Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
La teoría de ecuaciones lineales desempeña un importante y motivador papel en el estudio del álgebra lineal. En efecto, muchos problemas en álgebra lineal son similares a estudiar un sistema de ecuaciones lineales como, por ejemplo, encontrar el núcleo de una aplicación lineal y caracterizar el subespacio generado por un conjunto de vectores. Por tanto, las técnicas que se introducen en este capítulo se aplicarán más adelante a temas más abstractos. Además, algunos de los resultados de los temas abstractos nos darán una nueva información sobre la estructura de los sistemas de ecuaciones lineales
“concretos”.
Para mayor sencillez, suponemos que todas las ecuaciones en este capítulo se toman sobre el cuerpo real R. Observemos que los resultados y técnicas también valen para ecuaciones sobre el cuerpo complejo C o sobre cualquier cuerpo arbitrario K.
Objetivos
Unidad I. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
1.1 Definir ecuación lineal.
1.2 Definir sistema de ecuaciones lineales.
1.3 Definir y encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
1.4 Definir y resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
1.7 Definir y aplicar las operaciones elementales entre filas.
1.8 Utilizar la eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Teoría
ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación lineal sobre el cuerpo real R, es una expresión de la forma
a
1x
1+ a
2x
2+ ... + a
nx
n= b (1) donde a
i, b
i∈ R y los x
ison indeterminados (o lo que es lo mismo, incógnitas o variables). Los escalares a
ison los coeficientes de los x
irespectivamente, y b es el término constante o simplemente la constante de la ecuación. Un conjunto de valores de las incógnitas, por ejemplo
x
1= k
1, x
2= k
2, … , x
n= k
nse dice que es una solución de (1) si la proposición que se obtiene sustituyendo k
ipor x
i,
a
1k
1+ a
2k
2+ ... + a
nk
n= b
es verdadera. Se dice entonces que este conjunto de valores satisface la ecuación. Si no hay ambigüedad acerca de la posición de las incógnitas en la ecuación, notaremos esta solución simplemente por la n-upla.
u =(k
1, k
2, ... , k
n)
Las soluciones de la ecuación (1) pueden obtenerse fácilmente. Hay tres casos:
Caso (i): Uno de los coeficientes en (1) no es nulo, por ejemplo, a
1≠ 0. Podemos entonces escribir la ecuación como
a
1x
1= b – a
2x
2- ... - a
nx
nó x
1= a
1-1b - a
1-1a
2x
2- ... - a
1-1a
nx
nAl asignar valores (arbitrarios) a las incógnitas x
2, ... , x
n, obtenemos un valor de x
1; estos valores forman una solución de la ecuación. Además, cualquier solución de la ecuación puede obtenerse de esta forma. Obsérvese en particular que la ecuación lineal con una incógnita,
ax = b, con a ≠ 0 tiene como solución única x = a
-1b.
Caso (ii): Todos los coeficientes en (1) son nulos, y la constante no es nula. Esto es, la ecuación es de la forma
0x
1+ 0x
2+ ... + 0x
n= b, con b ≠ 0 En tal caso, la ecuación no tiene solución.
Caso(iii): Todos los coeficientes en (1) son nulos y la constante también es nula. Esto es. La ecuación es de la forma
0x
1+ 0x
2+ ... + 0x
n= 0
Siendo así, cualquier n-upla de escalares de R es una solución de la ecuación.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x
1, ... , x
n:
a
11x
1+ a
12x
2+ ... + a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ ... + a
2nx
n= b
2 (*)………
a
m1x
1+ a
m2x
2+ ... + a
mnx
n= b
mdonde los a
ij, b
ipertenecen al cuerpo real R. El sistema se dice homogéneo si las constantes b
1, ... , b
mson todas 0. Una n-upla u = (k
1, ... , k
n) de números reales es una solución (o también una solución
particular) si satisface cada una de las ecuaciones; el conjunto de todas las soluciones se llama el
solución o la solución general.
El sistema de ecuaciones lineales
a
11x
1+ a
12x
2+ ... + a
1nx
n= 0 a
21x
1+ a
22x
2+ ... + a
2nx
n= 0 (**)
………
a
m1x
1+ a
m2x
2+ ... + a
mnx
n= 0
se llama el sistema homogéneo asociado con el sistema (*). El sistema anterior siempre tiene una solución, la n-upla cero 0 = (0, 0, ... , 0) llamada la solución cero o la solución trivial. Cualquier otra solución, si existe, se llama una solución distinta de cero o no trivial.
La relación fundamental entre los sistemas (*) y (**) es la siguiente:
Teorema 1: Supongamos que u es una solución particular del sistema no homogéneo (*) y además que W es la solución general del sistema homogéneo asociado (**). Entonces
u + W = {u + w: w ∈ W}
es la solución general del sistema no homogéneo (*).
