Monitoreo de la Varianza de un Proceso Sujeto a Cambios Tipo Tendencia Edición Única

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(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PROGRAMA DE GRADUADOS EN CIENCIAS Y HUMANIDADES. MONITOREO DE LA VARIANZA DE UN PROCESO SUJETO A CAMBIOS TIPO TENDENCIA TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE. MAESTRO EN CIENCIAS. ESPECIALIDAD EN ESTADÍSTICA APLICADA MARÍA GUADALUPE SALMERÓN RUBIO. FEBRERO DEL 2000.

(3) 111. Resumen En este trabajo se proponen tres cartas de control para monitorear la varianza de un proceso, cuando ésta modifica su valor gradualmente siguiendo una tendencia lineal. Una de las cartas de control que se estudian está basada en la prueba de regresión isotónica, otra en la prueba maxi-min y otra en la transformación de la CUSUM para la media (carta de control que incorpora las sumas acumulativas de las desviaciones respecto de la media). Se realiza un estudio de la carta CUSUM para la varianza (denominada en este trabajo CUSUM-V) y se proponen valores para la constante de referencia. Se mide el desempeño de las cartas de control a través del Promedio de Longitud de Corrida, PLC, el cual se estima por medio de simulación Monte Cario, se consideran cambios tipo tendencia lineal y tipo escalón en la varianza del proceso. Del estudio comparativo entre las tres cartas propuestas y la carta CUSUM-V se encontró que para valores pequeños en la pendiente de la tendencia lineal,. con los valores de referencia sugeridos en este trabajo, la carta. CUSUM-V tiene el mejor desempeño y para valores grandes en la pendiente, la transformación de la carta CUSUM para la media (denominada en este trabajo CUSUMVT) tiene el mejor desempeño. También se encontró que para valores pequeños en la magnitud del cambio tipo escalón y con muestras pequeñas, la carta de control basada en la regresión isotónica, denominada VRI y la carta de control basada en la prueba maxi-min, denominada VAT, tienen el mejor desempeño. La CUSUM-VT tiene el mejor desempeño para el caso en que la magnitud del cambio tipo escalón es grande..

(4) iv. Dedicatoria. A mis padres, Sr. José Jaime Salmerón Jiménez y Sra. Gloria Rubio de Salmerón.. A mis hermanos, Ing. J. Rafael, Ing. J. Dante, Lic. J. Jaime, Ing. J. Ian y Arq. J. Ornar y a sus familias.. Y a todas aquellas personas que me han apoyado incondicionalmente..

(5) V. Agradecimientos. Agradezco al Dr. José Gpe. Ríos por su disposición y paciencia en la realización de este tesis y a mis sinodales Dra. Rebeca Romero y Dr. Salvador García por su participación en el comité. Gracias a todos los compañeros del Departamento de Matemáticas, del ITESM, campus Monterrey, que me alentaron y me apoyaron en la obtención de este grado académico. En especial, al Ingeniero Tomás Sánchez Cabrieles y a la Lic. Rosa Amelia Rodríguez Luévanos..

(6) vi. índice General Resumen. iii. Dedicatoria. iv. Agradecimientos. v. índice General. vi. Lista de Figuras. viii. Lista de Tablas. ix. Capítulos I Introducción. 1. II Monitoreo de la Varianza de un Proceso. 7. 2.1. Introducción. 7. 2.2. Antecedentes. 8. 2.2.1 2.2.2 2.2.3. Carta. R. Carta S 2. Carta S. 8 9 9. 2.3. Transformación de la Varianza. 10. 2.4. Carta CUSUM. 16. 2.4.1. CUSUM-V. 18. 2.4.2. CUSUM-VT. 20. 2.5. Derivación de la Carta de Control VRI. 23. 2.5.1. Conceptos Generales de la Regresión Isotónica. 23. 2.5.2. Estadístico de la Carta de Regresión Isotónica para la. 2.5.3 2.6. Media de un Proceso. 24. Carta VRI. 26. Derivación de la Carta de Control VAT. 29. 2.6.1. Conceptos Generales de la Prueba Maxi-min. 29. 2.6.2. Estadístico de la Carta Maxi-min para la Media de un. 2.6.3. Proceso. 30. Carta VAT. 31.

(7) vii. III Estudio Comparativo de Desempeño. 35. 3.1. Introducción. 35. 3.2. Metodología del Estudio de Desempeño. 35. 3.3. Estudio de la Carta CUSUM-V. 37. 3.3.1. Estimación del Valor de Referencia para la CUSUM-V para Cambios Tipo Escalón. 3.3.2. 37. Estimación del Valor de Referencia para la CUSUM-V para Cambios Tipo Tendencia Lineal. 41. 3.4. Desempeño en Cambios Tipo Escalón. 44. 3.5. Desempeño en Cambios Tipo Tendencia Lineal. 51. 3.6. Gráficas del Estadístico de las Cartas de Control CUSUM-VT, VRIyVAT. IV Conclusiones y Trabajos Futuros. 57 64. 4.1. Introducción. 64. 4.2. Resumen de Resultados. 64. 4.3. Conclusiones. 66. 4.4. Sugerencias para Futuras Investigaciones. 70. V Apéndices. 72. 5.1. Estimación del PLC para la carta CUSUM-V. 72. 5.2. Gráficas del estudio comparativo de desempeño. 81. 5.3. Códigos en lenguaje C. 92. Bibliografía. 108.

(8) viii. Lista de Figuras Figura 1.1. Cambio tipo escalón. 4. 1.2. Cambio tipo tendencia. 4. 2.1. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso bajo control (muestras de tamaño 5). 2.2. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso fuera de control con incremento en la varianza (muestras de tamaño 5). 2.3. 58. Trayectoria del estadístico de la carta CUSUM-VT para cambios tipo tendencia lineal con m=0.001. 3.4. 58. Trayectoria del estadístico de la carta CUSUM-VT para cambios tipo escalón con delta=l .0. 3.3. 15. Trayectoria del estadístico de la carta CUSUM-VT para cambios tipo escalón con delta=0.3. 3.2. 14. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso fuera de control con decremento de la varianza (muestras de tamaño 5). 3.1. 13. 59. Trayectoria del estadístico de la carta CUSUM-VT para cambios tipo tendencia lineal con m=0.1. 60. 3.5. Trayectoria del estadístico de la carta VRI para cambios tipo escalón. 61. 3.6. Trayectoria del estadístico de la carta VRI para cambios tipo tendencia lineal. 61. 3.7. Trayectoria del estadístico de la carta VAT para cambios tipo escalón. 62. 3.8. Trayectoria del estadístico de la carta VAT para cambios tipo tendencia lineal. 63.

(9) ix. Lista de Tablas Tabla 2.1. Ejemplo de cálculo de los estadísticos de la carta CUSUM-VT. 21. 2.2. Ejemplo de cálculo del estadístico de la carta VRI. 27. 2.3. Ejemplo de cálculo del estadístico de la carta VAT. 33. 3.1. Valores de h. 36. 3.2. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 5. 39. 3.3. Estimación del PLC para la CUSUM-V para cambios tipo tendencia lineal con muestras de tamaño 5. 42. 3.4. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 5. 46. 3.5. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 10 .... 47. 3.6. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 30. 48. 3.7. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 50. 49. 3.8. Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 100 .... 50. 3.9. Estimación del PLC para cambios tipo tendencia lineal para muestras de tamaño 5. 3.10. Estimación del PLC para cambios tipo tendencia lineal para muestras de tamaño 10. 3.11. 55. Cartas de Control sugeridas para cambios tipo escalón en la varianza del proceso. 4.2. 55. Estimación del PLC para cambios tipo tendencia lineal para muestras de tamaño 100. 4.1. 54. Estimación del PLC para cambios tipo tendencia lineal para muestras de tamaño 50. 3.13. 53. Estimación del PLC para cambios tipo tendencia lineal para muestras de tamaño 30. 3.12. 53. 69. Cartas de Control sugeridas para cambios tipo tendencia lineal en la varianza del proceso. 70.

(10) Capítulo I Introducción. En el proceso de manufactura de un artículo es importante que se impongan normas de especificación con el fin de asegurar que el producto cumpla con el propósito para el que se diseñó. Las normas de especificación se establecen sobre características relevantes del producto, y se denominan características de calidad. Cuando las características de calidad no cumplen con las normas de especificación, es deseable encontrar las causas que lo provocan y realizar las acciones correctivas necesarias. Las características de calidad están sujetas a variaciones inevitables, por tal razón es necesario establecer un monitoreo que permita detectar cuando afectan la calidad del producto. Existen dos tipos de variación, la variación inherente al proceso, la cual es imposible de evitar, llamada variación por causa común, y la debida al desgaste de las máquinas, errores de los operarios, irregularidades en las materias primas, y otras causas, conocida como variación especial o debida a causas asignables. Cuando un proceso de producción presenta sólo variación por causa común se dice que el proceso está bajo control y cuando presenta variación especial se dice que está fuera de control y es importante detectar esta variación.. Cartas de Control, una Herramienta Estadística. El uso de técnicas de muestreo y análisis estadístico en los procesos de producción empieza en la década de 1920, el objetivo que se pretendía lograr era reducir la variabilidad en el proceso de producción. En la década de 1950 ocurre el auge del desarrollo del control 1.

