

24) Demostrar: “Si desde un punto exterior a un círculo se trazan a su circunferencia una recta secante y una tangente, el segmento de la tangente de extremos en el punto dado y en el de tangencia, es media proporcional entre los segmentos de la secante comprendidos entre el punto dado y la circunferencia”. (Año 2000)

25) Verificar la identidad:

27) Encontrar los valores de menores que 360°; que satisfagan la siguiente ecuación:

28) En el paralelogramo , calcular: a) El lado

b) El área de la superficie , del triangulo .

29) Calcular el área lateral y el volumen de un tronco de pirámide regular cuadrangular de 40 cm de altura, sabiendo que las áreas de las bases miden respectivamente 400 y 6.400 .

D

(5)

Año 1983

30) Calcular el área total de un tronco de cono de revolución de 4 dm de altura y cuyas circunferencias de bases miden, respectivamente, 6 dm y 10 π dm.

32) Hallar el menor valor positivo del arco en:

√

33) Transformar en producto:

√

36) Transformar en producto:

37) Demostrar: “Si dos rectas son paralelas, todo plano que contiene a una sola de ellas es

paralelo a la otra”.

38) Demostrar: “Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una recta perpendicular a la hipotenusa, se verifica que: la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos determinados en la hipotenusa”.(Año 1995).

(6)

Año 1984

39) Siendo y arcos del primer cuadrante, y

, hallar .

41) Demostrar: “Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella

también lo es”.

Año 1986

43) Al aumentar en 2 dm el radio de un círculo, su área aumenta en 25 . Hallar el radio del círculo.

44) Reducir a su forma más simple:

( ) ( ) ( )

45) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

47) Simplificar:

48) La base de una pirámide triangular regular se halla inscripta en una circunferencia de longitud 25,12m. La altura de la pirámide es de 8m. hallar el área total de la pirámide.

49) Calcular el área del círculo menor de una esfera de 15 cm de diámetro, situado a una distancia igual a 1/3 del diámetro de dicha esfera.

50) Demostrar que en todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos.(Año 1998; 2005)

(7)

51) Demostrar que los segmentos determinados en dos transversales por tres o más rectas paralelas, son proporcionales.(Año 2001).

52) Demostrar: “Los segmentos determinados en dos rectas transversales por tres o más rectas paralelas son proporcionales”( Considerar cuatro rectas paralelas). (Año 2001).

Año 1987

53) Hallar la altura de un cono de revolución cuya área lateral es de 423, 90 , siendo la generatriz del mismo cinco tercios del radio de la base (Considerar π=3,14).

54) Hallar el área del circulo máximo de una esfera, sabiendo que un circulo menor de la misma situado a una distancia de 10 cm del centro, tiene una circunferencia de 31,40 cm de longitud (Considerar π=3,14)

55) Un polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular. Sabiendo que el ángulo interno del polígono de mayor número de lados tiene 27° más que el del otro, determinar el número de lados de cada polígono.

56) Demostrar: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo. (Año 1980; 2001;2009)

57) Verificar la siguiente identidad, efectuando transformaciones en el primer miembro:

( ) ( ) 59) Simplificar

(8)

Año 1989

61) Calcular el volumen de un cubo sabiendo que su área total es numéricamente igual al volumen. 62) La suma de la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo es 25 cm. El ángulo que

forman la hipotenusa con dicho cateto es 22°37’12”. Calcular la hipotenusa.

63) Calcular el volumen de una pirámide hexagonal, sabiendo que es numéricamente igual al área total.

64) Determinar la arista de un tetraedro regular sabiendo que aumentada en 4 m, su AT aumenta en √ .

65) Definir ángulo rectilíneo de un diedro.

Año 1992

66) En el cuadrilátero ABCD el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y B es 150°. Hallar la suma de los ángulos C y D.

67) Calcular el área comprendida entre un triángulo equilátero de perímetro igual a 3√ dm y el circulo circunscripto a dicho triangulo.

69) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

√

70) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de sus catetos es 10,57 cm y el ángulo que forma uno de ellos con la hipotenusa es 41°18’53”.

150° D

B A

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Año 1993

71) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de una cuerda y el centro de la circunferencia. La longitud de la cuerda es de 40 dm y la longitud de la circunferencia mide 182,12 dm. Considerar .

( )

73) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

74) Hallar los valores de comprendidos entre 0° y 180° que satisfagan la ecuación:

75) El perímetro del triángulo rectángulo ABC es de 140,88 m y el ángulo B mide 61°10’05”. Calcular la hipotenusa.

76) El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 2/3 del área lateral de un prisma recto de la misma base y altura que la pirámide. Hallar esta altura siendo 4 m la longitud del lado del cuadrado de base.

77) Un cono de revolución de 30 cm de generatriz y longitud de circunferencia de base igual a 62,80cm , se corta por un plano paralelo a la base obteniéndose un cono de 6 cm de generatriz. Hallar el volumen del tronco de cono. (Considerar π=3,14).

78) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano puede pasar un plano

perpendicular al primero y solo uno”.

79) Demostrar: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. 80) Demostrar: La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a dos ángulos

rectos por el número de lados del polígono menos dos.

81) Demostrar: “La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en partes proporcionales a los otros dos lados”.(Año 1999).

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Año 1994

82) La altura de un prisma recto mide 6 m, su base es un rectángulo cuyo lado mayor es el doble del menor. Calcular la longitud de una de las diagonales del prisma, sabiendo que su área total es 144 .

83) Por un punto exterior a un circulo se trazan una recta secante PAB y una tangente PT a su circunferencia (A, B, y T son puntos de la circunferencia). Sabiendo que ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ . Calcular la longitud de ̅̅̅̅.

84) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17m. el cuadrado construido sobre uno de los catetos tiene área 161 más que el del cuadrado construido sobre el otro cateto. Calcular la longitud de cada cateto.

85) Demostrar: “Si dos lados de un triángulo son desiguales, se opone al mayor lado mayor ángulo” 86) Simplificar:

88) Calcular el menor valor positivo del arco , expresado en radianes, que verifica la ecuación:

√

89) En el paralelogramo se tiene: ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ ; 62°10’20”. Calcular: a) La longitud de la diagonal mayor ̅̅̅̅.

(11)

Año 1995

90) En un trapecio isósceles, el ángulo formado por la bisectrices de los ángulos agudos mide 112°30’. Hallar el valor de los ángulos del trapecio.

91) Hallar el área de un rombo de perímetro igual a 52 cm, sabiendo que las diagonales son entre como 5 es a 12.

