1. El efecto fotoeléctrico

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(1)Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Escuela de Ingenieria / Facultad de F´ısica IEE1133/FIZ1433 Materiales El´ectricos Profesor: Roberto Rodriguez. Ayudant´ıa 2: Mec´ anica Cu´ antica: Ecuaci´ on de Schrodinguer Joaqu´ın Arancibia: jiaranci@puc.cl Fabi´an C´adiz: facadiz@puc.cl. 1.. El efecto fotoel´ ectrico. Con la teor´ıa de la electrodin´amica cl´asica formulada por Maxwell, la visi´on ondulatoria de la luz alcanz´o una gran aceptaci´on en la comunidad cient´ıfica. La radiaci´on se percib´ıa definitivamente como un campo continuo que se propaga en el espacio y el tiempo a velocidad finita, igual a la velocidad de la luz. Sin embargo, una manifestaci´on de lo peculiar que puede resultar la interacci´on entre la radiaci´on y la materia, (y que finalmente condujo a abandonar la idea de un campo cl´asico) fue el efecto fotoel´ectrico, descubierto por Hertz en 1887, quien se encontraba estudiando la producci´on y recepci´on de ondas electromagn´eticas. Cuando una superficie met´alica cargada con un potencial negativo (y entonces, con exceso de electrones) es expuesta a radiaci´on electromagn´etica, bajo ciertas condiciones los electrones en la superficie met´alica escapan, como se muestra en la figura siguiente:. La energ´ıa cin´etica con la cual los electrones abandonan la superficie puede medirse a partir de la diferencia de potencial necesaria para frenarlos dentro de un tubo de rayos cat´odicos. Esto fue realizado por Phillipp Von Lenard, en 1902 (Ver Fig. 1). La expulsi´on de electrones desde el c´atodo genera una corriente en el circuito de la figura. Mediante un potenci´ometro se ajusta el voltaje aplicado a las placas. Para cierta diferencia de potencial, los electrones que se desprenden de la placa son frenados, y la corriente a trav´es del circuito se anula. Entonces la energ´ıa cin´etica que ´estos adquirieron producto de la interacci´on con la radiaci´on est´a dada por: K = eV0 donde V0 es el potencial de frenado. Las predicciones de la mec´anica cl´asica son las siguientes: 1. La energ´ıa cin´etica de los electrones ser´ıa proporcional a la intensidad de la radiaci´on, pues ´este es el par´ametro que caracteriza la energ´ıa total que transporta la onda electromagn´etica.

(2) Figura 1: Experimento de Von Lenard 2. Seg´ un esto u ´ltimo, al aumentar la intensidad de la radiaci´on, mayor es el potencial de frenado requerido para eliminar la corriente de electrones 3. Para cualquier valor de la frecuencia de la luz incidente, si la intensidad de la luz es suficientemente alta, entonces se emitir´an electrones 4. Si la intensidad de la luz es muy peque˜ na (comparada por ejemplo con la energ´ıa que mantiene a los electrones ligados al material), entonces ´estos pod´ıan adquirir suficiente energ´ıa a partir de un determinado tiempo de exposici´on a la luz, y entonces se observar´ıa el efecto Sin embargo, los resultados experimentales est´an en absoluto desacuerdo con la teor´ıa cl´asica. Estos son: 1. Los electrones de la placa son emitidos u ´nicamente cuando la frecuencia de la radiaci´on (t´ıpicamente luz visible) supera cierto valor m´ınimo, o frecuencia umbral. Para cada metal dado, existe una cierta frecuencia m´ınima, bajo la cual ning´ un electr´on puede ser emitido. 2. Cuando se supera la frecuencia umbral, la energ´ıa de los electrones expulsados depende u ´nicamente de la frecuencia (o color) de la luz. En otras palabras, el voltaje de frenado V0 es s´olo funci´on de la frecuencia de la luz, y no de su intensidad. Esto resultaba realmente curioso, pues luz de baja intensidad a determinada frecuencia podr´ıa emitir electrones, pero no una luz con alt´ısima intensidad (pero de menor frecuencia). 3. La corriente que se genera es instant´anea (demora un tiempo imperceptible en producirse). Quien explic´o exitosamente (y de forma muy simple) el efecto fotoel´ectrico fue Albert Einstein , en 19051 . Posteriormente ganar´ıa el premio Nobel (en 1921) por este art´ıculo. Einstein postul´o que la radiaci´on electromagn´etica est´a compuesta por cuantos de luz, llamados fotones. En otras palabras, el campo electromagn´etico se encuentra cuantizado. Basado en la teor´ıa de Planck sobre la radiaci´on de cuerpo negro, Einstein propuso que la energ´ıa asociada a cada fot´on es proporcional a la frecuencia de la radiaci´on, es decir E = hν donde h es la constante de Planck. 1. On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light. 2.

