Gráfico de control por variables

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Gráfico de control por variables

por Felipe de la Rosa

El objetivo principal de un gráfico de control es detectar con rapidez, cambios y variaciones en el

proceso que puedan ocasionar la producción de unidades defectuosas, lo cual se consigue al minimizar el tiempo que sucede entre una variación y el momento en que ésta se detecta.

De acuerdo con Besterfield (1995, p. 110-111), los pasos básicos que deben llevarse a cabo para establecer un gráfico de control son:

1. “Defina cuál será la característica de la calidad” En toda organización existe una gran cantidad

de variables que pueden medirse, sin embargo, sólo unas cuantas afectan de manera significativa la calidad de los productos, así, antes de establecer el control de procesos resulta necesario identificar solamente los factores vitales (para lo cual puede utilizarse una gráfica de Pareto) de cada proceso.

2. “Elegir el subgrupo racional” El control de procesos se fundamenta en la identificación de las

variaciones existentes entre muestras representativas y homogéneas, es decir, grupo de unidades producidas bajo condiciones similares (misma máquina, mismo operario, mismo molde, misma calidad de material, etc.); generalmente, el tamaño de los subgrupos racionales o muestras varía entre 3 y 10 unidades, sin embargo, el tamaño específico deberá ser determinado con base al costo y a la precisión que se desea, entre mayor sea la precisión, mayor será el costo de la información.

3. “Reúna los datos necesarios” Consiste en obtener la información para cada uno de los subgrupos

racionales, esto, utilizando un enfoque de estratificación que permita identificar las características distintivas de cada muestra.

4. “Calcule la línea central de ensayo y los límites de control” La primera vez que se analiza el

desempeño de los procesos, la mayoría de las veces no se encuentran bajo control, es por ello que en primera instancia se calculan límites de control aproximados que van refinándose con el uso.

5. “Defina la línea central revisada y los límites de control” Los límites de control para analizar los

procesos, deben tener en cuenta únicamente causas comunes de variación, por lo que son determinados sin considerar ninguna causa especial de variación.

6. “Logre el objetivo” Una vez que se han determinado los límites de control para cada uno de los

procesos, las actividades de operadores y supervisores deben encaminarse a monitorear y mejorar el desempeño, reduciendo lo más posible las variaciones respecto al valor ideal de la característica de calidad.

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2

En los siguientes apartados se ejemplificará cada uno de estos pasos al detallar el funcionamiento de las gráficas x−R y

x

−

s

Gráfico

La herramienta más sencilla para el control de procesos es el gráfico debido a que se realiza con base al cálculo de dos medidas básicas, el promedio y el rango de un subgrupo racional (muestra) de datos.

Las fórmulas utilizadas para calcular los límites de control en el gráfico son:

Gráfico Gráfico R

R

A

x

LCS

R

A

x

LCI

x

LC

x x x 2 2

+

=

−

=

R

D

LCS

R

D

LCI

R

LC

R R R 4 3

=

En donde los factores

A

2_,

D

3_y

D

4 _{son constantes calculadas de acuerdo con la} distribución de probabilidad normal. Puedes obtenerlos de la tabla que se presenta a continuación.

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3

Para facilitar la comprensión del gráfico de control a continuación se describe un ejemplo de aplicación.

Ejemplo

La empresa de fabricación de refrigeradores Refsa desea mejorar la eficiencia de consumo energético de sus productos, por lo que, después de identificar la cantidad de gas refrigerante (en onzas) como el factor de mayor impacto, ha decidido establecer un gráfico de control estadístico para medir la variación en el proceso de inyección de refrigerante. A fin de simplificar esta medición, Refsa determinó utilizar subgrupos racionales de 5 unidades que serán muestreadas cada media hora.

A continuación, se presenta la información recolectada en una jornada laboral de 8 horas para subgrupos racionales de tamaño n= 5.

Subgrupo Observación 1 2 3 4 5 1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60 6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05 15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23

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4

El primer paso para calcular los límites de control es determinar los valores para el promedio y el rango de las observaciones para cada subgrupo, recuerda que la forma de calcular el rango es de acuerdo con la expresión:

Para el primer subgrupo tenemos:

El resto de los cálculos realizados se presentan en la siguiente tabla:

Subgrupo Observación 1 2 3 4 5 Promedio Rango 1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.37 2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.53 3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.52 4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.54 5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60 12.424 0.35 6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.38 7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.43 8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.52 9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.44 10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.54 11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.63 12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.46 13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.57 14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05 12.450 0.67 15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.96 16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.55

Tabla 2. Cálculos realizados.

Una vez que conocemos el promedio y el rango para cada uno de los subgrupos es posible calcular los valores de y de acuerdo con las siguientes fórmulas:

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5

Es decir, solamente se necesita obtener la suma del promedio y el rango, para después dividirlo entre el número de subgrupos (N), que en este caso son 16.

El siguiente paso para el cálculo de los límites de control, es determinar el valor de las constantes

A

₂,

D

₃ y

D

₄

utilizando para ello la tabla de constantes paragráficos de control,sólo es necesario buscar en la columna n el tamaño de los subgrupos, y localizar el valor de las constantes que necesitamos en el resto de las columnas de la derecha.

