Optimización de conjuntos estructurales planos utilizando la OAPI SAP2000 MATLAB

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(1)Facultad de Construcciones Departamento de Ingeniería Civil. Trabajo de Diploma “Optimización de conjuntos estructurales planos utilizando la OAPI SAP2000-MATLAB”. Autor(a): Yurisleidy Roque Rivero. Tutor: Ing. Iván Antonio Negrín Montecelo. Consultante: Dr. Ing. Ernesto L Chagoyen Méndez. Santa Clara 2017 “Año 59 de la Revolución”.

(2) PENSAMIENTO. “(…) Los conformistas podrán conformarse con el mínimo; nosotros buscamos el máximo”.. Fidel Castro.

(3) i. DEDICATORIA. “A mi mamá y mi papá, las personas más influyentes en mi vida. A mi hermana por su apoyo incondicional. A mis abuelos y amigos, que me dieron la mano cuando lo he necesitado. A mi esposo por su amor y comprensión.”.

(4) ii. AGRADECIMIENTOS Los cimientos que han servido de base para la construcción de este Trabajo Diploma están elaborados por una lista de personas a las cuales debo una especial mención y agradecimiento.  En primer lugar a mi tutor de tesis, Iván Negrín, por su infinita paciencia, su continuo apoyo y por haber estado siempre dispuesto a transmitirme sus conocimientos.  A mis padres, por los valores y educación que me han dado, y por inculcarme desde pequeña que con paciencia, persistencia y trabajo se consiguen todos los retos.  A mi hermana que a pesar de la distancia, siempre está a mi lado y seguro está entre las mejores hermanas del mundo.  A mi abuela y abuelo, que tanto amor y cariño me han dado.  A mis amigas Yaima, Yurita y Maylenis, que siempre tratan de estar ahí cuando lo necesito.  A todos mis compañeros de estudio, en especial a Ailín, Laura, Karelys, Liliana y Grether, que en tan poco tiempo se han convertido en una familia para mí.  A mi esposo que sin su ayuda y apoyo incondicional no hubiera sido posible la culminación de esta tesis..

(5) iii. RESUMEN En el trabajo se presenta la elaboración de un manual de usuario para la Open Application Programming Interfase (OAPI) SAP2000 – MatLab en la solución de problemas de optimización de un conjunto estructural plano, bajo las condiciones actuales de costo en Cuba, para las cargas predominantes en la región occidental de nuestro país. En el trabajo se incluyen aspectos usualmente ignorados en la modelación y el análisis estructural, como la influencia de fisuración de los elementos en su rigidez, utilización del área real de acero, el corte y despiezo de las barras, así como la evaluación del efecto combinado de varias luces y varios niveles. Lo realmente novedoso del trabajo es la organización de los comandos que se utilizan en la solución de un problema de optimización a través de la OAPI SAP2000-MatLab en un manual de usuario que sea de más fácil manejo para otros, en aras de lograr que adapten su caso de estudio más rápidamente, a la formulación del problema de optimización requerida, con las herramientas mencionadas. Finalmente, se aplica la nueva estructura formulada a la solución de un problema de optimización de un conjunto estructural plano, y se extraen conclusiones y recomendaciones de diseño válidas para los proyectistas en edificaciones cuyo esquema de resistencia frente a cargas horizontales es aporticado..

(6) iv. ABSTRACT In the paper we present the elaboration of a user manual for the Open Application Programming Interfase (OAPI) SAP2000 - MatLab in the solution of problems of optimization of a flat structural set, under the current conditions of cost in Cuba, for the predominant loads in the western region of our country. Here we include aspects usually ignored in structural modeling and analysis, such as the influence of cracking elements on their rigidity, the inclusion of a 2nd order analysis, as well as the evaluation of the combined effect of several lights and several levels.. The really new thing about the work is the organization of the commands that are used in the solution of an optimization problem through OAPI SAP2000-MatLab in a user manual that is easier to handle for others, in order to make them adapt their Case study more quickly, to the formulation of the required optimization problem, with the mentioned tools.. Finally, we apply the new structure formulated to the solution of a problem of optimization of a flat structural set, draw conclusions and design recommendations valid for designers in buildings whose structure of resistance against horizontal loads is influenced..

(7) v. ÍNDICE DEDICATORIA. ......................................................................................................... i. AGRADECIMIENTOS ................................................................................................. ii ABSTRACT. ....................................................................................................... iv. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 1 CAPÍTULO 1.. Estado del conocimiento sobre la Optimización Estructural y el. empleo de OAPI SAP2000-MatLab para ello. .......................................................... 6 1.1. Introducción ............................................................................................................ 6 1.2. Breve reseña histórica sobre la optimización estructural ............................... 7 1.2.1.. Desarrollo de investigaciones de optimización estructural en nuestro. país (Cuba) ........................................................................................................................ 9 1.2.2.. Desarrollo de investigaciones de optimización de estructuras en el. Departamento de Ingeniería Civil de la UCLV ........................................................... 10 1.3. Formulación matemática del problema de optimización ............................... 12 1.3.1.. Objetivo de la optimización ........................................................................... 13. 1.3.2.. Criterios de optimización ............................................................................... 14. 1.3.3.. Formulación matemática del problema. Definición ................................... 15. 1.4. Métodos de solución del problema de optimización ...................................... 18 1.4.1.. Algoritmos genéticos. ..................................................................................... 20. 1.4.2.. Nelder & Mead ................................................................................................ 22. 1.5. Factores usualmente ignorados en la modelación y su influencia .............. 24 1.6. Empleo de la computación para resolver el problema de optimización estructural ....................................................................................................................... 26 1.6.1.. MatLab .............................................................................................................. 26. 1.6.1.. SAP2000 .......................................................................................................... 29.

(8) vi 1.6.2.. Open Application Programming Interface (OAPI)...................................... 33. 1.7. Conclusiones parciales del capítulo ................................................................. 34 CAPÍTULO 2.. Formulación del problema de optimización de conjuntos. estructurales. Implementación de la solución vía OAPI SAP 2000-MatLab. ...... 35 2.1. Introducción .......................................................................................................... 35. 2.2. Tipos de problemas a resolver .......................................................................... 35. 2.3. Elección del criterio de optimización ................................................................ 36. 2.3.1.. Metodología general para resolver el problema planteado...................... 36. 2.4. Elección de los parámetros asignados ............................................................ 37 2.5. Elección de las variables ................................................................................... 39 2.6. Definición de la función objetivo ....................................................................... 39 2.6.1.. Costo de las columnas ................................................................................... 39. 2.6.2.. Costo de las vigas .......................................................................................... 42. 2.7. Identificación de las restricciones ..................................................................... 45 2.8. Ideas generales sobre métodos de solución del problema de optimización de estructuras de hormigón armado vía OAPI SAP 2000-MatLab ............................. 46 2.9. Ventajas del uso de la OAPI. Principales funciones ..................................... 46 2.9.1.. Funciones del Csi OAPI ................................................................................. 46. 2.10. Datos y particularidades de la función objetivo .............................................. 48 2.11. Implementación del problema de optimización. Uso de las funciones de optimización .................................................................................................................... 49 2.11.1. Archivo “modelo.m” ........................................................................................ 50 2.11.2. Archivo “solución.m” ....................................................................................... 58 2.12. Diseño del algoritmo de solución al problema de optimización. .................. 61 2.13. Conclusiones parciales del capítulo. ................................................................ 65.

