FISICA IV. Física Cuántica Marco A. Merma Jara Versión

Física Cuántica

Marco A. Merma Jara

http://mjfisica.net

Versión 8.2015

Contenido

Inicios de la física moderna

Constante de Planck

El efecto fotoeléctrico

Energía relativista

Teoría cuántica de Bohr

Pozo potencial

Densidad de probabilidad

Ecuación de Schrödinger

Referencias

Inicios de la Física Moderna

Física Clásica

Física Moderna

~ 1900

Radiación térmica de los cuerpos

Propagación de la luz

FISICA CUANTICA

Constante de Planck

En su estudio de la radiación de cuerpo negro, Max Planck descubrió que la energía electromagnética se emite o

absorbe en cantidades discretas.

Ecuación de Planck:

E = hf

(

h = 6.626 x 10

-34

_{J s)}

La luz consiste de pequeños paquetes de energía llamados fotones

E = hf

Energía en electronvolts

Las energías de fotón son tan pequeñas que la

energía se expresa mejor en términos del

electronvolt.

Un electronvolt (eV) es la energía de un electrón

cuando se acelera a través de una diferencia de

potencial de un volt.

Ejemplo ¿Cuál es la energía de un fotón de luz amarillo-verde (λ = 555 nm)? De la ecuación de onda: λf=c

;

c

hc

f

E

hf

λ

λ

=

=

=

34 8 -9

(6.626 x 10

J s)(3 x 10 m/s)

555 x 10 m

E

−

_⋅

=

E = 3,58 x 10

-19

_J=

_{2.24 eV}

1 eV = 1,60 x 10

-19

_J

Útil conversión de energía

Dado que la luz con frecuencia se describe mediante su longitud de onda en nanómetros (nm) y su energía E está dada en eV, es útil una fórmula de conversión. (1 nm = 1 x 10-9 _m) -19

; 1 eV

1.60 x 10 J

hc

E

λ

=

=

9 -19

(1 x 10 nm/m)

(1.6 x 10 J/eV)

hc

E

λ

=

Si

λ

está en

nm

_{, la energía}

eV

_{se encuentra de:}

1240

E

λ

El efecto fotoeléctrico

Un haz de luz monocromática, incide sobre una superficie metálica

Superficie metálica

Explicación de Einstein (Premio Nobel 1921)

1905 explica Einstein

El haz de luz

considerado como un

chorro de paquetes

de energía (“quanta”)

Un electrón absorbe

la energía de un

“quanto”

Un “quanto” es

llamado FOTON (por

Einstein)

φ

−

=

hf

E

φ

Función trabajo

h

Constante de Planck

f

Frecuencia de la radiación

Efecto fotoeléctrico

Experimento de Frank-Hertz

En una cápsula al vacío

Cátodo Ánodo

Luz monocromática incidente

Amperímetro

--

+

+

A

A C

El efecto fotoeléctrico

La luz incide sobre el

cátodo C de una

fotocelda, se expulsan

electrones de C y los

atrae el potencial

positivo de la batería.

Cátodo Ánodo Luz incidente Amperímetro

+

+

-A

A C

Existe cierta energía umbral, llamada función de

trabajo ϕ, que se debe superar antes para emitir un

electrón

Ecuación fotoeléctrica Cátodo Ánodo Luz incidente Amperímetro

+

+

--

_A

A C De la conservación de energía

La energía de la luz entrante hc/λ sea igual a la función de trabajo Φ de la superficie más la energía cinética

½

mv2 _de

los electrones emitidos.

2 1 2

hc

E

φ

mv

λ

=

= +

0

hc

φ

λ

=

Longitud de onda umbral λ_ο

Ejemplo: La longitud de onda umbral de la luz para una superficie dada es 600 nm. ¿Cuál es la energía cinética de los electrones emitidos si luz de 450 nm de longitud de onda incide sobre el metal?

A

λ = 600 nm

hc

K

φ

λ

= +

₀

hc

hc

K

λ

=

λ

+

0 1240 1240 450 nm 600 nm hc hc K λ λ = − = − K = 2.76 eV – 2.07 eV K = 0.690 eV=1.10 x 10-19 J

Potencial de frenado V_s=V_o

A

Cátodo Ánodo Luz incidente Potenciómetro

+

+

-

-V

Se usa un potenciómetro para variar el voltaje V_o entre los electrodos.

