FUNCIONES. gx ()= Im(g)=R Dom(g)=R-{-2,2}

FUNCIONES

Definición:

Sea D un subconjunto no vacío de R, es decir D⊂R.

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de D en R, y se designa por f D R x f x : ( ) → a

Intuitivamente, una función real de variable real asigna a cada elemento ,x, de D un elemento ,y, de R, y sólo uno.

- El subconjunto D se llama dominio de definición o campo de existencia de la función f. Se designa por Dom(f).

- Al número x∈D se le llama variable independiente. Su dominio de definición es precisamente D.

- Al número y∈R asociado por f al número x, se le llama variable dependiente.

Es evidente que y depende de x, de ahí su nombre. Por eso, también se designa la imagen de x por f(x), es decir, y=f(x).

- Se llama recorrido de una función, al conjunto de las imágenes de la variable independiente, es decir, al conjunto de los valores de R que tienen por original al menos un elemento de D. Se designa por f(D) o Im(f).

Ejemplos: f(x)=x2 Im(f)=R+ Dom(f)=R g x x x ( )= − 2 4 2 Im(g)=R Dom(g)=R-{-2,2} h x( )= x2−_{4 Im(h)=R+ Dom(h)=R-(-2,2)} Representación gráfica

Sea f:D→_{R una función. Se llama grafo de la función f y se designa por Gf al subconjunto} de DxR dado por Gf={ (x,f(x)) / x∈D}.

Considerando en el plano afín el sistema de referencia canónico, la figura del plano afín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre de gráfica de la función. Ejemplo: f x x ( )= 6 donde Dom(f)=R-{0} x y (x,f(x)) -6 -1 (-6,-1) -3 -2 (-3,-2) -2 -3 (-2,-3) -1 -6 (-1,-6) … … … 1 6 (1,6) 2 3 (2,3) 3 2 (3,2) 6 1 (6,1) … … …    ≥ < = 2 x si 3 2 x si x ) x ( g 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4

Adición de funciones

Sean f y g dos funciones cuyos dominios son D1 y D2 respectivamente. Se llama suma de las funciones f y g, y se designa por f+g, a la función cuyo dominio es D1∩D2 tal que (f+g)(x)=f(x)+g(x).

Ejercicio: Si f(x)=2x+2 y g(x)=-x-1. Representar gráficamente las funciones f,g y f+g.

Propiedades:

- No siempre está definida la función suma, pues en el caso en que D1∩D2=∅ no existe dominio para la suma.

- Asociativa: f+(g+h)=(f+g)+h - Conmutativa: f+g=g+f

- E. Neutro: la función cero, f(x)=0 ∀x∈R.

- E. Opuesto: La función opuesta de f(x) es (-f)(x)=-f(x).

Producto de funciones

Si f:D1→R y g:D2→R son dos funciones, se llama producto de f y g, y se designa por fg, a la función: fg:D1∩D2→R tal que fg(x)=f(x)g(x).

Es evidente que D1∩D2≠∅ para que exista el producto.

Propiedades:

- Asociativa: f(gh)=(fg)h - Conmutativa: fg=gf

- E. neutro: Función unidad, f(x)=1 ∀x∈R. - E. inverso: la función inversa de f(x) es 1

f x( ) si f(x)≠0 ∀x∈D. - Distributiva: f(g+h)=fg+fh

Ante estas propiedades el conjunto de las funciones definidas en un dominio D con las operaciones anteriores, (F(D,R),+,⋅) es un anillo conmutativo y unitario.

Producto de un número por una función

Sea f:D→R una función real y a∈R. Se llama producto de a por f, y se designa por af, a la función af:D→R donde (af)(x)=af(x).

Propiedades:

- (a+b)f=af+bf - a(f+g)=af+ag - a(bf)=(ab)f - 1f=f

Con estas propiedades, el conjunto de las funciones reales definidas en D (F(D,R),+,⋅R) es un espacio vectorial.

Composición de funciones

Consideremos las funciones f(x)=2x+1 y g(x)=x2.

A partir de estas dos funciones vamos obtener otra, tal como se indica en las siguientes tablas, que va a ser la función compuesta de f con g.

