INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología AvanzadaPosgrado en Tecnología Avanzada
DISEÑO, ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN DE UN
ROBOT PARALELO TRASLACIONAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN TECNOLOGÍA AVANZADA
P R E S E N T A
Juan Antonio Briones León
Directores de Tesis
Diseño, Análisis y Construcción de un
Robot Paralelo Traslacional
Juan Antonio Briones León
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional
Agradecimientos
A todos los profesores que me apoyaron durante mis estudios de posgrado, y al CICATA por brindarme los medios para realizar este trabajo…
Al CONACYT por el apoyo económico durante el desarrollo de este proyecto…
A mis padres por brindarme su apoyo durante toda la vida…
A mi hermano por ser mi mentor y guía espiritual…
A mi esposa por ser tan paciente y apoyarme en todas mis decisiones…
Tabla de contenido
Agradecimientos ... V Tabla de contenido ... VI Índice de figuras y tablas ... VIII Resumen ... X Abstract ... XI Glosario ... XII Nomenclatura ... XIII
Capítulo 1. Introducción General ... 1
1.1. Antecedentes ... 1 1.2. Objetivos ... 2 1.2.1. Objetivo general ... 2 1.2.2. Objetivos específicos ... 2 1.3. Justificación ... 3 1.4. Estructura de la Tesis ... 3
Capítulo 2. Marco Teórico... 5
2.1. Introducción a Robots Paralelos ... 5
2.2. Clasificación de Robots Paralelos Según su Movilidad ... 7
2.2.1. Robots paralelos planares ... 7
2.2.2. Robots paralelos espaciales ... 9
2.3. Análisis de Movilidad ... 13
2.4. Cinemática de robots paralelos... 16
2.4.1. Cinemática inversa ... 16 2.4.2. Cinemática directa ... 17 2.5. Espacio de trabajo ... 17 2.6. Análisis de singularidades ... 18 2.6.1. Configuración singular ... 18 2.6.2. Jacobiano ... 18 2.6.3. Clasificación de singularidades ... 19
Capítulo 3. Diseño Conceptual ... 21
3.1. Introducción ... 21
3.2. Estructura geométrica del mecanismo ... 22
3.3. Análisis de Movilidad ... 24
Capítulo 4. Cinemática del Mecanismo ... 28
4.1. Introducción ... 28
4.2. Análisis Cinemático ... 28
4.2.1. Geometría del mecanismo... 28
4.2.2. Cinemática inversa ... 31
4.2.3. Ejemplo numérico del cálculo de la cinemática inversa ... 33
4.2.4. Cinemática directa ... 35
4.2.5. Ejemplo numérico del cálculo de la cinemática directa ... 37
4.3. Espacio de trabajo teórico ... 38
Capítulo 5. Jacobiano y Singularidades ... 41
5.1. Introducción ... 41
5.2. Cálculo del Jacobiano ... 41
5.3. Determinación de singularidades ... 43
5.3.1. Singularidades de la cinemática directa... 43
5.3.2. Singularidades de la cinemática inversa ... 45
5.3.3. Singularidades combinadas ... 47
Capítulo 6. Construcción del Mecanismo ... 48
6.1. Introducción ... 48
6.2. Dimensionamiento del prototipo... 48
6.3. Diseño de detalle ... 49
6.4. Características del prototipo ... 52
6.4.1. Espacio de trabajo ... 52
6.4.2. Resolución de los actuadores ... 54
6.4.3. Capacidad de carga ... 54
Capítulo 7. Conclusiones ... 55
Capítulo 8. Trabajos futuros... 56
Apéndice A. Programas de MATLAB ... 57
Apéndice B. Planos de eslabones ... 61
Índice de figuras y tablas
Figura 2-1. Estructura cinemática de un robot. a) serial, b) paralela ... 6
Figura 2-2. Clasificación de articulaciones según sus grados de libertad. ... 7
Figura 2-3. Diseño óptimo del mecanismo de 5 barras. a) modelo 3D, b) espacio de trabajo, (Liu et al., 2006b). ... 8
Figura 2-4. Robot paralelo planar 3RRR, (Yañez Valdez, 2007). ... 8
Figura 2-5. Plataforma Stewart, (Stamper, 1997). ... 9
Figura 2-6. Manipulador DELTA de 3 GDL traslacional, (Stamper, 1997)... 10
Figura 2-7. El Orthoglide, robot paralelo traslacional, (Chablat & Wenger, 2003) ... 11
Figura 2-8. Manipulador paralelo de 4 GDL, (Pierrot et al., 2003) ... 12
Figura 2-9. Robot paralelo de 6 GDL, basado en mecanismos de 5 barras, (Stocco & Salcudean, 2000). ... 12
Figura 2-10. Mecanismo de 5 barras. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado... 15
Figura 3-1. Estructura del manipulador paralelo de 3 GDL traslacional. a) Diseño 3D, b) esquema básico. ... 23
Figura 3-2. Configuración óptima de un mecanismo de 5 barras típico. a) por arriba del eje de la articulación de entrada, b) por debajo del eje de la articulación de entrada. ... 24
Figura 3-3. Mecanismo paralelo traslacional. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado ... 25
Figura 3-4. Cadena cinemática abierta asociada a los mecanismos 5 barras. a) Sub-mecanismo H1, b) Sub-mecanismo H2 ... 26
Figura 3-5. Mecanismo de 5 barras. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado... 26
Figura 3-6. Sistema de coordenadas asociado al mecanismo paralelo traslacional. ... 27
Figura 4-1. Estructura geométrica del mecanismo paralelo traslacional ... 30
Figura 4-3. Plataforma movil en el origen. ... 34
Figura 4-4. Esquema geométrico el mecanismo 5 barras ... 35
Figura 4-5. Posición del mecanismo con coordenadas articulares a 45° ... 38
Figura 4-6. Cilindros correspondientes al espacio de ... 39
Figura 4-7. Espacio de trabajo teórico del mecanismo ... 40
Figura 4-8. Espacio de trabajo de un manipulador paralelo traslacional tipo Maryland ... 40
Figura 5-1. Singularidad de la cinemática directa. ... 45
Figura 5-2. Singularidad de la cinemática inversa. ... 47
Figura 6-1. Prototipo del mecanismo paralelo traslacional con amplio espacio de trabajo . 51 Figura 6-2. Nube de puntos dentro del espacio de trabajo, método Monte Carlo, ... 53
Tabla 2-1. Ventajas y desventajas de los robots paralelos vs robots seriales ... 6
Tabla 4-1. Parámetros para el cálculo de las coordenadas articulares correspondientes a la posición inicial de la plataforma movil. ... 34
Tabla 4-2. Ángulos obtenidos para las 2 posibles poses del mecanismo. ... 34
Tabla 4-3. Parámetros para el cálculo la posición de la plataforma movil a determinados ángulos conocidos. ... 37
Tabla 4-4. Resultados de la posición de la plataforma movil con 2 posbles poses. ... 37
Resumen
En este trabajo se diseña y analiza un novedoso robot paralelo traslacional. El robot consiste de dos mecanismos 5 barras conectados por dos articulaciones prismáticas, la plataforma móvil se encuentra en la unión de estas dos articulaciones.
El robot propuesto presenta ventajas sobre otros robots paralelos traslacionales ya desarrollados: mayor espacio de trabajo, no usa articulaciones esféricas ni el típico paralelogramo 4 barras para desarrollar movimientos traslacionales, la simetría del mecanismo facilita su análisis.