(3) 1.1.. Explicaci´ on del efecto fotoel´ ectrico. La luz incidente est´a compuesta de fotones, cada uno con una energ´ıa determinada por la frecuencia de la luz. En el proceso de emisi´on, si cada fot´on tiene una energ´ıa menor que la energ´ıa de enlace que mantiene al electr´on ligado al metal, entonces la interacci´on ser´a insuficiente y el electr´on no ser´a desprendido del material. A la energ´ıa de ligaz´on entre los electrones y el material se le llama funci´ on de trabajo, y se designa con la letra φ. Si la energ´ıa del fot´on es superior a φ, entonces un electr´on absorber´a energ´ıa de este fot´on y ser´a emitido, de acuerdo a: hν = φ + Ekmax donde Ekmax es la energ´ıa cin´etica m´axima con que se emiten los electrones, y hνmin = φ Es decir, νmin es la m´ınima frecuencia que debe tener la radiaci´on incidente para desprender electrones. Esto explica por qu´e para frecuencias bajo una frecuencia l´ımite νmin , no se produce el efecto. En caso de que se desprendan electrones del metal, al aumentar la intensidad de la luz u ´nicamente aumenta el n´ umero de fotones emitidos por unidad de tiempo, y entonces tambi´en el n´ umero de electrones que escapan del material, pero la energ´ıa cin´etica con que ´estos se emiten no aumenta. Esto explica por qu´e el potencial de frenado no depende de la intensidad, sino de la frecuencia de la luz (i.e de la energ´ıa individual de cada fot´on).. Figura 2: La figura muestra la cuantizaci´on de la luz en fotones. Para una placa de potasio, la energ´ıa m´ınima necesaria para extraer electrones es cercana a 2.0 eV. Esta idea de la cuantizaci´on de la radiaci´on fue un salto gigantezco, y en la ´epoca present´o mucha resistencia. En primer lugar, parec´ıa contradecir la teor´ıa ondulatoria de la luz basada en las ecuaciones de Maxwell, y m´as generalmente, en ese entonces a´ un se asum´ıa que la energ´ıa de todo sistema f´ısico pod´ıa tomar cualquier valor. Incluso cuando los experimentos mostraban que las ecuaciones de Einstein para el efecto fotoel´ectrico reproduc´ıan fielmente lo observado, el rechazo a la idea de los fotones continu´o por alg´ un tiempo. Si bien en 1905 se sab´ıa que la energ´ıa de los electrones aumentaba linealmente con la frecuencia de la luz incidente, no fue hasta 1915 que Robert Milikan mostr´o que la predicci´on de Einstein era correcta.. 1.2.. Dualidad onda-part´ıcula. El efecto fotoel´ectrico fue clave en el desarrollo del concepto dual de la naturaleza de la luz, la cual posee simult´aneamente caracter´ısticas de onda y part´ıcula, cada una de ´estas verificable 3.

(4) en diversas circunstancias. Esto es imposible de comprender en t´erminos de una descripci´on ondulatoria cl´asica de la luz. Estas ideas desarrolladas a principios del siglo 20 terminaron por derribar la concepci´on cl´asica de la luz y la materia, y fueron forjando el camino para el nacimiento de una nueva teor´ıa de la naturaleza, la f´ısica cu´antica. Hoy en d´ıa el efecto fotoel´ectrico es el principio de funcionamiento de las celdas solares para generar energ´ıa el´ectrica a partir de la energ´ıa radiante proveniente del sol . Los fotodiodos, fototransistores y las c´amaras CCD (charged coupled device) utilizan variantes del efecto fotoel´ectrico, donde el material que es expuesto a la radiaci´on es un semi-conductor.. Figura 3: Albert Einstein. 2. 2.1.. Postulados de la mec´ anica cu´ antica: La funci´ on de Onda Descripci´ on del estado de una part´ıcula. Principio I: La descripci´on completa del estado de una part´ıcula de masa m en el espacio al instante t se logra por medio de una funci´on de onda compleja ψ(~x, t). La probabilidad de encontrar la part´ıcula al instante t en un volumen d3 x en torno al punto ~x es: d3 P (~x) = |ψ(~x, t)|d3 x. Figura 4: La funci´on de onda es una amplitud de probabilidad, |ψ(~x, t)|2 es una densidad que determina la probabilidad de prescencia de una part´ıcula en torno al punto ~x al instante t.. Nota: 1. La funci´on de onda es de cuadrado sumable, y normalizada a uno. Es decir: ˆ d3 x |ψ(~x, t)|2 = 1 R3. 4.

(5) Las funciones de cuadrado sumable forman un espacio vectorial llamado L2 (R3 ). 2. El car´acter aleatorio y probabilista no proviene de una falta de conocimiento de las condiciones iniciales (como en teor´ıa cin´etica de los gases, por ejemplo), tampoco viene de una necesidad pr´actica (imposibilidad de tratar un sistema con 1023 part´ıculas). Aqu´ı, el car´acter aleatorio forma parte integral del formalismo cu´antico.. 2.2.. Medici´ on de la posici´ on de la part´ıcula. Al efectuar una medida de la posici´on de una part´ıcula al instante t, uno encuentra un cierto valor bien definido ~x, con una precisi´on de d3 x. Imaginemos que uno prepara independientemente un gran n´ umero N de part´ıculas en el mismo estado, es decir, las N part´ıculas son descritas por estrictamente la misma funci´on de onda al momento en que se efect´ ua una medida sobre la posici´on de cada una de ellas. Los N resultados de la medida no ser´an id´enticos, pero estar´an distribu´ıdos seg´ un la ley de probabilidad |ψ(~x, t)|2 . El valor medio de estos resultados es: ˆ d3 x ~x|ψ(~x)|2 h~xi = R3. Figura 5: La medida de la posici´on de N part´ıculas preparadas en el mismo estado permite reconstru´ır la dependencia espacial de la ley de probabilidad |ψ|2 , si la precisi´on en la posici´on lo permite. Se trata de un conjunto de tres valores, para las tres coordenadas {x, y, z}. La dispersi´on de estos resultados ser´a caracterizada por una varianza. Sean ∆x, ∆y, ∆z las varianzas sobre las 3 coordenadas, por definici´on: ˆ 2 2 2 ∆x = hx i − hxi = dx x2 |ψ(~x)|2 − hxi2 R. E igualmente para y y z. Mientras m´as peque˜ nas sean estas varianzas, mejor ser´a la localizaci´on de la part´ıcula cuando ella est´a en el estado ψ(~x).. 3. 3.1.. Interferencia y principio de superposici´ on Ondas de de Broglie. La idea m´as simple para caracterizar una part´ıcula libre consiste en suponer que las part´ıculas de velocidad ~v y de momentum p~ = m~v bien definidos, libres en el espacio, son descritas por una funci´on de onda vecina de una onda plana monocrom´atica de la forma: ~. ψ(~x, t) = ψ0 ei(k·~x−wt) 5.