→

Nótese que g actúa sobre las imágenes de f según el esquema siguiente:

La función obtenida por la aplicación sucesiva de f y g, se representa por g_of ( se lee f compuesta con g). Por tanto

En el ejemplo anterior: (g_of)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2

Si Dom(f)=D1 y Dom(g)=D2, puede ocurrir que algún valor de f(x) no esté en el dominio D2 de g y entonces g no puede actuar sobre él. Entonces el dominio de gof es D1 menos los valores tales que f(x)∉_{D2, según se puede apreciar en el siguiente esquema:}

En general será

(Dom(g_of)=Dom(f) cuando Im(f) ⊂ Dom(g)) Ejemplo:f(x)=x+1 g(x)= 1

4

2

x − : hallar los dominios de fog y gof: (f_og)(x)=f[g(x)]= 4 x 3 x 1 4 x 1 4 x 1 f ₂ 2 2 2 − − = + − =       − ⇒Dom(fog)=R-{-2,2}=Dom(g) (g_of)(x)=g[f(x)]=g(x+1)=

(

+

)

− =(x+3)(x−1)⇒ 1 4 1 x 1 2 Dom(gof)=R-{-3,1}⊂Dom(f)=R Descomposición de funciones

Es el proceso inverso a la composición. Consiste en encontrar dos o más funciones de manera que componiéndolas en un orden adecuado resulte la función que se quiere descomponer.

Por ejemplo, la función f x( )=sen (2 x+1 se puede descomponer como f=r) _os_ot_oh donde h(x)=x+1; t x( )= x; s(x)=senx y r(x)=x2.

O también como f=n_om donde n x( )= x+1 y m(x)=sen2(x).

x g(f(x) -2 9 -1 1 0 1 1 9 2 25 3 49 … … x f(x) g(f(x) -2 -3 9 -1 -1 1 0 1 1 1 3 9 2 5 25 3 7 49 … … … x f(x) g(f(x) g f (g_of)(x)=g[f(x)] Dom(g_of)⊂Dom(f) x' x D1 f f(x') f(x) D2 f(D1) g g(f(x) R

Propiedades de la composición Asociativa: h_o(g_of)=(h_og)_of

No es conmutativa en general: contra ejemplo f(x)=2x+3 y g(x)=x2. f_og≠g_of

Función identidad: es una función I tal que I(x)=x, es decir, cada número real se transforma en sí mismo.

Se cumple que I_of=f_oI en el dominio D de f.

Función recíproca

Sea f una función de D en R; si f es inyectiva (es decir, la imagen de un número,y, proviene de un único número, x) existe la aplicación recíproca de f(D) en D. Esta aplicación recíproca recibe el nombre de función recíproca de f, y se representa por f-1.

f-1(y)=x⇔f(x)=y

Ejemplo: Hallar la función recíproca, si existe, de f(x)=2x+5 a) es inyectiva: f(x)=f(x')⇔2x+5=2x'+5⇔2x=2x'⇔x=x' b) el recorrido de f es R, luego el dominio de f-1 es R. c) f-1(y)=x ⇔ y=f(x) ⇔ y=2x+5 ⇔ x= y−5

2 ⇔ f -1

(y)=y−5 2 y redefiniendo a las variables queda f-1(x)=x−5

2

Propiedades

- Si f y f-1 son recíprocas y D=dom(f) entonces, f_of-1=I en f(D) y f-1_of=I en D.

- Las gráficas de las funciones f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Funciones simétricas

Una función f , es simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio D se tiene que -x también es del dominio y

Las funciones simétricas respecto del origen se llaman funciones impares. Ejemplos: f(x)=1 x ( f(− =x) −x= − = −x f x( ) 1 1 ) g(x)=x3     = ≠ + = 0 x 0 0 x x x x ) x ( h 2 D f(D) f f-1 x f(x)=y y=x y=f(x)=2x+5 y=x-5 2 =f -1 (x) 5 5 0 f(-x)=-f(x)

Una función f, es simétrica respecto del eje y cuando para todo x del dominio D se tiene que -x también es del dominio y

Las funciones simétricas respecto del eje y se llaman funciones pares. Ejemplos: f(x)=x2 (f(-x)=(-x)2=x2=f(x)) g x x ( )= − 1 4 2 ; h(x)=x ; r(x)=x 2 -x Funciones monótonas

Sea f:D→R una función. Se dice que f es:

Esta definición es equivalente a:

             < − − ≤ − − > − − ≥ − − 0 x x ) x ( f ) x ( f 0 x x ) x ( f ) x ( f 0 x x ) x ( f ) x ( f 0 x x ) x ( f ) x ( f 0 0 0 0 0 0 0 0

