Sistemas de Representación.
Representaciones Ejecutables
1. Introducción
La hipótesis de que las diferentes representaciones de los objetos matemáticos son elementos fundamentales para su comprensión y por tanto para su enseñanza y aprendizaje, ha llevado a que el interés de especialistas se focalice en su estudio durante los últimos tiempos. Muchos investigadores han dedicado numerosos estudios a precisar el concepto de representación (Castro & Castro, 1997; Duval, 1999a, y Moreno, 1999, entre otros), y a analizar el papel que desempeñan en el razonamiento de los estudiantes. Al producirse tanto con relación a un tema concreto, puede ocurrir que aparezcan distintas concepciones en torno a ese tópico de estudio, con lo que es difícil establecer un consenso sobre a qué exactamente nos estamos refiriendo.
En el caso del término representación este hecho se encuentra muy patente. Son muchas las reflexiones e interpretaciones que se han dado a qué es una representación, cómo pueden clasificarse, si es que puede hacerse, y cuál es el papel que desempeñan en educación. Por este motivo, consideramos importante articular una serie de ideas que delimiten, en la medida de lo posible, estos términos dado que se emplearán a menudo en el resto del trabajo.
2. Sobre la idea de Representación. Sistemas Semióticos de Representación
Por representaciones entenderemos, en el ámbito de las matemáticas, notaciones simbólicas o gráficas, o bien manifestaciones verbales, mediante las que se expresan los conceptos y procedimientos en esta disciplina así como sus características y propiedades más relevantes. Estas representaciones se agrupan en diferentes registros
de representación (Duval, 1999a), según sean las características que posean; así,
considerando por ejemplo la noción de función, existe un registro gráfico, uno algebraico o analítico y uno tabular, y aunque hay otros, estos han sido lo más usados en enseñanza hasta hoy. Siguiendo las ideas de este autor, dentro de estos registros se pueden llevar a cabo procesamientos, es decir, transformaciones de las representaciones en el mismo registro donde fueron creadas. El procesamiento es una acción sobre las representaciones interna a un registro. Asimismo, entre diferentes registros de representación se pueden realizar conversiones, que son transformaciones de una representación en otra que pertenece a otro registro diferente al de la primera. En el ejemplo de las funciones antes citado, una operación de conversión puede ser la de traducir información tabular sobre un función en una gráfica.
Tradicionalmente, una clasificación inicial de representaciones consiste dividirlas en externas e internas. Las primeras abarcan todas aquellas representaciones que son susceptibles de ser percibidas por los sentidos, mientras que las internas, son imágenes mentales que el sujeto tiene de los objetos y relaciones que forman parte de su conocimiento (Castro y Castro, 1997). Pero ambos dominios, desde un punto de vista genético, no pueden verse como aislados entre sí, pues las representaciones mentales pueden desarrollarse, únicamente, según un proceso de interiorización de las representaciones externas. También es importante señalar que esta distinción no habla
acerca de la naturaleza de las representaciones, que a menudo es la misma en ambos casos, sino de la manera de producirlas, del modo en el que son creadas.
3. El Estudio de las Representaciones en Educación Matemática
El papel que juegan las representaciones dentro de este marco tiene una importancia muy relevante, y así queda patente en el gran número de programas instruccionales que consideran básico en su estructura un análisis pormenorizado de los sistemas representacionales que intervienen en la educación matemática. El NCTM dentro de sus Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares del 2000 (NCTM, 2000), señala que:
“Los programas de instrucción matemática, deberían enfatizar las representaciones matemáticas para fomentar la comprensión de las matemáticas de forma que todos los estudiantes:
• Creen y usen representaciones para organizar, memorizar y comunicar ideas
matemáticas.
• Desarrollen un repertorio de representaciones matemáticas que puedan usarse
de forma útil, flexible y apropiada.
• Usen representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales
y matemáticos.”
Otra muestra del interés creciente en este tema es que congresos de conocida relevancia a nivel internacional se centran en él. Así por ejemplo, la vigesimoprimera reunión del grupo Psichology in Mathematics Education North American Chapter celebrado en México en 1999 giró en torno a la visualización y representación en educación matemática.
Pero junto a la importancia que cobran los sistemas semióticos de representación en educación matemática, aparecen ciertos interrogantes que son considerablemente complejos. Por ejemplo: es muy importante, y complicado, no confundir el objeto matemático con ninguna de sus representaciones, pero al mismo tiempo, es obvio que
no puede hablarse de ese objeto sin emplear de algún modo una o varias de esas representaciones. Es decir, las representaciones de un objeto matemático no agotan a dicho objeto, pero, si sólo puedo pensar sobre el objeto a través de algunas de ellas ¿Cómo puedo saber que el conjunto de todas no lo agotan, y lo que es más, sin usarlas? Y además, ¿Cómo entender las relaciones entre representaciones y un objeto que no existe antes de representarlo?