(6) Figura 6: La figura muestra el valor medio de la variable aleatoria x, ∆x mide que tan concentrada se encuentra la distribuci´on de probabilidad en torno a hxi.. donde ψ0 es una constante. Para estas ondas, la longitud de onda λ y, de forma equivalente, el vector de onda ~k staisfacen las relaciones: ~k = p~/~. λ = h/p. como propuso de Broglie, en analog´ıa a la relaci´on de Einstein para el momentum de un fot´on de vector de onda ~k, p~ = ~~k. Una experiencia de interferencia o de diffracci´on en un cristal no permite calcular la frecuencia de esta onda. En efecto, el factor de fase e−iwt no juega ning´ un 2 rol en |ψ| . La buena elecci´on de de Broglie consiste en relacionar esta frecuencia a la energ´ıa de la part´ıcula de la misma forma que para los fotones de Einstein: ~w = E = p2 /2m Uno obtiene as´ı las ondas de de Broglie: ψ(~x, t) = ψ0 ei(~p·~x−Et)/~ con E = p2 /2m. 3.2.. (1). Principio de superposici´ on. Toda combinaci´on lineal de funciones de onda es igualmente una funci´on de onda posible. Dicho de otra forma, si ψ1 (~x, t) y ψ2 (~x, t) describen dos estados posibles , entonces la combinaci´on lineal: ψ(~x, t) = α1 ψ1 (~x, t) + α2 ψ2 (~x, t) donde α1 , α2 son complejos arbitrarios, representa tambi´en un estado posible (Se debe escoger α1 y α2 de manera que |ψ|2 = 1). Se trata del principio fundamental de la teor´ıa cu´antica, la aditividad de amplitudes de probabilidad es la base de los fen´omenos de interferencia. La ecuaci´on que gobierna la funci´on de onda ψ debe ser entonces lineal.. 3.3.. Ecuaci´ on de onda en el vac´ıo. Consideremos las ondas de de Broglie (Eq 1). Estas ondas planas describen part´ıculas de momentum bien definido p~ y de energ´ıa E = p2 /2m. Derivando respecto al tiempo por un lado, y tomando el laplaciano por otro, vemos que las ondas de de Broglie satisfacen la ecuaci´on a derivadas parciales: ~2 ~ 2 ∂ ∇ ψ(~x, t) (2) i~ ψ(~x, t) = − ∂t 2m Podemos considerar esta ecuaci´on como un principio que dicta la propagaci´on de part´ıculas en el vac´ıo, en ausencia de interacci´on. Enunciamos entonces el segundo principio de la mec´anica 6.

(7) cu´antica. Principio II Si la part´ıcula est´a en el vacio y no sufre ninguna interacci´on, la funci´on de onda satisface la ecuaci´on a derivadas parciales: ~2 ~ 2 ∂ψ(~x, t) =− ∇ ψ(~x, t) ∂t 2m que es la ecuaci´on de Schrodinguer en el vac´ıo. i~. 4.. La ecuaci´ on de Schr¨ odinguer. ∂ ~ 2 ψ(~x, t) se deduce a partir de la estructura La ecuaci´on de onda i~ ∂t ψ(~x, t) = −~2 /2m∇ de las ondas de de Broglie. La primera gran contribuci´on de Schr¨odinguer fue incorporar los efectos de una fuerza cuando una part´ıcula se encuentra sumergida en un potencial V (~x).. 4.1.. Ecuaci´ on de movimiento. Principio IIb: Ecuaci´ on de Schr¨ odinguer Cuando una part´ıcula se encuentra bajo la influencia de un potencial V (~x), la evoluci´on en el tiempo de la funci´on de onda se rige por la ecuaci´on de Schr¨odinguer: i~. ~2 ~ 2 ∂ ψ(~x, t) = − ∇ ψ(~x, t) + V (~x, t)ψ(~x, t) ∂t 2m. Notas: 1. La ecuaci´on de Schr¨odinguer es lineal, conforme al principio de superposici´on. 2. Es una ecuaci´on a derivadas parciales de primer orden en el tiempo: ella determina completamente la funci´on de onda a todo instante si se conoce la funci´on de onda a un instante inicial t0. 4.2.. Funciones propias de la energ´ıa y estados estacionarios. En todo sistema cu´antico, la ecuaci´on de Schr¨odinguer se puede escribir: ∂ ˆ x, t) ψ(~x, t) = Hψ(~ ∂t ˆ representa el operador lineal −~2 /2m∇ ~ 2 + V (~x), llamado hamiltoniano del sistema. donde H Supongamos un sistema aislado, es decir, el potencial no depende expl´ıcitamente del tiempo. Consideremos las funciones propias del hamiltoniano, definidas por la ecuaci´on a valores propios: i~. ˆ α (~x) = Eα ψ(~x) Hψ. (3). donde Eα son los valores propios, que son reales para un operador herm´ıtico. Estas funciones de onda particulares corresponden a estados del sistema que tienen una energ´ıa bien definida Eα . A partir de ellas uno obtiene soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinguer de la forma: ψ(~x, t) = ψα (~x)e−iEα t~ que son llamadas estados estacionarios. Nota. 7. (4).

