TEMA 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD DISCRETAS

(1)

1/9

TEMA 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD DISCRETAS

Distribución degenerada en un punto c.-

Función de probabilidad: P( = c) = 1; P(  c) = 0.

Función de distribución: F(x) =



  c x , 1

c x , 0

Momentos: E() = c; E(²) = c²; Var() = c²  c² = 0 Función característica: (t) = E(e^it) = e^itc

Distribución uniforme discreta.- Función de probabilidad: P( = xi) =

n

1, i = 1, 2, ..., n, x₁ < x₂ < x₃ < ...< x_n

Función de distribución: F(x) =























n 3 2

2 1

1

x x , 1 ...

x x x n, 2

x x x n, 1

x x , 0

Momentos: E() =

 



n

1 j

j n

1 j

j x

n 1 n

x ; E(^) =

 



n

1 j

2 j n

1 j

2

j x

n 1 n x

Función característica (t) =

 



n

1 j

itx n

1 j

itx

j j

n e 1 n e

Ejemplo. Supongamos que  toma los valores 1, 2, 3, ..., n cada uno con la misma probabilidad

n

1. Se tiene E() =

 

2 1 n 2

n n 1 n j 1 n 1 ⁿ

1 j

 





;

E(^) =

6 ) 1 n 2 )(

1 n ( 6

) 1 n 2 )(

1 n ( n n j 1 n 1 ⁿ

1 j

2      





, luego Var() =

6 ) 1 n 2 )(

1 n

(   

2

2 1

n 



 



  =

=

       

12 1 n 12

1 n ) 1 n ( 12

1 n 3 ) 1 n 2 ( 2 ) 1 n ( 12

1 n 3 ) 1 n 2 )(

1 n (

2     ²          ² 

La función característica (t) =

 



e 1



n

1 e e 1 e

e e e n e 1 n 1 n e

it itn it

it it it n itn

1 j

itj n

1 j

itj



 



 





 

Distribución de Bernoulli B(1, p).-

La variable  toma los valores {0, 1} con las probabilidades P( = 1) = p, P( = 0) = 1p = q Función de distribución: F(x) =







  x 1 , 1

1 x 0 , q

0 x , 0

(2)

2/9

Momentos: E() =q·0 + p·1 = p; E(^) = q·0² + p·1² = p, de donde la Var() = pp² = p(1p) = pq.

La función característica (t) = qe⁰ + pe^it = q + pe^it. Distribución binomial B(n,p).-

Dadas n variables aleatorias independientes B(1, p): ____n, entonces la variable

 = ____n se dice que tiene una distribución binomial B(n,p).

En consecuencia,  puede tomar valores enteros desde 0 hasta n.

Función de probabilidad: P( = r) = p^rqⁿ ^r r

n _



 



 , para r entero , 0 ≤ r ≤ n.

Función de distribución F(x) =





 



 





x r

r n rq r p n

Momentos: E() = E E

 

np

n

1 i

i n

1 i

i  















Var() = Var Var

 

npq

n

1 i

i n

1 i

i  















Función característica: (t) = ^E

 

êît^ ^Ê



^e^it^^¹^^²^^...^^ⁿ^

       

^Ê êît^¹ ^·Êêît^² ^·...·Êêît^ⁿ ^ ^q^^peît



ⁿ

Moda Mo: Se demuestra que npq ≤ Mo ≤ np + p

Por ejemplo, en la binomial B(10, 0,4) de la figura, sería 3,4 ≤ Mo ≤ 4,4, luego Mo = 4.

Si np  q es entero entonces np + p será el entero siguiente y habrá dos modas.

Propiedad reproductiva.-

Sean ₁ B(n₁, p) y ₂ B(n₂, p) independientes, y sea  = __. Entonces

_(t) = _₁

   

t·_₂ t =



^q^^pe^it

 

ⁿ¹ ^q^^pe^it

 

ⁿ² ^ ^q^^pe^it



ⁿ¹^ⁿ²que es la función característica de una binomial B(n₁+n₂, p).

Distribución de Poisson.-

Función de probabilidad: P( = x) = x! e^^^x

, para x{0, 1, 2, 3...} y  > 0.