(11) estadístico de calidad. Una de las áreas del control estadístico de calidad es el control estadístico del proceso (CEP). El control estadístico del proceso es un conjunto de técnicas que se utilizan para monitorear un proceso de producción a través del tiempo para detectar cambios en los parámetros del proceso. Una de las técnicas del CEP son las cartas de control. Las cartas de control se utilizan en la industria como técnica de monitoreo para supervisar procesos de producción e identificar inestabilidad y circunstancias anormales (Devore, 1998). La teoría general de cartas de control inicia su desarrollo en 1924 (Shewhart,1931). Existen cartas de control para monitorear la media de un proceso (carta X\ la varianza de un proceso (carta S y carta R), la proporción de unidades defectuosos (carta p y carta np) y el número de defectos (carta C y carta U) ( Montgomery, 1997). También existen cartas de control propuestas para monitorear los parámetros de todas las distribuciones probabilísticas estándar, tanto discretas como continuas (Woodall y Montgomery, 1999). El control estadístico del proceso (CEP) se aplica en un proceso de producción con el fin de detectar cambios en los parámetros del proceso. El procedimiento general del CEP consiste en: tomar periódicamente muestras de tamaño n, calcular el valor de un estadístico y grafícar en la carta de control. Los límites de una carta de control se determinan de acuerdo a la distribución del estadístico bajo la suposición de proceso bajo control. Si el valor del estadístico excede a esos límites de control, se dice que ocurre una "señal" de alarma atribuible a causas asignables, se cataloga al proceso como fuera de control y debe comenzar la búsqueda de tales causas para su corrección. Si el estadístico cae entre los límites de control, se considera que el proceso está bajo control y se continúa el monitoreo. Puede ocurrir que la carta emita una señal de fuera de control cuando en realidad no existe una causa de variación asignable, a ésta se le denomina falsa alarma. El estadístico que se utiliza en una carta de control depende del tipo de característica de calidad a monitorear. Por ejemplo, si se desea monitorear la media de un proceso o de. 2.

(12) una característica de calidad, el estadístico más utilizado es el promedio de las observaciones muéstrales, esto es X. Los límites de control son, límite de control superior: |j,o + 3 -pr y límite de control inferior: [¿o - 3 —£= ; HQ es un valor preestablecido para la V» \n media del proceso, GQ es un valor preestablecido para la desviación estándar del proceso y n es el tamaño de la muestra. Las cartas de control desarrolladas bajo estos principios se conocen como cartas tipo Shewhart (Montgomery, 1997). Este tipo de carta de control es efectiva para detectar cambios grandes en la media del proceso, pero no es tan efectiva para detectar cambios pequeños. Una medida de desempeño de las cartas de control es el promedio de longitud de corrida (PLC). La longitud de una corrida (LC) es el número de muestras obtenidas hasta que la carta da la señal de alarma y su media se denomina promedio de longitud de corrida (PLC).. La Varianza y la Calidad. La definición moderna de calidad es: la calidad es inversamente proporcional a la variabilidad, más aún, la mejora de la calidad es la reducción de la variabilidad en procesos y productos (Montgomery, 1997). El estudio de cartas de control para detectar y corregir a tiempo las causas de variación en la característica de calidad de un producto cada vez adquiere mayor relevancia. En muchos casos, es necesario detectar si la variabilidad del proceso ha aumentado o disminuido en forma apreciable, ya que ello es indicio de mejora o empeoramiento del proceso. Cuando una carta de control para la varianza da la señal de alarma, ésto indica que el valor de la varianza del proceso ha cambiado, digamos de CTO a <J\ . Puede haber varios tipos de cambios, por ejemplo, el tipo escalón, el cual se ilustra en la figura 1, ocurre 2. cuando el proceso inicia bajo control (con varianza <JQ ), luego se presenta un cambio 3.

(13) repentino en la variabilidad de la característica de calidad permaneciendo constante en ese 2. valor, o~i ; este tipo de cambio podría ser ocasionado por la introducción de nuevos operarios, métodos, materiales o maquinaria en el proceso, entre otras causas.. 3. 4. 5 Muestra. 6. 7. Figura 1. Cambio Tipo Escalón. El cambio tipo tendencia, el cual se ilustra en la figura 2, ocurre cuando el valor de la varianza del proceso cambia gradualmente siguiendo alguna tendencia; este tipo de cambio podría deberse a desajuste de la maquinaria, cansancio del operario, etc. y se presenta frecuentemente en procesos químicos debido al asentamiento o separación de los componentes de una mezcla, entre otras causas (Montgomery, 1997).. 3. 4. 5 Muestra. 6. Figura 2. Cambio Tipo Tendencia 4.

(14) La mayoría de las investigaciones en métodos de CEP han sido enfocadas al monitoreo de la media de un proceso (o vector de medias). El desempeño de las cartas de control para la media de un proceso ha sido estudiado y presentado en distintas investigaciones en la literatura de CEP, en algunas de ellas se supone que la media del proceso sufre un cambio tipo escalón. Mandel (1969), Coleman (1989), Flaig (1991), Hackl y Ledolter (1992) son algunos de los autores que han realizado estudios de desempeño para cambios tipo tendencia en la media del proceso. Algunos de los trabajos de estos autores no presentan estudios comparativos con la carta de control CUSUM (Page, 1954), o bien los resultados que obtienen no superan a la CUSUM. El monitoreo de la variabilidad de un proceso ha recibido relativamente poca atención y es tan, o quizás más importante que el monitoreo de la media (Woodall y Montgomery, 1999). De hecho, se recomienda establecer control sobre la variación antes de construir una carta de control para la media (Montgomery, 1997). Johnson y Leone (1962) presentan procedimientos de la CUSUM basado en el rango (R) y en la varianza muestral (S> ), en Hawkins (1981) y Hawkins y Olwell (1998) se presenta un procedimiento para detectar cambios en la variabilidad del proceso. No se mencionan en la literatura trabajos en que se haya estudiado el desempeño de las cartas de control para la varianza de un proceso suponiendo cambios tipo tendencia. En Woodall y Montgomery (1999) se menciona que no hay investigaciones recientes acerca del monitoreo de la varianza de un proceso enfocados a la detección de la disminución en la variabilidad, esto es, en el mejoramiento de la calidad. En Ríos (1997), se presenta un procedimiento para monitorear la media de un proceso, considerando cambios graduales tipo tendencia. Los estadísticos que propone para las cartas de control están basados en la prueba de regresión isotónica y en la prueba maximin, los resultados que presenta sugieren que se obtiene un mejor desempeño en cambios pequeños tipo tendencia y tipo escalón, y un desempeño similar a la carta CUSUM en cambios grandes. Por el área de oportunidad que presenta este estudio resulta de interés explorar tales procedimientos en el diseño de cartas de control para monitorear la. 5.

(15) variabilidad de un proceso considerando cambios tipo tendencia lineal y estudiar y comparar el desempeño de tales cartas. En el presente trabajo se proponen 3 cartas de control para monitorear la variabilidad de un proceso o característica de calidad, considerando que la varianza se modifica gradualmente a través del tiempo, siguiendo una tendencia lineal, cuando el proceso está fuera de control. Vía simulación se estima el desempeño de las. 3 cartas de control. propuestas y se comparan con el desempeño de la carta CUSUM para la varianza. En el estudio de desempeño se consideran cambios tipo tendencia lineal y cambios tipo escalón. El trabajo está estructurado de la siguiente forma. En el capítulo II se presentan las cartas de control para monitorear la varianza de un proceso. En el capítulo III se presenta la metodología de simulación para medir el desempeño y un estudio comparativo de desempeño entre varias cartas de control para cambios tipo tendencia lineal y cambios tipo escalón en la varianza del proceso. En el capítulo IV se presenta el resumen de resultados y las conclusiones de este trabajo así como algunas sugerencias para futuros trabajos.. 6.

(16) Capítulo II Monitoreo de la Varianza de un Proceso. 2.1. Introducción El monitoreo de la varianza de un proceso por medio de cartas de control permite. detectar cambios en el valor de dicho parámetro. En la literatura existen diversas cartas de control diseñadas para monitorear la varianza de un proceso: la carta R, la carta S, la carta S2 (Montgomery, 1997), y la CUSUM para la varianza (Hawkins y Olwell, 1998). En un trabajo reciente, Ríos (1997) presentó un procedimiento para diseñar cartas de control para la media de un proceso basadas en la prueba de regresión isotónica y en la prueba maxi-min, suponiendo que el cambio en la media del proceso se modela tipo tendencia lineal. En los estudios de desempeño realizados, los resultados comparativos muestran que para pequeños cambios en la pendiente de la tendencia lineal, las cartas obtenidas tienen un mejor desempeño que la carta CUSUM y para cambios tipo escalón tienen un desempeño similar. En este capítulo se presentan tres cartas de control para detectar cambios en la varianza del proceso, dos de las cartas están basadas en el procedimiento presentado por Ríos (1997) y una carta está basada en la carta CUSUM para la media. El estudio de desempeño de tales cartas para cambios tipo tendencia lineal y tipo escalón se presenta en el siguiente capítulo. La estructura de este capítulo es la siguiente: se presenta una breve descripción de las cartas de control existentes para monitoreo de la varianza,. el procedimiento de. transformación de la varianza, las cartas de control CUSUM para la varianza, y por último. 7.

