APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA:

INSTRUCCIONES

1. Llene todos los datos en letra imprenta.

2. Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba. 3. Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.

4. Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con la prueba que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.

5. Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.

6. Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45 Numeral 10 del Reglamento Disciplinario de la UNEFA.

7. Cuide su redacción y ortografía.

APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA:

DEPARTAMENTO: Ingeniería en Petróleo SEMESTRE:

III SECCIÓN: F FECHA: 29/07/2010 PRUEBA Nº: 01 Revisión -Reparación

ASIGNATURA: Matemática II NOMBRE DEL DOCENTE:

Lcdo. Eliezer Montoya.

1) Encontrar la primitiva de: a) 3 2 2

x a −x dx

∫

b) _x5_{.sin 2xdx}

∫

(2.5 cada uno)

2) Encuentre el área de la región limitada arriba por

y

=

e

3x, abajo por

y

=

x

y en los lados por las rectas x = 0y x = 1. (Bosqueje las graficas) (2.5 ptos) 3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y.

y2 =4 ,x y=4 yx=0 (2.5 ptos)

4) Hallar la longitud de la curva 3 1 6 2 x y x = + , Desde x=1 hasta x=3 (2.5 ptos)

5) Determinar si la integral impropia converge o no:

a) / 2 0

cos

1 sin

x

dx

x

π

−

∫

b) 0 2

.

x

x e dx

−∞

∫

(2.5 pto C/U)

6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir

y

=

x

2 y

y

=

16

−

z

2se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto (4,16,0) ( -2.5 ptos)

Solución:

1.-Encontrar la primitiva de: 1a) 3 2 2 x a −x dx

∫

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1/ 2 3/ 2 2 1/ 2 3/ 2 2 3/ 2 5/ 2 2 3/ 2 5 / 2 Por sustitución 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 5 2 2 3 5 2 2 devolvemos la u a x u a x x a u x a x dx du xdx du xdx x x a x dx a u udu a u u du a u du u du a u u a C u u C    _{= − → − = − → = −}    − = _ = − _   − =     − = − − = − − = − + = − + + = − + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 3 2 2 2 2 3/ 2 2 2 5 / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sustitución o cambio de variable hecha 1 ( ) ( ) 3 5 1 ( ) ( ) 3 5 1 ( ) ( ) 3 5 5 3 3 2 ( ) ( ) 15 a x a x dx a x a x C a a x a x a x a x C a a x a x a x C a a x a x a x C a x a x − = − − + − + = − − − + − − +   = − − _− + − _+ =   _{− + −}  ₋ = − − _{ }+ = − −  

∫

2 2 4 2 2 4 2 2 3 15 3 2 15 a x x a x a a x C  ₋       _{− −}  = − _{ }+   1.b)

∫

x5.sin 2xdx

5 4 5 5 5 4 4 1 1 1 1 3 2 2 5 .sin 2 ₁ sin 2 cos 2 2 Usando el metodo tabular:

1 cos 2 cos 2 . ( ) 2 2 1 1 sin 2 5 sin 2 5 sin 2 . ( ) 2 2 4 4 1 20 4 u x du x dx x xdx uv vdu dv xdx v x x x u x v x u v x x x u x v x u v u x v  = ⇒ =    = − ⇒_{ } = ⇒ = −     = = − + −   = = −  = − − +   = = −

∫

∫

2 2 1 cos 3 20 cos 2 . ( ) 2 8 x x u v   − = + +     3 cos 2 8 x x 2 3 3 3 3 1 1 sin 3 60 60 sin 3 . ( ) 8 2 16 x u = x v =  x= u v − −   2 sin 2 16 x x 4 4 4 4 1 1 cos 2 120 120 cos 2 . ( ) 16 2 32 x u = x v = − x= − u v + −   cos 2 32 x x 5 5 5 5 1 1 sin 2 120 120 sin 3 . ( ) 32 2 64 x u = v = − _ x_= − u v − +   sin 2 64 x 6 6 5 4 0 __________________________________________ 0 cos 2 5 sin 2 20 2 4 u v x x x x S C = + = − + + 3 cos 2 8 x x 60 − 2 sin 2 16 x x 120 − cos 2 32 x x 120 + sin 2 64 x 5 4 3 2

cos 2 5 sin 2 5 cos 2 15 sin 2 15 cos 2 15sin 2

2 4 2 4 4 8 C x x x x x x x x x x x S C C + + = − + + − − + +

La integral buscada usando varias veces la técnica de integración por partes

5 4 3 2

5

4 2

5 3

5 sin 2 5 15 sin 2 15 15sin 2

.sin 2 2 4 2 4 4 8 co cos 2 c s 2 15 sin 2 os 2 cos 5 15 15 2 2 2 2 2 4 2 x x x x x x x x x xdx C x x x x x x x x x x C = − + + − − + +     = − + − +  − + +    

∫

2) Encuentre el área de la región limitada arriba por 2x

y=e , abajo por y=x y alados por las rectas x = 0y x = 1. (Bosqueje las graficas)

(

)

( )

1 1 1 3 3 0 0 0 1 3 3 0 3 3 0 0

En el primer término, aplicando cambio de variables: 3(1) 3 3 3(0) 0 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 0 3 En el segundo término, x x x u u A e x dx e dx xdx b u x a e e e e dx du dx e du e du dx = − = − =   = =  = →   = =    −   _{ } = = ⇒ = _{ } = = −     =    

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

( )

1 2 0 1 1 1 3 3 3 3 0 0 0 tenemos : 1 1 2 2 0 De esta manera: 1 1 5 5.86 . 3 3 2 3 6 x x x xdx e e A e x dx e dx xdx ua = =  _{  } = − = − =_ − _{  }− = − ≈    

∫

∫

∫

∫

3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y.

