Solucionario taller transformada de fourier
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(2) Taller. 1. Calcular la trasnformada de Fourier para las siguientes funciones no periódicas. Solución a).
(3) 2 cos cos .
(4) 1 1 1 4# 4 4 ) 1 1 $% & 1 4' ( + 4 4 * 1 1 ) # 4 4 1
(5) ) 1 4 . b). c). 2 2 ./0 12/ #1 % , , * 4 2 2 2 % ( , *. d). e). (. *. A ∂t 3 ∂t 1 ∂t 3 2 9%
(6) : 3 : 1 : 1 : 3 ( ; 2 - - 2 2sin 3 sin . A
(7) ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5 . A %
(8) ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5 ( . ? @ ) - - ) @ A. 8C/D5 C/D4 C/D3.
(9) f) H . Fω % costdt . H H . H H H π JK JK ( 2 sin Mω O 4 e e 2 D Mω πO JKL FA A % e dt A H H. iω iω ω P 2 . . g). 4 π 4 D Mω O por la propiedad de la modulación P 2. cos 20. 4 % cos 20 [ \ [ \. Y . Z(. . [. ] ^_`a \ Z [. . _`[. ] \ Z. . ]. ^. _`[ \. Z. . _`[. _`[. ^ ] \ ] \ Z. P P D M 4 20O D M 4 20O 5 5 cos20 2 \. . H bJc Z @. [ \. =sa(@ w) H.
(10) h). ,. % e. . ( Z(. e. % ,. . ( Z(. ,. e. fZ( fZ( . 4e 4,. 1 fZe fZe 1 fZe fZe . . 4 4 4 4 4. i). h. %. ,. (. g. Z(. e. % . . ,. (. . Z(. 1 fZ i 4. e. fZ( fZe 1 . 4, 4 4.
(11) a). 2. Para una funcióncon trasnformada 4comprobar las siguiente propiedades. Propiedad de diferenciación en frecuencia: j 4 k. 4 % Z( k. En general:. l b). k % Z( 4 4 k k % Z( 4 k . j 4. l 4 l. Propiedad de la simetría:. j 2P 4 . 1 k % 4 Z( m 0nop q o/0 r sg : 2P k. Se reemplaza w por x. . 1 k % 4 Z( 2P k. k. 2P % 2 u( 2 k. k. Se reenop q t por w. 2P 4 % 2 uZ 2 k. Se reemplaza x por t. k. 2P 4 % (Z k. j 2P 4.
(12) d) Propiedad de escalamiento: j. 1 4 M O | |. Sea una constante real positiva k.
(13) % Z( k. Se reemplaza 2 . Z 1 k M Ou % 2 2 k 1 4
(14) M O. 1 4 j M O.
(15) . e) Convolución en la frecuencia:. * j * 4. w j w 4 k. % * 2 22 j * 4w 4 k. 1 k % g 4 gg 2P k * 1 * j 4 y w 4# 2P x * j. 3. Si la función con transformada 4, calcular la transformada de sin4, . k k k k Z( Z( 1 % D14z % $ + $% Z( % Z( + 2 2 k k k k 1
(16) 4 4, 4 4, 2.
(17) 4. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (dibujarr p 4) a.. Con a=-1. ( g k. 4 % ( Z( k. $ fZ( 4 . ,. % fZ( ,. 4 1k + {0 12/ #2 4 ,. 1 4.
(18) b.. a=-1. C.. |. |} sin4, g 1 1 1 4 4 4, 4 4, ~ ( gZZ ( gZfZ 2 2 2 1 1 1 4 # 2 4 4, 4 4, . x x . ( cos 4, g.
(19) k. 4 % ( cos 4, Z( g k k. 4 % ( Z( ,. 1 4. 4 ZZ 4 ZfZ 4 2. 1 1 4 4, 4 4, 4 2 d.. | . . a=1.
