Contenidos. Marco Alfaro C Límites de Funciones 3

Contenidos

1. Límites de Funciones 3

1.1 Cálculo de Límites . . . 6

1.1.1 Leyes de los Límites . . . 6

1.1.2 Límites al in…nito y asíntotas horizontales . . . 8

1.1.3 Límites in…nitos y asíntotas verticales . . . 11

1.2 Funciones Continuas . . . 13

1.3 Ejercicios . . . 18

1.4 Respuestas . . . 23

2. Derivada de una Función 24 2.1 Reglas de Derivación . . . 28

2.2 Derivación Implícita . . . 30

2.3 Derivadas de Funciones Trigonométricas . . . 32

2.4 Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales . . . 34

2.4.1 Propiedades de la Función Exponencial . . . 34

2.4.2 Leyes de los Logaritmos . . . 36

2.5 Derivación Logarítmica . . . 37

2.5.1 Unas Sugerencias para Derivación Logarítmica . . . 38

2.6 Tasas de Cambio Relacionadas . . . 38

2.7 Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas . . . 40

2.8 Aplicaciones de la Derivada . . . 41

2.8.1 Valores Máximos y Mínimos . . . 41

2.9 Recomendaciones para el Trazo de Grá…cas . . . 46

2.10 Ejercicios . . . 47

2.11 Respuestas . . . 53

3. Integración 54 3.1 Sumas de Riemann . . . 56

3.2 Teorema Fundamental del Cálculo . . . 62

3.3 Área entre Curvas . . . 65

3.4 Integrales de Funciones Logarítmicas y Exponenciales . . . 68

3.5 Integrales de Funciones Trigonométricas . . . 70

3.5.1 Integrales del tipoRsenm_xcosn_{x dx. . . 71}

3.5.2 Integrales del tipoRtanmxsecnx dx. . . 73

Marco Alfaro C. 2

3.7 Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas . . . 76

3.8 Integración por Partes . . . 77

3.9 Integración por Fracciones Simples . . . 79

3.10 Sustitución de Weierstrass . . . 83

3.11 Fórmulas Básicas de Integración . . . 85

3.12 Ejercicios . . . 86

Límites de Funciones

Considere la función de…nida porf(x) =x2 _{x+ 3;entonces, si investigamos el comportamiento}

de f para valores de xcercanos a 2; tanto para valores menores que 2 (por la “izquierda” de 2) como para valores mayores que2 (por la “derecha” de2) obtenemos:

x f(x) x f(x) 1:0 3 3:0 9:0 1:5 3:75 2:5 6:75 1:8 4:44 2:2 5:64 1:9 4:71 2:1 5:31 1:95 4:852 5 2:05 5:152 5 1:99 4:970 1 2:01 5:030 1 1:995 4:985 2:005 5:015 1:999 4:997 2:001 5:003

es decir, los valores def(x)se aproximan a5. Decimos entonces que “el límite cuandoxtiende a 2def(x)es5”, y escribimos:

lim

x!2f(x) = 5:

En general, usaremos la siguiente de…nición.

De…nición Se escribe lim

x!af(x) =Ly decimos queel límite cuando xtiende a \a"de f es igual

a L; si podemos hacer que los valores de f se aproximen tanto como se quiera aL haciendo x arbitrariamente cercano aa:

De…niciónEscribimos

lim

x!a f(x) =L

y decimos que el límite por la izquierda de f cuando xtiende a a es igual a L; si los valores de f(x)se aproximan arbitrariamente aLtomando axsu…cientemente cercano aa;conx < a: Análogamente,

lim

x!a+f(x) =L

signi…ca quef(x)_!Lcuando x_!a;con x > a:

Marco Alfaro C. 4

Teorema(Existencia del límite) El lim

x!a f(x) =Lexiste si y sólamente si

lim

x!a f(x) = limx!a+f(x) =L: (1.1) Ejemplo En el siguiente ejercicio, dar el valor del límite, si este existe, en caso contrario, explicar por qué no existe.

1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 1 2 3 -1 -3 -2 0 y x 4 (a) lim x! 2f(x) (b)xlim! 4f(x) (c)xlim!2+f(x) (d) lim

x!1f(x) (e)xlim!2 f(x) (f)xlim!2f(x)

Solución:

(a) Tenemos, de acuerdo al último teorema, que lim

x! 2 f(x) = 1 = x!lim2+f(x); así que

lim

x! 2f(x) = 1:

(b) Aquí lim

x! 4 f(x) = 2 =x!lim4+f(x), por lo que_xlim_{! 4}f(x) = 2:Note quef( 4)no existe.

(c) En este caso lim

x!2+f(x) = 3:

(d) De nuevo, analizando los límites laterales se llega a lim

x!1 f(x) = 1 = limx!1+f(x); así que

lim

x!1f(x) = 1:

(e) Finalmente, lim

x!2 f(x) = 1 mientras quexlim!2+f(x) = 3;de donde concluimos que el xlim!2f(x)

EjemploSea

f(x) = x

2 ₁

jx 1_j: Hallar (i) lim

x!1+f(x) (ii)_xlim_!1 f(x).

Solución: De la de…nición de la función valor absoluto, tenemos que

jx 1_j= 8 < : x 1; si x 1 (x 1); si x <1: Por lo tanto, lim x!1+f(x) = lim_x!1+ (x+ 1) (x 1) x 1 = 2: Por su parte lim x!1 f(x) = limx!1 (x+ 1) (x 1) (x 1) = 2:

Concluimos entonces que lim

x!1f(x)no existe. EjemploSea f(x) = 8 < : x2 _{2x+ 2; si x <1} 3 x; si x 1:

Hallar (i) lim

x!1 f(x) (ii)xlim!1+f(x).

Solución: Para calcular el primer límite usamos la primera rama de la funciónf, es decir lim

x!1 f(x) = limx!1 x

2 _{2x+ 2}

= 1:

Para el segundo límite usamos la rama def correspondiente ax_!1+_{, esto esx >1;entonces}

lim

x!1+f(x) = lim_x!1+(3 x)

= 2:

Nuevamente, como los límites laterales no coinciden, se tiene que lim

Marco Alfaro C. 6

1.1

Cálculo de Límites

1.1.1

Leyes de los Límites

Si lim x!af(x) =Lyxlim!af(x) =M, se cumple: 1. lim x!a[f(x) g(x)] =L M: 2. lim x!a[c f(x)] =c L:(c2R): 3. lim x!a[f(x) g(x)] =L M: 4. lim x!a f(x) g(x) = L M;sixlim!ag(x)6= 0: 5. lim x!a[f(x)] n =Ln _(n2N): 6. lim x!ac=c;xlim!ax=a;xlim!ax n_=an_: 7. lim x!a n p_x= pn_a,n2 N. Sines par se suponea >0. 8. lim x!a n p f(x) = qn lim

x!af(x),n2N:Si n es par se suponexlim!af(x)>0:

9. Sif(x)es un polinomio o una función racional con a₂Df, entonces

lim

x!af(x) =f(a):

Aunque no existe ninguna regla general para el cálculo de límites, podemos revisar algunos ejemplos que nos ayuden a identi…car los casos de aparición más frecuente. Para ello utilizamos, en forma combinada, todas las propiedades enumeradas en el teorema anterior.

Ejemplos

1. Calcular el límite lim

x!1

x4_{+x 2}

x3 ₁ :

Solución: Mediante una aplicación reiterada del Teorema del Factor para eliminar la forma inde-terminada 0 0, obtenemos lim x!1 x4+x 2 x3 ₁ = lim_x!1 (x 1) x3+x2+x+ 2 (x 1) (x2_{+x+ 1)} = lim x!1 x3_+x2_{+x+ 2} x2_{+x+ 1} =5 3:

2. Calcular el límite lim

x!2

p

x2_{+ 5 3}

x 2 :

Solución: Nuevamente tenemos una forma indeterminada del tipo 0₀; para eliminarla, esta vez recurrimos a la racionalización del numerador para obtener

lim x!2 p x2_{+ 5 3} x 2 = limx!2 p x2_{+ 5 3} x 2 ! _p x2_{+ 5 + 3} p x2_{+ 5 + 3} ! = lim x!2 x2 ₄ (x 2) px2_{+ 5 + 3} = lim x!2 (x 2) (x+ 2) (x 2) px2_{+ 5 + 3} = lim x!2 x+ 2 p x2_{+ 5 + 3} = 2 3: 3. Calcular el límite lim

x!1 3

p x 1 x 1 :

Solución: Si bien es cierto para calcular este límite podemos recurrir nuevamente a la racionalización del numerador como en el ejemplo anterior, esta vez debemos utilizar la fórmula de diferencia de cubos con exponentes fraccionarios, lo que hace que el problema se torne un poco complejo. Por esto mejor optamos por realizar un cambio de variable de la siguiente forma. Colocamosx=u3_,

de forma que cuandox_!1entoncesu=p3_{x!1. Por lo tanto se sigue que}

lim x!1 3 p x 1 x 1 = limu!1 u 1 u3 ₁ = lim u!1 u 1 (u 1) (u2_{+u+ 1)} = lim u!1 u 1 (u 1) (u2_{+u+ 1)} = lim u!1 1 u2_{+u+ 1} = 1 3:

Teorema(Sandwich) Sih(x) f(x) g(x)paraxen un intervalo abierto que contiene aa, y si lim

x!ah(x) = limx!ag(x)

entonces lim

Marco Alfaro C. 8

La interpretación geométrica de este teorema se representa en la siguiente grá…ca.