(9) vii CAPÍTULO 3.. Caso de Estudio: Conjunto estructural plano. Aplicaciones. . 66. 3.1. Introducción .......................................................................................................... 66. 3.2. Elementos a tener en cuenta en el proceso de optimización ...................... 66. 3.3. Resultados obtenidos ......................................................................................... 67. 3.3.1.. Relación L/hópt en vigas, influencia de la luz (L) y del número de. niveles 70 3.3.2.. Relación Cuantía económica/L en vigas ..................................................... 72. 3.3.3.. Relación peralto económico/ancho económico en columnas.................. 74. 3.4. Conclusiones parciales del capítulo ................................................................. 76. CONCLUSIONES GENERALES .............................................................................. 77 RECOMENDACIONES ............................................................................................. 79 REFERENCIAS BIBILOGÁFICAS ........................................................................... 80 ANEXOS. 84.

(10) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia, la construcción ha jugado un papel básico en el desarrollo de la humanidad. Obras hechas en los diferentes períodos han marcado un lugar importante en el análisis de las diferentes civilizaciones y movimientos arquitectónicos, mostrándonos cómo vivían estas personas y la forma en que ejecutaban sus trabajos, basados en las tecnologías constructivas que habían llegado a alcanzar en el contexto histórico en el cual les había tocado vivir. Cuba, es un país en vías de desarrollo y aspirante a un desarrollo sostenible, aplicable en su totalidad a la mayoría de las esferas económicas en las que se desempeña. Geográficamente no es favorecida; la mitad del año es amenazada por la presencia de huracanes, ciclones u otro tipo de eventos tropicales atmosféricos. En múltiples ocasiones estos fenómenos han causado afectaciones considerables en importantes sectores económicos, en los que no ha sido posible una recuperación inmediata, motivado por diferentes factores materiales y humanos. Formando parte importante de ello se encuentra el sector de la construcción uno de los que más ha sufrido y menos recuperado se encuentra. Si se evalúa la situación anteriormente planteada, se debe tener en cuenta que los recursos humanos y materiales disponibles deben ser utilizados con racionalidad y eficiencia. Desde los egipcios y los romanos, ha existido la aspiración humana de la perfección, y se ha manifestado en las actividades del hombre: en las artes, la arquitectura, la ingeniería, entre otras. Los diseñadores y constructores optimizaban según criterios empíricos, limitados esencialmente por la carencia de un conjunto de doctrinas de los cálculos estructurales con una base verdaderamente científica o por las restricciones impuestas por razones culturales, religiosas o de otra índole. Aunque no se puede fijar el momento exacto cuando surge la optimización, mucho menos aplicada al diseño estructural, sí es real que con el surgimiento del computador se aclaró el camino que conduciría a resolver problemas similares, aplicando las técnicas de optimización matemática a la solución de problemas de la ingeniería estructural. El desarrollo de las investigaciones en el campo de las Estructuras ha contribuido notablemente al logro de proyectos cada vez más racionales y a la vez con una evaluación más objetiva de la seguridad y de sus costos..

(11) INTRODUCCIÓN. 2. Para contribuir al desarrollo económico que necesita Cuba se requiere excelencia en la ingeniería y encontrar las herramientas necesarias para tomar decisiones óptimas en los problemas de Ingeniería Civil. Con el objetivo de desarrollar su trabajo, en la actualidad, el proyectista cuenta con varias herramientas: métodos analíticos, normas y manuales, programas de cómputo y resultados de la experimentación. Deben considerarse éstas como herramientas que ayudan y facilitan el proceso de cálculo, pero no son la esencia del diseño y nunca podrán sustituir el proceso creativo, el razonamiento lógico, la interpretación física del fenómeno, el análisis de invariantes y el examen crítico del problema. Resulta muy importante, no sólo dotar a los especialistas de la construcción de conocimientos necesarios para la explotación de las herramientas de cálculo, si no también crear habilidades en los mismos para poder interpretar correctamente los resultados brindados y el uso de los mismos, para modelar diversos problemas relacionados con el Análisis y Diseño Estructural. Además, hoy día se debe proyectar buscando siempre la variante más racional, entiéndase por ésta: la de menor costo y mejor ejecutable, nos estamos refiriendo al concepto de Diseño Óptimo de estructuras. En el trabajo se pretende crear un manual de usuario con el que se pueda optimizar un conjunto estructural formado por vigas y columnas de hormigón armado (para un sistema aporticados con varias luces y varios niveles, realizando un análisis en el plano) bajo las condiciones de costo de Cuba en la actualidad. Por tanto se busca la mayor economía en el diseño, para esto se usará como función objetiva el costo mínimo, se modelará matemáticamente el problema definiendo: variables, restricciones y ecuaciones de estado. Nuestra premisa será desarrollar un soporte en MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices"), un programa interactivo para cálculo numérico y tratamiento de datos, utilizándolo en una interfase con SAP2000, para al final obtener un programa que garantice un diseño seguro y aplicable a la ingeniería.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Existen muchos trabajos de investigación y una gran cantidad de bibliografía relacionada con la optimización de vigas y columnas; a pesar de esto no se tienen en cuenta la optimización de la estructura en su conjunto, ni sistemas aporticados de varias luces y varios niveles. Queda claro que muy poco se ha adelantado en la optimización de conjuntos estructurales y que esta última es la verdadera optimización y no la de los elementos vistos individualmente..

(12) INTRODUCCIÓN. 3. Por tanto: estamos es un campo prácticamente virgen dentro de la optimización y es el enfoque sobre el cual se planteará la problemática investigativa. ¿Sería posible, al aplicar la interfase SAP2000-MatLab, lograr una estructura de formulación del problema que contribuya a su aplicación práctica? Una vez elaborada dicha estructura, ¿sería conveniente elaborar un manual de usuario para la formulación y solución de problemas de optimización de conjuntos estructurales planos de hormigón armado con varios niveles y varias luces, que permita una fácil adaptación de los casos de estudio de diferentes estructuras?. OBJETIVO GENERAL Elaborar una estructura de formulación del problema de optimización en conjuntos estructurales planos de hormigón armado y un manual de usuario, utilizando la interfase SAP2000 – MatLab, que facilite su aplicación práctica, para las condiciones de los costos de Cuba y en un escenario de cargas de una estructura en la región occidental del país, variando los niveles y cantidad de luces, permitiendo su sistematización durante la generalización de esta metodología en la solución de problemas de este tipo.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Establecer el estado actual del conocimiento sobre los antecedentes en Cuba y en la literatura internacional sobre la optimización estructural, la formulación de un problema de optimización estructural, los métodos para realizar la optimización y el empleo de la OAPI SAP2000-MatLab. Realizar el planteamiento del problema de optimización de un conjunto estructural plano de hormigón armado (función objetivo, variables y restricciones). 2. Elaborar una estructura de formulación del problema de optimización en conjuntos estructurales planos de hormigón armado, utilizando la interfase SAP2000 – MatLab para confeccionar un manual de usuario que facilite la aplicación práctica de la misma, para las condiciones de los costos de Cuba y en un escenario de cargas en la región occidental del país, variando cantidad de niveles y luces. 3. Diseñar un experimento numérico con las variables esenciales que permitan formular un problema de optimización de conjuntos estructurales planos y aplicar la nueva estructura en su solución, demostrando las potencialidades de la misma, de esta forma fundamentar las conclusiones del trabajo, a partir de los resultados obtenidos y realizar las recomendaciones propias para los proyectistas y diseñadores, sobre el uso de las diferentes topologías estructurales y su diseño óptimo..

