Tema II (Capítulos: 1,2,3 Física, Tipler/Mosca ;1.6,2, 3 y 9 Física, Bauer /Westfall; 2 Laboratorio de Física, Hidalgo et al.)
El primer paso para comprender el Universo fue aprender a describir el movimiento, el
cual se produce en el tiempo y en el espacio.
Hasta los comienzos del siglo XX, se concebían el tiempo y el espacio como algo independiente de la materia y del observador, como algo absoluto, inmutable y preexistente a toda la materia. Tanto el espacio como el tiempo, ambos en conjunto, se entendían como un inmenso contenedor de todo lo existente, como un gran escenario inmutable en el que se desplazan los móviles, se transfieren las formas de la energía y donde imperan, de forma absoluta, las leyes invariantes de la Física.
Hoy entendemos que el tiempo y el espacio no son independientes de la materia. El tiempo va indisolublemente unido a los estados materiales, y puede medirse
mediante una estructura métrica.
Si el universo fuera estático podría fijarse un sistema referencial de coordenadas y medir respecto a él la posición absoluta e inmutable de cualquiera de los objetos. Pero el que el universo sea algo dinámico, en movimiento evolutivo continuo, hace que la realización de dos o más medidas espaciales (x, y, z) de un mismo punto nos muestren valores diferentes. Es preciso describir esta variabilidad de los estados de los puntos del espacio como dependientes de un parámetro t que denominamos tiempo físico y que varía en el
campo continuo infinito de los números reales.
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Esto nos indica que para cada valor de la variable t existe una medida, un estado, o una estructura y nos permite ordenar los estados con respecto a los valores del tiempo físico t.
Tema II (Cinemática)
Modelo clásico de espacio y tiempo. Marcos de referencia.
Vectores.
Movimiento en una dimensión:
Vectores desplazamiento, velocidad y aceleración.
Movimiento con aceleración constante. Ecuaciones
cinemáticas.
Movimiento en dos dimensiones:
Movimiento de proyectiles. Movimiento circular.
Interpretación de gráficos de posición y velocidad en función
del tiempo.
Movimiento relativo.
Principio de relatividad de Galileo: Sistemas inerciales.
Sistemas no inerciales.
El análisis relativista del tiempo, realizado desde los trabajos teóricos de Alberto Einstein, ha obligado a rechazar la idea de tiempo absoluto y a considerar, como un todo, el espacio-tiempo. Con su introducción como variable física respecto de la cual se ordenan los estados
físicos, se desprende que solamente tiene sentido hablar de tiempo respecto a un
sistema físico que atraviesa diferentes estados y, a través de él, respecto de un sistema de coordenadas que define los estados físicos del sistema. Cambiando de sistema de coordenadas se cambia, por tanto, de ordenación con respecto a t.
Esto es lo que se da en llamar relatividad del tiempo. Esto nos conduce de forma natural al
resultado de que la estructura métrica del tiempo es relativa a un sistema físico determinado, en un sistema de coordenadas arbitrario.
El espacio
(clásico)
Para ubicar cualquier objeto necesitamos un
marco de referencia
.
Asumimos que: el espacio tiene
existencia
independientemente
de los objetos;
tiene tres dimensiones;
en él se aplica
la geometría euclidiana
.
El
sistema de coordenadas cartesiano
es un
modelo que divide el espacio en un retículo
tridimensional sin límites.
Es uniforme
y los objetos no lo alteran.
Un segundo marco de referencia que se
mueva con velocidad constante (
sistema
inercial
) con respecto al primero es
igualmente válido
para describir el
movimiento.
El tiempo
(clásico)
La materia, en su movimiento, manifiesta ciclos. La magnitud que esta propiedad genera
se le llama tiempo. Los cambios que observamos en la naturaleza se desarrollan en el
tiempo, el cual permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado, un
presente y un futuro, y da lugar al Principio de causalidad (el efecto nunca precede a la
causa), uno de los axiomas del método científico.
Es el tiempo absoluto del transcurrir uniforme de la mecánica clásica de Galileo y
Newton, el llamado tiempo absoluto newtoniano.
La actual forma de
medir el tiempo
(patrón) se basa en la elección de un fenómeno que
se puede repetir idéntica e indefinidamente en la naturaleza.
