Tema 6. Algunos modelos de distribuciones discretas

(1)

Algunos modelos de distribuciones discretas.

Una vez expuesta la teor´ıa general sobre variables aleatorias y sus distribuciones de probabi-lidad, vamos a describir algunas distribuciones particulares que han demostrado, emp´ıricamente, ser modelos apropiados para situaciones que ocurren en la vida real. A pesar de ello tales dis-tribuciones presentan un carácter teórico en el sentido de que sus funciones de probabilidad o de densidad se deducen matemáticamente en base a ciertas hipótesis que se suponen válidas para los fenómenos aleatorios.

La elección de una distribución de probabilidad para representar un fenómeno de interés práctico debe estar motivada tanto por la comprensión de la naturaleza del fenómeno en s´ı, como por la posible verificación de la distribución seleccionada a través de la evidencia emp´ırica. En todo momento debe evitarse aceptar de manera tácita una determinada distribución de probabilidad como modelo de un problema práctico.

Una distribución de probabilidad está caracterizada, de forma general, por una o más can-tidades que reciben el nombre de parámetros de la distribución. Un parámetro puede tomar cualquier valor de un conjunto dado y, en ese sentido, se define una familia de distribuciones de probabilidad que tendrán la misma función genérica de probabilidad o función de densidad. En este tema estudiaremos varias distribuciones de tipo discreto de gran utilidad en apli-caciones. En cada caso, se expondrá detalladamente cómo surgen (el modelo probabil´ıstico subyacente) y se deducirán sus momentos, función generatriz de momentos y otras caracter´ısti-cas de interés

1. Distribuci´

on degenerada

La distribución discreta más sencilla es la correspondiente a una variable aleatoria degenerada o constante, es decir, la asociada a un experimento aleatorio que da lugar siempre al mismo resultado. Por tanto, dicha variable aleatoria tomará un único valor c.

Sufunci´on masa de probabilidad es

P[X =x] =







1 x=c

0 x6=c Algunas de sus caracter´ısticas son:

Funci´on de distribuci´on:

F(x) = P[X ≤x] =







0 x < c

1 x≥c

(2)

Momentos no centrados:

mk =E[Xk] =ckP[X =c] =ck, k= 1,2,· · ·

Y, en particular, la MEDIA

E[X] =c. Momentos centrados:

µk =E[(X−c)k] = 0, k= 1,2,· · ·

Y, en particular, la VARIANZA

Var[X] = 0.

Esta propiedad caracteriza a las distribuciones degeneradas; es decir, una variable alea-toria tiene varianza cero si y solamente si es degenerada en un punto (Propiedades de la varianza).

Funci´on generatriz de momentos:

M(t) =E[etX] = etc ∀t ∈_R. Notas

Si una variable aleatoria tiene funci´on generatriz de momentos MX(t) = e5t ∀t∈R

entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribución degenerada en el punto 5, es decir

P[X = 5] = 1

Si una variable aleatoria tiene funci´on generatriz de momentos MX(t) = 1 ∀t∈R

entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribución degenerada en el punto 0, es decir

(3)

2. Distribuci´

on uniforme discreta

Esta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores que son equiprobables y se utiliza para modelizar variables aleatorias aso-ciadas a experimentos aleatorios que tienen un número finito de posibles resultados que son equiprobables. Su función masa de probabilidad es

P[X =xi] =

1

n, i= 1,2,· · · , n

Se dice entonces que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente sobre los puntos x1, x2,· · · , xn y se notar´a X ∼U(x1, x2, . . . , xn).

Ejemplo

La variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar un dado al aire (tiene seis resultados posibles y equiprobables si el dado est´a bien construido)

P[X =i] = 1

6, i= 1,2,· · · ,6 Algunas de sus caracter´ısticas son:

F(x) = 1

n(N´umero de valores xi ≤x) =



     

     

0 si x < x1 i

n si xi ≤x < xi+1, i= 1, . . . , n−1 1 si x≥xn

mk = E[Xk] =

1 n

n

X

i=1

xk_i, k = 1,2,· · ·

Y, en particular, la MEDIA

E[X] = 1 n

n

X

i=1

xi = ¯x.

Momentos centrados:

µk = E[(X−EX)k] =

1 n

n

X

i=1

(4)

Y, en particular, la VARIANZA

Var[X] = 1 n

n

X

i=1

(xi−x)¯ 2.

Funci´on generatriz de momentos:

M(t) = E[etX] = 1 n

n

X

i=1

etxi _∀_t_∈

R.

En el caso particular xi =i, i= 1,2, . . . , n

E[X] = _n1Pn

i=1i= 1

n n(n+1)

2 =

n+1 2

E[X2] = _n1Pn

i=1i 2 ₌ 1

n

n(n+1)(2n+1) 6 =

(n+1)(2n+1) 6

Var[X] = (n+1)(2₆n+1) − (n+1)₄ 2 = n2₁₂−1

3. Distribuci´

on de Bernoulli

Supongamos un experimento aleatorio que da lugar, ´unicamente, a dos posibles resultados que son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Los dos posibles resultados se denotan como:

- ´exito (E), que ser´a el suceso objeto de estudio, y - fracaso (F), que es el complementario de E. Evidentemente

E, F ⊂Ω, E ∪F = Ω, E∩F =∅.

A este tipo de experimentos aleatorios se les llamaexperimentos o pruebas de Bernou-lli.

