Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 1 ____________________________________________________________________________________________________ DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNVERSIDAD
1. Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad
La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del curriculo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría
ANÁLISIS
1. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales.
2. Saber aplicar el concepto de límite de una función en
±∞
para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.3. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes:
∞
−
∞
∞
⋅
∞
∞
e
0
,
0
0
,
(se excluyen los de la forma 0,
1 ∞
∞ y 00
) y técnicas para resolverlas.4. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
5. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función.
6. Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto 7. Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable
en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable. 8. Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos.
9. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
10. Conocer la regla de L’Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones. 11. Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o
puntos de inflexión.
12. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos.
13. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma
y =
f
(x
)
indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f
´´(
x
)
<
0
) y de convexidad (f
´´(
x
)
>
0
) y puntos de inflexión.14. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.)
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 2 ____________________________________________________________________________________________________
15. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
16. Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.
17. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
18. Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales.
19. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
20. Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas.
21. Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al intervalo de integración.
22. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.
23. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores).
24. Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.
25. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.
ÁLGEBRA LINEAL
26. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto.
27. Conocer la matriz identidad
I
y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden3 ×
3
)28. Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3.
29. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.
30. Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero.
31. Resolver problemas que puedan plantearse mediante un sistema de ecuaciones 32. Saber calcular el rango de una matriz.
33. Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo.
34. Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles.
35. Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo.
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 3 ____________________________________________________________________________________________________
GEOMETRÍA
36. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio
37. Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes.
38. Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra.
39. Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.)
40. Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales.
41. Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.
42. Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
43. Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (Por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.)
44. Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.
45. Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.
2. ESTRUCTURA DE LA PRUEBA DE “MATEMÁTICAS II” EN LA SELECTIVIDAD.
Fase general: Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que
elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual.
Fase específica: Cada estudiante recibirá un único examen, sin opciones. EL examen constará de cuatro
ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual.
Los exámenes de selectividad se pueden encontrar en la dirección de INTERNET
:http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm
En la siguiente dirección están resueltos los exámenes de selectividad:
http://www.iespadremanjon.com/
En la parte inferior central busca
Exámenes de Selectividad de Matemáticas
•Libro 1º de Matemáticas
•
Libro 2º de Matemáticas
•
Libro 3º de Matemáticas
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 4 ____________________________________________________________________________________________________ 3. INSTRUCCIONES PERTINENTES AL DESARROLLO DE LA PRUEBA.
3.1 De carácter general
En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.
3.2 Materiales permitidos en la prueba
Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad de almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados
Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
4. CRITERIOS GENERALES DE CORRECCION (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán
en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta).
Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la
ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de
manera efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:
a) En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación
de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.
b) Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráficas ni con capacidad
de almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos mas relevantes del procedimiento utilizado
c) Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro,
no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
d) Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10%
de la nota total del ejercicio, excepto los siguientes errores que se penalizarán con el valor total de la pregunta o apartado:
1) No saber despejar en una ecuación de la forma ax=b. 2) Sumar fracciones quitando denominadores.
3) No saber que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. 4) Realizar: a2 + b2 = c2 ⇒ a + b = c 5) Realizar:
(
)
2 2 2 b a b a+ = + ;(
a−b)
2=a2−b2 6) Realizar: a2+b2=a+b, es decir, 2 3 5 9 25− = − =e) De igual manera, se penalizarán con un máximo del 10% la redacción incorrecta o el uso
inadecuado de símbolos
Ejemplo: Si se pregunta “distancia de Linares a Madrid”, dar como solución x=305 se dará
por mal, x=305 Km se dará por regular y dar como solución “la distancia de Linares a Madrid es de 305 Km.” se dará por buena.
f) La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente.
g) Si el alumno tiene que elegir entre los ejercicios de la opción A o los de la opción B, y se realizan
ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.
5.- INSTRUCCIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS PRUEBAS ESCRITAS.
a)
Para la resolución de los ejercicios no será necesario utilizar calculadoras. No obstante, no se prohibirá su uso y podrán utilizarse calculadoras científicas (no programables, sin pantallagráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos). En cualquier caso, se
advierte que durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
b)
El examen no se puede hacer con lápiz.c)
En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas.d)
Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.e)
Cada ejercicio llevará, de forma explícita, los puntos que vale, y si tiene varios apartados, la puntuación de cada uno. De no ser así, se sobreentiende que todos los ejercicios valen igual y que, dentro de cada ejercicio, todos los apartado valen igualDocumento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 5 ____________________________________________________________________________________________________ 6. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN.
Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la
ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera
efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:
En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.
Puedes usar calculadoras científicas (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad
para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención
de resultados deben estar suficientemente justificados.
Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizarán la redacción incorrecta o el uso incorrecto de símbolos.
La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente.
Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.
INSTRUMENTOS PARA PUNTUAR LAS EVALUACIONES.
A) Bloque de observación colectiva: Dos exámenes por trimestre, conteniendo el segundo toda la materia vista en ese período (incluyendo la del primer examen) y obteniendo la nota media ponderada. (El segundo examen puntúa el doble que el primero). Esta nota representará el 80% de la calificación de evaluación.
B) Bloque de observación individual: representará el 20 % de la calificación de evaluación, las llamaré CL1, CL2 y Cl3 para cada trimestre, y constará de:
a) Observación en el aula
b) Asistencia y comportamiento a clase. c) Trabajo en casa.
d) Controles escrito de clase, ...
FORMA DE LLEGAR A LA CALIFICACIÓN DE CADA TRIMESTRE Y LA FINAL: PRIMER TRIMESTRE:
Llamaremos: EX1 y EX2 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl1 a la calificación del bloque de observación individual; Ev1 a la calificación de la primera evaluación; Ex3 a la calificación del examen de recuperación y Tr1 a la calificación del 1er trimestre
Media ponderada: 3 2 2 1 Ex Ex M = + ⋅ ; calificación 1ª evaluación: 10 1 2 1 8 1 M CL EV = ⋅ + ⋅
Los alumnos con calificación Ev1 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de recuperación, con la misma materia que el EX2.
Calificación 1er trimestre: a) Si Ex3 > Ev1,
3 3 2 1 1 Ev Ex
Tr = + ⋅ ; b) Si Ex3 < Ev1, Tr1 = EV1
SEGUNDO TRIMESTRE:
Llamaremos: EX4 y EX5 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl2 a la calificación del bloque de observación individual; Ev2 a la calificación de la segunda evaluación; Ex6 a la calificación del examen de recuperación y Tr2 a la calificación del 2º trimestre
Media ponderada: 3 5 2 4 2 Ex Ex M = + ⋅ ; calificación 2ª evaluación: 10 2 2 2 8 2 M CL EV = ⋅ + ⋅
Los alumnos con calificación Ev2 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de
recuperación, con la misma materia que el EX5.
Calificación 2º trimestre: a) Si Ex6 > Ev2,
3 6 2 2
2 Ev Ex
Tr = + ⋅ ; b) Si Ex6 < Ev2, Tr2 = EV2
TERCER TRIMESTRE:
Llamaremos: EX7 y EX8 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl3 a la calificación del bloque de observación individual; Tr3 a la calificación del 3er trimestre
Media ponderada: 3 8 2 7 3 Ex Ex M = + ⋅ ; calificación 3er trimestre: 10 3 2 3 8 3 M CL Tr = ⋅ + ⋅
Calificación global del curso:
3
1
2
3
Tr
Tr
Tr
Final
=
+
+
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
6REGLAS DE DERIVACIÓN -1
1
Dk = 0
SIENDO k UN NÚMERO REAL CUALQUIERA
2
Dx = 1
SIENDO x LA VARIABLE INDEPENDIENTE
a) DE FUNCIONES SIMPLES
b) DE FUNCIONES COMPUESTAS
3 −1
⋅
=
n nx
n
Dx
D
( )
w
n=
n
⋅
w
n−1⋅
Dw
4x
Dx
x
D
2
1
2 1=
=
Dw
w
Dw
w
D
=
=
⋅
2
1
2 1 5 n n n n x n Dx x D 1 1 1 − ⋅ = =Dw
w
n
w
D
w
D
n n n n⋅
⋅
=
=
−1 11
6x
DLx
=
1
Dw
w
DLw
=
1
⋅
7x
La
x
D
log
a=
1
⋅
1
Dw
w
La
w
D
log
a=
1
⋅
1
⋅
8De
x= e
xD
[ ]
e
w=
e
w⋅
Dw
9D
[ ]
a
x=
a
x⋅
La
D
[ ]
a
w=
a
w⋅
La
⋅
Dw
10D(sen x) = cos x
Dsen
(
w
)
=
cos(
w
)
⋅
Dw
11
D(cos x) = -sen x
D
cos(
w
)
=
−
sen
(
w
)
⋅
Dw
12
Dtg
(
x
)
=
sec
2(
x
)
Dtg
(
w
)
=
sec
2(
w
)
⋅
Dw
13
D
sec(
x
)
=
sec(
x
)
⋅
tg
(
x
)
D
sec(
w
)
=
sec(
w
)
⋅
tg
(
w
)
⋅
Dw
14
D
cos
ec
(
x
)
=
−
cos
ec
(
x
)
⋅
cot
g
(
x
)
D
cos
ec
(
w
)
=
−
cos
ec
(
w
)
⋅
cot
g
(
w
)
⋅
Dw
15
cot
(
)
cos
2(
)
x
ec
x
g
D
=
−
D
cot
g
(
w
)
=
−
cos
ec
2(
w
)
⋅
Dw
16D
[ ]
x
x=
x
⋅
x
x−1+
x
x⋅
Lx
=
x
x⋅
(
1
+
Lx
)
D
[ ]
u
v=
v
⋅
u
v−1⋅
Du
+
u
v⋅
Dv
⋅
Lu
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
7REGLAS DE DERIVACIÓN - 2
a) DE FUNCIONES SIMPLES b) DE FUNCIONES COMPUESTAS
17
x
-=
x
sen
arc
D
21
1
[
]
Dw
w
-=
w
sen
arc
D
⋅
21
1
18
x
-=
x
arc
D
21
1
cos
[
]
Dw
w
-=
w
arc
D
−
⋅
21
1
cos
19
21
1
x
+
=
x
tg
arc
D
[
]
Dw
w
+
=
w
tg
arc
D
⋅
21
1
20
21
1
x
+
=
x
ctg
arc
D
−
[
]
Dw
w
+
=
w
g
arc
D
−
⋅
21
1
cot
21
1
1
sec
2-x
x
=
x
arc
D
[
]
Dw
w
w
=
w
arc
D
⋅
−1
1
sec
222
1
1
cos
2-x
x
-=
x
ec
arc
D
[
]
Dw
w
w
=
w
ec
arc
D
⋅
−
−
1
1
cos
223
Suma / resta de dos funciones:D
[
f
+
g
]
=
Df
+
Dg
;D
[
f
−
g
]
=
Df
−
Dg
24
Suma o resta de mas de dos funciones: Es la suma o la resta de la derivada de cada sumando[
f
g
z
]
Df
Dg
Dz
D
+
+
....
+
=
+
+
...
+
25
Producto de un número y una funciónD
[
k
⋅
f
]
=
k
⋅
Df
26
Producto de dos funcionesD
[
u
⋅
v
]
=
v
⋅
Du
+
u
⋅
Dv
27
Producto de tres funcionesD
[
u
⋅
v
⋅
z
]
=
v
⋅
z
⋅
Du
+
u
⋅
z
⋅
Dv
+
u
⋅
v
⋅
Dz
28
Cociente de dos funciones 2v
Dv
u
Du
v
v
u
D
=
⋅
−
⋅
29
Cociente de una función y un númerok
Df
Df
k
k
f
D
=
=
1
30
Cociente de un número y una función 2f
Df
k
f
k
D
=
−
⋅
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
8Ejercicios de derivadas resueltos
Consejos para calcular la derivada de una función: 1) Saberse las reglas de derivación y ponerlas. 2) Saber que regla de derivación hay que aplicar. 3) Es un cero poner y=f(x)= y aquí poner su derivada,
Ej: Poner y=7⋅sen(4x)=7⋅Dsen(4x)=7⋅cos(4x)⋅4=28⋅cos(4x) en lugar de
y=7⋅sen(4x); Dy=7⋅Dsen(4x)=7⋅cos(4x)⋅4=28⋅cos(4x)
4) La mayoría de las veces, simplificar consiste en calcular 4⋅5=20; +⋅−=−,...
5) Cuando hay un cociente,
v u
y = , y el denominador, v, es una potencia hay que simplificar
obligatoriamente. Para ello cuando se calcula Dv no se quitan paréntesis, se saca factor común en el numerador y se simplifica, quedando en el denominador una potencia con la misma base y su exponente una unidad más.