92) Deducir la fórmula de ( ) en función de .

93) Demostrar: “La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos”. 94) Reducir a su forma más simple:

95) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro verificar la siguiente identidad:

96) Calcular el menor valor positivo del arco , expresado en radianes, que verifica la siguiente ecuación:

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Año 1998

97) En un triangulo , los ángulos B y C miden, respectivamente, 60°30’ y 19°15’. Hallar el valor del ángulo que forman la altura y la bisectriz trazadas del vértice A.

98) Por el punto P exterior a un circulo de centro O y radio igual a 7,50 cm, se trazan la tangente PT y la secante a su circunferencia. Calcular la distancia ̅̅̅̅̅ , sabiendo que ̅̅̅̅ mide 10cm.

99) Reducir a su forma más simple :

( )

100) El arco es del cuarto cuadrante y . Utilizando las correspondientes formulas

trigonométricas, calcular .

102) Calcular, en radianes, el menor valor positivo del arco que verifica la ecuación:

103) Calcular el perímetro y el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que la diferencia de sus catetos es 72,48 m y que uno de sus ángulos agudos es de 32°56’.

104) Calcular el área del circulo circunscripto al hexágono regular de área igual a √ . 105) Hallar el menor valor positivo del arco que satisface la ecuación

( )

106) Calcular el área total de una pirámide regular hexagonal de 40 dm de altura y apotema de base igual a 9 dm.

107) En una esfera, un círculo menor de área 144 dista 5 dm del centro de la misma. Calcular el volumen de la esfera.

108) Hallar el área lateral de un tronco de cono de revolución de 2,50 m de altura y cuyos diámetros de bases miden 1 m y 3 m.

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109) La base de una pirámide es de 8 m. Hallar volumen de la pirámide.

110) Demostrar: Si un plano es perpendicular a otros dos que se cortan, lo es a la intersección de los mismos.

111) Demostrar: “Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una recta perpendicular a la hipotenusa, se verifica que cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de esta contiguo al mismo” (Año 2002).

112) Demostrar: “La suma de los ángulos externos de un polígono es igual a cuatro ángulos rectos”.(Año 2000)

Año 1999

113) Calcular el área total de la pirámide regular triangular de 12 m de perímetro de base y 5 m de arista lateral.

114) Determinar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a 37,68 y generatriz igual al triple del radio de la base.

115) Demostrar: “En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

116) Por el punto Pexterior a un circulo de centro O y radio igual a 5 cm, se traza la secante ̅̅̅̅̅̅ tal que ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ . Hallar la distancia ̅̅̅̅.

( )

119) Hallar el menor valor positivo del arco que verifica la siguiente ecuación:

120) Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 100 m y 450 m, sabiendo que cada uno de los lados iguales forman con la base menor un ángulo de 120°12’20”.

A B

P O

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Año 2000

121) El lado de un triángulo equilátero mide 2 dm. Calcular el ángulo, en grados, minutos y segundo sexagesimales, de un sector circular de 1 dm de radio equivalente al triangulo dado. 122) En un triangulo , los lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ miden 12 dm, 16 dm y 20 dm, respectivamente.

Calcular la longitud de los segmentos que la bisectriz del ángulo B determina en el lado ̅̅̅̅. 123) Reducir a su forma más simple:

125) Hallar el menor valor positivo del arco que verifica la siguiente ecuación:

126) Calcular el área de un triángulo rectángulo ABC (a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que:

y

128) Calcular el mayor ángulo del triángulo de lados a=20m; b= 15m y c=26m.

129) El área de un círculo máximo de una esfera es 1369 . Calcular el área de un círculo menor de la misma esfera situado a 12 cm del centro.

130) En un vaso cuya forma es la de un tronco de cono de revolución de radios de bases iguales a 9 cm y 4 cm, se introduce un cilindro de revolución de 8 cm de diámetro de base y altura igual a la del tronco. Si la diferencia de los volúmenes de ambos cuerpos es 340 , calcular la altura del vaso.

131) Un recipiente cuya forma es la de un cono de revolución con el vértice en la parte inferior de 6 dm de radio de base y 10 dm de generatriz, está inicialmente lleno de un líquido. ¿Cuánto liquido se extrajo del recipiente si su nivel bajo 4 dm?.

132) Demostrar: “ Si por un punto interior a un diedro se trazan las perpendiculares a las caras, el ángulo que forman las dos semirrectas que cortan a las caras es suplementario del diedro”.

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Año 2001

133) Un cono de revolución tiene 12 dm de altura y 15 dm de generatriz. Calcular el área lateral del tronco de cono que resulta al trazar un plano paralelo a la base, situado a 8 dm de su vértice. 134) Un cilindro y un cono, ambos de revolución, tienen sus alturas y diámetros de bases iguales al

diámetro de una esfera. Demostrar que los volúmenes del cono, de la esfera y del cilindro son proporcionales a los números 1; 2 y 3, respectivamente.

135) La diagonal de un cubo es igual a la diagonal de la cara de otro cubo. Hallar la relación entre las áreas totales de los cubos.

136) La generatriz de un cono de revolución mide √ cm. Siendo la distancia del centro de la base a una generatriz igual a √ cm, calcular su volumen.

137) Una pirámide regular cuadrangular tiene la altura igual a la diagonal de la base. Si el área de base mide 1 , hallar el área lateral de la pirámide.

138) Calcular el área de una superficie esférica, sabiendo que un arco de circunferencia máxima de la misma de 36°30’ mide 3,1836 cm de longitud. (Considerar π=3,14)

139) Las bases de un trapecio isósceles miden 64 dm y 40 dm. Hallar su área, sabiendo que cada uno de sus lados iguales mide 37 dm.

140) En un triángulo rectángulo, el menor de los segmentos determinados en la hipotenusa por la altura relativa a la misma mide 9 dm. Hallar el área y el perímetro de dicho triangulo rectángulo, sabiendo que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 dm.

( ) ( ) ( )

142) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad: ( )

143) Hallar el menor valor positivo del arco que verifica la siguiente ecuación:

144) Calcular los catetos de un triángulo rectángulo ABC (A, B y C: ángulos internos; a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que: y .

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145) DEDUCIR la fórmula del coseno de un arco en función de la cotangente del mismo arco.

( ) ( ) ( ) ( )

148) Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo ABC ( a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que el ángulo y

149) En un trapecio las diagonales son perpendiculares y miden 6m y 8 m. Calcular la base menor si la mayor mide 7m.