K

K

_maxmax

=

=

eV

eV

_oo 0

E

=

hf

= +

φ

eV

Ecuación fotoeléctrica:

El potencial de frenado es aquel voltaje V_o que apenas frena la emisión de

electrones y por tanto iguala su Energía cinéntica original.

0

h

V

f

e

e

φ

 

=

_{ }

−

 

Cómo encontrar la constante de Planck, h

Se traza una gráfica para el potencial de frenado para algunas frecuencias de luz

incidente La ordenada al origen f_o es la frecuencia umbral. 0

h

V

f

e

e

φ

 

=

_{ }

−

 

f

_o Frecuencia

V

_o

Cómo encontrar la constante h

V_o f Pendiente

h

pendiente

e

 

=

_{ }

 

f

Ejemplo 3: En un experimento para determinar la constante de Planck, se elabora una

gráfica de potencial de frenado contra frecuencia. La pendiente de la curva es 4.13 x 10-15

V/Hz. ¿Cuál es la constante de Planck?

f

_o P o te n ci a l d e fr e n a d o f

V

_o 0

h

V

f

e

e

φ

 

=

_{ }

−

 

Constante de Planck experimental h= 6.62 x 10-34 _J/Hz V/Hz 10 4.13× −15 = = e h Pendiente

V/Hz)

10

C)(4.13

10

(1.6

)

(

=

×

−19

×

−15

=

e

pendiente

h

Ejemplo 4: La frecuencia umbral para una superficie dada es 1.09 x 1015 _Hz.

¿Cuál es el potencial de frenado para luz incidente cuya energía de fotón es 8.48 x 10-19 _J? 0

E

=

hf

= +

φ

eV

Ecuación fotoeléctrica:

0

;

0

eV

= −

E

φ φ

=

hf

Φ

Φ

= (6.63 x 10

= (6.63 x 10

--34 34

_Js

_Js

_{)(1.09 x 10}

_{)(1.09 x 10}

15 15

_{Hz) =7.20 x 10}

_{Hz) =7.20 x 10}

--19 19

_J

_J

-19 -19 -19 0

8.48 x 10 J 7.20 x 10 J

1.28 x 10 J

eV

=

−

=

-19 0 _-19

1.28 x 10 J

1.6 x 10

J

V

=

Potencial de frenado:

V

o

= 0.800 V

A Cátodo _Ánodo Luz incidente

+

+

-

-V

Energía relativista total

Recuerde que la fórmula para la energía relativista

total es:

Energía total,

E

E

=

(

m c

0 2

)

2

+

(

p c

)

2

Para una partícula con cantidad de movimiento cero p = 0:

Un fotón de luz tiene m_o = 0, pero sí tiene cantidad de

movimiento p:

E = m

_o

c

2

Ondas y partículas

Se sabe que la luz se comporta como onda y como partícula. La masa en reposo de un fotón es cero y su longitud de onda se puede encontrar a partir de la cantidad de movimiento.

hc

E

pc

λ

=

=

h

p

λ

=

Longitud de onda de un fotón:

Todos los objetos, no sólo las ondas EM, tienen longitudes de onda que se pueden encontrar a partir de su cantidad de

movimiento.

Longitud de onda de De Broglie:

h

mv

λ

=

Cantidad de Movimiento

Al trabajar con partículas con cantidad de movimiento p = mv, con frecuencia es necesario encontrar la cantidad de movimiento a partir de la energía cinética K dada. Recuerde las fórmulas:

2

p

=

mK

2

2

1

mv

K

=

p

=

mv

2

2

p

K

m

=

Ejemplo 5: ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón de 90 eV? (m_e = 9.1 x 10-31 _kg.)

-e

e

--

₉₀

₉₀

_eV

_eV

A continuación, encuentre la cantidad de movimiento a partir de la energía cinética:

2

p

=

mK

-31 -17

2(9.1 x 10 kg)(1.44 x 10 J)

p

=

-19 -17 1.6 x 10 J 90 eV 1.44 x 10 J 1 eV K = _ _ =  

p =

5.12 x 10

-24

_{kg m/s}

h

h

p

mv

λ

= =

-34 -24

6.23 x 10 J

5.12 x 10 kg m/s

h

p

λ

= =

_λ

_{= 0.122 nm}

Teoría Cuántica de Bohr

Postulado1

El electrón orbita alrededor del núcleo describiendo trayectoria circular, gobernados por la ley de Coulomb (Clásico)

Postulado 2

En una transición electrónica los electrones emiten energía

cuantizada E=hf

Postulado 3

Una orbita es estable si no emite ni absorbe energía

Postulado 4

El tamaño de las órbitas

electrónicas esta dado por la cuantización del momento angular (cuántico)

r

v

2 2

e

F

k

r

=

e

−

e

+ Átomo de Bohr

Cuantización de la energía E energía cuantizada 2

6

.