Unidad: segundo (s)
Definición: el segundo unidad de tiempo del Sistema Internacional de unidades, SI, es la
duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación asociada a la transición hiperfina del
estado fundamental del átomo de Cesio 133.
Reproducción: el patrón nacional de tiempo reproduce el segundo del SI usando técnicas
de espectroscopía de radio frecuencia de súper alta resolución de haces atómicos de
Cesio 133.
Vectores
Escalares magnitud numérica y unidades (presión y temperatura del aula)Vectores módulo y unidades, dirección, sentido ( símbolo ) (desplazamiento de un móvil, empuje sobre un objeto sumergido en agua)
Vector de posición.
El sistema de referencia. Coordenadas cartesianas y polares para situar un punto en el plano.
Punto P=(x, y) en coordenadas cartesianas ó P
=(r,
θ
) en coor. polares
r =
r cos
θ
i
+r sen
θ
j=
x
i
+ y
j
es el vector de posición de
P;
x= r cos
θ
y= r sen
θ
; paso de polares a cartesianas
r
2= x
2+ y
2; tg
θ
=y/x; paso de cartesianas a polares
Componentes de un vector.
Vector
unitario
. Ejemplo.(79o=1.38 rad)
r
θ
(x, y)
2.5;
Vector desplazamiento
(cambio de posición de un objeto).Un móvil recorre una trayectoria mientras transcurre el tiempo.
(marco de ref. fijo: la Tierra)
Examples: 1A particle moves from x1 =30 cm to x2 = -40 cm. The displacement of this particles is A) 30 cm B) 40 cm C) 70 cm D) -70 cm E) -40 cm
2 Four successive displacements of 3 km, 4 km, 5 km, and 4 km are at right angles to each other as shown in the diagram. The magnitude of the resultant displacement is A) 2 km B) 16 km C) 3 km D) 5 km E) None of these is correct
3 El desplazamiento de un coche que hace un viaje de ida y vuelta entre dos ciudades
A) is always greater than zero. B) is always less than zero. C) is zero.
D) can be greater than or less than but not equal to zero. E) can have any value.
Vector desplazamiento: origen en el punto de
partida, extremo en el punto de llegada
∆
x =x
B-x
ALongitud de la trayectoria: trayecto recorrido (línea de puntos) A B
i
x
x
x
x
x
=
2−
1=
(
2−
1)
∆
→ → →Un deportista da tres vueltas completas a la pista, el vector desplazamiento es CERO
XA
XB
Movimiento en 1 dimensión
Velocidad media
durante el intervalo
∆
t
4 A particle moves from x0 = 30 cm to x = –40 cm in 5 s. The average velocity of the particle
during this time interval is A) 2 cm/s B) –2 cm/s C) 14 cm/s D) –14 cm/s E) –140 cm/s
Celeridad (rapidez) media (no es un vector)
longitud de la trayectoria / intervalo de tiempo
(siempre +)
5 En el ejemplo 2, ¿cuál es la longitud de la trayectoria, después de los 4 desplazamientos? 16 km ¿Cuál es la velocidad media, si en total se emplearon 4 horas? -2j km / 4h = -0.5 km/h j
¿Cuál es la celeridad media? 16 km / 4 h = 4 km/h
Gráficos:
x(t)
1
2
t
t
x
x
v
t
x
v
i
f
m
m
−
−
=
⇒
∆
∆
=
→
→
→
→
t
v
x
=
m
∆
∆
→
→
x
6 El gráfico muestra cómo depende la posición de una partícula con el tiempo ¿cuál es la velocidad media al cabo de 8 s?
Velocidad instantánea
en
t
0, siendo
∆
t= t
−
t
0y t
t
0pendiente
de
la
tg
Δt
x
Δ
lim
v
0 Δt=
=
→ → →7 En el ejemplo 6, ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 3 s?
Aceleración media
Aceleración instantánea
Movimiento con aceleración constante.
Ecuaciones cinemáticas.