El cálculo de la movilidad del mecanismo propuesto, está basado en una fórmula novedosa desarrollada por Gogu. La cinemática directa e inversa se resuelve de una forma muy sencilla a partir del análisis geométrico del manipulador. El Jacobiano es desarrollado a partir de la ecuación vectorial de los brazos que conforman el mecanismo. Las singularidades que se presentan en el mecanismo se encuentran mediante la matriz Jacobiana obtenida. El cálculo del espacio de trabajo del manipulador se determina, de forma sencilla, a partir de las longitudes de los eslabones.
Finalmente se presenta el diseño de detalle y la construcción de un prototipo con el fin de comparar el espacio de trabajo con un mecanismo del mismo tipo.
Abstract
This project concerns a novel three degrees of freedom parallel manipulator in which the moving platform is constrained to only translational moving. The manipulator consists of two five-bar mechanisms connected by two prismatic joints, the moving platform is on the union of this two prismatic joints.
The main advantages of this manipulator are: a wide workspace comparing with other manipulators of the same type (three translational DOF), all the actuated joint are attaching to the base, no need of spherical joints or typical four-bar parallelogram to develop translational motion, the symmetry of the mechanism facilitates the forward and inverse kinematic calculation.
The mobility calculation is based on a new formulae defined by Gogu. The forward and inverse kinematic is solved in a simple way from the geometric analysis of the manipulator. Jacobian matrix and singularities analysis are also developed from the vectorial equation of each leg. The manipulator workspace volume as a function of the link lengths is determined.
Glosario
Movilidad o grados de libertad: Número de coordenadas independientes necesarias para
definir la posición del mecanismo.
Eslabón: Cuerpo rígido que posee por lo menos dos nodos que son puntos de unión con
otros eslabones.
Cinemática: Rama de la mecánica que estudia los movimientos de los cuerpos, con
independencia de las fuerzas que lo producen.
Cadena cinemática: Ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que
produzcan un movimiento controlado en respuesta a un movimiento suministrado.
Configuración singular ó Singularidad: Posición limite donde el mecanismo gana o pierde
grados de libertad, lo que hace al mecanismo no controlable en estas posiciones.
Junta cinemática ó Articulación: Punto de unión entre dos o más eslabones, la cual
permite algún movimiento entre los eslabones conectados.
Efector final ó plataforma móvil: Último eslabón de un manipulador, diseñado para realizar
una tarea específica.
Espacio de trabajo. Conjunto de posiciones y orientaciones que pueden ser alcanzadas
por el efector final del robot.
Coordenadas articulares: Ángulos de cada uno de los actuadores rotacionales (motores
eléctricos). Son los ángulos que pueden ser controlados para lograr el posicionamiento de la plataforma móvil.
Nomenclatura
GDL: Grados de libertad
P: Vector de posición de la plataforma móvil.
Px: Coordenada x de la plataforma móvil. Py: Coordenada y de la plataforma móvil. Pz: Coordenada z de la plataforma móvil. Pri: Articulación prismática i.
Gi: Brazo o cadena cinemática i.
ai: Longitud del eslabón primario del brazo i. bi: Longitud del eslabón secundario del brazo i. Rij: Articulación rotacional j del brazo i.
c12: Longitud de la barra de la articulación rotacional que une los brazos 1 y 2. c34: Longitud de la barra de la articulación rotacional que une los brazos 3 y 4. H1: Mecanismos de 5 barras formado por los brazos 1 y 2.
H2: Mecanismo de 5 barras formado por los brazos 3 y 4. M: Movilidad o GDL del mecanismo.
p: Número total de articulaciones en el mecanismo. k: Total de lazos cerrados.
fi: Movilidad o GDL de la articulación i.
r: Número de parámetros que pierden su independencia en el mecanismo.
1
i
G
r : Número de parámetros que pierden su independencia en los lazos cerrados del brazo Gi,
rl: Número de parámetros que pierden su independencia en los lazos cerrados que pueden existir en el mecanismo.
SF: Conectividad del mecanismo.
i
G
S : Conectividad del brazo Gi desconectado del mecanismo.
RF: Vector de velocidades que se presentan en el mecanismo
i
G
R : Vector de velocidades que se presentan en el brazo Gi al ser desconectado del mecanismo.
i
H
R : Vector de velocidades que se presentan en el lazo cerrado Hi al ser desacoplado del mecanismo.
i
H
S : Conectividad del lazo cerrado Hi al ser desconectado del mecanismo. Vx: Velocidad sobre el eje x.
Vy: Velocidad sobre el eje y. Vz: Velocidad sobre el eje z.
ωx: Velocidad angular alrededor del eje x. ωy: Velocidad angular alrededor del eje y. ωz: Velocidad angular alrededor del eje z.
θi: Variables articulares, ángulo de entrada del eslabón ai con respecto al plano x-y. i: Angulo del eslabón bi con respecto al plano x-y.
pix: Coordenada en x del eslabón secundario bi. piy: Coordenada en y del eslabón secundario bi. piz: Coordenada en z del eslabón secundario bi.
di: Distancia del origen de coordenadas al eslabón primario ai. h1: Distancia de la barra c34 a la barra c12.
i
: Velocidad de la variable articular θi
Vp: Vector de velocidad de la plataforma móvil.
x
J : Matriz Jacobiana de la cinemática directa.
θ
Capítulo 1. Introducción General
1.1. Antecedentes
El desarrollo de robots para manipulación y mecanizado está en constante evolución. Los mercados actuales demandan mayor productividad, más precisión y más seguridad en los procesos de manufactura. Esto ha llevado a la creación de máquinas novedosas muy precisas, de gran velocidad y completamente autónomas. Una de las alternativas que presenta mayor interés en el desarrollo de manipuladores y máquinas-herramienta es el uso de robots paralelos, debido a las ventajas que estos mecanismos presentan ante los robots convencionales.
En el desarrollo de robots paralelos para aplicaciones de mecanizado, se busca principalmente tener tantos grados de libertad como sea posible, por lo que normalmente se buscan mecanismos de 5 o 6 GDL. Sin embargo, los mecanismos de 3 GDL pueden ser considerablemente más ligeros y tener la capacidad de realizar tareas de fresado y barrenado, siendo posible añadir un GDL adicional mediante un actuador independiente del mecanismo. Se han desarrollado una gran variedad de robots paralelos para este tipo de aplicaciones, (Lindem & Charls, 1995), (Toyama et al., 1998) y (Yau, 2001).
Por otro lado, la manipulación de objetos requiere de gran precisión y velocidades muy altas de posicionamiento, por lo que los robots paralelos han sido aplicados exitosamente en este tipo de tareas (Clavel, 1990), (Pierrot et al., 2003), (Tsai, 1997) y (Sheldon, 1995).
Sin embargo, a pesar de las ventajas dinámicas que los robots paralelos presentan ante las arquitecturas seriales, existen desventajas que limitan su aplicación: el reducido espacio de trabajo, el alto costo de fabricación y las múltiples configuraciones singulares que presentan.
El estudio de los mecanismos paralelos se ha incrementado considerablemente en los últimos años, no sólo en los países con gran desarrollo tecnológico. En México se han realizado un gran número de trabajos sobre robots paralelos, la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro (Acosta Romero & Valdez Guevara, 2005), (Jiménez Mandujano & Gómez Sánchez, 2005), (Landeros Gómez & Medina Avendaño, 2005) y (Álvarez Muñoz, 2004); y el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Unidad Querétaro del Instituto Politécnico Nacional, (Yañez Valdez, 2007) y (Nava Palomares, 2007); son algunas de las instituciones que tienen interés en la aplicación y análisis de estos mecanismos. Sin embargo, ninguno de los trabajos realizados en estas instituciones trata del diseño de mecanismos paralelos con arquitecturas novedosas.
1.2. Objetivos
1.2.1. Objetivo general
Diseñar, analizar y construir un mecanismo paralelo traslacional de estructura novedosa con amplio espacio de trabajo.
