Unidad 5:
I nteg r ació n
m ú l t iple
1. INTEGRALES DOBLES ... 1
1.1 Definición de integral doble ... 1
1.2 Propiedades de la integral doble ... 4
2. EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES ... 4
2.1 Integrales iteradas ... 5
3. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES ... 7
4. AREA SUPERFICIAL ... 9
5. INTEGRALES TRIPLES. ... 10
5.1 Definición de integral triple ... 10
5.2 Masa y carga ... 10
5.3 Evaluación de integrales triples ... 13
6. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS ... 14
6.1 Coordenadas cilíndricas ... 14
6.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas cilíndricas ... 15
7. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS ... 15
7.1 Coordenadas esféricas. ... 15
7.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas esféricas... 17
8. MOMENTOS Y CENTROS DE GRAVEDAD ... 18
Notas de clase: Angel Balderas Puga
1
INTRODUCCIÓN
En esta unidad generalizaremos ahora otro de los conceptos básicos del Cálculo de una variable: el concepto de integral, concepto que extenderemos a funciones de varias variables, para este tipo de funciones existen básicamente 4 tipos de integrales: dobles, triples, de superficie y de línea. Los dos primeros tipos los veremos en esta unidad y los otros dos en la siguiente.
Nuestra definición de integral definida para una función f de una variable continua en un intervalo [a,b], fue introducida para resolver problemas relativos a áreas, superficies, volúmenes, trabajo desarrollado por una fuerza variable en la dirección del movimiento, etc.. A pesar de que las integrales definidas se usan para resolver aún otro tipo de problemas (centros de masa, presiones de líquidos, intensidades de corriente, etc.) fue muy cómodo utilizar nuestra primera interpretación como área debajo de una curva para intuir y justificar sus propiedades.
En esta unidad veremos como las integrales de funciones de dos y tres variables nos permitirán obtener áreas de regiones más complicadas, volúmenes de muchos tipos de sólidos y masas y centros de gravedad de objetos bi y tridimensionales.
1. INTEGRALES DOBLES
1.1 Definición de integral doble
Seguramente recordarás como fue que utilizamos el método de los límites para determinar el área de la región determinada por la gráfica de una función f:[a,b]R continua y positiva ,el eje X y las rectas
verticales x=a y x=b.
Esencialmente desarrollamos los siguientes 4 pasos: Figura 1
paso 1: Se la partimos al intervalo [a,b] (es decir, hicimos una partición P del intervalo [a,b], en n subintervalos
de la misma longitud (aunque esto lo hicimos más que nada para simplificar cálculos ya que no es estrictamente necesario pues cada subintervalo podía tener una longitud diferente)
paso 2: Para cada subintervalo i tomamos un
punto cualquiera xi .
paso 3: Consideramos las
sumas de Riemann: n
i1 f(x i) i (1) Figura 2 Figura 3Recordarás también que cada uno de los términos de las sumas de Riemann representa el área de un rectángulo de base i y altura f(xi) y que la suma respectiva aproximaba al área buscada.
Notas de clase: Angel Balderas Puga
n
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores
cuando Ai0 (esto equivale a decir que "la norma de la
partición P tiende a 0") y establecimos que
bf(x)dx = lim
f(x ) i i (2) a i 0 i1El procedimiento anterior lo podemos generalizar para el caso de funciones de dos variables f(x,y) continuas en una cierta región del plano R y nuestra definición de integral doble estará motivada por medio de ciertas propiedades elementales que intuitivamente sabemos que tienen los volúmenes.
Figura 4
Sea f:RR2R+ una función continua y positiva (es decir, que su gráfica se halla toda arriba del plano XY). Sea D el sólido limitado por arriba por la
gráfica de f, por abajo por el plano XY y por los lados por la superficie vertical que pasa a través de la frontera de R.
Dicho sólido está representado en la Figura 5: la región R es el rectángulo de vértices OLQM y representa la parte del dominio de la función donde queremos trabajar, la gráfica de f funciona como "techo" del sólido, el plano XY como "piso" y los planos verticales que pasan por la frontera
de R como las "paredes". Figura 5 Figura 6
Si la función es constante no tenemos ningún problema para calcular el volumen de dicho sólido, por ejemplo en la Figura 6 hay una representación de la función f(x,y)=4 en el rectángulo [1,3][2,5] y su volumen está dado
por la fórmula V=Ah.
Consideremos ahora el problema de determinar el volumen de D (normalmente, a este volumen le llamaremos el volumen V entre f y R).
Una suposición básica es que R es un rectángulo (más adelante consideraremos el caso general usando los resultados de esta suposición).
De acuerdo con el método de los límites, lo que tenemos que hacer es hallar una serie de aproximaciones sucesivas a V cada una de las cuales debe ser mejor que la precedente y recuerda que podemos comenzar con una aproximación que sea muy burda, basta que sea susceptible de irla mejorando continuamente.
La idea central es la de obtener el volumen de D como la suma de los volúmenes de una serie de paralelepipeditos.
Repetimos los pasos hechos en Cálculo I con las necesarias modificaciones:
0
Integrales múltiples 3
paso 1: Se la partimos al rectángulo R (es decir, hacemos una
partición P del rectángulo R en n subrectángulos de la misma área (aunque esto lo hacemos más que nada para simplificar cálculos ya que no es estrictamente necesario pues cada subrectángulo puede tener una diferente área). Ve la Figura 7.
paso 2: Para cada subrectángulo Ri sea Ai el área de Ri y
tomamos un punto cualquiera (xi,yi)Ri.
Para cada subrectángulo Ri vamos a considerar el paralelepípedo
de base Ri y altura hi=f(xi,yi) (ve la Figura 8) y calculamos su
volumen que sería Vi=f(xi,yi) Ai (ve la Figura 9).
