Nociones topológicas de R n.

(1)

Cap´ıtulo 1

Nociones topol´ ogicas de R ⁿ .

1.1. El espacio vectorial R

ⁿ

.

1

Consideremos el conjunto Rⁿ de las n-uplas de números reales, donde n es un número natural arbitrario fijo. Los elementos de Rⁿ, que llamamos indistintamente puntos o vectores son entonces todos los conjuntos ordenados x = (x1, . . . , xn), donde x1, . . . , xn son números reales arbitrarios.

Dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), dos vectores en Rⁿ, decimos que son iguales y escribimos x = y, cuando x1 = y1, . . . , xn = yn. Definimos la suma de x e y y el producto de un n´umero real α (que en este contexto llamamos escalar ) por un vector x, mediante

x + y = (x1+ y1, . . . , xn+ yn), αx = (αx1, . . . , αxn).

Es inmediato verificar las siguientes propiedades.

Teorema 1 (Propiedades de la suma y el producto).

Sean x, y, z vectores de Rⁿ y α, β escalares, todos arbitrarios. Se verifican las siguentes propiedades:

(1) Conmutativa: x + y = y + x.

(2) Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z.

(3) Existencia de neutro: el vector 0 = (0, . . . , 0) verifica x + 0 = x.

(4) Existencia de opuesto: existe −x = (−x1, . . . ,−xⁿ) tal que se verifica x + (−x) = 0.

(5) Asociativa del producto: α(βx) = (αβ)x.

(6) Distributivas: α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx.

(7) Existencia de neutro del producto: 1x = x.

Este teorema muestra que la cuaterna (Rⁿ, R, +,×), con Rⁿ el conjunto de los vectores, R el de los n´umeros reales y +, × la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector antes definidos, conforman un espacio vectorial.

1Notas redactadas por Ernesto Mordecki y Andr´es Abella. 21 de septiembre de 2008.

(2)

El conjunto de n vectores dado por

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, . . . , 1), se llama base can´onica de Rⁿ y, dado un vector x = (x1, . . . , xn), permite escribir

x = x1e1+· · · + xⁿen, (1.1)

donde los coeficientes x1, . . . , xn son ´unicos (y coinciden con las coordenadas del vector).

e1

e3

e2

Figura 1.1: Base Can´onica en R³

1.2. Producto escalar y norma

Dados dos vectores x = (x₁, . . . , xn) e y = (y₁, . . . , yn) en Rⁿ, llamamos producto escalar o producto interno de x e y al n´umero real que designamos por x· y o hx, yi definido mediante

x· y = x1y1+· · · + xⁿyn. Este producto verifica las siguientes propiedades.

Teorema 2. Sean x, y, z vectores de Rⁿ y α un escalar, todos arbitrarios. Se verifican las siguentes propiedades:

(P1) Conmutativa: x· y = y · x.

(P2) Distributiva: (x + y)· z = x · z + y · z.

(P3) Homogeneidad: (αx)· y = α(x · y).

(P4) Positividad: x· x ≥ 0, x · x = 0 si y s´olo si x = 0.

El producto escalar reci´en introducido nos permite considerar la norma de un vector x = (x₁, . . . , xn) en Rⁿ, que designamos kxk y definimos mediante

kxk =√

x· x = q

x²₁+· · · + x²n. (1.2)

(3)

Observar que de las propiedades distributiva y conmutativa del producto escalar se deduce kx + yk² = (x + y)· (x + y) = x · x + 2 x · y + y · y = kxk²+ 2 x· y + kyk², luego

kx + yk² =kxk²+ 2 x· y + kyk², ∀x, y ∈ Rⁿ. (1.3) A partir de la igualdad anterior obtenemos la identidad de polarizaci´on:

x· y = 1

2kx + yk² − kxk²− kyk² , ∀x, y ∈ Rⁿ.

Teorema 3 (Propiedades de la norma). Sean x, y vectores de Rⁿ, α un escalar, todos arbitrarios.

Se verifican las siguentes propiedades:

(N1) Positividad: kxk ≥ 0, kxk = 0 si y s´olo si x = 0.

(N2) Homogenenidad: kαxk = |α| kxk.

(N3) Desigualdad triangular: kx + yk ≤ kxk + kyk.

1

1 (1, 1)

√2

Figura 1.2: Norma:k(1, 1)k =√ 2

Las propiedades (N1) y (N2) son inmediatas. M´as adelante veremos la demostraci´on de la de- sigualdad triangular (N3). De esta desigualdad obtenemos

kxk − kyk

≤ kx − yk . Teorema 4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Dados dos vectores x, y de Rⁿ, se verifica x· y

≤ kxk kyk . (1.4)

Además, se verifica la igualdad en (1.4) si y sólo si los vectores x, y son linealmente dependientes, es decir, existen escalares α, β, no simúltaneamente nulos, tales que αx + βy = 0.

(4)

Demostraci´on. Supongamos que x e y son no nulos (si alguno es nulo, se verifica la igualdad en (1.4)). Para un escalar α, aplicando (N1), tenemos

0≤ kαx + yk² = (αx + y)· (αx + y) = α²kxk²+ 2α(x· y) + kyk².

Luego, el discriminante del polinomio de segundo grado en α debe ser no positivo, es decir

∆ = 4(x· y)²− 4 kxk²kyk² ≤ 0, (1.5)

lo que equivale a (1.4). Además, existe α tal que kαx + yk² = 0, es decir αx + y = 0, si y sólo si el discriminante ∆ en (1.5) se anula, es decir, si y sólo si se verifica la igualdad en (1.4). Esto completa la demostración.

Veamos ahora la demostraci´on de la propiedad triangular (N3). Utilizando (1.3) y la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.4), tenemos

kx + yk² =kxk² + 2 x· y + kyk² ≤ kxk²+ 2kxk kyk + kyk² = kxk + kyk2

, lo que equivale a (N3).

Veamos ahora algunas desigualdades.

Proposici´on 1. Para todo vector x = (x1, . . . , xn)∈ Rⁿ, se verifica:

|xⁱ| ≤ kxk , ∀i = 1, . . . , n, (1.6)

kxk ≤

n

X

i=1

|xⁱ|. (1.7)

Demostraci´on. La desigualdad de (1.6) se deduce de

|xⁱ| = q

x²_i ≤ q

x²₁+· · · + x²i +· · · + x²n=kxk . La desigualdad de (1.7) se deduce de

n

X

i=1

|xⁱ|

!2

=

n

X

i=1

|xⁱ|²+X

i6=j

|xⁱ||x^j| ≥

n

X

i=1

|xⁱ|² =kxk².

Observar que de la proposici´on anterior se deduce inmediatamente:

|xⁱ− yⁱ| ≤ kx − yk , ∀i = 1, . . . , n, (1.8) kx − yk ≤

n

X

i=1

|xⁱ− yⁱ|. (1.9)

para todo x = (x₁, . . . , xn) e y = (y₁, . . . , yn) en Rⁿ.

(5)

Es ´util considerar los siguientes subconjuntos de Rⁿ. La bola abierta de centro a ∈ Rⁿ y radio r > 0 es el conjunto

B(a, r) =x ∈ Rⁿ: kx − ak < r ; la bola cerrada de centro a∈ Rⁿ y radio r > 0 es el conjunto

B(a, r) =x ∈ Rⁿ: kx − ak ≤ r ; y la bola reducida de centro a∈ Rⁿ y radio r > 0 es el conjunto

B^∗(a, r) =x ∈ Rⁿ: 0 <kx − ak < r . Cuando decimos bola nos referimos a la bola abierta.