Asociado a un experimento o prueba de Bernoulli y a su correspondiente espacio muestral Ω ={E, F}, se define la variable aleatoria con distribuci´on de Bernoulli como

X =







1 si ocurre el suceso E

0 si no ocurre el suceso E (ocurre F)

Si se denota por p a la probabilidad del suceso éxito (E) y, por tanto, la probabilidad del suceso fracaso será 1−p, la función masa de probabilidad de esta variable aleatoria será

(5)

P[X =x] =px(1−p)1−x, x= 0,1; 0< p <1

y se notar´a como X ∼B(1, p). (Los casos p= 0 yp= 1 dan lugar a variables degeneradas) Ejemplos

- La variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar una moneda (si la moneda est´a bien construida p= 1/2)

- La variable aleatoria asociada a contabilizar ocurrencias, por ejemplo si una persona es votante de un partido o no, si una pieza manufacturada es defectuosa o no (variables indicado-ras).

Algunas de sus caracter´ısticas son: Funci´on de distribuci´on

F(x) =



    

    

0 x <0 1−p 0≤x <1

1 x≥1

mk=p, k = 1,2,· · ·

Y, en particular,

E[X] =p, E[X2] =p Momentos centrados:

µk= (1−p)kp+ (−p)k(1−p), k = 1,2,· · ·

Y, en particular,

Var[X] = E[X2]−(E[X])2 =p−p2 =p(1−p) Funci´on generatriz de momentos:

(6)

Nota

Si una variable aleatoria tiene funci´on generatriz de momentos MX(t) = 0,8et+ 0,2 ∀t∈R

entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribuciónB(1,0,8).

Ejemplo.-Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida, realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60% de las visitas logra contratar un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a este experimento aleatorio y obtener su media y varianza.

Tenemos un experimento aleatorio o prueba de Bernoulli que consiste en realizar una visita a un cliente e intentar contratarle un seguro. Los dos posibles resultados ser´an:

- El cliente contrata el seguro, suceso ´exito. - El cliente no contrata el seguro, suceso fracaso.

La variable aleatoria asociada al experimento se define como

X =







1 si el cliente contrata el seguro (ocurre el suceso E) 0 si el cliente no contrata el seguro (no ocurre el suceso E)

En este caso la probabilidad de ´exito es p= 0,6 y de aqu´ı que la funci´on masa de probabilidad de la variable aleatoria X es

P[X = 1] =P(E) = 0,6 = p P[X = 0] =P(E) = 0,4 = 1−p La media y la varianza son

E[X] =p= 0,6

Var[X] =p(1−p) = 0,6·0,4 = 0,24

4. Distribuci´

on binomial

Una generalizaci´on de la distribuci´on de Bernoulli se obtiene cuando:

- El experimento o prueba de Bernoulli se repite n veces de forma independiente. - La probabilidad de éxitop permanece constante en cada repetición del experimento. Se define ahora una variable aleatoriaXcomo el número de éxitos en lasnrepeticiones indepen-dientes del experimento que puede tomar los valoresk = 0,1,· · · , n. Calculemos la probabilidad de que dicha variable tome cada uno de esos valores; esto es, P[X = k], k = 0,1,· · · , n, o lo que es lo mismo, la probabilidad de obtener k éxitos (o realizaciones del suceso E) en las n pruebas de Bernoulli.

(7)

EE· · k)_E_E_¯_E_¯_{· ·} n−k)_E_¯

Al ser las pruebas independientes, la probabilidad de la intersecci´on de losn sucesos anteriores ser´a el producto de las probabilidades de cada uno de los sucesos; esto es

pp· · k)p(1−p)(1−p)· · n−k)(1−p) = pk(1−p)n−k

Ahora habrá que multiplicar esta probabilidad por el número de posibles ordenaciones de los kéxitos y los n−k fracasos, que es el número de permutaciones de n elementos con repetición dek elementos de un tipo y n−k de otro

n! k!(n−k)! =

n k

Por tanto

P[X =x] =

n x

px(1−p)n−x, x= 0,1,· · · , n

Definición.- Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetrosn y p,n ∈_N,p∈(0,1) si modeliza el número de éxitos en n repeticiones indepen-dientes de un ensayo de Bernoulli con probabilidad p de éxito, manteniéndose ésta constante en lasn repeticiones del experimento; o bien, si su función masa de probabilidad es

P[X =x] =

n x

px(1−p)n−x, x= 0,1,· · · , n. Se notar´a comoX ∼B(n, p).

Nota.-Observemos que la distribución de Bernoulli no es más que un caso particular de la distribución binomial con n= 1.

Probemos que, en efecto, es una funci´on masa de probabilidad. En primer lugar, son valores mayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuenta el binomio de Newton

n

X

x=0

P[X =x] =

n

X

x=0

n x

px(1−p)n−x = [p+ (1−p)]n= 1

Ejemplo: N´umero de caras al lanzar una monedan veces de forma independiente. Aplicaciones

(8)

- Número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación. En un proceso de manu-factura se produce un determinado producto en el que algunas unidades son defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un perio-do razonable y si, como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinaperio-do número de unidades, entonces el número de art´ıculos defectuosos en dicha muestra se puede modelizar mediante el empleo de la distribución binomial.

- En aplicaciones de publicidad para la venta de un art´ıculo, tambi´en puede considerarse la distribuci´on binomial, si se supone que la probabilidad de venta es constante para todas las personas consideradas.

- En Medicina, por ejemplo, para estudiar el n´umero de individuos que contraen una enfer-medad, si para un grupo determinado de la poblaci´on la probabilidad de contraer tal enfermedad se mantiene constante.

Algunas de sus caracter´ısticas son: Funci´on de distribuci´on:

F(x) = P[X ≤x] =



    

    

0 x <0

P[X = 0] +. . .P[X =i] i≤x < i+ 1; i= 1,2, . . . , n−1

1 x≥n

o bien,

F(x) =



       

       

0 x <0

[x]

X

k=0

n k

pk(1−p)n−k 0≤x < n

1 x≥n

donde [x] denota la parte entera de x. Dicha función de distribución es una función escalonada con n+ 1 saltos en los puntos 0,· · · , n de longitudes P[X = 0], . . . ,P[X =n] Función generatriz de momentos

M(t) = (pet+ (1−p))n ∀t∈_R

(9)

M(t) = E

etX

=

n

X

x=0 etx

n x

px(1−p)n−x

=

n

X

x=0

n x

(pet)x(1−p)n−x = [pet+ (1−p)]n

Momentos: Dado que la variable est´a acotada, existen los momentos de todos los ´ordenes, pero nos limitaremos a calcular hasta los de orden dos.