Figura 7
Figura 8 Figura 9
n
paso 3: Consideramos las sumas de Riemann:
f(xi,yi) Ai (3)i1
(estas sumas aproximan el volumen total de D pues representan la suma de los volúmenes de todos los paralelepipeditos)
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Ai0 (esto equivale a decir que "la norma de la n
partición P tiende a 0") y establecemos que V= lim
f(xi,yi) Ai (4)Ai 0 i1
Consideremos ahora el caso más general de una región R cualquiera pero que esté acotada, es decir, que exista un rectángulo R' que la contenga (ve la Figura 10), podemos utilizar los resultados anteriores usando la función g(x,y) definida en R' de la siguiente manera:
g(x,y) = f ( x, y) ( x, y) R
( x, y) R
como g está definida en un rectángulo, entonces valen nuestros resultados y es claro que el volumen entre f y R coincide con el volumen entre g y R.
Después de nuestro análisis, podemos dar la siguiente definición.
Figura 10
DEFINICION 1 (integral doble)
Dada la función f:RR2R+ (es decir, f(x,y)0 (x,y)R), donde R es una región acotada y f es continua en R,
se dice que f es INTEGRABLE EN R si y sólo si existe
n
lim
f(xi,yi) AiAi 0 i1
en ese caso, para representar a ese límite usaremos la notación a ese límite se le dice INTEGRAL DOBLE de f sobre R.
f(x,y) dAR
De acuerdo a lo anterior, el volumen V entre f y R está dado por: V=
f(x,y) dA (5) R1.2 Propiedades de la integral doble
En esta parte extenderemos toda una serie de propiedades de las integrales dobles análogas a las propiedades de la integral definida para funciones de una variable, comenzamos por extender el concepto de integral doble a las funciones negativas y en este caso la definición 2 es evidente pues se trata de un sólido análogo al sólido D considerado en el punto anterior sólo que "de cabeza" por lo que el volumen es el mismo (en este caso, el piso está dado por la gráfica de f y el techo por el plano XY).
DEFINICION 2 (integral doble de funciones negativas)
Dada la función f:RR2R(es decir, f(x,y)0 (x,y)R), donde R es una región acotada y f es continua en R,
entonces:
f(x,y) dA =
f(x,y) dAR R
Ahora enunciamos varias propiedades en el teorema 1 en donde se supone que todas las regiones y las funciones son tales que las integrales indicadas existen.
TEOREMA 1
1)
(f+g)(x,y) dA =
f(x,y) dA +
g(x,y) dA 2)
(cf)(x,y) dA = c
f(x,y) dAR R R R R
3) Si f(x,y) g(x,y), entonces
f(x,y) dA
g(x,y) dAR R
4) Si R es la unión de dos regiones R1 y R2 que no se sobreponen ni se traslapan (ve la figura de la derecha), entonces:
f(x,y) dA =
f(x,y) dA +
f(x,y) dAR R1 R2
Figura 11
2. EVALUACION DE LAS INTEGRALES DOBLES
Es prácticamente imposible, salvo en casos verdaderamente excepcionales, evaluar una integral doble utilizando las sumas de Riemann, el siguiente ejemplo te dará una idea de la complejidad de tales cálculos. No sólo es complejo evaluar una integral doble usando su definición sino que también sucede que existen regiones en las que no toda función continua es integrable por lo que sólo consideraremos dos tipos particulares de regiones en las que toda función continua es integrable y para las cuales se cuenta con un método directo para evaluar integrales dobles.
Integrales múltiples 5
DEFINICION 3 (regiones simples)
1) Una región plana R se dice VERTICALMENTE SIMPLE (o REGION TIPO I) si existen dos funciones continuas g1 y g2 en un intervalo [a,b] tales que g1(x)g2(x) x[a,b] y tal que R es la región entre las gráficas de
g1 y g2 en [a,b].
2) Una región plana R se dice HORIZONTALMENTE SIMPLE (o REGION TIPO II) si existen dos funciones continuas h1 y h2 en un intervalo [c,d] tales que h1(y)h2(y) y[c,d] y tal que R es la región entre las gráficas de
h1 y h2 en [c,d].
3) Una región plana R se dice SIMPLE si es al mismo tiempo del tipo I y del tipo II.
Figura 12: Región verticalmente simple Figura 13: Región horizontalmente simple Figura 14: Región simple
Como ejercicio, determina de que tipo son las siguientes regiones (simples, verticalmente simples, horizontalmente simples o ninguna de las anteriores)
Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18
2.1 Integrales iteradas
Consideremos una función f(x,y) continua en una región rectangular R=[a,b][c,d], si x se mantiene
constante y variamos y, entonces f(x,y) es una función de la sola variable y y por lo tanto tiene sentido evaluar
d
f(x,y)dy (6)
c
al hacer esto se dice que se está haciendo una
integración parcial con respecto a y en ese caso a
cada x[a,b] le corresponde un valor único de dicha
integral por lo queda automáticamente determinada la función
A(x) = d f(x,y)dy (7)
c Figura 19
Notas de clase: Angel Balderas Puga
2Análogamente, si y se mantiene constante y variamos x, entonces f(x,y) es una función de la sola variable x y por lo tanto tiene sentido evaluar b f(x,y)dx al hacer esto se dice que se está haciendo una integración parcial con
a
respecto a x y en ese caso, a cada y[c,d] le corresponde un valor único de dicha integral por lo queda
automáticamente determinada la función
B(y) =
bf(x,y)dx
(8)
a
Se puede probar que las funciones A(x) y B(y) son continuas en sus respectivos dominios por lo que tiene sentido entonces integrar con respecto a sus respectivas variables y evaluar:
b b d A(x)dx =
d d b
c f ( x, y)dydx y c B(y)dy = c
a f ( x, y)dxdylo que justifica la siguiente definición.