Con estas definiciones introducimos la siguiente noci´on. Un subconjunto X de Rⁿ es un conjunto acotado, cuando existe r > 0 tal que X est´a contenido en alguna bola de centro en el origen 0 = (0, . . . , 0) y radio r, es decir X ⊂ B(0, r), o, en forma equivalente, kxk < r para todo x ∈ X.

A

Figura 1.3: El conjunto A es acotado.

Dados dos puntos a, b de Rⁿ, llamamos segmento o intervalo en Rⁿ con extremos a, b, al conjunto que designamos [a, b] y definimos mediante

[a, b] ={x ∈ Rⁿ: x = (1− t)a + tb, t ∈ [0, 1]}.

Decimos que un conjunto X ⊂ Rⁿes convexo, cuando todos los segmentos cuyos extremos son puntos

a

b

Figura 1.4: El segmento de extremos a y b.

(6)

del conjunto est´an contenidos en el conjunto, es decir, cuando dados x ∈ X, y ∈ X arbitrarios, se verifica (1− t)x + ty ∈ X para todo t ∈ [0, 1]. La desigualdad triangular nos permite ver que las bolas abiertas y cerradas son convexas. En efecto, sikx − ak < r, ky − ak < r, para t ∈ [0, 1], tenemos

k(1 − t)x + ty − ak = k(1 − t)(x − a) + t(y − a)k

≤ (1 − t) kx − ak + t ky − ak < r,

siendo an´aloga la demostraci´on para una bola cerrada. Por su parte, las bolas reducidas no son convexas, porque no contienen su centro.

a

b

Figura 1.5: Las bolas son convexas

a b

Figura 1.6: Conjunto no convexo

1.3. Sucesiones

Llamamos sucesión en Rⁿ a una función x : N→ Rⁿ, es decir, a una función con dominio en los naturales N ={1, 2, . . . } y recorrido en Rⁿ. Escribimos

x= (xk) = (xk)k∈N = (x1, x2, . . . ),

donde xk = x(k) es el valor de la sucesión en el k-ésimo natural, y escribimos xk = (xk1, . . . , xkn) cuando indicamos las coordenadas de xk. Dada una sucesión x en Rⁿ, tenemos n sucesiones en R, que llamamos sucesiones coordenadas, que son (xk1)k∈N, . . . , (xkn)k∈N, obtenidas al tomar las coordenadas del vector xk. Rec´ıprocamente, dadas n sucesiones de números reales podemos construir una sucesión en Rⁿ, tomando como k-ésimo elemento de la sucesión el vector cuyas coordenadas son los k-ésimos elementos de las sucesiones reales.

(7)

1 2 3 4 5

N x3

x1

R²

x2

Figura 1.7: Una sucesi´on en R²

Definición 1 (L´ımite de una sucesión). Decimos que la sucesión (xk) tiene l´ımite a, o que converge o tiende a a y escribimos

l´ımk xk= a, xk −→

k a,

cuando para todo ε > 0 existe K natural, tal que para todo k ≥ K se verifica kx^k− ak < ε. En otros t´erminos, (xk) tiene l´ımite a si

∀ε > 0, ∃K ∈ N: ∀k ≥ K, kx^k− ak < ε.

Si una sucesi´on tiene l´ımite, decimos que es convergente.

a ε

Figura 1.8: L´ımite de una sucesi´on

Observamos primero que esta definici´on generaliza la correspondiente definici´on de convergencia de sucesiones reales, el caso n = 1.

La prueba de la siguiente proposici´on es inmediata.

Proposici´on 2. Dada una sucesi´on (xk) y un punto a en R, las siguientes afirmaciones son equiv- alentes:

(a) xk−→

k a,

(8)

(b) kx^k− ak −→_k 0,

(c) ∀ε > 0 ∃K ∈ N: ∀k ≥ K xk ∈ B(a, ε).

Observar que la equivalencia entre (a) y (b) nos dice que la sucesión (xk)k∈Nen Rⁿconverge a a∈ Rⁿ si y sólo si la sucesión de números reales (kx^k− ak)^k∈N converge a cero.

Proposici´on 3. Dada una sucesi´on xk = (xk1, . . . , xkn) y un punto a = (a1, . . . , an), las siguientes afirmaciones son equivalentes:

xk−→_k a,

xki −→_k ai, para todo i = 1, . . . , n.

Demostraci´on. Observar que por la proposici´on anterior alcanza con probar que las siguientes afir- maciones son equivalentes:

kx^k− ak −→

k 0,

|x^ki− aⁱ| −→

k 0, para todo i = 1, . . . , n.

Aplicando las f´ormulas (1.8) y (1.9) a xk y a obtenemos:

0≤ |xki− ai| ≤ kxk− ak , ∀i = 1, . . . , n 0≤ kx^k− ak ≤

n

X

i=1

|x^ki− aⁱ|

Luego la equivalencia se deduce inmediatamente tomando l´ımites en ambas desigualdades.

Observar la proposici´on anterior permite deducir la unicidad del l´ımite (en caso de existir) para sucesiones en Rⁿ de la unicidad del l´ımite para sucesiones en R.

Definici´on 2. Una sucesi´on (xk) se dice acotada si existe m > 0 tal quekx^kk < m, para todo k ∈ N.

Proposici´on 4. Toda sucesi´on convergente es acotada.

Demostraci´on. Sea (xk) una sucesi´on que tiene l´ımite a. Dado ε = 1 existe K ∈ N tal que para todo k≥ K tenemos x^k ∈ B(a, 1). Entonces

kx^kk ≤ kak + 1 + m´ax{kx¹k , . . . , kx^Kk}, para todo k natural.

Teorema 5 (Operaciones con l´ımites de sucesiones).

Consideremos las sucesiones (xk) con l´ımite a, (yk) con l´ımite b, ambas en Rⁿ, y la sucesi´on real (αk) con l´ımite α. Entonces

(1) xk+ yk−→_k a + b,

(9)

(2) αkxk −→_k αa, (3) xk· y^k −→

k a· b, (4) kx^kk −→

k kak.

Demostraci´on.

(1): 0≤ kx^k+ yk− (a + b)k ≤ kx^k− ak + ky^k− bk −→_k 0.

(2): kα^kxk− αak = kα^kxk− α^ka + αka− αak ≤ |α^k| kx^k− ak + |α^k− α| kak −→_k |α|0 + 0 kak = 0.

(3): Aplicando Cauchy-Schwarz y la Proposici´on 4 obtenemos:

0≤ |x^k· y^k− a · b| = |x^k· y^k− x^k· b + x^k· b − a · b| ≤ |x^k· (y^k− b)| + |(x^k− a) · b|

≤ kx^kk ky^k− bk + kx^k− ak kbk −→

k 0.

(4): Aplicando (3) obtenemoskx^kk² −→

k kak² y como la funci´on ra´ız cuadrada es continua deducimos quekx^kk −→

k kak.

