Tecnólogo Mecánico-Cartografía

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

Tecnólogo Mecánico - Tecnólogo en Cartografía.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

En los cursos pre-universitarios aprendimos a derivar funciones. Dada una función f (derivable) se estudiaron ciertas técnicas que nos permitían hallar su derivada f0

Ahora queremos determinar una función a partir de su derivada. Es decir ¿qué función tiene por derivada a la función dada f ?

En otras palabras nos proponemos resolver el problema inverso de la derivación, dada una función f queremos encontrar una función F (que llamaremos primitiva de f ) tal que si derivamos a F obtenemos a f

F0 = f

Este proceso inverso se denominada integración (o antiderivación)

Para poder integrar con cierto éxito es absolutamente necesario dominar las técnicas de la derivación. Si el lector no las recuerda o no deriva muy bien, deberá repasar sus materiales pre-universitarios sobre derivación y entrenarse.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 1. Veri…car que la función F es una primitiva de la función f: (a) F : F (x) = 3x 2 6x + 8 f : f (x) = 6x 6 (b) 8 < : F : F (x) = sin 3x 2 cospx f : f (x) = 3 cos 3x +sin p x p x (c) 8 > > < > > : F : F (x) = 2x + 5 x (x 6) f : f (x) = 2x 2 10x + 30 x2_{(x 6)}2 (d) 8 < : F : F (x) = ln 3x5_{+ 1} f : f (x) = 15x 4 3x5_{+ 1} _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

(A)Si F es una primitiva de f entonces F + K (con K constante) también es una primitiva de f

(B)Reciprocamente si F1 y F2 son primitivas de f entonces existe una constante K tal que F1= F2+ K :

Lo anterior nos dice que si F es una primitiva de f en I, entonces cualquier primitiva de f en I es de la forma F + K; siendo K una constante.

Se le llama integral inde…nida de f a una primitiva F (cualquiera) de la función f más una constante K y usaremos la siguiente notación

Tenemos la siguiente relación fundamental

Z f (x)dx

0

= f (x)

Por la relación anterior podemos pensar a la integración (inde…nida) como la “operación inversa” de la derivación. Por lo tanto muchas de las reglas de integración se obtienen “empleando a la inversa” la regla de derivación.

Por ejemplo podemos invertir la tabla de derivadas obteniendo la TABLA ELEMENTAL que se encuentra al …nal de este práctico

PROPIEDAD BÁSICA (Linealidad de la integral) (A) Z (f (x) + g(x)) dx = Z f (x)dx + Z g(x)dx (B) Z f (x)dx = Z f (x)dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 2. Usando la Tabla de primitivas elementales y las propiedades básicas de la integral, hallar las siguientes primitivas (integrales inde…nidas). 1. Z x2 ₂p3_{x +}3 x 1 p x5 dx 2. Z (sin 3x + cos 4x) dx 3. Z (ex_{+ 1)}2 dx 4. Z 1 2x 1dx 5. Z 1 p 3x2 ₁dx 6. Z 1 9x2_{+ 4}dx 7. Z p_{2 + x}2 p_{2 x}2 p 4 x4 dx 8.: Z ₁ cos2_{x sin}2_xdx s u g e re n c ia : 1=cos2_x+sin2_x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

Integración por sustitución (o cambio de variable)

La fórmula de integración por sustitución (o cambio de variable) establece que Z

f (g(x))g0(x)dx = F (g(x)) + K donde F es una primitiva de f En la práctica el método de sustitución funciona de la siguiente manera:

Supongamos que queremos calcular una integral de la forma Z

f (g(x))g0(x)dx (1) seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Hacemos la sustitución

u = g(x) _! du = g0_(x)dx

obteniendo

(2)

(observar que …nalizado este paso, en la nueva integral solamente debe aparecer la variableu, no puede estar la variabex) Paso 2: Luego hallamos una primitiva F de f , resultando que

Z

f (u)du = F (u) + K

Paso 3: Finalmente, deshacemos el cambio, volvemos a sustituir u = g(x), y se obtiene que Z

f (g(x))g0(x)dx = F (g(x)) + K que es el resultado buscado.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 3. Calcular las siguientes primitivas (integrales inde…nidas) utilizando el método de integración por cambio de variables. 1. Z 3 q (3x + 2)5dx 2. Z cos (2 x + 4) dx 3. Z ₁ x2 _{4x + 5}dx s u g e re n c ia : x2 _{4x+5=(x 2)}2₊₁ 4. Z x2 x 3(2x 1)dx 5. Z _{6x 5} 3x2 _{5x + 1}dx 6. Z ₁ x ln2_xdx 7. Z _ln3_x x dx 8. Z _{1 sin x} x + cos xdx 9. Z _x3 3 p x4_{+ 1}dx 10. Z x2cos x3dx 11. Z _x x4_{+ 16}dx 12. Z ex2+4x+3(x + 2)dx 13. Z ex_(ex_{+ 1)}5 dx 14. Z e2x 1 + e4xdx 15. Z e3x 1 + e2xdx 16. Z 1 ex_{+ 1}dx s u g e re n c ia : u=e x

Ejercicio 4. Calcular las siguientes primitivas (integrales inde…nidas) utilizando el método de integración por cambio de variables. 1. Z ₁ (x + 1)pxdx 2. Z ₁ x pxdx 3. Z _x2 3 p 1 + xdx 4. Z ₁ (x + 6)px + 2dx 5. Z x2 3 p 1 + 2xdx 6. Z x5p1 x3_{dx 7.} Z x p 1 + x4dx 8. Z _p ex _1dx

