Polinomios. Fracciones Algebraicas 1

Polinomios. Fracciones Algebraicas

1^◦Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

Índice

1 Introducción Definiciones

Suma, resta y multiplicación de polinomios División de polinomios

2 Teoremas

Teroema del resto Teorema del factor

3 Factorización

Raíces de un polinomio Factorización de polinomios M.C.M. y M.C.D.

4 Fracciones algebraicas Introducción

Operaciones con fracciones algebraicas Descomposición en suma de frac. simples

5 Binomio de Newton Potencia de un polinomio Números combinatorios Binomio de Newton

6 Problemas Propuestos

7 ¡No me cuentes historias!

Francisco Vieta y Francis Galton

8 Complementos

El método de inducción completa

9 Bibliografía

10 Créditos

Introducción

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1| Introdu ión

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llama grado de un polinomio al grado del monomio de mayor grado Se llamatérmino independientede un polinomio al monomio de grado cero

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llama grado de un polinomio al grado del monomio de mayor grado Se llamatérmino independientede un polinomio al monomio de grado cero

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰ P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Dos polinomios sonidénticoscuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales.

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llama grado de un polinomio al grado del monomio de mayor grado Se llamatérmino independientede un polinomio al monomio de grado cero

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰ P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Dos polinomios sonidénticoscuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales.

Se llamavalor númericode un polinomio P(x) para un valor x = a, y escribimosP(a), al número que resulta de sustituir la x por a y operar.

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llama grado de un polinomio al grado del monomio de mayor grado Se llamatérmino independientede un polinomio al monomio de grado cero

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰ P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Dos polinomios sonidénticoscuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales.

Se llamavalor númericode un polinomio P(x) para un valor x = a, y escribimosP(a), al número que resulta de sustituir la x por a y operar.

Por ejemplo, el valor numérico de P(x) = 4x⁴− x³+ 3x²−5 para x = 1 es P(1) = 4 ·1⁴−1³+ 3 ·1²−5 =1

Introducción Definiciones

Definiciones

Se llamapolinomioen la indeterminada x, y lo representamos porP(x), a una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada.

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llamatérminode un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman

P(x) = 4 x ⁴ − x ³ + 3 x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llamagradode un polinomio al grado del monomio de mayor grado

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo forman Se llama grado de un polinomio al grado del monomio de mayor grado Se llamatérmino independientede un polinomio al monomio de grado cero

P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰ P(x) = 4x ⁴ − x

3 + 3x ² − 5 x ⁰

Dos polinomios sonidénticoscuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales.

Se llamavalor númericode un polinomio P(x) para un valor x = a, y escribimosP(a), al número que resulta de sustituir la x por a y operar.

Por ejemplo, el valor numérico de P(x) = 4x⁴− x³+ 3x²−5 para x = 1 es P(1) = 4 ·1⁴−1³+ 3 ·1²−5 =1

y para x = −1

P(−1) = 4 ·(−1)⁴−(−1)³+ 3 ·(−1)²−5 =3

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2 P(x) − Q(x) = (2 − 0)x⁴+ (−1 − 2)x³+ (4 − 0)x²+ (5 − (−6))x + (−6 − 8) =

2x⁴−3x³+ 4x²+ 11x − 14

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2 P(x) − Q(x) = (2 − 0)x⁴+ (−1 − 2)x³+ (4 − 0)x²+ (5 − (−6))x + (−6 − 8) =

2x⁴−3x³+ 4x²+ 11x − 14

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2 P(x) − Q(x) = (2 − 0)x⁴+ (−1 − 2)x³+ (4 − 0)x²+ (5 − (−6))x + (−6 − 8) =

2x⁴−3x³+ 4x²+ 11x − 14

Paramultiplicardos polinomios se multiplican todos los monomios del primero por cada uno de los del segundo, o viceversa, y se reducen los términos semejantes.

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2 P(x) − Q(x) = (2 − 0)x⁴+ (−1 − 2)x³+ (4 − 0)x²+ (5 − (−6))x + (−6 − 8) =

2x⁴−3x³+ 4x²+ 11x − 14

Paramultiplicardos polinomios se multiplican todos los monomios del primero por cada uno de los del segundo, o viceversa, y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) · Q(x).