Definición 3. Una subsucesión de una sucesión x = (xk) es una sucesión obtenida componiendo x con una sucesión estrictamente creciente de números naturales (kj)j∈N. Escribimos (xkj)j∈N o (xkj) para designarla. Equivalentemente, una subsucesión de x es la restricción de x a un conjunto (infinito) de la forma {k1 < k2 < . . .}

Observación 1. Si (xk) es una sucesión que converge a un punto a, entonces toda subsucesión (xkj) de (xk) converge a a; esto se deduce del correspondiente teorema en R y de la proposición 3.

El rec´ıproco de la proposición 4 no es cierto, como muestra la sucesión de números reales xk = (−1)^k+1 (k∈ N). Sin embargo, vale el siguiente resultado.

Teorema 6 (Bolzano-Weierstrass).

Toda sucesi´on (xk) acotada tiene una subsucesi´on convergente.

Demostración. Veamos primero la demostración en el caso n = 1, utilizando el método de bipartición.

Existen a1, b1 tales que a1 ≤ xk ≤ b1 para todo k natural. Para construir la subsucesi´on consideremos k₁ = 1 y el punto medio m = (a₁ + b₁)/2. Si existen infinitos valores de k tales que xk ∈ [a1, m]

ponemos a2 = a1, b2 = m. De lo contrario, existen infinitos valores de k tales que xk ∈ [m, b¹] y ponemos a2 = m, b2 = b1.

a a1

b b₁

b2

a2

Figura 1.9: M´etodo de bipartici´on de [a, b].

En ambos casos elegimos un ´ındice k2 > k1 tal que xk2 ∈ [a2, b2]. Repitiendo este procedimien- to construimos una sucesión de intervalos [aj, bj] de largo (b1 − a¹)/2^j−1, cada uno de los cuales está contenido en el anterior y una subsucesión xkj ∈ [aj, bj]. Es claro entonces, que

a1 ≤ a² ≤ · · · ≤ b² ≤ b¹.

(10)

Por esto existe α = l´ımjaj = l´ımjbj (basta tomar α = sup_j{a^j}) y, por el teorema de la sucesi´on comprendida, se verifica l´ımjxkj = α.

Consideremos ahora n > 1 y una sucesión xk = (xk1, . . . , xkn). Como la sucesión original está acotada, también lo esta su primer sucesión coordenada (xk1), que según vimos, tiene una subsucesión convergente, definida por {k1 < k2 <· · · }. La subsucesión (x^kj2) está también acotada y tiene una subsucesión convergente. Procediendo as´ı con cada una de las coordenadas restantes, obtenemos una subsucesión, definida por{k^′1 < k^′₂ <· · · } tal que todas las subsucesiones coordenadas convergen y por lo tanto converge la subsucesión obtenida en Rⁿ.

1.4. Conjuntos abiertos y cerrados

Sea A ⊂ Rⁿ un conjunto y x ∈ Rⁿ. Decimos que x es un punto interior al conjunto A cuando existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A. Llamamos interior de A y lo designamos A^◦ al conjunto de los puntos interiores de A. Claramente A^◦ ⊂ A. Decimos que x es un punto exterior al conjunto A si existe ε > 0 tal que B(x, ε)∩ A = ∅, es decir si x ∈ A^c◦

. Decimos que x es un punto frontera del conjunto A cuando no es ni un punto interior ni exterior a A, es decir cuando para todo ε > 0 se cumple que B(x, ε)∩ A 6= ∅ y B(x, ε) ∩ A^c 6= ∅. Llamamos la frontera de A y la designamos mediante

∂A, al conjunto de sus puntos frontera.

A

a

Figura 1.10: El punto a es punto frontera del conjunto A.

Observar que dados A ⊂ Rⁿ y x∈ Rⁿ se cumple una y s´olo una de las afirmaciones siguientes:

x es un punto interior a A.

x es un punto exterior a A.

x es un punto frontera de A.

Decimos que un conjunto A⊂ Rⁿ es un conjunto abierto cuando todos sus puntos son interiores, es decir cuando para todo x∈ A existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A. Claramente A es abierto si y s´olo si A^◦ = A.

Decimos que un conjunto B ⊂ Rⁿ es un conjunto cerrado cuando su complemento B^c = Rⁿ\ B es un conjunto abierto.

Ejemplo 1. Los conjuntos ∅ y Rⁿ son subconjuntos abiertos de Rⁿ, luego tambi´en son subconjuntos cerrados de Rⁿ.

(11)

1 1

kxk ≤ 1 kxk < 1

Figura 1.11: La bola abierta es un conjunto abierto, mientras que la bola cerrada es un conjunto cerrado

Ejemplo 2. Veamos que la bola abierta de centro a y radio r > 0 es un conjunto abierto. Si x∈ B(a, r) sea ε = r− kx − ak > 0. Si ky − xk < ε tenemos

ky − ak ≤ ky − xk + kx − ak < ε + kx − ak = r,

es decir, si y∈ B(x, ε) entonces y ∈ B(a, r), de donde B(x, ε) ⊂ B(a, r) probando que B(a, r) es un conjunto abierto. En particular, si n = 1, los intervalos abiertos son conjuntos abiertos en R.

Ejemplo 3. Veamos que la bola cerrada de centro a y radio r > 0 es un conjunto cerrado. Si x /∈ B(a, r) sea ε =kx − ak − r > 0. Si ky − xk < ε tenemos

ky − ak ≥ kx − ak − ky − xk > kx − ak − ε = r, de donde y /∈ B(a, r). Es decir B(x, ε) ⊂ B(a, r)c

, de donde B(a, r) es un conjunto cerrado. En particular, si n = 1, obtenemos que los intervalos cerrados son conjuntos cerrados en R.

Observaci´on 2. De los dos ejemplos anteriores se deduce que para todo r > 0 se cumple

∂B(a, r) = ∂B(A, r) ={x ∈ Rⁿ: kx − ak = r}.

Teorema 7. (a) La uni´on de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

(b) La intersecci´on de una cantidad finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

(c) La intersecci´on de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

(d) La uni´on de una cantidad finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostraci´on. (a) Si un punto x pertenece a alguno de los conjuntos abiertos de una cierta clase de conjuntos abiertos, existe una bola B(x, ε) contenida en ese conjunto, y por lo tanto, contenida en la uni´on de los conjuntos abiertos de la clase.

(b) Sean A1, . . . , An abiertos. Si la intersecci´on es vac´ıa hemos conclu´ıdo, dado que el vac´ıo es un conjunto abierto. Si x pertenece a la intersecci´on de estos conjuntos, para cada i = 1, . . . , n existe εi

tal que B(x, εi)⊂ Aⁱ y, por lo tanto, con ε = m´ın{ε¹, . . . , εn} > 0, tenemos que la bola B(x, ε) esta contenida en la intersecci´on de los conjuntos A1, . . . , An.

Las propiedades (c) y (d) se obtienen tomando complemento y utilizando la igualdad

\

α∈I

Aα

c

= [

α∈I

A^c_α.

(12)

Ejemplo 4. Consideremos una sucesi´on de conjuntos abiertos en R^m, definida por An = B(0, 1/n), ∀n = 1, 2, . . . .

TenemosT∞

n=1An={0}, que no es un conjunto abierto. Esto muestra que la condici´on de finitud es esencial en la parte (b) del teorema anterior.

Un punto x ∈ Rⁿ es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ Rⁿ, cuando para todo ε > 0 existen puntos de A distintos de x que distan menos que ε de x. En otros términos, x es de acumulación de A cuando

∀ε > 0, B^∗(x, ε)∩ A 6= ∅.