Media

E[X] =np

lo cual se puede probar, o bien a partir de la funci´on generatriz de momentos o bien, directamente. Veamos la obtenci´on directa

E[X] =

n

X

x=0 x

n x

px(1−p)n−x =

n

X

x=0

x n! x!(n−x)!p

x₍₁₋_p)n−x₌

n

X

x=1

n!

(x−1)!(n−x)!p

x

(1−p)n−x =np

n

X

x=1

(n−1)! (x−1)!(n−x)!p

x−1

(1−p)n−x

Tomando y=x−1 y m=n−1, entonces

E[X] =np

m

X

y=0

m! y!(m−y)!p

y

(1−p)m−y =np

dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidad de una B(m, p) y, por tanto, suman uno.

Varianza

Var[X] =np(1−p)

dado que el momento no centrado de orden dos es m2 = E[X2] =n(n−1)p2+np. Este se puede obtener a partir de la funci´on generatriz de momentos o bien directamente. Veamos esta ´ultima forma

(10)

E[X(X−1)] =

n

X

x=0

x(x−1)

n x

px(1−p)n−x =

n

X

x=0

x(x−1) n! x!(n−x)!p

x

(1−p)n−x

n

X

x=2

n!

(x−2)!(n−x)!p

x₍₁₋_p)n−x ₌_n(n₋_1)p2

n

X

x=2

(n−2)! (x−2)!(n−x)!p

x−2₍₁₋_p)n−x

Tomando ahora y=x−2 ym =n−2, de forma an´aloga a la media , se obtiene

E[X(X−1)] =n(n−1)p2

m

X

y=0

m! y!(m−y)!p

y₍₁₋_p)m−y ₌_n(n₋_1)p2

dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidad de una B(m, p) y, por tanto suman uno.

Propiedad de simetr´ıa.- Si X ∼B(n, p), entonces la variable aleatoria que contabiliza el n´umero de fracasos, Y =n−X ∼B(n,1−p) y, adem´as

P[X =x] = P[Y =n−x] Se puede probar calculando la funci´on generatriz de momentos.

MY(t) = E[et(n−X)] = etnMX(−t) = etn pe−t+ (1−p)

n

= (1−p)et+pn.

C´alculo de probabilidades y representaciones gr´aficas

(Ver apuntes y scripts de R, y applets de Java con Geogebra)

EJERCICIOS

1.- Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de miembros. En base a experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un d´ıa, 25 personas reciben la llamada telefónica, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club? ¿Cuál es el número esperado?

Soluci´on: Si cada persona que recibe la llamada se une o no al club, independientemente del resto, entonces,

(11)

X ∼B(25,1/20)

P[X ≥2] = 1−P[X <2] = 1−[P[X = 0] + P[X = 1]] =

= 1− "

25 0

1 20

0

19 20

25

+

25 1

1 20

1

19 20

24#

= 0.3576

E[X] =np = 25 1

20 = 1.25

2.-Un representante realiza cinco visitas cada d´ıa a los comercios de su ramo y, por experiencia anterior, sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es 0.4. Calcular a) La distribuci´on del n´umero de pedidos por d´ıa.

b) Media y varianza del n´umero de pedidos por d´ıa.

c) Probabilidad de que el n´umero de pedidos que realiza durante un d´ıa sea 4. d) La probabilidad de que realice por lo menos dos pedidos.

e) La probabilidad de que el n´umero de pedidos que realiza durante un d´ıa est´e comprendido entre 1 y 3.

Soluci´on: Supuesto que en cada visita se hace un pedido o no independientemente de lo que se haga en otra visita:

a)X : N´umero de pedidos diarios∼B(5,0.4)

b)E[X] = 5×0.4 = 2, V ar[X] = 5×0.4×0.6 = 1.2 c)P(X = 4) = 5₄0.44_0.61 _{= 0.0768.}

Con R, dbinom(4,5,0.4)=0.0768.

d)P(X ≥2) = 1−P(X <2) = 1−P(X ≤1) = 1−(P(X = 0) +P(X = 1)) = 0.66304. Con R, 1-pbinom(1,5,0.4)=0.66304, o bien, dado queP(X ≥2) =P(X >1),

pbinom(1,5,0.4,lower.tail=FALSE)=0.66304.

e)P(1≤X≤3) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3) = 5₁

0.41_0.64₊ 5 2

0.42_0.63₊ 5 3

0.43_0.62 ₌ 0.2592 + 0.3456 + 0.2304 = 0.8352.

Con R, sum(dbinom(1:3,5,0.4))=0.8352, o bien, pbinom(3,5,0.4)-pbinom(0,5,0.4)=0.8352. 3.- Se env´ıan 20 invitaciones a los representantes estudiantiles para asistir a una conferencia. De experiencias anteriores se sabe que la probabilidad de aceptar la invitaci´on es 0.8. Si las decisiones de aceptar estas invitaciones son independientes, determinar la probabilidad de que como m´ınimo 17 estudiantes acepten la invitaci´on.

Soluci´on:

(12)

P(X ≥17) =P(X = 17) +P(X = 18) +P(X = 19) +P(X = 20) Con R, pbinom(16,20,0.8,lower.tail=FALSE)=0.4114489.

