5
L O S P R I N C I P I O S
D E L A C O N V E C C I Ó N
5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. FLUJO VISCOSO
En los capítulos anteriores se ha considerado el mecanismo y cálculo de la transferencia de calor por conducción. La convección sólo se ha do en cuenta en tanto en cuanto estaba relacionada con las condiciones de contorno impuestas en un problema de conducción. Ahora se desea examinar los métodos de cálculo de la transferencia de calor por convec-ción en particular, las maneras de predecir el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección, El tema de la transferencia de calor por convección requiere un balance de energía junto con un
de la dinámica de fluidos de los problemas a los que afecta. La discusión de este capítulo tratará, primero, algunas de las relaciones sencillas de la dinámica de fluidos y del análisis de la capa límite que son importantes para una comprensión básica de la transferencia de calor por convección. A continuación, se aplicará un balance de energía a la corriente y se determinará la influencia de la misma en los gradientes de temperatura dentro del fluido. Por último, habiendo obtenido una idea de la distribución de temperaturas, se podrá determinar el flujo de calor desde una superficie caliente hacia un fluido al que se ha forzado a moverse sobre ésta.
Considérese la corriente sobre una placa plana, según se muestra en las Figuras 5.1 y 5.2. Comenzando en el borde de ataque de la placa, se desarrolla una región donde se hace notar la influencia de las fuerzas de
5.1
que diferentes de capa límite sobre una placa plana‘
El desarrollo de este capítulo es esencialmente de carácter analítico y únicamente interesan las configuraciones con convección forzada. Los capítulos siguientes presentarán relaciones empíricas para el cálculo de la transferencia de calor por convección forzada y tratarán también los temas de la convección natural y de la transferencia de calor en la ebulli-ción y condensaebulli-ción.
FIGURA 5.2
viscosidad. Estas fuerzas de viscosidad se describen en términos de un esfuerzo cortante entre las capas del fluido. Si se supone que este esfuer-zo es proporcional al gradiente normal de la velocidad, se tiene la ecua-ción que define la viscosidad
du
La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad dinámica. La unidad típica es el newton-segundo por metro cuadrado; no obstan-te, para la viscosidad se usan otras unidades, y debe tenerse cuidado para seleccionar el grupo apropiado que sea consistente con la formula-ción en uso.
A la zona de la corriente que se desarrolla desde el borde de ataque de la placa, en la que se observan los efectos de la viscosidad, se la llama capa límite. Para designar la posición en la que termina la capa límite, se utiliza un punto arbitrario; este punto se elige normalmente como la coordenada donde el valor de la velocidad se hace el 99 por 100 del de la corriente libre.
Al principio, el desarrollo de la capa límite es laminar, pero a una distancia crítica del borde de ataque, dependiendo del campo del flujo y de las propiedades del fluido, comienzan a amplificarse pequeñas pertur-baciones dentro de la corriente, y tiene lugar un proceso de transición hasta que la corriente se hace turbulenta. La región de flujo turbulento se puede imaginar como una zona de agitación al azar con partes de fluido moviéndose de acá para allá en todas direcciones. La transición de flujo laminar a turbulento tiene lugar cuando
> 5 V
d o n d e = velocidad de la corriente libre x = distancia desde el borde de ataque
= = viscosidad cinemática
Este agrupamiento de términos recibe el nombre de número de nolds, y es adimensional si se usa un conjunto de unidades coherente para todas las propiedades
Aunque en la mayoría de los planteamientos analíticos, el número de Reynolds crítico para la transición en una placa plana se toma general-mente como 5 el valor crítico en una situación práctica depende fuertemente de las condiciones de rugosidad de la superficie y del «nivel de turbulencia» de la corriente libre. El intervalo normal para el comien-zo de la transición está entre 5 y Si hay perturbaciones muy grandes en la corriente, la transición puede comenzar a números de Reynolds tan bajos como y para corrientes que están muy libres de fluctuaciones, ésta puede no comenzar hasta Re = 2 o más. En realidad, el proceso de transición comprende un intervalo de números de Reynolds, terminándose la transición y observándose el flujo turbulento desarrollado a valores del número de Reynolds generalmente del doble del valor al que comenzó la misma.
Las formas relativas de los de velocidades en flujo laminar y turbulento se indican en la Figura 5.3. El perfil laminar es aproxi-madamente parabólico, mientras que el perfil turbulento tiene una parte cercana a la pared que está muy próxima a la linealidad. Se dice que esta parte lineal es debida a una subcapa laminar que se adhiere muy fuertemente a la superficie. Fuera de esta subcapa, el perfil de velocidades es relativamente plano en comparación con el perfil la-minar.
El mecanismo físico de la viscosidad es un mecanismo de intercam-bio de cantidad de movimiento. Considérese la situación de flujo lami-nar. Las moléculas pueden moverse de una lámina a otra, llevando consigo una cantidad de movimiento correspondiente a la velocidad de la corriente. Hay un transporte neto de cantidad de movimiento desde regiones con alta velocidad a regiones con baja velocidad, creándose así una fuerza en la dirección de la corriente. Esta fuerza es la debida al esfuerzo viscoso cortante que se calcula con la (5.1).
La rapidez a la que tiene lugar la transferencia de la cantidad de movimiento, depende de la rapidez a la que se mueven las moléculas a través de las capas de fluido. En un gas, las moléculas se moverían con una velocidad promedio proporcional a la raíz cuadrada de la tempera-tura absoluta, ya que, en la teoría cinética de los gases, se identifica la
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
temperatura con la energía cinética media de una molécula. Cuanto más rápidamente se muevan las moléculas, mayor cantidad de movimiento transportarán. Por tanto, cabría esperar que la viscosidad de un gas fuera aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la tempera-tura, y esta expectativa queda bastante bien corroborada por la experi-mentación. En el Apéndice A se dan las viscosidades de algunos fluidos típicos.
En la de flujo turbulento ya no se observan capas distintas y se está forzado a buscar un concepto algo diferente para la acción visco-sa. Se puede obtener una imagen cualitativa del proceso de flujo turbu-lento imaginando trozos macroscópicos de fluido transportando energía y cantidad de movimiento, en lugar del transporte microscópico basado en las moléculas individuales. Naturalmente, cabría esperar que la mayor masa de los elementos macroscópicos de fluido transportasen más energía y cantidad de movimiento que las moléculas individuales, y también cabría esperar una mayor fuerza debida al esfuerzo viscoso en el flujo turbulento que en el flujo laminar (y también una mayor conducti-vidad térmica). Esta expectativa está verificada por la experimentación, y es esta mayor acción viscosa en el flujo turbulento lo que origina el perfil plano de velocidad indicado en la Figura 5.1.
Considérese la corriente en un tubo, como se muestra en la Figu-ra 5.3. Como se indica, se desarrolla una capa límite a la entFigu-rada. Final-mente, la capa límite llena todo el tubo, y se dice que el flujo está completamente desarrollado. Si el flujo es laminar, se tiene un perfil de velocidades parabólico, como se muestra en la Figura Cuando el flujo es turbulento, se observa un perfil algo achatado, como el de la Figura En un tubo, se utiliza de nuevo el número de Reynolds como criterio de flujo laminar y flujo turbulento. Para
Re, = 2.300
V (5.3)
generalmente se observa que el flujo es turbulento.
De nuevo, puede observarse un intervalo de números de Reynolds para la transición, dependiendo de la rugosidad del conducto y de la suavidad de la corriente. El intervalo generalmente aceptado para la transición es
2.000 Re, 4.000
aunque el flujo laminar se haya mantenido hasta números de Reynolds de 25.000 en condiciones de laboratorio cuidadosamente controladas. La ecuación de continuidad para flujo unidimensional en un tubo es
= (5.4)
FIGURA 5.3
de velocidades para (a) flujo laminar en un tubo y (b) flujo turbulento en un tubo.
ala e n t r a d a
donde = flujo másico = velocidad media
A = área de la sección transversal Se define el flujo másico por unidad de área como
Flujo másico por unidad de área = G = pu,
de modo que el número de Reynolds se puede escribir también
A veces, la (5.6) es más fácil de usar que la (5.3).