Un punto a perteneciente a un conjunto A es un punto aislado de A cuando existe ε > 0 tal que B(a, ε)∩ A = {a}. Observar que si a ∈ A, entonces se cumple una y s´olo una de las afirmaciones siguientes:

a es un punto de acumulaci´on de A.

a es un punto aislado de A.

Designamos mediante A^′ al conjunto de los puntos de acumulaci´on de A, que llamamos conjunto derivado de A.

Proposición 5. Un punto x es de acumulación de un conjunto A si y sólo si existe una sucesión (ak)⊂ A \ {x} que converge a x.

Demostraci´on. Si x ∈ A^′, entonces para cada k ∈ Z⁺ existe ak ∈ B^∗(x, 1/k)∩ A. Luego (a^k) es la sucesi´on buscada.

Supongamos que existe una sucesi´on (ak) ⊂ A \ {x} que converge a x. Sea ε > 0. Sabemos que existe k0tal que ak∈ B(x, ε), para todo k ≥ k⁰. Adem´as como ak ∈ A\{x}, entonces a^k ∈ B^∗(x, ε)∩A y por lo tanto B^∗(x, ε)∩ A 6= ∅.

Definimos la clausura o adherencia ¯A de un conjunto A mediante ¯A = A∪ A^′. A los puntos de ¯A se llaman puntos de adherencia de A. Observar que x es un punto de adherencia de A si y s´olo si

∀ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= ∅.

Corolario 1. Un punto x es de adherencia de un conjunto A si y s´olo si existe una sucesi´on (ak)⊂ A que converge a x.

Demostración. Si x∈ A el resultado es claro porque A ⊂ ¯A y la sucesión constante ak = x converge a x. Si x6∈ A, entonces A \ {x} = A y x ∈ ¯A si y sólo si x∈ A^′. Luego en este caso la afirmación se deduce de la proposición anterior.

Teorema 8 (Caracterizaci´on de los conjuntos cerrados).

Sea B⊂ Rⁿ. Son equivalentes (a) B es cerrado.

(b) B contiene a todos sus puntos de acumulaci´on, es decir B^′ ⊂ B.

(13)

B

b

Figura 1.12: Como B es cerrado se verifica b∈ B (c) Si (yk)⊂ B e y^k −→

k b, entonces b∈ B.

(d) B coincide con su clausura, es decir ¯B = B.

Demostraci´on. Como ¯B = B∪ B^′, entonces ¯B = B si y s´olo si B^′ ⊂ B, es decir (d)⇔(b).

Por otro lado el corolario 1 nos dice que (c) equivale a ¯B ⊂ B, y al ser B ⊂ ¯B, tenemos que (c) equivale a ¯B = B, es decir (c)⇔(d).

Veamos (a)⇒(b). Sea b de acumulaci´on de B. Veamos que b ∈ B. Si, por absurdo, b ∈ B^c, por ser B^c abierto existe ε > 0 tal que B^∗(b, ε)∩ B = ∅ y b no es de acumulaci´on de B. Luego b ∈ B.

Veamos (c)⇒(a). Si B no es cerrado, existe un punto b ∈ B^c que no es interior a B^c. Esto implica que para todo k existe un punto yk ∈ B ∩ B(b, 1/k). Luego y^k → b de donde, por (c), b ∈ B contra nuestro supuesto. Esto concluye la demostraci´on de la ´ultima parte y del teorema.

Ejemplo 5. El conjunto S = {x ∈ Rⁿ: kxk = 1} es un conjunto cerrado. En efecto, si (x^k) ⊂ X y xk → a, tenemos 1 = kx^kk → kak, luego kak = 1 y a ∈ S. Aplicando (c) en el teorema 8 obtenemos que S es cerrado.

Observaci´on 3. Notar que la clausura de una bola abierta es la bola cerrada, de ah´ı la notaci´on B(a, r) para las bolas cerradas.

1.5. L´ımites y continuidad de funciones

En esta secci´on X es un subconjunto de Rⁿ y estudiamos funciones f : X ⊂ Rⁿ → R^m. Un caso particular importante se obtiene cuando m = 1 y llamamos funci´on real de varias variables a f : X ⊂ Rⁿ → R. Dada f : X → R^m, la igualdad vectorial y = f (x) en R^m equivale a m igualdades

y= f (x) f

X

x

Figura 1.13: Funci´on f : X ⊂ R³ → R²

(14)

escalares en R, y escribimos

(y1, . . . , ym) = f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn).

Cada una de las funciones fi: X → R (i = 1, . . . , m) es una función real de varias variables, que llamamos función coordenada o función componente y escribimos f = (f₁, . . . , fm).

Ejemplo 6 (Transformaciones Lineales). Un ejemplo central de funciones de Rⁿ en R^m son las trans- formaciones lineales, es decir, las funciones T : Rⁿ→ R^m que verifican T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) para α, β reales, x, y vectores en Rⁿ, todos arbitrarios. Recordemos que dada una transformación lineal T existe una única matriz A = (aij) de tamaño m× n, que llamamos matriz asociada, tal que se verifica

T (x) = Ax,

asumiendo que x = (x1, . . . , xn) es un vector columna. Si las funciones coordenadas de T son T1, . . . , Tm, tenemos Ti(x) = Aⁱ · x, para cada i = 1, . . . , m, donde Aⁱ = (ai1, . . . , ain) designa la i-´esima fila de A y a x lo escribimos como un vector fila.

Ejemplo 7 (Curvas en Rⁿ). Obtenemos otro caso particular importante cuando el dominio es un subconjunto de R. Llamamos curva en Rⁿ a una función λ : I → Rⁿ, donde I es un intervalo de la recta real. Como las curvas se utilizan para modelar la evolución temporal de un punto en el espacio (cuando n = 3, por ejemplo) es usual decir que la variable independiente es el tiempo, utilizando la letra t para designarla. Es importante notar que la curva es la función y no su recorrido, que es un conjunto de puntos en Rⁿ. Este conjunto de puntos se denomina la traza de la curva. De esta forma, las curvas definidas en R, mediante

λ(t) = (r cos t, r sen t), µ(t) = r cos(2t), r sen(2t), son curvas distintas con la misma traza.

Definici´on 4 (L´ımite de una funci´on).

Sean f : X → R^m y a un punto de acumulaci´on de X. Decimos que el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a a es b y escribimos

x→al´ımf (x) = b, ´o f (x)→ b (x → a)

cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x∈ X que cumpla 0 < kx − ak < δ se verifica kf(x) − bk < ε. En otros t´erminos, cuando

∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ X 0 < kx − ak < δ ⇒ kf(x) − bk < ε, o sea, cuando

∀ε > 0 ∃δ > 0: f X ∩ B^∗(a, δ) ⊂ B(b, ε).

Teorema 9 (Teorema de pasaje).

Sean f : X → R^m, a un punto de acumulaci´on de X. Son equivalentes (a) f (x) → b cuando x → a.

(b) Para toda sucesi´on (xk)⊂ X \ {a} que cumple xk −→

k a, se verifica f (xk)−→

k b.