(13) INTRODUCCIÓN. 4. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN 1.. ¿Cuál es el estado actual de los conocimientos sobre los métodos de optimización de. conjuntos estructurales planos de hormigón armado? 2.. ¿Sería posible elaborar una metodología eficiente y sencilla para resolver el problema de. optimización estructural, utilizando la interfase SAP2000-MatLab (OAPI)? 3.. ¿Cuáles serán los valores óptimos de los parámetros asociados al diseño estructural de. elementos de hormigón armado en dependencia de las dimensiones de los pórticos analizados? 4.. ¿Resultaría efectiva la aplicación del manual formulado a un caso de estudio de un conjunto. estructural plano?. HIPÓTESIS Un manual de funciones del CSI OAPI, dedicado a estructurar un procedimiento automatizado para la optimización de conjuntos estructurales planos de hormigón armado con varias luces y varios niveles, puede ser estructurado auxiliándose de la interfase SAP2000-MatLab (OAPI), teniendo en cuenta factores usualmente ignorados en la modelación, para las condiciones de los costos de Cuba y en un escenario de cargas en la región occidental del país.. OBJETO DE ESTUDIO Métodos y procedimientos de optimización de conjuntos estructurales planos de hormigón armado, así como la OAPI SAP2000-MatLab.. NOVEDAD CIENTÍFICA Muchos de los trabajos consultados solo se refieren a los elementos de forma aislada, cuando se debe tener en cuenta el conjunto estructural completo, ya que esta es la verdadera optimización. Lo realmente novedoso del trabajo es la organización de los comandos que se utilizan en la solución de un problema de optimización a través de la interfase SAP2000-MatLab (OAPI) en un conjunto estructural plano de hormigón armado de varias luces y niveles, y la elaboración de una estructura de formulación del problema y un manual de usuario que permitan una sistematización del diseño óptimo de estructuras, para proyectistas y diseñadores en aras de lograr que adapten su caso de estudio más rápidamente al problema de optimización requerido, con las herramientas mencionadas.. VALOR METODOLÓGICO.

(14) INTRODUCCIÓN. 5. Uno de los objetivos del trabajo es elaborar una estructura para la formulación de un problema de optimización estructural utilizando la OAPI SAP2000 – MatLab, la cual. podrá ser empleada. como base de futuros trabajos de optimización o donde se utilice la OAPI.. VALOR PRÁCTICO El trabajo tiene un elevado valor práctico pues sus resultados unifican criterios de optimización que generalmente se empleaban en elementos aislados, ahora con un concepto de conjunto de estructura completa, lo cual permite obtener una solución de estructura óptima verdadera. Además, este trabajo sirve de punto de partida de un nuevo enfoque de la optimización estructural como un proceso automatizado.. ESTRUCTURACIÓN DEL INFORME . Resumen. . Introducción. . Capítulo I: Estado del conocimiento sobre la Optimización Estructural y el empleo de OAPI. SAP2000-MatLab para ello. . Capítulo II: Formulación del problema de optimización de conjuntos estructurales.. Implementación de la solución vía OAPI SAP 2000-MatLab. . Capítulo III: Caso de Estudio: Conjunto estructural plano. Aplicaciones.. . Conclusiones. . Recomendaciones. . Referencias Bibliografía. . Anexos.

(15) CAPÍTULO 1. CAPÍTULO 1.. 6. Estado del conocimiento sobre la Optimización. Estructural y el empleo de OAPI SAP2000-MatLab para ello. 1.1. Introducción La evolución histórica y el desarrollo metodológico de las técnicas de optimización estructural están marcadas por una serie de hitos de importancia singular, que provocaron alteraciones radicales en los planteamientos asumidos por la comunidad científica hasta el momento de su aparición, o cuanto menos, permitieron la apertura de nuevas y profundas líneas de investigación. En los últimos tiempos, sin embargo, y como sucede en tantas otras ramas de la ciencia, el crecimiento constante del volumen de investigaciones en curso, la aplicación generalizada de técnicas de gran sofisticación, la interrelación existente entre áreas de conocimiento dispares, la calidad y cantidad de conocimientos acumulados, y la transmisión constante de información entre los científicos, han provocado un cambio cualitativo en la evolución de las técnicas de optimización estructural; la evolución marcada por hitos aislados y claramente identificables de antaño se ha transformado en la actualidad en una evolución casi continua. La optimización, de forma general, persigue la premisa de indicar, de manera cuantitativa y cualitativa con una base verdaderamente objetiva y científica, cuál es la mejor solución para un problema determinado. El principio metodológico de la misma. radica en modelar. matemáticamente los principales rasgos y características que definen las cualidades de los problemas ingenieriles, así como las restricciones de comportamiento, tecnológicas, ecológicas, etc. a que éstos están sometidos, para luego, mediante un algoritmo o método matemático encontrar cuál es la respuesta o solución más adecuada (óptima). El trabajo de cálculo debe ser conjunto entre ingenieros y matemáticos, ya que existen innumerables métodos matemáticos que aventajan el desarrollo alcanzado por la construcción en nuestros días. Esto hace que el fenómeno de la optimización tenga un desarrollo continuo, impulsado además por el uso de la computación, sin la cual es imposible resolver ningún problema de este tipo. La historia de la optimización, como la de todas las ciencias, ha estado marcada por una serie de grandes aportes, los cuales en sus respectivos momentos cambiaron, o al menos, alteraron la forma de pensar y de resolver los problemas hasta esos momentos por parte de la comunidad técnica y científica. Además, estos aportes a la vez de lograr transformaciones provocaron la aparición y posterior desarrollo de nuevas líneas y tendencias en el trabajo investigativo..

(16) CAPÍTULO 1. 7. Por este motivo consideramos oportuno enfocar desde el desarrollo histórico de las técnicas de optimización estructural hasta nuestros días, y desde un punto de vista sintético y metodológico su evolución posterior. El objetivo principal de este capítulo es establecer las bases teórico conceptual del Diseño Óptimo de Estructuras, brindando una idea general de su estado actual y de sus tendencias futuras tanto en Cuba como en el mundo.. 1.2. Breve reseña histórica sobre la optimización estructural Es realmente difícil precisar el momento exacto en que surge el concepto de optimización en el ámbito del diseño en general, por esa misma razón es que se hace prácticamente imposible precisar la fecha exacta en el que se emplea por vez primera dicho concepto en el diseño estructural, entendido éste en el sentido amplio de buscar la solución estructural más deseada desde cualquier punto de vista, ya sea económico, de utilidad, etcétera. Existen tres grandes etapas del desarrollo evolutivo de la aplicación de las técnicas de optimización matemática a la solución de problemas aplicados a la ingeniería estructural. (Negrín A. , Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras, 2005) 1-. Todo lo realizado antes del surgimiento de la Optimización Matemática como ciencia.. 2-. Surgimiento de la Optimización Matemática como una ciencia independiente con sus. principios, leyes y metodologías propias (principios de la década del ´40) 3-. Período a partir de finales de la década del ´60 y principios del ´70 hasta nuestros días.. Se puede considerar a Galileo, en el siglo XVII, como uno de los precursores del diseño estructural óptimo, tal y como se entiende en la actualidad. Su análisis de la distribución tensional en vigas sometidas a flexión, aunque incorrecto, le permitió abordar racionalmente la obtención de la forma óptima en vigas de canto variable. Johan Bernoulli en 1687, casi medio siglo después, revisa la teoría de Galileo y aplica la hipótesis de deformación plana de la sección y la ley de Hooke, postulando una distribución lineal para el estado tensional en las secciones ortogonales a la directriz. Su teoría le permite abordar el problema del diseño de vigas de resistencia uniforme. No obstante, no podemos hablar con propiedad de la formulación de problemas de optimización estructural analíticamente bien fundamentados, hasta que Parent en 1708 descubre el concepto de fibra neutra de la sección y resuelve el problema del diseño de vigas de resistencia uniforme.