Función de distribución F(x) =







 

x

0 k

k

! k e

Podemos apreciar una característica de la distribución de Poisson y es que la mayor parte de la “masa” de probabilidad se concentra para valores no mayores que 2. Por ejemplo, si  = 2  F(4)  0,9473; si  = 3  F(6)  0,9665; si  = 4 F(8)  0,9787, etc. De ahí que se la conozca como la distribución de los “sucesos raros”.

Función característica: (t) =

   

e  e 1

0 x

it x

0 x

x itx

it ^it ^it

e e

! e x e e

! x e e e

E ^^ ^ ^ ^















 



  



  

Momentos: derivamos (t).

’(t) = it  e^it 1

e ie ^ ^

  ’(0) = i  E() =

 

i 0

' = 

(3)

3/9

’’(t) = 2 it  e^it 1 2 2 2it  e^it 1

e e i e

e

i ^ ^  ^ ^

  ’’(0) = i² + ²i² E(^) =

 

i2

0

'' = +² de donde Var(x) =  + ²  ² = 

Distribución de Poisson como límite de la binomial.-

Sea  binomial B(n, p) y supongamos que n es “grande” y p “pequeño” de forma que la media np =  pueda considerarse constante. Se tendrá:

 

 



 



 



 



 



 



 

 

 



 



 





















x n

x

n x n x

n

n 1 n

1 n n )!

x n (

! x

! lim n

) p 1 ( x p lim n x P lim

= que es la función de probabilidad de la

distribución de Poisson P().

Suele considerarse buena la aproximación si p ≤ 0,1 y np < 5

Un ejemplo: en una rotonda se produce un accidente por cada 500 vehículos. Para el próximo fin de semana se esperan 2000 vehículos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 5 accidentes?.

La variable  = “número de accidentes el fin de semana” es binomial B 



 





500 , 1 2000

 



 



 500

P 2000 = P(4). Luego P( = 5)  e^4

! 5

4⁵  0,1563.

Propiedad reproductiva:

Sean _j, (j = 1, 2,..., n), variables aleatorias independientes de Poisson de parámetros respectivos _j (j =1, 2,..., n), y sea  =







n

1 j

j. Entonces _(t) =





 





^{  }











n

1 j

1 e n

1 j

it j

j t e

 _





 

n 1 j

j it 1 e

e que es la función característica de una v.a. de Poisson de parámetro











n

1 j

j. Distribuciones condicionadas:

Sean ₁ y ₂ v.a. independientes de Poisson de parámetros ₁ y ₂. Entonces la v.a. ₁/(₁+₂)

es binomial. En efecto

   

 



 



^





 















 





















 







! e y

! x e y

! e x y

P

x y , x y P

/ x

P _y

2 1

x y

2 x

1

2 1

2 1 1

2 1

 

x y

2 1

2 x

2 1

1 x

y

2 1

2 x

2 1

1

x y

! x y

! x

!

y ^ ^



 











 



 











 



 







 











 



 











  , luego ₁/(₁+₂) es binomial



 











2 1

, 1

y B

(4)

4/9

Distribución geométrica.-

Sea A (acierto) un determinado suceso de un experimento aleatorio tal que P(A) = p y sea A (fallo) el suceso contrario para el que se verificará P( A ) = 1  p = q. Supóngase que repetimos varias veces el experimento.

Se denomina distribución geométrica G(p) la de la variable aleatoria:

 = “número de fallos antes de que aparezca un acierto”

Función de probabilidad: P( = x) = q^xp, para x = 0, 1, 2, 3, ....

Función de distribución: F(x) = P(≤ x) = (q⁰ + q¹ + q² + ... + q^x)p =

 

q 1

p q 1 ^x ¹



 ^ = 1  q^x+1

   

_it

0 x

it x

0 x

x itx it

qe 1 qe p

p p q e e

E 







^  









’(t) =



^it



²

it

qe 1

pqie

  ’(0) = p

iq E() =

 

i 0

'

= p q

’’(t) =

   



^it



³

it 2 2 2 it

it 2

it 4

it it

2 2 2 2

it it

2

qe 1

e i pq 2 qe 1 e pqi qe

1

qe 1 e i pq 2 qe

1 e pqi





 





  ’’(0) =

 

²

2 2

q 1

q 2 i pq



   E(^) =

 

i2

0

''

=

 

²

2

q 1

q 2 pq



 

de donde Var(x) =

 

²

2

2 2

p q p

q q

1 q 2

pq  

 