6) Al derivar
sen
2(
u
)
o cos2(u) hay que simplificar con la fórmula: sen(2α
)=2⋅sen(α
)⋅cos(α
)Ejemplo: Dcos2(u)=2⋅cos(u)⋅
[
−sen(u)]
⋅Du=−sen(2u)⋅Du1.- Calcula la derivada de la función
2 2 ) 5 3 ( 8 5 3 − + − = x x x
y → Derivada de un cociente, con una potencia
en el denominador. HAY QUE SACAR FACTOR COMÚN y SIMPLIFICAR
(
)
−
=
−
=
⋅
−
⋅
==
−
=
−
=
+
−
=
⇒
⋅
−
⋅
=
4 2 2 2 25
3
);
5
3
(
6
3
)
5
3
(
2
;
)
5
3
(
;
5
6
;
8
5
3
x
v
x
x
Dv
x
v
x
Du
x
x
u
v
Dv
u
Du
v
v
u
D
[
]
3 3 2 2 3 2 2 2)
5
3
(
23
15
)
5
3
(
48
30
18
25
45
18
)
5
3
(
)
5
3
(
)
5
3
(
6
)
8
5
3
(
)
5
6
(
)
5
3
(
)
5
3
(
8
5
3
'
−
−
−
=
−
−
+
−
+
−
=
=
−
⋅
−
−
⋅
+
−
−
−
⋅
−
=
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
y
NOTA: Si al calcular Dv quito paréntesis no se puede simplificar. 2.- Calcula las derivadas: a)
− − − 6 2 ) 1 2 ( 3 5 2 x x x D ; b)
D
(
4
x
5⋅
L
(
3
x
4)
)
; c)D
(
e
4x+
3
⋅
cos(
5
x
)
)
−a) Derivada de un cociente, con una potencia en el denominador:
[
]
7 2 7 2 2 5 7 5 2 6 2 ) 1 2 ( 41 46 16 ) 1 2 ( 36 60 24 5 14 8 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 12 ) 3 5 2 ( ) 5 4 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 3 5 2 − + + − = − + + − + − == − ⋅ − − ⋅ − − − − ⋅ − = − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x D(
)
− = − = − = − = − − = ⇒ ⋅ − ⋅ = 12 2 5 6 2 2 1 2 ; ) 1 2 ( 12 ; ) 1 2 ( ; 5 4 ; 3 5 2 x v x Dv x v x Du x x u v Dv u Du v v u Db) Derivada del producto de dos funciones.
[
]
x
x
x
Dv
x
L
v
x
Du
x
u
Dv
u
Du
v
v
u
D
12
4
3
1
);
3
(
;
20
;
4
3 4 4 4 5=
=
=
⋅
=
=
⇒
⋅
+
⋅
=
⋅
(
4
x
5⋅
L
(
3
x
4)
)
=
20
x
4⋅
L
(
3
x
4)
+
16
x
4=
4
x
4⋅
[
5
⋅
L
(
3
x
4+
4
]
D
c) Derivada de una suma:
D
(
e
−4x+
3
⋅
cos(
5
x
)
)
=
De
−4x+
3
D
cos(
5
x
)
=
−
4
⋅
e
−4x−
15
sen(
5
x
)
3.- Calcula la derivada primera de las funciones
a
)
y
=
36
x
+
5
;b
)
y
=
412
x
;)
2
23
5
−
−
=
x
x
y
c
3 2 3 2 3)
5
6
(
2
6
)
5
6
(
3
1
5
6
´
)
+
=
⋅
+
=
+
=
x
x
x
D
y
a
;
=
=
+
=
⇒
⋅
=
−6
5
;
6
;
3
1
1Du
u
x
Du
n
u
n
u
D
n n n 3 3 3 3 41728
3
12
)
12
(
4
1
12
´
)
x
x
x
D
y
b
=
=
⋅
=
;
=
=
=
⇒
⋅
=
−12
;
12
;
4
1
1Du
u
Du
n
u
n
u
D
n n n5
3
2
2
3
4
)
3
4
(
5
3
2
2
1
5
3
2
´
)
2 2 2−
−
−
=
−
⋅
−
−
=
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
D
y
c
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
9
−
=
−
−
=
⇒
=
2
3
5
;
4
3
2
1
Du
u
x
2x
Du
x
u
u
D
4.- Calcula la derivada primera de la función
y
=
4
x
5⋅
L
(
6
x
4)
→ Derivada del producto de dosfunciones:
[
]
x
x
x
Dv
x
L
v
x
Du
x
u
Dv
u
Du
v
v
u
D
24
4
6
1
);
6
(
;
20
;
4
5=
4=