( )

( )

( )

Figura 1: Teorema del Sandwich

Ejemplo Hallar lim

x!0f(x)si

4 x2 f(x) 4 +x2

Solución: En este caso, tomando límites en la desigualdad anterior, tenemos que lim x!0 4 x 2 _lim x!0f(x) xlim!0 4 +x 2 es decir, 4 lim x!0f(x) 4

y por lo tanto lim

x!0f(x) = 4:

1.1.2

Límites al In…nito y Asíntotas Horizontales

De…niciónSea f de…nida en]a;+₁[. Entonces lim

x!+1f(x) =L

signi…ca que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos aL; tomando valores dexsu…cientemente grandes.

Análogamente,

lim

x! 1f(x) =L

signi…ca quef(x) _!Ltomando valores negativos de xsu…cientemente grandes.

De…niciónSe dice que la recta y=Les unaasíntota horizontal de la curvay=f(x), si lim

y x

( )

Figura 2: Asíntota Horizontal

Teorema Si r >0es un número racional tal que xr _{está de…nido, entonces}

lim x!+1 1 xr = 0 y _{x! 1}lim 1 xr = 0 Ejemplos 1. Calcular lim x!+1 3x2 _{x 2} 5x2_{+ 4x+ 1}:

Solución: Extrayendo la mayor potencia de xen el numerador y en el denominador, y uti-lizando el resultado del teorema anterior obtenemos

lim x!+1 3x2 _{x 2} 5x2_{+ 4x+ 1} = lim_x!+1 x2 ₃ 1 x 2 x2 x2 _{5 +} 4 x+ 1 x2 = lim x!+1 3 1 x 2 x2 5 + 4 x+ 1 x2 = 3 5:

Marco Alfaro C. 10

2. Determinar las asíntotas horizontales a la grá…ca de la funciónf(x) = p

2x2_{+ 1}

3x 5 :

Solución: Procedemos de manera similar al ejemplo anterior, tomando en cuenta quepx2_=jxj:

lim x! 1 p 2x2_{+ 1} 3x 5 = limx! 1 s x2 _{2 +} 1 x2 x 3 5 x = lim x! 1 jx_j r 2 + 1 x2 x 3 5 x = lim x! 1 x r 2 + 1 x2 x 3 5 x = lim x! 1 r 2 + 1 x2 3 5 x = p 2 3 :

Por lo tanto las asíntotas horizontales a la grá…ca def(x)son las rectasy= p

2 3 :

Nota Observe que los procedimientos aplicados a los ejemplos anteriores, nos permiten concluir el siguiente resultado para una función racional:

lim x!1 anxn+an 1xn 1+: : :+a0 bmxm+bm 1xm 1+: : :+b0 = 8 > > > > > < > > > > > : 1, sin > m an bm , sin=m 0, sin < m:

Un resultado similar se obtiene six_{! 1};sólo que en este caso se debe analizar además el signo dean:bmy la paridad denym:

1.1.3

Límites In…nitos y Asíntotas Verticales

De…niciónSea f de…nida en un intervalo abierto alrededor dea:Entonces lim

x!af(x) = +1

signi…ca que los valores def(x)se pueden hacer arbitrariamente grandes, tomando x su…ciente-mente cercano aa:

De forma similar

lim

x!af(x) = 1

signi…ca que los valores def(x)se pueden hacer arbitrariamente grandes y negativos, tomandox su…cientemente cercano aa:

De…nición Se dice que x=a es unaasíntota vertical de la curvay =f(x)si se cumple alguna de las condiciones siguientes:

lim x!af(x) = +1 xlim!a f(x) = +1 xlim!a+f(x) = +1 lim x!af(x) = 1 xlim!a f(x) = 1 xlim!a+f(x) = 1 2 3 -1 -2 -4 -3 3 -1 -2 0 4 2

Figura 3: Asíntota Vertical

y x 2 − = x ( )x f y= 1 5

Teorema(Álgebra de límites in…nitos) Sia; L₂R

lim x!af(x) = +1 y xlim!ag(x) =L entonces (a) lim x!a[f(x) g(x)] = +1: (b) lim x!a[f(x) g(x)] = +1 (L >0)yxlim!a[f(x) g(x)] = 1 (L <0) (c) lim x!a g(x) f(x) = 0:

Marco Alfaro C. 12

NotaPropiedades similares son válidas para límites laterales y para cuando lim

x!af(x) = 1: Teorema

(a) Sin₂N; npar, entonces

lim x!a 1 (x a)n = +1 (b) Sin₂N; nimpar, entonces lim x!a+ 1 (x a)n = +1 y xlim!a 1 (x a)n = 1

EjemploHallar las asíntotas verticales de la función f(x) = x

x2_{+x 2}:

Solución: Primero observe quef(x) = x

(x+ 2) (x 1);por lo tanto tenemos que lim x! 2 f(x) =x!lim2 x (x+ 2) (x 1) = ₁: Análogamente, lim x! 2+f(x) =_x!lim₂+ x (x+ 2) (x 1) = +₁: En el caso dex= 1;se obtiene lim x!1 f(x) = limx!1 x (x+ 2) (x 1) = ₁:

y por otra parte

lim

x!1+f(x) = lim_x!1+

x (x+ 2) (x 1) = +₁:

1.2

Funciones Continuas

lim

x!af(x) =f(a): (1.2)

Esto signi…ca que se cumplen las condiciones siguientes: 1. f(a)está de…nido.

2. lim

x!af(x)existe.

3. lim

x!af(x) =f(a):

Una función se llama continua en]a; b[ si es continua en cada punto de]a; b[:Se dice quef tiene unadiscontinuidad evitable enx=asif puede hacerse continua rede…niéndola en x=a; si esto no es posible, la discontinuidad se llamainevitable.

1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 1 -1 0 4 Figura 4: Discontinuidades 2 3

En la …gura anterior vemos que lim

x! 3f(x) = 1, sin embargo f( 3) = 3, así que f tiene una

discontinuidad evitable enx= 3: Por su parte, lim

x!3 f(x) = 4; mientras que xlim!3+f(x) = 2;es

decir el lim

x!3+f(x)no existe, por lo quef tiene una discontinuidad inevitable enx= 3: EjemploLa función f(x) = 8 < : x; si x <1 2; si x= 1 2x 1; si x >1 es discontinua enx= 1:

Marco Alfaro C. 14

Solución: Veri…quemos las tres condiciones para que exista continuidad en el puntox= 1: 1. Según la de…nición def, se tiene quef(1) = 2;por lo que esta condición se satisface. 2. Calculamos ahora los límites laterales enx= 1:

lim x!1 f(x) = limx!1 x = 1: Por su parte lim x!1+f(x) = lim_x!1+(2x 1) = 1: Concluimos entonces que lim

x!1f(x) = 1:

3. Según esta condición, comparamos lim

x!1f(x) = 1 6= 2 =f(1), así que f tiene una

discon-tinuidad evitable en el puntox= 1:Para mayor claridad, veamos lo que sucede con la grá…ca de f en este punto: 1 2 3 -1 -2 1 2 3 -3 -2 y x -3 -1

Teorema(Álgebra de funciones continuas)

Sif yg son continuas enayc₂Rentonces también son continuas las funciones (a)f g (b)c f (c)f g (d) f g , si g(a)6= 0: Teorema

(a) Todo polinomio es continuo enR:

Teorema

(a) Sin₂N, es par, entoncesf(x) = pn_{xes continua en[0;+}

1[: (b) Sin₂N, es impar, entonces f(x) = pn_{xes continua enR:}

TeoremaSig es continua enayf es continua eng(a)entonces(f g)es continua ena:

EjemploHallar el valor de la constante c, para que la función f de…nida por

f(x) = 8 < : c2_{x; si x 1} 3cx 2; si x >1 sea continua enR:

Solución: Primero que nada observe que se nos solicita que la función f sea continua en toda la recta real, de modo que conviene empezar observando que las funciones

f1(x) =c2x y f2(x) = 3cx 2

son claramente continuas en todo R, por tratarse de funciones polinomiales. Con esto, basta entonces analizar la continuidad de f en el punto x = 1; que es donde, eventualmente, puede perderse la continuidad al unir ambas funciones. Veamos.

