GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemática – Álgebra lineal
Resultados de aprendizaje.
Reconocer existencia de subespacio vectorial.
Contenidos
1. Espacios vectoriales.
2. Subespacios vectoriales.
Debo saber
Se debe recordar que un espacio vectorial es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por escalar, que satisfacen ciertas propiedades.
K es un cuerpo, tal que puede ser R o C.
Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K, sea W V. Se dice que W es un subespacio vectorial de V sobre K (o simplemente W es un subespacio vectorial de V) Si se cumple:
W
W es un espacio vectorial sobre K (con las operaciones heredadas por V) Notación: Para denotar a W como subespacio vectorial de V, escribimos W V.
Ejemplo de subespacios.
i) * +, el subespacio nulo de V.
ii)
iii) *( ) +
Lamentablemente para efectos de probar que algo es o no un subespacio vectorial, es poco tedioso probar las propiedades de espacio vectorial. Pero existe una caracterización para subespacio vectorial en términos más sencillos.
Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre K y W V. Entonces
{
( )
Ejemplos:
i) Sea V = R4, definimos el subconjunto *( ) + Entonces .
Demostración: Veamos si se cumplen los tres puntos del teorema:
a) El vector (0,0,0,0) Está en W (pues 0 -3⦁0+0-0=0), luego b) Sean ( ) ( ) W, veamos si
( ) W Como
( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = 0 + 0; ( )
= 0.
Luego .
c) Sean ( ) En efecto, se tiene:
λ ( ) λ ; (pues )
= 0.
Luego λ . Por lo tanto W es subespacio vectorial de V.
ii) Sea ( ) el espacio vectorial de las matrices 3x3 con entradas reales.
Definimos el subconjunto W=* ( ) +.
Probar que W es subespacio de V.
Demostración: Veamos si se cumplen los tres puntos del teorema:
a) Claramente, la matriz identidad está en W. Luego . b) Sean A, B W, veamos si A + B W. En efecto se tiene,
( ) ( )
(
)
Luego A + B .
c) Sean A W y λ R veamos si λ A W.
λA λ( )
(
)
Observación: Para complementar la caracterización de subespacio vectorial, incorporamos el siguiente, importante teorema y definición, que permitirá conocer otro enfoque a las formas de los elementos que se constituyen en el subespacio vectorial
Teorema: Sea V espacio vectorial sobre K y { } V Entonces
〈{ }〉 {∑ ⦁
} En efecto
i) así ii) Sean
n
i
i i
i v a K i n
a
1
1 , /
wW
n
i
i i
i v b K i n
b
1
1 , /
Luego
n
i
i i
i b v W
a w
u
1
) (
iii) Sean uW yK entonces
n
i
n
i
i i i
i v a v W
a u
1 1
) (
De este modo W V
Definición . Si V es un espacio vectorial sobre K Entonces el conjunto:
(1)
n i K r v r v
v v v W
n
i
i i i
n / ,1
,...
, ,
1 3
2
1 se llamará Subespacio Generado
por
v1,v2,....,vn
y cada vi para i1,2,3...n se llamará un generador(2) uV se llamará una combinación lineal de
=
v1,v2,v3....,vn
si uWes decir existen n-escalares , digamos
a1,a2,a3,....an
tal que
n
i
i
i v
a u
1
es decir los elementos de Wse llaman combinaciones lineales de
Ejemplos:
i) Sea V = R3, definimos el subconjunto W= *( ) y + Entonces W V.
Demostración: En efecto, sea ( )
( ) y ( ) y
( )
( ) ( ) v ( ) ( ) 〈*( ) ( )+〉
Luego W 〈*( ) ( )+〉 Así, por teorema anterior, W V.
ii) Sea V ( ) el espacio vectorial de las matrices de 2 x2 con entradas reales. Definimos el subconjunto W =*A ( ) A A+. Probar que W es subespacio de V.
Demostración: En efecto, sea A=.
/
.
/ ( ) .
/ . / A .
/ ( ) c A .
/
A . / . / . /
A . / . / . /
Luego W 〈{. / .
/ .
/}〉. Así, por teorema anterior, W V.
iii) Sea V = ( ) el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo más 2, con coeficientes reales. Se define el subconjunto W= * ( ) ( ) +.
Probar que W es subespacio de V.
Demostración:
En efecto, sea p(x) = W.
( ) ( ) p( ) ( ) ( ) p( ) 〈* +〉
Luego W 〈* +〉. Así, por teorema anterior, W
Ejercicios propuestos.
Para cada espacio vectorial V sobre R y W V Decida en cada caso si W es o no su espacio vectorial de V.
a) V= R3, W={( ) }
b) V= W {( ) } c) V= R3, W=*( ) +
d) V= ( ) W * ( ) (A) + (donde (A) ) e) V= ( ) W { . / ( ) a c d }
f) V= ( ) W { .
/ ( ) ad c }
g) V= , - W * ( ) , - ( ) +
h) V= , - W * ( ) , - ( ) +