(17) las cartas de control para la varianza utilizando los procedimientos sugeridos por Ríos (1997).. 2.2. Antecedentes Para monitorear la dispersión de una característica de calidad existen en la literatura. varias cartas de control. A continuación se describen las más comúnmente utilizadas.. 2.2.1. Carta R El estadístico de la carta es el rango R, de una muestra aleatoria x\, x-¿, xi, .... , xn. tomada de una población normal con media u y varianza a2 conocidos. Los límites de control de esta carta son, límite superior: D4R y límite inferior: DsR . La estimación del rango promedio R se realiza de la siguiente manera: se toman previamente m muestras aleatorias de tamaño «, a cada una se le calcula el rango R¡ =Xrn¿ai — Xmín con i= 1, 2, ... , m, m de tal forma R= — / /?,- . Z)^ y D$ son constantes en función de n.. Aunque esta carta es comúnmente utilizada por la simplicidad del estadístico en que se basa, tiene una fuerte desventaja: es relativamente insensible a cambios pequeños en la desviación estándar del proceso cuando las muestras son pequeñas. Por ejemplo, para muestras de tamaño n = 5 hay un 40% de probabilidad de detectar en la primera muestra un cambio tipo escalón en la desviación estándar del proceso de a a 2a. Cuando las muestras son muy grandes esta carta puede ser más efectiva, sin embargo se sabe que la estimación de la desviación estándar a por el método del rango es poco confiable cuando el tamaño de la muestra es muy grande. De hecho, cuando la muestra es de tamaño 10 ó 12 al menos, se recomienda el uso de las cartas para S ó S2 en lugar de esta carta (Montgomery, 1997).. 8.

(18) 2.2.2. Carta S El estadístico de la carta es la desviación estándar S, de una muestra aleatoria xi, X2,. xi, .... , xn tomada de una población normal con media \\. y varianza a conocidos. Los límites de la carta de control son, límite superior: B4 S y límite inferior: 83 S. La estimación de la desviación estándar promedio S se realiza de la siguiente manera: se toman previamente m muestras aleatorias de tamaño n, a cada una se le calcula la desviación estándar. J. 1 n — 1 m 2 —— Y (xt - X] con / = 1, 2,,..., m , de tal forma que 5 = —Y 5,-. n-lr-í w^—' 1=1 =z l. B4 y Bj son constantes en función de n. Esta carta se recomienda cuando el tamaño de la muestra es relativamente grande, esto es al menos 10 ó 12 observaciones o bien cuando es variable. En la industria preferentemente se utiliza la carta R por la simplicidad de cálculo del rango para cada muestra, sin embargo la proliferación del uso de las computadoras en la industria y especialmente en las líneas de producción ha provocado que la carta S empiece a ser utilizada con más frecuencia.. 2.2.3 Carta S2 El estadístico de la carta es la varianza S2, de una muestra aleatoria x\, X2, *3, .... , xn tomada de una población normal con media jj, y varianza c2 conocidos. Los límites de la carta de control son, límite superior:. ^2. 7j. ]^ %„/-) u/ ¿.,n„ ii. y límite inferior:. ^2". „. ^ %r_, i (ai/^ ¿),n _,. i. La estimación de la varianza promedio S ^ se realiza de la siguiente manera: se toman previamente w muestras aleatorias de tamaño n, a cada una se le calcula la varianza. 9.

(19) 2. S =. i. n. l. 2. J\(xt - X). »- i=i. 2. i. m. con i = 1, 2,,..., m , de tal forma que S = — V S2 ; m. ^í. a es la probabilidad de que la carta de control de una falsa señal de alarma. Los límites de control de esta carta son límites probabilísticos. La cartas de control R y S son cartas tipo Shewhart, están basadas en los principios desarrollados por Walter A. Shewhart (Hawkins y Olwell, 1998). Montgomery (1997) menciona que una gran desventaja de estas cartas es que únicamente utilizan la información acerca del proceso contenida en el último punto graneado e ignoran cualquier información dada por la secuencia completa de puntos. Esto provoca que sean cartas sean relativamente insensibles a pequeños cambios en la característica de calidad. La carta de control CUSUM tiene mejor desempeño que las cartas tipo Shewhart y es sensible a pequeños cambios en la característica de calidad. La carta CUSUM para la varianza se presenta en la sección 2.4.1 de este capítulo.. 2.3. Transformación de la Varianza El monitoreo de una característica de calidad se realiza a través de un estadístico. muestral, ésto implica que periódicamente se tomarán muestras aleatorias. En este trabajo se establecen los siguientes supuestos: 1) que la característica de calidad sea una variable aleatoria que sigue una distribución normal con valores de media y varianza conocidos y 2) cuando el proceso cambia su estatus a fuera de control, la varianza cambia y la media del proceso permanece constante. A partir del primer supuesto mencionado en el párrafo anterior, si X es la variable relacionada con la característica de calidad, entonces X sigue una distribución normal con media ô y varianza O-Q . Siendo los parámetros del proceso, la media ô y la varianza O-Q . 9. 7. 10.

(20) La media |j,o se monitorea a través del estadístico X y las cartas de control más comunes se presentan en Montgomery (1997). El monitoreo de la varianza O-Q a través de cartas de control es el que se estudia en este trabajo. Es muy importante detectar lo más pronto posible cuando la varianza del proceso ha cambiado, de hecho, en ello está basado el desempeño de una carta de control. El monitoreo de la varianza del proceso <TQ•^ se realizará a través de la varianza muestral. La varianza muestral se obtiene de la siguiente forma. Se toman muestras aleatorias periódicamente, se supondrá independencia en el muestreo. Cada muestra aleatoria se compone de n observaciones, donde la media de la muestra es X, y su varianza eso =. n. ~ /= 1. Si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población normal con varianza <TQ , entonces. 2. ^— es una variable aleatoria que sigue una ^0. distribución ji-cuadrada con v= n-l grados de libertad (Casella y Berger, 1990). Las cartas de control que se estudian en este trabajo monitorean la media de un proceso cuya característica de calidad sigue una distribución normal. Sin embargo, aquí se aplican al monitoreo de la varianza de un proceso, entonces es necesario realizar una transformación tal que una distribución ji-cuadrada sea convierta en una distribución aproximadamente normal. En Kendall y Stuart (1958) se mencionan dos transformaciones para que una variable aleatoria con distribución ji-cuadrada se transforme en una nueva variable que siga una distribución aproximadamente normal. 1) La transformación de Fisher establece que: la variable aleatoria -\¡2%. sigue una distribución aproximadamente normal con media. 11.

(21) ' -1) y varianza unitaria. 2) La transformación de Wilson y Hilferty establece que: la 1/3. variable aleatoria I ^— IV 1. 2. sigue una distribución aproximadamente normal con media. 2. y varianza — . Kendall y Stuart (1958) mencionan que la transformación de Wilson 9v 9v. y Hilferty es la aproximación más exacta y es la que se utilizará en este trabajo. La variable aleatoria que se utiliza para monitorear la varianza del proceso es S2, luego. (n-V)S2 ^— es una variable aleatoria con distribución j i-cuadrada con v- n-1 grados de -o2 vl/3. libertad y es a la que se le aplicará la transformación de Wilson i iia^jii y y Hilferty: j. iiij-ui \,y .. Ya que -- —= =X,. 2. Y v= n-1, entonces ^—. a/3. 1v ). ( (n — T)S 2 // V / 3. 2. A». n-1. f. 2. S. \. { o2 ;. Entonces, ,1/3. (2.1) es una variable aleatoria que sigue una distribución aproximadamente normal con media 1- —. 2. y varianza —. 2. . De aquí que,. z=. W-\\ — (2.2). es una variable aleatoria aproximadamente normal con media cero y varianza unitaria.. 12.

(22) Para ilustrar la convergencia de la transformación de Wilson y Hilferty a una (n-DS2 distribución normal se utilizó el paquete estadístico Minitab. Se sabe que = —. entonces 5> =. n-1. x, ,. . Con el Minitab se generaron 2000 números aleatorios con. distribución j i-cuadrada con 4 grados de libertad, luego se multiplicaron por la varianza del proceso que es uno y se dividieron entre 4, ya que son los grados de libertad y con ello se obtienen las varianzas de 2000 muestras aleatorias de tamaño 5. A cada varianza S2 se le f\. aplicó la ecuación (2.1) con varianza nominal O-Q=I para el supuesto de proceso bajo control. La figura 2.1 muestra el ajuste de las W's a una distribución normal. El paquete estadístico Minitab proporciona la prueba de normalidad de Anderson-Darling, puede observarse que el valor-p (p-value) es 0.12, esto indica que el ajuste a la distribución normal es bueno, y los intervalos de confianza para la media |a^y la desviación estándar a^ contienen a los parámetros de la distribución teórica de FFque son, \iw= 0.9444, varianza = 0.0555 y desviación estándar a^= 0.2357. Descriptive Statistics Variable: w 1 Anderson-Darling Norm ality Test A-Squared: 0.60 p-value: 0.12 Mean Std Dev Variance Skewness Kurtosis n of data Minim um 1 st Quartile Median 3rd Quartife Maxim um. 95% Confidencia Interval for Mu. 0.94 0.24 0.06 0.05 -0.31 2000.00 0.24 0.77 0.93 1.10 1.69. 95% Confidence Interval for Mu 0.93 0.95 95% Confidence Interval for Sigm a 0.23. 95% Confidence interval for Median. Figura 2.1. 0.24. 95% Confidence Interval for Medían 0.92 0.95. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso bajo control (muestras de tamaño 5). 13.

