Solución. - Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k. 3( ) = Asíntota vertical. = + x 2.

(1)

Estudiar sus asíntotas y ramas infinitas valorando la posición de la función respecto de ellas. 1.

( )

2 x x 2 x 3 x f 2 − + = Solución.

- Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k₀.

( )

[ ]

f x R

{ }

2 D = − x = 2: 0 16 2 2 2 2 2 3 2 x x 2 x 3 Lím 2 2 2 x − = ⋅ + ⋅ = − + → Asíntota vertical.

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. −∞ = = − ⋅ + ⋅ = − + − − → − 0 16 2 2 2 2 2 3 2 x x 2 x 3 Lím 2 2 2 x +∞ = = − ⋅ + ⋅ = − + + + → + 0 16 2 2 2 2 2 3 2 x x 2 x 3 Lím 2 2 2 x - Horizontales: y = L:

( )

        +∞ = ∞ + = ∞ + − + ∞ + = +∞ → −∞ = ∞ − = ∞ − − + ∞ − = −∞ → = − + = − + = ±∞ → ∞ ∞ ÷ ±∞ → 1 2 1 2 3 : x 1 2 1 2 3 : x x 2 1 2 x 3 Lím 2 x x 2 x 3 Lím L x x 2 x

No tiene asíntotas horizontales. - Oblicuas: y = mx + n

( )

₃ 0 1 0 3 2 1 2 3 x 2 1 x 2 3 Lím x 2 x x 2 x 3 Lím x 2 x x 2 x 3 Lím x x f Lím m x x 2 2 x 2 x x 2 − = + = ∞ ± − ∞ ± + = − + = − + = − + = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± →

( )

(

)

(

)

∞∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → − = − = − ⋅ − + =         − − + = − = 2 x x 2 x 2 x x x 2 x 8 Lím 2 x 2 x x 3 x 2 x 3 Lím x 3 2 x x 2 x 3 Lím mx x f Lím n 8 0 1 8 2 1 8 x 2 1 8 Lím x = − = ∞ ± − = − = ±∞ → Asíntota oblicua: y = 3x + 8 Posición relativa.

( ) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 x 16 Lím 2 x 2 x 8 x 3 x 2 x 3 Lím 8 x 3 2 x x 2 x 3 Lím n mx x f Lím x 2 x 2 x x − = − − ⋅ + − + =         + − − + = + − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → • − −∞ → − = −∞=0 16 2 x 16 Lím x La función se aproxima a la asíntota por debajo.

• + +∞ → − = +∞=0 16 2 x 16 Lím x La función se aproxima a la asíntota por encima.

(2)

2. ( )

x 2 x 2 x 4 x f ₂ − − = Solución.

- Verticales:_{En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma 0}k .

( )

[ ]

f x R

{ }

0 ,2 D = − x = 0: 0 2 0 2 0 2 0 4 x 2 x 2 x 4 Lím ₂ ₂ 0 x − = ⋅ − − ⋅ = − − → Asíntota vertical.

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0.

(

)

₍

₎

⋅

_{( )}

− = − =−∞ − = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − + − − → − 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 4 2 x x 2 x 4 Lím 0 x

(

)

₍

₎

⋅

_{( )}

− = − =+∞ − = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − + + → + 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 4 2 x x 2 x 4 Lím 0 x x = 2: 0 6 2 2 2 2 2 4 x 2 x 2 x 4 Lím ₂ ₂ 2 x ₋ _⋅ = − ⋅ = − − → Asíntota vertical.