(17) CAPÍTULO 1. 8. sometidas a la acción de cargas móviles. La teoría de Parent es redescubierta con posterioridad, en el último tercio del siglo, por Lagrange, quien analiza el diseño elástico de columnas asimétricas de mínimo peso sometidas a cargas axiales. Sus conclusiones aunque incorrectas, pues Lagrange no considera la acción del peso propio y por tanto obtiene una solución cilíndrica de sección constante, abrieron la vía que permitió a Clausen en 1851 resolver acertadamente el problema, obteniendo, para la acción combinada de cargas centradas y peso propio, la conocida distribución exponencial del área de la sección en función de la altura. El establecimiento de teorías coherentes, que aunque careciesen de generalidad fuesen cuanto menos aplicables a ciertas tipologías y a ciertos criterios restringidos de optimización, no se concretó hasta el desarrollo de las aportaciones de Levy, Maxwell y Michell. Levy en el año 1875 lleva a término un profundo estudio sobre diseño de cerchas y arcos de resistencia uniforme. Su demostración, que prueba el carácter forzosamente isostático de la configuración óptima de una celosía sometida a un estado de carga constante, ha generado con posterioridad numerosas polémicas analizando la posible extensión de este resultado a otros tipos de tipologías estructurales, estados de carga, y criterios de optimización. Luego Maxwell en 1890 realiza la primera gran aportación a la construcción de una teoría de diseño óptimo estructural. En su investigación demuestra un importante teorema relativo a estructuras articuladas bajo un solo estado de carga, relacionando las longitudes de las barras con las máximas tensiones de tracción y compresión permitidas en cada una. En 1904 Michell presenta una contribución revolucionaria a las técnicas de diseño óptimo estructural. Su teoría, a partir de las realizaciones de Maxwell, desarrolla una poderosa metodología aplicable a estructuras articuladas bidimensionales sometidas a un único estado de carga, que permite hallar la configuración de mínimo peso con restricciones en los valores máximos admisibles de las tensiones en las barras, y óptima por tanto en este sentido. Los principios que inspiran la moderna concepción del diseño óptimo fueron formulados en el periodo 1955-1960, y se deben fundamentalmente a Klein, Pearson y Schmit. Klein es el primero en plantear el problema general de optimización estructural como un problema estándar de programación no lineal, es decir, en términos de la minoración de una función objetivo (peso estructural, costo económico, etc.) de las variables de diseño que determinan las propiedades geométricas y resistentes de la estructura, considerando restricciones de tipo.

(18) CAPÍTULO 1. 9. genérico expresadas como inecuaciones en función de las mismas variables, o de variables dependientes de las mismas. Pearson, aunque analizando problemas de diseño óptimo en condiciones de colapso plástico, complementa en numerosos aspectos las nuevas ideas de Klein. Sus estudios se centran fundamentalmente en la transformación de problemas con restricciones en desigualdad a problemas equivalentes de optimización no restringida, y en la realización de cambios de variable ingeniosos que permitan la reducción de la dimensión del problema original; él es el precursor de la integración de las técnicas de análisis estructural y los métodos de optimización en un esquema coherente de diseño. Finalmente Schmit introduce por primera vez la idea de ensamblar métodos de cálculo de gran potencia y generalidad, como el Método de los Elementos Finitos, con técnicas de programación no lineal, con objeto de crear sistemas avanzados de diseño óptimo con un rango de aplicación muy extenso. A partir 1960 se llevó a cabo un gran esfuerzo, por parte de diferentes grupos de investigadores, para crear algoritmos que respondieran a las nuevas exigencias a que conducían los problemas no lineales, entre los que se incluían condiciones de tipo tensional y de deformaciones y la función objetivo más empleada seguía siendo la de peso mínimo. Es en este momento cuando comienza a desarrollarse la optimización estructural como rama particular de la optimización matemática con un esquema de aplicación coherente y fácilmente definible.. 1.2.1.. Desarrollo de investigaciones de optimización estructural en nuestro. país (Cuba) La optimización estructural en Cuba empezó a estilarse de una forma “instintiva” desde que se comenzaron a emplear métodos de diseño estructural sobre bases científicas. Esto se observa en la introducción del Método de los estados Límites en hormigón Armado, implantados en Cuba por el profesor Pimpo Hernández, luego el profesor Francisco Medina en 1966 brinda el primer curso completo sobre Cálculo de Hormigón Armado. El primer trabajo con bases científicas fue el de Rivero, 1973 donde se esboza una estudio sencillo, pero con una fuerte base teórica, de la programación lineal del diseño óptimo de una losa de hormigón armado. A finales de los años ‘70 y principios de los ‘80 surgen una serie de trabajos que aunque tuvieron sus limitaciones marcan el inicio del desarrollo de la optimización en Cuba. “A finales de los ‘80 en Cuba se pueden señalar algunos trabajos que tratan el tema de optimización estructural sobre.

(19) CAPÍTULO 1. 10. bases “científicas”: unos se basan en rastreo de variables, otros en el uso de la programación lineal y otro método de solución de los problemas de optimización. Se debe reconocer como los primeros pero se debe analizar sus limitaciones.” (Negrín A. , Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a flexo-compresión., 1988) En otra serie de trabajos sobre optimización de elementos de hormigón armado a flexión, se hace la formulación matemática pero no se tiene en cuenta una restricción importantísima, y que decide el problema como es el caso de chequeo de fisuración. Aquí se analizan los trabajos: (Torres, 1978) y (Vázquez & Eguiguren, 1979). Todos los antecedentes de la aplicación de la optimización estructural en Cuba y la formulación y solución del problema en columnas de hormigón armado se encuentran totalmente definidos en Negrín, “Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a flexo-compresión”, donde se hace una amplia consulta de referencias bibliográfica sobre la optimización estructural en general, (fundamentalmente de Cuba, Perú, Brasil y México porque en esa fecha estaba algo limitado el tema en el resto del continente). Como resultado se obtienen las expresiones para obtener las variables óptimas de una columna de hormigón armado y se demuestra que el algoritmo de solución basado en la Teoría de Diseño de Experimentos es ideal para optimizar estructuras de hormigón.. 1.2.2.. Desarrollo de investigaciones de optimización de estructuras en el. Departamento de Ingeniería Civil de la UCLV El primer antecedente que se tiene sobre optimización estructural en el antiguo Departamento de Estructura de la UCLV es el Trabajo de Diploma de Torres, 1978 sobre “Cálculo de secciones económicas en vigas rectangulares”. Luego en Vázquez & Eguiguren, 1979 Trabajo Diploma sobre “Optimización de secciones en vigas rectangulares” se perfecciona un poco las limitaciones de Torres pero adolece todavía de una forma matemática no completa. En referencia a la literatura de aquel entonces se puede decir que sobre el tema de optimización faltaba información, pero los textos básicos de hormigón armado reconocían la importancia de la temática de optimización y se estimulaba a la investigación del tema. Se definía, y hasta cierto punto se enjuiciaba, el criterio de cuantía económica como el 60-70% de la cuantía tope. 1.. En el trabajo de diploma Broche & Benítez, 1985 “Optimización de cimientos y columnas de. naves industriales con cubierta pesada” se hace un intento de buscar una solución racional para el proyecto de naves industriales, pero esto no se puede considerar un verdadero trabajo de.