5. Distribuci´

on de Poisson

Esta distribución sirve para representar el número de ocurrencias de un determinado su-ceso durante un periodo de tiempo fijo o en una región fija del espacio, cuando el número de ocurrencias sigue unas determinadas pautas:

El número de ocurrencias en un intervalo o región especificada debe ser independiente del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo o región.

Si se considera un intervalo de tiempo muy pequeño (o una región muy pequeña), la probabilidad de una ocurrencia es proporcional a la longitud del intervalo (al volumen de la región) y la probabilidad de dos o más ocurrencias es prácticamente nula (despreciable). Definición: Una variable aleatoriaX tiene distribución de Poisson de parámetroλ (λ >0) si su función masa de probabilidad es

P[X =x] = e−λλ

x

x!, x= 0,1, . . . Se notaX ∼ P(λ).

Probemos que en efecto es una funci´on masa de probabilidad. En primer lugar, son valores mayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuenta el desarrollo de la exponencial

∞

X

x=0

P[X =x] =

∞

X

x=0 e−λλ

x

x! = e

−λ

∞

X

x=0 λx

x! = e

−λ_eλ _{= 1}

Aplicaciones

Esta distribuci´on sirve para representar, por ejemplo:

- N´umero de accidentes que ocurren durante un determinado espacio de tiempo en una determinada carretera.

- Número de llamadas telefónicas a una oficina (en un determinado intervalo de tiempo). - Número de bacterias en un cultivo.

En general, las situaciones reales en las que se usa la distribución de Poisson se caracterizan porque la probabilidad del suceso cuyo número de ocurrencias se contabiliza es pequeña y por ello suele denominarse la LEY DE LOS SUCESOS RAROS.

(13)

Funci´on de distribuci´on

F(x) =



   

   

0 x <0 [x]

X

k=0 e−λλ

k

k! x≥0 donde [x] denota la parte entera de x.

Funci´on generatriz de momentos

M(t) = eλ(et−1) ∀t∈_R

En efecto

M(t) =

∞

X

x=0

etxe−λλ

x

x! = e

−λ

∞

X

x=0 (et_λ)x

x! = e

−λ_eet_λ

= eλ(et−1)

Media

E[X] =λ

lo cual se puede probar o bien directamente, o a partir de la funci´on generatriz de mo-mentos. Veamos la obtenci´on directa

E[X] =

∞

X

x=0

xe−λλ

x

x! =λe

−λ

∞

X

x=1

λx−1

(x−1)! =λe

−λ_eλ ₌_λ

Por tanto, el parámetro λ de la distribución es el número medio de ocurrencias en el intervalo de tiempo o región del espacio considerada.

Varianza

Var[X] =λ

Razonando de forma an´aloga a la binomial y calculando E[X(X−1)]

E[X(X−1)] =

∞

X

x=0

x(x−1)e−λλ

x

x! =λ 2_e−λ

∞

X

x=2

λx−2 (x−2)! =λ

2_e−λ_eλ ₌_λ2

(14)

Relaci´on entre las distribuciones binomial y de Poisson

La distribución de Poisson se puede obtener como l´ımite de una distribución binomial: Consi-deramos una variable que modeliza el número de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo, y dividimos dicho intervalo enn subintervalos tan pequeños de forma que en cada uno de ellos pueda ocurrir a lo sumo un suceso con probabilidad no nula, a la que llamaremos p. De esta forma el número de sucesos que ocurren en cada subintervalo tiene una distribuciónB(1, p) y, al ocurrir los sucesos de forma independiente en los subintervalos, el número de sucesos en el intervalo es unaB(n, p).

Claramente, cuando n aumenta, p disminuye ya que al aumentar n disminuye la amplitud de los intervalos y, por tanto, la probabilidad de que ocurra un suceso en ´el.

En consecuencia, considerando un númerongrande de pruebas de Bernoulli independientes, con probabilidad de ocurrencia p pequeña, y tomando λ = np, se obtiene la distribución de Poisson como l´ımite de la binomial cuando n → ∞. Es decir, si n → ∞, p → 0 y np → λ la distribución binomial tiende a una Poisson, es decir

l´ım

n→∞

p→0

np→λ

n x

px(1−p)n−x

= e−λλ

x

x! x= 0,1,· · · En efecto,

P[X =x] =

n x

px(1−p)n−x = n! x!(n−x)!

(np)x

nx (1−p) n−x ₌

= (np)

x

x!

n(n−1)· · ·(n−x+ 1)

nx (1−p) n−x

Ahora tomando l´ımites cuandon → ∞, p→0 de forma que np→λ, se tiene l´ım

n→∞

p→0

np→λ

n x

px(1−p)n−x

= e

−λ_λx

x! dado que

l´ım

np→λ

(np)x x! =

λx x!

l´ım

n→∞

n(n−1)· · ·[n−(x−1)]

nx = 1

l´ım

n→∞

p→0

(1−p)n−x = el´ım(n−x)(−p) = e−λ

C´alculo de probabilidades y representaciones gr´aficas

(15)

EJERCICIOS

1.-En una cierta empresa constructora el n´umero de accidentes es por t´ermino medio de 3 por mes. Calcular:

a) La probabilidad de que no ocurra ning´un accidente en un mes dado. b) La probabilidad de que ocurran menos de 5 accidentes en un mes dado. c) La probabilidad de que ocurran m´as de 3 accidentes en un mes dado. d) La probabilidad de que ocurran exactamente 3 accidentes en un mes dado.