1. En este casof(1) =c2_{;por lo quef(1)existe.}

2. Calculando los límites laterales enx= 1 : lim x!1 f(x) = limx!1 c 2_x =c2_: Mientras tanto lim x!1+f(x) = lim_x!1+(3cx 2) = 3c 2: Como queremos que este límite exista, debe cumplirse que

lim

x!1 f(x) = limx!1+f(x)

lo que conduce a la ecuación cuadrática enc:

c2= 3c 2 cuyas soluciones son c= 1 ó c= 2:

3. Finalmente, debe tenerse que f(1) = lim

x!1f(x), lo que conduce la misma condición sobre c:

Marco Alfaro C. 16

EjemploEncuentre y clasi…que las discontinuidades, si existen, de la función f(x) = 1 x

2

4 x3 _3x2:

Solución: Según el teorema visto anteriormente, toda función racional, es decir, el cociente de dos polinomios, es continua en su dominio. En el caso de la funciónf, extrayendo un factor común de 1en el numerador y el denominador y realizando una sencilla división sintética, se simpli…ca a

f(x) = 1 x 2 4 x3 _3x2 = x 2 ₁ x3_{+ 3x}2 ₄ = (x+ 1) (x 1) (x+ 2)2(x 1):

La función presenta problemas de inde…nición en los puntos x = 1 y x = 2: Al calcular los límites respectivos en esos puntos, se obtiene:

lim x!1f(x) = limx!1 (x+ 1) (x 1) (x+ 2)2(x 1) = lim x!1 x+ 1 (x+ 2)2 = 2 9:

Así quef tiene unadiscontinuidad evitable enx= 1, pues bastaría rede…nirf(1) = 2₉ para que la función sea continua enx= 1:Por otra parte,

lim x! 2f(x) = limx! 2 (x+ 1) (x 1) (x+ 2)2(x 1) = lim x! 2 x+ 1 (x+ 2)2 = ₁:

Teorema(Del Valor Intermedio) Suponga quef es continua sobre el intervalo cerrado[a; b]y sea N cualquier número estrictamente entref(a)yf(b). Entonces existe un númeroc₂]a; b[tal que f(c) =N:

y

( )

Figura 5: Teorema del Valor Intermedio

a b

( )

( )

Esto quiere decir que una función continua toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b): Este resultado es en realidad una consecuencia inmediata del siguiente teorema conocido como Teorema de Bolzano.

TeoremaSea f una función continua en el intervalo cerrado[a; b]y supongamos quef(a)yf(b) tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un valorc₂]a; b[tal quef(c) = 0:

y x

( )

Figura 6: Teorema de Bolzano

a _b

( )

( )

EjemploDemuestre que la ecuación

x3 3x+ 1 = 0 tiene al menos una raíz en el intervaloI= ]0;1[:

Marco Alfaro C. 18

Solución:

Considere la funciónf(x) =x3 _{3x+ 1, la cual es claramente continua en]0;1[por ser una función}

polinomial. Nótese ahora que al ser

f(0) = 0 0 + 1 = 1>0 f(1) = 1 3 + 1 = 1<0

es decir, f(0) y f(1) tienen signos opuestos, el teorema de Bolzano permite concluir que existe c₂]0;1[tal quef(c) = 0, o lo que es lo mismo

c3 3c+ 1 = 0:

1.3

Ejercicios

1. En el siguiente ejercicio, dé el valor de cada expresión, si existe. En caso que no exista, explique por qué.

2 3 4 -1 -2 -4 -3 1 3 -1 0 4 y x 1 2 (a) lim x!0f(x) (b) xlim!3+f(x) (c) _xlim_!3 f(x) (d) lim x!3f(x) (e) xlim! 3f(x) (f)f(3)

2. Considere la función f de…nida por f(x) = 8 > > > > < > > > > : 3x+ 1; si x <1 x2_{+ 3; si1< x 3} 4x+ 3; si x >3: Calcule, si existen, los siguientes valores:

(a) lim

x!1f(x) (b) xlim!3f(x) (c) f(3)

3. En la siguiente …gura, dé el valor del límite, si existe. En caso que no exista, explique por qué. (a) lim x!2f(x) (b) xlim!3 f(x) (c) xlim!3+f(x) (d) lim x!3f(x) (e)f(3) (f) x!lim2 f(x) (g) lim x! 2+f(x) (h) _xlim_{! 2}f(x) (i)f( 2) 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 1 2 3 -3 -2 0 y -1

4. Trace la grá…ca de una funciónf que satisfaga todas las siguientes condiciones: (a) f( 3) =f(0) =f(4) = 0: (b) lim x! 2 f(x) = 1 yx!lim2+f(x) = 1: (c) f( 2) = 3: (d) lim x!3 f(x) = 2 yxlim!3+f(x) = 2: (e) f(3) = 1:

Marco Alfaro C. 20

5. Trace la grá…ca de una funciónf que satisfaga todas las siguientes condiciones: (a) f es continua en] ₁; 5[;] 5; 2[;] 2;3[y en]3;+₁[: (b) f(0) =f(6) = 0: (c) lim x! 1f(x) = +1 yx!lim+1f(x) = 1: (d) lim x! 5 f(x) = 2 yx!lim5+f(x) = 1: (e) lim x!3 f(x) = 1 yxlim!3+f(x) = 1: (f) lim x! 2f(x) = 1 yf( 2) = 1:

6. Calcule los siguientes límites:

(a)lim x!1 x4_{+x 2} x3 ₁ (f) _xlim_!2 x 2 p x+ 1 p5 x (k) xlim!1 x2_{+x 2} x2 _{4x+ 3} (b) lim x!2 4 x2 3 px2_{+ 5} (g) xlim!1 p x 1 3 p x 1 (l) xlim!1 x 1 x3 _x2_{+x 1} (c) lim x!1 p x2_{+ 3 2} p 10 x 3 (h) xlim!1 3 p x+ 7 2 x3 ₁ (m) _xlim_!3 x 3 x2 _{8x+ 15} (d) lim x!2 x3 ₈ jx 2_j (i) xlim!1 1 1 x 3 1 x3 (n) _xlim_{! 2} p 2 x 2 x2_{+ 5x+ 6} (e) lim x!2 p 3x jx 2j x 2 (j) xlim!1 3 p_{x 1} 4 p x 1 (ñ) xlim!3 x3 _2x2 _{2x 3} x4 _2x3 ₂₇

7. Calcule, si existen, los siguientes límites:

(a) lim x! 1 3x+ p 9x2 _{x (e) lim} x!+1 p 1 + 4x2 4 +x (b) lim x!+1 p x2_{+ 1} p_x2 _{1 (f) lim} x!+1 p 9x2_{+x 3x} (c) lim x!+1 5x3_{+ 1} 10x3 _3x2_{+ 7} (g) _{x! 1}lim (1 x) (2 +x) (1 + 2x) (2 3x) (d) lim x!+1 x+ 4 x2 _{2x+ 5} (h) _x!lim₊₁ x3 _{8x+ 5} 2x2 _{x+ 3}

8. Calcule los siguientes límites: (a) lim x! 1 x2 ₂ x2 _{x 2} (e) _xlim !2 4 (x 2)3 (i) xlim!1 x3_{+ 3x}2 _{2x 2} x3 _3x2_{+ 3x 1} (b) lim x!1+ x3 x2 ₁ (f) _xlim_!2 2 (x 2)2 (j) xlim!2 x5 2x4+ 3x2 7x+ 2 3x3 _11x2_{+ 8x+ 4} (c) lim x!2+ x 3 x 2 (g) xlim!2 x2 ₂ x2 _{x 2} (k) _xlim !1+ x4 _x3_{+ 2x}2_{+ 5x 7} 3x3 _4x2 _{x+ 2} (d) lim x!1+ 2 +x 1 x (h) x!lim2 2x2_{+x+ 1} x+ 2 (l) xlim!1 x2_{+ 8x 9} x2 _{2x+ 1}

9. Considere la siguiente …gura, con base en ella, complete las expresiones dadas de forma que se transformen en verdaderas1_. -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 4 x y -1 -3 3 1 -1 -2 -4 2 -5

Marco Alfaro C. 22 (a) lim x! 3f(x) = : (b) lim x! 1f(x) = : (c) lim x! 1f(x) = : (d) lim x!+1f(x) = :

(e) f tiene una discontinuidad evitable en el siguiente valor dex: : (f) f tiene una discontinuidad inevitable en el siguiente valor dex: : (g) Un intervalo en dondef es continua es el siguiente: : (h) Una asíntota vertical de la grá…ca def es la siguiente: :

(i) Una asíntota horizontal de la grá…ca def es la siguiente: : 10. Determine el valor de las constantesa; bykpara que las siguientes funciones sean continuas

en toda la recta real.

(a) f(x) = 8 < : 4 x2+ 1 ; si x 0 2x+ 3k, six >0: (c) g(x) = 8 > > > > < > > > > : 2; six 1 ax+b; si 1< x <3 2, six 3: (b) f(x) = 8 < : x3_{; si x 2} ax2_{, six >2:} (d) g(x) = 8 > < > : x2 _a2 x a ; si x6=a 8, six=a: 11. Hallar el valor de la constanteapara que el siguiente límite exista y calcúlelo.