2 _{4 , 4 y 0} y = x y= x=

Solución: Tenemos que esta girando sobre el eje y, por tanto:

[

]

[

]

2 4 4 2 2 0 0 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 0 las rectas 4 , 0 0 y g y x Volumen V g y dy f y dy f y x y x y π π  = =  ∴ ⇒ = = −  _{= =}  = = → =

∫

∫

2 4 2 4 4 5 5 0 0 4 4 1024 64 unidades cubicas 4 16 80 80 80 5 0 y y y V =π   dy=π  dy=π   =π = π = π      

∫

∫

4) Hallar la longitud de la curva 3 ₁ 6 2 x y x

= + , Desde x=1 hasta x=3 Sol:14/3

1º Calculamos la derivada de y , con respecto a

2 2 4 2 2 2 3 1 1 1 6 2 2 2 2 dy x x x dx x x x − = − = − =

2º Calculamos la longitud de la curva s, a través de:

(

)

(

)

2 3 1 2 2 4 4 4 8 4 3 4 3 3 2 4 4 1 1 1 8 2 1

Elevando al cuadrado y sumando algebraicamente fracciones

4 1 4 2 1

1 1

1

2 4 2

Desarrollando el producto notable y simplificando 1 1 2 dy s dx dx x x x x x x s dx dx dx x x x s x x   = +  =   + − + − +  ₋  = +_{ } = = =   =

∫

∫

∫

∫

(

)

3 3 3 4 3 3 2 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2

Calculando ahora la integral definida:

3 3 1 1 1 1 1 1 1 27 1 1 1 2 2 2 3 2 6 2 6 6 6 2 1 1 13 1 14 uni 3 3 3 x x dx x dx dx x dx dx x x x x x s x dx dx x x x s + + + = + = = + =         = + = + −  = −  = −  − − =         = + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dades

5) Determinar si la integral impropia converge o no: 5A) / 2 0 cos 1 sin x dx x π −

∫

Podemos ver que para

π

/ 2

no esta definida la función a integrar, por tanto 0 / 2 cos lim 1 sin a a x dx x π − →

∫

₋

Usamos sustitución o cambio de variables; haciendo u= 1-sinx y du = -cosxdx

(

)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 cos 2 1/ 2 1 sin cos 2 1 sin 2 1 sin 1 sin x du u dx u du C u C x u x dx x C x C x = − = − = − + = − + − ∴ = − − + = − − + −

∫

∫

∫

∫

De esta manera al evaluar el límite

0

/ 2 / 2 / 2

cos

lim lim 2 1 sin lim 2 1 sin 2 1 sin 0

1 sin 0 2 1 sin 2 1 sin 0 2 0 2 1 2 2 a a a a a x dx x a x π π π π − − − → → →     _{ } = _− − _= _− − + − _ − _{ }    _{ }    = − −  + − = −_ + _=      

∫

5B) 0 2_. x x e dx −∞

∫

Apliquemos integración por partes para encontrar la primitiva – recuerde la regla nemotécnica ILATE

2 2 2 2 . 2 . . 2

nuevamente integrando por partes el segundo termino de

(1) (1 2 2 2 2 sustituimos (2 ) ) x x x x x x x x x x x x x x e dx uv vdu u x du xdx dv e dx v e C x e dx x e xe dx u x du dx dv e dx v e C xe dx xe e dx xe e C = − = ⇒ = = ⇒ = + = − = ⇒ = = ⇒ = +   − = − _ − _= − + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

2 2 2

la ecuación en la ecuación sacando factor común

. . 2) 2 2 ( (1) 2 2 , x x x x x x e x e dx= x e − xe + e + C =e x − x+ +C

∫

Calculamos la integral impropia:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 0 2 2 2 0 2 . lim . lim

lim 1.(2) lim (2) lim

0 2 2 2 2 2 2 2 (0)( 2) 2 0 2 x x a a a a a a a x a e x x a e x e dx x e a a e a dx a →−∞ →−∞ −∞ →−∞ →−∞ →−∞     _{ } = − + − + − + = = − =  +∞  _{ }       + = = = − − + =

∫

∫

6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir

y

=

x

2 y

y

=

16

−

z

2se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto (4,16,0) (Problema 15 capitulo 12.7 de Lehithold 2pts Sean 2

( , , )

f x y z

= −

x

+

y

y

g x y z

( , , )

=

y

+

z

2

−

16

Entonces

( , , )

2 i 1j 0k

f x y z

x

∇

= −

+

−

y

∇

g x y z

( , , )

=

0i + 1j 2 k

+

z

Por tanto: N2 = ∇g(4,16, 0)=0i 1j 0k+ + 1 (4,16, 0) 8i j 0k N = ∇f = − + +

Calculemos el Producto Cruz o Externo (Producto Vectorial) de los vectores Normales, para obtener asi un nuevo vector:

(

)

(

)

(

)

1 2 i j k 1 0 8 0 8 1 8 1 0 i j 1 0 0 0 0 1 0 1 0 i 0 0 j 0 0 k 8 0 0i 0 j 8k N N k   − −         × = −_{ }= _{ }− _{ }+ _{ }           = − − − + − − = − −

En consecuencia, un conjunto de números directores de la recta tangente es (4,16,0), Asi la ecuaciones de la rectas buscadas ,en forma escalar paramétrica

0 0 0

4 0

4

16 0

16

0 ( 8)

8

x

x

at

x

t

x

y

y

bt

y

t

y

z

t

z

t

z

z

ct

=

−

=

−

=













=

−

⇒

=

−

⇒

=









₌

₋



₌

_{− −}



₌