4=
4⋅
3=
=
⇒
⋅
+
⋅
=
⋅
(
4
5⋅
(
6
4)
)
=
20
4⋅
(
6
4)
+
16
4=
4
4⋅
[
5
⋅
(
6
4)
+
4
]
=
D
x
L
x
x
L
x
x
x
L
x
Dy
5.- Calcula
y
=
e
−3x+
4
⋅
cos(
2
x
)
→ Derivada de una suma[
4
cos(
2
)
]
3x
D
De
Dy
=
− x+
⋅
=
De
−3x+
4
D
cos(
2
x
)
=
−
3
⋅
e
−3x−
8
sen
(
2
x
)
6.- Calcula1
2
3
1
3
4
2 2−
−
+
−
=
x
x
x
x
y
= − − − ⋅ + − − − ⋅ − − = ⇒ 2 2 2 2 ) 1 2 3 ( ) 2 6 ( ) 1 3 4 ( ) 3 8 ( ) 1 2 3 ( x x x x x x x x Dy 2 2 2 2 2 2 3 2 3)
1
2
3
(
5
14
)
1
2
3
(
2
12
26
24
3
2
25
24
−
−
+
−
=
−
−
+
−
+
−
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
− − = − = − − = − = + − = ⇒ ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 2 2 1 2 3 ; 2 6 ; 1 2 3 ; 3 8 ; 1 3 4 x x v x Dv x x v x Du x x u v Dv u Du v v u DNOTA: como v no es una potencia, no se puede que sacar factor común en el numerador. 7.- Calcula la derivada primera de la función
2 2 4 2
7
8
)
3
(
cos
x
e
x
x
y
x−
⋅
−
=
− 3 2 4 2 3 2 2 4 214
16
32
)
6
sen(
3
7
)
(
8
))
3
(
(cos
x
e
x
e
x
x
x
D
e
x
D
x
D
Dy
x x x+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
− − −)
6
sen(
3
3
))
3
sen(
(
)
3
cos(
2
))
3
(
(cos
2x
x
x
x
D
=
⋅
⋅
−
⋅
=
−
⋅
(
x x)
x x xe
x
e
x
e
x
e
x
e
x
D
(
4 2)
8
4
3 2 4 2(
2
)
32
4 216
4 28
⋅
−=
⋅
−+
⋅
−⋅
−
=
⋅
−−
⋅
− 3 3 4 2 214
14
2
7
0
7
x
x
x
x
x
x
x
x
D
=
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
8.- Calcula la derivada primera de la función
y
=
42
x
−
5
x
4⋅
L
(
4
x
)
+
7
⋅
cos(
5
x
)
, simplificando el resultado al máximo)
5
sen(
35
5
)
4
(
20
8
2
1
)
5
cos(
7
))
4
(
(
5
)
2
(
3 3 4 3 4 4x
L
x
x
x
x
x
D
x
L
x
D
x
D
Dy
=
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
−
9.- Calcula la derivada primera de la función
y
=
5
x
⋅
4
x
+
7
, simplificando el resultado al máximo. → Derivada del producto de dos funciones:[
]
7
4
2
4
7
4
2
1
;
7
4
;
5
;
5
+
=
⋅
+
=
+
=
=
=
⇒
⋅
+
⋅
=
⋅
x
x
Dv
x
v
Du
x
u
Dv
u
Du
v
v
u
D
(
)
7
4
35
30
7
4
10
35
20
7
4
10
7
4
5
7
4
10
7
4
5
2+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⋅
=
+
+
+
⋅
=
⇒
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Dy
10.- Calcula la derivada primera de la función x
e
x
x
y
5 3 47
6
−−
+
=
, simplificando el resultado al máximo. DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.x x
e
x
x
De
x
D
Dx
Dy
4 3 5 321
45
53
2
7
6
1
− −⋅
+
−
=
−
+
=
4 2 4 2 4 2 3 3 21 21 3 7 0 7 x x x x x x x x D =− ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⇒11.- Dada la función y=x4- 24x2- 64x+8, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la
función en el punto de abscisa x=3.