(

) ( )

152) Hallar el menor valor positivo del arco que verifica la ecuación:

153) El ángulo interno de un polígono regular, inscripto en una circunferencia de 10 cm de diámetro, mide 172°48’. Hallar el área del polígono.

154) Siendo O el centro de la circunferencia de diámetro AB, CO AB y α , determinar el valor del ángulo β

155) En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 62°30’ y 21°31’, respectivamente. Hallar el ángulo que forman la altura y la bisectriz trazadas por el vértice A.

D A O B  β C

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156) Las bases de un trapecio isósceles son entre sí como 1 es a 4. El perímetro mide 20m y la altura 4m. Calcular el área del trapecio.

157) Se sabe que: y . Con estos datos, calcular

( )

159) Hallar el menor valor positivo del arco , expresado en radicales, que verifique la ecuación:

( ) ( )

160) Calcular el área del triángulo ABC, rectángulo en A, siendo la hipotenusa a igual a 346 m y

.

161) Demostrar: “Si dos rectas que se cortan son paralelas a un plano, el plano que determinan también lo es”.

162) Demostrar: “La recta determinada por los centros de dos circunferencias secantes es la mediatriz de la cuerda común”.(Año 2003).

163) Demostrar: “En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre los mismos”. Considerar sólo el caso del lado opuesto a un ángulo obtuso.(Año 2003).

(18)

Año 2002

164) En el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular el ángulo ABC sabiendo que el ángulo MBN miden 20°.

165) En la circunferencia de centro O, la tangente DP en T es paralela a la secante AC y el ángulo BAC mide 20°. Calcular el ángulo .

166) DEDUCIR la fórmula de y ( suponer conocidas las fórmulas de las funciones del

arco doble)

167) Reducir N a su forma más simple y luego calcular su valor numérico para

[ ] ( )

168) Transformaciones exclusivamente el primer miembro, verificar la identidad:

√

169) Una cuerda de 10 m de longitud dista √ del centro de su circunferencia. Hallar el área limitada por la cuerda dada y el arco de menor longitud, de extremos comunes con la misma. 170) En el triángulo de la figura, se tiene: ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ ;

̅̅̅̅ ̅̅̅̅_;_{. Calcular el perímetro del paralelogramo}_.

171) Calcular el área de un trapecio inscripto en la circunferencia de radio igual a 10 cm y centro en el interior del trapecio. Las bases del trapecio son los lados del hexágono regular y del cuadrado inscriptos en dicha circunferencia.

A E F B _C D A N M B C

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172) DEDUCIR las fórmulas de transformación en producto de: .

[ ] ( )

175) Hallar el menor valor positivo del arco que verifique la ecuación:

176) El triángulo de la figura, es rectángulo en A. Calcular es área del triángulo ABC.

177) Dos polígonos regulares son tales que el número de lados del segundo es 5/8 del número de lados del primero, y un ángulo interno del primero es 27° mayor que el ángulo interno del segundo polígono. Calcular el número de lados de los dos polígonos.

178) Una pirámide triangular regular de arista lateral 15 m, lado de base 24 m y altura 12m, es cortada por un plano perpendicular a la altura y situado a 8 m de la base. Hallar el área lateral del tronco de pirámide obtenido.

179) Un cubo, una esfera y un cilindro tienen cada uno 1 de volumen. Si la altura del cilindro es igual a su diámetro, hallar las áreas totales de cada cuerpo.

180) La arista lateral de una pirámide triangular regular es el doble del lado de la base. ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total?.

181) Un tronco de cono de revolución de 15 m de altura tiene un volumen de 957,7 . Sabiendo que la diferencia entre los radios de las bases es 1 m, calcular dichos radios(Considerar π=3,14). 182) Demostrar: “Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a los lados de otro

triángulo y los terceros lados son desiguales, a mayor lado se opone mayor ángulo”.

̅̅̅̅

(20)

Año 2003

183) Un cono recto y circular de 12 dm de altura es cortado por un plano paralelo a la base. El área de la sección determinada es al área de la base como 4 es a 9; la suma de los radios de la sección y de la base es igual a 15 dm. Calcular el área lateral del tronco de cono.

184) El área total de una pirámide regular cuadrangular es igual a 1800 . Sabiendo que el radio de la circunferencia inscripta en la base mide 9 cm, calcular el volumen de la pirámide.

185) La distancia de un vértice de un cubo al centro de una de las caras opuestas es igual a 2 m. Calcular el área total del cubo.

186) En una pirámide regular cuadrangular, el lado de la base y la altura miden 9 cm y 21 cm, respectivamente. A 14 cm de la base se traza un plano paralelo a la misma. Calcular el volumen de la pirámide resultante cuya base es la sección determinada por el plano en la pirámide.

187) Un cono recto y circular de 12 dm de altura es cortado por un plano paralelo a la base. El área de la sección determinada es la base como 4 es a 9; la suma de los radios de la sección y de la base es igual a 15 dm. Calcular el área lateral del tronco de cono.

188) El área total de una pirámide regular cuadrangular es igual a 1.800 . Sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 9 cm, calcular el volumen de la pirámide. 189) Una circunferencia de centro en es tangente a otra circunferencia de centro en cuyo

radio mide 2m. Sabiendo que la longitud de la tangente trazada desde a la circunferencia de centro en mide 6m, calcular el radio de la circunferencia de centro en

190) El perímetro de un trapecio isósceles es igual a 65 cm. Sabiendo que las bases miden 28 cm y 20 cm, calcular el área del trapecio.

191) Demostrar: “Toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, divide a la misma y a los arcos subtendidos en dos partes iguales”

192) DEDUCIR la fórmula de en función de .

193) Reducir en su forma más simple:

(

) ( )

( )

(21)

195) Hallar el menor valor positivo del arco , que verifique la ecuación:

√ √

196) Calcular los ángulos B y C del triángulo ABC, siendo ; y

.

Año 2004

197) Deducir las fórmulas para y en función del arco .

198) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro; verificar la identidad:

199) Resolver la ecuación para el menor arco positivo.

200) Demostrar: “ La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos”

201) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos cualesquiera”(Año 2005)

202) Definir: ángulo inscrito y ángulo seminscrito, estableciendo la medida de cada uno de ellos en función del arco comprendido entre sus lados.

203) Dos ángulos se diferencian en 5°05’05”. Hallar esos ángulos, sabiendo que la suma de sus complementos es igual a 124°04’05”.

