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REFLEXIONA I RESOL
Equacions i incògnites. Sistemes d’equacions
1. Podem dir que les dues equacions següents són dues “dades diferents”? No és cert que la segona diu el mateix que la primera?
■ Representa-les gràficament i observa que es tracta de la mateixa recta.
Se trata de la misma recta.
■ Escriu un altre sistema de dues equa- cions amb dues incògnites en què la segona equació siga, en essència, igual que la primera. Interpreta’l grà- ficament.
Gráficamente son la misma recta.
x + y = 1 3x + 3y = 3 1
° 1
¢ £ x + y = 1 3x + 3y = 3
4x + 2y = 10
2x + y = 5 1
1
2x + y = 5 4x + 2y = 10
°¢
£
MÈTODE DE GAUSS
1
2. Observa les equacions següents:
■ Representa-les gràficament i observa que les dues primeres rectes determi- nen un punt (amb aquestes dues da- des es responen les dues preguntes:
x= 2, y = 1). Comprova que la terce- ra recta també passa per aquest punt.
■ Dóna una altra equació que també siga “conseqüència” de les dues pri- meres.
Per exemple:
2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Representa-la i observa que també pas- sa per x = 2, y = 1.
2 · 1.a + 3 · 2.a 8 7x – y = 13
3. Considera ara aquestes equacions:
Observa que el que diu la segona equa- ció és contradictori amb el que diu la primera.
Representa-les i observa que es tracta de dues rectes paral·leles, és a dir, no tenen solució comuna, perquè les rec-
tes no es tallen en cap punt. 2x + y = 7
2x + y = 5
1 2
1
2x + y = 5 2x + y = 7
°¢
£
7x – y = 13
x + 2y = 4 x – y = 1
2x + y = 5
1 2
(2, 1) 1
x + 2y = 4 x – y = 1
2x + y = 5
1 2
(2, 1) 1
2x + y = 5 x– y = 1 x+ 2y = 4
°§
¢§
£
■ Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que has in- ventat en l’exercici 1 i torna a representar les dues rectes.
Observa que el que diuen ambdues equacions és ara contradictori i que es re- presenten mitjançant rectes paral·leles.
Rectas paralelas:
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1. Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents els següents parells de siste- mes:
a) b)
c) d)
a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía- mos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.
x+ y – z = 11 y– z= – 4
°¢
£ z= 2
x+ y– z= 7
°¢
£
x+ y – z = 11 x+ 2y – z = 7
°¢
£ x+ y – z = 5
x+ y– z= 7 2x + 2y – z = 12
°§
¢§
£
z= 2 x+ y– z= 7
°¢
£ x+ y = 5
3x– y= 12
°¢
£
x+ y – z = 5 x+ y– z= 7
°¢
£ x+ y = 5
2x – y = 7
°¢
£
x + y = 1
3x + 3y = 0 1
° 1
¢ £ x + y = 1 3x + 3y = 0
Pàgina 33
1. Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:
a) b) c) d)
a)
1 – 2x = 3 – x 8 x = –2, y = 3 – (–2) = 5
Veamos si cumple la 2.aecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b)
Solución: x = 5 – 2l, y = 1 + l, z = l. Son tres planos que se cortan en una recta.
c)
d)
Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
2. a) Resol aquest sistema:
b) Afig-hi una tercera equació de manera que continue sent compatible.
c) Afig-hi una tercera equació de manera que siga incompatible.
d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas.
a)
Solución: x = , y = –1 3 11
3
3 – 2y = 4 + y 8 –1 = 3y 8 y = —–1 3 1 11
x = 4 + y = 4 – — = —
3 3
° §
¢ §
£ x = 3 – 2y x = 4 + y
° ¢
£ x + 2y = 3 x – y = 4
x+ 2y = 3 x– y = 4
°¢
£ z = 1
y = 1 + z = 2
x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3
° §
¢ §
£ x + y + z = 6
y – z = 1 z = 1
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
El sistema es incompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
° §
¢ §
£ x + y + z = 6 x + y + z = 0 x – z = 0
x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z y = 1 + z
° ¢
£ x + y = 6 – z
y = 1 + z
La 3.aecuación se obtiene sumando las dos primeras;
podemos prescindir de ella.