(20) 4 Yk ( Z( k. . (. . g ( g 2 ( Z( . Z(. 4. Z( 2 k ( Z( 2 k ( Z(. % 0. % 4 4 k 4 k 2 4 4 . 4 4. 4 (. 2. . . 4 44 0 4. 4 P Z 4 4 ln 4 4 4 Z ) ) 4 2 4. e.. f.. Saw, t cos3w, t Fw. . k. % Saw, teJL dt k. 2π G w w, . 4 ZZ 4 ZfZ 4 2 π 4 ?G w 3w, G w 3w, A w, g. sin cos6 4 . 4 . . 4 %
(21) D1cos 6 Z( . , ] _a ] \_a ] ^\_a f] ^_a O Z( dt Y, M Y, Z( -Y, @Z( Y, @fZ( Y, fZ Z( @Z( @fZ( fZ . 4 . . 7 4, 5 4, 5 4, 7 4,.
(22) 4 . H.. 1 k. Z 1 @Z 1 @fZ 1 fZ*. . 7 4 5 4. 7 4. 7 4. ( . 4 % 1 k ( &4 ' . &. ( '. 4. ^a. ] Z . Z . √2P. √2P 4. √2P . 4 √2P . 4 √2P . ( Z( . ^` . ^` . ^` . . k. % k. ( Z( . k. % ] k. ^a . Z( . Z . 1 4 ). √2P . ^` . 1 4 )= 4 √2P . ^` . 1 1 4 . 5. Usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales a. 0 Yk1 w } k. w. k. 4 Yk Z( 0 Yk k. k. k. k. k. % 1 2 ) } % } 2 % } % } ). b.. k. Z √P & ) ' $1. √P. k. 0 % k k. }w. C/D. w. k. w. k. 4 4). + C/1 4 0 2 8. 5. k. 4 % k k. Z(. w. k. k. w. 0 % k. k 1 w w w % } 1 C/D10 $% } % } C/D10+ 2 k k k Z. M } O √P & ) ' C/1 4 0 M } O √P w. √P . @. @. √P 9 ) ; 9 ) ;#. w. 2 6. Calcular la trasnformada de Fourier de las siguientes señales periódicas: a. |D14, |.
(23) l . 4, % sin 4, Z l( 2P , 4, eZ ( eZ Z l( % $ + 2P , 2i 4, Z *l( $% . % Z *fl( + 4P , , . . Z *fl( 4, Z *l( 4P 4, 1 1, 4, 1 1 ,. k. . 4, Z *l 1 Z *l 1 $. . + 4P 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, Z *l 1 Z *l 1 $ + 4P 4, 1 1 4, 1 1. 4, Z *l 1 Z *l 1 Z l( $ +e 2 4, 1 1 4, 1 1 k k. 4, Z *l 1 Z *l 1 4 $ + :4 14, 2 4, 1 1 4, 1 1 k.
(24) b.. cos200P h. * 1 1 1 lZ ( 1 eJcZ L eJcZ l % fteJc L dt % lZ ( A$ + i h 4 * 4 14, * 4 in4, . *. 1 ASan4, t 2 k. ¡ 2P m 14, lZ (. 4 . 4. . k. k. ¡ 2P m 14, :4 14, k. 4 ZZ 4 ZfZ 2 k. k. 4 P m 14, :4 200 14, m 14, :4 200 14, c.. k. k. C/D100P 1 * lZ 1 lZ ( lZ ( sin 14, l % & ; m 14, ' 9 4 * 4. 14, 2 14, 2 k. ¡ P m 14, lZ ( k k. 4 P . 4 . k. m 14, :4 14, . 4 ZZ 4 ZfZ 2 k. k P ¢ £ m 14, :4 100 14, m 14, :4 100 14, 2 k. k. 7.Si f(t) tiene la transformada 4 calcular la transformada de las siguientes funciones a). b). k. 2 % 2 Z( k. k. k. 2 2. k. 2 % 2 Z( % Z( 2 % Z( k. k. k.
