Ejercicios Resuelto de Cuerpos Rigidos

(1)

EJERCICIOS RESUELTOS DE MECANICA DE CUERPOS EJERCICIOS RESUELTOS DE MECANICA DE CUERPOS

2.1. Se tiene las magnitudes

||

||  6600 

 ||

|| 80

80

, el Angulo, el Angulo

∝∝

es de 45 es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA +FB y el Angulo entre FB y F.

+FB y el Angulo entre FB y F. SOLUCION:

SOLUCION:

Aplicando la ley de los cos Aplicando la ley de los cosenosenos

    





 





135

REMPLAZANDO VALORES REMPLAZANDO VALORES

    6060



8080



60∗80135

: : F= F= 129.6N129.6N Y el Angulo entre

Y el Angulo entre



Y Y



Aplicando la ley de senos Aplicando la ley de senos

.





∝



∝ ∝  1199

2.2. Se tiene las magnitudes

||

||  6600 

 ||

|| 80

80

, el Angulo, el Angulo

∝∝

es de 45 es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el Angulo entre FB y F. Angulo entre FB y F. SOLUCION: SOLUCION: FA = FA =

60 cocos s 45

60 45    60

60 sesen n 45

45

FB = FB =

8080

SUMANDO AMBAS FUERZAS PARA DETERMINAR LA FUERZA F SUMANDO AMBAS FUERZAS PARA DETERMINAR LA FUERZA F F =

F =

660 0 cocos s 45

4580

80    60

60 sesen n 45

45

SACANDO SU MÓDULO DE LA FUERZA SACANDO SU MÓDULO DE LA FUERZA FF

    60

60 cocos 4

s 455 80

80



_{60 sen 45}

_{60 sen 45}



= = 176.84N176.84N 2.

2.3.3. Se Se tienen la tienen lass mmaagnitudes Fgnitudes F A A = 100 lb= 100 lb yy FFBB == 140 lb.140 lb. EEll áánnggululoo

α

eses ddee 4040°.°. Use la trigonometría par

Use la trigonometría par aa determinar la madeterminar la maggnnititud dud dee lala ssuma de luma de lasas fufuerzas Ferzas F == FA

FA ++ FFBB YYelel áángulongulo eentrentre FFBB y y FF ..EsEst t r r at at eg eg ia:ia: UUsese lalass lleeyyeses de lode los s sesenonos s yy co

cossenenosos ppaara anra anaalizarlizar llos triánguos triángullooss f f oormados por la reglarmados por la regla ddel paralelogel paralelograramomo

p

paara lara la ssuma de las fuer uma de las fuer zzaass como lo hicomo lo hiccimosimos een el ejn el ejeemplomplo 2.2.11. Las. Las leyeleyess de lode loss

seno

(2)

SOLUCION:



 Aplicando Aplicando la la ley ley de de los los cosenos.cosenos.

  100

100



140



22100

100140

140cos

cos140

140  22

226 6 ..



 Y Y el el Angulo Angulo entre entre FB FB y y FF

Donde: Donde: U= 100lb U= 100lb U+V=F;

U+V=F;

100/senα= 226/sen140

DÓNDE:

α=16.5

2

2..4. Se tienen4. Se tienen llas magnitudes Fas magnitudes F A A == 60 N60 N yy FB= 80 NFB= 80 N.. El ánEl ángg

ulo α es de 45

°°..

Us

Usee la trigonometría para determinar la mla trigonometría para determinar la magagnitud de la fuer nitud de la fuer zzaa F =F =22FF A - A -33FFBB YYeell ángulo entre ángulo entre FFBB y F.y F. SOLUCION: SOLUCION:

=

60cos45°̂60sin45°̂





80̂

2



 3

3



260cos45°̂60sin45°̂

260cos45°̂60sin45°̂ 3380̂

80̂

  120cos45°240

120cos45°240̂120sin45°̂

̂120sin45°̂

Sacando su magnitud tenemos:



(3)

EL ÁNGULO ENTRE FB Y F =

.









Dónde

: α=13.9

2.5. Se dan las magnitudes F A = 100 lb y FB =

140 lb. Si α puede ten

er cualquier valor, ¿cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de la magnitud de la suma de las fuer zas F =FA + FB y cuáles son los valores corres

pondientes de α.