(

)

⋅

(

−

)

= ⋅ = =−∞ − ⋅ = − ⋅ − − − − → − 0 6 0 2 6 2 2 2 2 2 4 2 x x 2 x 4 Lím 2 x

(

)

⋅

(

−

)

= ⋅ = =+∞ − ⋅ = − ⋅ − + + + → + 0 6 0 2 6 2 2 2 2 2 4 2 x x 2 x 4 Lím 2 x - Horizontales: y = L:

( )

0 1 0 0 1 0 0 2 1 2 4 x 2 1 x 2 x 4 Lím x 2 x 2 x 4 Lím x f Lím L 2 2 x x 2 x x 2 − = = − = ∞ ± − ∞ ± − ∞ ± = − − = − − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa:

( )

(

)

x 4 Lím x x 4 Lím x 2 x 2 x 4 Lím 0 x 2 x 2 x 4 Lím L x f Lím x 2 x 2 x 2 x x→±∞ →±∞ →±∞ ₋ ≈ →±∞ = →±∞ − =       − − − = − • − ∞ − → =−∞=0 4 x 4 Lím

x : La función se aproxima a la asíntota por debajo. • + ∞ + → =+∞=0 4 x 4 Lím

x : La función se aproxima a la asíntota por encima.

- Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±∞, no tiene oblicua. 3.

( )

1 x x x f 3 − = Solución.

( )

[ ]

f x R

{}

1

D = −

(3)

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1. −∞ = = − = − − − →− 0 1 1 1 1 1 x x Lím 3 3 1 x +∞ = = − = − + + →+ 0 1 1 1 1 1 x x Lím 3 3 1 x - Horizontales: y = L:

( )

=+∞ − ∞ + = ∞ ± − ∞ ± = − = − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → 1 1 0 1 x 1 1 x Lím 1 x x Lím x f Lím L 2 2 x x 3 x x

La función no tiene asíntotas horizontales - Oblicuas: y = mx + n

( )

₌_±_∞ − ∞ ± = ∞ ± − ∞ ± = − = − = − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → 1 1 0 1 x 1 1 x Lím x x x Lím x 1 x x Lím x x f Lím m x x 2 3 x 3 x x 2

La función no tiene asíntota oblicua

4.

( )

x 1 x x f = 2− Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

0 D = − x = 0: 0 1 0 1 0 x 1 x Lím 2 2 0 x = − = − → Asíntota vertical.

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. +∞ = − = − = − − − → − 0 1 0 1 0 x 1 x Lím 2 2 0 x −∞ = − = − = − + + → + 0 1 0 1 0 x 1 x Lím 2 2 0 x - Horizontales: y = L: ±∞ = − ∞ ± = ∞ ± − ∞ ± = − = − = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → 1 0 1 1 1 x 1 x Lím x 1 x Lím L x x 2 x

( )

₁ 1 0 1 1 1 1 1 x 1 1 Lím x 1 x Lím x x 1 x Lím x x f Lím m 2 2 x x 2 2 x 2 x x 2 = + = ∞ ± − = − = − = − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± →

( )

(

)

1 0 x 1 Lím x x x 1 x Lím x 1 x 1 x Lím mx x f Lím n x 2 x 2 x x ±∞= − = − = ⋅ − − =         ⋅ − − = − = ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± →

(4)

Asíntota oblicua: y = x Posición relativa.

( ) (

)

(

)

x 1 Lím x x x 1 x Lím x x 1 x Lím n mx x f Lím x 2 x 2 x x − = ⋅ − − =         − − = + − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → • + −∞ → −∞= − = − 0 1 x 1 Lím

x La función se aproxima a la asíntota por encima. • − +∞ → +∞= − = − 0 1 x 1 Lím

x La función se aproxima a la asíntota por debajo. Otra forma: 5.

( )

3 x 1 x x f 2 − + = Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

3 D = − x = 3: 0 10 0 1 3 3 x 1 x Lím 2 2 3 x = + = − + → Asíntota vertical.

−∞ = = − + = − + − − → − 0 10 3 3 1 3 3 x 1 x Lím 2 2 3 x +∞ = = − + = − + + + → + 0 10 3 3 1 3 3 x 1 x Lím 2 2 3 x - Horizontales: y = L:

( )

=±∞ − + ∞ ± = ∞ ± − ∞ ± + ∞ ± = − + = − + = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → 1 0 0 3 1 1 x 3 1 x 1 x Lím 3 x 1 x Lím x f Lím L x x 2 x x