a) Compruebo que x=3 pertenece al dominio → f(3) = 319 (HAZLO). Sí pertenece
b) Calculo Df(x) → Df(x)=4x3- 48x- 64, y Df(3) = 108 – 144- 64 = -100 = m (pendiente)
c) Recta tangente : A=(3,319) ;
m
=
Df
(
3
)
=
−
100
. d) Ecuación de la recta tangente: y-319 =-100(x-3)Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
10Ejercicio 1:
Calcula la derivada primera de las siguientes funciones, escribiendo la fórmula que
aplicas, simplificando al máximo el resultado y sacando factor común.
1º)
8
(
5
)
4
cos(
3
)
2
31
3x
e
x
x
tg
y
=
−
+
− x+
La derivada de una suma es la suma de las derivadas
(
⋅
)
−
⋅
+
(
⋅
)
+
=
=
8
(
5
)
(
4
cos(
3
))
2
−31
3x
D
e
D
x
D
x
tg
D
Dy
x 4 2 2 23
4
)
4
(
12
)
5
(
sec
40
x
x
x
L
x
x
−
⋅
−
−
⋅
=
(
8
tg
(
5
x
)
)
8
Dtg
(
5
x
)
8
sec
2(
5
x
)
5
40
sec
2(
5
x
)
D
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
(
(
3
)
)
3
12
(
3
)
4
)
3
cos(
4
))
3
cos(
4
(
x
D
x
sen
x
sen
x
D
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
−
⋅
(
)
x x x xe
e
De
e
D
(
2
−3)
2
−32
−33
6
−3⋅
−
=
−
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
; 6 4 2 33
3
1
x
x
x
x
D
=
−
=
−
2º)y
=
(
x
+
2
)
5⋅
(
x
−
1
)
4 Derivada de un producto:(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
−
=
+
=
+
=
⇒
⋅
+
⋅
=
⋅
3 4 4 51
4
;
1
2
5
;
2
x
Dv
x
v
x
Du
x
u
Dv
u
Du
v
v
u
D
)
3
9
(
)
1
(
)
2
(
)
2
(
5
)
1
(
)
1
(
4
)
2
(
+
5⋅
−
3+
−
4⋅
+
4=
+
4⋅
−
3⋅
+
=
x
x
x
x
x
x
x
Dy
3º)6
4
7
2
−
+
=
x
x
y
Derivada de un cociente
−
=
−
=
−
=
=
+
=
⇒
⋅
−
⋅
=
6
4
;
6
4
2
;
6
4
2
;
7
2
2 2v
x
x
Dv
x
v
Du
x
u
v
Dv
u
Du
v
v
u
D
(
)
(
2
3
)
4
6
13
2
6
4
6
4
26
4
1
6
4
:
6
4
26
4
6
4
6
4
14
4
6
4
2
−
−
−
=
−
⋅
−
−
=
−
−
−
=
−
−
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Dy
(
)
6
4
26
4
6
4
14
4
12
8
6
4
)
14
4
(
6
4
2
6
4
14
4
6
4
2
2−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán
Pag nº
11 4º) 5 2)
3
2
(
4
5
2
+
−
−
=
x
x
x
y
¿El denominador es una potencia? Sí
Al calcular Dv no quito paréntesis
Antes de hacer las operaciones del numerador
, se saca factor común y sesimplifica con el denominador
El denominador final de la derivada es (x+3)
6Fórmula:
(
)
(
)
(
)
+
=
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
=
−
=
−
−
=
⇒
⋅
−
⋅
=
10 2 4 4 5 2 23
2
;
3
2
10
2
3
2
5
;
)
3
2
(
5
4
;
4
5
2
x
v
x
x
Dv
x
v
x
Du
x
x
u
v
Dv
u
Du
v
v
u
D
[
]
=
+
⋅
+
+
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
+
=
4 6 4 2)
3
2
(
)
3
2
(
)
3
2
(
10
)
4
5
2
(
)
5
4
(
)
3
2
(
x
x
x
x
x
x
x
Dy
6 2 6 2 2)
3
2
(
25
52
12
)
3
2
(
40
50
20
15
2
8
+
+
+
−
=
+
+
+
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
5º)