Ejemplos: f(x)=x5 es estrictamente creciente en x₀=0 ya que: f x f x x x x x x ( )− ( ) − = − − = > 0 0 5 4 0 0 0 g(x)=1

x es estrictamente decreciente en todo punto x0 pues: g x g x x x x x x x x x xx x x xx ( ) ( ) ( ) − − = − − = − − = − < 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 para todo entorno que no contenga al cero

Una función f:D→R es:

Ejemplos: f(x)=x2 es estrictamente creciente en R+ y estrictamente decreciente en R- _{x' x} ) x ' x ( ) x ' x )( x ' x ( x ' x x ' x x ' x ) x ( f ) ' x ( f 2 2 _{= +} − − + = − − = − − _{que es (>0) en R}+ y (<0) en R-. g(x)=x3 es estrictamente creciente en todo R.

g x g x x x x x x x x x x xx x x x x xx x ( ') ( ) ' ' ' ( ' )( ' ' ) ' ' ' − − = − − = − + + − = + + > 3 3 2 2 2 2 ₀ f(-x)=f(x)             ∈ ∈ ∈ ∈ D x en creciente de nte estrictame D x en creciente de D x en creciente nte estrictame D x en creciente 0 0 0 0               > ⇒ < > ⇒ < ≥ ⇒ < ≥ ⇒ < < ⇒ < < ⇒ < ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ) x ( f ) x ( f x x y ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f x x y ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f x x y ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f x x y ) x ( f ) x ( f x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0             entorno dicho de x para todo que tal h) , (x * E reducido entorno un existe si 0             e decrecient nte estrictame e decrecient creciente nte estrictame creciente             > ⇒ < ≥ ⇒ < < ⇒ < ≤ ⇒ < ) ' x ( f ) x ( f ' x x ) ' x ( f ) x ( f ' x x ) ' x ( f ) x ( f ' x x ) ' x ( f ) x ( f ' x x           verifica se A, de x' x, para todo si D, de A conjunto un en            < − − ≤ − − > − − ≥ − − ⇔ 0 ' x x ) x ( f ) ' x ( f 0 ' x x ) x ( f ) ' x ( f 0 ' x x ) x ( f ) ' x ( f 0 ' x x ) x ( f ) ' x ( f

y=x3-2x2-x+2

y=x4-x3

Funciones acotadas

Sea f:D→R una función:

- Se dice que f está acotada superiormente en D, si existe un número real K tal que f(x)≤K ∀x∈D. - Se dice que f está acotada inferiormente en D, si existe un número real K' tal que f(x)≥K' ∀x∈D. - Se dice que f está acotada si lo está superior e inferiormente, es decir, existen dos números K y

K' tales que K'≤f(x)≤K ∀x∈D.

Los números K y K' se llaman cota superior y cota inferior respectivamente. - Si una función está acotada, existe un número real M tal que f(x)≤M ∀x∈D.

Extremos

Sea f una función de D en R acotada. Se llama:

Extremo superior de f al mínimo de las cotas superiores.

Extremo inferior de f al máximo de las cotas inferiores.

Máximos y mínimos

Sea f:D→R una función y x0∈_{D. Se dice que f tiene en x0un:}

máximo relativo si en las proximidades de x0, todo x cumple f(x) < f(x0).

mínimo relativo " " " " " " " " " f(x) > f(x0).

Estudio de distintos tipos de funciones

Función polinómica

( f(x)=a

₀

+a

₁

x+a

₂

x

2

+...+a

_n

x

n

)

La forma general es

f(x)=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+...+a

n

x

n donde el monomio principal anxn indica el comportamiento de la función en x→±∞. (Sólo hay que recordar que un número negatrivo elevado a exponente par da resultado positivo y elevado a exponente impar da resultado negativo)

Así por ejemplo, f(x)=-3x3-4x2+x-1 tiende a -∞ si x→+∞ y tiende a +∞ si x→-∞.

El término independiente es la ordenada en el origen (0,a0), punto por el que pasa la gráfica cuando corta al eje y.

El grado menos 1, (n-1), indica el número máximo de picos (máximos o mínimos relativos) que tiene la gráfica.

y=x3

y=x2 y=x y=x

1/2

y=x1/3

Función potencial

( y=a

_n

x

n

)

Veamos las gráficas para an=1:

casos:

(n>1) Si n es par, la gráfica siempre es positiva y simétrica respecto del eje y

Si n es impar, la gráfica es positiva sobre el eje x positivo y negativa sobre el eje x negativo. Es simétrica respecto del origen.