( )

₁ 0 1 0 1 3 1 1 1 x 3 1 x 1 1 Lím x 3 x 1 x Lím x 3 x 1 x Lím x x f Lím m 2 2 x x 2 2 x 2 x x 2 − = + = ∞ ± − ∞ ± + = − + = − + = − + = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± →

( )

(

)

(

)

∞∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → − = + = − − ⋅ − + =         ⋅ − − + = − = x x 2 x 2 x x x 3 1 x 3 Lím 3 x 3 x x 1 x Lím x 1 3 x 1 x Lím mx x f Lím n 3 0 1 0 3 3 1 1 3 x 3 1 x 1 3 Lím x − = + = ∞ ± − ∞ ± + = − + = ∞ ± → Asíntota oblicua: y = x + 3

(5)

Posición relativa.

( ) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

3 x 8 Lím 3 x 3 x 3 x 1 x Lím 3 x 3 x 1 x Lím n mx x f Lím x 2 x 2 x x − = − + ⋅ − − − =         + − − + = + − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → • − −∞ → − = −∞−3=0 8 3 x 8 Lím x La función se aproxima a la asíntota por debajo.

• + +∞ → − = +∞−3=0 8 3 x 8 Lím x La función se aproxima a la asíntota por encima.

Otra forma:

6. ( )

1 x 3 x 2 x f ₂2 + + = Solución.

( )

[ ]

f x R

D =

La función no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y = L:

( )

2 0 1 0 2 2 1 3 2 x 2 1 x 3 2 Lím 1 x 3 x 2 Lím x f Lím L 2 2 2 2 x x 2 2 x x 2 + = + = ∞ ± + ∞ ± + = + + = + + = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 2. Posición relativa.

( )

(

)

( )

1 x 1 Lím 1 x 1 x 2 3 x 2 Lím 2 1 x 3 x 2 Lím L x f Lím ₂ x 2 2 2 x 2 2 x x ₊ ≈ ₊ + ⋅ − + =         − + + = − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → •

( )

+ ∞ − → ₊ = ₋_∞ ₊ = +∞=0 1 1 1 1 x 1 Lím ₂ ₂

x : La función se aproxima a la asíntota por encima. •

( )

+ ∞ + → ₊ = ₊_∞ ₊ =+∞=0 1 1 1 1 x 1 Lím ₂ ₂

x : La función se aproxima a la asíntota por encima. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±∞, no tiene oblicua.

(6)

7.

( )

4 x x 4 x f ₂ − = Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

2 D = − ± x = −2:

( )

0 8 4 2 2 4 4 x x 4 Lím ₂ ₂ 2 x − = − − − ⋅ = − − → Asíntota vertical.

(

) (

)

(

( )

)

₍

₎

⋅

_{( )}

− =− =−∞ − = − − ⋅ + − − ⋅ = − ⋅ + − − + − → − 0 8 4 0 8 2 2 2 2 2 4 2 x 2 x x 4 Lím 2 x

(

) (

)

(

( )

)

₍

₎

⋅

_{( )}

− = − =+∞ − = − − ⋅ + − − ⋅ = − ⋅ + + + − − → + 0 8 4 0 8 2 2 2 2 2 4 2 x 2 x x 4 Lím 2 x x = 2: 0 8 4 2 2 4 4 x x 4 Lím ₂ ₂ 2 x ₋ = ⋅ = − → Asíntota vertical.

(

) (

_{) (}

+

₎

⋅

(

−

)

= ⋅ = =−∞ ⋅ = − ⋅ + − − − → − 0 8 0 4 8 2 2 2 2 2 4 2 x 2 x x 4 Lím 2 x

(

) (

_{) (}

+

₎

⋅

(

−

)

= ⋅ = =+∞ ⋅ = − ⋅ + + + + → + 0 8 0 4 8 2 2 2 2 2 4 2 x 2 x x 4 Lím 2 x - Horizontales: y = L:

( )

0 1 0 0 1 0 4 1 4 x 4 1 x 4 Lím 4 x x 4 Lím x f Lím L 2 2 x x 2 x x 2 = − = = ∞ ± − ∞ ± = − = − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa.