Observemos que el teorema anterior es de interés teórico y no sirve para obtener explícitamente las soluciones del sistema (*), lo cual se hace por el método corriente de eliminación descrito en la sección siguiente.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Consideremos un sistema (*) de ecuaciones lineales, el cual lo reduciremos a un sistema más simple de la siguiente manera:
Paso 1. Intercambiamos las ecuaciones de tal manera que la primera incógnita x
1tenga un coeficiente no nulo en la primera ecuación, esto es, tal que a
11≠ 0.
Paso 2. Para cada i > 1, aplicamos la operación
L
i→ -a
i1L
1+ a
11L
iEs decir, remplazamos la i-ésima ecuación lineal L
ipor la ecuación que se obtiene multiplicando la p rimera ecuación L
1por –a
i1, multiplicando la i-ésima ecuación L
ipor a
11, y luego sumando.
Así obtenemos el siguiente sistema que es equivalente a (*) esto es, tiene le mismo conjunto solución
de (*):
m n mn j
mj
n n j
j
n n
b x a x
a
b x a x
a
b x a x
a x a x a
´
´ ...
..
...
...
...
...
...
...
´
´ ...
´
´
´ ...
´
´
2 2
2 2 2 2
2
1 1
3 13 2 12 1 11
= +
+
= +
+
= +
+ +
+
donde a
11≠ 0, y x
j2representa la primera incógnita con un coeficiente no nulo en una ecuación diferente de la primera; por el paso 2, x
j2≠ x
1. Este proceso que elimina una incógnita en las ecuaciones siguientes se conoce como el método de eliminación de Gauss.
Vemos pues, que las ecuaciones anteriores, excluyendo la primera, forman un subsistema que tiene menos ecuaciones y menos incógnitas que el sistema original (*). También se observa que:
(i) si se encuentra una ecuación de la forma 0x
1+ ... + 0x
n= b, b ≠ 0 entonces el sistema es inconsistente y no tiene solución;
(ii) si se encuentra una ecuación de la forma 0x
1+ ... + 0x
n= 0 entonces la ecuación puede quitarse sin que se afecte la solución.
Continuando el proceso anterior con cada nuevo subsistema, se obtiene por inducción que el sistema (*) es inconsistente o reducible a un sistema equivalente de la forma
r n rn j
rj
n n j
j
n n
b x a x
a
b x a x
a
b x a x
a x a x a
r
r
+ + =
= +
+
= +
+ +
+
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
2 2
2
1 1
3 13 2 12 1 11
2 2
(***)
donde 1 < j
2< … < j
ry donde los coeficientes principales son distintos de cero:
a
11≠ 0, a
2j2≠ 0, ... , a
rjr≠ 0
(Para comodidad en la notación usamos los mismos los mismos símbolos a
ij, b
ken el sistema (***) que los usados en el sistema (*), pero claro está que pueden representar escalares diferentes.)
Definición: Se dice que el sistema (***) está en forma escalonada; las incógnitas x
ique no aparecen al principio de alguna ecuación ( i ≠ 1 , j
2,..., j
r) se llaman variables libres.
Para resolver el sistema anterior, se aplica el siguiente teorema:
Teorema2:Hay dos casos para la solución del sistema (***) en la forma escalonada:
(i) r = n. Esto es, hay tantas ecuaciones como incógnitas. Entonces el sistema tiene una solución única.
(ii) r < n. Es decir, hay menos ecuaciones que incógnitas. Entonces podemos asignar arbitrariamente valores a las n – r variables libres y obtener una solución del sistema.
Se puede ver en particular que el teorema anterior implica que el sistema (***) y cualquier sistema
equivalente son consistentes. Por tanto, si el sistema (*) es consistente y se reduce al caso (ii), entonces
podemos asignar muchos valores diferentes a las variables libres y obtener así muchas soluciones del sistema. Sintetizamos esta situación de la siguiente manera.
Sistemas de ecuaciones lineales
{
solución Sin
ntes Inconsiste
soluciones de
Infinidad
única Solución
es Consistent
En virtud del teorema 1, la solución única solamente puede ocurrir cuando el sistema homogéneo asociado no tiene más que la solución cero.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES LINEALES
Si se empieza con un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, entonces el sistema claramente es consistente puesto que, por ejemplo, tiene la solución 0 = ( 0, 0, ..., 0 ). Por tanto, siempre puede reducirse a un sistema homogéneo equivalente a la forma escalonada:
0 ...
..
...
...
...
...
...
...
0 ...
0 ...
2 2
1 3
13 2 12 1 11
2 2
= +
+
= +
+
= +
+ +
+
n rn j
rj
n n j
j
n n
x a x
a
x a x
a
x a x
a x a x a
r r