L= lim

x! 2

3x2+ax+a+ 3 x2_{+x 2}

12. Determine las asíntotas verticales y las discontinuidades evitables de la función de…nida por la expresión

f(x) = 2x

2_{+ 7x+ 6}

x4 ₁₆ :

(a) Enuncie correctamente el Teorema del Valor Intermedio.

(b) Aplíquelo para concluir que la ecuaciónx5_{+ 2x 7 = 50tiene solución.}

13. Demuestre que las grá…cas de las funcionesf(x) = cosxyg(x) =xse intersecan.

14. Aplique el Teorema del Valor Intermedio para probar que existe un número positivoctal que c2= 2:Esto demuestra la existencia del númerop2:

1.4

Respuestas

1. (a)3:(b)2:(c) 4:(d) No existe. (e)1:(f) 3: 2. (a)4. (b) No existe. (c)f(3) = 12:

3. (a)3:(b)2:(c) 2:(d) No existe. (e) 1. (f) 2. (g) 2:(h) 2. (i) 3:

6. (a) 5₃ : (b) 6: (c) 3. (d) 12: (e) no existe. (f) p3: (g) 3₂ . (h) ₃₆1. (i) 1. (j) 4₃: (k) 3₂. (l) 1₂: (m) ₂1:(n) 1₄. (ñ) 13₅₄ .

7. (a) 1₆: (b)0: (c) 1₂. (d)0: (e)2: (f) 1₆: (g) 1₆: (h)+₁:

8. (a) ₁: (b)+₁. (c) ₁: (d) ₁: (e) ₁: (f) ₁: (g) ₁: (h) ₁:(i)+₁: (j) ₁: (k)+₁: (l) ₁:

10. (a)k= 4₃: (b)a= 2: (c) a= 1; b= 1: (d) a= 4: 11. a= 15; L= 1:

Capítulo 2

Derivada de una Función

De…niciónLaderivada def enxse de…ne por f0(x) = lim

h!0

f(x+h) f(x)

h : (2.1)

Note que este límite presenta el cociente del incremento de la función y el incremento del argumento de la función, según vemos en la siguiente grá…ca.

0 x x+h h

(

) ( )

( )

Figura 1: Derivada de una función

De manera equivalente, la derivada def enx=a;se puede de…nir por: f0(a) = lim

x!a

f(x) f(a)

x a (2.2)

si este límite existe.

Es decir, la derivada de una funciónf en un puntoP(a; f(a)), como se muestra en la Figura 1, se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curvaf en dicho punto.

NotaciónPara el concepto de derivada, utilizaremos cualquiera de los siguientes símbolos: f0(x) =y0= dy

dx = df

dx =Df(x) =Dxf(x):

EjemploUsando la de…nición, calcule la derivada de la función. f(x) =p2x 1: Solución: A partir de la de…nición (2.1), obtenemos lo siguiente

f0_{(x) = lim} h!0 f(x+h) f(x) h = lim h!0 p 2 (x+h) 1 p2x 1 h = lim h!0 p 2x+ 2h 1 p2x 1 h = lim h!0 2x+ 2h 1 2x+ 1 h p2x+ 2h 1 p2x 1 = lim h!0 2x+ 2h 1 2x+ 1 h p2x+ 2h 1 +p2x 1 = lim h!0 2 p 2x+ 2h 1 +p2x 1 = p 1 2x 1:

Observe que la derivada de una función es un límite, por lo que para hallarlo recurrimos a cualquiera de los procedimientos válidos, en este caso se usó nuevamente la racionalización del numerador para eliminar la indeterminación.

También como límite que es, la derivada puede o no existir, por lo que más adelante introducimos el concepto de derivada lateral para decidir este problema.

Marco Alfaro C. 26

EjemploUsando la de…nición, calcule la derivada de la función. f(x) = x x+ 1. Solución: Nuevamente usando (2.1), obtenemos ahora

f0_{(x) = lim} h!0 f(x+h) f(x) h = lim h!0 1 h x+h x+h+ 1 x x+ 1 = lim h!0 1 h (x+h) (x+ 1) x(x+h+ 1) (x+h+ 1) (x+ 1) = lim h!0 x2_{+x+hx+h x}2 _{hx x} h(x+h+ 1) (x+ 1) = lim h!0 1 (x+h+ 1) (x+ 1) = 1 (x+ 1)2:

TeoremaSif es diferenciable ena(es decir,f0_{(a)existe), entoncesf es continua ena:El recíproco}

es falso.

Nótese en la Figura 2 el caso típico de una función que es continua pero no derivable en un punto.

1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 0 1 − = x y y x 4

Figura 2: Función continua no derivable

Para veri…car esto, podemos usar la de…nición (2.2) de derivada en el punto a = 1, para lo cual calculamos los límites laterales, con el propósito de eliminar el valor absoluto. Introducimos además los símbolosf0 _(a)yf0

respectivamente. Entonces f0 _{(1) = lim} x!1 f(x) f(1) x 1 = lim x!1 jx 1_{j j}0_j x 1 = lim x!1 (x 1) x 1 = 1:

De forma idéntica tenemos

f0 +(1) = lim x!1+ f(x) f(1) x 1 = lim x!1+ jx 1_{j j}0_j x 1 = lim x!1+ x 1 x 1 = 1:

Concluimos entonces quef0 (1)₆=f+0 (1)por lo que la derivada def enx= 1no existe, es decir,

f no es derivable en este punto.

Otros casos de no derivabilidad de una función en un punto pueden ocurrir como consecuencia de una discontinuidad de la función en dicho punto, o bien, que la curva presente un recta tangente vertical(de pendiente in…nita), como podemos ver en la siguiente …gura.

1 2 3 -1 -2 -4 -3 3 -1 -2 0 4 2

Figura 3: Función no derivable

y x

( )

Marco Alfaro C. 28

2.1

Reglas de Derivación

Nota Observe que en particular, sif(x) =ax+b;entonces f0_{(x) =a:}

Teorema(Regla de la Cadena) Si las derivadas deg yf existen y f g es la función compuesta entonces(f g)0 está de…nida y

[f(g(x))]0=f0(g(x)) g0(x) o bien, siy=f(u)yu=g(x);entonces

dy dx = dy du du dx En particular [[f(x)]n]0 =n[f(x)]n 1 f0(x) o bien d dx(u n_{) =nu}n 1du dx

EjemploDerive la función f(x) = x5 _4x3_{+ 2x 3} 6_:

Solución: Colocamosu=x5 _4x3_{+ 2x 3;entonces de acuerdo al teorema anterior tenemos que}

f(x) =u6_{, y así}

f0(x) = 6u5 u0

= 6u5 _x5 _4x3_{+ 2x 3} 0

= 6u5 _5x4 _12x2_{+ 2}

= 6 x5 _4x3_{+ 2x 3} 5 _5x4 _12x2_{+ 2 :} EjemploHallar la derivada de la función f(x) =

p

2x2 _{2x+ 1}

x :

Solución: Si colocamos ahorau= 2x2 2x+ 1;entoncesf(x) = u

1 2

regla del cociente y la regla de la cadena f0_{(x) =} x u 1 2 0 u12 (x)0 x2 = x 1 2u 1 2 u0 pu x2 = xu0 2u 2pu x2 = xu0 2u 2x2p_u = x(4x 2) 2 2x 2 _{2x+ 1} 2x2p_2x2 _{2x+ 1} = x 1 x2p_2x2 _{2x+ 1}:

Teorema Si f0(a) existe, entonces la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en P(a; f(a))es:

y f(a) =f0(a) (x a) (2.3)

Note que el teorema anterior es simplemente una reescritura de la denominada forma punto-pendiente para la ecuación de la recta.

EjemploHallar las rectas tangentes a la curva y=x2_{+ 1que pasan por el origen.}

Solución Primero observe quey0_{(x) = 2x, así que la recta tangente en el puntoP(a; b)según (2.3)}

es y b= 2a(x a): 1 2₊ =x y

( )

( )

( )

( )

Marco Alfaro C. 30

Como esta recta debe pasar por el origen, es decir, por el puntoO(0;0);entonces 0 b= 2a(0 a)

esto es,

b= 2a2: (2.4)

Pero el puntoP(a; b)debe estar sobre la curva, de forma que tenemos la nueva condición

b=a2+ 1: (2.5)

De (2.7) y (2.8) se sigue que a = 1, y por lo tanto los puntos de tangencia son Q(1;2) y R( 1;2):Finalmente, encontramos que las ecuaciones de las rectas tangentes sony 2 = 2 (x 1) e y 2 = 2 (x+ 1):

2.2

Derivación Implícita

Dada una ecuación que contiene axey;con yuna función derivable de x;de la forma F(x; y) = 0

se puede hallar dy dx así:

1. Derive ambos lados de la ecuación respecto dex: 2. Agrupe todos los términos que contienen dy

dx a la izquierda de la ecuación, y los demás términos a la derecha.