Las respuestas a estas cuestiones pasan por admitir que la construcción mental de un concepto matemático es un proceso en permanente desarrollo, por lo que el nivel de objetividad con el que lo entendemos es sólo transitorio. Nunca se posee plenamente el concepto, y por eso no hay lugar a concepciones platonistas de los objetos matemáticos.
4. El Aporte de la Tecnología. Representaciones Ejecutables
Las calculadoras graficadoras en general, y especialmente la TI-89, TI-92 y TI-92 Plus, suministran un amplio abanico de representaciones de objetos y relaciones matemáticas en diferentes sistemas semióticos, y lo que es más importante, permiten el pasar de unas a otras, es decir, la conversión entre ellas, lo cual supone una extraordinaria herramienta de trabajo en educación matemática.
Este tipo de tecnología constituye un micromundo que posee, como hemos visto, varios registros y que permite el tránsito entre ellos. Además, dentro de cada uno también pueden efectuarse procesamientos en el sentido antes citado, como por ejemplo, al hacer un ZOOM a una gráfica.
Las tradicionales representaciones analíticas se han visto ampliamente complementadas y enriquecidas con estas tecnologías, y desaparece el carácter estático que por lo general presentaban. Las representaciones que suministra la calculadora poseen ciertas cualidades que las hacen especialmente productivas para el aprendizaje de las matemáticas. Son representaciones ejecutables (Lupiáñez & Moreno, 2000), portadoras de la potencialidad de simular acciones cognitivas con independencia de quién sea el usuario de la calculadora como por ejemplo, al graficar un función; lo que
varía con el usuario es la interpretación que puede darse a la información que suministra la máquina. Podríamos concebir la calculadora como un sistema cognitivo artificial con el que podemos comunicarnos y que puede colaborar en la resolución de problemas, pues ofrece la oportunidad de que el estudiante interactúe con un nuevo socio cognitivo y pueda construir nuevos significados. Desde la óptica del profesor, la calculadora es un nuevo agente de enseñanza; el conocimiento que vive en la máquina es un referente para el estudiante durante el proceso de socializar su conocimiento.
Dentro del entorno de geometría dinámica Cabri, cobran especial relevancia las representaciones ejecutables, pues se convierten en manipulables, permiten actuar directamente sobre ellas. Esto viene a destacar esa idea de representaciones ejecutables que brindan estas herramientas, en contraposición a las representaciones estáticas tradicionales, con las que resulta cuando menos imposible visualizar ciertas propiedades de objetos matemáticos.
Las ideas y conceptos abstractos de las matemáticas se convierten en reales con el uso de la calculadora, en el sentido de que se pueden manipular, transformar, en definitiva intervenir matemáticamente en ellos. A menudo puede ocurrir que una representación gráfica de un problema, un dibujo, no nos suministre toda la información o ayuda que sería deseable. Trazar un dibujo estático representa un estado de relación funcional que no garantiza que el estudiante “vea” cómo cambia la variable dependiente al hacer variar la independiente ( Vonder Embse & Yoder, 1998). Una mejora a esta situación podría ser el dibujar diseños para diferentes estadios del problema, pero sin duda que la mejor pasaría por realizar una representación dinámica, pues estas pueden usarse repetidamente como una herramienta para investigar con detalle qué es lo que realmente pasa, y una herramienta como la TI-92 posee un potencial tremendo para este objetivo.
Lo que es importante señalar, es que los objetos que aparecen en la pantalla de la calculadora no son objetos concretos ni entes del mundo matemático formal: son objetos virtuales que están en la interfaz que separa el mundo conceptual de las matemáticas de los objetos concretos. Son pues instrumentos de conocimiento, no conocimiento en sí
Ya hablamos antes del lenguaje, y el papel mediador que posee. Algunos textos, como por ejemplo un listado de órdenes de un lenguaje de programación, en principio pertenecen a la cultura teórica, pero al introducirla en un software, realiza alguna acción: es una representación ejecutable. Estas representaciones tienen consecuencias diversas para el proceso de construcción del conocimiento: el hecho de usarlas permite reflexionar sobre dos objetos: el resultado de la ejecución y el texto que ejecuto.
