Solucionario 2do Examen RM - CPU UNASAM 2011

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PREGUNTA N.º 01

En una reunión del CPU el número de varones es 2 veces más que el número de mujeres; después que se retiran 8 parejas el número de varones que aún queda es 4 veces más el de mujeres.

¿Cuántas personas había inicialmente en dicha reunión? A) 52 B) 48 C) 32

D) 64 E) 72

Resolución Tema: Planteo de Ecuaciones

# mujeres Dato inicial # varones 2 3 x x x x =   _{= +} ₌  dos veces más Total 4x=

Después que se retiran 8 parejas resulta:

# mujeres 8 # varones 3 8 x x = −   ₌ ₋ 

Por condición del ejercicio:

4 veces más

3x− = − +8 (x 8) 4(_x−8)

3x− = − +8 x 8 4x−32 16

x =

Piden calcular: ¿Cuántas personas había inicialmente en di-cha reunión?

4x 4(16) 64

→ = =

Respuesta:

Por lo tanto, inicialmente habían 64 personas

Alternativa D PREGUNTA N.º 02

Jesús tiene “a” años y milagros “b” años. ¿Dentro de cuántos años Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros?

A) a b− B) a+2b C) a b+

D) ab E) a−2b

Resolución

Tema: Edades

Sea “x” los años que tienen que pasar para que Jesús tenga el doble de la edad de Milagros.

Presente Futuro a b a x+ b x+ Jesús Milagros x + 2( ) a x+ = b x+ 2 x a= − b Respuesta:

Por lo tanto, dentro de a−2b años, Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros.

Alternativa E PREGUNTA N.º 03

Al preguntar la edad de Guadalupe, ella respondió: “Si al año que cumplí los 23 años le suman el año que cumplí los 18 años y le restan la suma del año actual con el año en que nací, obtendrían 17 años”. La suma de cifras de la edad de Guadalupe es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Resolución Tema: Edades

Sea el año en que nació Guadalupe: “A” Sea su edad actual: “x” años

Año que

nació Año que cumplió18 años Año que cumplió23 años actualAño

A A +18 A +23 A x+

Según condición del ejercicio, planteamos la siguiente ecu-ación: (A+23) (+ +A 18) (− + +A x A) 17= 2A+ −41 2A x− =17 24 x = Respuesta:

Por lo tanto, la suma de cifras de la edad actual de Guadal-upe es 6

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Si por S/. 200 dieran 6 pelotas más de las que dan, la docena costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota?

A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30 D) S/. 50 E) S/. 60

En el problema hay dos casos que analizar, un caso real (dan) y un caso supuesto (dieran).

Sea “n” el número de pelotas que dan por S/. 200, entonces:

dan dieran # pelotas precio de 1 pelota precio de 1 docena n n +6 200 / . S n 200 / . 6 S n + 200 / . 12 S n       200 / . 12 6 S n    ₊   

Según el problema, en el caso supuesto, la docena costaría 90 soles menos. Su planteamiento es:

200 200 12 12 90 6 n n  ₋  ₌    ₊      80 80 3 6 n −n+ = 10 n = Respuesta:

Por lo tanto, cada pelota vale 200 20 soles

10 = _Alternativa_B

Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por 81 soles. ¿Cuánto vale la docena de limones? A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 36

Sea “x” la cantidad de limones que dan por 81 soles, según esto, el precio de cada limón sería 81

x soles.

Por condición del ejercicio planteamos la siguiente ecuación:

81 36 x x 54 x   = → =    

Piden: ¿Cuánto vale la decena de limones?

81 81 12 12 18 soles. 54 x  ₌  ₌         Respuesta:

Por lo tanto, la docena de limones vale S/. 18

Alternativa C PREGUNTA N.º 06

Según el gráfico, ¿qué hora es?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 3x A) 8h : 25 min.3 11 B) 2 8h : 27 min. 11 C) 8h : 27 min. D) 8h : 27 min.3 11 E) 8h : 26 min. Resolución Tema: Cronometría

Asumiendo que son las 8 : 'x

Como se puede apreciar en el gráfico, la manecilla de la hora está delante la manecilla de los minutos; entonces aplicando la fórmula convenientemente, tendremos:

11 11 30 90 30(8) 2 2 x= H− M → = − M 150(2) 300 11 11 M = = 3 27 11 M = Respuesta:

Por lo tanto, son las 8 : 273

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¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40°, si el horario está entre las 5:00 y 6:00?