204) Las bisectrices de dos ángulos externos B y C de un triángulo cualquiera ABC se cortan en P. Demostrar que la suma del ángulo P y la mitad del ángulo A es igual a un ángulo recto.

205) Sobre los lados de un triángulo cualquiera ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA y ARB; donde P, Q y R son puntos exteriores al triángulo ABC. Demostrar que los segmentos

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅_{son iguales.}

206) Sean una circunferencia de centro en el punto O y un punto B exterior a su círculo. Por B se trazan dos rectas secantes BOA y BDC a la circunferencia. Si el ángulo AOC es igual a 64°, hallar el valor del ángulo ABC, sabiendo que BD=OA.

207) Los lados de un triángulo miden 7 m; 8 m y 12 m. Calcular las longitudes de los segmentos determinados en el lado opuesto por la bisectriz del ángulo interior mayor.

(22)

208) En la figura dada, calcular el área del trapecio HGDE, sabiendo que en el hexágono regular ABCDEF la apotema mide 3 m y la distancia ̅̅̅̅ a HG es 0,8 m.

209) Sean una circunferencia de centro O y un punto P exterior a su círculo. Por P se traza la secante PAB en la que quedan determinados los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ . Sabiendo que la distancia de P al centro de la circunferencia es 8 m, hallar el radio de la circunferencia.

210) Siendo ABC un triángulo cualquiera y CD una recta que corta al lado ̅̅̅̅, demostrar que

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅_.

211) En una pirámide V-ABC, ̅̅̅̅ y forma con la base un ángulo de 60°. Las caras

y ABC son triángulos isósceles, formando sus planos un ángulo de 30° entre sí. El lado desigual es ̅̅̅̅ y mide 2m. Calcular el volumen de la pirámide.

212) Calcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mide 62,28 .

213) Determinar el área total de un tronco de pirámide regular cuadrangular de 0,40 m de altura y perímetros de bases 0,8 m y 3,2 m.

214) Demostrar que el volumen de un prisma oblicuo triangular es igual al producto del área de una cara lateral cualquiera por la mitad de la distancia de esta cara a la arista opuesta.

215) En un cono de revolución de altura 24 m y radio de base 10 m, se inscribe una esfera, resultando de la intersección de sus superficies, una superficie cónica parcial. Hallar el área lateral de esa superficie resultante.

216) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano pasa un solo plano perpendicular al dado”.

217) La arista lateral de una pirámide triangular regular mide el doble del lado de la base ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total?.

218) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano puede pasar un plano perpendicular al primero y solo uno”

219) Hallar la relación entre los volúmenes de un cilindro y un cono de la misma altura, ambos de revolución, siendo el radio de la base del cono igual al diámetro de la base del cilindro.

A B C D E F G H O Q

(23)

220) Calcular el área de la sección resultante al cortar una esfera de volumen igual a por un plano distante 12 cm de su centro.

221) Definir: ángulo inscrito y ángulo seminscrito, estableciendo la medida de cada uno de ellos en función del arco comprendido entre sus lados.

222) Demostrar: “Si una recta es perpendicular a otra que contiene un radio de una circunferencia, por el extremo del mismo, la primera es tangente a la circunferencia”.(Año 2006).

223) Demostrar: “ Si dos rectas secantes se cortan en un círculo, el producto de los dos segmentos determinados en una de las cuerdas, es igual al de los otros dos determinados en la otra”.

Año 2005

224) Definir ángulo rectilíneo de un diedro.

225) Completar el enunciado del teorema: “Si una recta es paralela a un plano, también es paralela a la intersección de …”

226) Sea el cono circular recto cuya generatriz es igual al diámetro de la base. Si la relación entre el número que representa el volumen del cono y el número que representa el área lateral es igual a 1/3, hallar el área total de dicho cono.

227) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m. Las tres aristas laterales son iguales y miden 20m. calcular el volumen de la pirámide.

228) En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos?.

229) Sea un prisma oblicuo cuya base es un cuadrado de lado . Las aristas laterales miden y forman un ángulo de 60° con el plano de la base. Hallar el volumen del prisma.

230) El área de la base de un cono recto y circular está en relación con el área de una sección paralela a la base como 9 es a 4. La altura del cono es 12 dm. Calcular el volumen del tronco de cono definido por la base del cono y la sección paralela, sabiendo que la diferencia de los radios respectivos es igual a 3 dm.

231) Una esfera cuya área es 676 está cortada por un plano que dista 12 cm del centro de la misma. Calcular el volumen del cono con vértice en el centro de la esfera y base determinada en el plano por la esfera.

232) El área total de una pirámide cuadrangular es igual a 576 , y sus caras laterales forman ángulos de 60° con la base. Calcular su volumen.

(24)

Cursillo π 24 Ing. Raúl Martínez B E A C D

[ ] ( ) ( )

234) Efectuar transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar:

( )

235) Resolver la ecuación para valores de tales que .

236) En el triángulo ABC, CE es la bisectriz relativa al ángulo C y AD es perpendicular a CE. Sabiendo que A=69°; C=2B y ̅̅̅̅ hallar los lados y los demás ángulos del triángulo.

237) Deducir: en función de y .

238) Los catetos del triángulo ABC de la figura miden ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ . Determinar

̅̅̅̅_{de modo que el triángulo rectángulo CPD (DP} _{BC) tenga perímetro igual a 720 cm.}

239) Calcular el área de un paralelogramo cuya base mide 3m y sus diagonales son iguales a 2,5 m y 4,6 m.

240) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

( ) ( )

241) Resolver la ecuación , hallando todos los valores del arco que verifica a .

242) Resolver un triángulo, conociendo y el ángulo

que forma el lado con la bisectriz del ángulo .

243) En un triángulo rectángulo, la altura y la mediana trazadas desde el vértice del ángulo recto forman un ángulo . Hallar el valor de los ángulos agudos del triángulo.

C

D P

A

(25)

244) Sea el triángulo isósceles ABC de base ̅̅̅̅ igual a 60 cm y cuyos lados iguales miden 80 cm cada uno. Determinar sobre el lado ̅̅̅̅, a partir del vértice B, la posición de un punto M tal que el segmento ̅̅̅̅̅ de la paralela a la base forme un trapecio isósceles cuyo perímetro sea el triple del perímetro del triángulo parcial que se forma.

245) Se da la circunferencia de centro en el punto O y radio igual a 3 cm. Sobre una cuerda ̅̅̅̅ de la circunferencia, se considera un punto P que dista 1 cm del centro O. Hallar el producto

̅̅̅̅ ̅̅̅̅_.