(20) CAPÍTULO 1. 11. optimización, fue un análisis de variantes y la aplicación de métodos racionales de diseño de columnas y cimentaciones, desarrollados por los profesores JJ Hernández y G. Quevedo. 2.. Los aportes de los profesores JJ Hernández y G. Quevedo mencionados anteriormente se. pueden resumir en las referencias: (Quevedo, Lima, & Quoc, 1983) y (Hernández J. J., 1986) que son buenos antecedes para el tema de diseño racional de cimientos y columnas respectivamente. El trabajo de Hernandez R. en 1999, “Optimización de cimentaciones aisladas superficiales”, no se puede definir todavía como optimización, sino como diseño racional de cimientos, debido a que es un poco limitado en su formulación lo que invalida sus conclusiones, pero fue el primer intento de hacer la optimización de una cimentación bajo estricto régimen de optimización. Esto no fue logrado hasta la publicación del artículo en la Revista de la Construcción de la Pontífica Universidad de Chile en el año 2009, “Diseño óptimo de cimentaciones superficiales rectangulares”, investigación realizada por Chagoyén, Negrín, Cabrera, López, y Padrón, considerado un verdadero trabajo de optimización de cimientos. Según el trabajo de Negrín A. , “Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras”, del 2005 se resume completamente, y de una forma más accesible al lector medio, todo lo planteado en las referencias bibliográficas anteriormente comentadas. Luego en el año 2006 se realizó una tesis de Maestría para resumir todo lo desarrollado y publicado en el departamento de Ingeniería Civil de la UCLV, “Diseño óptimo de estructuras de Hormigón Armado”, monografía realizada por Pérez, M., sobre el tema de Optimización Estructural, que tiene gran valor metodológico y que podemos usar como documento guía para el trabajo. En la Tesis de Maestría presentada por Alejandro Negrín, “Optimización de conjuntos estructurales de edificios aporticados de Hormigón Armado” (2014), se logran resultados importantes al optimizar todos los elementos de un pórtico de hormigón armado (vigas, columnas y cimientos), dentro de las variables que influyen en el proceso de optimización de conjuntos estructurales, interviene en mayor medida la profundidad de cimentación, el peralto de las columnas, la rectangularidad de la base de la cimentación y el peralto de las vigas, y en menor medida las calidades del hormigón. A pesar de su excelente trabajo es necesario tener en cuenta que solo se analizó un pórtico de una edificación, sin tener en cuenta la variación de niveles y luces lo que afectaría en gran medida a los resultados. “Se ha demostrado que la interfase entre el SAP2000 y el MatLab (OAPI), es una excelente herramienta para darle solución al problema de optimización gracias a que esta utiliza las.

(21) CAPÍTULO 1. 12. potencialidades de los dos programas y las pone en función de obtener resultados concretos los que resultan lógicos al compararlos con los obtenidos de otras referencias bibliográficas.” (Negrin I. A., 2016). En el Trabajo Diploma presentado por Iván A. Negrín, “Optimización de conjuntos estructurales considerando los factores usualmente ignorados en la modelación, usando la OAPI Sap2000MatLab”, (2016) se pudo organizar un procedimiento general para la realización de diseño óptimo de conjuntos estructurales, siguiendo esta metodología y con ciertos consejos, un proyectista puede hacer un diseño óptimo de estructuras según la finalidad que desea obtener, pero para ello es necesario elaborar una estructura que sea susceptible de aplicarse fácilmente a otros conjuntos estructurales a optimizar. Además no se tiene en cuenta el cambio de niveles y de cantidad de luces en la estructura de diseño, lo que puede afectar grandemente los resultados obtenidos ya que de ser así se tendrían columnas trabajando solo a compresión y otras a flexión, así como también aumentarían las cargas horizontales y verticales al variar los puntales y las luces de dicha estructura. Tampoco se realizó el análisis de la interacción suelo estructura. De forma general se puede concluir que sobre Diseño Optimo de Estructuras hay bastantes investigaciones desarrolladas en Cuba, y mucho más en el resto del mundo. Pero en su mayoría las cuestiones son tratadas como optimización de elementos estructurales (columnas, vigas o cimientos) no de conjuntos, sin embargo, la realidad es que la obra óptima es la que menos cuesta en su conjunto, no la que sus elementos aislados cuesten menos, además, como cada elemento individual influye sobre el otro, es poco probable que el óptimo del conjunto sea la suma de los óptimos de los elementos individuales.. 1.3. Formulación matemática del problema de optimización El paso más importante en el proceso de optimización es la formulación matemática del problema, sólo se podrá obtener una respuesta correcta si se hace con toda la rigurosidad que se requiere, es donde el ingeniero juega el papel predominante. La cuestión, no es saber muchos métodos de optimización, aunque no deja de ser importante, sino en conocer profundamente el problema que se quiere resolver y dominar todas sus modalidades con una amplia visión de conjunto, evaluándose correctamente todas las invariantes del problema. Por ejemplo, si el problema es la optimización de una estructura formada por vigas y columnas, en la formulación matemática va implícita: la correcta elección de la función objetivo y los factores que la componen (sin olvidar ninguno), la elección de las variables, las ecuaciones de diseño (a.

(22) CAPÍTULO 1. 13. flexo-compresión, flexión y cortante), los criterios de deformación y fisuración y la forma de calcularse, las restricciones que provienen de las especificaciones, las restricciones arquitectónicas, los requerimientos de fabricación, etc., y para cada uno de estos factores no olvidar ningún detalle por mínimo que sea. Con este ejemplo se podrá notar que para hacer una correcta formulación del problema es mucha la información que se necesita y muchas las cuestiones a tener en cuenta, por tal razón, el grado de preparación del ingeniero y su experiencia son vitales para enfrentar una tarea de este tipo, claro, el hecho de conocer la problemática en toda su extensión facilita un adecuado enfoque del problema. Para ir conociendo esta problemática en detalles, comencemos formulando varios conceptos que darán. más. luz. sobre. lo. que. se. quiere. ilustrar.. Se puede definir el problema de la optimización como: 𝑍 = 𝑓(𝑥) 𝑚𝑖𝑛. (1.1). 𝑔(𝑥) = 0; ℎ(𝑥) ≤ 0. (1.2). La expresión 1.1 es la “función objetivo” y es a la cual hay que hallarle un mínimo o un máximo según el criterio de optimización a utilizar: gasto total mínimo, mínimo gasto de acero, peso mínimo, mínimo gasto de hormigón, mínimo espacio funcional útil, etc. Las expresiones 1.2 son el conjunto de restricciones en correspondencia con las exigencias de gasto mínimo de material, de seguridad y de todas las demás que deben cumplir los parámetros de los elementos y que dependen de xi. Las funciones f(), g() y h() pueden ser funciones lineales y/o no lineales.. 1.3.1.. Objetivo de la optimización. La Optimización matemática es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles. En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función.

(23) CAPÍTULO 1. 14. objetivo, dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios. Es decir que el problema de optimización radica en, según el tipo de elemento a construir y teniendo en cuenta las cargas que se aplican, alcanzar la mejor solución que compense todos los requerimientos (fisuración, deformación, estabilidad, entre otros.) y que evalúe fielmente las exigencias de economía, durabilidad, seguridad, factores arquitectónicos y constructivos. Se puede apreciar entonces que la optimización de estructuras no es una “investigación a ciegas” entre disímiles variedades de solución de un propósito dado, sino un complicado problema en el que intervienen una inmensidad de componentes que trasgreden en la correcta solución del problema y que para alcanzarlo es necesario una sólida base científica. Para ello se hace imprescindible formular matemáticamente el problema que, como se mencionó anteriormente, es el paso más importante del proceso investigativo.. 1.3.2.. Criterios de optimización. Existen diferentes criterios de optimización, entre los que podemos mencionar: (Negrín & Negrín M., Fundamentos del diseño óptimo de estructuras. Primera parte., 2009) . Mínimo costo de transportación y montaje: Logra que la obra se ejecute lo más cerca posible. de la fuente de materia prima en el caso del transporte y en el caso del montaje logra una eficiente planificación de los equipos. . Mínimo peso: Debe lograrse un diseño cuya estructura sea la más aligerada posible. Este. criterio se usa generalmente en la aviación. . Mínimo costo total: Es el más usado en nuestra esfera y su esencia estriba en las exigencias. de economía a partir de la cual se debe lograr el valor mínimo de la suma de todos los gastos para la construcción de una estructura. . Mínimo gasto de armaduras: Este criterio tiene su mayor aplicación en lugares donde. escasea el acero. . Mínimo gasto de hormigón: Este aspecto se debe tener en cuenta en los lugares donde los. recursos para su elaboración no abunden. . Mínimo espacio funcional útil: Este criterio encuentra su mayor uso en los proyectos. arquitectónicos ya que aquí se trata de optimizar el espacio tomado como función objetivo, el área del local e imponiendo diferentes restricciones . Mínimo gasto de encofrado: Este criterio se lleva a cabo en lugares donde no existan los. recursos maderables necesarios para llevar a cabo una construcción que los requiera..

