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MATEMÁTICAS II - P.A.E.U.
ÁLGEBRA LINEAL
CUESTIONES
1. Encontrar una matriz X que verifique AX+B=C siendo:
A= 4 2 1 0 2 1 0 0 1 , B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y C= 3 1 0 2 5 2 0 0 3 (J94). Sol.: X= − −12 34 0 1 2 0 0 0 2
2. Determinar las matrices A y B sabiendo: 2A+B= 2 4 12 5 3A+2B= 10 20 25 11 (S94) Sol.: A= − − − − 6 12 1 1 B= 14 28 14 7 3. Hallar la potencia n-ésima de la matriz
a a 0 1 . (J95) Sol.: An= − n a n n na a 0 1 4. Sea A la matriz A= 3 2 1 2
. Calcular los valores de g y de h para que se cumpla A2+gA+hI=0 (S95) Sol.: g=−−−−5 h=4 5. Define independencia lineal de vectores en R3. Explica cómo se usa este concepto para decidir si tres puntos de R3 están alineados. (J96) Sol.: PQy QRson linealmente dependientes.
6. Calcula el rango de la matriz A=
− − t t 1 4 3 0 1 0 1
según los distintos valores de t. (J96)
Sol.: Si t=1 ó t=3 rg(A)=2 y si t≠≠≠≠1 y t≠≠≠≠3 rg(A)=3 7. Calcular todas las matrices A=
d a 0 0
que satisfacen la ecuación A2-5A+4I=0. (S96) Sol.: 1 0 0 1 4 0 0 1 1 0 0 4 4 0 0 4 8. Resolver = − + = + − = + + y z y x x z y x z z y x 5 12 4 4 2 2 3 2 (J97) Sol.:
(
)
R z z z z ∈ −135 ,57 , 9. Resolver la ecuación matricial AXB=C, siendo A= 1 0 0 1 , B= 3 1 2 1 y C= 0 0 2 1 .(J97) Sol.: X= 0 0 0 1
10. En R4 se consideran los vectores (5,1,2,-1), (4,3,4,-3) y (2,6,3,-2). Comprobar que son linealmente independientes y encontrar un cuarto vector que forme con ellos una base de R4. (S97)
________________________________________________________________________________________________________________________ 11. Dadas las matrices A=
0 2 1 1 0 2 y B= 1 1 1 0 0 1
; y las ecuaciones matriciales X−A=B, Y−AB=0 y Z−BA=0. Se pide: señalar las correctamente planteadas y, en su caso calcular la matriz X, Y ó Z.
Razonar la respuesta. (S97) Sol.: No. Sí. Sí. Y=
2 1 1 3 , Z= 1 2 3 0 2 1 1 0 2 .
12. Resolver la ecuación matricial AX=B siendo A= −1 0 2 1 y B= −1 1 0 3 2 1 . (J98) Sol.: X= −1 1 0 5 0 1 . 13. De una matriz cuadrada A de orden 3 se sabe que su determinante vale -1. ¿Cuánto valdrá el
determinante de la matriz 2A? (J98) Sol.: 2A= −−−−8.
14. Dar un ejemplo, si es posible, de un sistema de dos ecuaciones lineales con 3 incógnitas de cada uno de los siguientes tipos: a) incompatible b) compatible determinado. (S98) Sol.: Sí. No.
15. Si A, B y C son tres matrices tales que existe la matriz AB+Ct, analizar si existe la matriz BC+At
(Se recuerda que Mt representa la traspuesta de la matriz M). (S98) Sol.: Sí. 16. Dada una matriz cuadrada A se sabe que su determinante vale -1, y que el determinante de 2A
vale -8. ¿Cuál es el orden de la matriz A?. Razona la respuesta. (J99) Sol.: Es de orden 3.