1.2.2. Objetivos específicos
Realizar el diseño conceptual del mecanismo y comprobar mediante un análisis de movilidad.
Resolver la cinemática inversa y directa del mecanismo y definir su espacio de trabajo. Determinar las configuraciones singulares del mecanismo mediante el cálculo de la
matriz Jacobiana.
1.3. Justificación
La aplicación de un robot paralelo de bajo costo, comparado con las tecnologías que están actualmente en el mercado, de estructura ligera, fácil de controlar y que cuente con un amplio espacio de trabajo, sin la necesidad de agregar grados de libertad adicionales, puede ser el punto de partida para ampliar el uso de estos mecanismos en procesos de manipulación y tareas de mecanizado. Esto, aunado al escaso desarrollo de estas tecnologías en México, presenta una gran oportunidad para el desarrollo local de estos mercados.
1.4. Estructura de la Tesis
En el Capítulo 1 se presenta una breve introducción, se definen los objetivos y se justifica el desarrollo del trabajo de tesis presentado.
El Capítulo 2 conforma el marco teórico de los robots paralelos relacionados con este trabajo. Se clasifican los robots según su movilidad, se establece la fórmula adecuada para el cálculo de movilidad en robots paralelos, se describen algunos métodos para el cálculo de la cinemática, se define el Jacobiano y el cálculo de las singularidades en un robot paralelo.
La descripción y el análisis de movilidad del mecanismo se presentan en el Capítulo 3. Se conceptualiza el mecanismo definiendo su arquitectura y comprobando la movilidad deseada, 3 GDL.
El cálculo de la cinemática se presenta en el Capítulo 4. Se resuelve la cinemática inversa y la cinemática directa del robot paralelo propuesto. En este capítulo también se define el espacio de trabajo teórico del mecanismo.
En el Capítulo 5 se calcula el Jacobiano a partir de la ecuación geométrica del mecanismo y se determinan las configuraciones singulares de la cinemática directa e inversa del robot paralelo.
El diseño de detalle y la construcción del prototipo se presentan en el Capítulo 6. Se mencionan algunas características principales del mecanismo construido: el espacio de trabajo, resolución de los actuadores y capacidad de carga.
Por último, en los capítulos 7 y 8 se presentan las conclusiones y los posibles trabajos a desarrollar, respectivamente, en el contexto de este reporte de tesis.
Capítulo 2. Marco Teórico
2.1. Introducción a Robots Paralelos
En la actualidad se conocen varias definiciones para el término robot, en este trabajo definiremos robot como “Máquina programable para la realización de tareas: dispositivo mecánico que puede ser programado para llevar a cabo instrucciones y realizar tareas que son complicadas para el ser humano” (Encarta, 2008). Se le llama mecanismo a la estructura física que conforma el robot.
Existen varios criterios para la clasificación de robots. Según su estructura cinemática, se pueden clasificar en robots seriales, paralelos o híbridos. Un robot es serial cuando su estructura cinemática es una cadena en lazo abierto, figura 2-1a; es paralelo si contiene una o varias cadenas en lazo cerrado, figura 2-1b, y; es híbrido cuando contiene tanto cadenas en lazo cerrado como cadenas en lazo abierto (Tsai, 1999). La gran mayoría de los robots comerciales utilizados en la industria son de estructura serial, sin embargo, la aplicación de robots paralelos ha ganado terreno debido a las ventajas que estos presentan sobre los seriales. No obstante, existen desventajas que limitan las tareas que los robots paralelos pueden realizar. La tabla 2-1 es una comparativa entre las estructuras seriales y paralelas.
Dentro de la estructura del mecanismo, cada cadena cinemática o brazo se compone de uno o varios eslabones unidos mediante pares cinemáticos o articulaciones. La figura 2-2 muestra las articulaciones más comunes clasificadas según los grados de libertad que pueden desarrollar. En las estructuras paralelas, existen dos eslabones llamados plataformas: uno fijo que forma la base, y uno móvil llamado plataforma móvil o efector final. Estas dos plataformas están unidas por los brazos.
Las articulaciones que conforman estos brazos pueden o no ser actuadas. En la mayoría de los casos, se busca que los actuadores estén fijos a la base, para mejorar la dinámica del robot (Gogu, 2008).
Tabla 2-1. Ventajas y desventajas de los robots paralelos vs robots seriales
Ventajas Desventajas
Arquitectura más rígida Cinemática compleja
Alta relación carga/peso Espacio de trabajo reducido Mayo precisión Configuraciones singulares Altas velocidades Arquitectura mecánica compleja Mejores características dinámicas
a) b)
Figura 2-2. Clasificación de articulaciones según sus grados de libertad.
2.2. Clasificación de Robots Paralelos Según su Movilidad
Una forma de clasificar a los mecanismos paralelos es según las características del movimiento que pueden desarrollar (Tsai, 1999), y pueden ser planares y espaciales. Dentro de los robots espaciales existen los robots paralelos esféricos y los traslacionales.
2.2.1. Robots paralelos planares
Uno de los mecanismos paralelos más básicos es el mecanismo de 5 barras. Es un mecanismo planar de 2 GDL que contiene sólo un lazo cerrado. Está formado por 4 eslabones y una base unidos mediante 5 articulaciones rotacionales (5R). La cinemática, el análisis de singularidades y el cálculo del espacio de trabajo para este mecanismo han sido estudiados en (Liu et al., 2006a). Un estudio del diseño óptimo de este mecanismo es presentado en (Liu et al., 2006b), figura 2-3a, donde el espacio de trabajo para esta configuración es el máximo alcanzable sin pasar por singularidades, figura 2-3b.
a) b)
Figura 2-3. Diseño óptimo del mecanismo de 5 barras. a) modelo 3D, b) espacio de trabajo, (Liu et al., 2006b).
Otro ejemplo de robot paralelo planar es el 3RRR (Yañez Valdez, 2007), figura 2-4. El análisis de este robot es presentado en (Tsai, 1999). Este robot está formado por 3 brazos con 3 articulaciones rotacionales, una articulación de cada brazo, la que está fija a la base, debe ser actuada. Este robot cuenta con 3 GDL, dos son traslaciones y una rotación. Estudios sobre la cinemática directa y las singularidades de este mecanismo se presentan en (Oetomo et al., 2006 y Bonev et al., 2003)
2.2.2. Robots paralelos espaciales
Un ejemplo típico de robot paralelo espacial es la “Plataforma Stewart” diseñada originalmente por (Stewart, 1965), figura 2-5. Inicialmente la plataforma fue pensada con 6 GDL, para ser usada como simulador de vuelo. Actualmente variantes de estos mecanismos son aplicados como máquinas herramienta, dispositivos apuntadores, etc.
A pesar de las ventajas que este mecanismo presenta de gran capacidad de carga, buena rigidez y una cinemática inversa fácil de calcular, se han realizado diversas investigaciones (Pajbot et al., 1990; Khalil & Guegan, 2004; Gao et al., 2005; Masory et al., 1993 y Wang & Masory, 1993), con el propósito de reducir sus desventajas: cinemática directa difícil de resolver, acoplamiento entre la posición y la orientación de la plataforma móvil y gran número de articulaciones esféricas, ver figura 2-2.
Otros manipuladores que buscan evitar los problemas que presenta la plataforma Stewart han sido desarrollados, uno de ellos es el diseñado por (Clavel, 1990). El DELTA es un manipulador paralelo traslacional que tiene articulaciones esféricas en los paralelogramos que lo conforman, figura 2-6.
El diseño de una variante del mismo mecanismo, donde se sustituyen las articulaciones esféricas por rotacionales, fue presentado por (Tsai, 1997). La cinemática del manipulador fue resuelta en (Tsai et al., 1996). Un estudio más completo, donde además de la cinemática se calcula el espacio de trabajo, las singularidades y se valida el diseño mediante un prototipo y su control de posición, es reportado por (Stamper, 1997).