(23) En la figura 2.2 se ilustra el caso de un proceso fuera de control debido a un 2. incremento en la varianza. Para el supuesto de proceso bajo control, la varianza es O~Q = 1 y para el proceso fuera de control, es o\ = 1.5(¿7o )= 1.5. Se utilizó el paquete estadístico Minitab, se generaron 2000 números aleatorios con distribución ji-cuadrada con 4 grados de libertad, luego se multiplicaron por 1.5 (la varianza del proceso fuera de control) y se dividieron entre 4, ya que son los grados de libertad y con ello se obtienen las varianzas de 2000 muestras aleatorias de tamaño 5. A las varianzas S2 se les aplicó la ecuación (2.1). La figura 2.2 muestra el ajuste de las W's a una distribución normal. Puede observarse que en la prueba de normalidad de Anderson-Darling, el valor-p es 0.66, esto indica que el ajuste a la distribución normal es muy bueno, y los intervalos de confianza para la media y la desviación estándar no contienen a los parámetros de la distribución teórica de W que tiene media \LW = 0.9444, varianza &w = 0.0555 y desviación estándar o> = 0.2357, ya que el /^. proceso está fuera de control. Descriptive Statistics Variable: ww1 Aiderson-Darling NormalityTest A-Squared: 0.27 p-value: 0.66. 0.75 I. i. I. I. I. 0.85 I. I. I. Mean Std Dev Variance Skewness Kurtosis nofdata. 0.95. I ._!.. Mínimum IstQuartile Median 3rd Quartile Máximum. 95% Confidence Interval for Mu. 1.00 0.07 0.00 -0.01 0.00 2000.00 0.78 0.95 1.00 1.04 1.22. 95% Confidence Interval for Mu 0.99. 1.00. 95% Confidence Interval for Sigma 0.07. 95% Confidence Interval for Median. Figura 2.2. 0.07. 95% Confidence Interval for Median 0.99. 1.00. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso fuera de control con incremento en la varianza (muestras de tamaño 5).. 14.

(24) En la figura 2.3 se ilustra el caso de un proceso fuera de control debido a un decremento en la varianza. Para el supuesto de proceso bajo control, la varianza es O-Q = 1 y para el proceso fuera de control, es cr\ = 0.5(<T0 )= 0.5. También se utilizó el paquete 9. 9. estadístico Minitab, se generaron 2000 números aleatorios con distribución ji-cuadrada con 4 grados de libertad, luego se multiplicaron por 0.5 (la varianza del proceso fuera de control) y se dividieron entre 4, ya que son los grados de libertad y con ello se obtienen las varianzas de 2000 muestras aleatorias de tamaño 5. A las varianzas S se les aplicó la ecuación (2.1). La figura 2.3 muestra el ajuste de las W's a una distribución normal. Puede observarse que en la prueba de normalidad de Anderson-Darling, el valor-p es 0.12, esto indica que el ajuste a la distribución es bueno, y los intervalos de confianza para la media y la desviación estándar no contienen a los parámetros de la distribución normal teórica de W ^ que son, media \iw = 0.9444 y varianzacr^ = 0.0555, ya que el proceso está fuera de. control. Descriptive Statistics Variable: w 2 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.60 p-value: 0.12. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 95% Confidente Interval for Mu. Mean Std Dev Va rían ce Skewness Kurtosis n of data Minim um IstQuartile Median 3rd Quartile Máximum. 0.74 0.19 0.03 0.05 -0.31 2000.00 0.19 0.61 0.74 0.87 1.34. 95% Confidence Interval for Mu 0.73 0.75 95% Confidence Interval for Sigma 0.18. 95% Confidence ¡ntervai for Median. Figura 2.3. 0.19. 95% Confidence Interval for Median 0.73 0.75. Transformación de Wilson y Hilferty para un proceso fuera de control con decremento de la varianza (muestras de tamaño 5).. 15.

(25) En las figuras 2.1, 2.2 y 2.3 se muestran los resultados de la prueba de normalidad de Anderson-Darling para las Ws, y los valores-p observados indican que hay evidencia de que la transformación de Wilson y Hilferty de (2.1) converge a una distribución normal.. 2.4. Carta CUSUM Existen dos alternativas muy efectivas cuando los cambios en la característica de. calidad son muy pequeños: la carta CUSUM (cumulative sum) (Page, 1954) y la carta EWMA (exponentially weighted moving-average) (Roberts, 1959). La carta CUSUM incorpora toda la información en la secuencia de valores muéstrales graneados para las sumas acumulativas de las desviaciones de los valores muéstrales del valor de especificación. Precisamente porque combina información de varias muestras es que la CUSUM es más efectiva que las cartas tipo Shewhart para detectar cambios pequeños en la característica de calidad. Las cartas CUSUM fueron propuestas por Page (1954) y han sido posteriormente estudiadas por diversos autores: en particular Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkins (1981) y Woodall y Adams (1993). La carta EWMA tiene un desempeño similar a la CUSUM, por tal razón este trabajo se enfoca en el estudio de esta última. A continuación se describen los principios básicos de la carta CUSUM estandarizada para monitorear la media de un proceso. Cuando el proceso está bajo control, las observaciones x¡ son independientes y siguen una distribución normal con media HQ y desviación estándarCTO;se supone que ÎQ y C7o son conocidas. Luego, la media de una muestra aleatoria de tamaño n, es decir X, sigue una 0.2 distribución normal con media j¿o y varianza ——. n. 16.

(26) Existen dos enfoques para el diseño de límites de control para las cartas CUSUM. Uno de los métodos es el procedimiento de la máscara V y el otro es el procedimiento tabular. En Montgomery (1997) se menciona que el procedimiento tabular es mucho mejor, ya que se facilita enormemente cuando se programa en una computadora, este procedimiento es el que se utiliza en este trabajo. La CUSUM tabular mide las desviaciones acumuladas del valor de especificación HQ. La variable aleatoria S¡ denota la suma acumulada hasta la /-ésima muestra y se define * xi -//o ,. como, S,••= V Z / , donde Z, - — . Los estadísticos S> y S~ se denominan CUSUM £. ^ V". superior unilateral y CUSUM inferior unilateral, respectivamente. Estas cantidades se calculan de la siguiente manera: S+ = máx[ O, Zi-k+ S^ ] y. (2.3). S¿~ = máx[ O, -* - Z,- + Su ]. (2.4). los valores iniciales SQ y SQ son cero, a k se le conoce como valor de referencia. Hay muchos estudios analíticos acerca del desempeño de la carta CUSUM a través del PLC, de ahí se toman las siguientes recomendaciones, utilizando h = 4 ó 5y k= —,1a carta que se obtiene tiene un buen desempeño para cambios de cerca de la en la media del proceso, para más detalles ver Montgomery (1997). Si Sf o S^ exceden al intervalo de decisión h, entonces el proceso se considera fuera de control. Las ventajas de estandarizar la carta CUSUM son: primero, que muchas cartas CUSUM tienen los mismos valores de k y h, y los valores para tales parámetros no dependen de la escala (es decir, no dependen de las unidades de la variable original); segundo, una CUSUM estandarizada lleva naturalmente a una CUSUM para controlar la variabilidad.. 17.

(27) 2.4.1. CUSUM-V La carta CUSUM para la varianza, denotada en este trabajo por CUSUM-V, es muy. útil para detectar cambios en la varianza del proceso cuando la media permanece constante, (Hawkins y Olwell, 1998). Los principios básicos de diseño de esta carta, se describen a continuación. Cuando el proceso está bajo control, se supone que las observaciones son 2. independientes y siguen una distribución normal con media (lo y varianza CTO . Si se toman —. 2. muestras aleatorias de tamaño n, entonces cada muestra tiene media X¡ y varianza S¡ , donde i= 1,2,3,4, Para detectar un incremento en la varianza del proceso de ¿TQ a (a\ )+, se utiliza el estadístico (f . Éste se calcula de la siguiente manera: C+ = máx[0, C£ + S/2 - k+]. (2.5). donde k+ = yC 0 + =0. Para detectar un decremento en la varianza del proceso de CTQ a (cr\ )", se utiliza el estadístico C . Éste se calcula de la siguiente manera: C¿~ - mín[0, Cu + Sf - k~] u. donde k~ =. l. /-uv-i >. (2.7) ^.8). y C 0 -= 0. Una forma alternativa de la CUSUM para la varianza es considerar las observaciones estandarizadas, esto facilita que su valor de referencia k y su intervalo de decisión h sean 18.

(28) adimensionales. La estandarización que se utiliza es V¡ = —r- , la cual es una variable ^0 aleatoria con distribución j i-cuadrada con n-l grados de libertad, dividida entre sus grados de libertad. Bajo esta estandarización las ecuaciones (2.5), (2.6), (2.7) y (2.8) se reescriben de la siguiente forma: S? =máx[0, Sti +V¡- k+] donde. (2.10). r=. y. Sf = mín[0, S^ + V¡ -k~]. donde. SQ =. = y. (2.9). 2^0/^X0?)-. <ú. (2.11) (2 12). SQ = O. La ventaja de estandarizar la carta CUSUM para la varianza es que las constantes de referencia k+ y k~ son adimensionales, no dependen de las unidades de la varianza del proceso. En esta carta CUSUM, el valor de referencia k no tiene un valor estándar o sugerido (como en el caso de la CUSUM para la media, &=l/2), en este trabajo se estudian diversos valores de A: y se propone un valor, esto se detalla en el capítulo 3. La carta señala que el valor de la varianza se ha incrementado, cuando Sf> h+ y señala que el valor de la varianza se ha decrementado, cuando S(~ < -h~. Los valores de h+ y h~ se determinan de acuerdo al PLC deseado para el proceso bajo control. Para más detalles, consultar Hawkins y Olwell (1998).. 19.