17. Dadas las matrices A= 1 1 3 2 e I= 1 0 0 1
, calcular A2-3A-I. (J99) Sol.: 0 0 0 0 . 18. Resolver el sistema − = + − − = + − = + − 2 7 4 1 5 3 4 3 2 z y x z y x z y x
(J99) Sol.: S.C.I. (2y-1,y,2-y)y∈∈∈∈R.
19. Si A es una matriz de orden n tal que A2=A y B=2A-I, siendo I la matriz identidad de orden n,
calcular B2. (S99) Sol.: B2=I .
20. ¿Es posible añadir una fila a la matriz A=
− − − 0 3 7 2 2 1 1 0 3 0 2 1
, de forma que la nueva matriz tenga rango 4?. Razonar la respuesta. (S99) Sol.: No, pues rg(A)=2 y como mucho puede ampliarse a 3.
21. Calcular el rango de la matriz A=
− − − − m m m m 2 1 2 1 4 3 2
según los valores de m. (J00)
Sol.: m=1, rg(A)=1; m=-1, rg(A)=2; si m≠≠≠≠1 y m≠≠≠≠-1, rg(A)=3 22. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a,b,1), (-b,-1,a) y (-a,b,a) estén
sobre un mismo plano? (J00) Sol.: ab2−−−−
________________________________________________________________________________________________________________________ 23. Resolver el sistema: = − = + = − x z y y z x z y x (S00) Sol.: (y,y,0)y∈∈∈∈R.
24. Sean A y B matrices cuadradas con A =2 y B =3. Razonar cuánto vale el determinante de la matriz B-1·A·B (S00) Sol.: B-1·A·B=2.
25. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando que 2·A2 = A. Calcular razonadamente los posibles valores del determinante de A. (J01) Sol.: A=0 ó A=1/4. 26. Encontrar todas las matrices C =
1 1 b a
que verifiquen la igualdad C· 0 2 3 1 = − − 6 8 3 5 ·C (J01) Sol.: C= 1 2 0 1 27. Sea A una matriz cuadrada tal que A2=A+I donde I es la matriz identidad. ¿Se puede asegurar
que A admite inversa?. Razonar la respuesta. (S01) Sol.: Sí, A-1=A-I
28. Calcular el rango de la matriz A=
− − − − − 2 1 1 0 2 3 1 1 7 1 2 2 1 1 0 1 (S01) Sol.: rg(A)=3.
29. Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad
= 2 0 0 0 2 0 0 0 2 3 0 0 3 2 0 3 2 1 · A (J02) Sol.: = − − 3 2 0 0 1 1 0 0 2 2 A
30. Dadas las matrices A= 0 2 1 1 , B= 2 2 1 3
, hallar para qué valores de m la matriz B+mA no tiene inversa. (S02) Sol.: m=1 y m= −−−−2
31. Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales, calcular el determinante de A. ¿Existe la matriz inversa de A? (S02) Sol.: A=0. No existe inversa.
32. Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de "m":
= m A 2 1 2 2 1 1 1 1 . (J03)
Sol.: Si m=2, rg(A)=2; si m≠≠≠≠2, rg(A)=3. 33. Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A+At es igual a su traspuesta? Razona la respuesta. (At es la matriz traspuesta de A). (J03) Sol.: Si.
34. Se consideran las matrices:
− − = 1 1 1 2 1 m A , = 2 0 0 3 1 m B
donde m es un número real. Encontrar
________________________________________________________________________________________________________________________ 35. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB=B2, ¿cuándo se puede asegurar que A=B? (S03) Sol.: Cuando |B|≠≠≠≠0. 36. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y
cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son: −C2, C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-l en caso de que exista esa matriz. (J04)
Sol.: A-1=-1/6 37. Dada la matriz − − = 2 1 1 2 3 1
B hállese una matriz X que verifique la ecuación XB+B=B-1. (J04) Sol.: X= 4 4 4 4
38. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 4 3 A. Calcúlese el determinante de la matriz B. (S04) Sol.: B=9.