13

n

eV

E

_n

=

−

1, 2, 3,..

n

=

1 13, 6 E = − eV 2 13, 6 4 E = − eV

1

n

=

2

n

=

3

n

=

4

n

=

3 13, 6 9 E = − eV 4 13, 6 16 E = − eV

Cuantización del momento angular L momento angular

ℏ

n

L

=

1, 2, 3,...

n

=

Núcleo

Dualidad onda materia

Lois D´Broglie

La materia a veces se comporta como onda y a veces como partícula

Materia

Tiene naturaleza dual

Ondulatoria Corpuscular

p

h

=

λ

h

p

λ

=

Pozo potencial Partícula en un pozo potencial 2 2 2

8

mL

n

h

E

_n

=

1, 2, 3, ...

n

=

L

Función de onda en un pozo potencial Función de onda L

0

0

( )

0

0

0

x

x Asenkx

x L

x

ψ

<





< <





_>



U E

Valores máximos y mínimos

El número de onda

K= (2_π/_λ)

Sin la función de onda es máxima Sen kx =1 Kx = n (_π/2) n =1,3,5,7 x=n(_λ/4) Si la función de onda es mínima Sen kx=0 Kx = n _π n=0,1,2,3,… x=n_λ

Densidad de probabilidad Densidad de probabilidad 2

( )

x

ψ

x

2 ( )x

ψ

Función de Probabilidad

La función de probabilidad P(r) En todo el espacio, desde – infinito al + infinito dV el elemento del volumen (espacio) r = (x,y,z) En 1D la función de probabilidad es P(x)

∫

+∞

∞

−

=

x

dx

x

P

(

)

ψ

(

)

2

2

( )

( )

P r

+∞

ψ

r

dV

−∞

=

_∫

Principio de Normalización La máxima probabilidad es la unidad (100%) La normalización de una función de onda Permite determinar la amplitud de la onda En una dimensión 2

( )

( )

1

P r

+∞

ψ

r

dV

−∞

=

_∫

=

2 ( ) ( ) 1 P x +∞ ψ x dx −∞ =

_∫

=

r

d

dV

=

3

Valor esperanza

De la posición

Del momento lineal

∫

>=

<

x

x

ψ

(

x

)

2

dx

2

( )

x x

p

p

ψ

x

dx

<

>=

_∫

Principio de incertidumbre de Heisemberg Posición y momento lineal Energía y tiempo

2

ℏ

≥

∆

∆

x

p

_x

2

E t

∆ ∆ ≥

ℏ

Ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

2 2 2

( )

2 (

)

( )

x

m E U

x

x

ψ

_ψ

∂

_{= −}

−

∂

ℏ

( )

x

ψ

Función de onda

E

U

Energía Energía potencial

Pozo potencial infinito

Pozo potencial de paredes infinitas

La partícula existe con naturaleza dual

Onda estacionaria

Para x<0 no hay partícula Para x>L no hay partícula Solo en 0<x<L

La partícula existe

L Ancho del pozo

U _{Energía potencial} U E

Asenkx

x

)

=

(

ψ

L 2 2 2 2 2 d mE k dx ψ _{= − ψ = − ψ} ℏ

Pozo potencial finito

La función de onda existe en las tres regiones

U E L 1

( )

x

ψ

ψ

2

( )

x

3

( )

x

ψ

0

( )

0

cx cx cx cx

Ae

_x

x

Ae

Be

x

L

x

L

Be

ψ

− −



_<



=



+

< <



_>



2 2 2 0 d c d x ψ _{− ψ =}

( )

x

Ae

cx

Be

cx

ψ

₌

₊

−

( )

x

Asenkx B

cos

kx

ψ

=

+

Referencias

Física Universitaria, Vol II, 12va edición, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addisson Longman, México, 1999

Física, Vol II, Serway,Jewet, 7ma Edición, McGraw-Hill, 2009 Fisica, Tippens, 7ma edición, McGraw-Hill, 1999