Continuidad de Funciones Definición:
Una función f es continua en x=a 0()0/x:xDf xa 0f(x)f(a) 0 f es continua en x=a Límf(x) f(a)
a
x
Si la función f no verifica esta condición se dice que f es discontinua en x=a
Clasificación de discontinuidades: evitables y no evitables.
Sea f discontinua en x=a
1) Evitables o removibles: L ) x ( f Lím a x
Se presentan dos casos: Existe la función y existe el límite finito en el punto pero son distintos ó existe el límite finito pero no existe la función en el punto.
En ambos casos se le puede asignar el valor del límite a la función en x=a y asi queda definida una nueva función que resulta continua en x=a, por éste motivo se llaman evitables.
2) No Evitables o Esenciales f(x) L Límf(x) Lím a x a x 2.1) De Primera Especie:
Ambos límites laterales existen, pero o son distintos o al menos uno es infinito
2.1.1)Con salto finito o medible: Ambos límites laterales son finitos LiLd
x y Li Ld a y=f(x)
2.1.2)Con salto infinito o no medible: Al menos uno de los límites laterales es
infinito. a L y=f(x) x y f(a) a L y=f(x) x y
x y
y=f(x)
O 2.2)De Segunda Especie:
Al menos uno de los límites laterales no existe
x y
y=f (x)
a O
Álgebra de funciones continuas
Sean f y g dos funciones continuas en x=a y y dos números reales
Suma: h(x)=f(x)+g(x) continua en x=a Producto: h(x)=f(x).g(x) continua en x=a Linealidad: h(x)= f(x)+g(x) continua en x=a Cociente: 0 ) a ( g ) x ( g ) x ( f ) x ( h continua en x=a Composición:
f continua en x=a y g continua en x=f(a) entonces h(x)=(gof)(x) es continua en x=a
Continuidad de algunas funciones: Funciones Polinómicas: n n 2 2 1 0 n 0 i i ix a a x a x ... a x a ) x ( p / R R : p
Las funciones polinómicas son continuas en R.
Funciones Trigonométricas
Las funciones seno y coseno son continuas en R
sen(x) sen(a) 0 ( ) 0/ x:x R 0 x a 0 sen(x) sen(a) Lím
a x
Las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en sus dominios.
Ejemplo: f(x)=tgx entonces Df=
k R 2 1 k 2 x / x R Funciones ExponencialesLas funciones exponenciales son continuas en R 1 b 0 b con b ) x ( f / R R : f x Funciones Logarítmicas: y=f(x) a x y O
Las funciones logarítmicas son continuas en su dominio: 1 b 0 b con x log ) x ( f / R R : f b continua en R+
Continuidad de una función en un intervalo abierto
Definición:
f es continua en un intervalo abierto (a;b) f es continua en cada punto de (a;b)
Continuidad de una función en un intervalo cerrado
Definición:
f es continua en un intervalo cerrado [a;b] f es continua en cada punto de (a;b) y ) x ( f Lím ) b ( f y ) x ( f Lím ) a ( f b x a x
Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado.
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a;b] entonces dicha función esta acotada en [a;b].
a;b k R / x
a;b :f(x) k en continua f Teorema de Weierstrass:Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a;b] entonces asume valores mínimo y máximos absolutos en dicho intervalo
a;b m,M Imf / x
a;b :m f(x) M encontinua
f
m: mínimo absoluto o global de la función en [a;b] M: máximo absoluto o global de la función en [a;b]
x y m M y=f(x) a b x y a b m M y=f(x)
Teoremas de los valores intermedios
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a;b], entonces dicha función en el intervalo [a;b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b)
a;b Rcomprendidoentref(a)yf(b)c(a;b)/f(c) en continua f a b y=h y x m=M=hx y f(a) f(b) a c b 1 c2 c3 y=f(x) x y a b c f(a) f(b) y=f(x) Teorema de Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a;b] y toma valores de signos opuestos en los extremos entonces existe al menos un punto interior al intervalo en donde la función se anula.
a;b f(a).f(b) 0 c
a;b / f(c) 0 encontinua
f
Este teorema solo asegura que al menos hay un cero de la función, pero no cuantos ceros hay, se verá si la función es inyectiva o estricta para determinar si el cero es único (segunda figura).
Ejercicios Resueltos
Analizar para que valores de n N0 es continua
x 1 sen x ) x ( f n si x0 y f(0)=0 0 x si 0 0 x si x 1 sen x ) x ( f n Df = R 1) Si n = 0 0 x si 0 0 x si x 1 sen ) x ( f } 0 { R x
f es continua por ser composición de funciones continuas en R-{0}
En x = 0 No existe Límf(x) 0 x ya que x 1 Lím 0 x entonces: x 1 1 sen 1 f oscila entre -1 y 1.
En x = 0 discontinuidad esencial de segunda especie acotada.
f(b) y=f(x) x y f(a) a b c2 c3 c1 x y a b c f(a) f(b) y=f(x)
Plot[Sin[1/x],{x,-4,4}] Plot[Sin[1/x],{x,-0.1,0.1}] -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 X4 Y f(x)=sen(1/x) -2 -1 0 1 2 -0,1 0 0,1 x y f(x)=sen(1/x) Conclusión: f es continua en R-{0} 2) Si nN 0 x si 0 0 x si x 1 sen x ) x ( f n } 0 { R x
f es continua por ser composición y producto de funciones continuas en R-{0}
En x = 0 f (0) = 0 y 0 x 1 sen x Lím n 0
x (infinitésimo por función acotada)
f (0) = Límf(x) 0
x entonces f es continua en x = 0 Conclusión: f es continua en R
Plot[x Sin[1/x],{x,-0.1,0.1}] Plot[x^2 Sin[1/x],{x,-0.01,0.01}]
-0,1 0 0,1 -0,1 0 0,1 x y f(x)=x sen(1/x) -0,00015 0 0,00015 -0,01 0 0,01 x y f(x)=x2sen(1/x)
Dada la siguiente función analice la continuidad y clasifíquela:
1 0 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x f 1 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( x x x f x x x x x f x x x x x x x x x f 1 2 1 ) ( x x f Df = R-{-1;0;1}
En x = 0 No existe f (0) 1 1 2 1 ) ( 0 0 f x
Lím
xLím
x x En x = 0 discontinuidad evitable En x = 1 No existe f (1) 0 1 2 1 ) ( 1 1 f xLím
xLím
x x En x = 1 discontinuidad evitable En x = -1 No existe f (-1) 1 2 1 ) ( 1 1 x x fLím
Lím
x x 1 2 1 ) ( 1 1 x x fLím
Lím
x xEn x = 1 discontinuidad esencial de primera especie infinita
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 f(x)