39. Dadas las matrices P=
− − 1 1 0 1 0 1 1 1 1 y A= − − 2 0 0 0 1 0 0 0 1
hállese la matriz B sabiendo que P-1BP = A.
(S04) Sol.: B= 0 1 1 1 0 1 1 1 0
40. Sea A una matriz 2x2 de columnas C1, C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2x2 de
determinante 2. Si C es la matriz de columnas C1 + C2 y 3C2, calcúlese el determinante de la
matriz B·C−1. (J05) Sol.: 61
41. Dadas las matrices
= = 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 C ,
A , hállense las matrices X que satisfacen
XC + A = C + A2. (J05) Sol.: X=I3 42. Sea la matriz = c b a A
0 . Calcúlese el determinante de A sabiendo que 2 Id 0 2− + =
A
A , donde
Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.(S05) Sol.: A=1
43. Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz
a 1 0 3 1 2 1 2 1 . (S05)
Sol.: Si a=−−−−1/3, rg(A)=2; si a≠≠≠≠−−−−1/3, rg(A)=3.
44. Sea = 3 2 2 1
A . Determínense los valores de m para los cuales A + mId no es invertible (donde Id denota la matriz identidad).(S05) Sol.: m=−2± 5
45. Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A A = 1 1 0 1 1 1 0 1 . (J06) Sol.: R , α β 0 α A ∈ = β α
________________________________________________________________________________________________________________________ 46. Dadas las matrices
− − − = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 P y − − = 2 0 0 0 1 0 0 0 1
A , hállese razonadamente la matriz B
sabiendo que BP=A. (J06) Sol.: − − − = 2 0 2 1 1 0 1 1 1 B
47. Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es
+ = 2 1 2 1 1 1 1 m m m A . (S06)
Sol.: Si m≠≠≠≠1, S.C.D, sol.: (0,0,0); si m=1, S.C.I.., sol.: (-αααα-ββββ, αααα, ββββ), ∀∀∀∀αααα, ββββ∈∈∈∈ℜℜℜℜ.
48. Dada la matriz + = 5 4 3 0 1 2 2 1 a a
P , determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P. (S06) Sol.: ∀∀∀∀ a∈∈∈∈ℜℜℜℜ.
49. Hallar para que valores de a es inversible la matriz + = a a a A 1 3 4
y calcular la inversa para a=0.
(J07) Sol.: ∀∀∀∀ a∈ℜ∈∈∈ℜℜℜ-{4,−−−−1}. = − 0 1 0 A 1/4 1
50. Discutir en función de a el sistema = − = + 1 ay x a ay ax . (J07)
Sol.: a=0, no es un sistema en x e y / si a=−−−−1, S.C.I., (t,1-t)t∈∈∈∈R / si a≠≠≠≠0 y a≠≠≠≠−−−−1, S.C.D.,
( )
1,0 .51. Sean X una matriz 2×2, I la matriz identidad 2×2 y = 1 0 1 2
B . Hallar X sabiendo que BX+B=B2+I. (S07). Sol.: X= 1 0 2 1 2 3
52. Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz
− − + = 2 1 2 3 2 1 1 2 m m A . (S07)
Sol.: Si m= −−−−2 o si m=3, el rango es 2; si m≠≠≠≠−−−−2 y m≠≠≠≠3, el rango es 3.
53. Sean las matrices B= 2 3 3 5 y C= 5 8 8 13
. Calcular la matriz A, sabiendo que A2=B y A3=C. (J08) Sol.: A= 1 1 2 1
54. Calcular el rango de la matriz
− − − − − − − 1 4 2 3 6 0 4 2 3 3 1 1 5 1 3 1 . (J08) Sol.: rg(A)=2
55. Sea A una matriz de 3x3 columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+C2, 2C1+3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A. (S08)
________________________________________________________________________________________________________________________ 56. Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a:
= − + = + 0 ) 1 ( 2 0 y a x y ax
(S08) Sol.: Si a≠≠≠≠-1 y a≠≠≠≠2 S.C.D. solución trivial; a= -1 ó a=2 S.C.I.