A) 5:10 B) 5:20 C) 5:55 D) 5:08 E) 5:30

Resolución Tema: Cronometría

El ángulo formado por primera vez se da cuando el minutero todavía no pasa al horario.

Como la hora es nuestra incógnita, entonces llamaremos a dicha hora: 5 : 'x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40° ' (6 ) x <> x ° o 2 x      

Del gráfico se tiene:

6 40 150 2 x x + = + 11x =110(2) 20 x = Respuesta:

Por lo tanto, la hora es: 5:20

Alternativa B PREGUNTA N.º 08

Se tienen fichas numeradas del 1 al 40. Se ha extraído 5 fichas, las cuales han resultado ser todos números pares. ¿Cuántas fichas como mínimo se debería extraer adicionalmente para estar seguros de que se tenga 2 fichas cuya suma sea un número impar?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 21

Resolución Tema: Certezas

Para resolver el ejercicio hay que tener en cuenta lo siguiente • Del 1 al 40 hay 20 números impares y 20 pares

I I I  I P P P  P 20 impares  20 pares  1 3 5 39 2 4 6 40

• La suma de un numero par (P) con un impar (I) y vice-versa, resulta: P P P P I I I P I I I P + = + = + = + =

En el ejercicio nos dicen que ya se han extraído 5 fichas con números pares, de modo que si se extrae una ficha con número impar, habremos logrado el objetivo de tener 2 fi-chas que suman un número impar.

P P P P P + I se han extraido 5 pares

dos fichas que suman un número impar

Pero para garantizar este resultado, debemos ponernos en el peor de los casos (aquél caso que dilate más el momento en que se logre el objetivo), entonces el peor de los casos sería extraer todas las fichas de número par, y como ya se han extraído 5 (dato del ejercicio), entonces extraemos las 15 que quedan; de ahí que en la siguiente extracción de todas maneras saldrá una ficha de número impar.

Respuesta:

Por lo tanto, habrá que extraer 16 fichas adicionales.

¿Cuál es el número máximo de agujeros que se puede tal-adrar en una plancha de acero de 12 cm por 8 cm, si cada agujero es una circunferencia de longitud 2 cmπ ?

8 cm

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A) 30 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 Resolución Tema: Máximos y Mínimos

Para hallar la longitud (L) de una circunferencia usamos la formula L= π2 r

En el ejercicio, la circunferencia (según el dato), tiene una lon-gitud de 2 cmπ , con lo que se concluye que el radio (r) mide

1 cm. En el gráfico:

8 cm

12 cm

1 cm

El número máximo de agujeros que se pueden taladrar en la plancha de 12 8 cm× es: 6 4 24× =

Respuesta:

Por lo tanto, en la plancha se podrán taladrar 24 agujeros como máximo.

¡¡¡Oferta!!!

“Por cinco chapitas de Pilsen Callao, lleve gratis dos botellas llenas”.

Si Julio junta apresuradamente 26 chapitas, ¿cuántas botellas podrá consumir como máximo?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 14 E) 16

Resolución Tema: Máximos y Mínimos

Si por 5 chapitas le dan a Julio 2 botellas llenas, entonces por las 25 chapitas que tiene inicialmente podrá recibir 10

botellas, sobrándole 1 chapita.

Luego de consumir las botellas canjeadas en total le que-darían 11 chapitas, con lo que podrá canjear 4 botellas más, sobrándole 1 chapita.

Por último, luego de consumir las botellas le quedarían 5

chapitas, con los que podrá canjear 2 botellas más, y como es lógico, con las dos chapitas que quedan ya no podrá can-jear ni una botella más.

Respuesta:

Por lo tanto, Julio podrá consumir como máximo 16 botellas.