3. Factorice dy

dx en el lado izquierdo. 4. Despeje dy

dx en la ecuación.

EjemploHallar la derivada dy_dx six3_+x2_y+y2_{= 0:}

Solución: Suponemos quey=y(x), entonces derivando esta ecuación respecto dex, obtenemos 3x2+ 2xy+x2y0+ 2yy0= 0;

agrupando los términos que contienen ay0

x2+ 2y y0= 3x2+ 2xy …nalmente, resolviendo paray0 _{llegamos a}

y0= 3x

2_{+ 2xy}

x2_{+ 2y} :

La recta normal a una curva es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia P(a; b). Por lo tanto, su pendiente es

m0= 1 m = 1 f0_(a):

( )

( )

Figura 4: Recta Normal

Así que la ecuación de la recta normal a la grá…ca dey=f(x)es y b= 1

f0_(a)(x a): (2.6)

EjemploVeri…que que la recta normal a la curva de ecuación x2+y2= 1

siempre pasa por el origen.

Solución: Derivando por derivación implícita la ecuación dada, tenemos y0= x

y

por lo que la ecuación de la recta normal enP(a; b)es, según (2.6) y b= 1

a=b(x a)

es decir,

y= b ax que claramente pasa por el origen.

Marco Alfaro C. 32

2.3

Derivadas de Funciones Trigonométricas

Seax >0, y considere la siguiente …gura

P Q R A

( )

( )

con\AP B el arco de circunferencia de radio 1y centro en el origen, entonces tenemos m]P OA=x=mdP A: Además, senx=P R < mdP A=x: (2.7) Así, senx x < x x= 1: (2.8)

Note que ela₄OQAviene dada por a₄OQA= 1 2(OA) (AQ) = 1 2(1) (tanx) = senx 2 cosx: Por su parte, el área del sector circularOP Aes

A= (1) 2 x 2 = x 2: Se concluye entonces que

x 2 < senx 2 cosx (2.9) es decir, por (2.8) cosx < senx x <1 (2.10)

haciendox_!0en la relación (2.10) se concluye que lim

x!0+

senx

Six <0;colocamos x0= x >0, y entonces de (2.11) tenemos que senx x = sen ( x0₎ ( x0₎ = senx0 x0 = senx0 x0 y entonces también lim x0_!0+ senx0 x0 = 1: (2.12)

Por lo tanto de (2.11) y (2.12) se concluye …nalmente el importante límite lim

x!0

senx

x = 1: (2.13)

EjemploMuestre que

lim

x!0

cosx 1

x = 0: (2.14)

Solución: Observe primero que podemos escribir

1 cosx= 2 sen2 x 2 así que lim x!0 cosx 1 x = limx!0 2 sen x₂ sen x₂ x = lim x!0 sen x₂ x 2 sen x 2 = lim_x 2!0 sen x₂ x 2 lim x!0sen x 2 = 1 0 = 0:

EjemploHallar la derivada de

(a) y= senx (b) y= cosx:

Solución:

(a) Según los límites (2.13) y (2.14) podemos escribir d dx(senx) = limh!0 sen (x+h) senx h = lim h!0

senxcosh + cosxsenh senx h

= lim

h!0

senxcosh + cosxsenh senx h = senx lim h!0 cosh 1 h + cosx hlim!0 senh h = cosx:

Marco Alfaro C. 34 (b) De forma similar, d dx(cosx) = limh!0 cos (x+h) cosx h = lim h!0 cosx(cosh 1) h hlim!0 senxsenh h = cosx lim h!0 (cosh 1) h senx hlim!0 senh h = senx:

Las derivadas de las demás funciones trigonométricas, se obtienen a partir de estas dos derivadas, aplicando la regla del cociente. Las resumimos continuación, pero para el lector puede ser un excelente ejercicio veri…carlas.

1.) (senx)0= cosx 4.) (secx)0= secxtanx 2.) (cosx)0= senx 5.) (cscx)0= cscxcotx 3.) (tanx)0= sec2_{x 6.) (cotx)}0_{= csc}2_x:

2.4

Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales

De…niciónLa función inversa dey= lnxes la función denotada porextal que ex=y₍₎lny=x:

Por serex _{la función inversa de lnx, tenemos inmediatamente las siguientes propiedades de}

can-celación

elnx=x, (x >0) y ln (ex) =x, para todox:

2.4.1

Propiedades de la Función Exponencial

(a) lim x! 1e x_{= 0: (d)e}x y₌ ex ey: (b) lim x!+1e x_{= +1: (e)} d dx(e x_{) =e}x_: (c)ex+y=exey: (f) d dx(a x_{) =a}x_lna:

Conviene comentar aquí los resultados de (e) y (f) por su importancia práctica. En el caso de (e), si usamos directamente la de…nición de función exponencial, tenemos que

ex=y₍₎x= lny derivando implícitamente esta igualdad, se sigue que

1 = y0 y es decir,

o bien

d dx(e

x_{) =e}x_:

En el caso de (f), basta escribir

ax=elnax =exlna y recurrir a la regla de la cadena para obtener

d dx(a x_{) =} d dx e xlna =exlna d dx(xlna) =exlnalna =axlna:

Para las funciones exponenciales generales, tenemos el siguiente resultado.

Teorema(Derivadas para bases distintas dee)

Seaa₂R+ f1_g y seauuna función derivable de x:Entonces d

dx(a

u_{) =a}u_lnadu

dx:

EjemploHallar la derivada de las siguientes funciones. (a)y=e 2x+x2

(b)y=x2₁₀2x_:

Solución:

(a) Si colocamosu= 2x+x2_{, entonces u}0_{= 2 + 2x, así que}

y0 = (eu)0 =eu u0

=eu _{( 2 + 2x)}

= (2x 2)e 2x+x2

: (b) Usando la regla del producto,

y0 _{= x}2₁₀2x 0

= x2 0 102x+x2 102x 0 = 2x 102x_+x2 ₁₀2x_{ln 10 (2)}

Marco Alfaro C. 36

2.4.2

Leyes de los Logaritmos

Recordemos algunas propiedades básicas de la función logarítmica, que nos serán de gran utilidad muy pronto.

(a) ln (xy) = lnx+ lny: (b)ln x

y = lnx lny: (c)lnx = lnx:

A continuación, el resultado que nos permitirá derivar logaritmos.

Teorema(Derivada de Funciones Logarítmicas) Seauuna función derivable de x:Entonces (a) d dx[lnx] = 1 x: (b) d dx[lnu] = 1 u du dx = u0 u: (c) d dx[lnjuj] = u0 u:

EjemploHallar la derivada de las siguientes funciones.

(a)y= ln ax2_{+bx+c : (b) y= ln}3 _{3 2x}3 _:

Solución:

(a) En la expresión y= ln ax2_{+bx+c , colocamos u=ax}2_{+bx+c, por lo queu}0 _{= 2ax+b,}

por lo tanto, y según el teorema d dx[lnu] = u0 u = 2ax+b ax2_+bx+c:

(b) Recuerde que la notación y= ln3 3 2x3 _{signi…ca y = ln 3 2x}3 3_{;por lo que ahora, si}

ponemosu= 3 2x3_{, debemos derivar por regla de la cadena la expresióny= [ln (u)]}3_{: En este}

caso, usando la regla de derivación de potencias, obtenemos y0 _{= 3 [ln (u)]}2 (lnu)0 = 3 [ln (u)]2 u0 u = 3 [ln (u)]2 6x 2 3 2x3 = 12x 2_{ln 3 2x}3 3 2x3 :

2.5

Derivación Logarítmica

De…nición Se llamaderivada logarítmica de una función y=f(x), a la derivada del logaritmo de dicha función.

Tomar logaritmos naturales previamente, facilita grandemente la derivación de ciertas funciones, como podemos apreciarlo en los siguientes ejemplos.