5.3. FLUJO NO VISCOSO
Aunque ningún fluido real es no viscoso, en algunos casos se puede tratar el fluido como tal, y merece la pena exponer algunas de las ecua-ciones que se aplican en estas circunstancias. Por ejemplo, en el
ma de la placa plana discutido anteriormente, a una distancia
mente grande de la placa, la corriente se comportará como un sistema de no viscoso. La razón de este comportamiento es que los gradientes de velocidad normales a la dirección de la corriente son muy pequeños por tanto, las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos son pequeñas.
Si se hace un balance de fuerzas sobre un elemento de fluido incom-presible y estas fuerzas se igualan a la variación de cantidad de movi-miento del elemento fluido, la ecuación de Bernoulli para el flujo a lo largo de una línea de corriente resulta:
1
+ =
P o, en forma diferencial
P donde = densidad del fluido
= presión en un punto dado del flujo = velocidad del flujo en ese punto
La ecuación de Bernoulli se considera a veces una ecuación energética, porque el término representa energía cinética y la presión repre-senta energía potencial; sin embargo, se debe recordar que estos térmi-nos se obtienen basándose en un análisis dinámico, por lo que la ecua-ción es fundamentalmente una ecuaecua-ción dinámica. De hecho, el concepto de energía cinética se basa en un análisis dinámico.
Cuando el fluido es compresible, hay que escribir una ecuación de la energía que tenga en cuenta las variaciones de la energía interna térmica del sistema y los correspondientes cambios de temperatura. Para flujo unidimensional, esta ecuación es la ecuación de la energía del flujo esta-cionario en un volumen de control
donde es la entalpía, definida como
(5.9) y donde e = energía interna
Q = calor añadido al volumen de control por unidad de flujo másico
= trabajo exterior neto comunicado en el proceso = volumen específico del fluido
(El símbolo se emplea para denotar entalpía en lugar de la h acostum-brada, para evitar la confusión con el coeficiente de transferencia de calor.) Los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones de entrada y salida del volumen de control. Para calcular la caída de presión en un flujo compresible, es necesario especificar la ecuación de estado del flui-do, es decir, para un gas ideal
= =
La constante de los gases para un gas en particular viene dada en fun-ción de la constante universal de los gases como
donde es la masa molar y = J/kmol K. Para el aire, las propiedades adecuadas como gas ideal son
= 287 K = 1,005
= 0,718
Para resolver un problema en particular, se debe especificar también el proceso. Por ejemplo, el flujo adiabático reversible a través de una tobe-ra conduce a las siguientes expresiones conocidas, que relacionan las propiedades de la corriente en un punto con el número de Mach y las magnitudes de remanso, esto es, las propiedades donde la velocidad es cero 1 2 1 P O 2 donde = propiedades de remanso
= cociente de calores específicos de Mach
La presión se puede calcular a partir de la relación isoentrópica
Tl
= 0,526 Mpa
La velocidad del sonido en las condiciones de 2 es
= = Cl.511
de modo que el número de Mach es
300
5.4. CAPA LAMINAR EN UNA SUPERFICIE PLANA
Considérese el volumen de control elemental mostrado en la Figura 5.4. La ecuación del movimiento de la capa límite se obtiene efectuando un balance de fuerzas y de cantidad de movimiento en este elemento. Para simplificar el análisis, se supone:
1. El fluido es incompresible y el flujo estacionario.
2. No hay variaciones de presión en la dirección perpendicular a la placa.
3. La viscosidad es constante.
4. Las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos en la dirección y son despreciables.
Se aplica la segunda ley de Newton del movimiento
Esta forma de la segunda ley de Newton del movimiento tiene validez para sistemas de masa constante. En la dinámica de fluidos general-mente no es conveniente trabajar con elementos de masa; más bien se trabaja con volúmenes de control elementales como el mostrado en la Figura 5.4, en el que la masa puede fluir hacia dentro o hacia fuera a
FIGURA 5.4
Volumen de control elemental para el balance de fuerzas en una capa límite laminar.
través de las diferentes caras del volumen, que está fijo en el espacio. El balance de fuerzas para este sistema se escribe entonces
= aumento del momento de flujo en la dirección x El flujo de la cantidad de movimiento en la dirección x, es el producto del flujo de masa que atraviesa una cara en particular del volumen de control y de la componente x de la velocidad en ese punto.
La masa que entra por la cara izquierda del elemento por unidad de tiempo es
si se supone la unidad de longitud en la dirección Así, la cantidad de movimiento que entra por la cara izquierda por unidad de tiempo es
pudyu =
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
y la cantidad de movimiento que abandona la cara derecha es
El flujo másico que entra por la cara inferior es pvdx
y el flujo másico que abandona la cara superior es
Un balance de masa en el elemento conduce a
v + - d y d x 0
(5.12)
Ésta es la ecuación de continuidad de la masa para la capa límite. Volviendo al análisis de cantidad de movimiento y de fuerzas, la cantidad de movimiento en la dirección x que entra por la cara infe-rior es
pvu dx
y la cantidad de movimiento en la dirección x que abandona la cara superior es
Únicamente interesa la cantidad de movimiento en la dirección x por-que las fuerzas tenidas en cuenta en el análisis son apor-quellas por-que están en la dirección x. Estas fuerzas son las debidas a los esfuerzos viscosos y las debidas a la presión sobre el elemento. La fuerza debida a la presión sobre la cara izquierda es dy, y la de la cara derecha es
dx] dy, de modo que la fuerza neta debida a la presión en la dirección del movimiento es
La fuerza debida a la viscosidad en la cara inferior es
y la fuerza cortante en la cara superior es
La fuerza neta debida a la viscosidad en la dirección del movimiento, es la suma de todo lo anterior
Fuerza cortante viscosa neta dx dy
Igualando la suma de las fuerzas debidas a la viscosidad y a la presión, a la transferencia neta de cantidad de movimiento en la dirección x, se tiene
Eliminando términos, haciendo uso de la ecuación de continuidad (5.12) y despreciando diferenciales de orden superior, da
(5.13)
Ésta es la ecuación de la cantidad de movimiento de la capa límite laminar con propiedades constantes. La ecuación se puede resolver exactamente para muchas condiciones de contorno, y para obtener deta-lles sobre los diversos métodos empleados en las soluciones, se remite al lector al tratado de Schlichting En el Apéndice B se ha incluido el método clásico de obtención de una solución exacta de la (5.13) para flujo laminar sobre una placa plana. Para el desarrollo de este capítulo, se considerará suficiente un análisis aproximado que proporcione una solución más sencilla sin perder el significado físico del proceso involu-crado. El método aproximado se debe a von Kármán
Ésta se puede escribir en función del número de Reynolds como
X (5.21)
donde
V
La solución exacta de las ecuaciones de la capa límite según se dan en el Apéndice B conduce a
EJEMPLO 5.3. FLUJO MÁSICO Y ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE. Sobre una placa plana circula aire a 27 y 1 atm, y a una velocidad de 2 Calcúlese el espesor de la capa límite a distancias de 20 y 40 cm del bórde de ataque de la placa. Calcúlese el flujo másico que entra en la capa límite entre x = 20 cm y x = 40 cm. La viscosidad del aire a 27 es Supóngase la unidad de longitud en la direc-ción
Sohción. La densidad del aire se calcula a partir de
= = 1,177
El número de Reynolds se calcula
En = 20 cm:
En = 40 cm:
. El espesor de la capa límite se calcula con la (5.21)
En x = 20 cm:
(27.580)"' = m
En x = 40 cm:
(55.160)“’ = m
Para calcular el flujo másico que entra en la capa límite, proveniente de la corriente libre, entre x = 20 cm y x = 40 cm, simplemente se toma la diferencia entre el másico de la capa límite en esos dos valores de x. El flujo másico en la capa límite para cualquier valor de x viene dado por la integral
6
pu 0
donde la velocidad está dada por la (5.19)
Evaluando la integral con esta distribución de velocidades, se tiene
Así, el flujo másico que entra en la capa límite es
= =
= 3,399
5.5. ECUACIÓN DE LA DE LA CAPA
En el análisis precedente se ha estudiado la dinámica de fluidos de la capa límite de una corriente. Se va desarrollar ahora la ecuación de la energía para esta capa límite y después se continuará con un método integral de resolución.