Dada la siguiente distribución de datos:

Intervalo f_i F_i

[

40 ;50 2 5 36 7 48 50

Hallar la suma de la moda y la mediana. A) 80 B) 45 C) 95 D) 85 E) 90 Resolución Tema: Estadística Se conoce que: f₁= =F₁ 2 También: F₃= + + = + + =f₁ f₂ f₃ 2 5 36 43 Además: • F5= +F4 f5 5 5 50 48= +f → f =2 • F4= +F3 f4 4 4 48 43= + f → f =5

También en:

[

40 ;50 el ancho de clase (w) seria: w =10

Completando la tabla se tiene

Intervalo fi Fi

[

40 ;50 2 5 36 7 48 50

[

20 ;30

[

30;40

[

50;60

[

60 ;70 2 5 2 43

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i) Hallando la moda (M_o)

La mayor frecuencia se presenta en el tercer intervalo

[

I₃= 40 ;50 ; f =₃ 36, entonces la moda será:

1 1 2 o o o d M L w d d   = + _ _ +   31 40 10 31 31 o M = _{+ } _ +   45 o M = En este caso: 1 3 2 36 5 31 d = − = − =f f 2 3 4 36 5 31 d = − = − =f f

ii) Hallando la mediana (X_m)

En el cuadro se observa que existen 50 datos, la mitad de ellas serían 25 datos y deben corresponder al intervalo

[

40 ;50 que sería la clase mediana, entonces según esto la mediana será: 1 2 m m m m m w n X L F f −   = + _ − _  

(

)

10 40 25 7 36 m X = + − 45 m X = Respuesta:

Por lo tanto, de (i) y (ii): M_o+X_m=90

Se conoce las edades de 5 jóvenes. La media de ellas es 17,2 años; su moda es 16 y su mediana es 17. ¿Cuántos años tiene el mayor de los jóvenes si todas las edades son expresadas con valores enteros?

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

Resolución Tema: Estadística

Sean las edades: a b c d e≤ ≤ ≤ ≤

• La mediana es 17, sólo si c =17

• La moda es 16, sólo si a b= =16

Nótese que para que exista moda, debe repetirse un valor, como la mediana es 17, los únicos valores menores

son a y b, no hay más.

También 17 d e< < , no pueden ser iguales, habría otra moda

• La media es 17,2 y con los valores anteriores calculamos:

16 16 17 17,2 5 d e + + + + = 86 49= + +d e → d e+ =37 18 19

(las edades son mayores a 17)

Respuesta:

Por lo tanto, la mayor edad es 19

La gráfica muestra el peso (kg) de un grupo de personas. Halle: M_e+M_o i f F_i kg 32 44 50 56 15 10 23 45 A) 70 B) 76 C) 89 D) 94 E) 106 Resolución Tema: Estadística Se conoce que: f₁= =F₁ 15 También: • F2= +f1 f2 2 2 23 15= +f → f =8 • F3= +F2 f3 3 23 10 3 33 F = + → F = • F4= +F3 f4 4 4 45 33= +f → f =12

Completando la tabla se tiene: i f F_i kg 32 44 50 56 15 8 10 12 15 23 33 45

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En la tabla: i) Hallando la mediana (M_e)

La mediana debe estar ubicada en el valor que corre-sponde a la mitad de los datos.

Según la tabla: 45 es el total de datos, la mediana debería ocupar el lugar 22,5. Pero como podemos ver en la co-lumna de los F_i, en la primera fila se acumulan 15 datos, entonces se tomará el inmediato superior F =₂ 23 con lo que la mediana será: M_e=x₂=44

ii) Hallando la moda (M_o)

En la tabla se observa que la mayor frecuencia está en

1 15

f = .

Luego, la moda será: M_o= =x₁ 32

Respuesta:

Por lo tanto, de (i) y (ii): M_e+M_o=76

Se tiene el siguiente histograma de frecuencias absolutas

a b c d e f Frecuencia Absoluta Rangos 8x 4x 2x x

¿Cuántas observaciones hay en el rango

[ ]

c f; si la población es de 400?