° §
¢ §
£ x + y + z = 6
y – z = 1 x + 2y = 7
° §
¢ §
£ 8 y = 1 – 2x 8 y = 3 – x
° §
¢ §
£ 2x + y = 1 3x + 2y = 4 x + y = 3
x+ y + z = 6 y– z = 1 z= 1
°§
¢§
£ x+ y + z = 6
x+ y + z = 0 x y– z = 0
°§
¢§
£ x+ y + z = 6
y– z = 1 x+ 2y+ z= 7
°§
¢§
£ 2x + y = 1
3x + 2y = 4 x+ y = 3
°§
¢§
£
b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).
c) Por ejemplo: 2x + y = 9
d) En a) 8 Son dos rectas que se cortan en ( , ).
En b) 8 La nueva recta también pasa por ( , ).
En c) 8 La nueva recta no pasa por ( , ). No existe ningún punto común a las tres rectas. Se cortan dos a dos.
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1. Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los:
a) b)
c) d)
a) Solución: x = , y =
b)
Solución: x = 3, y = –29, z = 11 c)
Soluciones: x = 3 + l, y = –29 – 19l, z = 11 + 6l, t = l
d)
Solución: x = 1, y = , z = –2 3 16
9
x = 1
–2x –2 z = —— = —
3 3
7 – x + z 16 y = ———— = —
3 9
° §
§ §
¢ §
§ §
£ 4x = 4 2x + 3z = 0 x + 3y – z = 7
° §
¢ §
£ 2x + 3z = 0
x + 3y – z = 7
4x = 4
x = 3 + t
z = 5x – 4 + t = 11 + 6t y = 7 – x – 3z = –29 – 19t
° §
¢ §
£
2x = 6 + 2t
5x – z = 4 – t x + y + 3z = 7
° §
¢ §
£
2x – 2t = 6
x + y + 3z = 7 5x – z + t = 4
x = 3
z = 5x – 4 = 11
y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29
° §
¢ §
£ 2x = 6 5x – z = 4 x + y + 3z = 7
° §
¢ §
£
2x = 6
x + y + 3z = 7 5x – z = 4
– 4 3 7
3
°
§
¢
§
£ x = —7
3
x – 5 –4 y = ——— = —
2 3
°
§
¢
§
£ 3x = 7
x – 2y = 5
2x+ 3y+ 3z = 0 x+ 3y – z = 7 4x+ 3y + 3z= 4
°§
¢§
£ 2x+ + 3z– 2t = 6
x+ y + 3z– 2t= 7 5x+ y– 3z+ t = 4
°§
¢§
£
2x+ y + 3z= 6 x+ y + 3z = 7 5x+ y– z = 4
°§
¢§
£ 3x– 2y= 7
x– 2y = 5
°¢
£
–1 3 11
3
–1 3 11
3 –1
3 11
3
2. Són escalonats aquests sistemes? Resol-los:
a) b) c) d)
a)
Solución: x = 0, y = , z = 0
b)
Soluciones: x = 2 + l, y = 5 – 3l, z = 2l
c)
Soluciones: x = 2 + l, y = l, z = 1 – 2l d)
Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2
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3. Transforma en escalonats aquests sistemes:
a) b)
c) d)
x– y + 3z = 0 3x – 2y – 5z + 7w = –32
x+ 2y – z + 3w = 18 x– 3y + z + 2w = –26
°§
§¢
§§
£ x+ y + z = 6
x– y – z = – 4 3x + y + z = 8
°§
¢§
£
x– y + 3z = – 4 x+ y + z = 2 x+ 2y – z = 6
°§
¢§
£ 2x – 3y = 21
3x + y = 4
°¢
£
z = 1 t = 3 – z = 2 y = 4 – 3z + 2t = 5 x = 5 + z – 2t = 2
° §
§ ¢
§ §
£ 2z = 2
z + t = 3 y + 3z – 2t = 4 x – z + 2t = 5
° §
§ ¢
§ §
£ z + t = 3 y + 3z – 2t = 4 2z = 2 x – z + 2t = 5
x = 2 + y
z = 3 – y – 2 – y = 1 – 2y
° ¢
£ x = 2 + y x + z = 3 – y
° ¢
£ x + y + z = 3 x – y = 2
x = 2 + —z 2
y = 7 – z – x = 5 – —3z 2
°
§
¢
§
£ 2x = 4 + z
x + y = 7 – z
° ¢
£ x + y + z = 7 2x – z = 4
1 2
y = —1 2
z = 1 – 2y = 0 x = 1 – 2y – z = 0
° §
§ ¢
§ §
£ 2y = 1 2y + z = 1 x + 2y + z = 1
° §
¢ §
£ 2y + z = 1
2y = 1
x + 2y + 2z = 1
z+ t = 3 y+ 3z – 2t = 4 2z+ 2t= 2 x+ y– z + 2t = 5
°§
§¢
§§
£ x+ y + z = 3 x– y– z= 2
°¢
£ x+ y + z = 7 2x+ y– z = 4
°¢
£ 2y + z = 1 2y+ 2z= 1 x+ 2y + 2z = 1
°§
¢§
£
a)
Solución: x = 3, y = –5 b)
Solución: x = 1, y = 2, z = –1 c)
(Podemos prescindir de la 3.a, pues es igual que la 2.a).