Considérese el volumen de control elemental mostrado en la Figu-ra 5.6.
1.
2.
Para simplificar el análisis se supone
Flujo incompresible en régimen estacionario.
Viscosidad, conductividad térmica y capacidad térmica específi-ca constantes.
Conducción de calor despreciable en la dirección de la corriente (dirección x).
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
FIGURA 5.6
Volumen elemental para el análisis de la capa límite laminar.
Trabajo viscoso
Para el elemento mostrado, el balance de energía se puede escribir en-tonces
Energía que entra por convección por la cara izquierda energía que entra por convección por la cara inferior calor que entra por conducción por la cara inferior
trabajo viscoso neto comunicado al elemento = = Energía que sale por convección por la cara derecha
energía que sale por convección por la cara superior calor que sale por conducción por la cara superior
En la Figura 5.6 se indican los términos energéticos correspondientes a la conducción y la convección, y el término debido al trabajo viscoso se puede obtener como sigue. El trabajo viscoso puede calcularse como el producto de la fuerza neta debida al esfuerzo viscoso por la distancia
que se desplaza esta fuerza en la unidad de tiempo. La fuerza debida a la viscosidad es el producto del esfuerzo cortante por el área dx
y la distancia recorrida en la unidad de tiempo con respecto al volumen de control elemental dx es
de modo que el trabajo viscoso neto comunicado al elemento es
2 d x d y
Escribiendo el balance de energía correspondiente a las magnitudes mostradas en la Figura 5.6, suponiendo la unidad de longitud en la dirección z, y despreciando diferenciales de orden superior, se llega a
Utilizando la ecuación de continuidad Ev
ay (5.12)
y dividiendo por pc, se obtiene
0 (5.22)
Ésta es la ecuación de la energía de la capa límite laminar. El miembro de la izquierda representa el transporte neto de energía hacia dentro del volumen de control, y el miembro de la derecha representa la suma del calor neto que sale del volumen de control por conducción, y el trabajo viscoso neto comunicado al elemento. El término del trabajo viscoso únicamente tiene importancia a velocidades altas, ya que su magnitud será pequeña comparada con la de los otros términos, cuando se estudia la corriente a baja velocidad. Esto se puede demostrar con un análisis de los órdenes de magnitud de los dos términos del miembro de la derecha
de la (5.22). Para este análisis de órdenes de magnitud, se puede considerar que la velocidad es del orden de la velocidad de la corriente libre y que la dimensión de es del orden de Así
Y T
de modo que
Si el cociente de estas magnitudes es pequeño, esto es,
(5.23)
entonces la disipación viscosa es pequeña comparada con el término debido a la conducción. Se puede reorganizar la (5.23) introduciendo
donde Pr recibe el nombre de número de Prandtl, que se estudiará más adelante. La (5.23) queda
Pr 1 (5.24)
Como ejemplo, considérese la corriente de aire con
= = 1 atm
En estas condiciones 1.005 = . y Pr = de modo que
(1.005) (293) =
indicando que la disipación viscosa es pequeña, incluso para esta veloci-dad de la corriente relativamente grande de 70 Así, para flujo in-compresible a baja velocidad, se tiene
(5.25)
En realidad, la ecuación de la energía se ha obtenido de manera simplifi-cada, y no se han tenido en cuenta varios términos del análisis, debido a que son pequeños comparados con otros. De esta manera se llega inme-diatamente a la aproximación de la capa límite, sin recurrir a un pesado proceso de eliminación para obtener la relación final simplificada. La obtención general de la ecuación de la energía de la capa límite es muy complicada y está bastante alejada del alcance de este estudio. Para mayor información, el lector interesado debería consultar los libros de Schlichting y White
Existe una semejanza asombrosa entre la (5.25) y la ecuación de la cantidad de movimiento a presión constante
(5.26)
La solución de las dos ecuaciones tendrá exactamente la misma forma cuando = v. Por eso, cabría esperar que las magnitudes relativas de la difusividad térmica y la viscosidad cinemática tuvieran una influencia importante en la transferencia de calor por convección, puesto que estas magnitudes relacionan la distribución de velocidades con la distribución de temperaturas. Éste es exactamente el caso, y en la discusión subsi-guiente se verá el papel que juegan estos parámetros.
5.6. LA CAPA TÉRMICA
Igual que se definió la capa límite hidrodinámica como aquella región de la corriente donde se manifiestan las fuerzas de viscosidad, se puede definir una capa límite térmica como la región de la corriente donde se presentan gradientes de temperatura. Estos gradientes de temperatura podrían estar originados por un proceso de intercambio de calor entre el fluido y la pared.
Considérese el sistema mostrado en la Figura 5.7. La temperatura de la pared es la temperatura del fluido fuera de la capa límite térmica es
y al espesor de la capa límite se le denomina 6,. En la pared, la velocidad es cero, y la transferencia de calor hacia el fluido tiene lu-gar por conducción. De este modo, el flujo de calor local por unidad de área, es
(5.27)
De la ley de enfriamiento de Newton
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN 161
FIGURA 5.7
de temperaturas en la capa límite térmica.
donde es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Com-binando estas ecuaciones, se tiene
de manera que para evaluar el coeficiente de transferencia de calor, sólo se necesita encontrar el gradiente de temperatura en la pared. Esto signi-fica que debe obtenerse una expresión para la distribución de temperatu-ras. Para hacer esto, se sigue un camino análogo al utilizado para el análisis de la cantidad de movimiento de la capa límite.
Las condiciones que debe satisfacer la distribución de temperatu-ras son
T = T en = 0
T = = 6,
y escribiendo la (5.25) en = 0 sin calentamiento viscoso, se encuen-tra que
0
puesto que las velocidades deben ser cero en la pared.
Las condiciones de la (a) a la (d) se pueden ajustara una cúbica como en el caso del perfil de velocidades, de modo que
(5.30) donde = T Sigue quedando el problema deencontrar una expre-sión para el espesor de la capa límite térmica. Este se puede obtener mediante un análisis integral de la ecuación de la energía de la capa límite.
Considérese el volumen de control limitado por los planos A-A, y la pared, como se muestra en la Figura 5.8. Se supone que la capa límite térmica es más delgada que la capa límite hidrodinámica, tal como se indica. La temperatura de la pared es la temperatura de la corriente libre es y el calor cedido al fluido a lo largo de la longitud dx, es Se aplica el balance de energía
Energía que entra por convección trabajo viscoso dentro del elemento + transferencia de calor en la pared = energía que sale por convección
(5.3 1)
5.8
Volumen de control para el análisis energético integral de la capa limite en flujo laminar.
La energía que entra por convección a través del plano 1 es
H 0
y la energía que sale por convección a través del plano 2 es
este término es muy pequeño, a menos que la velocidad del campo fluido se haga muy grande. El cálculo de la transferencia de calor a alta dad se tendrá en cuenta más tarde.