SOLUCION:

tan



_

tan

−

_





35.5°

F= 100 +140 = 240 lb

   100



140



2100∗140cos35°

  225.88  → 









 229 





129  <>



 89 





 100  < > 



 140 

  ∝: 35°

∝54°

2.6. Se tienen las magnitudes de F A = 60 N y el ángulo

α

es de 45°. Si la magnitud de la suma de las fuer zas F A+ FB= 180 N, ¿cuál es la magnitud de FB?

FB

F= 229 lb

(4)

  







180





60→



120

2.7. Se tienen las magnitudes FA = 100 lb y FB= 140 lb. Suponga que el sopor te sobre el que actúan las dos fuer zas puede resistir con seguridad una fuerza total de 240 lb. ¿Cuál es el inter valo de valor es aceptable par a el ángulo

α?

240 lb

∅⇒ ≮ ∝90°

LEY DE SENOS



°



°





∅



°∗

°∗



°∗

∝∗

sin ∝ 

.

_

∝sin

−

_

.





∝60°

45º 180N 45º 90º 45º 45º

∅

(5)

2.8. La fuer za F de magnitud 8 kN de la f igur a se encuentra en el plano def inido por las líneas L A y LB que se intersecan. Suponga que se quier e separar F en una componente vectorial F A paralela a L A y en una componente vector ial FB paralela a LB' Determine las magnitudes de FA y FB (a) gráficamente y

(b) usando la trigonometría. POR TRIGONOMETRIA





°



°







°

 



°





°



 °





°

















.





∗

.

 







 



_{.}



∗

………..1

2.10 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra =30 m y Rb =40 m. Determine la magnitud de su suma, Ra + Rb

(a) si Ra y Rb tienen la misma dirección, (b) si Ra y Rb son perpendicular es. SOLUCIÓN: a) 30m 40m R=30+40 R=70m





 



30º 30º 120º 20º

(6)

b)

   30



 40



2∗40∗30cos90

50

2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El torque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas Y F ejercidas por los cables el peso W. El peso del tanque es 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine las magnitudes de F B' (a) gráficamente (b) usando la trigonometría.

SOLUCIÓN: a)

cos20

sin20

(7)

b)

∑sin20sin20



∑cos20cos20600

319..25

2.12. La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA Y FBC sobre la polea en B. Sus

magnitudes son IFBAI = IFBC I = 800 N. Determine IF B A + FBCI, (a) gráficamente (b) con trigonometría. SOLUCIÓN: a) b)

  √ 800



800



2∗800∗800cos70

917.7

2.13. Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las fuerzas F A Y FB ejercidas sobre la

(8)

unidad es paralela a la línea L, y │F

A

│= 1000 lb. Determine │F

B

│y │

FB + F A

│,

(a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.

SOLUCION.

a) Solución gráfica:

b) Solución trigonométrica:

α 180°80° ⇒ α 100°

1000

sin30° 

sin50° ⇒ F

F



 sin

−

1000sin50°

_{sin30°   1532.09 lb}

1000

sin30° 

sin100° ⇒ L  sin

L

−

1000sin100°

sin30°   1969.62 lb

2.14 .Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. determine la magnitud del vector horizontal



_

de B a C y el ángulo α, (a)

(9)

SOLUCION. a) Solución gráfica: b) Solución trigonométrica:

F

R

  400



 600



2400600cos40°

F

R

 390.25 m

390.25 sin40° 

sinθ ⇒ θ  sin

400 −

400sin40°

390.25  41.2°

α 41.2°20° ⇒ α 21.2°

2.15 El vector r va al punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y C. Demuestre que:

r  12r



r

C

.

r  r



 r



……….. Ec.1

r

C

 r r



r



 r

C

 r……… …..Ec.2

Remplazamos la Ec. (2) en Ec. (1)

r  r



 r



r  r



 r

C

 r

r  12r



 r

C



2.16 Esbozando los vectores, explique por qué:

UVW  UVW

SOLUCION.