Introducción Suma, resta y multiplicación de polinomios

Operaciones con Polinomios

Parasumar o restarpolinomios se suman o se restan los coeficientes de los monomios semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

P(x)+Q(x) = (2+0)x⁴+(−1+2)x³+(4+0)x²+(5−6)x +(−6+8) = 2x⁴+x³+4x²−x+2 P(x) − Q(x) = (2 − 0)x⁴+ (−1 − 2)x³+ (4 − 0)x²+ (5 − (−6))x + (−6 − 8) =

2x⁴−3x³+ 4x²+ 11x − 14

Paramultiplicardos polinomios se multiplican todos los monomios del primero por cada uno de los del segundo, o viceversa, y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Dados los polinomios P(x) = 2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6 y Q(x) = 2x³−6x + 8, hallar P(x) · Q(x).

P(x) · Q(x) = (Propiedad conmutativa) = Q(x) · P(x) =

= (2x⁴− x³+ 4x²+ 5x − 6) · (2x³−6x + 8) =

2x³·(2x⁴−x³+4x²+5x −6)+(−6x)·(2x⁴−x³+4x²+5x −6)+8·(2x⁴−x³+4x²+5x −6) =

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

−8x³−4x²+ 4x+ 7 4x

−8x³−8x²+ 4x + 7

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

El cociente obtenido lo multiplicamos por el divisor y y el resultado se lo restamos al dividendo. Obtenemos un resto parcial.

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

−8x² 2x² = −4

−8x³−4x²+ 4x+ 7 4x

−8x³−8x²+ 4x + 7

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

El cociente obtenido lo multiplicamos por el divisor y y el resultado se lo restamos al dividendo. Obtenemos un resto parcial.

Continuamos el proceso hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

−8x² 2x² = −4 4x −4

−8x³−4x²+ 4x+ 7

−8x³−8x²+ 4x + 7

−8x³+ 8x²+ 4x − 4

−8x³+ 8x²+ 8x + 3

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

El cociente obtenido lo multiplicamos por el divisor y y el resultado se lo restamos al dividendo. Obtenemos un resto parcial.

Continuamos el proceso hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

−8x² 2x² = −4 4x −4

−8x³−4x²+ 4x+ 7

−8x³−8x²+ 4x + 7

−8x³+ 8x²+ 4x − 4

−8x³+ 8x²+ 8x + 3 Fin de la división

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

El cociente obtenido lo multiplicamos por el divisor y y el resultado se lo restamos al dividendo. Obtenemos un resto parcial.

Continuamos el proceso hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

Introducción División de polinomios

División de Polinomios

Método general: Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos:

Colocamos dividendo y divisor ordenados según potencias decrecientes de x en la forma habitual de la división dejando espacios en blanco correspondiente a los términos que falten.

−8x³−4x²+ ax+ 7 2x²+ x − 1 8x³ 2x² = 4x

−8x² 2x² = −4 4x − 4

−8x³−4x²+ 4x+ 7

−8x³−8x²+ 4x + 7

−8x³+ 8x²+ 4x − 4

−8x³+ 8x²+ 8x + 3 Fin de la división

(8x³−4x²+ 7) = (4x − 4) · (2x²+ x − 1) + (8x + 3)

Hallamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

El cociente obtenido lo multiplicamos por el divisor y y el resultado se lo restamos al dividendo. Obtenemos un resto parcial.

Continuamos el proceso hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

Comprobamos el resultado con el algoritmo de la división : D(x) = C (x) · d(x) + R(x).

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

4

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

4 4

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

4 4

8

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

4 4

8 9

Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Introducción División de polinomios

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x − a), siendoaun número entero. Si queremos dividir (x³+ 1) : (x − 2), procedemos de la siguiente forma:

Colocamos, como vemos debajo, ordenados según potencias decrecientes de x los

coeficientes del dividendo, poniendo ceros en los términos que falten, y a = 2 en el cruce de las dos líneas.

2

1 0 0 1

1 2 2

4 4

8 9

El cociente es1x²+2x+4 y el resto es9 Bajamos el primer coeficiente a la posición indicada.

Multiplicamos este por a = 2 y el resultado lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Sumamos el segundo coeficiente y el producto obtenido y lo situamos debajo de la línea.

Repetimos el proceso hasta el final.

Teoremas

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2| Teoremas

Teoremas Teroema del resto

Teorema del resto

Elrestode la división de un polinomio P(x) por x − a es igual al valor numérico de dicho polinomio en x = a.