No se necesita calentar en toda su longitud la placa en estudio. La situación que se va a analizar se muestra en la Figura 5.9, donde la capa límite hidrodinámica se desarrolla desde el borde de ataque de la placa, mientras el calentamiento no comienza hasta =
FIGURA 5.9 El flujo másico a través del plano A-A es
y éste lleva consigo una energía igual a
El trabajo neto viscoso dentro del elemento es
y la transferencia de calor en la pared es
1
Combinando estos términos energéticos de acuerdo con la (5.31) y agrupando términos se tiene
Capas límite hidrodinámica y térmica en una placa plana. Capas límite hidrodinámica y térmica en una placa plana. El calentamiento comienza en =
El calentamiento comienza en =
Introduciendo la distribución de temperaturas, y la distri-bución de velocidades, (5.19) en la (5.32) y despreciando el térmi-no de disipación viscosa, se tiene
1 1
= (5.32)
Ésta es la ecuación integral de la energía de la capa límite con des constantes y temperatura de la corriente libre constante.
Para calcular la transferencia de calor en la pared, es necesario obte-ner una expresión del espesor de la capa límite térmica que pueda usarse junto con las Ecs. (5.29) y (5.30) para determinar el coeficiente de
de calor. Por ahora, se desprecia el término de disipación viscosa;
1
26,Supóngase que la capa límite térmica es más delgada que la capa límite hidrodinámica. Entonces, sólo se necesita efectuar la integración hasta
Cuando se emplea un conjunto de unidades coherente, el número de Prandtl es adimensional
(5.39)
Un conjunto típico de unidades para los parámetros en el SI, sería en kilogramos por segundo por metro, en kilojulios por kilogramo por grado Celsius, y k en kilovatios por metro por grado Celsius. En el sistema inglés, podría emplearse en libras masa por hora por pie, en Btu por libra masa por grado Fahrenheit, y k en Btu por hora por pie por grado Fahrenheit.
Volviendo ahora al análisis, se tiene
= (5.40)
Sustituyendo el espesor de la capa límite hidrodinámica de la (5.21) y empleando la se tiene
= Pr (5.41)
Se puede adimensionalizar la ecuación multiplicando ambos miembros por apareciendo en el miembro de la izquierda el grupo
sional
(5.42) llamado número de Nusselt en honor a Wilhelm Nusselt, quien hizo contribuciones importantes a la teoría de la transferencia de calor por convección. Por último
= (5.43)
o, para la placa que se calienta en toda su longitud, 0 y
= 0 (5.44)
Las Ecs. (5.43) y (5.44) expresan los valores locales del coeficiente de transferencia de calor, en función de la distancia desde el borde de ataque de la placa y de las propiedades del fluido. Para el caso en que
= 0, el coeficiente de transferencia de calor medio y el número de Nusselt pueden obtenerse integrando sobre la longitud de la placa
dx = (5.45) dx 0 = 0 L k’ donde Re, =
El lector debería llevar a cabo las integraciones para verificar estos re-sultados.
El análisis precedente se ha basado en la hipótesis de que las propie-dades del fluido eran constantes en todo el flujo. Cuando existe una variación apreciable entre las condiciones de la pared y de la corriente libre, se recomienda evaluar las propiedades a la llamada temperatura de
definida como la media aritmética entre la pared y la tempe-ratura de la corriente libre
=
2 (5.47)
En el Apéndice B se da una solución exacta de la ecuación de la energía. Los resultados del análisis exacto son los mismos que los del análisis aproximado dado anteriormente.
Flujo de calor constante
El análisis anterior ha estudiado la transferencia de calor laminar desde una superficie isoterma. En muchos problemas prácticos, de calor
de la superficie es prácticamente constante, y el objetivo es encontrar la distribución de temperaturas de la superficie de la placa en unas condi-ciones de la corriente dadas.
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN 165 En el caso de flujo de calor constante, se puede demostrar que el
número de Nusselt local viene dado por
hx
= 0 453
k (5.48)
que puede expresarse en función del flujo de calor de la pared y de la diferencia de temperaturas como
(5.49)
El valor medio de la diferencia de temperaturas a lo largo de la placa, con la condición de flujo de calor constante, se puede obtener efectuan-do la integración
0
L
0
2Pr (5.50)
En estas ecuaciones, representa el flujo de calor por unidad de área y tendrá unidades de vatio por metro cuadrado en el SI, o de unidades térmicas británicas por hora por pie cuadrado . en el sistema inglés.
Otras relaciones
La (5.44) se aplica a fluidos con números de Prandtl entre y 50 aproximadamente. No sería aplicable a fluidos con números de Prandtl muy bajos, como los metales líquidos, o a fluidos con números de Prandtl altos, como los aceites pesados o las siliconas. Churchill y Ozoe han efectuado la correlación de una gran cantidad de datos en un intervalo muy amplio de números de Prandtl, para dar la relación si-guiente para el flujo laminar sobre una placa plana isoterma
Re, Pr
En el caso de flujo de calor constante, se cambia por y se cambia por Las propiedades se siguen evaluando a la temperatura de película.
EJEMPLO 5.4. PLACA PLANA ISOTERMA CALENTADA EN TODA SU LONGITUD. Considérese que la placa plana de la corriente del Ejem-plo 5.3, se calienta en toda su longitud hasta una temperatura de 60°C. Calcúlese el calor transferido en (a) los primeros 20 cm de la placa y (b) los primeros 40 cm de la placa.
Solución. Se quiere obtener la transferencia de calor total en una
deter-minada longitud de la placa; así que se necesita calcular los coeficientes de transferencia de calor medios. Con este se utilizan las Ecs. (5.44) y
evaluándose las propiedades a la temperatura de película
27 + 60
= = = K
2
Las propiedades, tomadas del Apéndice A, son
= k= . ft . Pr = = 1,006 . . En x = 20 cm V = = = 0,332 = = = . [ 1,083 . .
El valor medio del coeficiente de transferencia de calor es dos veces este valor, 0
El flujo de calor es
= T,)
Si se supone la unidad de longitud en la dirección z
= 27) = W En x = 40 cm (2) V = = (0,332) = = 4,349 . = = 8,698 = (8,698) 27) = W
EJEMPLO 5.5. PLACA PLANA CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE. Se construye un calentador de kW con una placa de vidrio que lleva una película conductora de la electricidad que proporciona un flujo de calor constante. La placa es de 60 por 60 cm y está colocada en una corriente de aire a 27 1 atm y = 5 Calcúlese el promedio de la diferencia de temperaturas en la placa y la diferencia de temperaturas en el borde de salida.
Solución. Las propiedades se deberían evaluar a la temperatura de
película, pero no se conoce la temperatura de la placa, así que para un cálculo inicial se toman las propiedades de la corriente libre en las con-diciones de
= 27 = 300 K
v = Pr = 0,708 k = .
L =
El promedio de la diferencia de temperaturas es, de la (5.50) El número de Reynolds es
=
Ahora, se vuelve atrás y se evalúan las propiedades para
240 + 27 27 = 2 = y se obtiene v = Pr = 0,687 k = 0,035 . (5) =
La diferencia de temperaturas en el borde de salida de la placa (x = = m), se obtiene de las Ecs. (5.48) y (5.50) con la constante 0,453, que dan
= =
Una solución alternativa se basaría en el número de Nusselt, (5.51).
EJEMPLO 5.6. CORRIENTE DE ACEITE SOBRE UNA PLACA PLANA CON CALEFACCIÓN. Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, se obliga a moverse aceite de motor a a una velocidad de La placa se calienta hasta una temperatura uniforme de 60°C. Calcúlese el calor perdido por la placa.