(29) 2.4.2 CUSUM-VT. En este trabajo llamaremos carta CUSUM-VT a la carta CUSUM estandarizada para la media de un proceso, aplicada sobre la transformación de la varianza muestral sugerida en (2.1). La carta CUSUM estandarizada para la media de un proceso tiene los siguientes supuestos, cuando el proceso está bajo control las observaciones siguen una distribución normal con media cero y varianza unitaria. En el caso que se estudia se desea monitorear la varianza del proceso utilizando la carta CUSUM estandarizada para la media. El procedimiento que se sigue consta de los siguientes pasos: 1. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n. 2. Se calcula la varianza muestral, S2. 3. A la variable aleatoria S2 se le aplica la transformación (2.1), entonces: /. S. - ,\1/ \ l / 3J. W= ——2 =. -). /3. I 2V 15 I , la cual sigue una distribución aproximadamente normal. con media 1. 2. y varianza. 2. .. 4. Se estandariza la variable normal Sutilizando la ecuación (2.2). Entonces,. Z=. ,. —- es una variable aleatoria aproximadamente normal con media cero y. varianza unitaria. Después de seguir los pasos anteriores se aplica la carta CUSUM para la media a la variable aleatoria normal estándar Z, definida en el paso 4. Los estadísticos de la carta son: S+=máx[0,Zj-k + S^] y S^= máx[0, -k - Z¡ + S^]. Si S/o S¿~ exceden al intervalo de decisión h, entonces el proceso se considera fuera de control. El valor de h se obtiene de. 20.

(30) acuerdo al PLC deseado cuando el proceso está bajo control. A continuación se presenta un ejemplo con el fin de ilustrar el cálculo de los estadísticos de esta carta de control. Ejemplo. La tabla 2.1 contiene los resultados de 10 muestras aleatorias de tamaño 5 provenientes de una población normal estándar. Tiene el número de muestra en la primer columna, la varianza de la muestra en la segunda columna, el valor de W calculado de la ecuación (2.1) en la tercer columna, el valor de Z calculado de la ecuación (2.2) en la cuarta columna y en las columnas quinta y sexta se presentan los valores correspondientes a los estadísticos de lado superior e inferior, respectivamente. Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabla 2.1. S¿ 1.449470 1.059486 0.879474 0.714931 0.477819 0.297311 1.851525 0.852196 0.420861 1.563012. W 1.131713 1.019448 0.958093 0.894173 0.781786 0.667427 1.227938 0.948083 0.749399 1.160524. Z. 0.794514 0.318213 0.057906 -0.213284 -0.690101 -1.175286 1.202761 0.015438 -0.827508 0.916747. s?. sr. 0.294514 0.112727 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.702761 0.218199 0.000000 0.416747. 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.190101 0.865387 0.000000 0.000000 0.327508 0.000000. Ejemplo de cálculo de los estadísticos de la carta CUSUM-VT.. El procedimiento que sigue para calcular los estadísticos es el siguiente: a) Se calcula la varianza de la muestra. b) De la ecuación (2.1) se obtiene W. c) De la ecuación (2.2) se obtiene Z. d) De las ecuaciones (2.3) y (2.4) se obtienen los estadísticos Sfy S¿~. En el caso de la muestra 1, a) La varianza muestral es S2= 1.449470. 21.

(31) b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (1.449470)173 = 1.131713, donde W es una variable aleatoria aproximadamente normal con media \iw = 1. 9(5-1). 2 -- =. 17/18 y varianza. =1/18.. c) Utilizando (2.2) se obtiene que, W-\\ -- — I v — _ = Z=. 1.131713-fl-. 2 9(5. ^¿ = 0.794514, donde Z es una variable. aleatoria aproximadamente normal estándar. d) Utilizando (2.3) y (2.4) se obtienen los estadísticos de lado superior e inferior, S? = máx[0, 0.794514 - 0.5 + 0] = máx[0, 0.294514] = 0.294514. y. Sf = máx[0, -0.5 - 0.794514 + 0] = máx [O, -1.294514] = O, En el caso de la muestra 5, a) La varianza muestral es S2= 0.477819 b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (0.477819)1'3 = 0.781786 c) Utilizando (2.2) se obtiene que, Z = -0.690101, d) Utilizando (2.3) y (2.4) se obtienen los estadísticos de lado superior e inferior, S5+ = máx[0, -0.690101- 0.5 + 0.00] = 0.00. y. 5J =máx[0, -0.5 - (-0.690101) +0.00] - 0.190101. Si S¡> ho S§ > h, entonces el proceso se considera fuera de control, en caso contrario, se continua monitoreando la varianza.. 22.

(32) 2.5. Derivación de la Carta de Control VRI En este capítulo se presenta una carta de control, denominada carta VRI, basada en la. regresión isotónica, la cual permite detectar un comportamiento monótono en la media de un proceso. Este procedimiento se aplicará sobre la transformación sugerida en la ecuación (2.1), de tal forma que esta carta de control permite detectar un comportamiento monótono en la varianza de un proceso.. 2.5.1 Conceptos Generales de la Regresión Isotónica La regresión isotónica es un procedimiento para estimar parámetros sujetos a un conjunto de desigualdades. Bartholomew (1959) propuso esta prueba para contrastar lo siguiente. Bajo el supuesto de que X\, Xi, Xi, ...,Xn son observaciones independientes y la 2. variable X¡ tiene distribución normal con media //¡ y varianza crz- , las hipótesis que se contrastan son: Ho: ni = |j,2= - . . = Un. v.s. HI: m < |i2< ... < |an. a la hipótesis alternativa HI se le denomina ordenamiento simple. El estadístico de prueba es n. n a. 2. Zn = Z i (*/ ~ *) - Z. donde a¡ = —— , x = — *i. y los /«,• 's son los estimadores de los fa,'s bajo la hipótesis. alternativa, HI. Si el estadístico %n es suficientemente grande, la hipótesis nula HO se rechaza. Los estimadores de los (j/s son los valores de los m¡ 's que minimizan la expresión. 23.

(33) «. UH= yV.(x ¿ -m¿) 2 bajo. Este conjunto de estimadores es la regresión isotónica de los x¡'& para el ordenamiento simple. El procedimiento explicado por Bartholomew para obtener la regresión isotónica de las x¡'s para el ordenamiento simple es el PAVA (por sus siglas en inglés, Pool-Adjacent-Violators Algorithm) presentado en Robertson et al (1988).. 2.5.2. Estadístico de la Carta de Regresión Isotónica para la Media de un Proceso. Ríos (1997) desarrolló una carta de control para monitorear la media de un proceso. basada en la regresión isotónica. Las suposiciones generales acerca del proceso son las siguientes: 1. En el monitoreo de la característica de calidad de interés en un proceso, las observaciones son independientes y siguen una distribución normal. 2. Cuando el proceso está bajo control, la media y la varianza son parámetros conocidos. 3. Cuando el proceso está fuera de control, la media sigue un comportamiento monótono y la varianza permanece constante y su valor es conocido. 4. El comportamiento monótono de la media del proceso inicia en un número de muestra desconocido ({¿/) llamado punto de cambio. Entonces, el comportamiento no decreciente de la media iniciando en la muestra j^se puede expresar simbólicamente como: M.I = ^2 = • • • = iv=|-io - Vr+i - ^f+2 ^... < \IT, donde T es el número actual de muestras tomadas, \ik es la media del proceso en la muestra número k y ô es la media del proceso bajo control, cuyo valor es conocido. 5. Sin pérdida de generalidad, las observaciones de la característica de calidad de interés se pueden estandarizar, con ello, la media u^ del proceso bajo control es cero y su varianza es uno. Bajo este supuesto, el comportamiento monótono de la media iniciando en la muestra ^se puede expresar como: ui = \i2 - • • • =|V= O < (j,^/ < 24.

(34) La carta de regresión isotónica está basada en la prueba generalizada del cociente de verosimilitudes, donde las estimaciones de la media del proceso en la muestra número k (\ik) se obtienen mediante regresión isotónica. La regresión isotónica es un procedimiento para estimar la media de una variable aleatoria (en este caso, la media del proceso) bajo la restricción de que la media tiene un comportamiento monótono. Se suponen T observaciones independientes X\, X2, X$, ..., XT donde X*. es una variable aleatoria con distribución normal, con media (j,* y varianza unitaria. Se contrastan las hipótesis: H0: Hi = i¿2= ••• = ^r= 0 HI: ni = (¿2 - • • • = JV= O < (j,,^/ < }j,j^2 ^ • • • ^ \ÍT- (donde al menos una ja* es mayor a î) donde O < y/ < T-l, y/y las ja/s son desconocidas para k> y. Si \//= Q , entonces el proceso está fuera de control desde el principio. En Ríos (1997) se demostró que el estadístico de la carta de regresión isotónica de dos lados es;. k=l. ]u}. (2.13). 2. (2.14). k). ,. donde el conjunto {w*} es la regresión isotónica de {je,-} sobre la región. k=\. mk),. (2-15). donde el conjunto {w¿} es la regresión isotónica de {x¡} sobre la región k= u e / ? T 0 > i Para calcular el estadístico S#/, primero se obtiene la regresión isotónica de las observaciones para el orden simple (sobre la región {u E .RT| O < \ii < \i2 < ... ^ Hr}) aplicando el algoritmo PAVA. Luego de obtener la regresión isotónica, los valores negativos que hayan resultado se hacen cero y finalmente se aplica la ecuación (2.14) a las 25.