EjemploCalcular la derivada de las funciones, mediante derivación logarítmica (a)y= (x+ 2) 2 (x+ 1)3(x+ 3)4 (b)y=x p_x : Solución: (a) Sea y= (x+ 2) 2 (x+ 1)3(x+ 3)4

tomando logaritmos naturales a ambos miembros de la ecuación anterior, y usando las reglas básicas de logaritmos que comentamos en (2.2.2), tenemos

lny = ln " (x+ 2)2 (x+ 1)3(x+ 3)4 # = ln (x+ 2)2 ln (x+ 1)3(x+ 3)4 = ln (x+ 2)2 ln (x+ 1)3 ln (x+ 3)4 = 2 ln (x+ 2) 3 ln (x+ 1) 4 ln (x+ 3):

Derivando …nalmente por la regla de derivación del logaritmo la expresión resultante lny= 2 ln (x+ 2) 3 ln (x+ 1) 4 ln (x+ 3); se llega a y0 y = 2 1 x+ 2 3 1 x+ 1 4 1 x+ 3 = 2 x+ 2 3 x+ 1 4 x+ 3:

Resolviendo paray0 la ecuación anterior y sustituyendoy= _(x+1)(x+2)3_(x+3)2 4;se concluye que

y0 = (x+ 2) 2 (x+ 1)3(x+ 3)4 2 x+ 2 3 x+ 1 4 x+ 3 :

(b) En este ejercicio apreciamos aún más el valor de la derivación logarítmica, pues hasta ahora no conocemos ningún otro método por el cual podamos calcular la derivada de la función y =xpx_:

Comenzamos, como antes, tomando logaritmos naturales a ambos miembros de la ecuación lny = lnxpx

Marco Alfaro C. 38

Derivando por derivación implícita, tenemos y0 y = 1 2px lnx+ p x 1 x = lnx 2px+ 1 p x: Resolviendo paray0 _{y sustituyendoy;se llega a}

y0=xpx lnx 2px+

1 p

x :

2.5.1

Unas Sugerencias para Derivación Logarítmica

Como hemos visto en los ejemplos anteriores, para derivar la funcióny=f(u)se puede seguir este procedimiento:

1. Tome logaritmos naturales a ambos miembros de la ecuación.

2. Use las propiedades de logaritmos para eliminar deln [f(u)]todos los productos, cocientes y exponentes como sea posible.

3. Derive implícitamente. 4. Despejary0_:

5. Sustituyay, simpli…car.

2.6

Tasas de Cambio Relacionadas

Dado el intervalo[x1; x2]entonces el cambio enxes4x=x2 x1;el cambio eny es

4y=f(x2) f(x1)

y

razón de cambio instantánea= lim

4x!0

4y

4x= limx2!x1

f(x2) f(x1)

x2 x1

es decir, la derivadaf0_{(a)se puede interpretar como la razón de cambio instantánea dey=f(x)}

con respecto axcuando x=a:En particular, sis=f(t)es la función posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entoncesf0_{(a)es la razón de cambio del desplazamiento}

s con respecto al tiempot; esto es, f0_{(a) es la velocidad de la partícula en el tiempo t =a: La}

rapidez de la partícula es_jf0_(a)j:

Para calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad se trata de obtener una ecuación que relacione las dos cantidades y luego aplicar la regla de la cadena, para diferenciar ambos miembros de la ecuación respecto al tiempo.

Ejemplo En un recipiente, en forma de cono circular recto invertido, con radio de la base de medidaR= 30cm y alturaH= 50cm, se vierte agua a razón de dos litros por minuto.

A _B C D 30 50 h 30 = R 50 = H E r r h

Si ent = 0el recipiente estaba vacío, calcular la velocidad a la que está aumentando el nivel del agua en el recipiente, después de 5 minutos de haber comenzado a llenarse.

Solución: Considere la …gura dada arriba, en la que hemos colocado h=CE, la altura del agua medida en centímetros. En el instantethay un cono de agua dentro del recipiente dado, de altura h=h(t)y radio de la baser=r(t). Entonces el volumenV de este cono es

V =1 3 r

2_h:

Como queremos hallar dh_dt, usamos semejanza de triángulos para establecer una relación entre hy r, de manera que según los datos

30 r =

50 h es decir, r = 3h

5 . Así que el volumen del cono de agua en el recipiente en términos de la única

variablehes entonces V = 1 3 r 2_h=1 3 3h 5 2 h=3 25h 3_:

Derivando esta última ecuación en términos del tiempo obtenemos dV dt = 9 25h 2dh dt: (2.15)

Como se está vertiendo agua en el recipiente a razón de 2 litros por minuto, esto signi…ca que después de transcurridos 5 minutos el recipiente contiene 10 litros, o sea, 10000 cm3 _{de agua. Esto}

signi…ca que V =3 25h 3₌ )h= 3 r 25V 3 es decir, después de 5 minutos

h= 3 r

25 (10000)

3 30cm.

Finalmente, despejando para dh

dt en la ecuación (2.15) y sustituyendo los datos proporcionados en

el problema, se obtiene que

dh dt = 25 9 h2 dV dt 2cm/min.

Marco Alfaro C. 40

2.7

Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

Suponga que la funcióny=f(x)tiene inversa, entonces y=f(x)₍₎x=f 1_{(y):Luego, si}

y=f 1(x)₍₎x=f(y) (2.16)

y derivando (2.16) respecto axse obtiene que 1 = dx dx = df(y) dy dy dx =f 0_(y) dy dx; esto es dy dx = 1 f0_(y): (2.17)

EjemploSi y= sen 1_{x, entonces se tiene que x= seny, y aplicando (2.17) se llega a}

1 = dseny dx = d(seny) dy dy dx = cosy dy dx y por lo tanto dy dx = 1 cosy = 1 p 1 sen2_y = 1 p 1 x2:

Para quex= seny tenga inversa debemos restringir el dominio ay_{2 2}; ₂ por lo queyestá en el primero o cuarto cuadrante, así que esto descarta la posibilidadcosy= p1 sen2_y:

De manera similar, y mediante aplicación de la regla de la cadena, se llega a las siguientes fórmulas generales d dxsen 1_u=p du 1 u2 d dxcsc 1_u= du upu2 ₁ d dxcos 1_{u= p} du 1 u2 d dxsec 1_u= du upu2 ₁ d dxtan 1_u= du 1 +u2 d dxcot 1_u= du 1 +u2: EjemploDerivary= sen 1_(lnx):

Solución: En este casou= lnx;por lo que según nuestra tabla d dxsen 1_{u =p} du 1 u2 = (lnx) 0 p 1 ln2x = 1 x p 1 ln2x = 1 xp1 ln2x:

2.8

Aplicaciones de la Derivada

2.8.1

Valores Máximos y Mínimos

De…nición Una función tiene un máximo absoluto en c si f(c) f(x) para todo x ₂ Df; y

el número f(c) se llama el valor máximo de f. La función f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) f(x) para todo x ₂ Df; y el número f(c) se llama el valor mínimo de f. Los valores

máximos y mínimos def se llaman valores extremos def:

De…nición Una funciónf tiene unmáximo relativo (mínimo relativo) en c si existe un intervalo I tal quec₂Iyf(c) f(x)(f(c) f(x)) para todox₂I:

c _c

Figura 6: Máximo relativo Mínimo relativo y c y c x c x c

Teorema(De los valores extremos). Si f es continua en[a; b], entoncesf toma un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en[a; b].

Teorema(De Fermat). Si f tiene un extremo (máximo o mínimo) relativo en x=c;y sif0_(c)

existe, entoncesf0_{(c) = 0:} c d ( ) 0 '_{c =} f ( ) 0 '_d= f

Figura 7: Extremos relativos

x y

Marco Alfaro C. 42

De…nición Unpunto crítico def es un númeroc₂Df tal quef0(c) = 0o bienf0(c)no existe. Teorema(De Rolle). Sea f una función que satisface:

(a)f es continua en el intervalo cerrado[a; b]: (b)f es diferenciable en el intervalo abierto]a; b[: (c)f(a) =f(b):

Entonces, existe un númeroc₂]a; b[tal quef0_{(c) = 0:}

a b ( )a f( )b f = ( )= 0 ′c f y x c

Figura 8: Teorema de Rolle

TeoremaSeaf una función derivable en el intervalo]a; b[ .

(a) Sif0(x)>0 para todox₂]a; b[, entonces f es creciente en]a; b[. (b) Sif0(x)<0para todox₂]a; b[, entoncesf es decreciente en ]a; b[. (c) Sif0(x) = 0para todox₂]a; b[, entonces f es constante en]a; b[.

Teorema(Criterio de la Primera Derivada)

Seac un punto crítico de una funciónf en]a; b[ que contiene ac:Sif es derivable en]a; b[, excepto quizás enc;entonces:

(a) Sif0 _{cambia de negativa a positiva enc; f(c)es un mínimo relativo def:}

(b) Sif0 cambia de positiva a negativa en c; f(c)es un máximo relativo def: (c) Sif0 no cambia de signo enc; f(c)no es un extremo relativo def:

( ) 0

' _>

x

f f'( )x <0

Figura 9: Máximo local y

x

0 c

Figura 10: No hay extremo y x 0 c ( ) 0 ' _< x f ( ) 0 ' _< x f

Ejemplo: Hallar los intervalos en donde la funciónf(x) =x3 3xes creciente y los intervalos en los que es decreciente.