(15)

Demostraci´on. Veamos (a)⇒(b). Consideremos (x^k)⊂ X \{a} tal que x^k → a. Veamos que f(x^k)→ b. Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f X∩ B^∗(a, δ) ⊂ B(b, ε). Existe adem´as K tal que si k ≥ K se verifica xk ∈ X ∩ B^∗(a, δ). Luego f (xk)∈ B(b, ε) es decir f(x^k)→ b.

Veamos ahora (b)⇒(a). Supongamos por absurdo que f(x) 9 b cuando x → a. Existe entonces ε0 tal que para todo δ = 1/k (k natural) existe xk∈ B^∗(a, 1/k)∩ X tal que

kf(x^k)− bk ≥ ε⁰. (1.10)

Pero la sucesión (xk)⊂ X \{a} verifica xk → a. Luego, según (b) se verifica f(xk)→ b contradiciendo (1.10) y completando la demostración del teorema.

Observación 4. Dada f = (f1, . . . , fm) : X → R^m, con X ⊂ Rⁿ y a punto de acumulación de X, el teorema 9 de pasaje y la proposición 3 nos permiten demostrar fácilmente que

x→al´ımf (x) = b = (b1, . . . , bm) ⇔ l´ım

x→afi(x) = bi (i = 1, . . . , m), es decir, una funci´on tiene l´ımite si y s´olo si tienen l´ımite sus funciones coordenadas.

Si f, g : X ⊂ Rⁿ→ R^m y α : X ⊂ Rⁿ→ R son funciones y λ ∈ R, definimos

f + g : X ⊂ Rⁿ → R^m, (f + g)(x) := f (x) + g(x), ∀x ∈ X, (1.11) λf : X ⊂ Rⁿ→ R^m, (λf )(x) := λf (x), ∀x ∈ X, (1.12) αf : X ⊂ Rⁿ→ R^m, (αf )(x) := α(x)f (x), ∀x ∈ X,

f· g : X ⊂ Rⁿ→ R, (f · g)(x) := f(x) · g(x), ∀x ∈ X, kfk : X ⊂ Rⁿ→ R, kfk(x) := kf(x)k, ∀x ∈ X.

Notar que multiplicar una función f por un escalar λ equivale a multiplicar f por la función constante igual a λ. Es fácil de probar que el conjunto de las funciones de dominio X ⊂ Rⁿ y codominio R^m tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas en (1.11) y (1.12).

Mediante los teoremas 5 (de operaciones con l´ımites de sucesiones) y 9 (de pasaje) es inmediato obtener los siguientes resultados.

Teorema 10 (Operaciones con l´ımites de funciones).

Sea X ⊂ Rⁿ y a un punto de acumulaci´on de X. Consideremos funciones f, g : X → R^m, α : X → R y un escalar λ∈ R. Supongamos que

f (x) → b, g(x) → c, α(x) → α, cuando x → a.

Entonces

(1) f (x) + g(x)→ b + c (x → a), (2) λf (x)→ λb (x → a),

(3) α(x)f (x) → αb (x → a), (4) f (x)· g(x) → b · c (x → a),

(16)

(5) kf(x)k → kbk (x → a).

Definici´on 5 (Continuidad).

Sea f : X → R^m. Dado a ∈ X, decimos que f es continua en a si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X que cumpla kx − ak < δ se verifica kf(x) − f(a)k < ε. En otros t´erminos, f es continua en a cuando

∀ε > 0, ∃δ > 0: ∀x ∈ X, kx − ak < δ ⇒ kf(x) − f(a)k < ε, o sea, cuando

∀ε > 0, ∃δ > 0: f X ∩ B(a, δ) ⊂ B(f(a), ε).

Decimos que f es continua si es continua en a para todo a∈ X.

X f(a) f(a) + ε

f(a)− ε

B(a, δ)

Figura 1.14: Los entornos para f : R² → R continua en a ∈ X.

Observaci´on 5. Notar que si f : X ⊂ Rⁿ → R^m es continua y Z ⊂ X, entonces la restricci´on f|^Z : Z ⊂ Rⁿ→ R^m es continua.

Observación 6. Dada f : X → R^m y a∈ X tal que a es un punto de acumulación de X, entonces a partir de las definiciones se deduce directamente que f es continua en a si y sólo si l´ımx→af (x) = f (a).

El siguiente teorema es la versi´on del teorema de pasaje para funciones continuas.

Teorema 11.

Sea f : X ⊂ Rⁿ → R^m y a∈ X. Son equivalentes:

(a) La funci´on f es continua en a.

(b) Para toda sucesi´on (xk)⊂ X que cumple x^k−→

k a, se verifica f (xk)−→

k f (a).

Demostraci´on. El punto a es aislado o es de acumulaci´on de X.

Supongamos que a es un punto aislado de X, es decir existe δ > 0 tal que B(a, δ)∩ X = {a}.

En este caso es

f B(a, δ)∩ X = {f(a)} ⊂ B(f(a), ε), ∀ε > 0,

entonces f es continua en a. Adem´as si una sucesi´on (xk) ⊂ X verifica x^k −→

k a, entonces existe K > 0 tal que

xk ∈ B(a, δ) ∩ X = {a}, ∀k ≥ K ⇒ x^k= a, ∀k ≥ K;

(17)

luego f (xk)−→_k f (a).

Supongamos ahora que a es un punto de acumulaci´on de X.

Veamos que (a) implica (b). Consideremos (xk) ⊂ X tal que x^k −→

k a. La continuidad de f en a implica que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f X∩ B^∗(a, δ) ⊂ B(f(a), ε); adem´as f(a) ∈ B(f(a), ε), luego f X ∩ B(a, δ)

⊂ B(f(a), ε). La convergencia de (x^k) a a implica que existe K tal que si k≥ K, entonces x^k ∈ X ∩ B(a, δ); luego f(x^k)∈ B(f(a), ε) si k ≥ K, es decir f(x^k)−→

k f (a).

Veamos que (b) implica (a). Observar que (b) implica que se verifica la condici´on (b) del teorema de pasaje 9, luego el mismo implica l´ımx→af (x) = f (a) y por la observaci´on anterior esto equivale con que f sea continua en a.

Del teorema anterior se deduce que f : X ⊂ Rⁿ→ R^m es continua si y s´olo si para toda sucesi´on convergente (xk) en X se cumple

l´ımk f (xk) = f l´ım

k xk.

Adem´as este teorema junto con los resultados que vimos de l´ımites de sucesiones implican los siguientes:

(a) Una funci´on es continua en un punto si y s´olo si son continuas en ese punto todas sus funciones coordenadas.

(b) Si f, g : X → R^m y α : X→ R son continuas en a ∈ X, tambi´en son continuas en a las funciones f + g : X → R^m, αf : X → R^m, f · g : X → R, kfk : X → R.

Ejemplo 8. Veamos que una transformación lineal T = (T₁, . . . , Tm) : Rⁿ → R^m es una función continua, verificando que sus funciones coordenadas lo son. En efecto, como la función coordenada tiene la forma Ti(x) = Aⁱ · x, para un cierto vector Aⁱ (que es la i-ésima fila de la matriz de T ), la continuidad resulta de la proposición anterior, por ser continua la función constante f (x) = Aⁱ, la función identidad g(x) = x y su producto escalar f · g = Tⁱ, para cada i = 1, . . . , m.

Ejemplo 9. Las proyecciones pi : Rⁿ → R, i = 1, . . . , n, definidas por pi(x1, . . . , xn) = xi, ∀(x1, . . . , xn)∈ Rⁿ, son mapas lineales, luego son continuas por el ejemplo anterior.