En este caso el valor de las constantes es:

Al sustituir todos los cálculos anteriores en las fórmulas de los gráficos de control tenemos:

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6

Estos son los límites de control de ensayo que emplearemos para analizar el proceso por primera vez. En la figura 2 se muestra el gráfico de control para el promedio de los subgrupos (gráfico ), observa que tanto las muestras 5 y 14 exceden el límite superior de control, lo cual indica que durante ese periodo de tiempo en el proceso de inyección de gas refrigerante se excedió la cantidad de gas refrigerante suministrado a los refrigeradores.

Figura 2. Gráfico de control para el promedio de los subgrupos (gráfico )

Ahora analiza el gráfico R, observa que en este caso, ninguno de los subgrupos excedió los límites de control, sin embargo en la muestra 15 se presentó una variación mayor entre los datos de la muestra, lo que indica que el proceso se comportó de forma menos uniforme.

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Figura 3. Gráfico R.

Debido a que el gráfico evidenció variaciones especialesen dos de los subgrupos, no es posible emplear los límites de ensayo para controlar el proceso; razón por la cual es necesario calcular nuevamente los límites de control sin considerar aquellas muestras que se encuentran fuera de los límites de éste en cualquiera de las dos gráficas, tal como se muestra en la tabla 3:

Tabla 3. Variaciones especiales de los dos subgrupos.

Observación

Subgrupo 1 2 3 4 5 Promedio Rango

1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.37 2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.53 3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.52 4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.54 6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.38 7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.43 8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.52 9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.44 10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.54 11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.63 12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.46 13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.57 15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.96 16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.55 Se eliminó el subgrupo 14 Se eliminó el subgrupo 5

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8

Al calcular nuevamente los límites tenemos:

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Figuras 4 y 5. Gráficos de control.

Observa que en ninguno de los dos gráficos existen puntos fuera de control, por lo que es posible establecer estos límites de control revisados para vigilar el proceso en futuras ocasiones; es decir, para las próximas observaciones ya no será necesario calcular nuevamente los límites de control, solamente graficar el promedio y rango de los subgrupos.

Gráfico

Debido a que la desviación estándar es un mejor indicador que el rango para la medición de la dispersión de los datos, el gráfico suele ser utilizado cuando se requiere mayor precisión en los gráficos de control, o el tamaño de los subgrupos (n) es mayor a diez observaciones y la medida del rango resulta inadecuada.

El procedimiento utilizado para obtener los límites de control de ensayo y revisadoses el mismo que en

el gráfico , sin embargo, las fórmulas utilizadas para el cálculo son distintas.

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10

Para ejemplificar el uso de estas fórmulas, considera la misma tabla de datos de refrigeradores Refsa, el primer cálculo que realizamos continúa siendo el promedio de los valores de los subgrupos ( ), pero en esta ocasión no calcularemos el rango sino la desviación estándar( ) de acuerdo con la siguiente fórmula:

(

1 )

2 1 1 2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

∑

= =

n

X

n

s

n i i n i i

De esta manera, para el primer subgrupo tenemos:

Observa que obtener la desviación estándar implica mayores operaciones que el rango, por lo que suele utilizarse cuando se cuenta con herramientas tecnológicas que facilitan su cálculo.

Subgrupo Observación 1 2 3 4 5 Promedio Desviación 1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.1588 2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.2205 3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.2323 4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.1981 5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60 12.424 0.1328 6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.1417 7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.1910 8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.2173 9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.1633 10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.2142 11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.2305 12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.1639

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11 13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.2366 14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05 12.450 0.2692 15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.3588 16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.2029

Tabla 4. Información obtenida en los subgrupos.

Una vez que conocemos el promedio y la desviación estándar para cada uno de los subgrupos, es posible calcular los valores de y de acuerdo con las siguientes fórmulas:

Es decir, solamente se necesita obtener la suma del promedio y el rango, para después dividirlo entre el número de subgrupos (N), que en este caso son 16.

El siguiente paso para el cálculo de los límites de control, es determinar el valor de las constantes

A

2_,

3

D

_y

D

₄ _{utilizando para ello la tabla de}_{Constantes para gráficos de control,}_{tal como}

se hizo en el ejemplo anterior.

En este caso el valor de las constantes es:

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Al sustituir todos los cálculos anteriores en las fórmulas de los gráficos de control tenemos:

De acuerdo a lo anterior, es posible elaborar los gráficos de control correspondientes, observa que los resultados obtenidos con el gráfico y son muy similares; sin embargo, dada su precisión,

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Figuras 6 y 7. Gráficos x ̅-R y x ̅-s.

Queda como ejercicio para el estudiante, obtener los límites de control revisados para el gráfico .

Referencias

Besterfield, D. (1995). Control de la calidad. México: Prentice Hall

Hispanoamérica. Recuperado el 10 de diciembre de 2010 en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca Digital UVEG.

Carot, V. (1998). Control estadístico de la calidad. España: Servicio de publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. [Versión electrónica]. Recuperado el 13 de diciembre de 2010, de

http://books.google.com.mx/books?id=jH8Nu0yVXq0C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f =false

Vilar, J. F. (1995). Control estadístico de los procesos. España: Fundación Confemetal. [Versión electrónica]. Recuperado el 13 de diciembre de 2010, de

http://books.google.com.mx/books?id=jc1qaKMBYvIC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f =false