Si suponemos que los accidentes cuando ocurren son independientes unos de otros y además, que ocurren con una tasa de ocurrencia constante, la variable aleatoria número de accidentes en un mes dado tiene una distribución de Poisson. Dado que el número medio de accidentes al mes es 3 y el parámetroλde una Poisson es el valor medio (λ= 3), la distribución considerada es unaP(3). Las probabilidades solicitadas son

a) P[X = 0] = 3_0!0e−3 _{= 0.0498} Con R, dpois(0,3)=0.04978707.

b) P[X <5] = P[X ≤4] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] = =e−λλ

0 0! +e

−λλ1

1! +e

−λλ2

2! +e

−λλ3

3! +e

−λλ4

4! = = 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 + 0.1680 = 0.8152. Con R, ppois(4,3)=0.8152632.

c) P[X >3] = 1−P[X ≤3]

Con R, 1-ppois(3,3) o ppois(3,3,lower.tail=FALSE)=0.3527681. d) P[X = 3] = 0.2240.

Con R, dpois(3,3)=0.2240418.

2.- Desde el año 1980 el número medio de empresas, con más de 100 trabajadores, que han presentado suspensión de pagos ha sido de 6.8 por año, y admitimos que el número de empresas con más de 100 trabajadores, X, que han presentado suspensión de pagos durante un periodo determinado de tiempo sigue una distribución de Poisson. Obtener

a) La probabilidad de que ninguna empresa de m´as de 100 trabajadores presente suspensi´on de pagos durante un trimestre.

b) La probabilidad de que por lo menos dos empresas de más de 100 trabajadores presenten suspensión de pagos durante un determinado año.

(16)

6.8 4 = 1.7

Luego la variable Y, número de empresas con más de 100 trabajadores que han presentado suspensión de pagos durante un trimestre es una Poisson de parámetroλ= 1.7 y la probabilidad pedida

P[Y = 0] = e−1.71.7 0

0! = 0.1827 Con R, dpois(0,1.7)= 0.1826835.

b) Para obtener ahora la probabilidad de que por lo menos dos empresas de más de 100 traba-jadores presenten suspensión de pagos durante un determinado año consideraremos la variable aleatoria X ∼ P(6.8). Luego

P[X ≥2] = 1−P[X = 0]−P[X = 1] = 1−0.0011−0.0076 = 0.9913 Con R, ppois(1,6.8, lower.tail=FALSE)=0.9913126, o bien 1-ppois(1,6.8).

3.-A una calculadora le fallan, por término medio en cada hora de trabajo, dos transistores. Se sabe que el número de fallos de los transistores sigue una distribución de Poisson. La calculadora deja de funcionar cuando se le aver´ıan seis o más transistores. Calcular la probabilidad de que una operación de tres horas se pueda realizar sin aver´ıa.

X: N´umero de fallos en tres horas ∼ P(6) Se pide

P(X <6) = P(X ≤5) = 5

X

x=0

P(X =x) = 5

X

x=0 e−66

x

x = 0.0025 + 0.0149 + 0.0446 + 0.0892 + 0.1339 + 0.1606 = 0.4457

Con R, ppois(5,6)=0.4456796.

6. Distribuci´

on binomial negativa

(17)

P[Y =n] = P[X =n−k].

La variable aleatoria X puede tomar los valores x = 0,1,2, . . . y k debe ser un entero positivo, es decir, k = 1,2, . . . .

Calculemos la funci´on masa de probabilidad de la variable aleatoria binomial negativa; esto es,

P[X =x], x= 0,1,2, . . .

Uno de los posibles sucesos para el cual ocurre {X = x} ser´ıa que en las x primeras repeticiones apareciera “fracaso”, en lask−1 siguientes “´exito” y en la ultima “´exito”

E _{. . . E}x) _|_E k_{. . . E}−1) _|_E

y como las repeticiones de las pruebas de Bernoulli son independientes, la probabilidad del suceso anterior ser´a

PhE . . . EEx) . . . Ek) i = P(E)· · ·x) P(E)·P(E)· · ·k) P(E) = (1−p)xpk

Pero la obtención de losxfracasos y losk−1 éxitos se pueden obtener de tantas maneras como las permutaciones con repetición de x+k−1 elementos en los que hay iguales x y k−1, es decir

x+k−1 x

= (x+k−1)! x!(k−1)!

Por tanto, la funci´on masa de probabilidad de esta variable aleatoria es

P[X =x] =

x+k−1 x

(1−p)xpk, x= 0,1,2,· · · (k = 1,2,· · ·; 0 ≤p <1) y se notar´a como X ∼BN(k, p).

Comprobemos que es, en efecto, una funci´on masa de probabilidad. Para ello tengamos en cuenta lo siguiente

∀α ∈_R, α₀

= 1

∀α ∈_R, x∈_N, α_x= α(α−1)···_x(_!α−x+1) (1 +t)α =P∞

x=0

α x

tx, |t|<1, ∀α∈_R

Propiedad:“Para cualquier n´umero real α >0

−α

r

= (−1)r

α+r−1 r

(18)

En primer lugar, es evidente que P[X =x]≥0, x= 0,1,2, . . . y

∞

X

x=0

P[X =x] =

∞

X

x=0

k+x−1 x

(1−p)xpr

= ∞ X x=0 ₋ k x

[−(1−p)]xpk=pk[1−(1−p)]−k =pkp−k = 1

Observemos que, de hecho, otra expresi´on de la funci´on masa de probabilidad de la binomial negativa es

P[X =x] =

−k

x

[−(1−p)]xpk

Ejemplos

- Número de preguntas falladas en un examen tipo test antes de tener el décimo acierto. - Número de unidades defectuosas antes de obtener un número concreto de correctas. Algunas de las caracter´ısticas de la distribución binomial negativa son:

F(x) = P[X ≤x] =

        

0 x <0

[x]

X

i=0

i+k−1 i

(1−p)ipk x≥0 Funci´on generatriz de momentos:

M(t) =

p 1−(1−p)et

k

∀t <−ln(1−p) En efecto,

EetX=

∞

X

x=0

etxP[X =x] =

∞ X x=0 etx ₋ k x

(−(1−p))xpk que converge si |et(−(1−p))|<1 ⇔ et(1−p)<1 ⇔ t <−ln(1−p)

= ∞ X x=0 ₋ k x

(−(1−p)et)xpk =pk

∞ X x=0 ₋ k x

(−(1−p)et)x

(19)

Momentos: Existen todos dado que existe la funci´on generatriz de momentos. Nos limitaremos a obtener los momentos de primer y segundo orden.