(24) CAPÍTULO 1. 1.3.3.. 15. Formulación matemática del problema. Definición. La formulación consiste en pasar la información verbal del problema a lenguaje matemático. Para la formulación matemática del problema, además de identificar y comprender las ecuaciones a utilizar, es muy importante que las dimensiones y el significado físico de cada término de las mismas, sean congruentes, así como el resultado de las estas debe acercarse a la realidad.. 1.3.3.1.. Función Objetivo. La función objetivo, es quien evalúa cuantitativamente el funcionamiento del sistema en un proceso de optimización, que no es más que buscar una máximo o mínimo de esta, y es la base para elegir dentro de una gama de diseños aceptables. “A causa de la versatilidad de la función objetivo para adaptarse al problema propuesto, ésta puede ser continua, discreta o mezclada en aquellos casos, donde entre ciertos intervalos, se define como discreta y en otros como continua. Además de esto, la convexidad de la función objetivo determina la existencia de un único punto óptimo o caso contrario, la existencia de múltiples puntos óptimos.” (Cujia Meza, 2010) En un problema dado de diseño óptimo de una viga rectangular en flexión se puede plantear como función objetivo: 𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶ℎ𝑔 + 𝐶𝑎𝑝 + 𝐶𝑒 + 𝐶𝑎𝑐 + 𝐶𝑚 + 𝐶𝑖 Donde:. 𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. Costo Total. 𝐶ℎ𝑔. Costo del Hormigón. 𝐶𝑎𝑝. Costo de armadura principal. 𝐶𝑒. Costo de encofrado. 𝐶𝑎𝑐. Costo de aceros de los cercos. 𝐶𝑚. Costo de montaje. 𝐶𝑖. Costo de izaje. (1.3).

(25) CAPÍTULO 1. 16. Como se puede apreciar, la función objetivo (1.3) es extremadamente compleja y muy difícil de obtener. En la actualidad la mayoría de los autores la enfocan de una forma aproximada y más sencilla: 𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶ℎ𝑔 + 𝐶𝑎𝑝 + 𝜑𝐶ℎ𝑔 + 𝜑𝐶𝑎𝑝. (1.4). Donde φ es un coeficiente que pone el costo de los otros factores en función de los costos del hormigón o del acero. Pero esto es sólo una aproximación para la cual hay que suponer y prefijar muchos valores, incluso muchos autores solamente realizan la optimización con el costo del hormigón más el costo del acero, obteniendo con ello resultados muy aproximados, pero valederos.. 1.3.3.2.. Restricciones. En matemáticas, la restricción de una función es otra función definida en un subconjunto del dominio de la primera, y que toma los mismos valores para esos elementos. La función original es a su vez una extensión de la primera. La restricción de una función se obtiene al reducir su dominio. Es la acción y efecto de ceñir, circunscribir, reducir a menores límites en cualquier contexto; entonces se podría decir que es una limitación, representada en un conjunto de relaciones existentes que deben satisfacerse para que el diseño sea correcto. “Las restricciones en diseño estructural son generalmente limitaciones en los esfuerzos o en los desplazamientos, pero también pueden tomar la forma de restricciones en frecuencias de vibración o probabilidad al colapso.” (Cujia Meza, 2010) Como ejemplo de restricciones en el diseño a flexión y/o flexo-compresión tenemos:. M u  M n. ;.  fis   . ;.   . Es decir, el cumplimiento de los estados límites. Aunque es bueno señalar que a veces estos en un problema son ecuaciones de estado y no restricciones. Otras restricciones del problema -. h  hmin. -.    balanceada. (para no usar refuerzo en compresión) (para lograr diseños útiles).

(26) CAPÍTULO 1. -. H. 1000. 17. En columnas y tímpanos.. -. h  1.5b. Peralto mínimo. -. h  4b. Peralto máximo.. -.   20%  límite. (depende de la norma del país). “De la cuidadosa elección de las restricciones en un problema dado depende en gran medida toda la formulación matemática, la correcta solución del problema y lo más importante: que los resultados sean valederos.” (Negrín A. , Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras, 2005). 1.3.3.3.. Variables. Los parámetros que están presentes en la función objetivo representan las variables del problema, los cuales pueden tomar diferentes valores en el proceso de optimización, para un ´ f f A A problema de costo mínimo en vigas puede ser: b , h , c , y , s , s. De forma general se pueden plantear como. x1; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6. ó. ´. x1 ,......,x 6. Estos parámetros variables se dividen en: 1.- Parámetros variables externos: Son aquellas variables que no dependen de otras o sea que se fijan antes de comenzar el problema.. x1 ,................, xn. En nuestro caso: b , h. 2.- Parámetros variables internos: Son aquellas variables que dependen de las variables externas, denotadas de la siguiente forma:. xn1 ,................, x1. En nuestro caso:. As As ´ ,. “El número de parámetros variables internos ( m ) se determina por m  1  n , es decir ecuaciones de estado.” (Negrín & Negrín M., Fundamentos del diseño óptimo de estructuras. Primera parte., 2009) “De la formulación general del problema de optimización, se nota que la función objetivo depende directamente de los parámetros variables que entran en el proceso. Estas variables son.

(27) CAPÍTULO 1. 18. parámetros que dependen de varios factores, que tienen dependencias entre sí y que, además, sufren restricciones por varias exigencias.” (Negrín M, 2014). La mayor parte de los trabajos en el diseño óptimo, se concentran en la determinación del tamaño de los elementos, ya que es la variable más simple y también debido a que en la práctica los elementos que nos brinda la industria común tienen geometría y materiales fijos. Entonces se podría decir que la resolución de un problema de optimización se trata de encontrar los valores de las variables para hacer óptima la función objetivo cumpliendo con el conjunto de restricciones. La representación gráfica de esta definición se observa en la Figura 1.1. Figura 1.1 : Espacio de Diseño de un Problema de Optimización. 1.4.. Métodos de solución del problema de optimización. Entre los métodos que se pueden utilizar para solucionar el problema de optimización se encuentran: métodos de multiplicadores de Lagrange, programación lineal, programación no lineal, programación dinámica, método de Monte Carlo, métodos de matriz de fuerza, métodos heurísticos, etcétera. En general los métodos de optimización se pueden clasificar en:.