(8) 1. La probabilidad de prescencia para un estado estacionario (4) es independiente del tiempo: |ψ(~x, t)|2 = |ψα (~x)|2. 5.. Estados propios de la energ´ıa y evoluci´ on temporal Explicitando el hamiltoniano, la ecuaci´on a valores propios (3) es:. ~2 ~ 2 ∇ ψα (~x) + V (~x)ψα (~x) = Eα ψα (~x) 2m que es llamada ecuaci´on de Schr¨odinguer independiente del tiempo. Sus soluciones definen un conjunto {Eα , ψα (~x)} de valores propios y de funciones propias de la energ´ıa. Los n´ umeros Eα son los niveles de energ´ıa del sistema. Consideremos ahora una funci´on de onda ψ(~x, t) que en t = 0 es una superposici´on de estados estacionarios: X ψ(~x, 0) = Cα ψα (~x, t) (5) −. α. Dado que la ecuaci´on de Schr¨odinguer es lineal, la evoluci´on en el tiempo de esta funci´on de onda se escribe inmediatamente: X ψ(~x, t) = Cα e−iEα t~ ψα (~x) α. En virtud del teorema espectral de Riesz, se puede demostrar que toda funci´on de onda conocida en t = 0 se puede desarollar seg´ un (5), con: ˆ Cα = (ψα , ψ) = d3 x ψα (~x)∗ ψ(~x, 0) R3. 6.. Estados ligados y estados de difusi´ on. En mec´anica cl´asica, se distinguen dos reg´ımenes en el movimiento de una part´ıcula en un potencial que posee un limite finito V1 al infinito. Si el valor de la energ´ıa E, que es una constante de movimiento, es inferior a V1 , la trayectoria estar´a confinada en una regi´on finita del espacio, se llama a esto un estado ligado. En el caso contrario E > V1 , la part´ıcula puede escaparse del campo de fuerzas y alejarse hacia el infinito cuando t → ∞, y se habla entonces de estado de difusi´on. La misma distinci´on existe en mec´anica cu´antica. En la figura (7) se muestran trayectorias de una part´ıcula cl´asica para un potencial de la forma V (r) = −A/r, que tiende a cero en el infinito.. 6.1.. Estados ligados. Los estados ligados estacionarios est´an caracterizados por soluciones de la ecuaci´on (3) para las cuales la funci´on ψα (~x) es de cuadrado sumable, es decir normalizable: ˆ d3 x |ψα (~x)| = 1 R3. Se puede demostrar que esto se produce u ´nicamente para un conjunto discreto de valores de la energ´ıa {En }, que son los niveles de energ´ıa del sistema: es el origen de la cuantificaci´on de la energ´ıa. El hecho de que las funciones de onda sean normalizables corresponde a la situaci´on 8.

(9) Figura 7: Movimiento cl´asico en un potencial atractivo de la forma V (r) = −A/r (V1 = 0) con A > 0. Una part´ıcula con E < 0 permanece confinada en una regi´on finita del espacio, mientras que una energ´ıa con E > 0 se escapa hacia el infinito.. cl´asica donde la trayectoria de la part´ıcula permanece confinada en el curso del tiempo a una regi´on finita del espacio. Cada valor de En es inferior al valor V1 del potencial al infinito, y superior al valor m´ınimo Vmin < En < V1. 6.2.. Estados de difusi´ on. La ecuaci´on de Schr¨odinguer independiente del tiempo (3) posee igualmente soluciones para un conjunto continuo de valores de la energ´ıa E superiores a V1 . Asint´oticamente, estas soluciones son ondas planas ya que el potencial es constante cuando ~x → ∞. Estas corresponden a los estados de difusi´on de part´ıculas asint´oticamente libres, que son desviadas por el potencial V (~x). Si bien estas autofunciones no son normalizables (y entonces no pueden representar el estado de una part´ıcula), se pueden formar paquetes de onda, que son combinaciones lineales normalizables de estas ondas de difusi´on.. Figura 8: Para un potencial que tiende a una constante V1 al infinito y posee un m´ınimo Vmin , los valores propios E del hamiltoniano forman: por un lado un conjunto discreto En entre Vmin y V1 correspondiente a estados ligados, por otro un conjunto continuo de valores superiores a V1 correspondiente a estados de difusi´on. Todo estado f´ısicos e puede escribir como una superposici´on lineal de las funciones propias correspondientes.. Notas: Algunos resultados importantes que conciernen los estados ligados son: 1. Un siempre puede buscar funciones propias ψ reales. Esto por que si ψ es soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo, ψ ∗ tambi´en lo es, y con el mismo autovalor.. 9.

(10) 2. El teorema de Sturm-Liouville: Se pueden clasificar los niveles por valor creciente de la energ´ıa en funci´on del n´ umero de nodos (puntos donde el signo de la funci´on de onda cambia) de la funci´on de onda.. 3. En el caso de que el potencial sea sim´etrico respecto al origen (funci´on par V (x) = V (−x)), las funciones propias del hamiltoniano son pares o impares. Dado que una funci´on impar posee un nodo en x = 0, esto significa que necesariamente el estado fundamental es una funci´on par, el primer estado exitado es impar, el segundo estado exitado es par, etc.. 10.