Solución: Primero note quef0_{(x) = 3x}2 _{3 = 3 (x+ 1) (x 1):Entonces, construimos la siguiente}

tabla de signos paraf0_{(x) :}

1 + x 1 − x

( )

( )

de donde se sigue, de acuerdo al criterio de la primera derivada, que f es estrictamente creciente en los intervalos]₁; 1] y [1;+₁[, mientras quef es decreciente en el intervalo[ 1;1]:

TeoremaSeaf una función cuya segunda derivada existe en un intervalo]a; b[. (a) Sif00_{(x)>0para todox2]a; b[;la grá…ca def es cóncava hacia arriba.}

(b) Sif00_{(x)<0 para todox2]a; b[;la grá…ca def es cóncava hacia abajo.}

( ) 0 '' _< c f Figura 11: Concavidad y x 0 c ( ) 0 '' _> d f d

Marco Alfaro C. 44

De…niciónSea f una función cuya grá…ca tiene recta tangente en(c; f(c)):Se dice que el punto(c; f(c))es unpunto de in‡exión si la concavidad def cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto.

Teorema(Criterio de la Segunda Derivada)

Seaf una función tal quef0(c) = 0y tal quef00 existe en un intervalo abierto que contiene ac: (a) Sif00_{(c)>0, entoncesf(c)es un mínimo relativo.}

(b) Sif00_{(c)<0, entoncesf(c)es un máximo relativo.}

(c) Sif00_{(c) = 0, entonces el criterio no decide.}

Ejemplo Si consideramos nuevamente la función f(x) = x3 3x, encontramos que los puntos críticos son

f0(x) = 3x2 3 = 3 (x+ 1) (x 1) = 0, x= 1; 1 con

f00(x) = 6x, f00(1) = 6>0; f00( 1) = 6<0

así que en x = 1 hay un mínimo local con f(1) = 2 y en x = 1 hay un máximo local con f( 1) = 2:

De…nición Si

lim

x! 1[f(x) (mx+b)] = 0

entonces la rectay =mx+b se llama unaasíntota oblicua def(x)(Ver …gura 10): En este caso, mybpueden hallarse según las fórmulas

m= lim

x! 1

f(x)

x y b= limx! 1[f(x) mx]: (2.18)

Figura 12: Asíntota Oblicua

y x 0 ( )x g y= b mx y= + ( )x f y= b

EjemploDeterminar las asíntotas oblicuas, si existen, de la funciónf(x) = x

3_+x2_{+ 2}

x2 :

Solución: Primero que nada, observe que si se simpli…ca la expresión dada mediante división, obtenemos

f(x) = x+ 1 + 2 x2:

Además, cuandox_{! 1}el término 2

x2 !0. Es decir, este término es “despreciable”para valores

grandes, positivos y negativos dex;por lo que podemos concluir que para valores grandes dex;la funciónf es “asintóticamente equivalente ” a la recta y= x+ 1;lo cual se denota

f(x) 1 x:

Este resultado es general, una función racional, con numerador y denominador sin factores comunes, tiene una asíntota oblicua igual al cociente del numerador y denomidador, si el grado del numerador excede exactamente en una unidad al grado del denominador.

Si se utilizan directamente las fórmulas (2.18), se tiene

m = lim x! 1 f(x) x = lim x! 1 x3_+x2_{+ 2} x3 = lim x! 1 1 + 1 x+ 2 x3 = 1: Por su parte, b = lim x! 1[f(x) mx] = lim x! 1 x3_+x2_{+ 2} x2 +x = lim x! 1 x3_+x2_{+ 2 +x}3 x2 = lim x! 1 x2_{+ 2} x2 = lim x! 1 1 + 2 x2 = 1:

Marco Alfaro C. 46

2.9

Recomendaciones para el Trazo de Grá…cas

Para trazar la grá…ca dey=f(x) : 1. Determine el dominio def:

2. Determine las intersecciones con los ejes.

3. Haga un análisis de la primera derivada (Creciente, decreciente, extremos relativos e imágenes de estos puntos).

4. Haga un análisis de la segunda derivada (Concavidad, puntos de in‡exión e imágenes de estos puntos ).

5. Calcule las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). 6. Haga el cuadro de variación (resumen) def:

7. Trace la grá…ca def:

Nota Recuerde que para hallar: (a) Asíntotas Oblicuas

Si f(x) = p(x)

q(x);con grado(p) =grado(q) + 1;la asíntota oblicua consiste en el cociente de esta división de polinomios. Sif tiene otra expresión, la asíntota oblicua es y=mx+b;dondem y b se calculan según (2.18).

(b) Asíntotas Verticales Sif(x) =p(x)

q(x); p(x)yq(x)sin factores comunes, yq(a) = 0;se analizax!lima f(x)yxlim!a+f(x):

(c) Asíntotas Horizontales Se analiza si lim

2.10

Ejercicios

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones, aplicando la de…nición.

(a)f(x) =p3_{x (c)f(x) =x}2_+x

(b)f(x) = 3

1 2x (d)f(x) =

2 3x+ 1 2. Se de…nen laderivada izquierda y laderivada derecha def en x0=a por

f0 _{(a) = lim} x!a f(x) f(a) x a f+0 (a) = limx!a+ f(x) f(a) x a

si estos límites existen. Entoncesf0_{(a)existe si y solo si estas derivadas laterales existen y}

son iguales. Calculef0 _(0)yf0

+(0)para la función f(x) = 8 < : x2+ 2x+ 5; six <0 x3+ 2x2+ 2x+ 5; six 0: Concluya que f es derivable enx= 0:

3. Veri…que que la funciónf de…nida por

f(x) = 8 < : 2x2; six 0 3x; six >0: no es derivable enx= 0:Haga una interpretación grá…ca.

4. Veri…que que la funciónf no es derivable en el puntox0 indicado:Haga una interpretación

grá…ca. (a) f(x) =_j3x 1_j;enx0=1₃: (b) f(x) = x2 _{1 ;enx} 0= 1: 5. Calcule lim x!1 x1000 ₁

x 1 :(Sugerencia: Use la de…nición de derivada en un punto) 6. Calcule la derivada de las siguientes funciones, no simpli…que.

(a)f(x) = 2x3 x2+ 3x (e)f(x) = x2 x x2+ 1 x2+x+ 1 (b)f(x) = x3 3x 2x2+ 3x+ 5 (f)f(x) =x+px+p3_x (c)f(x) =x 3_{+ 3x}2_{+ 2} x2 ₁ (g)f(x) = 1 x+ 1 p_x+ _p31 x (d)f(x) = x 2 _{x 3} x2_{+ 1} x 2_{+x+ 1 (h)f(x) =} x+ 1 x+ 2 (2x 5)

Marco Alfaro C. 48

7. Veri…que que la recta y= xes tangente a la curvay=x3 6x2+ 8x;calcule el punto de tangencia P:

8. Encuentre las constantesa; byctales que las curvasf(x) =x2_{+ax+b y g(x) =cx x}2

sean tangentes entre sí en el punto P(1;0):

9. Determinar el punto de la parábola y =x2 7x+ 3 por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta cuya ecuación es5x+y 3 = 0:Interprete este resultado grá…camente. 10. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grá…ca def(x) = 4x x2_{que pasan}

por el puntoP(2;5):Interprete este resultado grá…camente. 11. Calcule la derivada de las siguientes funciones, no simpli…que.

(a)f(x) = 4x2_{+ 5} 3 _{(j)f(x) = sen}2_{x+ cos}2_{x+ 4}

(b)f(x) =1 8 3 q (1 +x3₎8 1 5 3 q (1 +x3₎5 _{(k)f(x) = (senx+ cosx)}2 (c)f(x) = 2x+ 3 x2_{+ 1} 3 (l)f(x) = x+xsenx 1 + 2 tan2_x 2 (d)f(x) = 1 + 1 x 2 2 + 1 x3 4 3 + 1 x5 3 (m)f(x) =x2_ex2_+3x+2 (e)f(x) = s 4 (x2_{+x+ 4)}2 (n)f(x) = e3x_{+ 5e}2x e6x (f)f(x) = x 3_{+ 1} 3 (x2 ₁₎+x p 2x2_{+ 3 (ñ)f(x) =} 3 x_{+ 2}x ex (g)f(x) = x a2p_a2_+x2 (o)f(x) = ln [ln (lnx)] + ln 2 (lnx) (h)f(x) = 4xp2xp3 3x (p)f(x) =h1 + (1 + lnx)2i 3 (i)f(x) = 3 + cosx 1 + senx (q)f(x) = lnx 1 + ln 2_x 2 _{2 + ln}3_x 3

12. Trace la grá…ca de una funciónf que satisfaga las siguientes condiciones: (a) f es continua en] ₁; 5[;] 5; 2[;] 2;3[y en]3;+₁[: (b) f0_{( 3) =f}0_{(0) = 0 y f}0_{(6)no existe.} (c) lim x! 1f(x) = +1 yx!lim+1f(x) = 0: (d) lim x! 5 f(x) = 2 yx!lim5+f(x) = 1: (e) lim x!3 f(x) = 1 yxlim!3+f(x) = 1: (f) lim x! 2f(x) = 1 yf( 2) = 1:

13. Veri…que que la curvay= 6x3+ 5x 3no tiene recta tangente horizontal. 14. Dada la funciónf de…nida por

f(x) = 8 < : x2 _{16; six <4} 8x 32; six 4 (a) Determine sif es continua enx= 4:

(b) Determine sif es derivable enx= 4: 15. Sea f(x) = 8 < : x2_{; si x 2} ax+b; six >2: Encuentre los valores de ayb para quef sea derivable en todoR:

16. Calcule la ecuación de la tangente a la circunferenciax2+y2= 25en el punto P(3;4): 17. Hallar los dos puntos donde la curva x2_+xy+y2_{= 7 interseca al ejexy veri…que que las}

tangentes a la curva en esos puntos son paralelas.