Como ejemplo, veamos que le sucede al polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 cuando lo dividimos por x + 1 y cuando lo dividimos por x − 2.

Teoremas Teroema del resto

Teorema del resto

Elrestode la división de un polinomio P(x) por x − a es igual al valor numérico de dicho polinomio en x = a.

Como ejemplo, veamos que le sucede al polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 cuando lo dividimos por x + 1 y cuando lo dividimos por x − 2.

División por x+ 1

-1

3 6 -3 -6

3 -3

3 -3 -6

6 0

P(−1) = 3 · (−1)³+ 6 · (−1)²−3 · (−1) − 6 =0

Teoremas Teroema del resto

Teorema del resto

Elrestode la división de un polinomio P(x) por x − a es igual al valor numérico de dicho polinomio en x = a.

Como ejemplo, veamos que le sucede al polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 cuando lo dividimos por x + 1 y cuando lo dividimos por x − 2.

División por x+ 1

-1

3 6 -3 -6

3 -3

3 -3 -6

6 0

P(−1) = 3 · (−1)³+ 6 · (−1)²−3 · (−1) − 6 =0

División por x −2

2

3 6 -3 -6

3 6 12

24 21

42 36

P(2) = 3 · (2)³+ 6 · (2)²−3 · (2) − 6 =36

Teoremas Teorema del factor

Teorema del factor

Un polinomio P(x) tiene comofactor x − ao esdivisible por x − asi el valor numérico de dicho polinomio es cero para x = a, es decir, P(a) = 0.

Una consecuencia de este teorema es que si P(a) = 0 entonces P(x) = C (x) · (x − a), siendo C(x) el cociente de la división P(x) : (x − a).

Teoremas Teorema del factor

Teorema del factor

Un polinomio P(x) tiene comofactor x − ao esdivisible por x − asi el valor numérico de dicho polinomio es cero para x = a, es decir, P(a) = 0.

Una consecuencia de este teorema es que si P(a) = 0 entonces P(x) = C (x) · (x − a), siendo C(x) el cociente de la división P(x) : (x − a).

En el ejemplo anterior vimos que el polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 es divisible por x + 1 pues P(−1) = 0.

-1

3 6 -3 -6

3 -3

3 -3 -6

6 0

P(−1) = 3 · (−1)³+ 6 · (−1)²−3 · (−1) − 6 =0

P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 =(3x²+ 3x − 6) · (x + 1)

Factorización

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3| Fa toriza ión

Factorización Raíces de un polinomio

Raíz de un polinomio

Un número a esraíz de un polinomioP(x) si se cumple que el valor numérico del polinomio para x= a es igual a cero, es decir, P(a) = 0.

Para hallar las raíces de un polinomio debemos resolver la ecuación P(x) = 0, teniendo en cuenta las siguientes propiedades de las raíces:

Elnúmerode raíces de un polinomio es siempre menor o igual que su grado.

Lasposiblesraíces enteras de un polinomio son los divisores de su término independiente.

Factorización Raíces de un polinomio

Raíz de un polinomio

Un número a esraíz de un polinomioP(x) si se cumple que el valor numérico del polinomio para x= a es igual a cero, es decir, P(a) = 0.

Para hallar las raíces de un polinomio debemos resolver la ecuación P(x) = 0, teniendo en cuenta las siguientes propiedades de las raíces:

Elnúmerode raíces de un polinomio es siempre menor o igual que su grado.

Lasposiblesraíces enteras de un polinomio son los divisores de su término independiente.

Las raíces del polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 son x = 1, x = −1 y x = −2. Utilizando la regla de Ruffini hallamos las posibles raíces enteras de P(x), que son los divisores de 6, es decir,

±1, ±2, ±3, ±6.

-1

3 6 -3 -6

3 -3

3 -3 -6

6

0 P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 =(3x²+ 3x − 6) · (x + 1)

Factorización Raíces de un polinomio

Raíz de un polinomio

Un número a esraíz de un polinomioP(x) si se cumple que el valor numérico del polinomio para x= a es igual a cero, es decir, P(a) = 0.

Para hallar las raíces de un polinomio debemos resolver la ecuación P(x) = 0, teniendo en cuenta las siguientes propiedades de las raíces:

Elnúmerode raíces de un polinomio es siempre menor o igual que su grado.

Lasposiblesraíces enteras de un polinomio son los divisores de su término independiente.