57. Sea A una matriz cuadrada tal que det(A)=-1 y det((-2)A)= 32 . Calcular el tamaño de A.
(J09) Sol.: 5x5
58. Calcular la matriz X que verifica AX = BBt, donde A= −2 3 1 2 y B= −1 2 3 0 1 0 siendo Bt la matriz transpuesta de B. (J09) Sol.: X=
−31/7 7 / 5 7 / 12 7 / 1 59. Resolver la ecuación 1 1 1 + + + x x x x x x x x x =0. (J09) Sol.: x=-1/3 60. Resolver la ecuación: 0 2 1 1 2 2 1 x x x x x x − − − − − − = 0. (S09) Sol.: x=1
61. Estudiar, en función del parámetro real λ, el rango de la matriz A=
− − − − − λ λ λ 2 1 1 1 1 1 1 2 . (S09) Sol.: λλλλ=1, λλλλ=2 ó λλλλ=3 rg(A)=2 / λλλλ≠≠≠≠1, λλλλ≠≠≠≠2 y λλλλ≠≠≠≠3 rg(A)=3
62. a) Calcular el rango de la matriz A=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
b) Si B es una matriz cuadrada de, dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4. Calcula el determinante de 5B y el de B2. (J11) Sol.: a) rg(A)=2 b) ||||5B||||=500 ||||B2||||=16
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PROBLEMAS
1. Discutir según los valores de a y b, y resolver cuando sea posible el sistema: = + + = + − − = + − b z y x z y x az y x 4 1 2 3 2 5 2 (J94)
Sol.: a=1 y b=3, S.C.I. ( 9y-5,y,8-13y)y∈∈∈∈R / a=1 y b≠≠≠≠3, S.I. / a≠≠≠≠1 y ∀∀∀∀b∈∈∈∈R, S.C.D.
− − − + − − − + − + 1 3 1 13 4 4 3 1 13 23 10 4 a b , ) a ( b a ab , ) a ( b a ab
2. Discutir y resolver, según los valores de a, el sistema = + = + 1 2 2 y a x a y ax (S94)
Sol.: a=1, S.C.I., (x,1-x)x∈∈∈∈R / a≠≠≠≠1, S.C.D.
+ + − + + + + + 1 2 1 2 1 2 3 a a a , a a a a a
3. a) Explica qué es un sistema homogéneo. ¿Cómo son sus posibles soluciones? Justifica la respuesta.
b) Calcular los valores de k y m para que el sistema = − + = + + = − − = + + 0 0 0 0 3 z my x z y mx z y x kz y x sea indeterminado. (J95) Sol.: m= -1 ∀∀∀∀k∈∈∈∈R
4. Discutir y resolver en los casos que sea posible el sistema = + + = + + = + + 3 5 3 4 2 z y x tz y x z y xt (S95)
Sol.: t=1, S.C.I. (2-z,1,z) / t=4, S.I. / t≠≠≠≠1 y t≠≠≠≠4, S.C.D. − − − − − − 4 4 4 6 3 4 2 t , t t , t
5. Dadas dos matrices A y B. ¿Qué propiedades han de tener para que sea válida la fórmula del binomio de Newton al desarrollar (A+B)n? Sol.: A y B deben conmutar
Calcula la potencia enésima de A=
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 y B= 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 . (J96) Sol.: A2= 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 , A3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , An=0 ∀∀∀∀n≥≥≥≥4; Bn= 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 3 2 1 n n n n n n
6. a) Enuncia los resultados teóricos que conozcas en relación con la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
b) Estudia según los valores del parámetro a el siguiente sistema = + + = + + = + + a az y x a z ay x a z y ax y calcular sus soluciones cuando sea posible: (S96)
Sol.: a=1, S.C.I. (x,y,1-x-y)x,y∈∈∈∈R / a= -2, S.I. / a≠≠≠≠1 y a≠≠≠≠-2, S.C.D.