Soluciones: x = 1, y = 5 – l, z = l d)
Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0
° §
§ ¢
§ §
£ w = 0
57 + 9w z = ———— = 3
19
y = –32 + 14z – 7w = 10 x = y – 3z = 1
° §
§ ¢
§ §
£ x – y + 3z = 0
y – 14z + 7w = –32 19z – 9w = 57 34w = 0
(1.ª) (2.ª) (3.ª) : 2
15 · (3.a) + 19 · (4.a)
° §
§ ¢
§ §
£ x – y + 3z = 0
y – 14z + 7w = –32 38z – 18w = 114 –30z + 16w = –90
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 3 · (2.ª) (4.ª) + 2 · (2.ª)
° §
§ ¢
§ §
£ x – y + 3z = 0
y – 14z + 7w = –32 3y – 4z + 3w = 18 –2y – 2z + 2w = –26
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.a) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
° §
§ ¢
§ §
£ x – y + 3z = 0 3x – 2y – 5z + 7w = –32 x + 2y – z + 3w = 18 x – 3y + z + 2w = –26
x = 6 – z – y = 6 – z – 5 + z = 1 y = 5 – z
° ¢
£ x + y = 6 – z
y = 5 – z
° ¢
£ x + y + z = 6
y + z = 5
(1.ª) (2.ª) : (–2)
° §
¢ §
£ x + y + z = 6
–2y – 2z = –10 –2y – 2z = –10
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)
° §
¢ §
£ x + y + z = 6 x – y – z = – 4 3x + y + z = 8
° §
¢ §
£ z = –1
y = 3 + z = 2 x = –4 + y – 3z = 1
° §
¢ §
£ x – y + 3z = –4
y – z = 3 –z = 1
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 3 · (2.a)
° §
¢ §
£ x – y + 3z = –4
y – z = 3 3y – 4z = 10
(1.ª) (2.ª) : 2 (3.ª)
° §
¢ §
£ x – y + 3z = –4
2y – 2z = 6 3y – 4z = 10
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
° §
¢ §
£ x – y + 3z = –4 x + y + z = 2 x + 2y – z = 6
° §
¢ §
£ x = 3
21 – 2x y = — = –5
–3
° ¢
£ 2x – 3y = 21 11x = 33
(1.ª) 3 · (2.ª) + (1.ª)
° ¢
£ 2x – 3y = 21 3x + y = 4
Pàgina 38
1. Resol aquests sistemes d’equacions utilitzant el mètode de Gauss:
a) b) c)
a)
8 8
8 8
Solución: x = 1, y = –2, z = 3 b)
8
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
c)
8 8
8 8
Soluciones: x = –3 + 2l, y = l, z = –2 + l
2. Resol mitjançant el mètode de Gauss:
a) b) c)
a)
8 (1.ª)(2.ª) + (1.a) (100 –122 233 255) 8
(3.ª) – (1.a)
)
1 –1 2 2
–1 3 1 3
1 1 5 7
(
° §
¢ §
£ x – y + 2z = 2 –x + 3y + z = 3 x + y + 5z = 7
2x – y + w = 9 x– 2y + z = 11 5x – y + z + w = 24 5x – 2y – z + 2w = 0
°§
§¢
§§
£ 2x – y + w = 0
x– 2y + z = 0 5x – y + z + w = 0 5x – 2y – z + 2w = 0
°§
§¢
§§
£ x– y + 2z = 2
–x + 3y + z = 3 x+ y + 5z = 7
°§
¢§
£
x = –3 + 2y z = –2 + y
° ¢
£ x – 2y = –3
–y + z = –2
)
1 –2 0 –3
0 –1 1 –2
0 0 0 0
(
(1.ª) (2.ª)
(3.ª) + 5 · (2.a)
)
1 –2 0 –3 0 –1 1 –2 0 5 –5 10
(
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1.a) (3.ª) – 2 · (1.a)
)
1 –2 0 –3
–2 3 1 4
2 1 –5 4
(
° §
¢ §
£ x – 2y = –3 –2x + 3y + z = 4 2x + y – 5z = 4
)
–7 –2 0 –9 –7 –2 0 –3 5 –1 1 5
(
(1.ª) – 2 · (3.a) (2.ª) – (3.a) (3.ª)
)
3 – 4 2 1 –2 –3 1 2 5 –1 1 5
(
° §
¢ §
£ 3x – 4y + 2z = 1 –2x – 3y + z = 2 5x – y + z = 5
° §
§ ¢
§ §
£ z = 3
2 – 4z y = ——— = –2
5
x = 2 – y – z = 1
° §
¢ §
£ x + y + z = 2
5y + 4z = 2 2z = 24
)
1 1 1 2
0 5 4 2
0 0 8 24
(
(1.ª) (2.ª) · (–1) (3.ª) · 5 + (2.a) · 3
)