Primero se evalúa la temperatura de película
20 60
2 40
Las propiedades del aceite de motor son
p = 876 v =
k = 0,144 . Pr = 2.870
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN 167 Como el número de Prandtl es tan grande, se va a emplear la (5.51)
para la solución. Se ve que varía con de la misma manera que en la (5.44) esto es, así que se tiene la misma solución que en la (5.45) para el promedio del coeficiente de transferencia de calor. La evaluación de la (5.51) en x = da
Y
0.2 = .
El valor medio del coeficiente de convección es
=
así que la transferencia de calor total es
20) = W
5.7. RELACIÓN ENTRE LA FRICCIÓN EN EL FLUIDO Y LA TRANSFERENCIA DE CALOR
Ya se ha visto que los campos de temperatura y de velocidad están relacionados, Se busca ahora una expresión mediante la que se pueda relacionar directamente la resistencia de fricción con la transferencia de calor.
El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse en función de un coeficiente de fricción
1
(5.52)La (5.52) es la ecuación que define el coeficiente de fricción. El esfuer-zo cortante también se puede calcular a partir de la relación
1
Empleando la distribución de velocidades dada por la (5.19) se tiene
3 2 6
y haciendo uso de la relación del espesor de la capa límite
(5.53) Combinando las Ecs. (5.52) y (5.53) se llega a
(5.54) La solución exacta de las ecuaciones de la capa límite da
2 0,332
La (5.44) se puede reescribir de la manera siguiente
h Re, Pr
El grupo de la izquierda recibe el nombre de número de Stanton h
=
de manera que
St = (5.55)
Comparando las Ecs. (5.54) y se advierte que los miembros de la derecha son iguales, excepto por una diferencia de un 3 por 100 en la constante, resultado de la naturaleza aproximada del análisis integral de la capa límite. Se admite esta aproximación y se escribe
(5.56)
La llamada la de expresa la
laminar sobre una placa plana. El coeficiente de transferencia de calor podría determinarse entonces efectuando medidas de la resistencia cional sobre una placa, en condiciones en que no intervenga transfe-rencia de calor.
Resulta que la (5.56) también se puede aplicar al flujo turbulen-to sobre una placa plana con la forma modificada, al flujo turbulento dentro de un tubo. No sirve para flujo laminar en un tubo. En general, se necesita un tratamiento más riguroso de las ecuaciones que gobier-nan el proceso, cuando se emprende el estudio de nuevas aplicaciones de la analogía entre la transferencia de calor y la fricción en el fluido, y los resultados no siempre adoptan la forma sencilla de la (5.56). Para mayor información sobre este importante tema, el lector interesa-do puede consultar las referencias del final del capítulo. Hasta aquí, la sencilla analogía desarrollada anteriormente ha servido para ampliar la comprensión del proceso físico de la convección, y para reforzar la idea de que los procesos de transferencia de calor y de transporte con viscosidad están relacionados en ambos niveles, microscópico y ma-croscópico.
EJEMPLO 5.7. FUERZA DE RESISTENCIA SOBRE UNA PLACA PLA-NA. Para la corriente del Ejemplo 5.4, calcúlese la fuerza de resistencia ejercida sobre los primeros 40 cm de la placa, utilizando la analogía entre la fricción en el fluido y la transferencia de calor.
Solución. Para calcular el coeficiente de fricción se emplea la
y después se calcula la fuerza de resistencia. Se requiere un coeficiente medio de fricción, así que
La densidad a K es
= = =
Para los 40 cm de longitud
8,698
=
Entonces, de la (a)
= =
El esfuerzo cortante medio en la pared se calcula con la (5.52)
= =
La fuerza de resistencia es el producto de este esfuerzo cortante por el área
D = =
5.8. TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA TURBULENTA
Considérese una parte de una capa límite turbulenta, como la que se muestra en la Figura 5.10. Una región muy delgada cercana a la superfi-cie de la placa tiene carácter viscoso, y la acción de la viscosidad y la transferencia de calor, tienen lugar en circunstancias parecidas a las que se dan en el flujo laminar. Más allá, a distancias de la placa mayores, el flujo es parcialmente turbulento, pero las fuerzas de viscosidad y la conducción del calor todavía son importantes. A esta zona se la llama capa de transición. Todavía más lejos, el flujo es completamente turbu-lento, y el mecanismo principal de intercambio de cantidad de movi-miento y de calor implica porciones de fluido moviéndose de un lado a otro por la corriente. En esta región completamente turbulenta, se habla de viscosidad turbulenta y deconductividad térmica turbulenta. Estas pro-piedades turbulentas pueden ser 10 veces mayores que los valores mole-culares.
El mecanismo físico de la transferencia de calor con flujo turbulento es bastante parecido al del flujo laminar; la principal diferencia es que se debe trabajar con las propiedades turbulentas en lugar de con la con-ductividad térmica y la viscosidad ordinarias. La principal dificultad en un tratamiento analítico es que esas propiedades turbulentas varían a lo largo de la capa límite, y la variación específica puede determinarse a partir de datos experimentales. Éste es un punto importante. Todos los análisis del flujo turbulento deben apoyarse finalmente en datos
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
FIGURA 5.10
perimentales, porque no existe ninguna teoría completamente adecuada para predecir el comportamiento del flujo turbulento.
Si se observa la velocidad macroscópica instantánea en una corriente turbulenta, según se mide con un anemómetro láser u otro dispositivo sensible, se observan fluctuaciones importantes en torno a la velocidad media, como se indica en la Figura 5. ll, donde se designa con a la velocidad media y es a partir de la media. La velocidad instantánea es, por tanto
El valor medio de la fluctuación debe ser cero para un período amplio en condiciones de flujo estacionario. También hay fluctuaciones de la componente de la velocidad, así que podría escribirse
Las fluctuaciones dan lugar a un esfuerzo cortante turbulento que puede analizarse tomando como referencia la Figura 5.12.
Para la unidad de área del plano P-P, la velocidad instantánea tur-bulenta del transporte de masa a través del plano es Asociado a este transporte de masa, hay un cambio de la componente x de la velocidad El flujo neto de cantidad de movimiento por unidad de área, en la dirección x, representa el esfuerzo cortante turbulento en el plano P-P, o
Cuando una porción turbulenta se mueve hacia arriba (v’ 0), entra en una zona de mayor ü y es de esperar por tanto que origine una fluctuación de ralentizándola, es decir, < 0. Para < 0 puede
.
mirse un argumento similar, de modo que el esfuerzo cortante to promedio vendrá dado por.
Hay que hacer incluso si = = 0, el promedio del producto
de las fluctuaciones no es cero.
Viscosidad turbulenta y longitud de mezclado
Se define una viscosidad turbulenta o difusividad turbulenta de la canti-dad de movimiento tal que
d u
7, = = (5.60)
Ya se ha relacionado el transporte macroscópico de calor y la cantidad de movimiento en flujo turbulento, con sus réplicas moleculares en flujo laminar, así que la definición de la (5.60) es una consecuencia natural de esta analogía. Para analizar los problemas de transporte a nivel mole-cular, normalmente se introduce el concepto de recorrido libre medio, o distancia media que recorre una partícula entre colisiones. Prandtl in-trodujo un concepto análogo para describir los fenómenos del flujo tur-bulento. La longitud de mezclado de Prandtl es la distancia recorrida, en promedio, por las porciones turbulentas de fluido en dirección normal al flujo medio.