(10)

UVW  U

X

,U

Y

,U

Z

 [V

X

 W

X

,V

Y

 W

Y

,V

Z

W

Z

]

UVW  [U

X

 V

X

 W

X

,U

Y

 V

Y

W

Y

,U

Z

 V

Z

W

Z

]

UVW  [U

X

 V

X

,U

Y

 V

Y

,U

Z

 V

Z

 W

X

,W

Y

,W

Z

]

UVW  UVW

2.21: Si



_

4.5

_



y



_

 2

_

2

_



, ¿cuál es la magnitud de la fuerza

6

_

 4

_

? SOLUCION:





4.5









 2



2





6



 4



64.5



 42



2





(6



 27



)8



 8





[2



35



]

2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano

 

. El vector

  6

_

8

_

y

||  20

¿Cuáles son las componentes escalares de V? SOLUCION:

  6



8



||  20

  ||

  



₂₀





  

_20



₂₀





2.23: un pez ejerce una fuerza F de

200

sobre la vara de pescar. Exprese F en términos de componentes escalares.

(11)

SOLUCION:





200cos60 100





200sin60 173.21

  {1173,21}

2.24: se ejerce una fuerza F de

60

para meter un cajón en un camión. Exprese F en función de componentes escalares.





60cos20 56.38





60sin20 20.52

  {56.3820.52}

2.25. Un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función de componentes escalares.

(12)

SOLUCION

Fx = 40° cos (70°)i =13,68kN Fy = 40° sen (70°)j =37,60kN

En función a sus componentes F =

{  }

F =

{13,69 37,60 }

2.26. Se muestran las coordenadas de los puntos A y B de una armadura. Exprese el vector de posición de A y B en función de sus componentes escalares.

(13)

SOLUCION 6 --- B 2 ---- --- A 1 4





  







̂







̂





 4 1 ̂6 2̂





3̂4̂

N

2.27. El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j (a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B?

(b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A? SOLUCION:





̅  12̂16̂



̅

PORCION DE B A A





B

(14)

a) Distancia de A B

|



|   12



16



 √ 144256

|



|  √ 40020

b)





 12̂16̂

2.28. (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de componentes escalares.

(b) Expr ese el vector de posición del punto B al punto en función de componentes escalares. c) Use los r esultados de las partes (a) y (b) para determinar la distancia del punto Aal punto C.

SOLUCION: a)

50--- B

35 --- A

50 pul 98

r AB = (XB

–

X A) i+ (YB -Y A) j

r AB= (98-50)j+ (50-35) j

r AB= (38i+15j)pulg

b)

(15)

55---C---50----A--- B 45 98 r BC = (XC

–

XB) i+ ( YC -Y A)j r BC = (45-98)j+ (55-50)j rBC = -53i+50 b)

| |  40.35 

||  72.86 

| |   40.85



72.86



 240.8572.86 ∗ 67°

| |  66 

2.33. Se muestran las coordenadas x y y de los puntos B Y C del velero.

(a) Determine un vector unitario paralelo al cable A Y que vaya De A a C

(b) Determine un vector unitario paralelo al cable que vaya De B a C. SOLUCION: A= (9, 1.2) m B= (0, 0.8) m C= (5.3, 12) m 43° 64° 21° A B C 50j 15j 53i 38i

(16)

Uac =



||

rAC = rc

–

ra = (-3.7 i + 10.8 j ) UAC =

_{.}

−.



.

_{.}

UAC = -0.3 i + 0.95j Rpta. UAB =



_√ .

.+.

_

+.





UAB = 0.04i + 0.08j Rpta.

2.34 .Considere el vector fuer za F = 3i - 4j (kN) mostrado. Determine un vector unitario e que tenga la misma dirección Que F. SOLUCION: F = [3i-4j] kN UF =











UF = 0.6i + 0.8j Rpta

2.35 .El vector de posición que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies).

(a) Determine el vector unitario que apunta de A a B. (b) Determine el vector unitario que apunta de B a A.

A B

SOLUCION:

RAB = [-8i+6j] pies

 U AB = [

−+

√ −



_+



]

U AB = -0.18i+ 0.14j Rpta.

 UBA =

[

−+

√ 



_+



]

UBA =

+

√ 



_+



(17)

2.36. Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular de 1000pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, Medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el

Vector de posición que va del automóvil A al automóvil B según El sistema coordenado que se muestra?