Media

E[X] = k(1−p) p Veamos la obtenci´on de forma directa:

E[X] =

∞

X

x=0 x

−k

x

(−(1−p))xpk =pk

∞

X

x=1

x(−k)(−k−1)· · ·(−k−x+ 1)

x(x−1)! (−(1−p))

x

=

pk(−(1−p))

∞

X

x=1 (−k)

₋

k−1 x−1

(−(1−p))x−1 =k(1−p)pk(1−(1−p))−k−1 = k(1−p) p Varianza

Var[X] = k(1−p) p2 Razonando de forma an´aloga al caso binomial, se obtiene

E[X2] = k(k+ 1)(1−p) 2

p2 +

k(1−p) p , de donde se deduce la expresi´on de la varianza.

Relaci´on entre las distribuciones binomial y binomial negativa

SiX es una variable aleatoria con distribuci´onBN(k, p), el suceso{X =x} significa la inter-secci´on de los sucesos

A= {se han obtenido k−1 ´exitos en los primeros k+x−1 ensayos de una serie de pruebas independientes de Bernoulli}

B = {se ha obtenido un ´exito en el siguiente ensayo de la serie}

El suceso A equivale a {Y = k−1}, con Y ∼ B(k+x−1, p), y el segundo es independiente del primero y ocurre con probabilidadp. Entonces

P[X =x] = P[Y =k−1]·p

Caso particular: Distribuci´on Geom´etrica

(20)

P[X =x] = (1−p)xp, x= 0,1,2,· · · (0< p <1) y se notar´a como X ∼G(p).

Sus caracter´ısticas más relevantes son Función de distribución:

F(x) = P[X ≤x] =



   

   

0 x <0 [x]

X

i=0

(1−p)ip x≥0

Pero como 1 [x]

X

i=0

(1−p)ip=p [x]

X

i=0

(1−p)i =p1−(1−p) [x]+1

1−(1−p) = 1−(1−p) [x]+1

se puede reescribir la funci´on de distribuci´on como

F(x) = P[X ≤x] =







0 x <0 1−(1−p)[x]+1 _x_≥₀ Funci´on generatriz de momentos:

M(t) =

p 1−(1−p)et

∀t <−ln(1−p) Media:

E[X] = 1−p p Varianza:

Var[X] = 1−p p2

1_{Recordemos que la suma de los} _n_t´_{erminos de una progresi´}_{on geom´}_etrica_a

n de raz´onres

Sn =

a1−an·r

(21)

Propiedad de olvido o falta de memoria:

Esta propiedad se formula de la siguiente forma: Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetrop, G(p), entonces se verifica que

P[X ≥h+k|X ≥h] = P[X ≥k], h, k = 0,1,2, . . .

“Si se ha realizado la h-ésima repetición del experimento o prueba de Bernoulli y no se ha obtenido ningún éxito, entonces la probabilidad de que se realicen por lo menos otras k repeticiones sin que se presente ningún éxito, es decir que se realicen por lo menosh+k repeticiones, es la misma que si consideramos que la primera repetición es lah+ 1-ésima; es decir, esa probabilidad es la misma que la probabilidad de que realicemos al menos k repeticiones sin obtener el primer éxito, y por consiguiente se olvidan las h repeticiones realizadas inicialmente.

Vamos a demostrarla, si X ∼G(p)

P[X ≥x] = 1−P[X < x] = 1−F(x−1) = 1−(1−(1−p)x) = (1−p)x. Por tanto, si k, h,∈_N

P[X ≥h+k|X ≥h] = P[X ≥h+k, X ≥h]

P[X ≥h] =

P[X ≥h+k] P[X ≥h] =

(1−p)h+k

(1−p)h = (1−p)

k _{= P[X} _≥_k]

Esta propiedad, además, caracteriza a la distribución geométrica como la única entero valuada (positiva) que la cumple.

La distribución de probabilidad geométrica se aplica frecuentemente en el estudio de la distribu-ción de la duración de tiempos de espera. As´ı pues, si las repeticiones del experimento se realizan a intervalos regulares de tiempo, entonces la variable aleatoria con distribución geométrica nos dará el número de intervalos de tiempo transcurridos hasta que aparezca el primer éxito. EJERCICIOS

1.- Un examen de Estad´ıstica consta de 20 preguntas tipo test y se conoce de experiencias anteriores que un alumno tiene probabilidad 0.7 de contestar bien cada pregunta. Obtener: a) La probabilidad de que la primera pregunta que contesta bien sea la cuarta.

b) Sabiendo que para aprobar el examen es necesario contestar bien a 10 preguntas, ¿cu´al es la probabilidad de que apruebe al contestar la pregunta duod´ecima?

(22)

P[X = 3] = (0.3)30.7 = 0.0189 Con R, dgeom(3,0.7)=0.0189.

b)X= Número de fallos antes del décimo éxito, X ∼BN(10,0.7) P[X = 2] =

2 + 10−1 2

(0.3)2(0.7)10=

11 2

(0.3)2(0.7)10. Con R, dnbinom(2,10,0.7)=0.1398252.