DEFINICION 4 (integrales dobles iteradas)
las integrales
b
d f(x,y)dydx =
b
df ( x, y)dy dx y
d
b f(x,y)dxdy =
d b f ( x, y)dx dy a c a c c a c a
reciben el nombre de INTEGRALES DOBLES ITERADAS.
Puede probarse que en el caso de que f sea continua, las dos integrales iteradas señaladas en la definición anterior, son iguales por lo que no importa el orden en el que integremos.
Ahora extenderemos la definición anterior para el caso de regiones simples.
DEFINICION 5 (integrales dobles iteradas sobre regiones simples)
Para regiones del tipo I se tiene que
b
g2 ( x ) f(x,y) dydx =
b
g2 ( x )f ( x, y)dydx
a g1 ( x ) a g1 ( x )
y para regiones del tipo II se tiene que:
d
h2 ( y ) f(x,y) dxdy =
d h ( y ) f ( x, y)dx dy c h1 ( y ) c h1 ( y ) Bonaventura Cavalieri (1598-1647)El matemático italiano Bonaventura Cavalieri dedicó gran parte de su trabajo al cálculo de volúmenes y hay un principio que lleva su nombre y que en esencia dice lo siguiente:
"podemos calcular el volumen de un sólido partiéndolo en rebanadas transversales, calculando el volumen de cada rebanada y luego sumando dichos volúmenes" (ve la figura de al lado).
Figura 20
Naturalmente, la mejor aproximación la podemos lograr haciendo que las rebanadas tengan el menor espesor posible y esto se logra considerando rebanadas que en realidad son secciones transversales del sólido (ve la figura).
Con lo que hemos visto hasta ahora, finalmente, podemos ya enunciar el teorema que nos permitirá evaluar integrales dobles sobre regiones simples usando integrales iteradas.
TEOREMA 2 (teorema de Fubini)
1) Sea R una región del tipo I. Si f es una función continua en R, entonces:
f(x,y) dA=
b
g2 ( x )f(x,y) dydx
R a g1 ( x )
2) Sea R una región del tipo II. Si f es una función continua en R, entonces:
f(x,y) dA=
d
h2 ( y ) f(x,y) dxdyR
3) Si R es una región simple y si f es una función continua en R, entonces:
c h1 ( y )
f(x,y) dA =
b
g2 ( x ) f(x,y)dydx =
d
h2 ( y ) f(x,y) dxdyR a g1 ( x ) c h1 ( y )
En la aplicación del teorema para la evaluación de integrales dobles debes tener cuidado de esquematizar la región R y determinar su frontera, de tal manera que puedas identificar el tipo de región y los límites de integración. En el caso de las regiones simples, puede ser que una de las dos integrales sea muy difícil de calcular o incluso !imposible de hacerlo! por lo que con cuidado se puede invertir el orden de integración. La integración sobre regiones R más generales puede llevarse a cabo siempre y cuando R se pueda descomponer en regiones simples
R1, R2,..., Rn y tales que Ri y Rj sólo tengan en común los puntos de su frontera y en ese caso:
f(x,y) dA =
f(x,y) dA +
f(x,y) dA +…+
f(x,y) dA (9) R R1 R2 RnCon un pequeño truco, las integrales dobles pueden servirnos también para calcular áreas de regiones planas, basta considerar poner:
A =
1 dA (10)R
3. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
Ya vimos en la Unidad I que ciertas regiones del plano XY, tales como círculos, cardioides o lemniscatas se pueden describir más fácilmente en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares por lo que también el calcular integrales dobles sobre dichas regiones se simplifica usando tales coordenadas.
Nuestro problema sigue siendo el problema de dada una región R (ahora en coordenadas polares) determinar el volumen V del sólido D limitado por arriba por la gráfica de una función f de dos variables, por abajo por el plano XY y por los lados por la superficie vertical que pasa a través de la frontera de R.
El tipo de región sobre la que debemos integrar en coordenadas polares se puede describir de la siguiente manera:
Supongamos que las funciones polares h1 y h2 son continuas en el
intervalo [,], donde 02 y tales que 0h1()h2() para
, sea R la región del plano cuya frontera está determinada por las rectas =, = y las gráficas polares de r=h1() y r=h2(), en ese
caso decimos que R es la región entre las gráficas polares de h1 y h2
La región antes descrita no tiene por que ser del tipo I o del tipo II.
Ahora suponemos -para simplificar- que nuestra región R sobre la que queremos integrar es una región delimitada por arcos de circunferencia con centro en el origen y por dos rectas que salen del mismo punto (más adelante consideraremos el caso general usando los resultados de esta suposición). En este caso, nuestra figura elemental para hacer la partición de una región R dada en coordenadas polares no será un rectángulo sino una región elemental como la descrita en el párrafo anterior (ve la Figura 22).
Y ahora repetimos nuestros famosos 4 pasos con las necesarias modificaciones:
paso 1: Partimos la región R con una retícula radial (es decir, hacemos
una partición P de la región R en n subregiones con el mismo ángulo de amplitud (aunque esto lo hacemos más que nada para simplificar cálculos ya que no es estrictamente necesario pues cada subregión puede tener una diferente amplitud).
paso 2: Para cada subregión Ri sea Ai el área de Ri (en ese caso si
tomamos el punto (ricosi, riseni)Ri con los valores medios de r y de
, entonces Ai=ri ri i (ve la gráfica de la derecha). Figura 23
n
paso 3: Consideramos las sumas de Riemann:
f(ri cosi , ri seni) Ai (11)i1
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Ai0 y establecemos que
n
V =
lim
f(r
icos
i, r
isen
i) r
i
r
i
i(12)
Ai 0 i1
Por otro lado, podemos observar que la región R corresponde a una región simple S en el plano r y entonces cada subregión Ri corresponde a un subrectángulo Si en S por lo que identificamos el límite anterior con la doble
integral
f(r cos, r sen) r dA , pero desde el momento que S es simple, entonces: S
f(r cos, r sen) r dA =
h2 () f(r cos, r sen) r dr d (13) S h1 ()Si consideramos ahora el caso más general de una región R en coordenadas polares cualquiera pero que esté acotada, es decir, que exista una región R' entre dos arcos de circunferencia que la contenga, podemos utilizar los resultados anteriores usando la función g(x,y) definida en R' de la siguiente manera:
f ( x, y)
g(x,y) =
0
( x, y)R
( x, y)R (14)
como g está definida en una región entre dos arcos circulares, entonces valen nuestros resultados y es claro que el volumen entre f y R coincide con el volumen entre g y R.
