Ejercicio 1
Una compañía aseguradora trabaja con una tabla de mortalidad de la que se sabe que: 50 100 , 0, 1, 2, , 99 t d = + t t= L 99 99 d =l
1) Determinar el tamaño del grupo inicial al que está referida dicha tabla de mortalidad.
2) Determinar en forma genérica el número de personas de dicho grupo inicial que llegan con vida exactamente a los x años de edad.
3) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida exactamente a los 50 años de edad.
4) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que fallece antes de cumplir los 50 años de edad.
5) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 35 años de edad, cual es la proporción que llega con vida exactamente a los 45 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 50 años de edad.
Ejercicio 2
Con los datos del ejercicio 1, y considerando una tasa de interés efectiva anual del 35%. Se pide plantear cual es el valor a pagar hoy (momento de firmar el contrato) por una persona de exactamente 40 años de edad (cumplidos el día de hoy) para cobrar:
1) $ 1.000 si llega con vida a los 50 años.
2) $ 100 por año si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene exactamente 41 años).
3) $ 100 por año hasta que la persona cumpla 50 años (inclusive), si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene exactamente 41 años).
4) $ 100 por año desde que la persona cumple 46 años hasta que la persona cumple 55 años (inclusive), si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se hace cuando la persona tiene exactamente 46 años).
Ejercicio 3
Una persona de exactamente 60 años de edad contrata un seguro de muerte por 5 años, por el cual se le pagará a sus beneficiarios $ 1.000 en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento.
Utilizando los datos del ejercicio 1, y una tasa efectiva anual de 35%, se pide: 1) Calcular el costo puro de dicho seguro de muerte.
2) Dicha persona decide pagar tal costo puro mediante primas puras anuales iguales durante la vigencia del seguro. Calcular el importe de la prima pura anual.
Ejercicio 4
¿En qué hubieran cambiado los resultados de los ejercicios 1 a 3, si en lugar de hablar de personas, hubiéramos hablado de una máquina que tiene la particular característica de que una vez que queda fuera de funcionamiento no se puede arreglar para que vuelva a funcionar?
Ejercicio 5
Se extraen los siguientes datos de las tablas de mortalidad de la población uruguaya por sexo (INE 2004):
x x l Hombres x l Mujeres 40 94623 96759 41 94424 96641 42 94200 96509 43 93962 96362 44 93704 93193 45 93413 95998 46 93076 95780 47 92699 95549 48 92303 95313 49 91887 95068 50 91432 94795
Parte 1
Calcule, en base a los datos suministrados:
1) Determinar, de los hombres integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida exactamente a los 50 años de edad.
2) Determinar, de las mujeres integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida exactamente a los 45 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 50 años de edad.
Parte 2
Una compañía aseguradora trabaja con las tablas de mortalidad uruguaya por sexo (1984 – 1986) y utiliza para sus cálculos una tasa efectiva anual en dólares de 2%. Calcule:
1) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de exactamente 40 años, cobrará U$S 10.000 dentro de 10 años si está vivo al momento de hacer el cobro.
2) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de exactamente 40 años de edad, cobrará U$S 1.000 por año hasta que cumpla 45 años (inclusive) si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si corresponde, se da cuando cumpla 41 años).
3) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de exactamente 40 años de edad, cobrará U$S 1.000 por año desde que cumpla 46 años y hasta que cumpla 50 años (inclusive), si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros. El primer cobro, si corresponde, se da cuando cumpla 46 años.
Parte 3
Un hombre de exactamente 40 años de edad contrata un seguro de muerte por 5 años por el cual se le pagará a sus beneficiarios U$S 100.000 en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento.
Sabiendo que la empresa aseguradora utiliza para sus cálculos una tasa efectiva anual del 2% y las funciones l y x d derivan de las tablas de mortalidad de la población x uruguaya por sexo (INE 2004):
1) Calcule el costo puro de dicho seguro de muerte.
2) Dicha persona decide pagar tal costo puro mediante primas puras anuales iguales durante la vigencia del seguro. Calcule el importe de dichas primas puras anuales.
Ejercicio 6 Parte 1
La empresa “Dolly Ltda.” fabrica computadoras que al romperse no pueden ser reparadas. Dicha empresa ha estudiado la evolución de 1000 de sus computadoras, llegando a la conclusión de que su duración puede representarse mediante la siguiente función de supervivencia:
2
40
400
1.000
x
l
=
x
−
x
+
para x (en años) 0, 1, 2, 3, 4, 5= Se pide:1) Determine los valores de la función l , para cada uno de los posibles valores de x
x.
2) Calcular la proporción de equipos que han funcionado durante un año y son del grupo inicial, que se rompen en el segundo o en el tercero año.
Parte 2
1) La empresa ha decidido ofrecer para los equipos nuevos que venda, un seguro con las siguientes características: en caso de rotura de la computadora, antes de cumplirse 5 años de la venta, la empresa entregará al cumplirse el aniversario inmediato posterior a la rotura del equipo una computadora cuyo valor es de U$S 1.000. Calcular el costo puro de dicho seguro utilizando una tasa efectiva anual de interés del 10%.