(11) 7.. Cristalograf´ıa. El sistema c´ ubico de cristales es un sistema cristalino donde celda unitaria tiene forma de ´ cubo. Esta se repite indefinidamente a lo largo de todo el material. En general, hay 3 variedades de cristales: C´ ubico Simple (SC), C´ ubico de cuerpo centrado (BCC) y c´ ubico de caras centrado (FCC). En el caso SC cada v´ertice del cubo posee un ´atomo, es decir en la celda unitaria hay ocho octavos de a´tomo, es decir 1 ´atomo por cubo.. Figura 9: Sistema c´ ubico simple En el caso BCC se puede encontrar ´atomos en los v´ertices y uno en el centro, es decir por celda unitaria hay 2 a´tomos:. Figura 10: Malla elemental del arreglo BCC Por u ´ltimo, el caso FCC (Ar, Ag, Al, Au, Co, Cu) tiene ´atomos en cada v´ertice y en los centros de las caras, dando un total de 4 ´atomos por celda (ocho octavos de los v´ertices y 6 medios por las caras).. Figura 11: Estructura cristalina de cara centrada (FCC). 11.

(12) 8.. Postulados de la mec´ anica cu´ antica Resumen. 1. La descripci´on del estado de una part´ıcula en el espacio se logra por una funci´on de onda ψ(~x, t) donde su m´odulo cuadrado da la densidad de probabilidad de prescencia en el punto ~x al instante t. 2. La evoluci´on en el tiempo de la funci´on de onda de una part´ıcula colocada en un potencial V (r) se obtiene a partir de la ecuaci´on de Schr¨odinguer: i~. ∂ ˆ x, t) ψ(~x, t) = Hψ(~ ∂t. ˆ o hamiltoniano del sistema, es: donde el observable energ´ıa H, 2 ˆ =−~ ∇ ~ 2 + V (r) H 2m. 3. Para un sistema aislado en un potencial independiente del tiempo, los estados estacionarios son los estados propios de la energ´ıa, con una funci´on de onda de la forma: ψ(~x, t) = ψα (~x)e−iEα t/~ ´ donde ψα es una soluci´on normada ( R3 d3 x |ψα |2 = 1) de la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo: ˆ α (~x) = Eα ψα (~x) Hψ La evoluci´on en el tiempo de toda funci´on de onda ψ(~x, t) se escribe inmediatamente una vez conocidas las soluciones estacionarias: ˆ ψ(~x, t) =. X. −iEα t/~. Cα e. ψα (~x), con Cα = R3. α. 12. d3 x ψα∗ (~x)ψ(~x, t = 0).

(13) 9.. Constantes y propiedades Resistividad en ohm-metros, medidos a 1 atm y a 20o C: Material Resistividad Material Resistividad Conductor Semi-Conductores −8 Plata 1, 59 × 10 Agua Salada 4, 4 × 10−2 −8 Cobre 1, 68 × 10 Germanio 4, 6 × 10−1 Oro 2, 21 × 10−8 Diamante 2,7 −8 Aluminio 2, 65 × 10 Silicio 2, 5 × 103 Hierro 9, 61 × 10−8 Aislantes Mercurio 9, 58 × 10−7 Agua pura 2, 5 × 105 Nicromo 1, 00 × 10−6 Madera 108 − 1011 Manganeso 1, 44 × 10−6 Vidrio 1010 − 1014 −5 Grafito 1, 4 × 10 Cuarzo ∼ 1016 Susceptibilidades magn´eticas a 1 atm y 20o C: Material Susceptibilidad Material Susceptibilidad Diamagnetico Paramagnetico Bismuto −1, 6 × 10−4 Ox´ıgeno 1, 9 × 10−6 Oro −3, 4 × 10−5 Sodio 8, 5 × 10−6 Plata −2, 4 × 10−5 Aluminio 2, 1 × 10−5 −6 Cobre −9, 7 × 10 Tungsteno 7, 8 × 10−5 Agua −9, 0 × 10−6 Platinio 2, 8 × 10−4 CO2 −1, 2 × 10−8 Ox´ıgeno l´ıquido (-200 o C) 3, 9 × 10−3 Hidr´ogeno −2, 2 × 10−9 Gadolinio 4, 8 × 10−1 Constantes diel´ectricas, a 1 atm y 20 o C: Material Constante Diel´ectrica Material Constante Diel´ectrica Vac´ıo 1 Benceno 2,28 Helio 1,000065 Diamante 5,7 Neon 1,00013 Sal 5,9 Hidr´ogeno 1,00025 Silicio 11,8 Arg´on 1,00052 Metanol 33 Aire(seco) 1,00054 Agua 80,1 Nitr´ogeno 1,00055 Hielo(30o C) 99 o Vapor de agua (100 C) 1,00587 KT aN bO3 34 000 Algunas unidades y constantes fundamentales:. 13.

(14) Unidades ˚ = 10−10 m (∼ tama˜ ˚ Angstrom 1A no de un ´atomo) Fermi 1f m = 10−15 m (∼ tama˜ no de un n´ ucleo) −19 ElectronVolt 1eV = 1, 60218 10 J Constantes Fundamentales Constante de Planck h = 6, 6261 10−34 Js Cte. Planck h-barra ~ = h/2π = 1, 054 10−34 Js Velocidad de la luz c = 299 792 458 m/s Permeabilidad del vac´ıo µ0 = 4π 10−7 y 0 µo c2 = 1 Constante de Boltzmann kB = 1, 38 10−23 JK −1 N´ umero de Avogadro NA = 6, 0221 1023 Carga del electr´on qe = −1, 602 10−19 C Masa del electr´on me = 9, 1094 10−31 kg Masa del prot´on mp = 1, 672 10−27 kg. 14.