(35) estimaciones m¡c's obtenidas. El estadístico SRJ se obtiene aplicando el procedimiento descrito para S~RJ a los valores negativos de las observaciones, esto es, -x\, -X2, -x^,..., -XTEl estadístico. SRJ. detecta el comportamiento no decreciente, y SRJ detecta el. comportamiento no creciente en la media del proceso. El estadístico SRI se obtiene de la ecuación (2.13). Si SRJ > h, la carta señala que el proceso está fuera de control, en caso contrario, se continua monitoreando la varianza del proceso.. 2.5.3 Carta VRI En este trabajo llamaremos carta de control VRI, a la carta que se obtiene de aplicar el procedimiento de regresión isotónica para la media presentado por Ríos (1997), a la transformación de la varianza sugerida en la ecuación (2.1). El procedimiento que se propone consta de los siguientes pasos: 1. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n. 2. Se calcula la varianza muestral, S2. 3. A la variable aleatoria S1 se le aplica la transformación (2.1), entonces W= \S la cual sigue una distribución aproximadamente normal con media 1 y varianza. 2. 2. .. 4. Se estandariza la variable normal Sutilizando la ecuación (2.2). Donde. Z=. ,. —- es una variable aleatoria aproximadamente normal. con media cero y varianza unitaria.. 26.

(36) Después de seguir los pasos anteriores se aplica la carta de control para la media basada en la regresión isotónica a la variable aleatoria normal estándar Z, definida en el paso 4. Recordando que: el estadístico de la carta es: SRI = máx{SRJ,SRI } y si SRI > h, la carta señala que el proceso está fuera de control. A continuación se presenta un ejemplo con el fin de ilustrar el cálculo del estadístico de esta carta de control. Ejemplo. La tabla 2.2 contiene los resultados de 10 muestras aleatorias de tamaño 5 provenientes de una población normal estándar. Tiene el número de muestra en la primer columna, la varianza de la muestra en la segunda columna, el valor de W calculado de la ecuación (2.1) en la tercer columna, el valor de Z calculado de la ecuación (2.2) en la cuarta columna y el valor del estadístico en la columna quinta. Número de muestra. f. 1.449470 1.059486 0.879474 0.714931 0.477819 0.297311 7 1.851525 8 0.852196 9 0.420861 1.563012 10 * no se calcula.. 1 2 3 4 5 6. Tabla 2.2. W 1.131713 1.019448 0.958093 0.894173 0.781786 0.667427 1.227938 0.948083 0.749399 1.160524. Z 0.794514 0.318213 0.057906 -0.213284 -0.690101 -1.175286 1.202761 0.015438 -0.827508 0.916747. SRI. *. 0.619081 0.456794 0.229129 0.521729 1.903026 1.446635 0.742005 0.832852 0.891304. Ejemplo de cálculo del estadístico de la carta VRI.. El procedimiento que sigue para calcular el estadístico es el siguiente: a) Se calcula la varianza de la muestra. b) De la ecuación (2.1) se obtiene W. c) De la ecuación (2.2) se obtiene Z. d) De la ecuación (2.13) se obtiene el estadístico SRI.. 27.

(37) En el caso de la muestra 1, a) la varianza muestral es S2= 1.449470 b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (1.449470)1/3 = 1.131713, recordando que la población es normal estándar, su varianza es uno. c) Utilizando (2.2) se obtiene que, Z = 0.794514 d) Utilizando (2.13), el estadístico de regresión isotónica no se puede calcular porque no existe otra observación con quien compararla. En el caso de la muestra 5, a) la varianza muestral es 5^= 0.477819 b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (0.477819)173 = 0.781786 c) Utilizando (2.2) se obtiene que, Z = -0.690101, d) Se consideran las cinco primeras observaciones transformadas y estandarizadas (columna cuarta) {0.794514, 0.318213, 0.057906, -0.213284, -0.690101}, se calcula la regresión isotónica de las observaciones bajo la HI aplicando el algoritmo PAVA y por último se utiliza la ecuación (2.13) para calcular el estadístico SRI- A continuación se realizan los cálculos mencionados. En el conjunto {0.794514, 0.318213, 0.057906, -0.213284, -0.690101} todas las observaciones tienen peso unitario, las primeras dos observaciones no cumplen con el orden simple, promediando éstas se obtiene [0.794514(1) + 0.318213(l)]/2 = 0.556363. El nuevo conjunto es {0.556363(2), 0.057906(1), -0.213284(1), -0.690101(1)}, el número dentro del paréntesis es el peso del dato en el conjunto. Se observa que en el anterior conjunto, las primeras dos observaciones no cumplen el orden simple, promediándolas se obtiene [0.556363(2) + 0.057906(l)]/3 = 0.390211, así el nuevo conjunto de observaciones es {0.390211(3), -0.213284(1), -0.690101(1)}. En este último conjunto, las primeras dos observaciones no cumplen el orden simple, entonces se calcula el promedio de ellas [0.390211(3) - 0.213284(l)]/4 = 0.239337. El nuevo conjunto es {0.239337(4), -0.690101(1)}. Las observaciones de este conjunto anterior tampoco cumplen el orden simple, se calcula el promedio de ellas y se obtiene [0.239337(4) - 0.690101(1)] = 0.053449, entonces la regresión isotónica para HI es. 28.

(38) {0.053449, 0.053449, 0.053449, 0.053449, 0.053449}. Utilizando la ecuación (2.14), 8^= 5(0.053449)2 - 0.014284. Para calcular el estadístico S]y se aplica el mismo procedimiento al negativo del conjunto original, es decir, al conjunto {-0.794514, -0.318213, -0.057906, 0.213284, 0.690101}. En el conjunto anterior se cumple el orden simple, por lo tanto ese conjunto es la regresión isotónica para el orden simple. Reemplazando los valores negativos por cero, se obtiene el conjunto {0.0, 0.0, 0.0, 0.213284, 0.690101}, que es la regresión isotónica para HI. Utilizando (2.15), S^= (0.213284)2 + (0.690101)2 = 0.521729. Por último, de (2.13) se obtiene que SRI= máx{0.014284, 0.521729}- 0.521729. Si SRJ> h, la carta emite una señal de alarma, en caso contrario, se continua el monitoreo de la varianza.. 2.6. Derivación de la Carta de Control VAT En esta sección se presenta una carta de control, denominada carta VAT, basada en la. prueba Maxi-min de Abelson y Tukey (1963), la cual permite detectar un comportamiento monótono en la media de un proceso. Este procedimiento se aplicará sobre la transformación sugerida en (2.1), de tal forma que esta carta de control permite detectar un comportamiento monótono en la varianza de un proceso.. 2.6.1. Conceptos Generales de la Prueba Maxi-min La prueba maxi-min utiliza una combinación lineal de las observaciones, en donde. los coeficientes se construyen de manera tal que maximizan la función potencia mínima, (Abelson y Tukey, 1963). Bajo el supuesto de que X\, Xi, X$, ..., Xn son observaciones independientes y la variable X¡ tiene distribución normal con media //, y varianza cr?,. 29.

(39) las hipótesis que se contrastan son:. Ríos (1997) demostró que para el contraste de las hipótesis:. HO: ni = |i2 = • •. = M« = O. v.s. HI : O < ni < \í2 < ... ^ \in. (al menos una \i¡ es mayor a 0). n el estadístico de prueba es R = 2_,ckxk. con. c =. k (n-k+l)112 - (n-K)l/2. para k = 1, 2,...., n. y se rechaza la hipótesis nula HO si R es suficientemente grande. Y para el contraste de las hipótesis:. HQ: \i\ = |i2 = • • •= M.« =O. v.s. HI: O > jai > ^2 ^ • • • ^ \in. (al menos una jj,¿ es menor que 0). n el estadístico de prueba es R' = /^c¿(-x¿), esto equivale a calcular el estadístico J? pero sobre las -Xk, de tal forma que R' = -R. Considerando el valor absoluto de R se obtiene una prueba de dos lados cuyo estadístico es: 5=|*|=¿ k=l con e* = (n-k+l)112 - (n-K)112. para k=l,2,...., n y se rechaza la hipótesis nula HO si 5 es. suficientemente grande. Así, esta prueba está habilitada para detectar comportamientos no decrecientes y no crecientes de las medias.. 2.6.2. Estadístico de la Carta Maxi-min para la Media de un Proceso En Ríos (1997) se propone una carta de control para el monitoreo de la media de un. proceso basada en la prueba Maxi-min.. 30.