Esta probabilidad se puede obtener mediante la relación con la binomial Y= Número de éxitos en las 11 primeras pruebas, Y ∼B(11,0.7)

P[X = 2] =P[Y = 9]·0.7

2.-Una máquina dedicada a la fabricación de piezas de alta precisión produce las piezas de una en una, siendo independiente la fabricación de cada pieza. La probabilidad de fabricar una pieza defectuosa es 0.15. Obtener

a) La probabilidad de que la primera pieza defectuosa durante ese d´ıa sea la número 40. b) Sabiendo que en la fabricación de cada pieza se tardan 20 segundos ¿cuál será el tiempo medio que hay que esperar hasta que sea producida la primera pieza defectuosa?

c) Probabilidad de que las ocho primeras piezas fabricadas sean todas buenas.

a)X= N´umero de piezas buenas antes de la primera defectuosa, X ∼G(0.15) P[X = 39] = (0.85)39·0.15

Con R, dgeom(39,0.15)= 0.000265112.

b) EX = 1−_pp = 0.85_0.15 = 5.666. que es el n´umero medio de piezas buenas antes de la primera defectuosa. Por tanto, el tiempo pedido es 20×(5.666 + 1) = 133.33 segundos.

c)P[X ≥8] = 1−F(7) = 1−P[X ≤7]

Con R, 1-pgeom(7,0.15) o pgeom(7,0.15, lower.tail=FALSE)= 0.2724905. Si consideramos Y = N´umero de piezas buenas en las 8 primeras, Y ∼B(8,0.85)

P[Y = 8] Con R, dbinom(8,8,0.85)= 0.2724905.

7. Distribuci´

on hipergeom´

etrica

Se denominapoblación a cualquier colección de individuos, objetos o elementos arbitrarios y una muestra de tamaño n de esa población es cualquier subconjunto con n elementos.

(23)

MUESTRA ALEATORIA CON REEMPLAZAMIENTO (CON DEVOLUCI ÓN O SIMPLE). Se selecciona al azar un elemento de la población (suponiendo que todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionado), se devuelve a la población (después de anotar las caracter´ısti-cas de interés) y se selecciona otro también de forma aleatoria; se continua el proceso hasta completar el tamaño muestral deseado.

Notemos que una muestra aleatoria con reemplazamiento puede contener elementos repeti-dos y, en ciertas ocasiones, esto no es conveniente (incluso puede no ser posible, por ejemplo, al estudiar la duraci´on de vida de cierto tipo de bombillas).

MUESTRA ALEATORIA SIN REEMPLAZAMIENTO (SIN DEVOLUCI ´ON).

Se selecciona al azar un elemento de la población (suponiendo que todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionado); a continuación, sin devolverlo a la población, se selecciona otro suponiendo que los restantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos y as´ı sucesiva-mente.

Notemos que ahora todos los elementos de la muestra ser´an distintos.

El muestreo sin reemplazamiento es útil en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, con-sideremos una población con N individuos que deben elegir entre dos candidatos A y B a cierto puesto. Con objeto de realizar un sondeo de opinión antes de la elección se efectúa un muestreo de n individuos para ver su preferencia. En una situación de este tipo parece lógico hacer un muestreo sin reemplazamiento, que proporcionará más información sobre la intención de voto al tener todos los individuos diferentes.

Observemos que si en la población hay N1 votantes de A y la muestra se elige con reempla-zamiento, cada elemento de la muestra tiene probabilidadN1/N de ser votante de A. Por tanto, la selección de la muestra equivale a la repetición de n pruebas de Bernoulli independientes con probabilidad constante de éxito (ser votante de A) y la variable X: Número de votantes de A en la muestra∼B(n, N1_N )

Por el contrario, si el muestreo se realiza sin reemplazamiento, la probabilidad de éxito var´ıa después de cada selección y las pruebas de Bernoulli no son independientes:

La probabilidad de que el primer individuo seleccionado vote al candidato A es N1

N

La probabilidad de que el segundo individuo seleccionado vote al candidato A depende de lo que haya ocurrido en la primera prueba

P(2A/1A) = N1 −1

N −1, P(2A/1B) = N1 N −1.

Por tanto, la variable X: Número de votantes de A en la muestra, no tiene ahora una distribución binomial, sino que su distribución es la denominada HIPERGEOMÉTRICA.

(24)

de la poblaci´on, suponiendo que todos los subconjuntos den elementos tienen la misma proba-bilidad de ser elegidos.

En efecto, si la selecci´on se realiza simult´aneamente no cabe distinguir entre dos muestras que tengan los mismos elementos (no se tiene en cuenta el orden) y hay en total N_n mues-tras distintas y la probabilidad de elegir una cualquiera de ellas (esto es, que n individuos determinados formen parte de la muestra) es 1

(N n)

.

Por otra parte, si la selección se realiza elemento a elemento, dos muestras con los mismos elementos en distinto orden serán distintas y, en total, hayN(N −1)· · ·(N −n+ 1) muestras distintas; la probabilidad de que una muestra esté formada por n individuos concretos es

n!

N(N−1)· · ·(N −n+ 1) = 1

N n

que es igual a la anterior. Definici´on

Supongamos una población de N individuos divididos en dos categor´ıas de N1 y N2(= N−N1) individuos cada uno. Se elige una muestra de n individuos de la población (sin reem-plazamiento o simultáneamente). La variable aleatoria X que contabiliza el número de indivi-duos de la primera categor´ıa en la muestra se dice que tiene distribuciónhipergeométricade parámetrosN, N1 y n y se nota

X ∼H(N, N1, n), n, N1, N ∈N− {0}, n, N1 ≤N Funci´on masa de probabilidad

Evidentemente, un valor de la variable X debe ser un n´umero natural (debe incluirse el cero) verificando

m´ax(0, n−(N −N1))≤x≤m´ın(n, N1)

pues como hay N1 elementos en la primera subpoblaci´on y N2 en la segunda subpoblaci´on se tiene que cumplir

x≤n, x≤N1 ⇒ x≤m´ın(n, N1)

x≥0, n−x≤N2 ⇒ x≥m´ax(0, n−N2)

Obtengamos la funci´on masa probabilidad de dicha variable aleatoria, esto es la P[X =x], para los diferentes valores posibles de x.