Numerosos robots de 5 GDL, como el presentado por (Gao et al., 2006), han sido desarrollados para aplicaciones de mecanizado. En estos mecanismos la robustez es una de sus principales ventajas, por esto y por la movilidad que permiten, su aplicación como centros de maquinado ha ido en aumento en los últimos años.
Existen un gran número de mecanismos que son variantes o combinaciones de los mecanismos ya mencionados, que buscan optimizar el espacio de trabajo, la rigidez, las singularidades o simplemente facilitar su análisis. El Orthoglide, (Chablat & Wenger, 2003), es una variante del manipulador traslacional desarrollado por Tsai, en el que, el espacio de trabajo es optimizado mediante una ubicación diferente de los brazos y actuadores, figura 2-7. Otra variante es el H4 desarrollado por (Pierrot et al., 2003), este manipulador tiene un brazo más que le permite desarrollar un GDL de rotación, figura 2-8.
Otros diseños que tratan de aprovechar las ventajas de los mecanismos más básicos como el 5 barras fueron desarrollados en (Stocco & Salcudean, 2000 and Monsarrat & Gosselin, 2003). En la figura 2-9 se muestra un mecanismo paralelo de 6 GDL diseñado a partir de dos mecanismos de 5 barras que se unen a la plataforma mediante 2 articulaciones esféricas.
Figura 2-8. Manipulador paralelo de 4 GDL, (Pierrot et al., 2003)
Figura 2-9. Robot paralelo de 6 GDL, basado en mecanismos de 5 barras,(Stocco & Salcudean, 2000).
2.3. Análisis de Movilidad
Parte fundamental del análisis de un mecanismo es el cálculo de la movilidad. Mediante este cálculo se determina el número de articulaciones que deben ser actuadas para poder controlar la posición del mecanismo.
Varios autores han realizado contribuciones para llevar a cabo el cálculo de movilidad de un mecanismo. Una de las fórmulas más utilizadas es el conocido criterio de Grübler propuesta por (Hunt, 1978), que toma en cuenta el número de eslabones y los grados de libertad de las articulaciones que conforman el mecanismo. Una aportación sobresaliente a esta fórmula es la que hace (Tsai, 1999), en donde propone restar el número de grados de libertad pasivos a los grados de libertad totales del mecanismo en la ecuación, con esto es posible utilizar esta fórmula para determinar la movilidad de mecanismos que contienen grados de libertad pasivos como la plataforma de Stewart.
Estas y otras importantes contribuciones fueron agrupadas en una fórmula conocida como Chebychev-Grübler-Kutzback (CGK). Sin embargo, esta fórmula tampoco es aplicable para todo tipo de manipualdores (Gogu, 2004) . En mecanismos que contienen múltiples lazos cerrados, el cálculo de movilidad se complica debido a que estos lazos cerrados cancelan la independencia de movilidad de las articulaciones.
Una novedosa fórmula que es válida para el cálculo de movilidad de cualquier mecanismo serial o paralelo, con uno o varios lazos cerrados, fue desarrollada por (Gogu, 2008). Con esta fórmula, la movilidad de cualquier mecanismo está dada por la ecuación (2-1).
1 p i i M f r
(2-1) donde 1 1 k G F l i r S S r
(2-2)dim( ) i i G G S R 1 2 dim( ) dim( ... ) k F F G G G S R R R R y 1 i k G l l i r r
(2-3)En estas ecuaciones, M es la movilidad del mecanismo o grados de libertad, p corresponde al número total de articulaciones, k es el total de lazos cerrados, fi la
movilidad o grados de libertad de la i-esima articulación, r el número de parámetros que pierden su independencia en el mecanismo, Gi
l
r el número de parámetros que pierden su
independencia en los lazos cerrados del brazo Gi, rl el número de parámetros que pierden
su independencia en los lazos cerrados que pueden existir en el mecanismo, SF
corresponde a la conectividad del mecanismo, S conectividad del brazo GGi i desconectado
del mecanismo, RF vector de velocidades que se presentan en el mecanismo y R vector Gi de velocidades que se presentan en el brazo Gi al ser desconectado del mecanismo.
Esta fórmula se caracteriza por descomponer el mecanismo en sus lazos cerrados y analizar las restricciones de movilidad en cada lazo cerrado, de esta forma determina las restricciones de movilidad totales en el mecanismo y, por consecuencia, su movilidad.
Un ejemplo sencillo para visualizar el uso de esta fórmula es el mecanismo de 5 barras típico, con su grafo asociado, que se muestra en la figura 2-10.
El número de articulaciones es p = 5 y se puede observar en el grafo asociado, figura 2-10b que solo hay un lazo cerrado en este mecanismo, por lo que k = 1.
a) b)
Figura 2-10. Mecanismo de 5 barras. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado
Si definimos H1 como el lazo cerrado que compone el mecanismo y G1 y G2 como los brazos que forman el lazo cerrado, por inspección tenemos,
RH1 = {Vx, Vy}; SH1 = dim(RH1) = 2 y
RF1 = RH1; SF1 = dim(RF1) = 2
Donde RH1 es un vector formado por las velocidades que puede generar el lazo cerrado H1. SF1 corresponde a la dimensión del vector de intersección entre los vectores de velocidad que genera cada lazo cerrado, debido a que solo existen un lazo cerrado en este mecanismo, el vector de intersección es el mismo, RH1.
Para determinar el número de parámetros que pierden su independencia en los lazos cerrados del mecanismo rl, se desconectan los brazos G1 y G2 del lazo cerrado H1 y se determinan las velocidades que pueden generar cada uno de los brazos en el punto donde fueron desconectados. RG1 = {Vx, Vy, ωx}; SG1 = dim(RG1) = 3 RG2 = {Vx, Vy, ωx}; SG2 = dim(RG2) = 3 0 a1 b1 b2 a2 R11 R21 R22 R12 R3 H1 R12 b1 a1 b2 a2 R22 R11 R21 0 R3 G1 G2
y
RF2 = RG1 ∩ RG2 = {Vy, Vz, ωx}; SF2 = dim(RF2) = 3
Se sustituyen estos valores en las ecuaciones (2-2) y (2-3):
1 1 2 2 3 3 3 3 H l l r r SG SG SF 1 1 2 2 3 3 H F l rS S r
y obtenemos M 5 3 2, que corresponde a los grados de libertad de este mecanismo.
2.4. Cinemática de robots paralelos
La cinemática estudia el movimiento de un mecanismo sin tomar en cuenta las fuerzas que lo generan. Aparentemente, es posible imaginar en forma sencilla los movimientos que puede generar un mecanismo, a diferencia de las fuerzas estáticas y dinámicas, que muchas veces no es posible determinar por inspección la forma en que se desarrollan en el mecanismo. Típicamente, la cinemática de un mecanismo se divide en dos: cinemática inversa y cinemática directa (Gogu, 2008).
Como se mencionó en secciones anteriores, el cálculo de la cinemática directa de un mecanismo paralelo es complejo de calcular debido a los lazos cerrados que lo conforman; por el contrario, el cálculo de la cinemática inversa es relativamente simple.
2.4.1. Cinemática inversa
La cinemática inversa determina las coordenadas articulares de cada actuador para una posición de la plataforma móvil conocida.