+ + + 2 , 2 , 2 a a a a a a
________________________________________________________________________________________________________________________ 7. ¿Es siempre cierta la propiedad conmutativa del producto de matrices? En caso afirmativo
probarlo y en caso negativo poner un ejemplo en que no se verifique. Si A y B son matrices diagonales de orden 2, demostrar que AB=BA Determinar las matrices 2x2 diagonales A tales que AA= 1 0
0 1 . (J97) Sol.: No. A= − − − − 0 1 0 1 , 1 0 0 1 , 1 0 0 1 , 1 0 0 1
8. Enunciar las propiedades de los determinantes. Calcular el siguiente:
x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (S97) Sol.: (x+3)(x−−−−1)3 9. Dado el sistema = + + − = + + − = − + y z y x x z ay x z z y ax 3 3
se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible. (J98)
Sol.: a=1, S.C.I. (z,z,z)z∈∈∈∈R / a=7, S.C.I.
R z z z z ∈ − , 17 1 , 17 5 / a≠≠≠≠1 y a≠≠≠≠7, (0,0,0)
10. Estudiar según los valores del parámetro a la compatibilidad del sistema: = − + − = + = − 2 4 2 3 1 az y x z ay z x y resolverlo cuando sea compatible y determinado. (S98)
Sol.: a=1, S.C.I. (1+z,-2-3z,z)z∈∈∈∈R / a=3, S.I. / a≠≠≠≠1 y a≠≠≠≠3, S.C.D.
− − − − − 3 2 3 2 3 1 a , a , a a
11. a) Definir el concepto de matriz inversible. Dar un criterio para asegurar que una matriz es inversible. b) Dada la matriz A= − − − m 0 1 0 1 1 1 1 1
. Determinar, para qué valores del parámetro m, existe A-1.
c) Para m= -1, resolver det A−1 −xI =0, siendo I la matriz unidad de orden 3. (J99)
Sol.: a) A≠≠≠≠0. b) ∀∀∀∀m∈∈∈∈R. c) x= -1 12. a) De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2 señalar las que son correctas y, en su caso, enunciar las propiedades que se utilizan:
b b a a =0, 6 2 2 2 = 4 3 1 1 1 y 6 2 2 2 =2 3 1 1 1
b) Dadas las matrices A y B de orden 4x4 con A=3 y B=2, calcular A−1 , B At y
(
AB−1)
t justificando la respuesta. (At = transpuesta de A) (S99) Sol.: a) V, V, F. b) 1/3, 6, 3/2.13. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2=2A+I, donde I es la matriz unidad. a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A.
b) Dada la matriz B= − + m m 1 1 1 1
, hallar para que valores de m se verifica B2 =2B+I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. (J00) Sol.: a) A-1=A-2I. b) m=1,
−2 1 1 0 y m= -1, − 0 1 1 2
________________________________________________________________________________________________________________________ 14. a) Concepto de sistema de ecuaciones compatible determinado y de sistema incompatible
b) Consideramos la matriz A= − a a 1 2
. Calcular, en función del parámetro a, las matrices X de la
forma X= x z y x
que verifican AtX=AXt. (S00) Sol.: a=2, R z z z z z ∈ − 2 2 2 ; a= -1, R y x x y y x ∈ , ; a≠≠≠≠2 y a≠≠≠≠-1, 0 0 0 0 .
15. a) Enunciar el Teorema de Rouché-Frobenius.
b) Analizar en función del parámetro ''a''el sistema de ecuaciones = + + = + − − = − − 3 2 2 2 1 2 az y x z y ax z y x
c) Resolver el sistema cuando a=3, a=0. (J01)
Sol.: b) a=3, S.C.I. / a= -3/2, S.I. / a≠≠≠≠3 y a≠≠≠≠-3/2, S.C.D. c) a=3, (1-z,1-z,z)z∈∈∈∈R / a=0,
3 4 3 2 3 5 , ,
16. a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de a: = + + + = − + + = − + 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 z a ay x a az y a x z y x
b) Si para algún valor de a el sistema es compatible indeterminado, resolverlo. (S01) Sol.: a) a=0, S.I. / a=1, S.C.I. / a≠≠≠≠0 y a≠≠≠≠1, S.C.D.