P{X =x}=



       

       

(N1

x)( N−N1

n−x )

(N n)

Muestra simult´anea (Regla de Laplace)

N1 N

N1−1

N−1 · · ·

N1−(x−1)

N−(x−1)

N−N1 N−x

N−N1−1

N−x−1 · · ·

N−N1−(n−x−1)

N−n+1

n x

Muestra con reemp. = (

N1

x)( N−N1

n−x )

(25)

Luego la funci´on masa de probabilidad de esta variable aleatoria ser´a

P[X =x] =

N1 x

N−N1 n−x

N n

m´ax(0, n−(N −N1))≤x≤m´ın(n, N1)

Probemos que es una funci´on masa de probabilidad. En efecto, las probabilidades son no nega-tivas y adem´as 2

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(0,n−(N−N1))

P[X =x] =

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(0,n−(N−N1))

N1 x

N−N1 n−x

N n

=

N1+N−N1 n

N n

=

N n

= 1

Ejemplos y/o aplicaciones

La distribución hipergeométrica se aplica en el control estad´ıstico de calidad de una fabri-cación en serie. As´ı pues, si el lote bajo control contiene N1 elementos buenos y N2 =N −N1 elementos defectuosos, cuando tomamos una muestra de tamaño n sin reemplazamiento esta-remos interesados en saber el número de elementos buenos que han aparecido en la muestra de tamañon para as´ı determinar la calidad del proceso de fabricación.

En sondeos de opinión también tiene aplicación la distribución hipergeométrica. Podemos realizar una encuesta para intentar conocer si los individuos de una población tienen o no intención de votar en las próximas elecciones de tal manera que el número de individuos, de una muestra sin reemplazamiento, que tienen intención de votar sigue una distribución hipergeométrica.

Algunas de sus caracter´ısticas son:

2_{Usando que dados dos n´}_{umeros cualesquiera}_a_y_b_{y un entero positivo}_n_{, se verifica}

n

X

x=0

_a

x _b

n−x

=

_a₊_b

n

aunque realmente, dado que a_x= 0 six > aal haber un t´ermino nulo ena(a−1)· · ·(a−x+ 1) se debe tomar

x≤a, y dado que _n₋b_x

= 0 si n−x > bse debe tomarx≥n−b. Por tanto la suma parte de m´ax(0, n−b) y llega a m´ın(n, a) y realmente se tiene

m´ın(n,a)

X

x=m´ax(0,n−b)

_a

x _b

n−x

=

_a₊_b

(26)

F(x) =

            

0 x <m´ax(0, n−(N −N1))

P[x]

i=0 (N p

i )( N(1−p)

n−i )

(N n)

m´ax(0, n−(N−N1))≤x≤m´ın(n, N1)

1 x >m´ın(n, N1) Funci´on generatriz de momentos:

Existe ∀t∈_R porque la variable toma un n´umero finito de valores.

MX(t) =

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(0,n−(N−N1)) etx

N1 x

N−N1 n−x

N n

No se conoce una forma funcional espec´ıfica. Media:

E[X] =nN1 N En efecto,

EX =

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(0,n−(N−N1) x

N1 x

N−N1 n−x

N n = 1 N n

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(1,n−(N−N1) N1

N1−1 x−1

N −N1 n−x

=

haciendo x−1 =k

= N_N1

n

m´ın(n−1,N1−1)

X

k=m´ax(0,(n−1)−(N−N1)

N1−1 k

N −N1 (n−1)−k

= N_N1

n

N −1 n−1

= nN1 N

Varianza:

Var[X] = n(N −n)N1(N −N1) N2_(N ₋₁₎

Para ello, calculemos en primer lugar el momento no centrado de orden dos; es decir

(27)

E[X(X−1)] =

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(2,n−(N−N1)

x(x−1)

N1 x

N−N1 n−x

N n

=

= N1(N_N1−1)

n

m´ın(n,N1)

X

x=m´ax(2,n−(N−N1)

N1−2 x−2

N −N1 n−x

=

haciendo x−2 =k

= N1(N_N1−1)

n

m´ın(n−2,N1−2)

X

k=m´ax(0,(n−2)−(N−N1)

N1 −2 k

N −N1 (n−2)−k

=

= N1(N_N1−1)

n

N −2 n−2

= n(n−1)N1(N1−1) N(N −1)

E[X2] = n(n−1)N1(N1−1) N(N −1) +

nN1 N de donde se deduce la expresi´on de la varianza.

V ar[X] = n(n−1)N1(N1−1) N(N −1) +

nN1 N −

n2_N2 1 N2 =

n(N −n)N1(N −N1) N2_(N ₋₁₎ EJERCICIOS

1.- Sea una baraja de 40 cartas. De ella se toma una muestra de 5 cartas sin reemplazamiento. Obtener la probabilidad de obtener al menos dos ases.

Tenemos 40 cartas, de las cuales 4 son ases y se realiza un muestreo de tama˜no 5 sin reemplazamiento.

X: N´umero de ases en la muestra ∼H(40,4,5) y se pide

P[X ≥2] = 1−P[X = 0]−P[X = 1] = 1−

4 0 36 5 40 5 − 4 1 36 4 40 5 = 0,06899

(28)

realizar todas las pruebas de selecci´on, entre las 20 personas seleccionadas est´en los 10 mejores de las 40 personas que se presentaron.

Consideramos la variable aleatoriaX: N´umero de los mejores vendedores entre los 20 selec-cionados.

X ∼H(40,10,20) Nos piden

P[X = 10] = 10 10

30 10

40 20

= 0,000217