Existen varios métodos para el cálculo de la cinemática inversa. En (García de Jalón & Bayo, 1994), el autor resuelve la cinemática a partir de las ecuaciones de restricción del mecanismo. Por otro lado, Merlet propone dos métodos para el cálculo de la cinematica inversa: un método análitico y un método geométrico (Merlet, 2006); y Tsai hace una breve comparación entre el método de Denavit-Hartenberg y el método geométrico, (Tsai, 1999). Ambos autores coinciden en que el método geométrico facilita el análisis de la cinemática inversa de mecanismos cuando se componen de más de un lazo cerrado.
2.4.2. Cinemática directa
La cinemática directa determina la posición de la plataforma móvil a partir de coordenadas articulares conocidas.
Un estudio sobre diferentes métodos para el cálculo de la cinemática directa fue realizado en (Merlet, 1993). En esta investigación se comparan las ventajas de los métodos iterativos y polinomiales, que son métodos numéricos que requieren cierto tiempo de cálculo para ser realizados. En otras investigaciones se proponen métodos más sofisticados como es la programación de redes neuronales (Pratik & Sarah, 2005) para calcular la cinemática directa de un mecanismo.
2.5. Espacio de trabajo
Es posible determinar el espacio de trabajo, principalmente, de dos formas: mediante algoritmos geométricos y mediante el método Monte Carlo de simulación probabilística (Rastegar, 1990). La forma más simple es estableciendo algoritmos a partir de la geometría del mecanismo (Merlet et al., 1998), sin embargo, cuando el modelo geométrico del mecanismo es complejo, este procedimiento resulta poco factible; en estos casos se recurre a métodos como la simulación probabilística.
2.6. Análisis de singularidades
2.6.1. Configuración singular
Una de las limitantes de un robot paralelo es la existencia de configuraciones singulares, las cuales reducen el espacio de trabajo efectivo del mecanismo. Un análisis que permita determinar donde ocurren estas singularidades hace posible establecer estrategias para evitar caer en estas configuraciones que ocasionan que el robot gane o pierda grados de libertad e incluso que pierda por completo su rigidez (Tsai, 1999).
Una investigación realizada por (Guanfeng et al., 2003) define dos tipos de configuraciones singulares, las degenerativas y las degenerativas, donde las no-degenerativas no ocasionan problemas en general y las no-degenerativas son las que ocasionan problemas y por lo tanto deben ser evitadas.
Estas singularidades están relacionadas directamente con el Jacobiano de un mecanismo, de manera que una configuración singular se presenta cuando el Jacobiano es singular, esto es, su determinante es igual a cero (Gosselin & Angeles, 1990).
2.6.2. Jacobiano
El Jacobiano de un manipulador según (Gosselin & Angeles, 1990) se define a continuación.
La relación entre el vector n-dimensional de coordenadas articulares y el vector m-dimensional x de coordenadas cartesianas de la plataforma móvil, está dada por la ecuación (2-4).
( , )
F θ x 0 (2-4)
donde F es una función implícita n-dimensional de y x , y 0 es el vector cero n-dimensional.
Diferenciando la ecuación (2-4) con respecto del tiempo se obtiene una relación entre las velocidades de entrada y las de salida, ecuación (2-5)
x θ J x J θ 0 (2-5) donde x F J x y θ F J θ
Ambas, Jx y J, son matrices Jacobianas de n x n, y las singularidades del mecanismo ocurren cuando una de estas matrices o ambas son singulares.
2.6.3. Clasificación de singularidades
Tres tipos de singularidades pueden ser definidas (Gosselin & Angeles, 1990).
1. Cuando det(J) = 0.
Si J es singular, entonces existen vectores θ diferentes de cero que resultan en
vectores x cero. Por lo que el manipulador pierde uno o más grados de libertad. El mecanismo puede resistir fuerzas o momentos en determinadas direcciones aún cuando los actuadores no desarrollan ninguna fuerza o par. A este tipo de singularidades se les llama singularidades de la cinemática inversa.
2. Cuando det(Jx) = 0.
Si Jx es singular, entonces existen vectores x diferentes de cero que resultan en vectores θ cero. Por lo que el manipulador gana uno o más grados de libertad. El mecanismo no puede resistir fuerzas o momentos en determinadas direcciones. A estas singularidades se les llama singularidades de la cinemática directa.
3. Cuando det(J) = 0 y det(Jx) = 0.
Capítulo 3. Diseño Conceptual
3.1. Introducción
En este capítulo se describe detalladamente la estructura geométrica del mecanismo, se define el ensamble de cada eslabón, la plataforma fija y la móvil, por medio de las articulaciones.
El análisis de movilidad del mecanismo se lleva a cabo mediante la fórmula desarrollada por (Gogu, 2008). En este análisis de movilidad se hace uso del concepto de grafo. Un grafo es un esquema plano de la estructura geométrica de un mecanismo. Cada eslabon se representa con un círculo y cada articulación se representa con una línea que une dos circulos (eslabones). Cada linea y circulo debe estar indicada según la articulacion o eslabon que representa, la base y la plataforma movil se representan como eslabones.
Por último se describen algunas consideraciones a tomar en cuenta en el diseño y construcción del mecanismo. Estas consideraciones facilitan el análisis y buscan lograr un espacio de trabajo óptimo, con el menor número de configuraciones singulares.
En cuanto a las especificaciones iniciales para el diseño del mecanismo deseado se tomaron en cuenta las siguientes:
El mecanismo debe ser de 3 GDL, sólo traslacionales.
Amplio espacio de trabajo comparado con otros robots traslacionales. En este caso el punto de comparación es con el manipulador paralelo de 3 GDL más común, el Maryland.
No utilizar articulaciones esféricas, lo que reduce el juego mecánico en el mecanismo y el costo de fabricación.
El diseño del mecanismo descrito en este capítulo parte de una propuesta realizada por (Nava Palomares, 2007). El problema con esta propuesta era el acoplamiento entre los 3 brazos que lo conformaban, que además de desarrollar movimientos traslacionales, generaba movimientos de rotación en la plataforma móvil. Por esta razón se buscó la forma de desacoplar estos brazos.
En la propuesta que se presenta en este trabajo, el mecanismo está conformado por 4 brazos los cuales se acoplan mediante dos articulaciones prismáticas que limitan la movilidad a sólo traslaciones, por lo que queda resuelto el problema del acoplamiento de grados de libertad de la propuesta anterior.
3.2. Estructura geométrica del mecanismo
En la figura 3-1 se muestra la composición mecánica del manipulador paralelo propuesto. El marco 0 que se observa representa la plataforma fija o base, mientras que la plataforma móvil se indica como P. La base se une a la plataforma móvil mediante 4 brazos idénticos G1, G2, G3 y G4y dos articulaciones prismáticas Pr1 y Pr2.
Cada brazo está formado por dos eslabones a1, b1; a2, b2; a3, b3; a4, b4 unidos mediante las articulaciones rotacionales R12, R22, R32 y R42. El extremo inferior de los eslabones a1, a2, a3 y a4 se une a la base mediante las articulaciones R11, R21, R31 y R41 respectivamente.
Los brazos G1 y G2 se unen mediante la barra c12 y dos articulaciones rotacionales R13 y R23, formando de esta forma un mecanismo de 5 barras. Del mismo modo, los brazos G3 y G4 forman un segundo mecanismo de 5 barras unidos mediante las articulaciones R33 y R34 a la barra c34.
a) b)
Figura 3-1. Estructura del manipulador paralelo de 3 GDL traslacional. a) Diseño 3D, b) esquema básico.
La plataforma móvil P se une al mecanismo mediante dos articulaciones prismáticas ortogonales Pr1 y Pr2 que se deslizan por las barras c12 y c34 permitiendo, de este modo, movimientos de traslación únicamente.
Por inspección se puede observar que actuando tres articulaciones es posible controlar la posición de la plataforma móvil del robot; sin embargo, en la siguiente sección se desarrolla el análisis de movilidad con el fin de comprobar esta hipótesis.