Sintetizamos nuestra discusión anterior en el siguiente teorema que nos permitirá evaluar integrales dobles en coordenadas polares usando también integrales iteradas.
TEOREMA 3 (integrales dobles en coordenadas polares)
Dadas las funciones continuas h1,h2:[,]R, donde 02 y tales que 0h1()h2() para , sea R la
región entre las gráficas polares de r=h1() y r=h2(), para . Si f es continua en R, entonces:
f(x,y) dA =
h2 () f(r,) r dr dR h1 ()
En el caso de que f sea una función dada en coordenadas polares f(r,), puede probarse que:
R h1 ()
[ fx ( xi , yi )]2 [ f y ( xi , yi )]2 1 [ fx ( x, y)]2 [ f y ( x, y)]2 1 [ fx ( x, y)]2 [ f y ( x, y)]2 1 n
4. AREA SUPERFICIAL
Recordarás que en tu curso anterior de Cálculo viste fórmulas para la obtención de la superficie de un sólido de revolución pero no se hizo un análisis sobre sólidos más generales, en esta parte veremos como las integrales dobles juegan un papel preponderante en la solución de este problema.
Consideremos una función f continua, positiva y definida sobre una región R tipo I o tipo II en el plano XY y tal que f tenga parciales continuas en R. Sea G la gráfica de f en R y nos interesa obtener el área S de G. Ya sabemos que podemos tranquilamente suponer que R es un rectángulo ya que si no lo es tomamos un rectángulo
R' que la contenga y sustituimos f por una función g adecuada para extender nuestros resultados.
Y ahora como era de esperarse volvemos a repetir los famosos 4 pasos con las necesarias modificaciones:
paso 1: Se la partimos al rectángulo R.
paso 2: Para cada subrectángulo Ri sean xi y yi las longitudes de
los lados y tomamos un punto cualquiera (xi,yi,0)Ri y sea Pi(xi,yi,
f(xi,yi)) el punto correspondiente en G. Consideremos ahora el plano
tangente a G en Pi y sean Ti y Si las áreas de las regiones en el
plano tangente y en G (Qi y Si en la figura de la derecha,
respectivamente) y dado que el plano tangente es el plano que mejor aproxima localmente a G. Ti es la mejor aproximación a Si que
podemos hacer.
paso 3: Consideramos las sumas:
Tii1 Figura 24
Ahora lo que necesitamos es obtener una fórmula que nos permita obtener el valor de cada Ti.
Cortemos a G en Pi con dos planos paralelos a los planos XZ y YZ. Los vectores T1i=i+fx(xi,yi)k y
T2i=j+fy(xi,yi)k son tangentes a las trazas obtenidas (ve la nota 10 de la definición 13 de la unidad III) por lo que
pertenecen al plano tangente en Pi por lo que podemos usar a los vectores
xi T1i =xi [i + fx(xi, yi) k] y yi T2i =yi [j + fy(xi, yi) k]
para determinar el área de Qi, Ti = ||xi T1i yi T2i ||, de donde
T
i=
A
i(15)
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando n Ai0 y establecemos que:
S =
lim
A
i(16)
Ai 0 i1
de donde identificamos que en el lado derecho de la anterior igualdad aparece el límite de una suma de Riemann que aproxima a
S =
dAR
por lo que después de nuestro análisis, podemos dar la siguiente definición:
DEFINICION 6 (área superficial)
Sea R una región tipo I ó tipo II y sea f una función con derivadas parciales continuas en R. Si G es la gráfica de
f en R, entonces el área superficial S de G se define de la siguiente manera:
S =
dAR
Esta fórmula sirve también en el caso que f sea una función negativa en R. Por lo general es usualmente imposible obtener el área superficial usando la fórmula de la definición aunque en algunos casos es posible.
Notas de clase: Angel Balderas Puga
10 Integrales múltiples
5. INTEGRALES TRIPLES
5.1 Definición de integral triple
Un proceso análogo al de las integrales dobles se puede llevar a cabo para definir una integral triple para funciones de varias variables, en ese caso la función ya no estaría definida en una región R del plano XY sino en un sólido D del espacio.
Las integrales múltiples no sólo se usan para definir y para calcular áreas y volúmenes sino que tienen gran aplicación en muchos otros problemas, por ejemplo para definir y evaluar momentos de inercia de un cuerpo, centros de gravedad de regiones planas y sólidas, masa de un cuerpo, y carga total de una partícula.
En esta parte sólo veremos algunas aplicaciones que no requieren de conceptos de Cálculo I y de Física que seguramente no viste.
5.2 Masa y carga
De acuerdo con la teoría molecular de la materia, cualquier pedazo de materia es simplemente una colección de moléculas por lo que su masa es igual a la suma de las masas de sus moléculas. Sin embargo, sus moléculas son tan numerosas que no lograríamos contarlas y hallar una suma de ese tipo desafía incluso a las computadoras más modernas.
Para poder calcular la masa de un cubo de hielo o de una viga de acero es necesario idealizar la masa y pensarla como si estuviera "extendida" a través de todo el objeto y no sólo localizada en sus moléculas.