( )

(

)

x 4 Lím x x 4 Lím 4 x x 4 Lím 0 4 x x 4 Lím L x f Lím x 2 x 2 x 2 x x→±∞ →±∞ _= →±∞ ₋ ≈ →±∞ = →±∞     − − = − • − ∞ − → =−∞=0 4 x 4 Lím

x : La función se aproxima a la asíntota por debajo.

• + ∞ + → =+∞=0 4 x 4 Lím

(7)

8.

( )

4 x 2 5 x x f 2 − − = Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

2 D = − x = 2: 0 1 4 2 2 5 2 4 x 2 5 x Lím 2 2 3 x − = − ⋅ − = − − → Asíntota vertical.

(

)

(

)

⋅ = − =+∞ − = − ⋅ − = − ⋅ − − − − → − 0 1 0 2 1 2 2 2 5 2 2 x 2 5 x Lím 2 2 2 x

(

)

(

)

⋅ = − =−∞ − = − ⋅ − = − ⋅ − + + + → + 0 1 0 2 1 2 2 2 5 2 2 x 2 5 x Lím 2 2 2 x - Horizontales: y = L:

( )

=±∞ − − ∞ ± = ∞ ± − ∞ ± − ∞ ± = − − = − − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → 2 0 0 4 2 5 x 4 2 x 5 x Lím 4 x 2 5 x Lím x f Lím L x x 2 x x

( )

2 1 0 2 0 1 4 3 5 1 x 4 2 x 5 1 Lím x 4 x 2 5 x Lím x 4 x 2 5 x Lím x x f Lím m 2 2 x x 2 2 x 2 x x 2 − = + = ∞ ± − ∞ ± − = − − = − − = − − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± →

( )

(

)

₍

(

₎

)

₍

₎

∞∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ⋅ − = + = − ⋅ − ⋅ − + =         ⋅ − − − = − = x x 2 x 2 x x 2 x 2 5 x 2 Lím 2 x 2 2 x x 5 x Lím x 2 1 4 x 2 5 x Lím mx x f Lím n

(

)

2 1 2 0 1 2 0 2 2 1 2 5 2 x 2 1 2 x 5 2 Lím x ⋅ − = = + =       ∞ ± − ⋅ ∞ ± + =       − ⋅ + = ∞ ± → Asíntota oblicua: x 1 2 1 y= + Posición relativa.

( ) (

)

(

)

₍

₎

_=       ₊ − − ⋅ − =               ₊ − − − = + − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → 2 2 x 2 x 2 5 x Lím 1 x 2 1 4 x 2 5 x Lím n mx x f Lím 2 x 2 x x

(

) (

)

(

)

2

(

x 2

)

1 Lím 2 x 2 2 x 2 x 5 x Lím x 2 x ⋅ − − = − ⋅ − ⋅ + − − = ∞ ± → ∞ ± → •

(

)

(

)

+ −∞ → −∞= − = − ∞ − ⋅ − = − ⋅ − 0 1 2 2 1 2 x 2 1 Lím x La función se aproxima

a la asíntota por encima.

•

₍

₎

₍

₎

− +∞ → ∞ = − = − ∞ ⋅ − = − ⋅ − 0 1 2 2 1 2 x 2 1 Lím x La función se aproxima a la

(8)

9. ( )

x x x x f ₂ 2 + = Solución.

( )

[ ]

f x R

{

0 , 1

}

D = − − x = −1:

( )

( ) ( )

0 1 1 1 1 x x x Lím ₂ 2 2 2 1 x ₋ ₊ ₋ = − = + − → Asíntota vertical.