Debido a que el manipulador está conformado por dos mecanismos 5 barras, es preciso establecer la configuración óptima para éste mecanismo que presente el mayor espacio de trabajo y pocas, o si es posible, nulas posiciones singulares, que pueden reflejarse en pérdidas de movilidad en el manipulador. En (Liu et al., 2006b) se realizó un estudio sobre la optimización del espacio de trabajo del mecanismo 5 barras.
En la figura 3-2 se observa esta configuración aplicada al mecanismo propuesto en este trabajo. Si se gira esta vista del mecanismo 90 grados, es posible observar un mecanismo de 5 barras idéntico. Esta configuración presenta un amplio espacio de trabajo, ya que le permite al mecanismo desplazarse por debajo y por arriba de los ejes de las articulaciones R11, R21, R31 y R41. G2 G1 G3 Pr2 Pr1 0 0 0 0 R13 R23 R43 R33 R12 R11 R32 R31 R22 R21 R42 R41 a1 b1 b3 a3 b2 a2 b4 a4 c12 c34 G4 G4 G1 G3 0 P G2
a) b)
Figura 3-2. Configuración óptima de un mecanismo de 5 barras típico. a) por arriba del eje de la articulación de entrada, b) por debajo del eje de la articulación de entrada.
3.3. Análisis de Movilidad
La figura 3-3b muestra el grafo asociado al mecanismo paralelo traslacional mostrado en la figura 3-3a. Agrupando los brazos G1 y G2 obtenemos un mecanismo de 5 barras H1, los brazos G3 y G4 forman el segundo mecanismo de 5 barras H2.
A partir del grafo asociado y siguiendo el procedimiento descrito por (Gogu, 2008) tenemos:
p = 14 y k = 2.
Al desacoplar los mecanismos de 5 barras H1 y H2, figura 3-4, se observa fácilmente que los vectores de las velocidades asociadas al punto P para cada uno de los sub-mecanismos H1 y H2 son:
RH1 = {Vx, Vy, Vz, ωy}; SH1 = dim(RH1) = 4 RH2 = {Vx, Vy, Vz, ωx}; SH2 = dim(RH2) = 4 y
a) b)
Figura 3-3. Mecanismo paralelo traslacional. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado
Para calcular el número de parámetros que pierden su independencia en los lazos cerrados del mecanismo, se desconectan los mecanismos 5 barras del mecanismo espacial, como se muestra en la figura 3-5.
Las velocidades asociadas al punto c del mecanismo 5 barras se obtienen desconectando los dos brazos G1 y G2 en este punto.
RG1 = {Vy, Vz, ωx}; SG1 = dim(RG1) = 3 RG2 = {Vy, Vz, ωx}; SG2 = dim(RG2) = 3 y
RF2 = RG1 ∩ RG2 = {Vy, Vz, ωx}; SF2 = dim(RF2) = 3
Sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones (2-2) y (2-3):
1 1 2 2 3 3 3 3 H l r SG SG SF 2 1 3 H H l l r r 1 2 3 3 6 H H l l l r r r 1 2 1 l 4 4 3 6 11 rSH SH SF r x z y G2 G1 G3 Pr2 Pr1 0 0 0 0 R13 R23 R43 R33 R12 R11 R32 R31 R22 R21 R42 R41 a1 b1 b3 a3 b2 a2 b4 a4 c12 c34 G4 R12 R42 P c12 c34 b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4 0 H1 H2 R11 R22 R32 R21 R31 R 41 R43 R33 R23 R13 Pr1 Pr2
a) b)
Figura 3-4. Cadena cinemática abierta asociada a los mecanismos 5 barras. a) Sub-mecanismo H1, b) Sub-mecanismo H2
a) b)
Figura 3-5. Mecanismo de 5 barras. a) Cadena cinemática, b) Grafo asociado
Por lo tanto, de la ecuación (2-1), obtenemos:
14 11 3
M
La movilidad o grados de libertad del mecanismo paralelo propuesto es M=3, por lo que se confirma que el manipulador necesita al menos de 3 articulaciones actuadas para definir completamente la posición de la plataforma móvil.
G1 G2 R12 c b1 a1 b2 a2 R22 R11 R23 R13 R21 0 x y z 0 a1 b1 b2 a2 c 0 a1 b1 0 0 c12 a2 b2 Pr1 H1 H2 Pr2 0 0 a4 b4 c34 b3 a3
3.4. Consideraciones del diseño
Es necesario establecer varias consideraciones del diseño del mecanismo para facilitar su análisis y evitar configuraciones singulares. Estas consideraciones se numeran a continuación:
Todos los eslabones, la base y la plataforma móvil se consideran cuerpos rígidos.
Las articulaciones actuadas corresponden a las articulaciones R11; R21; R31; que unen a la base 0 con los eslabones a1; a2; a3; ver figura 3-6.
El origen del sistema de coordenadas está ubicado en la intersección de los ejes de las articulaciones actuadas, como se muestra en la figura 3-6.
Los eslabones ai y bi deben tener la misma longitud,
1 2 3 4 1 2 3 4
a a a a b b b b (3-1)
La longitud de las barras c12 y c34, figura 3-6, es la misma y debe ser menor a la suma de los eslabones a y b de cada brazo,
12 34 12 1 1 34 3 3 ; ; c c c a b c a b (3-2)
Figura 3-6. Sistema de coordenadas asociado al mecanismo paralelo traslacional. x z y O R31 R11 R21 a1 a3 a2 a4 b1 b4 b 2 b3 c12 c34
Capítulo 4. Cinemática del Mecanismo
4.1. Introducción
En este capítulo se resuelve la cinemática inversa y directa mediante un análisis geométrico. La simetría del mecanismo simplifica su análisis. Como se presentó en el capítulo anterior los dos mecanismos 5 barras que conforman el mecanismo paralelo traslacional están acoplados sólo cuando generan movimiento en z. No existen rotaciones en este mecanismo, la ortogonalidad entre las barras que componen las articulaciones prismáticas, restringe estas rotaciones.
Se resuelve la cinemática inversa y directa a partir de un análisis geométrico del mecanismo. Los códigos escritos para el cálculo de la cinemática inversa y directa en MATLAB se presentan en el Apéndice A.
El espacio de trabajo teórico es determinado por inspección y es resultado de la intersección del espacio de trabajo de dos mecanismos 5 barras (Liu et al., 2006b) considerando las longitudes de las barras que forman las articulaciones prismáticas.
4.2. Análisis Cinemático
4.2.1. Geometría del mecanismo
En la figura 4-1 se definen los ángulos asociados a cada uno de los eslabones que conforman el mecanismo paralelo traslacional: θi, i; sus longitudes: ai, bi, di, hi; y la posición de la plataforma móvil, P. Se consideran θ1, θ2 y θ3 como las coordenadas
articulares y a P como las coordenadas cartesianas (x,y,z) de la plataforma móvil en el espacio. Debido a que sólo tres de las cuatro articulaciones son actuadas, basta analizar la geometría de tres brazos.
Cada brazo desarrolla 2 GDL, los puntos P1, P2 y P3 indican la posición que se desea conocer de cada brazo. P1 y P3 ubican a la plataforma móvil en las coordenadas (x,z); y P2 ubica a la plataforma móvil en (y,z).