Teorema 12 (Continuidad de la funci´on compuesta).

Sean f : X ⊂ Rⁿ→ R^m y g : Y ⊂ R^m → R^p, donde f (X)⊂ Y , tales que f es continua en a ∈ X y g es continua en b = f (a). Entonces la funci´on compuesta h = g◦ f : X ⊂ Rⁿ→ R^p es continua en a.

Demostraci´on. Sea (xk)⊂ X tal que x^k → a. Por ser f continua en a se cumple y^k = f (xk)→ f(a) = b. Por ser g continua en b, se cumple g(yk)→ g(b). Es decir h(x^k) = g f (xk) → g f(a) = h(a), y h resulta continua en a.

Ejemplo 10. Sea f : R² → R definida por f(x, y) = e^x+y, para todo (x, y) ∈ R². La funci´on f se puede escribir como f = exp◦(p1+ p2), sendo exp : R→ R la funci´on exponencial y p1, p2 : R² → R las proyecciones sobre los ejes coordenados. Luego la continuidad de f se deduce de ser continuas exp, p1, p2 y del teorema anterior.

(18)

a

X ⊂ Rⁿ Y ⊂ R^m R^p

f

g

h= g◦ f b= f (a)

c= g(f (a))

Figura 1.15: La funcion compuesta h = g◦ f.

El siguiente teorema muestra que la continuidad de una funci´on en un conjunto es un concepto global.

Teorema 13. Sea f : X ⊂ Rⁿ→ R^m una funci´on. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La funci´on f es continua.

2. Para todo conjunto abierto U ⊂ R^m existe un conjunto abierto V ⊂ Rⁿtal que f⁻¹(U ) = X∩V . 3. Para todo conjunto cerrado K ⊂ R^m existe un conjunto cerrado H ⊂ Rⁿ tal que f⁻¹(K) =

X∩ H.

Demostraci´on. (1⇒ 2). Sea U ⊂ R^m un conjunto abierto. Si U ∩ Im(f) = ∅, entonces f⁻¹(U ) = ∅ = X∩ ∅ y el resultado es cierto.

Supongamos U ∩ Im(f) 6= ∅, luego f⁻¹(U ) 6= ∅. Si v ∈ f⁻¹(U ), entonces f (v) ∈ U. Como U es abierto, entonces existe una bola Cv centrada en f (v) y contenida en U . Por otro lado al ser f continua, existe una bola Bv centrada en v tal que f (X∩ B^v)⊂ C^v. Consideremos el conjunto de las bolas Bv construidas de esta manera y sea V =S

v∈f⁻¹(U )Bv. El conjunto V es abierto por ser uni´on de bolas abiertas. Probaremos f⁻¹(U ) = X∩ V . Observar que

X∩ V = X ∩ [

v∈f⁻¹(U )

Bv = [

v∈f⁻¹(U )

(X ∩ B^v) .

Si a ∈ X ∩ V = S

v∈f⁻¹(U )(X ∩ Bv), entonces existe v ∈ f⁻¹(U ) tal que a ∈ X ∩ Bv. Luego f (a)∈ f (X ∩ B^v)⊂ C^v ⊂ U y por lo tanto a ∈ f⁻¹(U ).

Por otro lado, si v₀ ∈ f⁻¹(U ), entonces v₀ ∈ X ∩ B^v⁰ ⊂ S

v∈f⁻¹(U )(X ∩ B^v) = X ∩ V . Esto completa la prueba de f⁻¹(U ) = X∩ V .

(2⇒ 1). Sea a ∈ X arbitrario. Para cada ε > 0 la bola B(f(a), ε) ⊂ R^m es un conjunto abierto, luego existe un conjunto abierto V ⊂ Rⁿ tal que f⁻¹(B(f (a), ε)) = X ∩ V . Como f(a) ∈ B(f(a), ε), entonces a∈ V y al ser V abierto, entonces existe δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ V . Luego f B(a, δ)∩X ⊂ f (V ∩ X) ⊂ B(f(a), ε), lo cual prueba que f es continua en a. Como a es arbitrario, se deduce que f es continua en X.

(19)

(2 ⇔ 3). Observemos previamente que si A ⊂ R^m, entonces f⁻¹(A^c) = X ∩ f⁻¹(A)c

. Luego si f⁻¹(A) = X ∩ B, es f⁻¹(A^c) = X ∩ f⁻¹(A)c

= X ∩ X ∩ Bc

= X ∩ X^c ∪ B^c = X ∩ B^c. As´ı probamos

f⁻¹(A) = X ∩ B ⇒ f⁻¹(A^c) = X∩ B^c.

De esta ´ultima relaci´on y de que la correspondencia A 7→ A^c intercambia abiertos y cerrados, se deduce inmediatamente la equivalencia entre 2 y 3.

Corolario 2. Sea f : X ⊂ Rⁿ → R^m una función. Si X es abierto, entonces f es continua si y sólo f⁻¹(U ) es abierto para todo conjunto abierto U ⊂ R^m. Si X es cerrado, entonces f es continua si y sólo f⁻¹(K) es cerrado para todo conjunto cerrado K ⊂ R^m.

Ejemplo 11. Consideremos los siguientes conjuntos:

A1 ={(x, y, z) ∈ R³ : z = x²+ y²}, A2 ={(x, y, z) ∈ R³ : z ≤ x² + y²}, A3 ={(x, y, z) ∈ R³ : z > x²+ y²}, A4 ={(x, y, z) ∈ R³ : 0≤ z ≤ x²+ y²}, A5 ={(x, y, z) ∈ R³ : x6= x²+ y²}

Si definimos f : R³ → R mediante f(x, y, z) = z − x²− y², para todo (x, y, z)∈ R³, entonces A₁ ={(x, y, z) ∈ R³ : z− x²− y² = 0} = {(x, y, z) ∈ R³ : f (x, y, z) = 0} = f⁻¹({0}) A2 ={(x, y, z) ∈ R³ : z− x²− y² ≤ 0} = {(x, y, z) ∈ R³ : f (x, y, z)≤ 0} = f⁻¹ [−∞, 0) A3 ={(x, y, z) ∈ R³ : z− x²− y² > 0} = {(x, y, z) ∈ R³ : f (x, y, z) > 0} = f⁻¹ (0, +∞)

Como f es continua y{0} es cerrado, se deduce que A1 es cerrado. En forma an´aloga obtenemos que A2 es cerrado y A3 es abierto. Observar

A4 ={(x, y, z) ∈ R³ : z≤ x²+ y²} ∩ {(x, y, z) ∈ R³ : 0≤ z}.

Si definimos g : R³ → R mediante g(x, y, z) = z, para todo (x, y, z) ∈ R³, entonces A4 = f⁻¹ [−∞, 0) ∩ g⁻¹ [0, +∞),

luego A4 es cerrado.

Respecto a A₅, observando que A₅ = A^c₁ o A₅ = f⁻¹(R\ {0}), deducimos que A5 es abierto.

1.6. Compacidad

Definici´on 6. Decimos que un conjunto C ⊂ Rⁿ es compacto cuando es cerrado y acotado.

Aplicando el teorema 7 es inmediato probar que la intersecci´on de una familia arbitraria de compactos es compacto y que la uni´on de una familia finita de compactos es compacto.