A) 275 B) 225 C) 218 D) 244 E) 293,3

Resolución Tema: Estadística

Del histograma se puede indicar la siguiente tabla de fre-cuencias. Intervalo fi

[

c d; x 4x 8x

[

a b;

[

b c;

[

d e;

[ ]

e f; x 2x

De la tabla podemos señalar que:

4 8 2 400 x+ x+ x+ + =x x 16x=400 → x=25 En

[ ]

c f; habrá: 3 4 5 8 2 11( ) 11(25) 275 f + + =f f x+ + =x x x = = Respuesta:

Por lo tanto, en

[ ]

c f; habrá 275 observaciones.

Alternativa A PREGUNTA N.º 15

El siguiente gráfico muestra el número de alumnos in-gresantes a la UNASAM. Halle el porcentaje de inin-gresantes del CPU. A B C D CPU 360 320 50 150 120 A) 37% B) 42% C) 36% D) 32% E) 40% Resolución Tema: Estadística

En el gráfico se observa que los valores asignados a los sec-tores no están expresados en grados (°), ni en porcentajes (%), luego la suma de todas las partes nos dará el total de ingresantes

Total 120 150 50 320 360 1000= + + + + =

Piden calcular el porcentaje de ingresantes por la modalidad del CPU.

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360 360 100% 36% 1000× = = Respuesta:

Por lo tanto, el porcentaje de ingresantes por el CPU es de

36%

¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 si cada dígito puede emplearse una sola vez?

A) 210 B) 90 C) 36 D) 126 E) 70

Resolución Tema: Análisis Combinatorio

La cifra de las unidades puede ser ocupado por 2, 6 u 8, una vez seleccionado el dígito, cualquiera de los seis restantes pu-ede ocupar la cifra de las decenas, y cualquiera de los cinco que queden podrá ocupar la cifra de las centenas.

a b c

debe ser par

Total de #s 5 6 3 90= × × =

Respuesta:

Por lo tanto, habrá 90 números

En un campeonato se jugaron 120 partidos. ¿Cuántos equi-pos participaron si se sabe que jugaron todos contra todos? A) 12 B) 18 C) 20

D) 14 E) 16

Sea “n” el número de equipos.

Como jugaron todos contra todos, entonces analizaremos los casos particulares para luego generalizar mediante el mé-todo inductivo. # Equipos Partidos 1 2 2 1 1 2 × = = 1 2 3 3 2 3 2 × = = 4 3 6 2 × = = 1 2 3 4 1 2 3 n  ( 1) 2 n n − =

Por condición del ejercicio:

( 1) ₁₂₀ 2 n n − = ( 1) 240 16(16 1) n n − = = − n 16 → = Respuesta:

Por lo tanto, participaron 16 equipos

¿Cuántos jugos distintos podemos preparar como máximo con 8 frutas diferentes?

A) 255 B) 256 C) 64 D) 265 E) 8

Para preparar el jugo podemos usar una sola fruta o combi-nar varias; además si usamos 3 frutas diferentes, por ejemplo, sin importar el orden en que se mezclen sólo se obtendrá un jugo; por lo tanto no interesa el orden de los elementos.

 8 8 8 8 8 1 2 3 8 # jugos 2 1 255 propiedad C C C C = + + + + = − = Respuesta:

Por lo tanto, podemos preparar 255 jugos distintos

Alternativa A PREGUNTA N.º 19

En una reunión hay 10 varones y 8 mujeres. Si se elige 3 per-sonas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mu-jeres? A) 8 102 B) 5 16 C) 7 102 D) 15 102 E) 1 8 Resolución Tema: Probabilidades

Como necesitamos grupos de 3 personas de un total de

10 8 18+ = , entonces:

• Sea el evento A: grupo formado por 3 mujeres • # total de casos posibles C= 183

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Entonces la probabilidad del evento A, es:

8 3 18 3 8 7 6 _{3 2 1} 8 7 6 7 (A) 18 17 16 _{18 17 16 102} 3 2 1 C P C × × × × × × × × _× _× × × = = = = Respuesta:

Por lo tanto, la probabilidad de que todos sean mujeres es

7

102 _Alternativa_C

¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes que terminen en A, pueden obtenerse con las letras de la palabra ROSITA, sin que se repita ninguna palabra y sin importar el sentido de la palabra?