(15) 9.0.1.. Problema 1. Se env´ıa sobre un fotoc´atodo de potasio una radiaci´on ultravioleta (l´ınea de mercurio) de longitud de onda λ = 253,7 nm, y se constata que la energ´ıa maxima de los fotoelectrones expulsados es de 3,14 eV . Si en cambio se utiliza radiaci´on visible de longitud λ = 589 nm (l´ınea amarilla de sodio), la energ´ıa maxima es entonces de 0,36 eV . Encuentre el valor de la constante de Planck. Calcule la energ´ıa m´ınima requerida para extraer los electrones de la superficie de potasio. Calcule la longitud de onda maxima de radiaci´on que puede producir un efecto fotoel´ectrico sobre el potasio. 9.0.2.. Soluci´ on. a) Si T es la energ´ıa necesaria para arrancar un electr´on del fotoc´atodo de potasio, la energ´ıa cin´etica m´axima que adquieren despu´es de la incidencia de un fot´on de energ´ıa hν est´a dada por: hc −T λ = 3,14 eV , y para λ2 = 589 nm, Emax2 = 0,36 eV , a. Emax = hν − T = Para λ1 = 253,7 nm se tiene Emax1 partir de estos datos:.  Emax1 − Emax2 = 2,78 eV = hc  2,78 eV = h. 1 1 − 253,7 589. . 1 1 − λ1 λ2. . × 3 × 108 × 109 s−1. 2,78 eV = h × 2,25 × 10−3 × 3 × 108 × 109 s−1 Se obtiene finalmente: 2,78 eV s = 4,1 × 10−15 eV s 2,25 × 3 × 1014 Recordando que 1 eV = 1,6 × 10−19 J, se obtiene tambi´en: h=. h = 4,1 × 1,6 × 10−34 Js ∼ 6,6 × 10−34 Js. b) La energ´ıa m´ınima que se puede aplicar para extraer a un electr´on corresponde a T . Podemos calcularla a partir de Emax1 = T =. hc −T λ1. hc 4,1 × 10−15 × 3 × 101 7 − Emax1 = − 3,14 eV λ 253,7 T =. 4,1 × 3 × 102 − 3,14 eV = 1,7 eV 253,7. 15.

(16) c) Se debe tener: hc −T ≥0 λ Es decir: hc ≥λ T. La m´axima longitud de onda permitida es: λmax =. hc 4,1 × 10−15 eV s 3 × 108 ms−1 12,3 = = × 10−7 m T 1,7 eV 1,7 λmax = 7,24 × 10−7 m = 0,72 µm. 9.0.3.. Problema 2. Calcule la longitud de onda de de Broglie de: Un electr´on de 100 eV . Un neutr´on t´ermico. Compare con las dimensiones at´omicas. 9.0.4.. Soluci´ on. a) Un electr´on de 100 eV tiene un momentum de magnitud: √ p=. 2mE =. h λ. h λ= √ 2mE Considerando que m = 9 × 10−31 kg: λ= p. 6,6 × 10−34 18 × 10−31 × 1,6 × 10−17. 6,6 × 10−10 = √ = 1,2 × 10−10 m = 0,12 nm 18 × 1,6. b) Un neutr´on t´ermico posee una energ´ıa igual a kT = 25 meV a T = 300K. Adem´as, mn ≈ 2000me : λ= √. h 6,6 × 10−34 6,6 × 10−9 =p =√ = 0,17 nm 36 × 25 × 1,6 2mE 36 × 10−28 × 25 × 1,6 × 10−22. Ambas longitudes de onda son comparables con las distancias at´omicas y pueden ser utilizadas en experiencias de difracci´on de ´atomos y mol´eculas.. 16.

(17) Figura 12: Utilizaci´on de ondas de de Broglie en un microscopio electr´onico. Con longitudes de onda suficientemente cortas, se pueden ver detalles muchos m´as finos que con un microscopio o´ptico.. 9.0.5.. Problema 3. Considere una part´ıcula confinada en una regi´on (1 dimensi´on) donde el potencial es nulo, las regiones exteriores corresponden a zonas impenetrables por la part´ıcula. El potencial que ve la part´ıcula es de la forma: V (x) = 0 si x ∈ [0, L] V (x) = ∞ si x ∈ / [0, L] Encuentre los niveles de energ´ıa y la funci´on de onda. Aplicaci´on num´erica: En tecnolog´ıas modernas de microelectr´onica, este tipo de potencial tan simple encuentra numerosas aplicaciones (Ver figura 13). Cuando un electr´on de conducci´on se mueve en un semi-conductor como el GaAs, siente un potencial uniforme a lo largo de la red cristalina. El valor de este potencial depende de la composici´on del semiconductor. En sandwichs de capas delgadas alternadas de semi-conductores (GaAs y GaAlAs), se crean pozos cu´anticos cuyos largos pueden ser del orden del nm. El confinamiento cu´antico de los electrones en estos dominios prometen desarrollos sin precedentes en electr´onica y en las componentes de los computadores. Tambi´en posee aplicaciones en optoelectr´onica: suponga que el pozo es infinito y de ancho 15 nm, y que electr´on posee una masa efectiva de m = 0,067me (esto se explicar´a m´as adelante), cu´al debe ser la longitud de onda de un fot´on para excitar a un electr´on desde el estado fundamental hasta el primer estado excitado?. 17.