Si la masa m de un objeto se distribuye uniformemente u homogéneamente a través del objeto y el volumen
V del objeto no es cero, entonces la DENSIDAD DE MASA del objeto se define por la ecuación: = m
V (17)
y esta ecuación se aplica a cualquier objeto no sólo a un cubo de hielo o una viga de acero o de madera sino incluso a líquidos.
En cambio si por ejemplo, consideramos un cubo de naranjada congelada. Debido a los asentamientos, la porción inferior del cubo probablemente será más pesada que la parte superior en cuyo caso la masa no se distribuye homogéneamente a través del cubo.
Para el caso de objetos no homogéneos D es necesario entonces describir la masa para sus diferentes partes lo que nos lleva a hacer un análisis local para definir la densidad de masa en un punto:
(x,y,z)= lim m
V 0 V (18)
donde m es la masa y V es el volumen de un paralelepípedo con centro en (x,y,z) y donde V
la mayor dimensión del paralelepípedo.
representa a
Nuestra suposición de que la masa se distribuya a lo largo de todo el sólido D se formaliza con la suposición de que la función sea continua en D. Bajo esta hipótesis los científicos están en posibilidades de describir muchos fenómenos físicos con una muy buena exactitud.
Consideremos entonces un sólido D de masa no homogénea del cual conocemos la función densidad de masa (x,y,z) y nos ponemos el problema de determinar su masa total.
Y a estas alturas ya estás hasta las chanclas con los famosos 4 pasos pero ni modo tenemos que volverlos a usar con las necesarias modificaciones:
Integrales múltiples 11
Figura 25 Figura 26
paso 1: Consideremos ahora un paralelepípedo D' que contenga a D y hagamos una partición P de D' en paralelepipeditos numerados de tal manera que D1, D2,. , Dn sean los paralelepipeditos contenidos totalmente en D mientras que Dn+1, Dn+2,. , Dp son los paralelepipeditos que sólo parcialmente están contenidos en D y sea f
una función continua en D.
paso 2: Para cada subsólido Di sea (xi , yi ,zi ) un punto cualquiera de Di y Vi el volumen de Di.
Entonces (xi , yi ,zi ) Vi aproxima a mi y como la masa m está dada aproximadamente por m1 + m2 +. +
mn entonces:
paso 3: Consideramos las sumas de Riemann:
i1
(xi , yi ,zi ) Vi (19)
n
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Vi 0: lim
(xi , yi ,zi ) Vi (20)Vi 0 i 1
Consideremos ahora otro problema que nos conduce al mismo tipo de límite.
Si un objeto tal como una bola de cobre tiene una distribución homogénea de carga eléctrica (eso quiere decir que dadas dos porciones cualquiera del objeto que tengan el mismo volumen entonces tienen la misma carga), entonces se define LA DENSIDAD DE CARGA del objeto como
= q (21)
V
donde q es la carga del objeto y V su volumen. Si un objeto no tiene una distribución homogénea de carga entonces en cualquier punto (x,y,z) se define su densidad de carga como
(x ,y ,z) = lim q
V 0 V
(22)
donde q es la carga y V es el volumen de un paralelepípedo con centro en (x,y,z) y donde V
mayor dimensión del paralelepípedo.
representa a la
Con una argumentación similar al caso anterior tenemos que la CARGA TOTAL q en un objeto cargado eléctricamente está dada por
n
n
n
12 Integrales múltiples
lim
(xi, yi, zi)Vi (23)Vi 0 i1
Un tercer problema que da origen al concepto de integral triple es el siguiente:
Consideremos una región R tipo I ó tipo II en el plano XY y sean F1 y F2 dos funciones continuas en R tales
que
F1(x,y) F2(x,y) (x,y)R
sea D el sólido determinado por todos los puntos (x,y,z) tales que (x,y)R y F1(x,y) z F2(x,y)
a ese sólido se le llama sólido entre las gráficas de F1 y F2 en R. Y pensemos en una función f(x,y,z) definida en
cada punto de D.
Hay van otra vez los cuatro pasos:
paso 1: Consideremos ahora un paralelepípedo D' que contenga a D y hagamos una partición P de D' en
paralelepipeditos numerados de tal manera que D1, D2, ... , Dn sean los paralelepipeditos contenidos totalmente en D mientras que Dn+1, Dn+2, ... , Dp son los paralelepipeditos que sólo parcialmente están contenidos en D y sea f
una función continua en D.
paso 2: Para cada subsólido Di sea (xi, yi, zi) un punto cualquiera de Di y Vi el volumen de Di.
paso 3: Consideramos las sumas de Riemann:
Vi (24)i1
paso 4: Pasamos al límite de las sumas anteriores cuando Vi 0: lim
Vi (25)Vi 0 i 1
y este último límite es de la forma lim
f(xi, yi, zi) Vi con f(xi, yi, zi)=1Vi 0 i 1
los tres problemas anteriores nos conducen a la misma operación sobre una función de tres variables lo que sugiere la siguiente definición.
DEFINICION 7 (integral triple)
Sea D una región sólida. Si f es continua en D definimos la INTEGRAL TRIPLE de f en D como:
n
f(x,y,z) dV = lim
f(xi, yi, zi)Vi D Vi 0 i1entonces, de acuerdo a la definición, dado un sólido no homogéneo D, su masa m y su carga eléctrica q están dadas por:
m=
(xi, yi, zi ) dV y q=
(x ,y ,z) dVD D
Notas de clase: Angel Balderas Puga
F ( x , y )
5.3 Evaluación de integrales triples
En general, las sumas de Riemann no son muy efectivas a la hora de evaluar integrales triples, una vez más, las integrales iteradas (en esta ocasión tres integrales consecutivas) nos proporcionan un método de evaluación como se señala en el siguiente teorema.