(

)

− ⋅

( )

(

− +

)

= − ⋅ = =+∞ − = + ⋅ − − + − → − 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 x x x Lím 2 2 1 x

(

)

− ⋅

( )

(

− +

)

= − ⋅ = =−∞ − = + ⋅ + + − − → + 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 x x x Lím 2 2 1 x x = 0:

₍

₎

0 1 0 0 1 x x Lím 1 x x x Lím x x x Lím 0 x 2 0 x 0 0 Factorizar 2 2 0 x→ ₊ = → ⋅ + = → + = + =

En x = 0, la función presenta una discontinuidad evitable. No hay asíntota vertical. - Horizontales: y = L:

( )

1 0 1 1 1 1 1 x 1 1 1 Lím x x x Lím x f Lím L x x 2 2 x x 2 = ± = ∞ ± + = + = + = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 1. Posición relativa.

( )

(

)

x 1 Lím x x Lím x x x Lím 1 x x x Lím L x f Lím x 2 x 2 x 2 2 x x − = − ≈ + − =         − + = − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → • + ∞ − → −∞= − = − 0 1 x 1 Lím

• − ∞ + → +∞= − = − 0 1 x 1 Lím

x : La función se aproxima a la asíntota por debajo. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±∞, no tiene oblicua.

(9)

10. ( ) (

)

1 x 1 x x f ₂ 2 + + = Solución.

( )

[ ]

f x R

D =

(

)

( )

1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 x 1 1 x 1 x 2 1 Lím 1 x 1 x 2 x Lím 1 x 1 x Lím L 2 2 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 + = + + = ∞ ± + ∞ ± + ∞ ± + = + + + = + + + = + + = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 2. Posición relativa.

( )

(

)

( )

1 x 1 Lím 1 x 1 x 2 1 x 2 Lím 2 1 x 1 x 2 Lím L x f Lím ₂ x 2 2 2 x 2 2 x x ₊ − ≈ + + ⋅ − + =         − + + = − ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → ∞ ± → •

( )

− ∞ − → +∞= − = + ∞ − − = + − 0 1 1 1 1 x 1 Lím ₂ ₂

x : La función se aproxima a la asíntota por debajo. •

( )

− ∞ + → +∞= − = + ∞ + − = + − 0 1 1 1 1 x 1 Lím ₂ ₂ x : La función se

aproxima a la asíntota por debajo.

- Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±∞, no tiene oblicua. 11.

( )

(

_x ₂

)

2 1 3x x f − − = Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

2 D = − x = 2:

(

)

(

)

0 5 2 2 1 2 3 2 x 1 x 3 Lím ₂ ₂ 2 x ₋ = − ⋅ = − − → Asíntota vertical.

(

)

(

₋

) ( )

= = =+∞ − ⋅ = − − + − − → − 0 5 0 5 2 2 1 2 3 2 x 1 x 3 Lím ₂ ₂ ₂ 2 x

(

)

(

₋

) ( )

= = =+∞ − ⋅ = − − + + + → + 0 5 0 5 2 2 1 2 3 2 x 1 x 3 Lím ₂ ₂ ₂ 2 x - Horizontales: y = L:

(

)

( )

0 0 0 1 0 0 4 4 1 1 3 x 4 x 4 1 x 1 x 3 Lím 4 x 4 x 1 x 3 Lím 2 x 1 x 3 Lím L 2 2 2 2 x x 2 x 2 x 2 − + = − = ∞ ± + ∞ ± − ∞ ± − ∞ ± = + − − = + − − = − − = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → Asíntota horizontal y = 0.

(10)

Posición relativa.

( )

(

)

(

)

x 3 Lím x x 3 Lím 4 x 4 x 1 x 3 Lím 0 2 x 1 x 3 Lím L x f Lím x 2 x 2 x 2 x x→±∞ →±∞ →±∞ ₋ ₊ ≈ →±∞ = →±∞ − =         − − − = − • − ∞ − → =−∞=0 3 x 3 Lím

• + ∞ + → =+∞=0 3 x 3 Lím

12. f

( )

x = x2+1−x

Solución.