No presenta la propiedad reproductiva

Propiedad de “falta de memoria”: Se demuestra que P(≥ a+b/ ≥ a) = P( ≥ b) Distribución binomial negativa o de Pascal.-

Con la misma terminología que la distribución geométrica, se denomina distribución binomial negativa BN(r, p) la de la variable aleatoria:

 = “número de fallos antes de que aparezcan r aciertos”

Función de probabilidad: P( = x) = 



 



   x

1 x

r q^xp^r = (1)^x 



 



  x

r q^xp^r = 



 



  x

r (q)^xp^r

(De aquí le viene el nombre de binomial negativa ya que

 

^r ⁽ ^q⁾^x

x q r

1

0 x

 

 





^

   ₎ Función de distribución:

 











 



 



  









1 k x k , p k q

1 k r

0 x , 0 x

F k r

x

0 k

  ^{ }

x 0

   

^r ^it ^r

it x r

0 x

x r itx

it

qe 1 qe p

x p r

p x q

e r e

E   



 



 







 











^









’(t) =



^it



^r ¹

it r

qe 1

i qe rp

   ’(0) =

p irq p

qi rp

1 r

r_   E() =

 

i 0

'

= p rq

(5)

5/9

’’(t)=

     



^it



^r ²

2 it 2 2 r it 2

it 2 r

2 r it 2

it r 2

it 2 2 1 r

it r 2

it 2 r

qe 1

1 r i e q rp qe 1 i qe rp qe

1

qe 1 1 r i e q rp qe

1 i qe rp







 





 ’’(0)=

2 2 2

2 r

2 r 1

r 2

p q ) 1 r ( r i rpq p

q p ) 1 r ( r q

i rp     

 ^ _  E(^) =

 

i2

0

''

= 2

2

p q ) 1 r ( r rpq 

de donde Var(x) = ₂ ₂

2 2

p rq p

rq rqp p

rq p

q ) 1 r ( r

rpq    



 







Propiedad reproductiva: Para j = 1, 2,..., n sean j v.a. independientes binomiales negativas

BN(r_j, p) y sea  =



 n 

1 j

j. Entonces _(t) =

 

   

^







 







 

 ⁿ

1 j

j n

1 j

j

j j

j it r

r n

1 j

it r n r

1

j 1 qe

p qe

1

t p , que es la función

característica de una binomial negativa 

 









p , r BN

n

1 j

j .

Distribución hipergeométrica.-

Supongamos una urna con N bolas de las que N₁ son blancas y el resto negras, siendo p =

N N₁

la proporción de blancas. Entonces la distribución de la variable aleatoria  =”número de bolas blancas obtenidas en n extracciones sin reemplazamiento”, se llama hipergeométrica H(N, n, p).

Para obtener la función de probabilidad P( = x) aplicaremos la fórmula de Laplace:











 







 



 







 





x n

N N x N : favorables Casos

n N : posibles Casos

1 1

Luego P( = x)



 







 







 



 







n N

x n

N N x

N₁ ₁

Función de distribución

F(x) =

 

























 







 







 



 











 x

0 k

1 1 1

1

) N , n min(

x , 1

1 k x k , n

N k n

N N k N

) N N ( n , 0 máx x

, 0

Se demuestra que E() = np y Var() =

1 N

n npqN



Ejemplo: En un libro de 100 problemas, 10 tienen errores. Elegimos aleatoriamente 10 problemas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 con errores?

(6)

6/9

Se trata de una distribución H(100; 10; 0,1), luego P( = 2) =



 







 







 





 10 100

8 90 2 10

 0,2015.

Distribución multinomial.-

En la distribución binomial B(n, p) hay dos clases de sucesos: “éxito”, con probabilidad p y

“fracaso”, con probabilidad q. La probabilidad de r éxitos y nr fracasos es:

P( = r) = p^rqⁿ ^r )!

r n (

! r

!

n 



Si generalizamos a k clases de sucesos, con probabilidades p₁, p₂, ...p_k diremos que una variable k-dimensional (₁, ₂, ...,_k) es multinomial M(n; p₁, p₂, ..., p_k) si su función de probabilidad es:

P(₁ = x₁, ₂ = x₂, ...,_k = x_k) = ₁^x¹ ^x₂² ^x_k^k

k 2 1

p

···

p

·

!p x

!···

x

! x

! n

donde n =



 k

1 i

x . i

Un ejemplo: los alumnos de una tutoría virtual se reparten del siguiente modo: 35% de Alicante, 25% de Castellón, y 40 % de Valencia . Un día se conectan 12 alumnos. Probabilidad de que sean 4 de Alicante, 2 de Castellón, y 6 de Valencia.