2) Calcule el costo puro del seguro del se pide 1 pero suponiendo que la computadora se entregará en el momento de la rotura.
Ejercicio 7
Se considera la siguiente función de supervivencia lx =0,5x2 −100x+5.000. Se pide:
1) Determine la edad a la cual ya no quedan supervivientes.
2) Determine el costo de un seguro dotal puro para una persona de exactamente 70 años, por el cual cobrará $ 100.000 si llega con vida a los 80 años, si se utiliza una tasa de interés del 3% efectiva mensual.
En un determinado país se tiene los siguientes valores de la función de supervivencia: x lx 35 10.000 36 9.800 37 9.400 38 9.000 39 8.600 40 8.400 41 8.200
Además, se conoce que:
•
d
x= 3.000
35 54
∑
y d57 = 100• De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 55 años de edad, la proporción que llega con vida exactamente a los 57 años de edad es 6870.
• De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 55 años de edad, la proporción que fallece antes de cumplir los 61 años de edad es 870.
• De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida exactamente a los 35 años de edad, la proporción que llega con vida exactamente a los 41 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 56 años de edad es 0,13 .
• Tasa de interés: 4% efectivo anual Se pide:
1) Calcule el costo de un seguro dotal puro de una persona de exactamente 35 años de edad, por el cual se le pagará al hogar de ancianos “El abuelo feliz” U$S 50.000 dentro de 20 años si está con vida al momento de hacerse efectivo el cobro.
2) Calcule el costo de un seguro dotal puro de una persona de exactamente 41 años de edad, por el cual se le pagará al hogar de ancianos “El abuelo feliz” un total de U$S 50.000 dentro de 20 años si está con vida al momento de hacerse efectivo el cobro.
3) Calcule el costo de un seguro de muerte para una persona de exactamente 35 años por el cual se abonará a su cónyuge U$S 100.000 en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el mismo ocurre luego de
Ejercicio 9
Al cumplir exactamente 70 años el 30.11 del año 1, Pablo obtiene un préstamo de $ 150.000 del Banco de la Plaza.
La cancelación de dicho préstamo se hará mediante el pago de 3 cuotas anuales de amortización constante, la primera de las cuales se pagará dentro de un año, considerando una tasa de interés efectiva anual del 70%.
Dada la avanzada edad de Pablo, para la concesión del préstamo el banco exigió que el mismo día en que se hará efectiva la operación (30.11 del año 1), el deudor contratase un seguro de muerte, por el cual si fallece antes de cancelar la deuda, la compañía aseguradora abonará al banco el saldo total pendiente en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento.
Sabiendo que la compañía aseguradora utiliza una tasa de interés del 20% efectivo anual y para los hombres aplica las funciones l y x d derivadas de la tabla de x mortalidad uruguaya masculina (INE 2004), de la que surge que:
x Hombres l x 70 63889 71 61392 72 58764 73 56130 Se pide:
1) Calcule cuánto le abonaría la compañía aseguradora al banco si el deudor falleciera en el primero, segundo o tercer año contados desde la obtención del préstamo.
2) Calcule el costo puro del seguro de muerte.
3) Determine las primas puras correspondientes a dicho seguro.
Ejercicio 10
Usando las tablas de mortalidad INE 2004 y suponiendo una tasa de interés efectiva anual del 5%, calcular el costo puro de las siguientes operaciones:
1) Un capital de $ 100.000 que se pagará a una mujer de exactamente 50 años si llega con vida a los 60 años.
2) Una renta de $ 10.000 anuales para una mujer de exactamente 60 años, durante 3 años, bajo la condición que esté con vida en el momento del cobro. El primer pago, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene exactamente 61 años de edad.
3) Una renta de $ 10.000 anuales que se devengará durante 5 años luego de transcurridos 10 años de la contratación para una mujer de exactamente 50 años de edad. El primer pago, si es que corresponde, se da cuando la persona tienen exactamente 61 años de edad.
Tres compañías aseguradoras utilizan para el cálculo de sus costos de seguros la tabla de mortalidad masculina INE 2004, pero cada una aplica una tasa de interés distinta, la compañía A, aplica un 0,4074 % efectivo mensual, la compañía B, aplica una tasa nominal anual capitalizable semestral de 5,4264 %, y la compañía C, aplica una tasa nominal trimestral de capitalización instantánea de 1,4096 %.
El sr. Z. Payo de exactamente 40 años de edad desea contratar un seguro por el cual cobre $ 100.000 por año, hasta cumplir 43 años (inclusive) si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros, el primer cobre, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene exactamente 41 años.
1) Determinar en que compañía aseguradora le resulta más conveniente contratar el seguro según el criterio del mínimo costo puro.