(0<n<1) Si el índice de la raíz es impar, el dominio es todo el eje x. Si el índice es par, el dominio es el eje x positivo.

Funciones racionales f(x)= ) x ( q ) x ( p

Son funciones cuya ecuación vien expresada como cociente de dos polinomios p(x) y q(x). Su dominio es R menos los puntos que anulas al denominador.

Ejemplo: 1 x x 2 x 3 y 3 3 − + = cuyo dominio es R-{1} Un caso particular es la hipérbola equilátera

x c ) x ( f = (c∈R) que expresa una relación de proporcionalidad inversa entre x e y. Cuando una variable crece, la otra disminuye según la proporción c.

Ejemplos: y=4/x ; y=-4/x ;

3 x 4 y − = ; 2 3 x 4 y + − = ; 1 x 2 x 3 y + + =

Funciones definidas a trozos

Son funciones a las que no corresponde una única expresión matemática para todo su dominio. En su definición se especifica el dominio de cada expresión fincional.

Ejemplos:

función valor absoluto: f(x)=|x|=    ≥ < − 0 x si x 0 x si x

función signo: f(x)=sig(x)=      > = < − 0 x si 1 0 x si 0 0 x si 1

a>1 0<a<1

λ=1

λ=1/2

λ=1/5

λ=eλx

Función exponencial

( y=k·a

x

con k>0 y a>0

)

Es una función continua con dominio en todo el eje x. Es siempre positiva. La ordenada en el origen es (0.k).

Es creciente o decreciente dependiendo de a.

Una forma muy utilizada de función exponencial es y=k·eλx donde λ es la tasa de crecimiento de una población.

Igualando su expresión con la expresión general, se tiene (si x=1) eλ=a y así: λ>0 ⇒ a>1

λ<0 ⇒ 0<a<1

Operaciones con potencias:

am · an = am+n a0 = 1 m m a 1 a− = am : an = am-n a1 = a (A · B)m = Am · Bm (am)n = amn (A / B)m = Am / Bm

a>1

0<a<1

y=ax y=x2

y=logax

y=x1/2

Función logarítmica

( y=log

_a

x

con a>0

)

Es una función continua con dominio en el eje x positivo, (0,+∞) El crecimiento depende de a. (base del logaritmo).

La función logarítmica y=logax y la función exponencial y=ax son inversas una de la otra. Sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante.

Propiedades de los logaritmos

logax = 2 ⇔ a2 = x (si a=e, el logaritmo se llama neperiano, Lx , ln x) loga (A·B)= loga A + loga B

loga (A/B)= loga A - loga B loga (An)= n · loga A cambio de base: a log x log x log b b a =

cos α sen α π/2 π 3π/2 0

Función periódica de periodo 2π

Función periódica de periodo 2π

Función periódica de periodo π Funciones circulares y funciones periódicas

Consideremos la circunferencia de radio 1 y tomemos como dominio de las funciones circulares los diferentes ángulos medidos en radianes que se pueden tomar en dicha circunferencia.

Recordemos también la interpretación geométrica de las razones trigonométricas.

Se dice que f(x) es una función periódica de periodo T si se cumple f(x+T)=f(x). Por ejemplo, la función

f(x)=sen(3x).

El periodo T es tal que

f(x+T)=sen(3(x+T)) será igual a f(x)=sen(3x),

es decir: sen(3x+3T)=sen(3x).

Como sabemos que sen(3x)=sen(3x+2π),

entonces igualando nos queda

3x+3T=3x+2π,

de donde 3T=2π y así T=

3 2π

Luego f(x)=sen(3x) es periódica de periodo

3 2π

Funciones trasladadas

La traslación de funciones da lugar a otras muchas que pueden obtenerse fácilmente a partir de la primera. En el siguiente esquema, se muestran las principales traslaciones.

Si a la variable independiente se le suma un número positivo, la gráfica se traslada hacia la izquierda una longitud igual a dicho número. Y si se le suma una cantidad negativa el desplazamiento es hacia la derecha.

Si al a función, (a la expresión completa) se le suma una cantidad positiva, la gráfica se desplaza hacia arriba, y si se le suma una cantidad negativa la gráfica se desplaza hacia

abajo.

En general, si el vector de traslación es ur=(a,b), la función trasladada de f(x) es f(x-a)+b

Función original Vector de traslación Función trasladada

f(x) _ur_=(a,b) f(x-a)+b

f(x)

f(x+1)-1 _{f(x)+1 f(x-1)+1}

f(x+1) f(x-1)