− − + − a a , a a , a a 2 2 3 2 3 2 2 3 2 ; b) a=1, (-5z, 1+3z, z)z∈∈∈∈R
17. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A·X·B=I, siendo I la matriz unidad.
a) Si el determinante de A vale −1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el determinante de X b) Calcular de forma razonada la matriz X si
= 4 3 3 2 A y 2 − − = 3 2 2 1 B . (J02) Sol.: a) X=−−−−1. b) = − − 4 5 5 6 X
18. Dadas las matrices A=
− − 1 2 3 0 1 2 1 0 1 y B= − − 0 0 2 1 1 1 1 0 1
, se define la matriz C=A+mB.
a) Hallar para que valores de m la matriz C tiene rango menor que 3.
b) Para m= −1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C. (J03)
Sol.: a) Para m=1 o m= −−−−1. b) (t, −−−−2t, t)t∈∈∈∈R
19. a) Discutir en función de los valores de m:
= + + = + − = − m mz y x z y x y x 2 0 0 3 2
b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior. (S03)
Sol.: a) Si m≠≠≠≠7, S.C.D. ; si m=7, S.I. b) − − − − − 7 7 2 7 3 m m , m m , m m 20. Se considera el sistema = + + = + + = + + 1 1 z y x z y x z y x λ λ λ
a) Discútase según los valores del parámetro λ b) Resuélvase para λ = -3.
________________________________________________________________________________________________________________________ 21. Se considera el sistema de ecuaciones lineales
= + + + = + + = + + 3 6 ) 2 ( 2 2 3 1 3 2 z y a x z ay x z y x
a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible?
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? c) Resuélvase el sistema para a=0.(S04) Sol.: a) a=2 b) No c) (2-3z,-1/2,z)z∈∈∈∈R
22. a) Discútase el sistema
( )
− = − + + = + + = − + 1 1 3 0 2 2 a z y a x az y x z ay x, en función del valor de a.
b) Para el valor a =1, hállese, si procede, la solución del sistema. (J05)
Sol.: a) a=0, S.I / a=21 S.I. / a≠≠≠≠0 y a≠≠≠≠21 S.C.D. b) x=-6, y=10, z=2.
23. Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales
= + + = + + = + + 2 1 k kz y x k z ky x z y kx
a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para k=2. (S05)
Sol.: a) Si k≠≠≠≠1 y k≠≠≠≠−−−−2, S.C.D. , tres planos que se cortan en el punto + + + + + + − 2 1 2 2 1 2 1 2 a a a , a , a a
; si k=1, S.C.I., los tres planos son
coincidentes; si k= −−−−2, S.I. b)
(
)
4 9 4 1 4 3, , − .24. Se considera el sistema de ecuaciones lineales
( )
= + + = + + = + + 4 2 4 1 3 2 az y x z y a z y x . a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a =2. (J06)Sol.: a) Si a≠≠≠≠-1 y a≠≠≠≠1, S.C.D.; si a= -1, S.I.; si a=1, S.I. b)
( ) ( )
x,y,z = 0,1,1 25. Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: = + = + = + 0 3 2 3 0 3 ky x k y x y kx . Resuélvase el sistema cuando sea posible. (S06)
Sol.: Si k≠≠≠≠0 y k≠≠≠≠3 y k≠≠≠≠−−−−3, S.I./ Si k=0, S.C.D., sol.: (0,0) / Si k=3, S.C.D., sol.: (3,-3) / Si k= −−−−3, S.C.D., sol.:
(
−53,−53)
.26. Sean las matrices
= 3 2 1 A , − = 2 2 7 B , = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 C , = 2 2 0 D y = 3 5 2 E .