Las raíces del polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 son x = 1, x = −1 y x = −2. Utilizando la regla de Ruffini hallamos las posibles raíces enteras de P(x), que son los divisores de 6, es decir,

±1, ±2, ±3, ±6.

-1

3 6 -3 -6

3 -3

3 -3 -6

6 0

1 3

3 6

6 0

P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 = (3x²+ 3x − 6) · (x + 1)

P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 =(3x + 6) · (x + 1) · (x − 1)

Factorización Factorización de polinomios

Factorización de polinomio

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.

Factorización Factorización de polinomios

Factorización de polinomio

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.

Para factorizar un polinomio debemos hallar todas las raíces del mismo. Así, si el polinomio de grado n, P(x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ an−2xⁿ⁻²+ · · · + a1x+ a0tiene n raíces, xn, xn−1, xn−2,

· · ·, x1, la descomposición factorial de P(x) sería:

P(x) = an·(x − xn) · (x − xn−1) · (x − xn−2) · · · · (x − x1)

Factorización Factorización de polinomios

Factorización de polinomio

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.

Para factorizar un polinomio debemos hallar todas las raíces del mismo. Así, si el polinomio de grado n, P(x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ an−2xⁿ⁻²+ · · · + a1x+ a0tiene n raíces, xn, xn−1, xn−2,

· · ·, x1, la descomposición factorial de P(x) sería:

P(x) = an·(x − xn) · (x − xn−1) · (x − xn−2) · · · · (x − x1)

Veamos un ejemplo:Las raíces del polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 son x = 1, x = −1 y x= −2. Por tanto

P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 =3 · (x − 1) · (x + 1) · (x + 2)

Factorización Factorización de polinomios

Factorización de polinomio

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.

Para factorizar un polinomio debemos hallar todas las raíces del mismo. Así, si el polinomio de grado n, P(x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ an−2xⁿ⁻²+ · · · + a1x+ a0tiene n raíces, xn, xn−1, xn−2,

· · ·, x1, la descomposición factorial de P(x) sería:

P(x) = an·(x − xn) · (x − xn−1) · (x − xn−2) · · · · (x − x1)

Veamos un ejemplo:Las raíces del polinomio P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 son x = 1, x = −1 y x= −2. Por tanto

P(x) = 3x³+ 6x²−3x − 6 =3 · (x − 1) · (x + 1) · (x + 2)

Nota:cuando no existe el término independiente debemos sacar factor común y luego factorizar el polinomio resultante. Por ejemplo, para el polinomio P(x) = 4x⁶+ 8x⁵−3x⁴−7x³−2x² tenemos

P(x) = 4x⁶+ 8x⁵−3x⁴−7x³−2x² Factor común x²

= x²·(4x⁴+ 8x³−3x²−7x − 2)

= x²·(x − 1) · (x + 2) · (2x + 1)²

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Elmáximo común divisor, mcd, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor de todos ellos.

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Elmáximo común divisor, mcd, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor de todos ellos.

Para calcular el mcd de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes de menor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Elmáximo común divisor, mcd, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor de todos ellos.

Para calcular el mcd de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes de menor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Veamos un ejemplo: queremos calcular el mcm y el mcd de los polinomios P(x) = x³−2x²+ x, Q(x) = x⁴− x²y R(x) = x³+ x²− x −1.

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Elmáximo común divisor, mcd, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor de todos ellos.

Para calcular el mcd de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes de menor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Veamos un ejemplo: queremos calcular el mcm y el mcd de los polinomios P(x) = x³−2x²+ x, Q(x) = x⁴− x²y R(x) = x³+ x²− x −1.

Descomponemos factorialmente los polinomios

Factorización M.C.M. y M.C.D.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Elmínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes de mayor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Elmáximo común divisor, mcd, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor de todos ellos.

Para calcular el mcd de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes de menor exponente, exactamente igual que hacemos para los números.

Veamos un ejemplo: queremos calcular el mcm y el mcd de los polinomios P(x) = x³−2x²+ x, Q(x) = x⁴− x²y R(x) = x³+ x²− x −1.

Descomponemos factorialmente los polinomios P(x) = x³−2x²+ x =x(x − 1)² Q(x) = x⁴− x²=x²(x − 1)(x + 1) R(x) = x³+ x²− x −1 =(x − 1)(x + 1)²