18. Determine la ecuación de la recta normal a la curva de…nida por la ecuaciónx5_+y5 _{2xy= 0;}

en el punto P(1;1):

19. Determine las coordenadas de los puntos en los que el grá…co cuya ecuación es x2+y2 4x+ 2y+ 4 = 0tiene rectas tangentes verticales.

20. Dada la ecuación implícitax3_+y3_{= 6xy:}

(a) Determiney0_:

(b) Calcule la ecuación de la recta tangente en el puntoP(3;3):

(c) ¿En cuáles puntos de la curva la recta tangente es horizontal o vertical?

21. Veri…que que cada curva de la familia de hipérbolasxy=c; c₆= 0, es ortogonal a cada curva de la familia de hipérbolas x2 _y2 _{= k; k 6= 0: Se dice que estas familias de curvas son}

trayectorias ortogonales entre sí.

22. Veri…que que la tangente a la elipse x_a22 + y2 b2 = 1en el puntoP(x0; y0)es x0x a2 + y0y b2 = 1:

23. Determine los puntos en los que la grá…ca de la ecuación4x2_+y2 _{8x+ 4y+ 4 = 0tiene}

(a) rectas tangentes horizontales. (b) rectas tangentes verticales.

24. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva cuya ecuación esx2 _xy+y2_{= 7;donde}

la pendiente de la recta tangente es igual a 4 5:

25. Determine la ecuación de la recta normal a la curva de…nida por la ecuación x2+ 2xy2+ 3y4= 6;en el punto P(1; 1):

Marco Alfaro C. 50

26. Calcule la ecuación de la recta normal a la grá…ca de la curvay4+ 3y 4x3= 5x+ 1;en el puntoP(1; 2):

27. La curva de ecuacióny2_=x3_{+ 3x}2_{se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre la ecuación}

de la recta tangente a esa curva en el puntoP(1; 2):

28. Se tiene inicialmente un depósito cónico de altura 15 m y radio de la base 5 m, el cual está lleno de agua. En t = 0 comienza a bombearse el agua hacia afuera del depósito a una razón de 8 m3_{/h. Determine la razón a la que está disminuyendo el nivel del líquido en el depósito}

después de 10 horas de haber comenzado a vaciarse.

29. El radio de la base de un cilindro circular recto de altura h = 10 cm está aumentanto a razón de 3 cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el volumen del cilindro cuando el radio de su base sea r = 5 cm.

30. Un canal de agua tiene 10 m de longitud y su sección transversal tiene la forma de un trapecio isósceles de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canal se llena con 0.2 m3= min. de agua, ¿con qué velocidad sube el nivel de agua cuando la profundidad de ésta es de 30 cm?

31. Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de triángulos isósceles de 3 pies en la parte superior y una altura de 1 pie. Si el canal se llena con agua a un ritmo de 12 pies3_{=min., ¿con qué velocidad cambia el nivel del agua cuando hay seis pulgadas de}

profundidad?

32. La arena que empieza a vaciarse de una tolva a razón de 10 m3_{/s forma una pila cónica cuya}

altura es el doble de su radio. ¿A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura es de 5 m?

33. Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9 m y radio de la base 2 m. En t = 0 comienza a llenarse el depósito con agua a razón de 10 m3/h. Determine la velocidad a la que está subiendo el nivel del líquido en el depósito.

34. De un tanque en forma de cono invertido se deja salir agua a razón de 10.000 cm3=min, al mismo tiempo que se bombea agua al interior del tanque a una velocidad constante. El tanque tiene 6 m de altura y el diámetro de la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua está aumentando a razón de 20 cm/min cuando la altura es de 2 m, encuentre la velocidad a la que se bombea el agua al interior del tanque.

35. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos def(x) =x23 en el intervalo [ 1;1]:

36. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de f(x) = 1₂x2 _x2 _{2 en el intervalo}

[ 2;3]:

37. Considere la funcióng(x) = x

x2_{+ 2x+ 2}:Calcule el máximo y el mínimo en[ 3;0].

38. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de f(x) = x

2_{+ 3x+ 2}

x2_{+ 2x+ 2} en el intervalo

39. Dada la función f(x) =x3 6x2+ 9x+ 1:

(a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento def(x):

(b) Calcule los puntos máximos y mínimos relativos de la función, utilizando el criterio de la primera derivada. 40. Dada la función f(x) = 8 < : x2 _{4; six <3} 8 x; si 3

(a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento def(x):

(b) Calcule los puntos máximos y mínimos relativos de la función, utilizando el criterio de la primera derivada.

41. Considere la funciónf de…nida porf(x) = x

3 x2 ₁;con f0(x) = x 4 _3x2 (x2 ₁₎2; f 00_{(x) =} 2x3+ 6x (x2 ₁₎3

(a) Determine el dominio y las intersecciones con los ejes.

(b) Determine los intervalos de monotonía y extremos relativos de la función.

(c) Determine los intervalos en los que la grá…ca es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba, y los puntos de in‡exión.

(d) Calcule las asíntotas y trace la grá…ca def:

42. Determine a y b tales que la función de…nida por f(x) = x3_+ax2_{+b tenga un extremo}

relativo enP(2;3):

43. Determine las asíntotas horizontales de la grá…ca de

f(x) = 8 > > < > > : x2_{+x 1} 3x2 ₁ ; six 0 p x2_{+x+ 1 +x; six <0}

44. Trace la grá…ca de una funciónf que satisfaga, simultáneamente, todas las siguientes con-diciones:

(a) f0_{(x)>0en los intervalos] 1; 3[y ]0;+1[:}

(b) f0(x)<0en los intervalos ] 3; 2[ y ] 2;0[: (c) f0_{(0) = 0 y f}0_{( 3) = 0:}

(d) f00_{(x)>0 en] 2;2[:}

(e) f00(x)<0 en los intervalos] ₁; 2[ y ]2;+₁[: (f) lim x! 2 f(x) = 1 yx!lim2+f(x) = +1: (g) lim x!2 f(x) = 3 yxlim!2+f(x) = 1: (h) lim x! 1f(x) = 1 y x!lim+1f(x) = 0: (i) lim x! 1[f(x) x] = 0. (j) f(0) = 0 y f( 3) = 4:

Marco Alfaro C. 52

45. Seaf de…nida porf(x) = x

3_+x2_{+ 4}

x2 ;de la que se conoce la siguiente información:

f(x) f0_{(x) f}00_(x)

1< x < 2 +

x= 2 4 0 +

2< x <0 + +

x= 0 inde…nida inde…nida inde…nida

0< x <+₁ +

(a) Determine el dominio máximo y las intersecciones con los ejes.

(b) Indique los intervalos de monotonía y extremos relativos de la función, si existen. (c) Indique los intervalos en los que la grá…ca es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba,

y los puntos de in‡exión, si existen. (d) Calcule las asíntotas def;si existen.

(e) Trace la grá…ca def:

46. Considere la funciónf de…nida porf(x) =x

2_{+x+ 1} x ;con f0(x) = x 2 ₁ x2 ; f00(x) = 2 x3

(a) Determine el dominio y las intersecciones con los ejes.

(b) Determine los intervalos de monotonía y extremos relativos de la función.

(c) Determine los intervalos en los que la grá…ca es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba, y los puntos de in‡exión.

(d) Calcule las asíntotas y trace la grá…ca def:

47. Un recipiente rectangular, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3_.

El largo de la base es el doble del ancho. El material de la base cuesta 5000 colones el metro cuadrado. El material de los costados 3000 colones el metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales para tener el recipiente más barato con estas condiciones.

48. En la parábolay=x2_{encuentre el punto más cercano al punto P(5; 1):}

49. Encuentre el punto sobre la parábolay2_{= 2xmás cercano al puntoP(1;4):}

50. Determine el puntoQ(x; y)de la recta2x+y= 3más cercano al puntoP(3;2):

51. Se va a hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material, de12cm de lado, cortando esquinas iguales y doblándolas. Hallar el máximo volumen posible de la caja.

52. Un triángulo rectángulo está formado por los semiejes positivos y una recta que pasa por el puntoP(2;3):Hallar los vértices de modo que su área sea mínima.

53. Un rectángulo está limitado por el ejexy por el semicírculoy=p25 x2 _{¿Qué longitud y}