a) Hallar la matriz ABT donde BT indica la matriz traspuesta de B. ¿Es inversible? b) Hallar el rango de la matriz ATD.
c) Calcular = z y x
M que verifique la ecuación
(
ABT +C)
M =E. (J07) Sol.: a) − − − 6 6 21 4 4 14 2 2 7 . No es inversible. b) rg=1. c) − − = 3 1 7 6 M________________________________________________________________________________________________________________________ 27. Se considera el sistema = − + = − + = + + 2 2 2 0 4 z y x z y ax az y x
, donde a es un parámetro real. a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Resolver el sistema para a=1. (S07)
Sol.: Si a≠≠≠≠1 y a≠≠≠≠−−−−1/2, S.C.D. / Si a=−−−−1/2, S.I. / Si a=1, S.C.I., sol.: (2-t, t, 2) ∀∀∀∀t∈∈∈∈ℜℜℜℜ.
28. Se considera el sistema = + = + − = + − 2 2 2 1 a z x a z y z y x
, donde a es un parámetro real
a) Discutir el sistema en función del valor del a. b) Resolver el sistema para a =0
c) Resolver el sistema para a =1.(J08) Sol.: a) a=1 S.C.I.; a≠≠≠≠1 S..I. b) a=0 no tiene solución c) a=1 (1-2t, 2-t, t ) ∀∀∀∀t∈∈∈∈ℜℜℜℜ.
29. Sea a un parámetro real. Se considera el sistema − = − − = + + − + = + + a z y ax z y x a a z ay x 1 1 2 ) 1 ( 2 a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Resolver el sistema para a =0
c) Resolver el sistema para a =1 (S08) Sol.: a) a≠≠≠≠0 y a≠≠≠≠-1 S.C.D., a=0 S.C.I., a=-1 S.I. b) (2-z,-1-z,z)z∈∈∈∈R c) (3/2,2,-1/2)
30. Sea el sistema de ecuaciones lineales: = − = + = − 3 2 5 z x z y y x λ λ . Se pide:
a) Discutirlo en función del parámetro λ∈R.
b) Resolverlo cuando sea compatible. (J09) Sol.: a) λλλλ≠≠≠≠-1/2 S.C.D. λλλλ=-1/2 S. Incompatible b)
+ + − + + 1 2 3 , 1 2 2 2 , 1 2 3 12 λ λ λ λ λ λ
31. a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones: = + = + − = + + 5 2 3 4 2 z x a z ay x z y x
b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema. (S09)
Sol.: a) a≠≠≠≠1 S.C.D. a=1 S.I. b) si a≠≠≠≠1 los tres planos se cortan en un punto / si a=1 los tres planos se cortan en una recta.
32. a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño3×3que verifica que B2 =16I, siendo I la matriz
unidad. Calcular el determinante de B.
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación = 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 X · . (J10) Sol.: a) det B=64 b) = 2 0 0 c b a X a,b,c∈∈∈∈R
________________________________________________________________________________________________________________________ 33. Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
= + + = + − + = + − a z y x z ay x a az y x 3 1 1 2
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para a =1. (J10) Sol.: a=0 S.I.; a=5 S.I.; a≠≠≠≠0 y a≠≠≠≠5 S.C.D. b) (1,0,0)
34. Dadas las matrices
− = m B 1 0 0 1 0 0 0 1 , − − − = 6 4 2 5 3 1 C y = 0 1 0 3 2 1 D :
a) ¿Para qué valores de m existe B−1? Para m=1, calcularB−1. b) Para m=1, hallar la matriz X tal que X B C⋅ + =D. (J10)
Sol.: a) m≠≠≠≠0; = − 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 B b) X= 0 3 2 2 3 6 − .
35. Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible, el sistema:
( )
( )
= + − + = − + = + a az y a x z a y z x 1 0 1 1 (J10) Sol.: a) Si a≠≠≠≠1 y a≠≠≠≠2, S.C.D., − − − − − a a a a a 2 1 2 1 2 1 ,, ; si a=2, S.I.; si a=1, S.C.I., (1-αααα, 0, αααα)ααα∈α∈∈∈R .
36. Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: = − + = + + = − + 0 3 2 2 1 z y x z y x z y ax . (S10)
Sol.:a=1/5 S.I.; a≠≠≠≠1/5 S.C.D. 9 ,2 4 6, 3 5 1 5 1 5 1 a a a a a − − − − −
37. a) Si se sabe que el determinante
3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a
vale 5, calcular razonadamente
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 c c c b b b a a a y 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 c b a c c b b a a c b a + + + .
b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2×2para la cual se cumple que t
A A−1= ( t
A = traspuesta de A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (S10) Sol.: a) 30 / -5 b) No, ||||A||||=±±±±1
38. a) Sea A una matriz cuadrada tal que A2−3A=−2I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar −1
A en función de A. b) Sea = 2 1 1 0 2 2 1 m m
B la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los
valores de m para los que el sistema es compatible determinado. (S10) Sol.: a) A-1= 1 3
2 A 2I
− +
________________________________________________________________________________________________________________________ 39. Sean las matrices
= 0 1 0 1 0 0 2 0 3 A y = 0 1 2 B . a) Calcular −1 A .
b) Resolver la ecuación matricial AX+2AB=B.(S10) Sol.: a) A-1=
1 2 3 3 0 0 0 1 0 1 0 − b) X= 4 2 1 − −
40. Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 1 0 3 1 x y z x y z x my z m + + = − − = + + = + (J11) Sol.: m=1 S.C.I. 1 1 , , 2 2 z z z R − ∈ m≠≠≠≠1 S.C.D. 1 1 2 2 , 1,−
41. a) Averiguar para qué valores de m la matriz A =
1 0 1 1 1 0 2 m m − − − − no tiene inversa. b) Calcula la matriz inversa de A para m = 0.
c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2⋅A vale -16 ¿Cuál es el orden de la matriz A? (S11) Sol.: a) m=1 y m=-2 b) A-1=
1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 0 0 − − − − − c) n=4
42. Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales 2 2 mx y x my m x y + = + = + = (S11) Sol.: m≠≠≠≠0 S.I.; m=0, S.C.D. (0,2)
GUIÓN de los ejercicios
Independencia lineal de vectores: C5 - C10 - C22
Operaciones con matrices: C2 - C3 - C4 - C7 - C11- C15 - C17 - C19 - C26- P5 - P7 - P14b - C33 - C35 - C37 - C39 - C40 - C45 - P26 - C51 - C53 - C58 - P32 b - P39
Determinantes: C13 - C16 - C24 - C25 - P8 - P11c - P12 - P17a - C31- C36 - C38 - C42 - C55 - C57 - C59 - C60 - P32a - P37 - C62b - P41c
Operaciones con inversas: C1 C9 C12 C27 P11ab P13 P17b C29 C30 C34 C35 C41 C44 C46 C48 C49 -P34 - P38a - P41ab
Rango de una matriz: C6 - C20 - C21 - C28 - P18a - C32 - C43 - C52 - C54 - C61 - C62a Sistemas de ecuaciones (Teoría): C14 - P3a - P6a - P14a - P15a
Sistemas de ecuaciones homogéneos: C8 - C23 - P3b - P9 - P18b - C47 - C56
Sistemas de ecuaciones no homogéneos: C18 - P1 - P2 - P4 - P6b - P10 - P15bc - P16 - P19 - P20 - P21- P22 - P23 - P24 - P25 - C50 - P27 - P28 - P29 - P30 - P31 - P35 - P36 - P38b - P40 - P42