TEOREMA 4 (evaluación de integrales triples)
Sea D la región sólida entre las gráficas de dos funciones continuas F1 y F2 en una región R tipo I o tipo II en el
plano XY. Si f es continua en D entonces:
f(x, y, z) dV=
F2 ( x , y ) f ( x, y, z)dz dA
1 Evaluamos D
F2 ( x , y ) f ( x, y, z)dz F1 ( x , y ) Rintegrando con respecto a z y manteniendo constantes a x y a y y luego
integramos la integral doble sobre R como ya sabemos hacerlo.
Si R es una región tipo I entre las gráficas de g1 y g2 en [a,b], se evalúa la integral doble usando el teorema de
Fubini y obtenemos:
f(x, y, z) dV=
b
g2 ( x )
F2 ( x , y ) f ( x, y, z)dz
dy
dx (26) a g1 ( x ) D F1 ( x , y )En cambio si R es una región tipo II entre las gráficas de h1 y h2 en [c,d], se evalúa la integral doble usando el
teorema de Fubini y obtenemos:
f(x, y, z) dV=
d
h2 ( y )
F2 ( x , y )f ( x, y, z)dz
dx
dy (27)D c h1 ( y )
F1 ( x , y )
A las integrales que aparecen en los lados derechos de las anteriores igualdades se les dice INTEGRALES TRIPLES ITERADAS y normalmente se acostumbra no escribir los paréntesis por lo que podemos escribir:
b
g2 ( x ) a g1 ( x )
F2 ( x , y ) f ( x, y, z)dz dy dx y F1 ( x , y ) d
h2 ( y) c h1 ( y)
F2 ( x , y ) f ( x, y, z)dz dx dy F1 ( x , y )Otra vez, con un pequeño truco, las integrales triples pueden servirnos también para calcular volúmenes de regiones sólidas entre las gráficas de dos funciones F1 y F2, basta poner:
V =
1 dV (28)D
y en ese caso tendríamos que: V=
F2(x ,y) F1(x ,y)
dA Ren el caso de que F1 sea la función constante cero, entonces la fórmula anterior es la misma que aparece en la
definición 1 con F2 remplazando a f por lo que nuestra nueva fórmula define el volumen para una clase mayor de
sólidos que la que tenemos en la definición 1 ya que ahora no se requiere que F1 sea igual a cero.
La integración sobre sólidos D más generales puede llevarse a cabo siempre y cuando D se pueda descomponer en sólidos del tipo de la definición 6 D1 ,D2 ,...,Dn y tales que Di y Dj sólo tengan en común los puntos de su
frontera y en ese caso:
f(x, y, z) dV=
f(x, y,z) dV +
f(x, y,z) dV + ... +
f(x, y,z) dV (29)D D1 D2 Dn
6. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
Así como el calcular integrales dobles sobre ciertas regiones se simplifica usando coordenadas polares, el calcular algunas integrales triples sobre ciertas regiones se simplifica usando las llamadas coordenadas cilíndricas que introducimos a continuación.
6.1 Coordenadas cilíndricas
Se trata de una generalización del sistema de coordenadas polares. En este caso cada punto P del espacio está determinado por tres coordenadas, las dos primeras son coordenadas polares en el plano XY y la tercera es la distancia dirigida de dicho plano a P.
Entonces las coordenadas de P serían (r,,z) con
r[0,+), [0,2) y z(,+)
Al igual que con las coordenadas polares la utilización de un sistema de coordenadas no rectangular está justificada por la simplicidad con la que algunos entes geométricos pueden ser
descritos en otro tipo de coordenadas. Figura 27: coordenadas cilíndricas
Por ejemplo, en la siguiente tabla se comparan las ecuaciones de algunas superficies usando coordenadas rectangulares y coordenadas cilíndricas (de hecho el nombre de coordenadas cilíndricas está dado en base a la ecuación tan sencilla que tiene un cilindro en dicho sistema):
Tabla 1
superficie rectangulares cilíndricas
Cilindro x2 + y2 = a2 r = a
Esfera x2 + y2 + z2 = a2 r2 + z2 = a2
Doble cono circular x2 + y2 = a2 z2
r = az ó z = rcot
Paraboloide circular x2 + y2 = az r2 = az
A la derecha se muestra la gráfica en coordenadas cilíndricas de la superficie
r=1+cos(2)cosz
con valores de en el intervalo
[0,2].
Se presentan dos vistas para diferentes valores de z.
Figura 28 Figura 29
F ( x , y )
Integrales múltiples 15
6.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas cilíndricas
El teorema 4 señala que bajo ciertas condiciones vale la siguiente igualdad:
f(x, y, z) dV=
F2 ( x , y )f ( x, y, z)dz dA
(30)1
D R
Por otro lado ya sabes evaluar integrales dobles en coordenadas polares, estos dos resultados nos proporcionan un método para la evaluación de integrales triples usando coordenadas cilíndricas.
TEOREMA 5 (evaluación de integrales triples usando coordenadas cilíndricas)
Sea D la región sólida entre las gráficas de dos funciones continuas F1 y F2 en una región R del plano entre las gráficas
polares de h1 y h2 en el intervalo [,] con 02 y 0 h1() h2() para .
Si f es continua en D, entonces:
Figura 30
f(x, y, z)dV=
h2 ()
F2 ( rcos,rsen) f(rcos, rsen, z)r dzdrd (31)D h1 () F1 ( rcos,rsen)
La integración por medio de coordenadas cilíndricas es especialmente efectiva cuando expresiones que contienen x2+y2 aparecen en el integrando o en los límites de integración y la región sobre la cual se va a integrar puede ser descrita de una manera sencilla por medio de coordenadas polares.
Además es frecuente encontrar integrales triples iteradas en coordenadas rectangulares que pueden ser evaluadas de una manera más sencilla cambiando a coordenadas cilíndricas. El procedimiento consiste en describir en coordenadas cilíndricas la región sobre la que se desea integrar y luego evaluar la correspondiente integral triple en coordenadas cilíndricas.
7. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS
El uso de las llamadas coordenadas esféricas simplifica la evaluación de integrales triples cuando se debe integrar sobre una región sólida cuyas fronteras son superficies tales como esferas y conos, a continuación introducimos dichas coordenadas.
7.1 Coordenadas esféricas
Este sistema es una modificación del sistema de latitudes y longitudes usado en la esfera terrestre como sistema de referencia para puntos sobre su superficie (ve las gráficas de la derecha).
16 Integrales múltiples
En el sistema de coordenadas esféricas cada punto P del espacio está determinado por tres coordenadas, la primera es la distancia entre el origen O y P, la segunda es el ángulo formado por la proyección del segmento OP en el plano XY con una recta horizontal fija (por lo general el eje X) y la última coordenada está dada por el ángulo formado por el segmento OP con una recta vertical fija (por lo general el eje Z).
Entonces las coordenadas de P serían (,,) con [0,+ ),
[0,2) y [0,). Frecuentemente se dice longitud y colatitud (por ser el complemento de la latitud).
Figura 33: coordenadas esféricas
Al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, el nombre de coordenadas esféricas está dado con base en la ecuación tan sencilla que tiene una esfera en dicho sistema. Por ejemplo, en la siguiente tabla se muestran las superficies en las que alguna de las coordenadas esféricas es constante.
Tabla 2
superficie ecuación
Esfera = a Cono circular = a Semiplano = a
Para pasar de una ecuación en coordenadas rectangulares a su correspondiente ecuación en coordenadas esféricas se usan las siguientes fórmulas:
x = sen cos, y = sen sen y z = cos (32)
Abajo se muestra la gráfica en coordenadas esféricas de la superficie r=0.8 sen
La primera gráfica corresponde a los valores de en el intervalo [0,2] y valores de en el intervalo [0,],
mientras que en la segunda [0,4] y [0,/2].
Figura 34 Figura 35
7.2 Evaluación de integrales triples en coordenadas esféricas
Así como los paralelepípedos forman los sólidos tridimensionales básicos para la integración en coordenadas rectangulares, trozos esféricos forman los sólidos tridimensionales básicos para la integración en coordenadas esféricas.
Figura 36 Figura 37
Un trozo esférico es la región sólida D cuyas fronteras están dadas por las siguientes superficies:
=0 y =1, =0 y =1, =0 y =1 (33)
donde 001, 001, 0012
En ese caso, puede probarse que el volumen V del trozo esférico D arriba descrito está dado por:
33
V = 1 0
3 (cos0 cos1) ( 1 0 ) (34)
Podemos expresar la fórmula anterior de una manera más útil aplicando el teorema del valor medio a las funciones 3 en el intervalo [ , ] y coseno en el intervalo [ , ], esto nos proporciona valores * y * con
0 1 0 1 1 1
0* 1 y 0*1 y tales que:
1 1
33=3( *)2( ) y cos cos = (sen(*)) ( )
por lo que
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
V = ( *)2 (sen * ) (1 0 ) (1 0 ) ( 1 0 ) (35)
1 1
El interés por trabajar con coordenadas esféricas deriva de su utilidad para la evaluación de integrales triples. Sean h1, h2, F1 y F2 funciones continuas y sea D la región sólida del espacio formada por todos los puntos con
coordenadas esféricas (,,) tales que:
0h1()h2() y F1(,)F2(,)
con 02. Ahora buscamos evaluar
f(x,y,z) dV donde f es una función continua en D.D
n
18 Integrales múltiples
Lo primero que hacemos (como siempre) es circunscribir D en un trozo esférico D', luego se la partimos a D' en trocitos esferiquitos chiquititos y sean D1, D2, … , Dn aquellos que quedan enteramente contenidos en D. Si D
es el trocito i-ésimo, entonces su frontera consiste de las siguientes superficies: =i1 y =i, =i1 y =i, =i1 y =i
por lo que el volumen de cada trocito está dado por: Vi= ( *)2 (sen * ) i i i (36)
1 1
donde i1* 1 y i1*1.
1 1
lo que sugiere que la triple integral
f(x,y,z) dV es aproximadamenteD
f(* sen * cos i, * sen * sen i, * cos *) (*)2 sen * i i i (37)i 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y se puede probar que ésta es una suma de Riemann para la integral triple
h2 ()
F2 (,) f( sen cos, sen sen, cos) 2 sen d d d (38) h1 () F1 (,)
Sintetizamos nuestra discusión en el siguiente teorema.
TEOREMA 6 (evaluación de integrales triples usando coordenadas esféricas)
Sean y números reales con +2. Sean h1 ,h2 ,F1 y F2 funciones continuas con 0h1h2 y 0F1F2. Sea D la región sólida del plano formada por todos los puntos con coordenadas esféricas (,,) tales que:
0h1()h2() y F1(,)F2(,)
Si f es continua en D, entonces:
f(x,y,z) dV =
h2 ()
F2 (,) f( sen cos, sen sen, cos) 2 sen d d dD h1 () F1 (,)
8. MOMENTOS Y CENTROS DE GRAVEDAD
Todos sabemos que cuando dos escuincles juegan en un sube y baja, rápidamente aprenden que el escuincle más pesado tiene un mayor efecto de rotación sobre el sube y baja, pero que el escuincle más ligero, si se aleja del eje de rotación, puede equilibrar el sube y baja. En esta parte, definimos una cantidad llamada “momento” y que mide la tendencia de una masa a producir rotación.
Consideremos una situación ideal en la que un objeto de masa m se concentra en un punto P(x, y) del plano. El
momento de P alrededor del eje Y se define como el producto mx, podemos pensar que éste producto, mide la
tendencia de P a girar alrededor del eje Y. Entre más grande sean m ó x, más grande será el momento por lo que esta definición se ajusta a nuestra observación de que es más fácil girar el sube y baja entre más pesado se es o entre más lejos se está del eje.