La ecuación vectorial para cualquier brazo está dada por la ecuación (4-1):
i i i i i i
OA A B B P OP (4-1)
Reescribiendo la ecuación (4-1) para cada brazo, se obtienen las ecuaciones (4-2), (4-3) y (4-4): 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) x y z p a b p d p a b (4-2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) x y z p a b p d p a b (4-3) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) x y z p d p a b p a b (4-4)
En la figura 4-2 se muestra una vista del plano x-z del la estructura geométrica del mecanismo paralelo planar, en donde se aprecia el mecanismo de 5 barras formado por los brazos 1 y 2. Se observa que los puntos A2 y A1 coinciden con el origen O, de la misma forma que los puntos P1 y P2 tienen la misma ubicación. Con esto, es posible definir las
ecuaciones (4-5) que relacionan las coordenadas cartesianas de los puntos P1, P2 y P3 con las de la plataforma móvil P:
1 2 3 1 1 2 1 3 1 2 x x x y y z z z z p p p p p p p h p h p h h (4-5)
Figura 4-1. Estructura geométrica del mecanismo paralelo traslacional
Figura 4-2. Vista del plano x-z del mecanismo paralelo traslacional A3 B2 B1 z x θ1 θ2 2 1 P1(x,z) a1 b1 a2 b2 A1 O A2 y d1 d2 a3 b3 θ3 3 d3 B3 h2 h1 P2(x,z) P3(y,z) P(x,y,z) B2 B1 x θ1 θ2 2 1 P1(x,z) a1 b1 a2 b2 A1 O A2 h1 P2(x,z) P(x,y,z)
4.2.2. Cinemática inversa
La cinemática inversa define la relación entre las coordenadas cartesianas conocidas, px, py y pz de la plataforma móvil y las coordenadas articulares deseadas de cada actuador, θ1, θ2 y θ3.
En la ecuación (4-2) se observa que la posición p1y no depende de la posición articular del
actuador θ1, por lo que no se considera en el desarrollo de la cinemática inversa para el brazo 1.
Reacomodando y sumando los cuadrados de los elementos que tienen influencia en el posicionamiento de la plataforma móvil en la ecuación (4-2) tenemos:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(pxa cos( )) (pza sin( )) ( cos( ))b ( sin( ))b
Usando la identidad trigonométrica
2 2
cos xsin x1
y desarrollando los cuadrados,
2 2 2 2 1x 1z 2 1 1xcos( ) 21 1 1zsin( )1 1 1 0 p p a p a p a b (4-6) Haciendo 11 1 1 12 1 1 2 2 2 2 13 1 1 1 1 2 2 x z x z k a p k a p k p p a b
y sustituyendo las identidades trigonométricas 1 1 2 1 2 tan 2 sin 1 tan 2 2 1 1 2 1 1 tan 2 cos 1 tan 2 obtenemos 2 1 1 13 11 12 11 13 ( ) tan tan 0 2 2 k k k k k
Resolviendo la ecuación cuadrática:
2 2 2 12 12 13 11 1 1 13 11 2 tan k k k k k k (4-7)
Las coordenadas articulares para los brazos 2 y 3 se resuelven de la misma forma, teniendo en cuenta que para el brazo 3, la coordenada articular θ3 no tienen influencia en la posición de la plataforma móvil p3x.
Realizando el procedimiento anterior a las ecuaciones (4-3) y (4-4), se obtiene:
2 2 2 22 22 23 21 1 2 23 21 2 tan k k k k k k (4-8) 2 2 2 32 32 33 31 1 3 33 31 2 tan k k k k k k (4-9)
donde 21 2 2 22 2 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2 2 x z x z k a p k a p k p p a b y 31 3 3 32 3 3 2 2 2 2 33 3 3 3 3 2 2 y z y z k a p k a p k p p a b
Es importante tener en cuenta las ecuaciones (4-5) para realizar el cálculo con respecto a las coordenadas cartesianas del punto P de la plataforma móvil.
4.2.3. Ejemplo numérico del cálculo de la cinemática inversa
Se desea que la plataforma móvil del mecanismo se ubique en el origen del marco de referencia, como se muestra en la figura 4-3. Los parámetros con los que se realizó este cálculo se muestran en la tabla 4-1, siendo (0,0,0) las coordenadas deseadas (x,y,z). El programa para el cálculo de la cinemática inversa se presenta en el Apéndice A.
Cuando el programa es ejecutado, se obtienen dos valores para cada coordenada articular (11,12,21, 22,31,32). Estos valores corresponden a las dos poses que pueden tomar los brazos que conforman el mecanismo, tabla 4-2.
Figura 4-3. Plataforma movil en el origen.
Tabla 4-1. Parámetros para el cálculo de las coordenadas articulares correspondientes a la posición inicial de la plataforma movil.
Longitud de eslabones a1,b1,a2,b2,a3,b3 (mm).
Desfasamiento entre barras h2 (mm).
Desfasamiento entre barra y plataforma móvil h1 (mm).
300 40 40
Coordenadas cartesianas deseadas
x (mm) y (mm) z (mm)
0 0 0
Tabla 4-2. Ángulos obtenidos para las 2 posibles poses del mecanismo.
1° 2° 3° Pose 1 -3.8226 -3.8226 -7.6623 Pose 2 -176.1774 -176.1774 -172.3377 x y z O
4.2.4. Cinemática directa
La cinemática directa define la relación entre las coordenadas articulares conocidas, θ1, θ2 y θ3, de los actuadores y las coordenadas cartesianas deseadas en la plataforma móvil, px, py y pz.
La figura 4-4 muestra el esquema geométrico para el cálculo de la cinemática directa del mecanismo 5 barras, formado por los brazos 1 y 2. Para este análisis se consideran eslabones de la misma longitud, como se define en la ecuación (3-1).
Por ley de cosenos,
2 2 2
|1 1 1 2 1 1cos 1
c a b a b
Debido a la simetría entre los brazos del mecanismo,
1 2 1 1 1 2 180 ( ) 180 2 2
Figura 4-4. Esquema geométrico el mecanismo 5 barras θ1 P1(x,z) z x a1 b1 O θ2 φ 1 c1
Descomponiendo h1 en sus coordenadas x y z, 1 2 1 1 1 2 1 1 180 cos 2 180 sin 2 x z p c p c (4-10) donde 2 2 |1 1 1 2 1 1cos 1 c a b a b (4-11)
Retomando la ecuación (4-4), y reescribiendo en la forma de la ecuación (4-6),
2 2 2 2
3y 3z 2 3 3ycos( ) 23 3 3zsin( )3 3 3 0
p p a p a p a b (4-12)
De las ecuaciones (4-5), observamos que p3z queda determinada por
3z 1z 2
p p h (4-13)
Sustituyendo la ecuación (4-13) en la ecuación (4-12) se obtiene,
2 2 2 2
3y 3y( 2 3cos( )) (3 1z 2) 2 (3 1z 2)sin( )3 3 3 0
p p a p h a p h a b
resolviendo la ecuación cuadrática,
2 2 2 1 3 3 1 4 2 y m m m m p m (4-14) donde 1 2 3 3 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 cos( ) ( z ) 2 ( z ) sin( ) m m a m p h a p h a b
Por lo tanto las ecuaciones (4-5), (4-10), (4-11) y (4-14) definen la cinemática directa del mecanismo paralelo traslacional.
4.2.5. Ejemplo numérico del cálculo de la cinemática directa
En este ejemplo se desea conocer la ubicación de la plataforma móvil (x,y,z) cuando los ángulos de entrada 1, 2, 3, se establecen en valores conocidos, en este caso, a 45° cada coordenada articular, figura 4-5.
Los parámetros con los que se realizó este cálculo se muestran en la tabla 4-3, siendo (45,45,45) los datos de entrada para la función que calcula la cinemática directa, ver Apéndice A.
Cuando el programa es ejecutado, se obtienen una coordenada x, una coordenada z y dos coordenadas y1 y2, que corresponden a las dos posibles poses que puede tomar el brazo 3 del mecanismo. Los valores resultantes a este ejemplo se muestran en la tabla 4-4.
Tabla 4-3. Parámetros para el cálculo la posición de la plataforma movil a determinados ángulos conocidos.