( )

[ ]

f x R

D =

( )

−∞ + −

( )

−∞ =∞+∞=∞ =       ₊ ₋ = ∞ − → x 1 x 1 Lím L 2 2 x

Hacia −∞ la función no tiene asíntota horizontal.

= + + −       ₊ = + +       ₊ ₊ ⋅       ₊ ₋ =       ₊ ₋ = +∞ → +∞ → ∞ − ∞ +∞ → _x ₁ _x x 1 x Lím x 1 x x 1 x x 1 x Lím x 1 x Lím L 2 2 2 2 x 2 2 2 x Conjugado 2 x 0 1 1 1 x 1 x 1 Lím x 1 x x 1 x Lím 2 2 x 2 2 2 x ₊ ₊ = ₊ ₊ = _∞ ₋ ₊_∞=∞ = − + = +∞ → +∞ →

Hacia ∞ la función tiene asíntota horizontal y = 0.

- Oblicuas. y = mx + n: Por tener asíntotas horizontales hacia + ∞, la función no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia −∞ hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua.

( )

1 1 x 1 x Lím x x 1 x Lím x x f Lím m 2 x x 2 x x − + = − + = = −∞ → ∞ ∞ ÷ −∞ → −∞ →

El problema de este límite está en la expresión x

1 x2+

, cuando x tiende a −∞ queda

∞ −

∞

, siendo ambos infinitos de igual grado y de distinto signo, por lo tanto 1

x 1 x Lím 2 x =− + −∞ →

(11)

2 1 1 1 1 1 x 1 x Lím m 2 x =− − − = − + = −∞ →

Otra forma de resolver el límite es dividir por –x (x→−∞) en vez dividir por x.

( )

= − + + = − + − + = − − − − + = − + = −∞ → −∞ → −∞ → ∞ ∞ ÷ −∞ → 1 1 x 1 x x Lím 1 1 x 1 x Lím x x x x x 1 x Lím x x 1 x Lím m 2 2 2 x 2 2 x 2 x x 2 x

( )

2 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 Lím 2 2 x =− − = − + + = − + ∞ − + = − + + = −∞ →

( )

(

)

(

)

∞−∞ −∞ → −∞ → −∞ →  =     ₊ ₊ =       ₋ ₋       ₊ ₋ = − = Conjugado 2 x 2 x xLím f x mx Lím x 1 x 2x Lím x 1 x n = − + − + = − + −       ₊ = − +       ₊ ₋ ⋅       ₊ ₊ = −∞ → −∞ → −∞ → _x ₁ _x x 1 x Lím x 1 x x 1 x Lím x 1 x x 1 x x 1 x Lím 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 2 2 x

( )

0 1 1 1 x 1 x 1 Lím 2 2 x ₊ ₋ = ₋_∞ ₊ ₋ ₋_∞ = ∞= = −∞ →

Asíntota oblicua hacia −∞ y = 2x

Posición relativa.

( ) (

)

(

)

(

)

∞−∞ ∞ − → ∞ − → ∞ − →  =     ₊ ₊ =       ₊ ₋ ₋ ₋ = + − Conjugado 2 x 2 x xLím f x mx n Lím x 1 x 2x Lím x 1 x = − + − + = − + −       ₊ = − +       ₊ ₋ ⋅       ₊ ₊ = −∞ → −∞ → −∞ → _x ₁ _x x 1 x Lím x 1 x x 1 x Lím x 1 x x 1 x x 1 x Lím 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 2 2 x

( )

+ −∞ → ₊ ₋ = ₋_∞ ₊ ₋ ₋_∞ = ∞= = 1 0 1 1 x 1 x 1 Lím 2 2 x

(12)

13.

( )

3₂ x 1 x x f − = Solución.

( )

[ ]

f x R

{ }

1 D = − ± x = −1:

( )

0 1 1 1 1 x 1 x Lím ₂ 3 2 3 1 x − = − − − = − − → Asíntota vertical.