1 1 1 2
0 –5 – 4 –2
0 3 4 6
(
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.a) (3.ª) + 2 · (1.a)
)
1 1 1 2
3 –2 –1 4
–2 1 2 2
(
° §
¢ §
£ x + y + z = 2 3x – 2y – z = 4 –2x + y + 2z = 2
x– 2y = –3 –2x + 3y + z = 4 2x + y – 5z = 4
°§
¢§
£ 3x – 4y + 2z = 1
–2x – 3y + z = 2 5x – y + z = 5
°§
¢§
£ x+ y + z = 2
3x – 2y – z = 4 –2x + y + 2z = 2
°§
¢§
£
8
x = 2 – 2z + – = –
Soluciones: x = –7l, y = – 3l, z = 2l b)
8
8 8
8
Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0 c)
8
8 8
8
x = z = x + 18 = y = = w = 9 – 2x + y =
Solución: x = , y = , z = , w = 53 4 69
4 11
4 –3
4
53 4 11
4 x + z – 11
2 69
4 –3
4
° §
§ ¢
§ §
£ 2x – y + w = 9
x – 2y + z = 11 4x = –3 x – z = –18
)
2 –1 0 1 9
1 –2 1 0 11
4 0 0 0 –3
1 0 –1 0 –18
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (4.ª) (4.ª)
)
2 –1 0 1 9
1 –2 1 0 11
3 0 1 0 15
1 0 –1 0 –18
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – 2 · (1.a)
)
2 –1 0 1 9
1 –2 1 0 11
5 –1 1 1 24
5 –2 –1 2 0
(
° §
§ ¢
§ §
£ 2x – y + w = 9
x – 2y + z = 11 5x – y + z + w = 24 5x – 2y – z + 2w = 0
x = 0 z = 0 y = 0 w = 0
° §
§ ¢
§ §
£ 2x – y + w = 0
x – 2y + z = 0 4x = 0 x – z = 0
)
2 –1 0 1 0
1 –2 1 0 0
4 0 0 0 0
1 0 –1 0 0
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (4.ª) (4.ª)
)
2 –1 0 1 0
1 –2 1 0 0
3 0 1 0 0
1 0 –1 0 0
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – 2 · (1.a)
)
2 –1 0 1 0
1 –2 1 0 0
5 –1 1 1 0
5 –2 –1 2 0
(
° §
§ ¢
§ §
£ 2x – y + w = 0
x – 2y + z = 0 5x – y + z + w = 0 5x – 2y – z + 2w = 0
5 2 9
2
7z 2 9 2 3z
2 5 2
x = 2 – 2z + y 5 – 3z 5 3z y = ——— = — – —
2 2 2
° §
¢ §
£ x – y = 2 – 2z
2y = 5 – 3z
° ¢
£ x – y + 2z = 2
2y + 3z = 5
Pàgina 39
1. Discutix, en funció del paràmetre k, aquests sistemes d’equacions:
a) b)
a)
8 8
8
• Si k = 3, queda:
8 8
8 x = = –
z = x – 2 + y = – 2 + y = = +
Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = – l, y = 2l, z = + l
• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x = = –1
y = = = 2 +
z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +
Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 + k 2 k
2
k 2 k
2 k 2 k + 4
2 k – 4x
2 3 – k k – 3
° §
¢ §
£ x + y – z = 2 4x + 2y = k (k – 3)x = (3 – k)
–5 4 3
4
y 2 –5
4 –5 + 2y
4 3 – 2y
4
y 2 3 4 3 – 2y
4
° ¢
£ x – z = 2 – y 4x = 3 – 2y
° ¢
£ x + y – z = 2 4x + 2y = 3
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
0 0 0 0
(
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k – 3 0 0 3 – k
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.a)
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k + 1 2 0 3
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.a)
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k 1 1 1
(
° §
¢ §
£ 4x + 2y = k
x + y – z = 2 kx + y + z = 1
4x + 2y = k x+ y – z = 2 kx+ y + z = 0
°§
¢§
£ 4x + 2y = k
x+ y – z = 2 kx+ y + z = 1
°§
¢§
£
b)
8 8
8
• Si k = 3, queda:
El sistema es incompatible.
• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x =
y = =
z = x + y – 2 = + – 2 =
Solución: x = , y = , z =
2. Discutix aquests sistemes d’equacions en funció del paràmetre k:
a) b)
a)
8 8
8 (1.ª) + 2 · (3.a) (k + 3 012 10 011 8 + 2kk0 )
(2.ª) (3.ª)
)
k – 1 0 –2 8
1 1 1 0
2 0 1 k
(
(1.ª) – (2.a) (2.ª) (3.ª)
)
k 1 –1 8
1 1 1 0
2 0 1 k
(
° §
¢ §
£ kx + y – z = 8
x + y + z = 0 2x + z = k
x+ y + z = 1 y+ kz = 1 x+ 2y = k
°§
¢§
£ kx+ y – z = 8
x+ y + z = 0 2x + z = k
°§
¢§
£
k2– 5k + 8 2k – 6 k2+ k – 8
2k – 6 2 – k
k – 3
k2– 5k + 8 2k – 6 k2+ k – 8
2(k – 3) 2 – k
k – 3 k2+ k – 8
2k – 6 k – 4x
2 2 – k k – 3
° §
¢ §
£ x + y – z = 2 4x + 2y = k (k – 3)x = (2 – k)
)
4 2 0 3
1 1 –1 2
0 0 0 –1
(
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k – 3 0 0 2 – k
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.a)
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k + 1 2 0 2
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.a)
)
4 2 0 k
1 1 –1 2
k 1 1 0
(
° §
¢ §
£ 4x + 2y = k
x + y – z = 2 kx + y + z = 0
• Si k = –3, queda:
Sistema incompatible.
• Si k ? –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x =
z = k – 2x = y = –x – z =
Solución: x = , y = , z =
b)
8 8
8
• Si k = –1, queda:
Sistema incompatible.
• Si k ? –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:
z = =
y + k( )= 1 8 y = 1 – = =
x = 1 – y – z = 1 – – = =
Solución: x = , y = , z = 2 – k
1 + k 1 – k + k2
1 + k –2 + 3k – k2
1 + k
–2 + 3k – k2 1 + k 1 + k – 1 + k – k2– 2 + k
1 + k 2 – k
1 + k 1 – k + k2
1 + k
1 – k + k2 1 + k 1 + k – 2k + k2
1 + k 2k – k2
1 + k 2 – k
1 + k 2 – k 1 + k k – 2
–1 – k
° §
¢ §
£ x + y + z = 1
y + kz = 1 (–1 – k)z = k – 2
)
1 1 1 1
0 1 –1 1
0 0 0 –3
(
)
1 1 1 1
0 1 k 1
0 0 –1 – k k – 2
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.a)
)
1 1 1 1
0 1 k 1
0 1 –1 k – 1
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.a)
)
1 1 1 1
0 1 k 1
1 2 0 k
(
° §
¢ §
£ x + y + z = 1
y + kz = 1 x + 2y = k
k2– k – 16 k + 3 –k2– k + 8
k + 3 8 + 2k
k + 3 –k2– k + 8
k + 3 k2– k – 16
k + 3 8 + 2k
k + 3
° §
¢ §
£ (k + 3)x = 8 + 2k
x + y + z = 0 2x + z = k
)
0 0 0 2
1 1 1 0
2 0 1 –3
(
Pàgina 44
EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS
Resolució i interpretació geomètrica de sistemes lineals 1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:
a) b)
a) 8 8
Solución: (–2, –1)
Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).
b)
Si dividimos la 3.aecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1.aecuación es x + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
La 1.ay la 3.aecuación representan dos rectas paralelas; la 2.alas corta.