Proposici´on 6. Si A⊂ R es un conjunto compacto no vac´ıo, entonces A tiene m´aximo y m´ınimo.

(20)

Demostración. Como A⊂ R es un conjunto acotado no vac´ıo, entonces tiene supremo e ´ınfimo que llamamos L y l respectivamente. La condición de supremo nos dice que para todo ε > 0 existe x∈ A tal que L− ε < x ≤ L, luego B(L, ε) ∩ A 6= ∅. Esto implica que L ∈ A, pero como A es cerrado, es A = A y por lo tanto L∈ A, es decir el supremo es máximo. En forma análoga se prueba que el

´ınfimo es m´ınimo.

Teorema 14 (Caracterizaci´on de compactos por sucesiones).

Sea C ⊂ Rⁿ. Son equivalentes (a) C es compacto.

(b) Toda sucesión de puntos de C contiene una subsucesión convergente a algún punto de C.

Demostraci´on. (a)⇒(b): Si (x^k) ⊂ C, por ser C acotado existe una subsucesi´on convergente, pongamos xkj −→

j c. Como C es cerrado, c∈ C.

(b)⇒(a): Probaremos que C es cerrado viendo que verifica la condici´on (c) del teorema 8. Sea (xk)k ⊂ C tal que x^k −→

k b∈ Rⁿ. Por (b) sabemos que existe una subsucesi´on (xkj)j tal que xkj −→_j c, para alg´un c∈ C. Luego c = b y por lo tanto b ∈ C.

Probaremos que C es acotado razonando por el absurdo. Si C no es acotado, para cada k natural existe xk ∈ C, tal que kx^kk ≥ k. Entonces, (x^k)⊂ C, pero (x^k) no tiene subsucesiones convergentes, porque de serlo, ser´ıan acotadas y

xkj

≥ k^j −→_j ∞, para cualquier subsucesi´on. Luego C es acotado. Queda entonces demostrado que C es compacto.

Teorema 15(Cantor). Sea C1 ⊃ C² ⊃ · · · una sucesi´on de subconjuntos de Rⁿ compactos no vac´ıos.

Entonces T∞

k=1Ck 6= ∅, es decir, su intersecci´on es no vac´ıa.

Demostraci´on. Como los conjuntos Ck no son vac´ıos, para cada k existe xk ∈ C^k. Luego, como (xk) ⊂ C¹ existe una subsucesi´on convergente, pongamos xkj −→_j a. Para cada k tenemos xkj ∈ C^k si kj ≥ k, lo que implica que a ∈ C^k, por ser Ck cerrado. Entonces a∈T∞

k=1Ck, que resulta no vac´ıa, concluyendo la demostraci´on.

Recordar que si X ⊂ Rⁿ es un conjunto acotado no vac´ıo, se define el di´ametro de X por diam(X) = sup{||x − y|| : x, y ∈ X}.

Corolario 3. Sea C₁ ⊃ C2 ⊃ · · · una sucesi´on de subconjuntos de Rⁿ compactos no vac´ıos, tales que diam Ck −→_k 0. Entonces existe c∈ Rⁿ tal que T∞

k=1Ck ={c}.

Demostraci´on. Por el teorema de Cantor sabemos que T∞

k=1Ck 6= ∅. Si c, d ∈T∞

k=1Ck, es c, d ∈ C^k, para todo k y por lo tanto 0≤ kc − dk ≤ diam C^k −→

k 0. Luegokc − dk = 0 y c = d.

Ejemplo 12. Veamos ejemplos en los cuales se verifica Cantor y ejemplos en los cuales no.

1. Si Ck = [−1/k, 1 + 1/k] ⊂ R, entonces T∞

k=1Ck = [0, 1] (los conjuntos [−1/k, 1 + 1/k] son compactos, pero diam[−1/k, 1 + 1/k] = 1 + 2/k −→_k 16= 0).

2. Si Ck = [−1/k, 1/k] ⊂ R, entoncesT∞

k=1Ck ={0} (los conjuntos [−1/k, 1/k] son compactos y diam[−1/k, 1/k] = 2/k −→

k 0).

(21)

3. Si Ck = [k, +∞) ⊂ R, entonces T∞

k=1Ck = ∅ (los conjuntos [k, +∞) son cerrados pero no acotados).

4. Si Ck = {x ∈ Rⁿ : 1 − 1/k ≤ kxk < 1} ⊂ Rⁿ, entonces T∞

k=1Ck = ∅ (los conjuntos {x ∈ Rⁿ : 1− 1/k ≤ kxk < 1} son acotados pero no cerrados).

Definici´on 7. Dado X ⊂ Rⁿ decimos que una familia (Aα)α∈I de subconjuntos de Rⁿ es un cubrim- iento de X cuando X ⊂ S

α∈IAα. Un subcubrimiento es una subfamilia de un cubrimiento, que tambi´en es un cubrimiento. Un subcubrimiento se dice finito si est´a formado por una cantidad finita de elementos. Un cubrimiento abierto de X es un cubrimiento (Aα)α∈I en el cual Aα es abierto para todo α∈ I.

Teorema 16 (De cubrimientos finitos de Borel-Lebesgue).

Sea X ⊂ Rⁿ compacto. Entonces todo cubrimiento abierto de X contiene un subcubrimiento finito.

Demostración. Para simplificar la notación haremos la prueba para X ⊂ R², pero la demostración vale en general.

Razonaremos por el absurdo suponiendo que X ⊂ R² es un conjunto compacto y Λ = (Aα)α∈I es un cubrimiento abierto de X que no admite subcubrimientos finitos.

Como X es compacto, entonces est´a acotado y por lo tanto existe un cuadrado cerrado I0 de lado l tal que X ⊂ I⁰. Dividimos I0 en cuatro cuadrados cerrados iguales C1, C2, C3, C4. Si para todo i = 1, 2, 3, 4 se cumpliese que X ∩ Cⁱ se cubre con una cantidad finita de elementos de Λ, entonces X = S4

i=1(X ∩ Cⁱ) tambi´en lo har´ıa contra nuestro supuesto; luego entre C1, C2, C3, C4

existe alguno que llamamos I1 tal que X∩ I¹ no se cubre con una cantidad finita de elementos de Λ.

Observar que I1 ⊂ I⁰, siendo I1, I0 compactos y el lado de I1 es ₂^l. Ahora I1 lo dividimos en cuatro cuadrados iguales y repetimos el razonamiento para encontrar un cuadrado cerrado I2 tal que X∩ I2

no se cubre con una cantidad finita de elementos de Λ, siendo I₂ ⊂ I1 ⊂ I0, con I₂, I₁, I₀ compactos y el lado de I2 es ¹₂₂^l = ₂^l².

Repitiendo el procedimiento construimos inductivamente una sucesi´on de cuadrados cerrados (Ik)k∈N tales que I₀ ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · , el lado de I^k es ₂^lk y X∩ I^k no se cubre con una cantidad finita de elementos de Λ (en particular X∩ I^k 6= ∅), para todo k en N.

Observar que 0 ≤ diam(X ∩ I^k) ≤ diam(I^k) = √

2₂^lk −→

k 0, luego diam(X ∩ I^k) −→

k 0. La condici´on I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · implica X ⊃ X ∩ I1 ⊃ X ∩ I2 ⊃ · · · , luego el corolario del teorema de Cantor implica que existe x∈ X tal que T∞

k=1(X ∩ I^k) = {x}.