Imagínese una porción turbulenta localizada a una distancia por encima o por debajo del plano P-P, como se muestra en la Figura 5.12. Estas porciones de fluido se mueven de acá para allá atravesando el plano y dan lugar al efecto turbulento, o esfuerzo cortante turbulento. En la velocidad sería aproximadamente
u(y)
mientras que en
u(y)
Prandtl postuló que la fluctuación turbulenta es proporcional a la media de las dos cantidades anteriores, o que
(5.61)
modo que el esfuerzo cortante turbulento podía escribirse
0
=
=
la viscosidad turbulenta es, entonces
= (5.63)
Ya se ha hecho notar que las propiedades turbulentas, y la longitud de mezclado, por tanto, varían apreciablemente a lo largo de la capa límite. Se han aplicado muchas técnicas de análisis a lo largo de los años para tener en cuenta esta variación. La hipótesis de Prandtl era que la longi-tud de mezclado es proporcional a la distancia de la pared, o
= Ky (5.64)
donde K es la constante de proporcionalidad. La hipótesis adicional que se hace es que, en la región cercana a la pared, el esfuerzo cortante es aproximadamente constante, de modo que Cuando se utiliza esta hipótesis junto con la la (5.62) da
Haciendo la raíz cuadrada e integrando con respecto a y se tiene
(5.65) donde C es la constante de integración. La (5.65) encaja muy bien con los datos experimentales, excepto en la zona muy próxima a la pared, donde aparece la subcapa laminar. En esta subcapa, la distribu-ción de velocidades es fundamentalmente lineal.
Ahora se va a cuantificar la descripción cualitativa previa de la capa límite turbulenta, expresando el esfuerzo cortante como suma de una parte molecular y una turbulenta
A la distancia se la llama longitud de mezclado de Prandtl. Prandtl postuló también que debía ser del mismo orden de magnitud que de
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN 171
El llamado perfil universal de velocidades se obtiene introduciendo dos coordenadas adimensionales
(5.67)
- - (5.68)
V
Utilizando estos parámetros y admitiendo que constante, se puede reescribir la (5.66) como
+ (5.69)
En los términos de la discusión cualitativa previa, la subcapa laminar es la región en la que 0, la capa de transición tiene v, y la capa turbulenta tiene v. Por tanto, tomando = 0 en la (5.69) e integrando se tiene
U + = y + + c
En la pared, = 0 para = 0, así que c = 0 y
+
- Y (5.70)
es la relación de velocidad (es una relación lineal) para la subcapa lami-nar. En la región completamente turbulenta 1. De la (5.65)
1 1
y -
-Sustituyendo esta relación junto con la (5.64) en la (5.63) se tiene
=K y
P 0
(5.71)
Sustituyendo esta relación en la (5.69) para 1 e integrando, se tiene
In + c
Una ecuación con esta misma forma es la que se obtiene para la región de transición. Los límites de cada región se obtienen comparando las ecuaciones anteriores con medidas experimentales de velocidad, con las constantes siguientes aceptadas de modo general
Subcapa laminar: 0 5 =
Capa de transición: 5 30 = In (5.73)
Capa turbulenta: 30 400 =
El conjunto de Ecs. (5.73) recibe el nombre de perfil universal de
dudes y encaja muy bien con los resultados experimentales; sin embargo, debe hacerse notar una vez más que las constantes de las ecuaciones deben determinarse a partir de medidas experimentales de velocidad. El punto satisfactorio es que el modelo sencillo de Prandtl de la longitud de mezclado, proporcione una forma de ecuación que se ajuste tan bien a los datos.
La transferencia de calor turbulenta es análoga a la transferencia de cantidad de movimiento turbulenta. El flujo de cantidad de movimiento turbulento postulado por la (5.59) lleva consigo una fluctuación turbulenta de energía proporcional al gradiente de temperatura. Se tiene así, por analogía con la (5.62)
(5.74) o, en regiones donde son importantes tanto el transporte molecular de energía como el turbulento
4
A (5.75)
Transferencia de calor en régimen turbulento basada en la analogía de la fricción fluida
Se han efectuado análisis diversos, semejantes al del perfil universal de velocidades anterior, para determinar la transferencia de calor en la capa
límite turbulenta. Estos análisis han tenido éxito, pero según lo que aquí se pretende, la analogía de Colburn entre la fricción en el fluido y la transferencia de calor es más fácil de aplicar y proporciona resultados en concordancia con la experimentación y de una forma más sencilla.
En la región de flujo turbulento, donde v y se define el número de Prandtl turbulento como
(5.76) Si se puede esperar que el transporte turbulento de cantidad de movi-miento y de energía aumenten ambos en la misma proporción compara-dos con sus valores moleculares, cabría anticipar que los coeficientes de transferencia de calor puedan calcularse con la utilizando para el cálculo el número de Prandtl molecular ordinario. En la parte central de la capa límite turbulenta, la viscosidad turbulenta puede ser tan alta como unas 100 veces el valor molecular que se tiene en la subcapa laminar, y con la difusividad turbulenta del calor comparada con la difusividad molecular se detecta un comportamiento análogo. Para te-ner en cuenta el efecto del número de Prandtl sobre la capa límite com-pleta, se necesita una media ponderada, y resulta que la utilización de
es muy apropiado y encaja con la analogía entre la transferencia de calor y la fricción en el fluido en régimen laminar. Así que los cálculos se van a basar en esta analogía, y para llevarlos a cabo se necesitan valores experimentales de de flujos con capa límite turbulenta.
Schlichting ha llevado a cabo una revisión sobre medidas experi-mentales de coeficientes de fricción de flujo turbulento en placas planas. Se presentan aquí los resultados de esa revisión, de modo que se pueden emplear en el cálculo de la transferencia de calor turbulenta con la analogía entre la transferencia de calor y la fricción en el fluido. El coeficiente local de fricción superficial está dado por
= (5.77)
para números de Reynolds entre 5 y 10’. Para números de Reynolds más altos, desde 10’ hasta se recomienda la fórmula de Schultz-Grunow [S]
= (5.78)
El coeficiente de fricción medio de una placa plana, con una capa límite laminar hasta y turbulenta a partir de ahí, se puede calcu-lar con
0,455 A
(log Re, Re, (5.79)
donde la constante A depende de Re,,,, de acuerdo con la Tabla 5.1. Se puede obtener una fórmula algo más simple para números de Reynolds más bajos
0,074 A
Re, 10’ (5.80)
Las Ecs. (5.79) y (5.80) coinciden dentro del intervalo común de aplica-ción, y la que se vaya a utilizar en la práctica dependerá de la convenien-cia del cálculo.
Aplicando la analogía de la fricción en el fluido, St = la transferencia de calor local turbulenta se obtiene como
= 5 Re, 10’ (5.81)
0
St, = 0,185 (log Re,) Re, (5.82)
La transferencia de calor promedio en la capa límite laminar-turbulenta completa es
C
2 (5.83)
Para Re,,,, = 5 y Re, se puede emplear la (5.80) para obtener
= 0,037 871 (5.84)
Recordando que = Pr), se puede reescribir la (5.84) como
= = 871) (5.85)
El coeficiente de transferencia de calor medio se puede obtener también integrando los valores locales sobre toda la longitud de la placa. Así
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
La utilización de la (5.55) para la parte laminar, Re,,,, = 5 y de la (5.81) para la parte turbulenta, da el mismo resultado que la
(5.85). Para números de Reynolds más altos, se puede utilizar el coeficiente de fricción de la así que
= =
para Re, y Re,,,, = 5
El lector debería advertir que si se elige un número de Reynolds de transición distinto de 500.000, deben cambiarse las Ecs. (5.84) y (5.85) de acuerdo con ello. Whitaker ha propuesto una alternativa que, debido al término del cociente de viscosidades, puede dar mejores resultados con algunos líquidos
EJEMPLO 5.8. TRANSFERENCIA DE CALOR TURBULENTA DESDE UNA PLACA PLANA ISOTERMA. Sobre una placa plana sopla aire a 1 atm y 35 de velocidad. La placa tiene 75 cm de largo y se mantiene a 60°C. Suponiendo la unidad de longitud en la dirección z, calcúlese la transferencia de calor desde la placa.