(

) (

)

(

( )

)

₍

_{( )}

₎

⋅ = − =+∞ − = − − ⋅ − + − = − ⋅ + − − − − → − 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x Lím 3 3 1 x

(

) (

)

(

( )

)

₍

_{( )}

₎

⋅ = − =−∞ − = − − ⋅ − + − = − ⋅ + + + + − → + 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x Lím 3 3 1 x x = 1: 0 1 1 1 1 x 1 x Lím 3₂ 3₂ 1 x→ ₋ = ₋ = Asíntota vertical.

(

+

) (

⋅ −

_{) ( )}

= + ⋅

( )

− − = ⋅ + = + =+∞ →− 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x Lím 3 3 1 x

(

+

) (

⋅ −

_{) ( )}

= + ⋅

( )

− + = ⋅ − = − =−∞ →+ 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x Lím 3 3 1 x - Horizontales: y = L:

( )

±∞ = − ∞ ± = − − ∞ ± ∞ ± = − = − = = ∞ ± → ∞ ∞ ÷ ∞ ± → ∞ ± → ₁ 1 ₁ 0 1 x 1 x Lím x 1 x Lím x f Lím L 2 3 2 x x 2 3 x x 2

( )

1 1 0 1 1 1 1 1 x 1 1 Lím x x x Lím x x 1 x Lím x x f Lím m 2 2 x x 3 3 x 2 3 x x 3 = − =− − ∞ ± = − = − = − = = ±∞ → ∞ ∞ ÷ ±∞ → ±∞ → ±∞ →

( )

(

)

( )

= − = − =         + − =         ⋅ − − − = − = ±∞ → ∞ ∞ ÷ ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ₁ x 1x 1 Lím x 1 x Lím x x 1 x Lím x 1 x 1 x Lím mx x f Lím n 2 x x 2 x 2 3 x 2 3 x x 2

( )

0 1 0 0 1 1 1 2 = − = − ∞ ± ∞ ± = Asíntota oblicua y = −x Posición relativa.

( ) (

)

(

)

( )

x 1 Lím x 1 x Lím x 1 x x x Lím x x 1 x Lím n mx x f Lím m x 2 x 2 3 3 x 2 3 x x ₋ = ₋ ≈ − − + = − − − = + − = ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ →

(13)

•

_{( )}

+ ∞ − → − =− −∞ =+∞=0 1 1 x 1 Lím

• − ∞ + → − =−∞=0 1 x 1 Lím

14.

( )

_x e x x f = Solución.

( )

[ ]

f x R

D =

( )

       =       >> +∞ → = = −∞ = ∞ − = ∞ − = = = = = ∞ ∞ +∞ → ∞ − −∞ → ∞ ± → ∞ ± → 0 x e x e x Lím 0 e e x Lím e x Lím x f Lím L x x x x x x x x

Asíntota horizontal hacia +∞ y = 0.

Posición relativa. •

(

( )

)

+ +∞ → ∞ + → ∞ + → _=        > > = =       − = − 0 0 x 0 e e x Lím 0 e x Lím L x f Lím _x x x x x x : La función se aproxima a la

asíntota por encima.

- Oblicuas: y = mx + n. Por tener asíntotas horizontales hacia + ∞, la función no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia −∞ hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua hacia −∞.

( )

₌ ₌ ₌ ₌ ₌_+∞ = ₋_∞ −∞ → −∞ → −∞ → −∞ → 0 1 e 1 Lím e 1 Lím x e x Lím x x f Lím m x x x x x x

(14)

15. f

( )

x =e1−x2

Solución.

( )

[ ]

f x R

D =

La función no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y = L: ( ) _e ₀ e e Lím L 1 x2 1 2 x = = = = − −±∞ −∞ ∞ ± → Asíntota horizontal y = 0. Posición relativa. •

(

( )

)

( ) + ∞ ∞ − ∞ ± − − ∞ ± → − ∞ ± → ∞ ± → = = = = =∞=     ₋ = − 1 0 e 1 e e e Lím 0 e Lím L x f Lím 2 1 x2 1 2 x x 1 x x : La

función se aproxima a la asíntota por encima.