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

Ejercicio 5. Usando cambio de variable, hallar las siguientes primitivas (integrales inde…nidas). 1. Z sin x cos5_xdx 2. Z cos3_{xdx 3.} Z tan xdx 4. Z ₁ cos x sin xdx 5. Z _{sin 2x} p 1 + sin2_xdx s u g e re n c ia : sin 2x=2 sin x cos x

6. Z

cos 2x cos x dx

s u g e re n c ia : cos 2x=1 2 sin2x

Ejercicio 6. 1. Probar, usando cambio de variables, que

Z _x p

1 x2 dx =

p

1 x2_{+ K}

2. Deducir las siguientes primitivas (integrales inde…nidas). (a) Z ln x x q 1 (ln x)2 dx (b) Z x arcsin x p 1 x2 dx (c) Z r x + 1 1 xdx S u geren cia: : v u u tx + 1 1 x= x + 1 p 1 x2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Integración por partes

La fórmula de integración por partes nos dice que Z

uv0= uv Z

u0v (3)

En la práctica el método de integración por partes se aplica de la siguiente manera: Supongamos que queremos calcular la integral _Z

f (x)g(x)dx (4) Se le llama u = f (x) d e rivo_! u0_{= f}0_(x) v0= g(x) inte g ro_! v = G(x) y se aplica la fórmula (3). _Z f (x) | {z } u g(x) | {z } v0 dx = f (x) | {z } u G(x) | {z } v Z f0_(x) | {z } u0 G(x) | {z } v dx y nuestro problema es calcular la última integral _Z

f0(x)G(x)dx que deberá se más sencilla que la integral dada en (4)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejercicio 7. Usando integración por partes, hallar las siguientes primitivas (integrales inde…nidas). 1. Z x cos xdx 2. Z xe2xdx 3. Z x3ln xdx 4. Z x p x + 1dx 5. Z ln x x3 dx 6. Z x2_ex_{dx 7.} Z x2_{+ x 1 cos xdx 8.} Z x x4_{+ 4x}3 _3x2_{+ 3x 1 e}x_dx Ejercicio 8. Calcular las siguientes primitivas (integrales inde…nidas) usando integración por partes

1. Z ln (1 x) dx 2. Z ln x2_{+ 1 dx 3.} Z ex_{cos 2xdx 4.} Z sin2_xdx 5. Z ln2xdx 6. Z _p 1 x2_{dx 7.} Z cos (ln x) dx 8. Z excos2xdx

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

Ejercicio 9. Calcular las siguientes primitivas (integrales inde…nidas) 1. Z x5cos x3 dx 2. Z epxdx 3. Z x3ex2dx 4. Z _x3 p 1 x2dx 5. Z x cos x sin xdx 6. Z x ln 1 x 1 + x dx 7. R x7ln2x2dx 8. Z ln x +px2_{+ 1 dx} _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

TABLA de integrales básicas

Fórmulas de derivación Fórmulas de integración a es una constante

(1) ax 0 = a (1) Z a dx = ax + K (2) (x a) +1 0= ( + 1) (x a) (2) Z (x a) dx = (x a) +1 + 1 + K 6= 1 (3) _{ln jx aj} 0= 1 x a (3) Z ₁ x adx = ln jx aj + K (4) eax 0_{= ae}ax ₍₄₎ Z eax_{dx =} e ax a + K a 6= 0 Funciones trigonométricas (5) cos(ax) 0 = a sin(ax) (5) Z sin(ax)dx = cos(ax) a + K a 6= 0 (6) sin(ax) 0 = a cos(ax) (6) Z cos(ax)dx = sin(ax) a + K a 6= 0 (7) tan(ax) 0 = a cos2_(ax) (7) Z ₁ cos2_(ax)dx = tan(ax) a + K a 6= 0 (8) cot(ax) 0= a sin2(ax) (8) Z ₁ sin2(ax)dx = cot(ax) a + K a 6= 0 Funciones hiperbólicas (9) cosh(ax) 0= a sinh(ax) (9) Z sinh(ax)dx = cosh(ax) a + K a 6= 0 (10) sinh(ax) 0 = a cosh(ax) (10) Z cosh(ax)dx = sinh(ax) a + K a 6= 0 (11) tanh(ax) 0= a cosh2(ax) (11) Z ₁ cosh2(ax)dx = tanh(ax) a + K a 6= 0

—

—

—

—

—

—

—

B

et

ti

n

a

N

ei

ra

-P

ep

e

D

ia

z

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

M

a

te

m

á

ti

ca

II

—

—

—

—

—

—

—

Te

cn

ól

og

o

M

ec

án

ic

o-C

ar

to

gr

af

ía

Funciones trigonométricas inversas

(13) h arcsen x a i0 =_p 1 a2 _x2 h arc cos x a i0 = p 1 a2 _x2 (13) Z 1 p a2 _x2dx = arcsen x a + K = arc cos x a + K a > 0 (14) h arctan x a i0 = a a2_{+ x}2 h arccot x a i0 = a a2_{+ x}2 (14) Z ₁ a2_{+ x}2dx = 1 aarctan x a + K = 1 a arctan x a + K a > 0 (15) h arcsec x a i0 = a xpx2 _a2 h arccsc x a i0 = a xpx2 _a2 (15) Z ₁ xpx2 _a2dx = 1 aarcsec x a + K = 1 a arccsc x a + K a > 0

Funciones hiperbólocas inversas

(16) h arcsinh x a i0 = p 1 x2_{+ a}2 (16) Z 1 p x2_{+ a}2dx = arcsinh x a + K = ln x +px2_{+ a}2 _{+ K} a > 0 (17) h arccosh x a i0 =_p 1 x2 _a2 (17) Z ₁ p x2 _a2dx = arccosh x a + K = ln x +px2 _a2 _{+ K} a > 0