(25) 2 2 24 c) 2 2. k k 2 k % 2 2 Z( % 2 Z( 2 % 2 Z( 2 k k k 1 2 2 2 2 2 24 2. 8.Calcular * y o 0 p D D¡g1D Dñ pD:. a.. f* t f t ut k. k. L. % g2g 22 % g 22 % 2 2,( t k. b.. ,. f* t ut, f t eL ut k. % g2g 2e k. c.. L¦. ,. k. 2 % g 2e ,. f* t eL ut, f t sin3t k. k. L¦. % e¦ ux sin3t x 2 % e¦ $ k. ,. L. 2 % (u 2 Zu , Z( 1 ,. -(u -(u + 2 2. k k 1 $% f-uf-( 2 % -u-( 2+ 2 , , k. (. k. 1 f-uf-( -u-( 1 -( -( . + $ 2 2 3 ,. 2 3 , 2 2 3 3 2.
(26) d. * ( g, cos 2 g. k ( (u (u + 2 % e¦ ux cos2t xut x 2 % e¦ $ 2 k , (. %. . ,. *fuf. (. 2 % ,. *u. 1 *( $. . + 2 2 1 2 1 2 1 2 1. e.. *f( . * ( sin4 g, g. ¨ ( sin4 g© ¨g© 9 k. 4 1 ; 9P 4 ; 2 4 16 4 (. % u sin42 g2 g 22 % u sin42 2 k. ,. ( ( 1 ( 1 % u ? )u )u A 2 $% )u 2 % f)u 2+ 2 , 2 , ,. 1 )u f)u . 2 2 4, 2 4, (. f.. (. (. 1 )( 1 )( 1 $. . + 2 2 4 2 4 2 4 2 4. * g1 . ª 2 2. (. *fuf *u . 1 2 ,. 1 2 ,.
(27) ª ª * ª 2 . % g1 2 2 22 . %. 2 22 . 22. 2, 2 , 2 k 2 . *. ª 1 2 # 2 2. 10.Calcular la transformada inversa de Fourier de los siguientes espectros 4 a.. 4 sin4, 1 k 1 k ( Z % sin, 4 Z( 4 % ? ( Z A Z( 4 2P k 4P k. k k 1 1 ( f(Z ( (Z $% ( f(Z 4 % ( (Z 4+ . 4P k 4P , k , k k k. b.. k. 4 Z g4 1 k 1 k Z 1 k Z (Z % g4 (Z 4 % 4 % f(Z 4 2P , 2P k 2P ,. 1 f(Z 1 1 $ + 9 ; 2P , , 2P k. c.. 4 g4 . d.. . 1 k (Z 1 (Z 1 1 % 4 9 ; & ' 2P , 2P 2P , k. Z Z f 1 . 4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 2P Z 2 2 Z. Z Z f 4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 4 P Z Z.
(28) (Z 41 4 4, (Z 2 (Z . + «$ 4 P Z Z. (Z 41 4 4, (Z 2 (Z . Z. Z f. ¬. e.. 4 |4| ®4 , 4 4 ( Z 1 Z Z (( Z (( Z % ( Z Z( 4 + ? (( Z AZ $ 2P Z 2P , P 2 , . f.. . sin4, , 2 sin4, , 2 m 4, , , P i 2P i , i. , Z / $ % Z( 4 % Z( 4+ 2P Z / ,. Z( Z( . 2P it / , ,. Z /.
(29) Z Z 4, 1 ( ( 1 2 2C/D M 2 O . ± ° ° ± 2P it it it 2P. Anexos. #1 % . (. . % ( . Y ( . % ( . #2. (] ²a ³. g . . g 2 . 2 % ( . ³ Y e³L dt *. % ( . ( . g , g , ( , . te³L e³L te³L e³L a a . (. 2 te³L e³L 2 te³L e³L ( 2 te³L e³L & ' . . ( 2 2 -. te³L e³L e³L a 1 % (. (.
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