A) 24 B) 48 C) 50 D) 120 E) 720

Como las palabras deben terminar en A, entonces consid-eremos a esta letra como un elemento fijo y el resto deben permutarse entre si Fijo R O S I T A___ Estas letras se deben permutar 5 5 5! # de palabras 5! 120 (5 5)! P = = = = − Respuesta:

Por lo tanto, se podrán obtener 120 palabras

Halle el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura.

1 2 3  13 14 15

A) 1000 B) 1225 C) 1240 D) 1300 E) 1350

Resolución Tema: Conteo de Figuras

Se pide calcular el número total de triángulos.

En este caso vamos a realizar el conteo de triángulos por in-ducción, para ello analizaremos los casos particulares.

1 1 2 1 2 3  1 5 14 4 + +9 2 2 32 Luego piden: 2 2 2 2 15 16 31 1 2 3 15 1240 6 × × + + + +_ = = Respuesta:

Por lo tanto, el total de triángulos es 1240

¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay?

A) 225 B) 180 C) 170 D) 115 E) 200

Resolución Tema: Operadores Matemáticos

En el gráfico 1 2 2 3 3 4 4 5 5

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5 6 5 6 #de cuadriláteros 225 2 2 × ×    =_ _ _=    2 2 2 2 2 5 6 11 #de cuadrados 1 2 3 4 5 55 6 × × = + + + + = =

Ahora, considerando que:

# de # de cuadriláteros # total de cuadrados que no son cuadrados cuadriláteros

     

+ =

     

     

# de cuadriláteros total de total de no cuadrados cuadriláteros cuadrados

      = −             # de cuadriláteros 255 55 170 no cuadrados   = − =     Respuesta:

Por lo tanto, hay 170 cuadriláteros que no son cuadrados.

Determinar el perímetro de la región sombreada; si todos son círculos de radio 1m.

A) 6 mπ B) 7 mπ C) 8 mπ

D) 4 mπ E) 14 mπ Resolución

Tema: Perímetros

En la figura, si contorneamos toda la región sombreada, no-taremos que lo pedido (el perímetro) será la longitud de las 4 circunferencias de radio 1 m. luego:

( )

[

]

Perímetro 4= L_ =4 2 (1)π = π8

Respuesta:

Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es 8 m.π

Alternativa C

Una persona de 1,60 m de estatura recorre por toda la línea ecuatorial. ¿Cuánto más ha recorrido su coronilla que la plan-ta de sus pies?

A) 9,82 m. aprox. B) 8,30 m. aprox. C) 10,92 m. aprox. D) 9,8 m. aprox. E) 10,05 m. aprox.

Si representamos la línea ecuatorial mediante una circunfer-encia, entonces según el gráfico se tiene:

1,60 m

r

Como la persona recorre toda la línea ecuatorial, enton-ces calculamos lo que recorre la planta de sus pies (círculo pequeño) y lo que recorre su coronilla (círculo grande) • Lpies= π2 r

• Lcoronilla= π +2 (r 1,60)

Ahora calculamos cuanto más a recorrido su coronilla que la planta de sus pies

pies coronilla 2 ( 1,60) 2 2 2 (1,60) 2 2 (1,60) 10,053 L L r r r r − = π + − π = π + π − π = π = _ Respuesta:

Por lo tanto, su coronilla ha recorrido 10,05 m. más que la planta de sus pies aproximadamente.

Calcular la longitud mínima que debe recorrer la punta de un lápiz para dibujar la siguiente figura.

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3 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm A) 39 cm. B) 49 cm. C) 48 cm. D) 36 cm. E) 42 cm. Resolución Tema: Trazo de Figuras

Observemos atentamente el gráfico:

3 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm P P P P P P I I I I I I # de puntos impares 6= 6 2 # de lineas repetidas 2 2 − = =

En la figura se muestra, mediante líneas curvas, las líneas que se repetirán, entonces el mínimo recorrido será:

3(9) 2(8) 3(2) 49+ + =

Respuesta:

Por lo tanto, la longitud mínima es 49 cm

Solucionario 2do Examen RM - CPU UNASAM 2011

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