BINOMIO DE NEWTON

Matemática- Undécimo grado

BINOMIO DE NEWTON

NÚMEROS COMBINATORIOS

• Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número combinatorio y se lee “m sobre n” a

• Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1

• PROPIEDADES

!

!.( )!

m m

n n m n

  

  

 

.( 1).( 2)....( 1)

!

m m m m m n

n n

     

 

 

17 17! 17.16.15.14.13! 17.16.15.14

4 4!.(17 4)! 4!.13! 4!

   

  

 

NÚMEROS COMBINATORIOS

! ! 1 1

!.( )! !.0! 0! 1 1

m m m

m m m m m

      

  

 

! ! 1 1

0 0!.( 0)! 0!. ! 0! 1 1

m m m

m m

      

  

 

! !

!.( )!; ( )!. !

m m m m

n n m n m n m n n

     

      

   

0 1

m m m

   

 

   

   

m m

n m n

   

    

   

7 7! 7 7! 7 7

; ; 35

4 4!.(7 4)! 3 3!(7 3)! 4 3

       

   

         

       

NÚMEROS COMBINATORIOS

! !

1 !.( )! ( 1)!.( 1)!

m m m m

n n n m n n m n

   

   

        

   

( 1). ! ( ). !

( 1). !.( )! ( 1)!.( )( 1)!

n m m n m

n n m n n m n m n

 

  

     

( 1). ! ( ). ! !.( 1) ( 1)!.( )! ( 1)!.( )!

n m m n m m m

n m n n m n

   

 

   

1

1 1

m m m

n n n

      

 

       

     

( 1)! 1 ( 1)!.( )! 1

m m

n m n n

  

       

5 5 6 5! 5! 6! 5.4.3! 5.4! 6.5.4!

; ; ;10 5 15

     

       

     

Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes:

• 0

• (a+b) = 1 1

• 1

• (a+b) = a + b 1 1

• 2 2 2

• (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1

• 3 3 2 2 3

• (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1

• 4 4 3 2 2 3 4

• (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1

• ... = ...

• Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo

• llamado

BINOMIO DE NEWTON

• Sea el siguiente desarrollo:

• (x – 3)⁴ = C_4,0 .x⁴ – C_4,1 .x³ .3 + C_4,2 .x² .9 – C_4,3 .x . 27 + C_4,4 . 81

• PROPIEDADES

• 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno.

• 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él.

• 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.

•

PROPIEDADES

• Sea el siguiente desarrollo:

• (x – 3)⁴ = C_4,0 .x⁴ – C_4,1 .x³ .3 + C_4,2 .x² .9 – C_4,3 .x . 27 + C_4,4 . 81

• PROPIEDADES

• 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente.

• 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del

binomio.

• 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo.

• 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n

• donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’

• EJEMPLOS

•

• (x + 2)⁵ = C5,0 .x⁵ + C5,1 .x⁴ .2 + C5,2 .x³ .4 + C5,3 .x² .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32

•

• (x – 3)⁴ = C4,0 .x⁴ – C4,1 .x³ .3 + C4,2 .x² .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81

• (4 – x)⁵ = C5,0 .4⁵ – C5,1 .4⁴ .x + C5,2 .4³ . x² – C5,3 .4² . x³ + C5,4 . 4. x⁴ – C5,5 . x⁵

• (x + 1)¹⁷ = C17,0 .x¹⁷ + C17,1 .x¹⁶ + C17,2 .x¹⁵ + …. + C17,16 .x + C17,17

• (x + 3)⁵⁰⁰⁰ = C5000,0 .x⁵⁰⁰⁰ + C5000,1 .x⁴⁹⁹⁹ .3 + C5000,2 .x⁴⁹⁹⁸ .9 + … + C5000,5000 . 3⁵⁰⁰⁰

• EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON

• m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 k k m-k m m

• (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . a . b + ... + C . b

• m m m m m

• Ejemplo 1

• Hallar el término que ocupa el 6ª lugar en el desarrollo de : 8

• (3 - x)

• Tendrá 9 términos su desarrollo ( 8 + 1 ), pero sólo nos piden el 6º término.

• Seguimos desarrollando el T. de Tartaglia hasta la 9ª fila, obteniendo:

• 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ,

tomamos el 56

• Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56

• Como ocupa lugar par, y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente.

• Ahora, en nuestro ejemplo: a=3 y b= x

• 8 3 5

• Finalmente aplicando restantes propiedades : (3-x) = ... - 56. 3 . x + ...

• Ejemplo 2

• Hallar el término que ocupa el 8ª lugar en el desarrollo de : 11

• (x + 2)

• Tendrá 12 términos su desarrollo ( 11 + 1 ), pero sólo nos piden el 8º término.

• C11,8-1 = C11,7 = 11! / 7!.4! = 330

• 11 4 7 4

• Finalmente queda: (x+2) = ... + 330. x . 2 + ... = 42,240.x

• Ejemplo 3

• Hallar el término que ocupa el 3ª lugar en el desarrollo de : 27

• (x - 5)

• Tendrá 28 términos su desarrollo ( 17 + 1 ), pero sólo nos piden el 3º término.

• C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351

• 27 25 2 25