Longitud de eslabones a1,b1,a2,b2,a3,b3 (mm).
Desfasamiento entre barras h2 (mm).
Desfasamiento entre barra y plataforma móvil h1 (mm).
300 40 40
Coordenadas cartesianas deseadas
1 2 3
45° 45° 45°
Tabla 4-4. Resultados de la posición de la plataforma movil con 2 posbles poses. x (mm) y (mm) z (mm)
Pose 1 0 333.1111 464.2641
Figura 4-5. Posición del mecanismo con coordenadas articulares a 45°
4.3. Espacio de trabajo teórico
A partir del estudio realizado por (Liu et al., 2006b), y siguiendo las consideraciones definidas por la ecuación (3-2), es posible determinar la geometría del espacio de trabajo teórico del mecanismo.
La figura 2-3b muestra el espacio de trabajo de un mecanismo de 5 barras con configuracion óptima, se observa que este espacio de trabajo corresponde a un anillo de un radio interno lo suficientemente pequeño para evitar singularidades en el origen y un radio externo de radio menor a la suma de los eslabones que conforman cada brazo del mecanismo.
Debido a que el mecanismo propuesto está formado por dos mecanismos 5 barras, acoplados por dos articulaciones prismáticas, el espacio de trabajo está dado por la intersección de dos cilindros del mismo radio desfasados por la distancia h2 que corresponde al desfasamiento de las barras que forman las articulaciones prismáticas.
x y z
Cada cilindro debe ser de radio menor a la suma de los eslabones ai, bi y su longitud está determinada por la longitud de las barras c12 y c34 respectivamente, figura 4-6, donde c12 y c34 cumplen con la ecuación (3-2), con el fin de evitar el mayor número de singularidades, como se estudia en el siguiente capítulo.
El espacio de trabajo teórico resultante de la intersección de estos dos cilindros se muestra en la figura 4-7. El volumen de este espacio de trabajo está limitado por las longitudes de las barras c12, c34 y por los radios l1, l3 donde l1 < a1 + b1 y l3 < a3 + b3. Los cilindros que se intersectan en el centro, corresponden a la configuración singular en el origen para los dos mecanismos de 5 barras.
Se puede observar como la geometría del espacio de trabajo que presenta este mecanismo es muy cercana a un rectangulo, por lo que el volumen del espacio de trabajo, en teoría, es mucho mayor que en otros mecanismos paralelos traslacionales, en donde la geometría del espacio de trabajo es aproximada a un semicirculo, figura 4-8. Sin embargo, el espacio de trabajo real del mecanismo propuesto, se reduce al considerar las configuraciones singulares del mecanismo.
Figura 4-6. Cilindros correspondientes al espacio de trabajo de dos mecanismos 5 barras.
c12
c34
x y z
Figura 4-7. Espacio de trabajo teórico del mecanismo paralelo traslacional propuesto.
a) b)
Figura 4-8. Espacio de trabajo de un manipulador paralelo traslacional tipo Maryland a) vista lateral, b) vista superior.
c12 c34 x y z l1 l3
Capítulo 5. Jacobiano y Singularidades
5.1. Introducción
Las configuraciones singulares ocasionan comportamientos no deseados en los mecanismos por lo que es importante determinar cuándo se presentan con el fin de evitar que el mecanismo alcance estas posiciones.
El cálculo de las singularidades se realiza mediante el análisis del Jacobiano del mecanismo. El Jacobiano relaciona las velocidades de las variables articulares 1, 2, 2, con la velocidad de la plataforma móvil Vp = [Vx,Vy,Vz]. Esta relación se define según (Gosselin & Angeles, 1990) para robots paralelos, mediante la ecuación (2-5).
A partir de las matrices obtenidas se determinan las posiciones singulares, considerando que una singularidad ocurre cuando estas matrices son singulares, esto es, el determinante de cada matriz es igual a cero.
5.2. Cálculo del Jacobiano
Al derivar las ecuaciones las ecuaciones (4-2), (4-3) y (4-4) se obtiene una ecuación de la forma,
1i i 2i i
p
V = ω × A + ω × B (5-1)
Realizando el producto punto de la ecuación (5-1) por Bi,
1
i p i i i
Para el i-esimo brazo del mecanismo, donde x y z V V V p V para el brazo 1, 1 1 1 1 cos 0 sin a a 1 A 1 1 1 1 cos 0 sin b b 1 B 1 0 0 11 ω = para el brazo 2, 2 2 2 2 cos 0 sin a a 2 A 2 2 2 2 cos 0 sin b b 2 B 2 0 0 12 ω = y para el brazo 3, 3 3 3 3 3 0 cos sin a a A 3 3 3 3 3 0 cos sin a a B 3 0 0 13 ω =
Reescribiendo la ecuación (5-2) para cada brazo,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( cosb )(Vx) ( sin b )( )Vz (a sin)( cosb ) ( a cos )( sin b ) ()
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(b cos )(Vx) ( b sin )( )Vz (a cos )(b sin ) ( a sin )(b cos ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
(b cos )(Vy) ( sin b )( )Vz (a cos )( sinb ) ( a sin )(b cos ) ( )
Reacomodando las ecuaciones anteriores se obtiene un arreglo en la forma de la ecuación (2-6).
donde 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 cos 0 sin cos 0 sin 0 cos sin b b b b b b x J 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
( cos )( sin ) ( sin )( cos ) 0 0
0 ( cos )( sin ) ( sin )( cos ) 0
0 0 ( cos )( sin ) ( sin )( cos )
a b a b a b a b a b a b θ J x y z V V V p V y 1 2 3 θ =
5.3. Determinación de singularidades
A partir de las matrices obtenidas Jx y J, es posible determinar las configuraciones singulares del mecanismo según la clasificación hecha por (Gosselin & Angeles, 1990) para singularidades en robots paralelos.
5.3.1. Singularidades de la cinemática directa
Cuando la matriz Jx es singular, ocurren configuraciones llamadas singularidades de la cinemática directa. Una matriz es singular cuando su determinante es cero.
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 cos 0 sin cos 0 sin 0 0 cos sin b b b b b b Resolviendo el determinante 1 1 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3
( cosb )(b cos )(b sin ) ( sinb )( b cos )(b cos ) 0
reacomodando términos,
1 2 3cos 3(sin 1cos 2 cos 1sin 2) 0
b b b
sustituyendo la identidad
sin(xy)sin cosx ycos sinx y
tenemos,
1 2 3cos 3sin( 1 2) 0
b b b
Por lo tanto las singularidades de la cinemática directa se presentan cuando
3 90 o 270 ,
1 2 0 o 180°
Cuando el eslabón b3 está perpendicular a la base 3 90 o 270, como se muestra en la
figura 5-1, si el ángulo de rotación de entrada 3 se incrementa, el eslabón b3 puede posicionarse a la derecha o a la izquierda de la perpendicular que forma con la base, es por esto que no está determinada la siguiente posición del mecanismo para cuando 3 = 90°.
Figura 5-1. Singularidad de la cinemática directa.
Por otro lado, debido a la simetría del mecanismo cuando 1 2 0 o 180°, esto indica una
alineación de los eslabones ya que 1 y 2, son ángulos complementarios en un mecanismo de 5 barras con eslabones idénticos, ver figura 5-2.
5.3.2. Singularidades de la cinemática inversa
Cuando el determinante de la matriz J es cero, ocurren singularidades de la cinemática
inversa.
det(Jθ)0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
( cos )( sin ) ( sin )( cos ) 0 0
0 ( cos )( sin ) ( sin )( cos ) 0 0
0 0 ( cos )( sin ) ( sin )( cos )
a b a b a b a b a b a b a3 3 b3 3