Integración
→
→
→
→
→
v
x
a
t
t
x
t
t
x
dt
dx
v
t∆
−
∆
+
=
=
→ → → ∆ → →(
)
(
)
lim
0d
x
v
dt
→
→
=
1 2t
t
v
v
módulo
t
v
a
i f m−
−
=
⇒
∆
∆
=
→ → → →t
a
v
=
m
∆
∆
→
→
t
t
v
t
t
v
dt
dv
a
t∆
−
∆
+
=
=
→ → → ∆ → →(
)
(
)
lim
0dt
a
v
d
→
→
=
2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
;
0 0 0 0 0t
a
t
v
x
t
x
t
t
a
t
t
v
t
x
t
x
dt
t
a
v
dt
v
x
d
t
a
v
dt
x
d
v
x
t
x
y
v
t
v
t
iniciales
s
condicione
Dos
definida
integral
t
t
a
t
v
t
v
dt
a
v
d
indefinida
integral
cte
t
a
t
v
dt
a
v
d
cte
a
dt
v
d
a
t t t t x x t t v v
+
+
=
−
+
−
=
−
→
+
=
=
+
=
=
=
=
=
−
=
−
→
=
+
=
→
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
→ 0 2 1 0 0 2 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0( )
( )
[
( )]
( )
( )
2 [ ( )
]
t tv t
v
at
x t
x
v t
at
v
v
v t
x t
x
v
t
v t
v
a x t
x
→ →= +
=
+
+
=
+
=
+
−
=
−
Interpretación de gráficos:
x(t), v(t). Ejemplos
Hoja 2, nº10.
La posición como función del tiempo. Obtén
v
y a
a=0
v=cte
Hoja 2,nº9: ¿cuál es la velocidad media en los cuatro intervalos? ( 0, 1/3, −2, 1 ) m/s ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 10 s?
8 The graph shows the velocity of a particle as a function of time. In the 12 s shown, the particle travels
A) 0 m B) 1200 m C) 640 m D) 440 m E) 200 m
9¿Qué función se está representando en el eje y de (b)? 10 On a graph that shows velocity on the vertical axis and time on the horizontal axis, the area under the curve represents
A) average acceleration. D) average speed (rapidez). B) average velocity. E) no useful physical quantity. C) displacement.
¿Qué gráfico describe un mov. con v + y a − ? ¿Qué representa el área?
∆
x
v
fv
m=(v
i +v
f)/2
v
i11 The relationship between the velocity of a body moving along the x axis and time is given by v = 3t2 –
2t, where the units are SI units. The total distance the body travels between the times t = 2 s and t = 4 s is
A) 12 m B) 60 m C) 48 m D) 34 m E) 44 m
12 The change in velocity for some time interval can be interpreted as A) the area under the v-versus-t curve for that interval. B) the area under the x-versus-t curve for that interval. C) the area under the a-versus-t curve for that interval. D) the slope of the a-versus-t curve.
E) None of these is correct.
Caída libre
(mov. en 1 dimensión)
(cuando sólo actúa
g=cte
)
Caso particular de MRUA
(ec. vectoriales)
h
=
h
0
+
v
o
·t + ½·
g
·t²
v
=
v
0
+
g
t
Si dejamos caer una manzana, el 1er segundo ha caído g/2 m, el 2
O, 4
veces g/2m, el 3
o, 9 veces g/2m ….. Se verifica que
Lugar Gravedad (m/s2) Mercurio 2,8 Venus 8,9 Tierra 9,8 Marte 3,7 Júpiter 22,9 Saturno 9,1 Urano 7,8 Neptuno 11,0 Luna 1,6
Ejemplo
Se lanza un birrete hacia arriba con 14.7 m/s ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar el punto más alto? ¿ cuál es la altura máxima alcanzada? ¿Cuánto tiempo está en el aire, si se recoge en el mismo punto?
Ejemplo
Desde un globo que está a 300 m sobre el suelo y se eleva a 13 m/s, se deja caer una bolsa de lastre. Encuentra, para la bolsa, la altura máxima que alcanza, su posición y velocidad 5 s después de haberse desprendido y el tiempo que transcurre antes de que choque contra el suelo.Movimiento en 2 dimensiones
Vectores “cinemáticos” en componentes cartesianas:
vector de posición
r = r
x
i +r
y
j,
Vector desplazamiento
∆
r = (r
2x
−
r
1x
)i+
(r
2y
−
r
1y
)i
=
∆
r
x
i +
∆
r
y
j,
velocidad
v = dr/dt = v
x
i +v
y
j,
aceleración
a= dv/dt = a
x
i +a
y
j
ejemplo
(nº 3 de hoja prob. (profundizar)
Un pez se encuentra nadando en un plano horizontal con una velocidad vi = 4 i + 1 j m/s, en un punto
del océano donde el desplazamiento respecto de una determinada roca es r =10 i – 4 j. Después de nadar con una aceleración constante durante 20 s, el vector velocidad del pez es vf = 20 i – 5 j m/s.