(28) CAPÍTULO 1. . Métodos Analíticos: Uso del cálculo diferencial. . Métodos Numéricos: Algoritmos. . Otros: Métodos gráficos, métodos experimentales, estudio de casos.. 19. Estos métodos también pueden ser clasificados en dos grandes grupos: . Métodos Clásicos:. Si se habla de métodos clásicos, se podría entender la idea de antigüedad entre otras cosas, ya que la palabra clásicos posee muchas formas de interpretación, cabe destacar que un método de optimización clásico es aquel que usa las derivadas de la función (gradientes). Los métodos con derivadas se basan en. tres algoritmos fundamentales: pendiente máxima. (steepest descent), el método de Newton (Newton’s method) y el método LevenbergMarqueuart. Sin embargo no son los únicos métodos y algoritmos, pero todos los demás resultan de mejoras y combinaciones de estos de los que se pueden enumerar los siguientes: . Programación Lineal. . Programación Lineal Mixta. . Programación no Lineal. . Programación no Lineal con Variables Enteras Mixtas. . Descenso de la Pendiente Máxima. . Método de Newton. . Métodos Heurísticos:. Un método heurístico es aquel que no utiliza la metodología común y rigurosa para obtener un resultado. De manera general estos métodos dan un resultado aceptable en tiempo aceptable, además de su aplicabilidad cuando se presenta una función objetivo con múltiples puntos óptimos o cuando estas funciones están compuestas por intervalos continuos y discretos. Su manera de buscar soluciones se fundamenta en el uso de conceptos intuitivos basados en sistemas naturales, como por ejemplo la evolución. El solo hecho de no usar derivadas, que en ciertos casos pueden ser tediosas o aun casi imposibles de obtener, le da a estos métodos una flexibilidad, y una gran. extensión. de. aplicabilidad cuando las condiciones del modelo son complejas, resultado de la manera de encontrar la solución de dichos métodos es a través de la iteración. Dentro de estos métodos se pueden mencionar:.

(29) CAPÍTULO 1. . Algoritmos Genéticos. . Recocido Simulado. . Búsqueda Aleatoria (Nelder Mead). . Optimización por Enjambres de Partículas. . Stochastic Hillclimbing. 20. Debido a que luego de la inclusión de aspectos no tratados en trabajos previos a este, (llevar de área de cálculo a área real, aumento de niveles, realizar el corte de barras, entre otros) la función objetivo se convierte en una función no convexa para la cual no es eficiente utilizar los métodos clásicos; por tanto en la realización de este trabajo diploma se decidió utilizar los métodos heurísticos, ya que estos son muy útiles para funciones no convexas, que como se explicó anteriormente se basan en la búsqueda aleatoria. Con el objetivo de justificar esta decisión se realizó un análisis mediante la función “fmincon” (función de optimización utilizada en Negrín I. A., 2016), de esto se pudo concluir que mediante este método se encuentra una solución rápidamente pero no es la solución óptima, ni siquiera está cerca, porque este tipo de funciones complejas deben ser optimizadas, como se ha explicado con anterioridad, con métodos heurísticos. Por otra parte mediante estos métodos se obtuvo una buena respuesta a la solución del problema, primero con algoritmos genéticos, el que hace una búsqueda exhaustiva al introducirle una población inicial, con el objetivo de reducir el tiempo de computo, ya que ayuda a la convergencia a la solución al reducirle el número de individuos por población, concentrándolo en la zona donde supuestamente se encuentra la solución óptima, basándose en los resultados de optimización de estudios realizados previamente a este trabajo. Sucede que Algoritmos Genéticos no logra encontrar el óptimo global de la función aunque sí encuentra un punto muy cercano a este, por esto se realiza otra optimización, esta vez mediante el método Nelder Mead, utilizando la función “fminsearch” el que comienza en el punto encontrado por algoritmos genéticos y así logra alcanzar el óptimo global de la función objetivo.. 1.4.1.. Algoritmos genéticos.. Un algoritmo genético es un método de búsqueda que imita la teoría de la evolución biológica de Darwin para la resolución de problemas. Para ello, se parte de una población inicial de la cual se seleccionan los individuos más capacitados para luego reproducirlos y mutarlos y así finalmente obtener la siguiente generación de individuos que estarán más adaptados que la anterior generación..

(30) CAPÍTULO 1. 21. Para el estudio de los algoritmos genéticos hay que tener en cuenta una serie de parámetros: . Tamaño de la Población. Este parámetro nos indica el número de cromosomas que tenemos en nuestra población para una generación determinada. En caso de que esta medida sea insuficiente, el algoritmo genético tiene pocas posibilidades de realizar reproducciones con lo que se realizaría una búsqueda de soluciones escasa y poco óptima. Por otro lado si la población es excesiva, el algoritmo genético será excesivamente lento. De hecho estudios revelan que hay un límite a partir del cual es ineficiente elevar el tamaño de la población puesto que no se consigue una mayor velocidad en la resolución del problema. . Probabilidad de Cruce. Indica la frecuencia con la que se producen cruces entre los cromosomas padre es decir, que haya probabilidad de reproducción entre ellos. En caso de que no exista probabilidad de reproducción, los hijos serán copias exactas se los padres. En caso de haberla, los hijos tendrán partes de los cromosomas de los padres. Si la probabilidad de cruce es del 100% el hijo se crea totalmente por cruce, no por partes. . Probabilidad de Mutación. Nos indica la frecuencia con la que los genes de un cromosoma son mutados. Si no hay mutación, los descendientes son los mismos que había tras la reproducción. En caso de que haya mutaciones, parte del cromosoma descendiente es modificado y si la probabilidad de mutación es del 100%, la totalidad del cromosoma se cambia. En este caso, no se cambian simplemente unos bits del cromosoma sino que se cambian todos, lo que significa que se produce una inversión en el cromosoma y no una mutación por lo que la población degenera muy rápidamente. Es necesario hacer una selección con los individuos más capacitados para que éstos sean los que se reproduzcan con más probabilidad de acuerdo con la teoría de Darwin en la cual los más capacitados son los que deben sobrevivir y crear una nueva descendencia más facultada. Una clara ventaja es que los algoritmos operan de forma simultánea con varias soluciones, en vez de trabajar de forma secuencial como las técnicas tradicionales. Esto significa que mientras técnicas tradicionales sólo pueden explorar el espacio de soluciones hacia una solución en una dirección al mismo tiempo, y si la solución que descubren resulta subóptima, no se puede hacer otra cosa que abandonar todo el trabajo hecho y empezar de nuevo. Sin embargo, los algoritmos.

(31) CAPÍTULO 1. 22. genéticos simplemente desechan esta solución subóptima y siguen por otros caminos. Debido a su habilidad para manipular muchos parámetros simultáneamente resulta interesante en caso de tener varios objetivos a resolver.. 1.4.2.. Nelder & Mead. Entre los métodos que prescinden de la regularidad del modelo a optimizar se encuentran las técnicas más modernas basadas en paradigmas naturales y comportamentales los que son viables gracias a la potencia de computación disponible hoy día. Dentro de un enfoque todavía clásico, se puede citar el método simplex secuencial adaptativo, Nelder & Mead. Este método utiliza el concepto de simplex, el cual es un politipo de N+1 vértices en. N. dimensiones, el concepto es simple, la idea es variar el punto más alto del simplex por uno más bajo, si este proceso resulta exitoso el simplex se agrandará y si no este se achicará. Así en dos dimensiones, el simplex es un triángulo y en tres dimensiones es un tetraedro. La idea básica en este método es la de comparar el valor de la función objetivo en los n + 1 vértices del simplex, y mover el mismo gradualmente rumbo al punto de óptimo a través de un proceso iterativo, efectuando operaciones sobre el simplex original como contracción, expansión y reflexión. Las expresiones para generar un simplex n dimensional son: 𝑛. 𝑋𝑖 = 𝑋0 + 𝑝𝑢𝑖 + ∑ 𝑞𝑢𝑗 𝑗≠𝑖. 𝑝=. 𝑎 (√𝑛 𝑛√2. + 1 + 𝑛 − 1). 𝑞=. 𝑎 (√𝑛 𝑛√2. + 1 − 1). Donde X0 = punto inicial, a = el tamaño del simplex, ui, {i = 1,...,n} = son los vectores de los ejes independientes El simplex se adapta al entorno de la función objetivo como una ameba y de esta forma encuentra un mínimo local cercano. El paso simple consiste en reemplazar el peor punto con un punto que se refleja a través del centro de gravedad de los puntos de N restantes. Si este punto resulta mejor que el mejor punto actual, entonces se puede tratar de estirar de forma exponencial a lo largo de esta línea. Mientras que si este nuevo punto no es mucho mejor que.