246) En un paralelogramo ABCD, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son lados opuestos, P es el punto medio del lado ̅̅̅̅ y Q el punto medio del lado ̅̅̅̅. Demostrar que las rectas PD y BQ dividen a la diagonal ̅̅̅̅ en tres segmentos iguales.

247) Demostrar que en todo cuadrilátero la suma de los cuatro lados es mayor que la suma de las diagonales.

248) En una circunferencia de centro O se traza la cuerda ̅̅̅̅, de modo que el ángulo es igual a 25°32’18”. En el semiplano definido por AB y O, se considera un punto cualquiera D en la circunferencia. Hallar el valor del ángulo .

249) Las bases de un trapecio isósceles miden 88 cm y 24 cm. Siendo el área igual a 1.848 , calcular la diagonal.

250) Demostrar: “El ángulo determinado por dos rectas secantes que se cortan en un círculo, tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre las rectas que contienen sus lados”.

251) Calcular el área de la corona determinada por dos circunferencias, una inscripta y la otra circunscripta a un cuadrado de 16 dm de perímetro.

252) Demostrar: “Por un punto exterior a una recta puede pasar un solo plano perpendicular a ella”.

253) Demostrar: “Si dos circunferencias son tangentes, la recta determinada por los centros pasa por el punto de tangencia”.

254) Demostrar: “En todo triángulo, el producto de dos lados cualquiera es igual al producto del diámetro de la circunferencia circunscrita al mismo por la altura relativa al tercer lado”.(Año 2006; 2007)

(26)

Año 2006

255) Sean: la circunferencia de centro O y radio R; P punto cualquiera de su círculo; AB recta secante determinada por los puntos O y P y CD recta secante cualquiera que pasa por el punto P. Demostrar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

256) Calcular la longitud del radio de la circunferencia de la figura, siendo AB y CD, tangentes en A y C; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ la recta CB divide a ̅̅̅̅ en dos segmentos, siendo el menor de ellos de 5m.

257) Calcular el área del triángulo isósceles ABC ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , de la figura, siendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ .

( )

[ ]

261) En el triángulo rectángulo de la figura, el . Calcular la longitud del lado ̅̅̅̅

262) Sea E un punto extremo a una circunferencia de centro O; las rectas EA y ED cortan a esa circunferencia en los puntos B y A , y en los puntos C y D, respectivamente. La cuerda ̅̅̅̅ de la circunferencia corta al segmento ̅̅̅̅ en el punto G. Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

, y ̅̅̅̅ , calcular el valor de ̅̅̅̅ 16m 39m A B C D

(27)

263) El arco es del tercer cuadrante y el arco es del cuarto cuadrante. Siendo y

, calcular .

264) Demostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en un triángulo cualquiera, es acutángulo.

266) Hallar los valores del arco , menores que una circunferencia, que verifican la ecuación:

√

267) Una pirámide regular tiene por base un hexágono cuya diagonal menor mide √ cm. Las caras laterales de esta pirámide forman diedros de 60° con el plano de la base. Calcular el área total de la pirámide.

268) Definir:

a) Planos perpendiculares

b) Ángulos de una recta y un plano c) Plano tangente a un cono

d) Polos de un circulo de una esfera

269) Dados los triángulos ABD y CBD no situados en un mismo plano y de lado común ̅̅̅̅, demostrar que se verifica la relación

.

270) Determinar el área lateral de un prisma oblicuo cuyas aristas laterales miden 6 m, sabiendo que una sección recta es un triángulo equilátero de 5 de área.

271) Expresar el volumen de una pirámide regular en función de la arista lateral L y del lado del triángulo equilátero de la base.

272) El volumen de un cilindro de revolución de altura 13/2 m es igual a . Un cono de revolución tiene igual base e igual generatriz que el cilindro. Hallar la relación entre el volumen del cono y el del cilindro.

273) La altura de un cono de revolución mide 22,50 dm y el radio de la base es igual a 12 dm. Calcular el área total del tronco de cono determinado al trazar un plano paralelo a la base, a 7,50 dm del vértice del cono.

A D C B β α γ δ

(28)

274) Una esfera es cortada por un plano que dista 35 cm del centro de la misma. Siendo el área de la sección resultante igual a 144 π , calcular el área de la superficie esférica.

275) Demostrar que si una recta es paralela a un plano, todo plano perpendicular a ella es también perpendicular al plano dado.

276) Demostrar: “Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta perpendicular a la intersección y contenida en uno de ellos es perpendicular al otro”.

277) Demostrar: “ Si por un punto interior a un diedro se trazan las perpendiculares a las caras, el ángulo que forman las dos semirrectas que cortan a las caras es suplementario del diedro”

Año 2007

278) Hallar el radio R de la esfera inscripta en la pirámide regular hexagonal de 5 m de altura y 2 m de lado de base.

279) En un triedro cualquiera, trazar por su vértice una semirrecta que forme ángulos iguales con las aristas. Justificar el trazado.

280) El área de una base de un paralelepípedo rectángulo es 48 ; la de la car lateral de lado , 42 y la del rectángulo determinado por las aristas laterales opuesta, 70 . Calcular el área lateral del paralelepípedo.

281) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución miden 6 cm y 4 cm. Calcular la altura del tronco con la condición de que el área total sea el doble del área lateral.

282) Un cilindro de revolución, un cono de revolución y una esfera tienen igual radio R, siendo 2R la altura de los dos primeros. Hallar, en función de R, la suma del área total del cilindro, del área total del cono y del área de la superficie esférica.

283) El lado de la base de una pirámide regular cuadrangular mide 12 cm. El lado de base de un prisma regular cuadrangular mide 6 cm. Sabiendo que ambos cuerpos son equivalentes, ¿Qué parte de la altura del prisma es la altura de la pirámide?.

284) El área total de un cubo es 486 . Calcular el volumen del prisma cuadrangular que resulta al cortar el cubo por un plano que pasa por un lado de la cara y forma con ésta un ángulo igual a 30°.

285) El volumen de un paralelepípedo rectángulo de de largo, de ancho y de altura se debe aumentar en , a la vez de disminuir su largo en . Determinar la altura del nuevo paralelepípedo rectángulo obtenido y las áreas de superficies antes y después de la modificación.

(29)

286) Una de las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo es media proporcional de las otras dos y la suma de las tres dimensiones es . Determinar dichas dimensiones si el paralelepípedo es equivalente a un cubo de de arista.