¿Cuáles son las componentes de la aceleración? ¿Cuál es la dirección de la aceleración con respecto del vector unitario i? Si el pez mantiene una aceleración constante, ¿dónde se encontrará en t = 25 s y en qué dirección se estará moviendo? (Pon el origen de coordenadas en la roca, haz un esquema y recuerda las ecuaciones vectoriales del movimiento uniformemente acelerado).
Interpretación de gráficos: y(x)
dt
v
r
d
→
→
=
1
2
1
2
t
t
t
r
r
r
t
v
r
m
−
=
∆
−
=
∆
∆
=
∆
→
→
→
→
→
Movimiento de proyectiles
Condiciones iniciales:
r
0=(x
0y
0), v
0=(v
0x, v
0y)
¿Dado
v
0, qué orientación
θ
produce alcance máximo? (
θ
= 45º)
Si el mono se deja caer cuando se dispara el dardo, éste siempre lo alcanza, con tal de que v0 sea suficientemente grande
El mov. horizontal uniforme y el mov. vertical uniformemen-te acelerado actúan simultánea e independientemente.
¿Cómo resuelves? En un salto, una esquiadora abandona la nieve
a 11 m/s a 23º por debajo de la horizontal y aterriza más adelante
sobre la pendiente de 55º. ¿Dónde, cuándo y a qué velocidad
aterriza?
Movimiento relativo.
Velocidad relativa
El desplazamiento de una persona (p) respecto de
tierra
(marco g)
r
p
g
es la suma del
desplazamiento de la persona respecto del
vagón
(marco c)
r
p
c
más el desplazamiento
del vagón respecto del terreno
r
cg
:
c
y
g
son
marcos inerciales
si
v
cg= cte
r
p
g
= r
p
c
+ r
cg
Rumbo
dirección en la que apunta una nave en el medio en que se mueve ( aire,
¡Tomad nota!
O’ O V1 V2r
pcr
cgUn río tiene 0.76 km de anchura.
Las orillas S son rectas y
para-lelas. La corriente tiene una
velocidad de 3 km/h y es paralela a
los muelles. Un barco B tiene una
velocidad de 5 km/h en aguas
tranquilas. El piloto del barco
quiere atravesar el río en línea
recta perpendicular a las orillas.
¿Cuál debe ser el rumbo del barco,
es decir, en qué dirección debe
apuntar la proa del barco?¿Cuánto
tarda en atravesar el río?
Movimiento circular uniforme
x = R cos
θ
y = R sen
θ
w
= d
θ
/dt
=cte
=
∆θ
/
∆
t
u
r= [cos
θ
) i + sen(
θ
) j]
dr / dt =
u
t= [-sen(
θ
) i + cos(
θ
) j]
y
módulo módulo
notemos que
du
r/ dt = wu
ty
du
t/ dt =
−
wu
rr
: es el vector de posición y
v
la velocidad de la partícula.
R
: es el radio de giro.
w
: es la velocidad angular, que es constante en este caso.
t
: es el tiempo.
dv / dt =
¡Tomad nota!
u
tu
rj
i
r = x i + y j
r = R[cos(
θ
) i + sen(
θ
) j] = R u
rv =
R w [-sen(
θ
) i + cos(
θ
) j] = v u
tv= Rw
θ
=
θ
0+ wt
a
C= R w
2a =
R w
2[- cos(
θ
) i - sen(
θ
) j] = a
C(-u
r)
Movimiento circular uniformemente acelerado
w
= d
θ
/dt
≠ cte
θ
≠ w t ;
α
= dw/ dt
= cte
(≠0)
=
∆
w/
∆
t
w = w
0+
α
∆
t;
θ
=
θ
0+ w
0∆
t +1/2
α
∆
t
2α
, w,
θ
pueden ser positivos o negativos.
(
ejemplo 7, hoja 2
)
Ejemplo: El volante de una máquina de vapor comienza a girar a partir del reposo con aceleración angular constante de 1.43 s-2 durante 25.9 s y luego continúa girando a velocidad angular constante.
Después de estar girando durante 59.5 s, ¿cuál es el ángulo total que ha girado? Sol. ≈ 1720 rad.