Solución. Se evalúan las propiedades a la temperatura de película
20 60 = P Pr = para = 0,036 9.200) Pr 380 (5.86) 313 2 = 1,128 1,906 k = = 1,007 . El número de Reynolds es 1,906 2 Re,
y la capa límite es turbulenta porque el número de Reynolds es mayor que 5 Por tanto, se usa la (5.85) para calcular la transferencia de calor promedio sobre la placa
Todas las propiedades excepto se evalúan a la temperatura de la corriente libre. En los gases desaparece el cociente de viscosidades y las propiedades se evalúan a la temperatura de película.
037 871)
k-= = 2.180
= . [ . .
Flujo de calor constante = T,) = 20) = 2.373 W
En la Referencia 12 se muestra que en flujo turbulento, para un flujo de calor constante en la pared, el número de Nusselt local es sólo alrededor
de un 4 por 100 mayor que el de la superficie isoterma; esto es 5.9. ESPESOR DE LA CAPA TURBULENTA
=
1
(5.87)Churchill [ll] proporciona algunos métodos de correlación de la trans-ferencia de calor en la capa límite turbulenta más completos.
Muchos trabajos experimentales han mostrado que el perfil de velocida-des de una capa límite turbulenta, fuera de la subcapa laminar, se puede describir por una relación con una potencia de un séptimo
Y
donde es, como antes, el espesor de la capa límite. Cuando lo que se desea es un análisis integral, la integral de la cantidad de movimiento puede evaluarse con la por ser la subcapa laminar tan delgada. Sin embargo, el esfuerzo cortante en la pared no puede calcularse con la
(5.88) porque da un valor infinito en = 0.
Para determinar el espesor de la capa límite turbulenta, se emplea la (5.17) para la relación integral de la cantidad de movimiento, y el esfuerzo cortante en la pared se evalúa a partir de las relaciones empíri-cas para la fricción superficial presentadas anteriormente. De acuerdo con la (5.52)
y entonces, para Re, de la (5.77) se obtiene
(5.89)
Ahora, utilizando la ecuación integral de la cantidad de movimiento para gradiente de presión nulo junto con el perfil de veloci-dades y el esfuerzo cortante en la pared, se obtiene
=
Integrando y reduciendo términos se tiene
(5.90)
Se va a integrar esta expresión en dos casos:
1. La capa límite es completamente turbulenta desde el borde de ataque de la placa.
2. La capa límite se ajusta a un esquema de crecimiento laminar hasta Re,,,, =5 y turbulento de ahí en adelante.
En el primer caso se integra la (5.89) con la condición de que = 0 en x = obteniéndose
= 0,381 X
(5.91)
En el caso 2 se tiene la condición
= en = 5 (5.92)
Ahora, se calcula a partir de la relación exacta de la
= La integración de la (5.89) da
(5.93)
5
(5.94)
Combinando las distintas relaciones anteriores se tiene
= 0,381 10.256 Re;’ X
(5.95)
Esta relación sólo es aplicable en la región 5 Re, 10’.
EJEMPLO 5.9. ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE TURBULENTA. Cal-cúlese el espesor de la capa límite turbulenta al final de la placa del Ejemplo 5.7, suponiendo que se desarrolla (a) desde el borde de ataque de la placa y (b) desde el punto de transición con Re,,,, = 5
Solución. Puesto que ya se ha calculado el número de Reynolds como Re, = 1,553 es cosa sencilla introducir este valor en las Ecs. (5.91) y (5.95) junto con x = = m, para dar
(a) = = m = mm
(b) =
= m = mm
Los dos valores se diferencian en un 40 por 100.
5.10. TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR EN UN TUBO
Considérese la corriente en el tubo de la Figura 5.13. Se quiere calcular la transferencia de calor en condiciones de flujo desarrollado cuando el flujo se mantiene laminar. La temperatura de la pared es el radio del
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN 175
5.13
control para de la corriente un tuba. Balance de fuerzas sobre un elemento fluido de la corriente en un tubo.
tubo es y la velocidad en el centro del tubo es Se supone presión uniforme en cualquier sección transversal. La distribución de velocida-des se puede obtener considerando el elemento fluido mostrado en la Figura 5.14. Las fuerzas debidas a la presión están equilibradas con las fuerzas debidas al esfuerzo cortante, así que
du dp = dx = dr 0 du = dr Y = d x (5.96)
Con la condición de contorno
en =
= dx
la velocidad en el centro del tubo viene dada por
d p =
dx (5.97)
de manera que la distribución de velocidades se puede poner
U
(5.98) 0
que es la conocida distribución parabólica del flujo laminar en un tubo. Considérese ahora el proceso de transferencia de calor para esta corrien-te. Para simplificar el análisis, se supone que existe un flujo de calor constante en la pared del tubo; esto es
dx - 0
El flujo de calor que entra por conducción en el elemento anular es
dq, = dx
y el calor que sale por conducción es
El calor neto que sale del elemento por convección es
dr dx
O X El balance de energía es
Energía neta que sale por convección = = calor neto que entra por conducción
o, despreciando diferenciales de segundo orden
que puede reescribirse
1
ur (5.99)
Se supone que el flujo de calor en la pared es constante, de modo que la temperatura media del fluido debe aumentar linealmente con x, o
=
Esto significa que los perfiles de temperatura serán similares para varias distancias x a lo largo del tubo. Las condiciones de contorno de la
(5.99) son
0
1
= =Para obtener la solución de la debe introducirse la distribu-ción de velocidades dada por la (5.98). Se supone que los campos de temperatura y velocidad son independientes; esto es, el gradiente de temperatura no afecta al cálculo del perfil de velocidades. Esto equivale a especificar que las propiedades del flujo permanecen constantes. Con la sustitución del perfil de velocidades, la (5.99) queda
La integración conduce a
y una segunda integración da
1
r •t
Aplicando la primera condición de contorno, se encuentra que
= 0
La segunda condición de contorno se ha satisfecho en el momento en que el gradiente axial de temperatura es constante. Se puede escri-bir por la distribución de temperaturas en función de la temperatura en el centro del tubo
= de modo que =
(5.100)
La temperatura promedio
En el flujo en tubos, el coeficiente de transferencia de calor por convec-ción se define generalmente por
Flujo de calor local = = (5.101)
donde es la temperatura de la pared y es la llamada temperatura promedio, o temperatura media energética del fluido a lo largo del tubo, que puede calcularse a partir de
dr
dr (5.102)
La razón para usar la temperatura promedio en la definición del de transferencia de calor en el flujo en tubos, puede explicarse como sigue. En el flujo en un tubo no se distingue fácilmente el estado de la corriente libre, tal como se presenta en el flujo sobre una placa plana. Ni siquiera la temperatura del centro, puede expresarse fácilmente en función de las variables de entrada de la corriente y de la transferencia de calor. En la mayoría de los problemas de transferencia de calor en la corriente en un tubo o un canal, el asunto de mayor interés es la energía total transferida al fluido, o en una longitud elemental del tubo, o a lo largo de toda la longitud del canal. En cualquier posición de x, la tempe-ratura que indica la energía total de la corriente es una tempetempe-ratura ponderada con la masa y la energía, integrada sobre toda el área de la sección del tubo. El numerador de la (5.102) representa el flujo total de energía en la sección del tubo, y el denominador representa el pro-ducto del flujo másico por el calor específico integrado sobre el área de
sección del tubo. La temperatura promedio representa entonces la energía total de la corriente en un lugar determinado. Por esta razón, a la temperatura promedio se la llama a veces «temperatura de mezcla», ya que es la temperatura que tendría el fluido si se le colocase en una cámara de mezcla y se le permitiese alcanzar el equilibrio. Con la distri-bución de temperaturas dada en la la temperatura promedio es una función lineal de porque el flujo de calor en la pared del tubo es constante. Calculando la temperatura promedio a partir de la
se tiene
y para la temperatura de la pared
El coeficiente de transferencia de calor se calcula a partir de
q = =
0
=
El gradiente de temperatura viene dado por
1
r(5.103)
(5.104)
(5.105)
(5.106)
Sustituyendo las Ecs. (5.104) y (5.106) en la (5.105) se tiene
24 k 48 k
Expresado en función del número de Nusselt, el resultado es
= = 4,364 (5.107)
que concuerda con un cálculo exacto llevado a cabo por Tribus y Klein que tiene en cuenta el perfil de temperaturas según se va
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
desarrollando. En el Capítulo 6 se presentarán algunas relaciones empí-ricas para calcular la transferencia de calor del flujo laminar en un tubo. En este momento se puede resaltar que cuando se dice que un fluido entra en un tubo a una cierta temperatura, es a la temperatura promedio a la que se está haciendo referencia. La temperatura promedio se usa en todos los balances globales de energía de los sistemas.