287) Determinar las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo de volumen igual a si dichas dimensiones son proporcionales a y .

288) Determinar el volumen de un tronco obtenido al cortar un prisma triangular regular, cuya base es un triángulo equilátero de de lado, con un plano que determina aristas laterales iguales a y

289) Determinar el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide pentagonal regular si su arista de base mide y su arista lateral .

290) Una pirámide hexagonal regular tiene de área lateral y de lado de base. Determinar las medidas de su arista lateral, su altura y su apotema.

291) El volumen de un tronco de pirámide de de altura es y una de sus bases mide

de área de superficie. Determinar el área de superficie de la otra base.

292) Determinar el volumen de un tronco de pirámide hexagonal regular de de altura y radios de bases y , respectivamente.

293) Determinar el área lateral, el área de cada base y el volumen de un cilindro de revolución si su área total es de y la suma del radio de base con altura es .

294) Determinar la altura de un cilindro de revolución de de radio de base equivalente a un cubo de arista igual a .

295) Determinar el área lateral de un cono de revolución sabiendo que una sección que contiene a su eje es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide .

296) Determinar la relación entre los volúmenes de un cono y un cilindro que tiene bases y alturas iguales.

297) Un trapecio rectángulo de y de bases, gira alrededor del lado contenido en la recta perpendicular a las que contienen las bases. Si el lado opuesto al de giro, mide determinar el área engendrada por este lado y el volumen del sólido engendrado por el trapecio.

298) De un círculo de hojalata de de radio se corta un sector circular de para hacer un con. Determinar el radio de base y el volumen del cono obtenido.

(30)

299) Un tronco de cono de revolución tiene de altura, tiene por bases círculos de diámetros iguales a y , respectivamente. Determinar la altura de un cilindro de revolución equivalente al tronco si su área de base es igual al de la sección del troco obtenida con un plano equidistante de los planos de las bases del troco.

300) DEMOSTRAR: Los bisectores de los diedros de un triedro tienen una recta común.

301) DEMOSTRAR: En un triedro, los planos perpendiculares a los planos de las caras que

contienen la bisectriz de dicha cara, tienen una recta común.

302) DEMOSTRAR: El bisector de un diedro, comprendido entre dos caras iguales de un triedro,

pertenece a un plano perpendicular al plano de la cara opuesta.

303) Determinar la suma de todos los ángulos diedros de un prisma de caras laterales.

304) DEMOSTRAR: En un prisma triangular el área de superficie de una cara lateral es menor que

la suma de las áreas de superficie de las otras dos caras laterales.

305) DEMOSTRAR: Si dos caras laterales de un prisma triangular son equivalentes, los diedros

opuestos a las mismas son iguales.

306) DEMOSTRAR: En un tetraedro, los segmentos de rectas de extremos en los vértices y los

baricentros de las caras opuestas, concurren en un punto situado en la cuarta parte de cada uno de ellos a contar de la cara correspondiente.

307) DEMOSTRAR: EL plano bisector de un diedro de un tetraedro divide la arista opuesta en

segmentos proporcionales a las áreas de superficie de las caras del diedro.

308) DEMOSTRAR: En un tetraedro trirrectángulo, el cuadrado del área de superficie de la cara

opuesta a dicho triedro es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras caras del tetraedro.

309) DEMOSTRAR: En un tetraedro trirrectángulo, y son las aristas del triedro

trirrectángulo y la altura relativa a la cara opuesta, entonces .

310) Determinar el diámetro, la altura y el área total de un cilindro de revolución de de volumen, si su diámetro de base es el doble de su altura.

311) Explicar cuál es la distancia de un punto a un cilindro de revolución, si el punto es exterior al cilindro y está situado entre los planos de las bases del mismo.

(31)

312) La recta determinada por el vértice y un punto que dista del vértice y del centro de la base de un cono de revolución de de altura y de radio de base, corta en un punto al plano de la base del cono. Determinar la longitud del segmento de la recta tangente a la circunferencia de base por el punto , de extremos en y el punto de tangencia. 313) Un depósito, con forma de cono de revolución de eje vertical y vértice situado por debajo de

la base, contiene agua en volumen equivalente a la mitad de su capacidad. Determinar la distancia de la base a la superficie libre de agua.

314) Determinar los elementos geométricos necesarios para construir un embudo de forma de tronco de cono de revolución de y de diámetros de bases y de generatriz. 315) Suponiendo que la tierra es una esfera de 6.000 km de radio. ¿Cuál es el área de superficie

que se divisa desde una altura de 100 ?.

316) En una superficie esférica, de radio , se toma un punto que es polo de una circunferencia menor si el área del casquete esférico determinado es igual al de un círculo de radio dado. 317) Una superficie esférica es generada por la rotación de una semicircunferencia, de diámetro

, alrededor de uno de sus diámetros. Determinar a que distancia de una de los extremos de dicho diámetro debe trazarse un plano perpendicular al eje de giro, que divida la superficie esférica en dos casquetes esféricos tal que la diferencia de las áreas de superficies de las mismas sea igual al área de la sección obtenida por el plano con la esfera.

318) En una esfera de radio , determinar la altura de un segmento esférico de una base si su volumen es numéricamente igual al área de superficie del casquete esférico correspondiente. 319) El volumen generado por un segmento circular del semicírculo generador de una esfera, de

radio , es veces el volumen de la esfera. Determinar la longitud de la cuerda del segmento circular, sabiendo que uno de sus extremos pertenece al eje de giro.

320) Si en una superficie esférica de radio , se inscribe un cilindro de área lateral igual a la mitad de la superficie de un círculo máximo de la esfera. Determinar el volumen de dicho cilindro. 321) El radio de una superficie esférica es de . Haciendo centro en un punto cualquiera de

dicha superficie se describe un circunferencia con una abertura del compás igual a . Hallar el área del círculo.

322) Por un punto , interior al diedro , se consideran las rectas y , cuyos pies en las respectivas caras son y . Por se considera la recta . Demostrar que .

323) Si las caras de un triedro de un paralelepípedo son y . ¿Cuáles son medidas de las caras de los otros triedros?

(32)

Cursillo π 32 Ing. Raúl Martínez D _G F C E A B

324) Demostrar que la suma de los cuadrados de las cuatro diagonales de un paralelepípedo es igual a la suma a la suma de los cuadrados de las doce aristas.

325) La apotema de una pirámide triangular regular es igual a la altura de la base. Si el área de superficie de dicha base es √ . ¿Cuál es el área total de la pirámide?