SOLUCION: L =

∅∗



2000 =

∗1000

2°

COMVIRTIENDO A RADIANES:

2°∗



_

R

115°

(18)

RAB =

 1000



1000



 21000∗1000cos115°

RAB = 1687 m Rpta

2.37. Se encuentra que la longitud de la línea OA es de 1500 metros y que la longitud de la línea OB es de 2000 metros.

(a) Exprese el vector de posición de A a B en función de sus componentes escalares.

(b)Use el resultado de la parte (a) para determinar la distancia de Aa B.

SOLUCION:

r OA = 1500 cos 60i + 1500 sin 60j

r OA =750i +1299j m

Los puntos de A es (750, 1299) (m) r OB = 2000 cos 30 i + 2000 sin 30 j m

r OB = 1732i + 1000j m

Los puntos de B es (1732, 1000)

a) El vector unitario desde A y B es r AB = (xB _ x A) i +(yB - y A) j

r AB = 982i -299j m

b) el vector unitario e AB es:

(19)

2.38 .La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 106_{km, la distancia del}

Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 106

km. Suponga que los planetas están localizados en el plano x -y .

(a) Determine las componentes del vector de posición r M del Sol a Mercurio, del

vector de posición r y del Sol a Venus y del vector de posición r E del Sol a la

Tierra.

(b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la distancia de la Tierra a Venus.



=(



_−)





10810



4010810



40





15010



2015010



20





  15010







10810







18410







  15010







5710







16010



2.39. Una cuerda ejerce las fuerzas F A Y FB sobre una polea. Sus magnitudes son IF Al = IFBl = 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las

fuerzas?

SOLUCION:









 |



|40º |



|90

8040º8090º131.4









131.4

2.40. La cuerda ABC ejerce las fuerzas FBA Y FBC sobre la polea en B

mostrada. Sus magnitudes son IFB AI = IFBCI = 920N. Determine la magnitud de

la suma vectorial de las fuerzas descomponiendo las fuerzas en sus componentes, y compare su respuesta con la del problema 2.12.

(20)

2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas?

SOLUCION: F =Fx + FY

Fx = (F1

–

F3 =cos 30 + F2 cos 45) i FY= (-F2 sen 45

–

F3 sen 30)

FX= (4.20 I

–

6.03j) KN

2.42. Las cuatro fuerzas concur r entes mostr adas tienen una suma vecto r ial igual a cero. Si IFBI = 800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 900 lIJ, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo

α?

SOLUCIÓN:

∑ F=0

∑ FX=0

(21)

- FA cos

α

FA cos

α=1438, 13……..

(

α

)

∑

FY=0

∑ FY=

-900 sen90º - FA sen

α

+ 800 sen 70º + 1000 sen30º FA sen

α=943.94…………. (β

) DIVIDIENDO:



_β



  

_{ }



β



.

.

Tgα 943.94

_1438.13

αarctg 943.94

_1438.13

α33.28

FA × sen (33.28) = 943.94 FA=

_{ .}

.

FA = 1720.22l

2.43. El empuje total e jercido sobre el impulsor por los motores princip ales de un cohete es de 200 000 lb Y es paralelo al eje y. Cada uno de los dos pequeños motores "vernier" ejerce un empuje de 5000 lb en las direcciones mostradas. Determine la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida por los motores sobre el impulsor.

(22)

SOLUCIÓN:

∑FX = 500 sen 30º

- 500 sen 15º

∑FY= 200000 + 500 cos 30º + 500 sen 15º

F= FX + FY F= (120.59 i + 200562.42j) lb F=

√ 120.59



200562.42



F=200562.45lb

2.44. Las magnitudes de las fuer zas que actúan sobre el soporte son IF1I = IF2 I = 100 lb. El sopor te fallará si la magnitud de la fuerza total que actúa sob r e él excede de 150 lb. Determine el intervalo de valor es aceptables para el ángulo

α.