5.11. FLUJO TURBULENTO EN UN TUBO
El perfil de velocidades del flujo turbulento en un tubo tiene la forma mostrada en la Figura 5.15. Una subcapa laminar, o «película», ocupa el espacio cercano a la superficie, mientras que la parte central de la co-rriente es turbulenta. Para determinar analíticamente la transferencia de calor en esta situación, se necesita, como de costumbre, el conocimiento de la distribución de temperaturas en la corriente. Para obtener esta distribución de temperaturas, el análisis debe tener en cuenta el efecto de los torbellinos sobre la transferencia de calor y de cantidad de movi-miento. Se empleará un análisis aproximado que relaciona la conduc-ción y el transporte de calor, con el transporte de cantidad de movimien-to dentro de la corriente, esmovimien-to es, los efecmovimien-tos viscosos.
El flujo de calor a través de un elemento fluido con flujo laminar se puede expresar por
4 A
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por pc, 4
Se recordara que es la difusividad molecular del calor. En flujo turbu-lento se puede suponer que el transporte de calor podría representar-se por
(5.108)
donde es una difusividad turbulenta del calor.
La (5.108) expresa la conducción de calor total como suma de la conducción molecular y la conducción turbulenta macroscópica. De un modo análogo, el esfuerzo cortante en flujo turbulento podría escribirse
(5.109)
donde es la difusividad turbulenta de la cantidad de movimiento. Se supone ahora que el calor y la cantidad de movimiento se transportan a la misma velocidad; esto es, = y v = o Pr = 1.
Dividiendo la (5.108) entre la (5.109) se tiene
- d T
Una suposición adicional es que el cociente entre la transferencia de calor por unidad de área y el esfuerzo cortante es constante a través del campo fluido. Esto resulta consistente con la suposición de que el calor y la cantidad de movimiento se transportan a la misma velocidad. Así
(5.110)
Entonces, integrando la (5.109) entre las condiciones de la pared y las condiciones promedio, se tiene
Pero la transferencia de calor en la pared se puede expresar por
y el esfuerzo cortante se puede calcular a partir de
4 L
La caída de presión se puede expresar en función de un factor de fricción
f
(5.112)
de modo que
Sustituyendo las expresiones de y en la (5. ll 1) se tiene
h f
8 (5.114)
La (5.114) recibe el nombre de analogía de Reynolds para flujo en un tubo. Relaciona el flujo de calor con las pérdidas por fricción de la corriente en un tubo y está en buena concordancia con los experimentos, cuando se utiliza con gases cuyos números de Prandtl están cercanos a la unidad. (Recuérdese que Pr = 1 fue una de las suposiciones del análisis.)
Una fórmula empírica para el factor de fricción turbulento hasta números de Reynolds de 2 aproximadamente, para flujo en tubos lisos, es
0,316
Introduciendo esta expresión en la (5.113) se tiene
= d
(5.115)
0
(5.116) puesto que se supuso que el número de Prandtl era la unidad. Esta deducción de la relación para la transferencia de calor turbulenta en tubos lisos es altamente restrictiva, debido a la suposición Pr l,O.
5. LOS PRINCIPIOS DE LA CONVECCIÓN
La analogía de la transferencia de calor con la fricción en el fluido del Apartado 5.7, indicaba una dependencia del número de Prandtl de en el caso de una placa plana como ha venido a resultar, esta depen-dencia funciona bastante bien en el flujo turbulento en un tubo. Las Ecs. (5.114) y (5.116) se pueden modificar con este factor para dar
8 = 0 0395 d
Según se verá en el Capítulo 6, la predice unos coeficientes de transferencia de calor algo mayores que los observados en los experi-mentos. El objetivo de la discusión en este punto ha sido mostrar que se puede llegar a una relación para la transferencia de calor turbulenta por un procedimiento analítico bastante sencillo. Según se ha indicado ante-riormente, un desarrollo riguroso de la analogía de Reynolds entre la transferencia de calor y la fricción en el fluido, implica consideraciones que van más allá del alcance de esta discusión, y el camino de razona-miento sencillo elegido aquí se ofrece con el propósito de indicar la naturaleza general del proceso físico.
Con fines de cálculo, la que se escribe aquí para poder comparar, es una relación más correcta para utilizarla turbulento
en un tubo liso
= 0,023 (6.4)
Todas las propiedades de la (6.4) se evalúan a la temperatura pro-medio.
5.12. TRANSFERENCIA DE CALOR EN CORRIENTE A ALTA VELOCIDAD
El análisis anterior sobre la transferencia de calor en la capa límite (Apdo. despreciaba los efectos de disipación viscosa dentro de la capa límite. Cuando es muy alta la velocidad de la corriente libre, como en los aviones de alta velocidad, hay que tener en cuenta estos efectos de disipación. Se comienza el estudio considerando el caso adiabático, es decir, una pared perfectamente aislada. En este caso, la temperatura de la pared puede ser considerablemente más alta que la temperatura de la corriente libre, incluso aunque no haya transferencia de calor. Esta alta temperatura se origina por dos causas: (1) el aumento de temperatura del fluido según se le lleva al reposo en la superficie de la placa mientras
la energía cinética del fluio se convierte en energía interna térmica. v el efecto de calentamiento debido a la disipación viscosa. Considérese la primera situación. La energía cinética del gas se convierte en energía térmica según se lleva el gas al reposo, y este proceso viene descrito por la ecuación de la energía de un proceso adiabático en régimen esta-cionario
1 = .
donde es la entalpía de remanso del gas. escribir en función de la temperatura como
(5.117)
Esta ecuación se puede
1 T,) =
donde es la temperatura de remanso y es la temperatura estática de la corriente libre. Expresada en función del número de Mach de la corriente libre, esto es
(5.118) donde es el número de Mach, definido como = y a es la velocidad del sonido, que para un gas perfecto puede calcularse con
a = (5.119)
donde R es la constante del gas.
En el caso real de un problema de corriente con capa límite, al fluido no se le lleva al reposo reversiblemente, debido a que la acción viscosa es, básicamente, un proceso irreversible desde el punto de vista
mico. Además, no toda la energía cinética de la corriente libre se con-vierte en energía térmica, parte se pierde como calor, y parte se disipa en forma de trabajo viscoso. Para tener en cuenta las irreversibilidades en la corriente con capa límite, se define un factor de recuperación como
r = (5.120)
donde es la temperatura de pared adiabática real y es la tempera-tura estática de la corriente libre. El factor de recuperación se puede determinar experimentalmente, o, en algunas corrientes, se pueden hacer cálculos analíticos.