Como x ∈ X ⊂ S

α∈IAα, entonces existe β ∈ I tal que x ∈ A^β. Al ser Aβ abierto existe ǫ0 > 0 tal que B(x, ε₀) ⊂ A^β. La condici´on diam(Ik) −→

k 0, ∀k ∈ N, implica que existe p ∈ N tal que diam(Ip) < ǫ₀. Observar que x∈ I^p.

Si y ∈ I^p es kx − yk ≤ diam(I^p) < ε0 ⇒ y ∈ B(x, ǫ0)⊂ A^β, ∀y ∈ I^p ⇒ I^p ⊂ A^β.

Luego X∩ I^p ⊂ I^p ⊂ A^β y resulta que X∩ I^p se cubre con un solo elemento Aβ en contradicci´on con la forma en que construimos la sucesi´on (Ik)k∈N.

Observación 7. Es importante notar que el rec´ıproco del teorema anterior también es cierto, dando entonces una caracterización de los conjuntos compactos en Rⁿ: un conjunto es compacto en Rⁿ si y sólo si todo cubrimiento abierto del mismo tiene un subcubrimiento finito.

(22)

Ejemplo 13. Veamos ejemplos en que muestran que la implicancia en el teorema anterior es falsa si X no es compacto.

1. Si X = B(0, 1) ⊂ Rⁿ, entonces X = S∞

k=2B(0, 1− 1/k) y por lo tanto {B(0, 1 − 1/k)}^k≥2 es un cubrimiento abierto de B(0, 1). Sin embargo, si J es un subconjunto finito de {2, 3, . . . }, entonces existe m ∈ N tal que J ⊂ {2, 3, . . . , m} y por lo tanto S

k∈J B(0, 1 − 1/k) ⊂ Sm

k=2B(0, 1− 1/k) = B(0, 1 − 1/m) 6= B(0, 1).

2. Si X = [0, +∞) ⊂ R, entonces X ⊂S∞

k=1(−1, k), luego {(−1, k)}^k∈N es un cubrimiento abierto de [0, +∞) y es claro que mediante un argumento similar al anterior se prueba que no tiene subcubrimientos finitos.

Notar que en el primer ejemplo X es acotado pero no cerrado y en el segundo es cerrado pero no acotado.

Teorema 17 (Compacidad y funciones continuas).

Sean X ⊂ Rⁿ compacto, f : X → R^m continua. Entonces f (X) es un conjunto compacto.

X f(X)

f

Figura 1.16: Si X es compacto y f es contina, entonces f (X) es compacto.

Demostraci´on. Utilizamos la caracterizaci´on de conjuntos compactos por sucesiones del teorema 14.

Dada (yk) ⊂ f(X) existe (x^k) ⊂ X tal que y^k = f (xk) para cada k. Como X es compacto, (xk) tiene una subsucesi´on convergente a un punto de X, pongamos xkj −→_j a ∈ X. Por continuidad ykj = f (xkj)−→_j f (a) ∈ f(X), probando la compacidad de f(X).

Definición 8. Sea f : X ⊂ Rⁿ→ R una función acotada (luego Im(f) = f(X) ⊂ R es un conjunto no vac´ıo y acotado). Al supremo de f (X) le llamamos el supremo de f . En el caso en que el supremo de f (X) sea máximo (es decir que pertenezca a f (X)), decimos que es el máximo de f . En forma análoga se definen el ´ınfimo y el m´ınimo de f .

Corolario 4 (Teorema de Weierstrass).

Sea ∅ 6= X ⊂ Rⁿ un conjunto compacto y f : X → R una funci´on continua. Entonces f presenta m´aximo y m´ınimo absolutos en X, es decir, existen xm, xM en X tales que

f (xm)≤ f(x) ≤ f(x^M), ∀x ∈ X.

Demostración. Como f (X) es compacto y no vac´ıo, entonces la proposición 6 implica que f (X) tiene máximo y m´ınimo, lo cual es la tesis de nuestro teorema.

(23)

Veamos que la noci´on de compacidad es especialmente ´util, dado que, por separado, las nociones de conjunto cerrado o conjunto acotado no son suficientes para obtener un teorema como el teorema 17 o el teorema de Weierstrass.

Para esto consideremos f : (0, 1]→ R dada por f(x) = 1/x. La funci´on f es continua en X = (0, 1], que es un conjunto acotado. Sin embargo f (X) = [1,∞) no es acotado.

Por otra parte, la funci´on g : [1,∞) → R dada por g(x) = 1/x tambi´en es continua en su dominio Y = [1,∞), que es un conjunto cerrado. Sin embargo g(Y ) = (0, 1], que no es un conjunto cerrado.

Notar que en ambos ejemplos la funci´on es continua pero no tiene m´aximo y m´ınimo.

1.7. Continuidad uniforme

Definición 9. Una función f : X → R^m es uniformemente continua cuando dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo par x, y ∈ X que cumpla kx − yk < δ se verifica kf(x) − f(y)k < ε. En otros términos, f es uniformemente continua en X cuando

∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x, y ∈ X, ky − xk < δ ⇒ kf(y) − f(x)k < ε.

Observemos que si f es uniformemente continua en X, es continua en todo a∈ X (como resulta de tomar a = y en la definición de continuidad uniforme). Para probar que una función no es uniformemente continua es útil la siguiente proposición.

Proposici´on 7. Si f : X → R^m es uniformemente continua en X, entonces para todo par de suce- siones (xk)⊂ X e (y^k)⊂ X tales que se verifica ky^k− x^kk −→_k 0, tenemos kf(y^k)− f(x^k)k −→_k 0.

Demostraci´on. Consideremos entonces un par de sucesiones (xk), (yk)⊂ X tales que ky^k− x^kk −→

k 0.

Veamos que

kf(y^k)− f(x^k)k −→_k 0. (1.13)

Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que ky − xk < δ implica kf(y) − f(x)k < ε. Existe adem´as K tal que k≥ K implica ky^k− x^kk < δ. Luego, si k ≥ K vale kf(y^k)− f(x^k)k < ε, demostrando (1.13).

Ejemplo 14. Sea f : R → R definida mediante f(x) = x². Considerando xk = k e yk = k + 1/k.

Vemos que ky^k− x^kk = 1/k → 0 pero kf(y^k)− f(x^k)k = 2 + 1/k² 90. Deducimos entonces que f no es uniformemente continua en R.

Observar que el ejemplo anterior muestra que en general la continuidad no implica la continuidad uniforme. Por eso es importante el siguiente:

Teorema 18 (Compacidad y continuidad uniforme).

Si X ⊂ Rⁿ es compacto y f : X → R^m continua, entonces f es uniformemente continua en X.

Demostraci´on. Supongamos, por absurdo, que f no es uniformemente continua. Es decir, existe ε0

tal que para todo δ = 1/k (k natural) existen pares de puntos xk, yk en X tales queky^k− x^kk < 1/k pero

kf(y^k)− f(x^k)k ≥ ε⁰. (1.14)

Como X es compacto, la sucesi´on (xk) tiene una subsucesi´on (xkj) convergente a un punto a de X.

Adem´as,

ykj− a ≤

ykj − xkj

+

xkj − a −→

j 0,