SOLUCIÓN:

(23)

150 

=

100 

+

100 

- 2(

100 

) cos

α

22500=2(

100 

) cos

α

-1/8= cos

α

α= 97.19

FBC = F (cos 20i + sin 20j)

FBA= F (-j)

FBC + FBA= ( Fcos 20i + (sin 20-1))j

(920 N)2_{= F}2_(cos2_{20° + [sin 20° -1]}2_{) F = 802 N}

2.45, Tres f uerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de FB es de 60 lb. La suma vector ial de las tres fuerzas es igual 2.4 ¿Cuáles son las magnitudes de FA Y FC? SOLUCION

 F  0

Fx0

FAFc.cos30° >FAFc.cos30°……….1

Fy0

Fc x sen 30° FB  0 > Fc x sen 30° FB >Fc FB

_{sen30°…...2}

Calculando la fuerza C

(24)

Fc120

Reemplazando en la ecuación 1:

FA Fc x cos30°

FA  120 x cos30°

FA 103,92 lb

2.46. Cuatro fuerzas actúan sobre una viga. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.

|F

_

| 10KN y |F

_

|  5KN

Determine las magnitudes de

F

_

y

F

_

.

SOLUCION:

 F  0

Fx0

F



xcos30°F



> F



xcos30° F



……...1

Fy0

F



x sen 30°F



Fc0 >F



x sen30° 5kN10KN

Calculando la fuerza

F

_

F



 5KN

_sen30°

F



10KN

En la ecuación 1:

10KN xcos30° F



F



8.66KN

(25)

edificio. La suma vectorial de las f uer zas es igual a cero.

|F

_

|  |F

_

|  5Klb,

|F



|  4klb y|F



| 2klb

. Determine las magnitudes de

|F

_

| y|F

_

|

. SOLUCION;

DATOS:

|F



|  |F



|  5Klb, |F



| 4klb y |F



| 2klb

 F  0

Fx0

F



xcos40° F

G

cos50° Fc cos40° F



cos70° 0

2 xcos40°  F

G

cos50° 4 cos40° F



cos70° 0

F

G

cos50° F



cos70° 1,53klb……..1

Fy0

F



sen 70°Fc sen 90°F



sen 40° F

G

sen 50°F



F



 0

F



sen 70°4 sen 90° 2 sen 40°F

G

sen 50°55  0

F



sen 70°F

G

sen 50°  6,14 klb………2

Sumando la ecuación 1 y 2:

F

G

cos50° F



cos70° 1,53klb

F



sen 70°F

G

sen 50°  6,14 klb

Calculando la fuerza

F

_G

F

G

 3,54

_sen50°

F

G

10,41klb

F



 3,37 klb

2.48. El peso total de un hombr e y su paracaídas es La fuerza D de arrast r e es

|w| 230lb,

Perpendicular a la f uerza de elevación. Si la suma vectorial de las tres f uerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de y D?

SOLUCION:

 F  0

Fx0

Dcos20° L cos60°  0………1

Fy0

(26)

L sen70° D sen20° 230lbs  0

L sen70° D sen20°  230lbs………2

Igualando o reemplazando1 en 2:

L  Dcos20°

_cos70°

L sen70° D sen20°  230lbs

Dcos20°

cos70° sen70° D sen20°  230lbs

D sen20° x tg 70° D sen20°  230

Dsen 20° x tg 70°sen 20° 230

D 

_{sen 20° x tg 70°sen 20°}

230 D  230

_1,28

D  179,69 lbs

L  230  179.69 sen 20°

_{sen 70°}

L179.30lb

2.49. Dos cables AB y CD se extienden desde la estr uctura de lanzamiento de un cohete hasta el suelo. El cable AB ejerce-una f uer za de 10 000 lb sobre la tor r e y el cable CD ejer ce una fuerza de 5000 lb.

(a) Usando el sistema coordenado que se muestra, exprese cada una de las dos fuerzas ejercidas sobre la torre por los cables en f unción de componentes escalares.

(b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre la estructura?

SOLUCION:

(27)

7660.12 4330.12 8927.87 11990.56





  11990.56



8927.87







 √ 223480391.9





 1494.26

2.50 .Los cables A, B C ayudan a soportar una columna de una estructura . Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales : IFAI= IFBI IFe!. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene IF Al?

SOLUCION:

  41.55

(28)

cos∅  46

sen∅  64



_{ = .   =.}



_{ = .   =.}

||   27.7



62.3



68.2

2.51 .La tensión en el cable A C del velero mostrado es de 300lb. La suma vector ial de las fuerzas ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable A C y el cable BCdel velero está dirigida hacia abajo.

(a) ¿Cuál es la tensión en el cable BC?

(b) ¿Cuál es la fuerza vertical total que los dos cables ejercen sobre el mástil?