(18) Figura 13: Sandwich de GaAs-GaAlAs-GaAs. El electr´on ve un pozo de potencial 1-D en esta estructura.. Extensi´ on a 3D Considere ahora el modelo de la ((part´ıcula en una caja)), que corresponde a la extensi´on del problema anterior a tres dimensiones. Considere ahora una part´ıcula de masa m confinada en un paralelepipedo rectangular de lados L1 , L2 , L3 . De esta manera el potencial se puede escribir como: V (3) (x, y, z) = V (x) + V (y) + V (z) Donde: V (xi ) = 0 si xi ∈ [0, Li ] V (xi ) = 0 si xi ∈ / [0, Li ] con: xi = x, y, z para i = 1, 2, 3 9.0.6.. Soluci´ on. En las regiones exteriores al intervalo [0,L] la probabilidad de existencia de la part´ıcula es cero, luego: ψ(x) = 0. As´ı por continuidad tenemos la siguiente condici´on sobre ψ: ψ(0) = 0. ψ(L) = 0. Ahora debemos buscar las funciones propias del Hamiltoniano que satisfagan esto, las funciones ψ satisfacen: ˆ = Eψ Hψ ~2 d2 ψ = Eψ − 2m dx2 2m ψ 00 + ψ=0 E Las soluciones de esta ecuaci´on son conocidas, son generalmente senos y cosenos. Como requerimos que la soluci´on sea nula en cero, s´olo consideramos la soluci´on dada por el seno: ψ(x) = A sin(κx) Reemplazando en la ecuaci´on obtenemos que: r κ=. 2mE ~2. 18.

(19) Como adem´as se exige que ψ sea nula en x=L se tendr´a que: κL = nπ Luego, deducimos de ambas igualdades que: 2mE n2 π = ~2 L2 As´ı, encontramos que no cualquier valor de la energ´ıa es posible, ´estos se vuelven discretos gracias a las condiciones de borde impuestas sobre ψ: En =. n2 π 2 ~2 2mL2. Aplicaci´ on num´ erica Tenemos que el ancho del pozo L = 15 nm, la masa efectiva es de 0, 067me . Entonces haciendo: E2 − E1 = (4 − 1). ~2 π 2 2mef f L2. 3 × (1, 054 × 10−34 )2 π 2 E2 − E1 = 2 × 0, 067 × 9 × 10−31 × (15 × 10−9 )2 E2 − E1 = 1, 2 × 10−20 J E2 − E1 = 74, 9 meV Por lo tanto, la frecuencia asociada del fot´on absorbido ser´a de: E2 − E1 h ν = 1, 81 × 1013 Hz c λ= ν λ = 15, 56 µm ν=. Comentario: este dispositivo puede ser utilizado para detectar luz infraroja, por ejemplo, parte de la luz que emite el cuerpo humano a temperatura ambiente. Ahora para pasar a 3D debemos resolver: ˆ HΨ(r) = EΨ(r) ˆ ser´a el operador: Donde H 2 ˆ =−~ H 2m. . ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2. . + V (3) (x, y, z). Para resolver este problema, utilizamos una t´ecnica conocida como ((Separaci´on de Variables)), que corresponde a uno de los m´etodos m´as u ´tiles para resolver problemas en derivadas parciales, suponemos que la soluci´on es de la forma: Ψ(r) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z) 19.

(20) De esta manera,verificamos que Ψ es soluci´on si verifica: −. ~2 00 ψ (xi ) = (Ei − Vi (xi ))ψi (xi ) 2m i. y: E = E1 + E2 + E3 En este punto podemos aplicar lo visto en el punto anterior en 1D ya que hemos llevado el problema a uno conocido. En el problema anterior los niveles de energ´ıa depend´ıan de un solo ((n´ umero cu´antico)) n, ahora dependen de 3: n1 , n2 , n3 . La soluci´on ser´a: √       n2 πy n3 πz 8 n1 πx sin sin sin Ψn1 ,n2 ,n3 (r) = √ L1 L2 L3 L1 L2 L3  2  2 2 2 2 ~π n1 n n E = En1 ,n2 ,n3 = + 22 + 32 2 2m L1 L2 L3 En este caso, podemos introducir el concepto de ((grado de degeneraci´on)). Vemos que para un mismo valor de la energ´ıa tenemos varias funciones de onda posibles. Por ejemplo, si L1 = L2 podemos permutar n1 y n2 obteniendo la misma energ´ıa. En este caso decimos que el grado de degeneraci´on es igual 3. 9.0.7.. Problema 4. La mol´ecula de amoniaco N H3 tiene una forma piramidal donde el nitr´ogeno ocupa la cima y los 3 hidr´ogenos forman la base. Vamos a estudiar el comportamiento de los 3 a´tomos de hidr´ogeno considerando que la mol´ecula siempre es piramidal y que el nitr´ogeno est´a fijo.. (a). (b). El potencial que ve este grupo de mol´eculas se puede aproximar por la figura siguiente: As´ı estudiaremos el comportamiento de una ((part´ıcula)) de masa 3mH que representa a los tres ´atomos de hidr´ogeno, suponiendo que ellos siguen en el mismo plano. Demuestre que las soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger son funciones pares e impares. Limit´andose al caso E < V0 , las funciones propias del Hamiltoniano son: ψ(x) = ±λ sin k(b + a/2 + x) Regi´on Izquierda ( µ cosh Kx Soluci´on par ψ(x) = Regi´on Intermedia µ sinh Kx Soluci´on impar ψ(x) = λ sin k(b + a/2 − x) Regi´on Derecha 20.