(40) Se suponen T observaciones independientes X\, X^ X^, ..., XT donde X¡ es una variable aleatoria con distribución normal, con media ja,¿ y varianza unitaria. Se contrastan las hipótesis: Ho: (ai = H2 = . . • - |¿r= O. v.s. HI: ¿11 = ^2= ••• = \iv,= Q<iiv+i<iiv+2£-.. ^ Hr ó donde O < (^ < T-l, {^y las u*'s son desconocidas para & > i//. Si ^ = O , entonces el proceso está fuera de control desde el principio. Para un punto de cambio fijo, i//= i, se tiene la misma situación que k > i, considerando las últimas T-i observaciones. Ríos (1997) demostró que el estadístico de la carta maxi-min de dos lados es,. donde j = 0, 1, 2,...., T-l.. SMM = rnáx { ST-¡ } = máx< i k=i+l. (2.16). donde ST-Í = \RT-Í\ = k=i+l. con ck.i =. - (T-k)l/2. para k = i+l, i+2,..., T.. (2.17). Si SMM> h, se dice que la carta señala que el proceso está fuera de control. El valor de h se obtiene de acuerdo al PLC deseado cuando el proceso está bajo control.. 2.6.3 Carta VAT En este trabajo llamaremos carta de control VAT, a la carta que se obtiene de aplicar la carta Maxi-min para la media presentada en Ríos (1997), a la transformación de la varianza sugerida en la ecuación (2.1).. 31.

(41) El procedimiento que se propone consta de los siguientes pasos: 1. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n. 2. Se calcula la varianza muestral, S2.. I 2 \L/3 3. A la variable aleatoria ¿> se le aplica la transformación (2.1), entonces W= \S J , la cual sigue una distribución aproximadamente normal con media \\,w = 1 varianza <jyy2 =. 2. 2. y. .. 4. Se estandariza la variable normal Sutilizando la ecuación (2.2). Donde Z. —- es una variable aleatoria aproximadamente normal. con media cero y varianza unitaria. Después de seguir los pasos anteriores se aplica a la variable aleatoria normal estándar Z, la carta de control para la media basada en la prueba maxi-min. En esta carta el estadístico es: SMM =. T. ,ck-ixk jfc=i+i. para i = Q, 1,2, ..., T-\ y si SMM> h, se dice que. la carta señala que el proceso está fuera de control. A continuación se presenta un ejemplo con el fin de ilustrar el cálculo del estadístico de esta carta de control. Ejemplo. La tabla 2.3 contiene los resultados de 10 muestras aleatorias de tamaño 5 provenientes de una población normal estándar. Tiene el número de muestra en la primera columna, la varianza de la muestra en la segunda columna, el valor de W calculado de la ecuación (2.1) en la tercera columna, el valor de Z calculado de la ecuación (2.2) en la cuarta columna y el valor del estadístico en la columna quinta.. 32.

(42) Número de S1 muestra 1 1.449470 2 1.059486 0.879474 3 4 0.714931 0.477819 5 0.297311 6 1.851525 7 0.852196 8 0.420861 9 1.563012 10 * no se calcula. Tabla 2.3. W 1.131713 1.019448 0.958093 0.894173 0.781786 0.667427 1.227938 0.948083 0.749399 1.160524. Z. SMM. * 0.794514 0.318213 0.647312 0.057906 0.442240 -0.213284 0.213284 -0.690101 0.778446 -1.175286 1.528925 1.202761 1.202761 0.015438 0.513638 -0.827508 0.962178 0.916747 0.916747. Ejemplo de cálculo del estadístico de la carta VAT.. El procedimiento que sigue para calcular el estadístico es el siguiente: a) Se calcula la varianza de la muestra. b) De la ecuación (2.1) se obtiene W. c) De la ecuación (2.2) se obtiene Z. d) De la ecuación (2.16) se obtiene el estadístico SMMEn el caso de la muestra 1, a) la varianza muestral es S2= 1.449470 b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (1.449470)173 = 1.131713 c) Utilizando (2.2) se obtiene que, Z = 0.794514 d) Utilizando (2.16), el estadístico no se puede calcular porque no existe otra observación con quien compararla. En el caso de la muestra 5, a) la varianza muestral es 5^= 0.477819 b) Utilizando (2.1) se obtiene que, W= (0.477819)173 = 0.781786 c) Utilizando (2.2) se obtiene que, Z = -0.690101,. 33.

(43) d) Se consideran las cinco primeras observaciones transformadas y estandarizadas (columna cuarta) {0.794514, 0.318213, 0.057906, -0.213284, -0.690101}. Utilizando (2.16) y (2.17), r. 5. SMM= máx\. donde ¿ = 0, 1,2,3,4. y. k=Í+l. = (5-k+l. vl/2. - (5-kvl/2 para k = i+l, í+2,..., 5. Para z=0, el estadístico SMM = rnáx< J\ckxk O. = \ (51/2- 41/2)(0.794514) +. (41/2_ 31/2)(0.318213) + (31/2- 21/2)(0.057906) + (21/2- !1/2)(-0.213284) (!1/2-01/2)(-0.690101)|= |-0.487217| =0.487217 para i=l, SMM = niáxj. 1/2 1/2 - 3)(0.318213) + ( 3 - 2)(0.057906). A:=2. -0.213284)+ (l1/2-01/2)(-0.690101) | = -0.674776 | = 0.674776 5. para i-2,. 1/2 - 2)(0.057906). (-0.2 13284). k=3. (l1/2-01/2)(-0.690101)|= | -0.760041 1 = 0.760041 - l1/2)(-0.213284) + (l1/2-01/2)(-0.690101)| =. para í-3, SMM = máx\ i -0.7784461 = 0.778446 para i=4, SMM = tnáx<. 5. =| (11/2- 01/2)(-0.690101) | = | -0.690101 1 = 0.690101. k=5. Por lo tanto SMM=máx{0.487217, 0.674776, 0.760041, 0.778446, 0.690101 }-0.778446 Si SMM > h, la carta emite una señal de alarma, en caso contrario, se continua el monitoreo de la varianza del proceso.. 34.

(44) Capítulo III Estudio Comparativo de Desempeño. 3.1. Introducción. En esta sección se presenta un estudio comparativo del desempeño entre las cartas de control CUSUM-VT, VRI, VAT y CUSUM-V; considerando que la varianza del proceso sufre un cambio tipo escalón y un cambio tipo tendencia lineal. Se incluye un estudio de la carta CUSUM-V en el que se sugieren valores para la constante de referencia. Como medida del desempeño se utiliza el Promedio de Longitud de Corrida (PLC), el cual se estima mediante simulación Monte Cario.. 3.2. Metodología del Estudio de Desempeño Las estimaciones del PLC se realizan vía simulación. Una corrida es una serie de. observaciones simuladas hasta que la carta da la señal de alarma, lo cual indica que el proceso está fuera de control, el número de observaciones realizadas en una corrida se denomina longitud de corrida. En este trabajo se generaron 10,000 corridas, el PLC se estima como el promedio de las longitudes de cada corrida. El error estándar de la estimación del PLC se calcula como S/V« , donde n = 10,000 y 1 " 5a = - Y (longitud de corrida,- - PLC}2 n. i=\. En el estudio comparativo de desempeño se consideraron los siguientes tamaños de muestra: 5, 10, 30, 50 y 100 observaciones, sin otro fin más que el de realizar el estudio abarcando una pequeña gama de valores. 35.

(45) Primeramente se calibraron las cuatro cartas de control para un PLC = 200. Esto es, se determina el valor de h tal que todas las cartas tengan el mismo PLC para el proceso bajo control, esto se realiza para muestras de tamaño 5, 10, 30, 50 y 100 observaciones. La calibración permite que las cartas de control inicien bajo las mismas condiciones, es decir, que den la seflal de alarma en la muestra 200 cuando el proceso está bajo control. Después de esta calibración, se simula el proceso fuera de control y se calcula el desempeño de cada carta. Para el proceso fuera de control, el PLC se estima suponiendo que el proceso se encuentra fuera de control desde el inicio, a esto le denominaremos como DIM (Desempeño Iniciando Mal), en inglés se le denomina FIP (First Initial Performance). En el estudio comparativo de desempeño de las cartas de control mencionadas se considera lo siguiente: la carta de control que se califica como mejor, es aquella que presenta el valor de PLC menor cuando el proceso está fuera de control, esto significa que detecta más pronto la condición de fuera de control del proceso. En la tabla 3.1 se muestran los resultados de la calibración de las cartas VRI, VAT y CUSUM-VT para un PLC de 200, se indica el valor de h para diferentes tamaños de muestra. El número en negritas es el valor del PLC y el número dentro del paréntesis es el error estándar de la estimación. Los resultados de la calibración de la carta CUSUM-V se presentan en la sección 3.3. tamaño de muestra 5 10 30 50 100. h. Carta VRI PLC. 11.830 200.3(1.7298) 12.179 199.9(1.7432) 12.325 199.9(1.7408) 12.340 199.9(1.7399) 12.345 200.1(1.7488) Tabla 3.1. Carta VAT PLC. h. 3.975 4.035 4.060 4.060 4.056. 199.8(1.6287) 200.0(1.6689) 199.7(1.6380) 200.0(1.6440) 199.7(1.6481). Carta CUSUM-VT h PLC. 4.100 4.170 4.160 4.165 4.160. 200.4(1.9452) 200.1(1.9222) 200.0(1.9266) 200.3(1.9479) 199.8(1.9507). Valores de h.. Los programas que se utilizaron para realizar las simulaciones están hechos en lenguaje de programación C y se presentan en la sección 5.3 de este trabajo. 36.