326) Demostrar que entre los círculos menores de una esfera de radio , que pasan por un punto interior a su superficie esférica, el de área mínima pertenece el plano perpendicular a la recta determinada por y el centro de la esfera.

327) Determinar la altura de una pirámide triangular de de volumen si los lados de la base miden y respectivamente.

328) Determinar el volumen de un tronco obtenido al cortar una pirámide de de altura y de área de base, con un plano paralelo al plano de la base situado a de ella. 329) Los radios de dos superficies esféricas concéntricas son y . Hallar el área de la sección

determinada en la esfera exterior por un plano tangente.

330) Dado el paralelogramo ABCD y su diagonal ̅̅̅̅ se traza una recta que pasa por el punto A y un punto E de la diagonal BD. Esta recta corta a la ̅̅̅̅ en el punto F y al lado ̅̅̅̅ en el punto G. demostrar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

331) Dadas tres semicircunferencias como se indica en la figura, hallar el radio de la circunferencia que es tangente a las mismas, en función de R.

333) Hallar los ángulos del triángulo ABC, conociendo el lado , el ángulo opuesto

, y la altura correspondiente a ese lado.

(33)

334) Construir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado.

335) Sea la circunferencia de centro O y diámetro ̅̅̅̅ . Siendo el ángulo α=45°, calcular la longitud del arco

336) Calcular el área del círculo cuya circunferencia se halla inscripta en un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. 337) Simplificar:

338) Hallar el menor valor positivo del arco , expresado en radianes, que verifica la siguiente ecuación:

√

339) Desde una distancia x de una torre, un observador ve el punto más alto de la misma bajo un ángulo de 72° sobre la horizontal. Si se aleja 350 m del primer lugar de observación, lo ve bajo un ángulo de 31°. ¿Cuál es la altura de la torre?.

(34)

Año 2008

340) Demostrar que “La suma de las distancias a los cinco lados de un pentágono regular, trazadas por un punto interior cualquiera del mismo a los lados, es igual a cinco veces la apotema”.

341) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual son entre sí como los productos de los lados que comprenden ese ángulo” (Año 2010)

342) Calcular el área del trapecio rectángulo ABCD de la figura, sabiendo que

es una semicircunferencia de centro O y radio ̅̅̅̅ ̅̅̅̅; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ .

343) Sea un punto P exterior a un círculo. La menor distancia de dicho punto a su circunferencia es igual a 49 m. Sabiendo que el segmento de la tangente a ella, trazada por el punto P y de extremos en dicho punto y en el punto de tangencia, mide 63 m, calcular el área del círculo. 344) Reducir a su forma más simple:

345) Hallar el menor valor positivo del arco que verifica la siguiente ecuación:

346) Calcular el perímetro del triángulo ABC de la figura, sabiendo que CE es la bisectriz del ángulo ; AD CE; ̅̅̅̅ ; y .

347) En el triángulo ABC de la figura, ̅̅̅̅̅ es la medida relativa al lado ̅̅̅̅. Por un punto cualquiera E del lado ̅̅̅̅, se traza una recta r paralela a la mediana. Demostrar que se verifica la siguiente relación: ̅̅̅̅_̅̅̅̅ ̅̅̅̅_̅̅̅̅ C D E O B A B A E M F C D r

(35)

Cursillo π 35 Ing. Raúl Martínez C N D A B M

348) Calcular la longitud de la tangente ̅̅̅̅ en la circunferencia de centro O y radio ̅̅̅̅, sabiendo que ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ .

349) Hallar el menor valor positivo del arco ,que verifica la siguiente ecuación:

350) Sea la circunferencia de centro O y radio R=12 dm. Calcular el área del triángulo ABC de la figura, sabiendo que ̅̅̅̅̅ , que los puntos C y D equidistan del punto y que .

351) Dadas la circunferencia de centro O y radio R, y la circunferencia de centro O’ y radio r, tangentes exteriormente, como se indica en la figura, demostrar que la distancia ̅̅̅̅ de su punto de contacto a una tangente común externa es cuarta proporcional entre la semisuma de sus radios y cada uno de los radios.

352) Dados el triángulo AMB y el paralelogramo ABCD, como se indica en la figura, siendo

̅̅̅̅

, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ , calcular la distancia del vértice N del triángulo al lado ̅̅̅̅ del paralelogramo.

C D E O B F A B T T’ R O A O' r

(36)

353) Hallar el menor arco positivo que verifica la ecuación:

354) Calcular, en el sistema centesimal, la suma de todos los ángulos diedros de un prisma cuadrangular oblicuo.

355) Una superficie cónica es tangente a una esfera de radio R de tal modo que su vértice dista 4 m de la superficie esférica. Hallar el volumen de la esfera, sabiendo que la cuarta parte de su superficie es igual a la superficie cónica limitada por la circunferencia de tangencia de radio r. 356) Dado un ángulo poliedro de cuatro caras, demostrar que una cara es menor que la suma de

las demás.

357) Una arista lateral de una pirámide triangular regular es el doble del lado de la base. Hallar la relación entre el área total y el área de la base.

358) La diagonal del rectángulo resultante de cortar un cilindro de revolución con un plano que pasa por su eje, mide 29 dm. Siendo la generatriz del cilindro igual a 21 dm, calcular el área lateral, el área total y el volumen del cilindro.

359) Un prisma recto de 40 cm de altura tiene por base un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia. La base se descompone, por una de sus diagonales, en un triángulo equilátero de 12 cm de lado y otro isósceles. Calcular el volumen del prisma.

360) Una bóveda cilíndrica tiene 7,4 m de largo y 0,42 m de espesor . Su arco interno pertenece a una circunferencia de 4,3 m de radio y corresponde a un ángulo central de 135°. Hallar el volumen de la bóveda.

361) La base de un cono es un círculo. El eje es bisectriz del ángulo que forman la altura y una generatriz situada en el plano determinado por el eje y la altura. Calcular el volumen de dicho cono, siendo la altura igual a 4 m y la citada generatriz igual a 5 m.

362) Calcular el área lateral de un tronco de cono de revolución de bases paralelas, sabiendo que se pueden inscribir en él dos esferas tangentes de 40 cm y 30 cm de radio, respectivamente. 363) Demostrar: “Si por un punto P interior de un ángulo diedro se trazan rectas perpendiculares a

los planos que contienen a las caras del diedro, el ángulo con vértice en el punto P es suplemento del rectilíneo del diedro.