(21) G M D. p √ Donde K = 2m(Vo − E)/~ y k = 2mE/~ Sean ψS y ψA los estados correspondientes a las funciones par e impar , respectivamente, asociados a las energ´ıas mas bajas del sistema (ES < EA ). Si consideramos el caso K  k y Ka  1 se tendr´a que las energ´ıas correspondientes tendr´an una diferencia de: EA − ES ≡ 2A ~2 π 2 4e−K∆ 2ma2 Ka ∆ = 2b − a El ancho de la barrera √ Y en esta aproximaci´on supondremos que K ∼ 2mV0 /~ A'. Considere ahora las siguientes combinaciones lineales de estos estados: √ ψG = (ψS − ψA )/ 2 √ ψD = (ψS + ψA )/ 2 Describa cualitativamente estos estados. Ahora eval´ ue la evoluci´on de una funci´on de onda ψ(x, t) que en t=0 es igual a ψD . Si 2A ∼ 10−4 eV en el caso del amoniaco, encuentre la frecuencia y el periodo del fen´omeno descrito en la pregunta precedente. Extendamos este modelo a un s´olido. Este doble pozo cu´antico puede representar dos a´tomos separados por una distancia ∆. Un electr´on de uno de los ´atomos ver´a el potencial tratado anteriormente. Si el electr´on tiene energ´ıa E0 < 0 deber´a atravesar una barrera de potencial de altura |E0 | de largo ∆. En funci´on de ∆ y de E0 estime el tiempo caracter´ıstico T de paso de un a´tomo al otro. Puede aproximar A por A ∼ |E0 |e−K∆ . En un s´olido se tiene normalmente: ∆ = 2˚ A, |E0 | = 4 eV y en un gas ∆ = 30˚ A y |E0 | = 4 eV 21.

(22) 9.0.8.. Soluci´ on. En la siguiente figura (a la izquierda) se muestran las funciones de onda φS (sim´etrica) y φA (antisim´etrica). Estas representan los dos estados de menor energ´ıa posible para la mol´ecula de amon´ıaco (EA < ES ). La funci´on de onda ψD (x) corresponde a una combinaci´on de φS y φD que concentra la probabilidad de prescencia a la derecha del a´tomo de N (An´alogamente, ψG (x) es un estado en el cual los ´atomos de H est´an a la izquierda de N ). Estos dos estados representan entonces las dos situaciones que uno observa en mec´anica cl´asica: los ´atomos de H est´an o bien a la derecha (ψD ), o a la izquierda (ψG ) del nitr´ogeno.. La evoluci´on vendr´a dada por:  1 ψ(x, t) = √ ψS (x)e−iES t/~ + ψA (x)e−iEA t/~ 2  e−iES t/~ √ ψS (x) + ψA (x)e−iωt 2 Donde hemos introducido la ((frecuencia de Bohr)) ~ω = EA −ES = 2A As´ı despu´es de un tiempo t = π/ω = π~/(2A) la funci´on de onda es proporcional (por una fase) a ψG es decir, la part´ıcula se encuentra ((a la izquierda)). Luego en un tiempo t = 2π/ω la funci´on de onda es proporcional a ψD , es decir, vuelve a la derecha. Es decir, la superposici´on representa una part´ıcula que oscila de derecha a izquierda con frecuencia ω. Esto es posible gracias al efecto t´ unel: cl´asicamente, si inicialmente la part´ıcula se encuentra a la derecha, permanecer´a para ah´ı indefinidamente. La mol´ecula de amoniaco, preparada de esta manera se da vuelta periodicamente con frecuencia angular ω. Esto es conocido como la inversi´on de la mol´ecula de amoniaco. La cantidad A controla la frecuencia de oscilaci´on. En el caso del amoniaco la cantidad A es peque˜ na: 2A ∼ 10−4 eV . En consecuencia: ψ(x, t) =. ν=. ω 2π. =. 2A = 24GHz h. T =. 1 h = ' 4, 2 × 10−11 s ν 2A. Esta frecuencia de oscilaci´on est´a asociada tambi´en a la emisi´on o la absorci´on de una onda electromagn´etica por parte de la mol´ecula de N H3 . En este caso, la longitud de onda se sit´ ua en el dominio centim´etrico (λ ∼ 1, 25cm). Gracias a esta oscilaci´on se puede detectar la presencia de este elemento en el medio interestelar. Extensi´ on al caso p de un s´ olido En el caso de un s´olido tenemos que A ∼ |E0 |e−K∆ y aproximaremos K = 2m|E0 | Para un s´olido entonces: ∆ = 2˚ A A = 1 eV. |E0 | = 4 eV T = 10−15 s. 22.

(23) Comparamos con un gas: ∆ = 30˚ A A = 10−12 eV. |E0 | = 4 eV T = 10−3 s. Vemos que el paso por efecto t´ unel para los electrones de valencia es importante en el caso de los s´olidos. Estos electrones saltan r´apidamente de un sitio a otro y entonces est´an completamente deslocalizados en la estructura cristalina. En cambio, en el caso de un gas el fen´omeno es completamente despreciable, debido a que por la agitaci´on t´ermica dos a´tomos en un gas se encuentran a una distancia de 30˚ A durante un tiempo inferior a 10−10 s, luego el efecto t´ unel (per´ıodo 10−3 s en este caso) no alcanza a ser apreciable en un tiempo tan peque˜ no: la idea de que en un gas cada electr´on pertenece a una mol´ecula se justifica perfectamente. El hecho principal, es que A var´ıa exponencialmente, es decir, muy r´apidamente con ∆ y K. Por ejemplo, en el caso macrosc´opico, donde ∆ y K son grandes, los tiempos T asociados al efecto t´ unel son tan incre´ıblemente largos que se puede decir con seguridad que si una part´ıcula comienza a la derecha en el instante inicial, se queda ah´ı indefinidamente.. 23.

(24)

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