2) Calcular el costo puro de la operación en la opción elegida en 1)
Ejercicio 12
Hallar, para un hombre de exactamente 60 años de edad, y utilizando la tabla de mortalidad masculina INE 2004, el costo de los siguientes seguros de muerte, suponer que el capital se pagará en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, además la tasa que se aplica es una nominal anual capitalizable mensualmente de 5,841 %.
1) Plantear y calcular (deberá hacerlo con planilla electrónica), el costo puro de un seguro de muerte, de capital $ 100.000, por el que se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, cualquiera sea el año en que este ocurra.
2) Plantear y calcular, el costo puro de un seguro de muerte , de capital $ 100.000, por el que se pagará se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el deceso ocurre luego de transcurridos 5 años de la firma del contrato.
3) Calcular el costo puro de un seguro de muerte, de capital $ 1.000.000, por el que se pagará se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el deceso ocurre luego de transcurridos 5 años y antes de 10 años, de la firma del contrato.
4) Hallar nuevamente 1), 2) y 3) suponiendo que el seguro es pagadero en el momento del fallecimiento.
Ejercicio 13
Una persona de exactamente 45 años de edad contrata un seguro de muerte, cuya vigencia comenzará dentro de 10 años y se extenderá por 5 años, pagándose el capital de $ 5.000.000, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento. La tasa de interés es del 5% efectiva anual, y utilizando la tabla de mortalidad masculina INE 2004.
3) Calcular la prima pura anual, si el seguro se paga mediante 5 primas anuales abonándose la primera exactamente a los 55 años, mientras la persona está con vida.
Ejercicio 14
La empresa “Sinled” decide implantar un seguro de los televisores led, mediante el pago de un abono anual.
Al estudiar la evolución de 1.000 televisores descubre que su duración se representa mediante la siguiente tabla de mortalidad:
Edad (años) Cantidad 0 1.000 1 950 2 850 3 750 4 600 5 300 6 0
1) Calcular la proporción de televisores nuevos que siguen funcionando después de 2 años.
2) La “Sinled” decide pagar a sus abonados $7.000 en caso que se rompa la televisión cualquiera sea el momento de la rotura, pagándose dicho importe al aniversario inmediato siguiente a la rotura. Calcular el costo puro de dicho seguro, usando una tasa efectiva anual de interés del 6%.
3) Calcular el abono anual que deberán pagar los asociados, si el mismo se comienza a pagar en el momento de la contratación del service (suponiendo que el mismo se contrata siempre al adquirir el televisor nuevo), mientras éste funcione.
4) ¿Cuál es la reserva matemática pura 2 años después de celebrado el contrato, inmediatamente después de que los clientes han pagado la cuota de ese día?
Ejercicio 15
Un hombre de exactamente 65 años de edad contrata un dotal puro mixto por tres años de forma tal que cobrará U$S50.00 si está vivo a los 68 años de edad o sus beneficiarios cobrarán U$S50.000 en el aniversario inmediato posterior al
La empresa Aseguradora utiliza una tasa efectiva anual del 4% y la tabla de mortalidad de la que se conoce:
x lx dx 65 68192 2072 66 66120 2199 67 63921 2331 68 61590 Se pide:
1) Calcular el costo puro de dicho seguro
2) Si la persona decide pagar el costo puro de dicho seguro mediante primas puras anuales durante la vigencia del seguro, calcular el importe de dichas primas puras.
Solución de Ejercicios del Capítulo 5 Ejercicio 1 1) l =0 500.000 2) 2 500.000 50 x l = − x 3) 0,892857 4) 0,107143 5) 0,054131 Ejercicio 2 1) 44,41 2) 274,34 3) 262,35 4) 55,20 Ejercicio 3 1) 42,96 2) 14,74
Ejercicio 4 Los resultados hubieran sido iguales Ejercicio 5 Parte 1: 1) 0,9663 2) 0,0124
Parte 2: 1) 7.927 2) 4.680 3) 4.164 Parte 3: 1) 1.201 2) 251
Ejercicio 6 parte 1: 1) 1000; 640; 360; 160; 40; 0 2) 0,75 Parte 2: 1)815,74 2)855.54 Ejercicio 7 1) 100 2) 1.280,41
Ejercicio 8 1) 15.973,54 2) 17.253,65 3) 1.266,51 4)1291,58
Ejercicio 9 1) 255.000; 170.000 y 85.000 respectivamente 2) 15.189,3 3) 6.226,4 Ejercicio 10 1) 58.364,99 2) 26.817,29 3) 24.683,78
Ejercicio 11 1) la opción más conveniente es la c (la de tasa más alta) 2) el costo puro de la opción c es 267.105,14
Ejercicio 12 1) 39.348,68 2) 31.354,97 3) 82.107,0 4) 1)40.511,94 2) 32.281,91 3) 84.534,3 Ejercicio 13 1) 154.730,29 2) 34.293,95 3) 60.077,09
Ejercicio 14 1) 0,85 2) 5.422,28 3) 1.361,74 4) 3515.06 Ejercicio 15 1)44617,36 2) 15940,63