364) Considerando un segmento de recta ̅̅̅̅ como cuerda, trazar el arco capaz de contener a un ángulo obtuso α. Construcción y demostración.

(37)

365) Construir un pentágono semejante a dos pentágonos semejantes dados y equivalentes a su suma (construcción y demostración).

Año 2009

366) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m. Cada una de las tres aristas laterales mide 20 m. Calcular el volumen de la pirámide.

367) En un triángulo de hipotenusa ̅̅̅̅ y catetos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, las proyecciones de los catetos ̅̅̅̅ y

̅̅̅̅_{sobre la bisectriz del ángulo recto}_A_{, miden 758 m y 962 m, respectivamente. Calcular el}

ángulo del triángulo dado.

368) En un prisma triangular oblicuo se verifica que el área de una cara lateral es menor que la suma de las áreas de las otras dos caras.

369) El área total de una pirámide regular hexagonal es √ . Si su apotema mide √ m, calcular su altura.

370) Las aristas laterales de una pirámide regular triangular son el doble del lado de la base. ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total?

371) ¿A qué distancia del vértice de un cono de revolución se debe trazar un plano paralelo a la base del mismo, para que el área de la sección determinada sea igual al área lateral del tronco de cono resultante? Datos: altura del cono igual a 6m; radio de base igual a 2m.

373) En un cono de revolución de altura 24 m y radio de base 10m, se inscribe una esfera. Calcular: a. La longitud de la intersección de ambas superficies.

b. El volumen de la esfera.

374) El polo P de una circunferencia menor de una superficie esférica se halla a la distancia rectilínea de √ dm de cualquier punto de dicha circunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 6dm, calcular el área de la superficie esférica.

o o'

B P

(38)

375) Se dan dos semicircunferencias de diámetro ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, siendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Por el punto P de la semicircunferencia menor se traza una perpendicular a la recta AB que corta a la misma en el punto C y a la semicircunferencia mayor en el punto D. Se trazan también las rectas determinadas por los puntos A y D y por los puntos A y P. Demostrar que se verifica la relación

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _.

376) Sea el triángulo isósceles ABC de lados ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. La base ̅̅̅̅ mide 5m. La distancia del vértice C a la recta AB mide 4m. Calcular el área del triángulo.

377) Determinar gráficamente el lado del decágono regular y el del pentágono regular, inscritos en una circunferencia de radio R. Justificar la construcción mediante las fórmulas conocidas de

en función del radio R.

378) El área de un sector circular de 15 cm de radio es . Hallar el área del segmento circular determinado por el arco del sector y la cuerda que le subtiende.

( ) (

) ( )

380) Hallar el valor positivo del arco que verifica la ecuación:

381) El área de un triángulo ABC es igual a 157,735 . Dos de sus ángulos son y

. Calcular el lado opuesto al ángulo B.

382) Dados el ángulo agudo y el punto P exterior a dicho ángulo, trazar por el punto P una recta PL que forme con las semirrectas OA y OB, respectivamente, dos ángulos correspondientes, tales que uno sea el doble del otro. Construcción y demostración.

A O' _C O P B D

(39)

Cursillo π 39 Ing. Raúl Martínez H A D B A' C

383) Sean el triángulo acutángulo ABC, inscripto en una circunferencia, el punto H ortocentro de dicho triángulo y la recta . Demostrar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

384) Por un punto C exterior a un círculo dado, se traza una recta tangente CD y otra secante CA a su circunferencia, quedando determinada la cuerda ̅̅̅̅ m. Los extremos de la cuerda

̅̅̅̅_{dista de la recta tangente 6 m y 13,5 m. Calcular la distancia desde el punto de tangencia a la}

recta secante.

385) Hallar el menor valor positivo del arco ,que verifica la siguiente ecuación:

386) Demostrar: “Si dos rectas secantes se cortan en un círculo, el producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas, es igual al de los otros dos determinados en la otra”

387) En la circunferencia de centro O de la figura, hallar el valor del ángulo C.

388) En una circunferencia de radio R=5 m se hallan inscritos dos polígonos regulares. Uno de ellos tiene dos lados más que el otro y la diferencia entre los respectivos ángulos centrales es 6°. Calcular el número de lados de cada uno de los polígonos y el área del que tiene lado de mayor longitud. A B C O 30° 20° D C O B A

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389) Sean los triángulos BAC y BED de la figura. Dados ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y

̅̅̅̅ , calcular los catetos del triángulo BAC.

390) Calcular el área de un rombo de lado igual a 8 m, siendo el radio de la circunferencia inscrita en él igual a 3 m.

392) Resolver la ecuación , hallando todos los valores del arco que verifica a .

393) Calcular el lado ̅̅̅̅ del triángulo ABC con los siguientes datos: ;

y perímetro igual a 274 m.

394) Demostrar: “La suma de las caras de un ángulo poliedro es mayor que cero y menor que cuatro ángulos rectos”.

B A F C E D

(41)

Año 2010

395) Demostrar: “En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que

la diferencia de las mismas”.

396) Demostrar: “Si los ángulos rectilíneos de dos diedros son iguales, los diedros también lo

son”.

397) En un triedro cualquiera, demostrar que los planos determinados por una arista y la bisectriz de la cara opuesta, se cortan según una misma semirrecta.

398) Hallar gráficamente un cuadrado equivalente a un hexágono cualquiera dado. Construcción y demostración.

399) La altura de un prisma hexagonal regular es igual al perímetro de la base de lado igual a . Hallar, en función de , el volumen de un cilindro de revolución de la misma altura que el prisma y de igual área lateral.

400) Las áreas de las bases de un tronco de pirámide cualquiera son y . Calcular el área de la sección determinada por un plano equidistante de los planos de las bases del tronco.

401) Dados el cono de revolución de la figura y sus generatrices

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅_y̅̅̅̅_{, siendo los puntos A y B diametralmente}

opuestos y los puntos cualquiera C y D no opuestos diametralmente, demostrar que >.

402) La diagonal de un rectángulo resultante de cortar un cilindro de revolución por un plano cualquiera que pasa por el eje, mide 3 m y es igual al doble del diámetro de la base. Calcular el área lateral del cilindro.

403) En un vaso, cuya forma es la de un tronco de cono de revolución, se introduce otro vaso de forma de un cilindro de revolución de 8 cm de diámetro y altura igual a la del tronco. Los radios de las bases del tronco son y . La diferencia de los volúmenes de los dos recipientes es igual a . Calcular la altura de los vasos.