Llamando ₁, ₂ y ₃ al número de alumnos conectados de Alicante, Castellón y Valencia respectivamente, tendremos:

P(₁ = 4, ₂ = 2,₃ = 6) = 0,35⁴0,25²0,40⁶

! 6

!·

2

!·

4

!

12  0,0532

Cada variable _j se distribuye como una binomial B(n, p_j).

Se demuestra que la covarianza de la variable bidimensional (_h, _j) es np_hp_j. Luego el coeficiente de correlación lineal de (_h, _j) es:

) p 1 )(

p 1 (

p p )

p 1 ( np ) p 1 ( np

p np

j h

j j h h

j h

hj   



 



(7)

7/9

EJERCICIOS

Solución.-

La respuesta es d).

Solución.-

 es binomial B(3; 0,3) y  es binomial B(4, 0,3) pero, puesto que no se sabe si son independientes, no conocemos la distribución de  +

Solución.-

Si el número de empleados de la empresa es muy grande, de forma que podemos suponer que las probabilidades se mantienen en la elección sin reemplazamiento, entonces el número  de mujeres es una variable binomial B(12; 0,2). Luego P( ≥ 3) = 1 – P( ≤ 2) =

= 1 – P( = 0) – P( = 1) – P( = 2) = 1 – 0,8¹² – 12·0,2·0,8¹¹ – 

 



 2

12 0,2²·0,8¹⁰  0,4416.

Pero si en la empresa no hay muchos empleados, supongamos por ejemplo que hay 15, entonces habrá 3 mujeres y 12 hombres y, por la fórmula de Laplace:

4835 , 91 0 44 12

15 9 12 3 3 ad Probabilid

9 12 3 : 3 favorables Casos

12 : 15 posibles Casos







 







 







 

















 







 







 





Solución.-

La variable  es binomial B(3; 0,6), luego la moda está comprendida entre 3·0,6  0,4 =

= 1,4 y 3·0,6 + 0,6 = 2,4, luego es el 2.

Solución.-

El intervalo [np–q, np+p] = [2, 3] luego es bimodal. Las dos modas son el 2 y el 3.

(8)

8/9

Solución.-

El intervalo [np–q, np+p] = [3,25 ; 4,25] sólo contiene al número entero 4, que es la moda.

Solución.-

 es binomial B(10; 0,4) y la moda está en el intervalo [np–q, np+p] = [3,4; 4,4]

Solución.-

  +  es una distribución degenerada.

Solución.-

El número  de quiebras semanales es una variable aleatoria de Poisson de parámetro  = 2 (la media). Luego:

a) P(=0) =

! 0 e 2

0

2

= e^–2  0,1353

b) El número  de quiebras en un mes (4 semanas) es una variable aleatoria de Poisson de parámetro 4·2 = 8, luego P( > 5) = 1 – P( ≤ 5) = 1 –

15

·8551 e

! 1 x

e 8 ⁸

5

0 x

x

8 







   1 – 0,1912 =

= 0,8088.

Solución.-

El número X de heridos graves es una variable aleatoria de Poisson de parámetro 4. Luego P(X = 0) =

! 0 e 4

0

4  0,0183

Solución.-

(9)

9/9

La variable es de Poisson, de parámetro 2, luego la respuesta correcta es b).

Solución.-

La variable  es geométrica de parámetros p = 0,3 y q = 0,7, luego P(=2) = 0,7²·0,3 = 0,147

Solución.-

Se trata de una variable geométrica donde p = 0,25·0,1 = 0,025 y q = 0,975. Luego su valor

esperado es 39

025 , 0

975 , 0 p

q  

Solución.-

La variable  es binomial negativa BN(5; 0,3), luego P(=0) = 0,7 ·0,3 0,00243 0

4 ₀ ₅

 



 





Solución.-

La función característica es de una binomial negativa BN(1;0,25), luego

1024 81 4

1 4 3 4

1 1

4 ⁴

 



 







 



  





4



 P