(32) CAPÍTULO 1. 23. el valor anterior, entonces se intensificará a través de un valle, por lo que se reducirá el simplex hacia un punto mejor. . Reflexión. Si 𝑋ℎ es el vértice correspondiendo al valor más elevado de la función objetivo entre los vértices del simplex, se puede esperar que el punto 𝑋𝑟 obtenido a través de la reflexión del punto 𝑋ℎ en hiperplano representado por los demás n puntos asuma un valor más pequeño. Si este es el caso, se puede obtener un nuevo simplex a partir del anterior, rechazando el punto 𝑋ℎ e incorporando el nuevo punto 𝑋𝑟 . La expresión matemática de la reflexión es Siendo que. ‖𝑋 −𝑋 ‖. 𝑎 = ‖𝑋𝑟 −𝑋0 ‖ ℎ. 0. 𝑋𝑟 = (1 + 𝑎) ∗ 𝑋0 − 𝑎𝑋ℎ. 1. 𝑋0 = 𝑛 ∑𝑛+1 𝑖≠ℎ 𝑋𝑖. Si ahora f(𝑋𝑙 ) < f(𝑋𝑟 ) < f(𝑋ℎ ) entonces 𝑋ℎ es substituido por 𝑋𝑟 y se pasa al nuevo simplex. . Expansión. Si el proceso de reflexión proporciona un punto tal que f(𝑋𝑙 ) < f(𝑋𝑟 ) se calcula 𝑋𝑒 = 𝛾𝑋𝑟 + (1 − 𝛾)𝑋0 Donde 𝛾 es un coeficiente de expansión tal que. ‖𝑋 −𝑋 ‖. 𝛾 = ‖𝑋𝑒 −𝑋0 ‖ > 1 𝑟. 0. Si en el proceso de expansión ocurre que f(𝑋𝑒 ) < f(𝑋𝑙 ) entonces 𝑋ℎ se substituye por 𝑋𝑒 ) y se prosigue con el nuevo simplex. Si por otro lado f(𝑋𝑒 ) > f(𝑋𝑙 ) entonces el proceso de expansión no llevó a buen puerto, y se substituye 𝑋ℎ por 𝑋𝑟 continuando el proceso. . Contracción. Si el proceso de reflexión proporciona un punto 𝑋𝑙 para el que se verifica f(𝑋𝑟 ) > f(𝑋𝑖 ) para todo i ≠ h siendo f(𝑋𝑟 ) < f(𝑋ℎ ), se sustituye el punto 𝑋ℎ por el punto 𝑋𝑟 . Así el nuevo punto será 𝑋𝑟 . En este caso se contrae el simplex así de contracción y se define como. 𝑋𝑐 = 𝛽𝑋ℎ + (1 − 𝛽)𝑋0 , donde 0 ≤ 𝛽 ≤1 es el coeficiente ‖𝑋 −𝑋 ‖. 𝛽 = ‖𝑋𝑒 −𝑋0 ‖ . ℎ. 0. Si f(𝑋𝑟 ) > f(𝑋ℎ ) se utiliza nuevamente la ecuación de contracción sin cambiar el punto 𝑋ℎ . Si la contracción produce un punto 𝑋𝑐 para el que se verifica f(𝑋𝑐 ) < mín(f(𝑋ℎ ),f(𝑋𝑟 )), se sustituye el punto 𝑋ℎ por 𝑋𝑐 y se prosigue con las operaciones de reflexión. Si de otro modo ocurre que f(𝑋𝑐 ).

(33) CAPÍTULO 1. 24. ≥ mín(f(𝑋ℎ ),f(𝑋𝑟 )) el proceso de contracción fue un fracaso substituyendo 𝑋𝑖 por (𝑋𝑖 +𝑋𝑙 )/2 volviendo al proceso de reflexión. Se puede observar en la figura 1.2 las operaciones básicas de este método, para lograr un mayor entendimiento de lo antes expuesto.. Figura 1.2 : Operaciones básicas en el método downhill simplex. 1.5. Factores usualmente ignorados en la modelación y su influencia Este tema está muy bien tratado en (Chagoyén, José, Pérez León, Mena Rojas, & Vera Martin, 2010). “Influencia de distintos factores en la modelación, análisis y diseño automatizado de estructuras de hormigón”. Fue un trabajo presentado en el IX Simposio Internacional de Estructuras, Geotecnia y materiales de construcción. “El proceso de análisis, modelación y diseño de estructuras de hormigón armado de relativa importancia se encuentra afectado por múltiples factores, algunos de los cuales son de carácter aleatorio y se toman en cuenta por los métodos para evaluar la seguridad durante el diseño, otros.

(34) CAPÍTULO 1. 25. sin embargo, como la variación de la rigidez por la fisuración, la influencia del comportamiento no lineal de las estructuras, la influencia de la interacción suelo-estructura aunque sea de forma sencilla y otros, resultan difíciles de cuantificar y modelar y matizan todo el proceso: tanto la respuesta del análisis en fuerzas y desplazamientos, como los resultados de diseño. En muchos casos, la influencia de estos factores no se toma en cuenta por estudiantes o proyectistas, aún en obras de relativa importancia, pensando que el solo empleo de programas profesionales garantiza resultados “suficientemente exactos” en el diseño.” (Chagoyén, José, Pérez León, Mena Rojas, & Vera Martin, 2010) “…es evidente la gran influencia que tiene el considerar en el análisis la influencia de la fisuración en las vigas y las columnas, así como el comportamiento no lineal de la estructura y la interacción suelo – estructura en la cimentación. (…) el considerar dichos factores hace que los momentos en el extremo de las columnas aumenten casi en un 40%. (En este caso nos referimos al momento en la parte superior de las columnas que coincide con el momento negativo de la viga). También se puede ver que este incremento no ocurre del mismo modo en el extremo inferior de las columnas, es decir el momento utilizado en el diseño de los cimientos, ya que sólo aumenta un 2%”. (Negrín M, 2014) “Al comparar los resultados del análisis de dos estructuras similares en los que solo se han cambiado las rigideces de algunas vigas o columnas, se observa que los resultados son poco sensibles a alteraciones en los momentos de inercia de los elementos. Esto justifica la práctica de aumentar la sección de algún elemento, cuando en la etapa de diseño se revela inadecuada o insuficiente, sin rehacer el análisis. Más aun, permite analizar una estruc tura de concreto armado considerando a los elementos como si se trataran de homogéneos, de eje recto y de sección constante. Estrictamente, habría que considerar las propiedades de las secciones agrietadas (lo que implica un análisis no lineal). En la práctica se consideran las inercias de las secciones brutas. Al realizar análisis sísmicos es frecuente reducir las inercias de las vigas por un factor del orden de 70% u 80%, no así las de las columnas que, por la compresión a que están sometidas tienen menos agrietamiento.” (Chagoyén, José, Pérez León, Mena Rojas, & Vera Martin, 2010)..