2 Troba, si existix, la solució dels sistemes següents i interpreta’ls geomètri- cament:
a) b)
Los resolvemos por el método de Gauss:
a)
8 (1.ª) – 3 · (2.ª)
(
0100 –1444 –1–1–11)
(2.ª) (3.ª) – 5 · (2.ª) (4.ª) – 2 · (2.a)
)
3 1 2
1 –1 1 5 –1 4
2 2 1
(
x+ 2y = –1 2x – y = 3 5x + y = 8
°§
¢§
£ 3x + y = 2
x– y = 1 5x – y = 4 2x + 2y = 1
°§
§¢
§§
£
x + 2y = 5 3x – y = 1 2x + 4y = 0
°§
¢§
£
° ¢
£ x = 2y = –2 y = –1
° ¢
£ –x + 2y = 0
5y = –5
)
–1 2 0 0 5 –5
0 0 0
(
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª)
)
–1 2 0 0 5 –5 1 –2 0
(
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1.a) (2/3) · (3.ª)
)
–1 2 0 2 1 –5 3/2 –3 0
(
x+ 2y = 5 3x – y = 1 2x + 4y = 0
°§
¢§
£ –x + 2y = 0
2x + y = –5 (3/2)x – 3y = 0
°§
¢§
£
PER A PRACTICAR
Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera.
Quedaría:
4y = –1 8 y =
x – y = 1 8 x = 1 + y = 1 – = Solución: ( , )
El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( , ).
b)( ) 8 ( )
De la 2.a ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.aecuación, obtenemos y = . Luego el sistema es incompatible.
El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a las tres.
3 Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:
a) b)
a)
Lo resolvemos por el método de Gauss:
( ) 8 ( ) 8
8 ( )
Solución: (1, 1, 0)
Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 1, 0).
° §
¢ §
£ x = 2 – y = 1 y = 1 z = 0
° §
¢ §
£ x + y = 2
–2y = –2 z = 0
° §
¢ §
£ x + y – z = 2 –2y + 3z = –2 z = 0
° §
¢ §
£ x + y – z = 2
–2y + 3z = –2 –2z = 0
1 1 –1 2
0 –2 3 –2
0 0 –2 0
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)
1 1 –1 2
0 –2 3 –2
0 –2 1 –2
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – (1.ª)
1 1 –1 2
2 0 1 2
1 –1 0 0
x + y – z = 2 2x + z = 2 x – y = 0
°§
¢§
£
2x + y+ z= 3 x– y + z = 1 3x+ y+ z = 4
°§
¢§
£ x+ y – z = 2
2x+ y+ z = 2 x– y+ z= 0
°§
¢§
£
–13 9
1 2 –1
0 –5 5 0 –9 13
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – 5 · (1.ª)
1 2 –1
2 –1 3
5 1 8
–1 4 3 4 –1
4 3 4
3 4 1 4 –1
4
b)
Observamos que la 3.aecuación es la suma de la 1.a y la 2.a: podemos prescin- dir de ella.
8
8
Hacemos l = .
Solución: x = – l, y = 2l, z = – + 3l
Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan en una recta que pasa por , 0, – con dirección (–1, 2, 3).
4 Resol i interpreta geomètricament aquests sistemes:
a) b)
a)
8
La 2.aecuación contradice la opuesta de la 1.a. No tiene solución.
Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan dos a dos.
b)
La 1.ay la 2.aecuación son contradictorias. No tiene solución.
Geométricamente, se trata de dos planos paralelos que son cortados por un ter- cero.
2x + y – z = 1 2x + y – z = 3 y – z = 0
°§
¢§
£
y – z = 5 – y + z = 3 x = 0
°§
¢§
£
° §
¢ §
£ x + y – z = 5 x – y + z = 3 2x = 0
2x + y – z = 1 2x + y – z = 3 y– z = 0
°§
¢§
£ x+ y – z = 5
x– y + z = 3 2x– y + z= 0
°§
¢§
£
)
1 2 3
(2
)
1 2 3
( 2 y 2 3 – y x = — 2
3 – y 1 3y z = 1 + y – x = 1 + y – — = – — + —
2 2 2
°
§
¢
§
£
° ¢
£ 2x = 3 – y x + z = 1 + y
° ¢
£ 2x + y = 3
x – y + z = 1 2x + y = 3
x – y + z = 1 3x + z = 4
°§
¢§
£