Ahora consideremos varios puntos con masas m1, m2, ... , mn , localizados en los puntos (x1, y1), (x2, y2), ... ,
(xn, yn), respectivamente.
El momento My de la colección de puntos alrededor del eje Y se define como la suma de los momentos
individuales de cada punto:
My = m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn (39)
Análogamente, el momento Mx de la colección de puntos alrededor del eje X se define como:
x
a
Integrales múltiples 19
en el caso de que los puntos se hallen en equilibrio con respecto a alguno de los ejes, se tendría que My=0 ó
Mx=0.
Ahora, sea m=m1+m2+...+mn la masa combinada de todos los puntos y buscamos un punto
x, y
con la propiedad de que si un punto de masa se colocara en
x, y
, entonces sus momentos alrededor de los ejes, seanMx y My , respectivamente.
Después de nuestras observaciones, notamos que
x, y
está dado por:M y
x =
m
y = Mx
m (41)
a
x, y
se le dice centro de gravedad o centroide de la colección de puntos.Consideremos ahora una región verticalmente simple R en la que se distribuye su masa de manera uniforme a través de toda la región en ves de estar concentrada sólo en algunos puntos y cuyas fronteras son: por la izquierda
x=a, por la derecha x=b, por abajo g(x) y por arriba f(x), ambas definidas en [a,b].
Hacemos una partición del intervalo [a,b] y para cada k entre 1 y n, sea tk un número cualquiera en el
subintervalo (xk1,yk) y sea Rk la porción de R que queda entre las rectas x=xk1 y x=xk, entonces el área Ak de Rk
está dada aproximadamente por [f(tk)g(tk)]xk.
El momento Mk de Rk alrededor del eje Y estaría dado aproximadamente por el momento que resultaría si la
entera masa de Rk estuviera concentrada en la recta x=tk. Por lo tanto, Mk debería estar aproximado por tkAk y
desde que el momento My de R alrededor del eje Y está dado por la suma de los momentos M1, M2 , ... , Mn, entonces My esta dado aproximadamente por tk[f(tk)g(tk)]xk, que es una suma de Riemann para x(fg) en el
intervalo [a,b].
Se puede hacer una análisis similar para obtener Mx. En base a nuestro análisis anterior, podemos dar la
siguiente definición:
DEFINICION 8 (momentos y centro de gravedad de una región verticalmente simple)
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que g(x)f(x) en dicho intervalo y sea R la
región plana entre las gráficas de f(x) y g(x) en [a,b].
El momento Mx de R alrededor del eje X y el momento My de R alrededor del eje Y, se definen por:
M = 1
b 2 [f2(x) g2(x)] dx y My = b x[f(x) g(x)] dx a
Si R tiene un área positiva A, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa, o centroide) de R, es el punto
x, y
, definido por:M y
x =
A
y = Mx
A (42)
Si aplicamos ahora la definición anterior a un rectángulo de área A cuyas fronteras son x=a, x=b, y=0 y y=c y cuyo centro es el punto (xk,yk) tenemos que My = xkA y Mx = ykA.
Consideremos ahora el caso general de una región R verticalmente u horizontalmente simple y sea R’ una rectángulo que circunscribe a R.
Hacemos una partición de R’ en subrectángulos y sean R1, R2 , ... ,Rn aquellos que quedan enteramente
k1
20 Integrales múltiples
Entonces, el momento Mk de Rk alrededor del eje X es yk Ak. Más en general, el momento Mk de R
alrededor del eje X, sería aproximadamente, el momento de la región comprendida por los rectángulos R1, R2 , ... , Rn, que es igual a la suma de los momentos M1, M2 , ... , Mn.
Por lo tanto Mx es aproximadamente igual a
n yk Ak, que es una suma de Riemann para la función y enR. Análogos razonamientos valen para My , lo que sugiere la siguiente definición. DEFINICION 9 (momentos y centro de gravedad de una región plana)
Sea R una región verticalmente simple u horizontalmente simple. El momento Mx de R alrededor del eje X y el momento My de R alrededor del eje Y, se definen por:
Mx =
y dA y My =
x dAR R
Si R tiene un área positiva A, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa, o centroide) de R, es el punto
x, y
, definido por:M y
x =
A
y = Mx
A (43)
Los análisis hechos anteriormente se pueden extender para el caso de sólidos en el espacio, lo que nos permite dar la siguiente definición.
DEFINICION 10 (momentos y centro de gravedad de un sólido en el espacio)
Supongamos que un objeto con densidad de masa continua (x,y,z), ocupa una región sólida D. El momento Mxy
del objeto alrededor del plano XY, el momento Mxz del objeto alrededor del plano XZ y el momento Myz del
objeto alrededor del plano YZ, se definen por:
Mxy =
z (x,y,z) dV , Mxz =
y (x,y,z) dV y Myz =
x (x,y,z) dVD D D
Si la masa m del objeto es positiva, entonces, el centro de gravedad (o centro de masa) del objeto, es el punto
_ _ _
( x, y,z) , definido por:
M yz x = m y = Mxz m z = Mxy m (44)
Podemos observar que un punto con masa m localizado en el centro de gravedad del sólido D tiene los mismos momentos alrededor de los planos coordenados que un objeto con densidad de masa constante que ocupe D. Cuando la densidad de masa es constante, el centro de gravedad del objeto se denomina centroide y en este caso, éste punto es independiente de la densidad de masa por lo que se habla del centroide de la región sólida.
Si tanto la densidad de masa como la región sólida D son simétricas con respecto a un plano, entonces, el centro de gravedad queda en dicho plano. En particular, si la densidad de masa es constante y D es simétrica con respecto a todos los planos coordenados (como sucede con una esfera con centro en el origen), entonces el centro de gravedad de D queda en el origen.