(46) 3.3. Estudio de la Carta CUSUM-V En el capítulo 2 de este trabajo se describen los principios básicos de la carta. CUSUM-V, en la sección 2.4.1 se menciona que un valor de referencia general k para la carta CUSUM estandarizada para la varianza no está sugerido en la literatura de CEP. En esta sección se presenta un estudio realizado con el fin de sugerir un valor general para la constante de referencia k de tal carta de control considerando cambios tipo escalón y tipo tendencia lineal en la varianza del proceso. El procedimiento consiste en lo siguiente: se calibró la carta a un PLC de 200, con ello se obtienen los valores de h+ y h~ para el proceso bajo control, es decir con varianza f\. f\. f*. O-Q , luego se simula el proceso fuera de control, esto es, con varianza ^^ aQ y se calcula. el PLC.. 3.3.1. Estimación del Valor de Referencia para la CUSUM-V para Cambios Tipo Escalón Primeramente para cada tamaño de muestra 5, 10, 30, 50 y 100 observaciones se. encontraron los valores de h+ y h~ para distintas magnitudes de incrementos y decrementos de la varianza, utilizando el programa ANYGETH de los autores Hawkins y Olwell (1998) que se encuentra en la dirección electrónica www.stat.umn.edu. Luego se corrió el estudio para estimar los valores del PLC considerando que el proceso está fuera de control y que la varianza del proceso cambia su valor siguiendo un modelo tipo escalón. Sea O-Q la varianza nominal del proceso, delta es la proporción de cambio en el valor O. f\. O. de la varianza y cr^ la varianza del proceso fuera de control, entonces c^ = <To(l+delta). 0. 0. O. Entonces, si delta = 0.5, la varianza ¿TJ = ¿TO (1 + 0.5) = 1.5 ¿TQ , esto es que la varianza del proceso se incrementa un 50% respecto de su valor nominal; si delta = -0.20, la varianza. 37.

(47) °\. = a. o O • 0-20) = 0.80 (TQ , esto es que la varianza del proceso se decrementa un 20% de. su valor nominal. En la primera columna de la tabla 3.2, delta es la proporción de cambio en el valor de sy. la varianza del proceso con respebto de la varianza nominal cr0. En el encabezado de la segunda columna cr^ es la varianza del proceso fuera de control que se desea detectar, CT2i+=l.l y a2f=0.9 representan uti incremento y decremento del 10% en el valor nominal de la varianza, respectivamente, y sus correspondientes valores de /z+=9.2444 y /z~=8.3316 para una calibración de PLC=20G; de igual forma, las restantes cinco columnas contienen las distintas magnitudes de varianzas que se desean detectar, sus correspondientes valores de h+ y h~ y los valores estimados del PLC (en negritas). Por ejemplo, en el renglón con delta = 0.1, para el caso en que se desea detectar cambios (incrementos o decrementos) del 25% en el valor de la varianza del proceso, es decir, o2i+ = 1.25 y a f = 0.75, con los correspondientes valores h+ = 6.8098 y h~ = 4.818, el PLC es 106.91, esto significa que cuando la varianza del proceso ha incrementado su valor en un 10%, la carta de control CUSUM-V señala en la muestra 107 (en promedio) que la varianza del proceso ha incrementado su valor. En el renglón con delta = -0.20, para el caso en que se desea detectar cambios (incrementos o decrementos) del 50% en el valor de la varianza del proceso, es decir, o 2 i + = 1.5 y aV = 0.5, con los correspondientes valores h+= 5.1331 y h'= 2.1538, el PLC estimado es 70.11, esto significa que cuando la varianza del proceso a disminuido su valor en un 20%, la carta de control CUSUM-V señala en la muestra 70 (en promedio) que la varianza del proceso ha decrementado su valor. En la tabla 3.2 se presentan los valores estimados del PLC (en negritas) de la carta CUSUM-V para cambios tipo escalón en la varianza del proceso con muestras de tamaño 5. En las secciones 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 y 5.1.4 de éste trabajo se presentan las tablas con los valores estimados del PLC para muestras de tamaño 10, 30, 50 y 100 observaciones, respectivamente.. 38.

(48) Tabla 3.2 Estimación del PLC para cambios tipo escalón para muestras de tamaño 5. delta -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0. aY = 0.75 aY = 0.8 aY=1.25 oY=l.l oY = 0.9 oY=1.2 ¿+=9.2444 ¿-= 8.3316 ¿+=7.4188 ¿'= 5.6939 ¿+=6.8098 ¿-= 4.818 6.94(0.0026) 7.77(0.0043) 10.24(0.0043) 7.70(0.0066) 8.73(0.0066) 11.64(0.0069) 9.13(0.0116) 10.15(0.0116) 13.37(0.0121) 10.97(0.0197) 12.10(0.0195) 15.73(0.0202) 13.84(0.0349) 14.99(0.0336) 19.12(0.0335) 18.58(0.0641) 19.70(0.0591) 24.35(0.0573) 27.74(0.1322) 33.24(0.1055) 28.45(0.1196) 49.43(0.3184) 51.84(0.2357) 48.12(0.2813) 115.88(0.9689) 109.96(0.8749) 105.96(0.6907) 201.41(1.8474) 198.84(1.7873) 200.05(1.6092) 106.91(0.9106) 105.03(0.8493) 103.90(0.7630) 52.93(0.4010) 55.08(0.3398) 53.23(0.3861) 33.08(0.2214) 36.27(0.1983) 33.65(0.2139) 23.51(0.1420) 24.37(0.1404) 26.93(0.1343) 18.22(0.1046) 19.18(0.1034) 21.60(0.1008) 15.04(0.0807) 15.87(0.0821) 18.04(0.0828) 12.81(0.0679) 13.53(0.0680) 15.51(0.0690) 11.80(0.0584) 11.11(0.0573) 13.63(0.0599) 9.88(0.0498) 12.14(0.0524) 10.46(0.0507) 8.86(0.0440) 10.96(0.0470) 9.41(0.0449). Tabla 3.2 (continuación) delta -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0. oY=i.3 +. ¿ =6.3412. <T=2r o.7. ¿-= 4.1011. 6.06(0.0023) 7.01(0.0065) 8.25(0.0115) 10.05(0.0199) 12.78(0.0353) 17.52(0.0664) 27.15(0.1431) 51.10(0.3687) 122.20(1.0700) 198.31(1.8479) 107.99(0.9288) 53.92(0.4257) 32.97(0.2322) 23.34(0.1484) 18.07(0.1075) 14.83(0.0844) 12.51(0.0689) 10.83(0.0584) 9.53(0.0501) 8.58(0.0447). crY = 0.5 a2,+=1.4 oY = 0.6 oY=1.5 ¿+=5.6368 ¿'= 2.9846 ¿+=5.1331 ¿= 2.1538 4.08(0.0027) 5.03(0.0016) 4.90(0.0070) 5.78(0.0067) 6.04(0.0130) 6.96(0.0119) 7.89(0.0247) 8.71(0.0216) 11.53(0.0398) 11.05(0.0489) 17.51(0.1058) 16.83(0.0817) 32.63(0.2506) 28.48(0.1865) 70.11(0.6192) 58.46(0.4778) 136.24(1.2649) 153.64(1.4577) 196.42(1.8940) 197.79(1.8705) 112.02(1.0354) 110.53(0.9916) 57.38(0.5083) 55.59(0.4646) 33.37(0.2543) 34.33(0.2756) 23.18(0.1686) 23.06(0.1571) 17.65(0.1122) 17.54(0.1190) 14.06(0.0916) 14.31(0.0879) 11.64(0.0725) 11.94(0.0705) 9.95(0.0603) 10.26(0.0586) 9.05(0.0510) 8.73(0.0522) 7.79(0.0449) 8.08(0.0445) 39.

(49) Analizando los resultados presentados en la tabla 3.2 y las tablas de la secciones 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 y 5.1.4 se proponen para muestras de tamaño 5, 10 y 30, los valores de referencia siguientes: +. _. _. . _ 1.0-1.2. ^.0.2. i.Q-0.8. los cuales se calcularon utilizando las ecuaciones (2.10) y (2.12) del capítulo 2. Esto cálculos están basados en el siguiente procedimiento: se compararon los seis valores del PLC estimados para cada valor de delta y se decidió por aquella columna cuyo valor del PLC fuera pequeño, ya que esto implica que la carta de control indicará relativamente rápido la condición de fuera de control del proceso para valores de delta entre -0.9 y 1.0. Se observa que para el caso en que oV=1.2 y a2f=0.8, los valores estimados del PLC son pequeños, sin importar el valor de delta. Es decir, se recomienda diseñar una carta CUSUM-V para detectar cambios del 20% en la varianza nominal del proceso. De igual forma se proponen para muestras de tamaño 50 y 100, los valores de referencia siguientes: _. 1.0-1.1 _. =. o$-of. . _. 1.0-0.9. se observa que cuando aV=l.l y aV=0.9, los valores del PLC para valores de delta desde -0.9 hasta 1.0 son comparativamente pequeños, es decir, cuando el proceso se sale de control la carta señala la condición de alarma relativamente rápido. Es decir, se recomienda diseñar una carta CUSUM-V para detectar cambios del 10% en la varianza nominal del proceso.. 40.