Criterio de Cauchy para l´ımite de funciones.

Criterio de Cauchy para l´ımite de funciones.

Antonio Jim´arez Escamilla y Abdiel Rolando Marquez Meza

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

22 de mayo de 2020

1 Herramientas auxiliares

2 Demostraci´on del criterio

Criterio de Heine

Teorema Sean:

(X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y una funci´on,

a ∈ X , b ∈ Y .

Suponga adem´as que existe una base local numerable de la topoog´ıa τ_X en el punto a.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

a) lim

x →af (x ) = b,

b) ∀{x_n}_n∈N⊂ X \ {a} lim

n→+∞x_n= a =⇒ lim

n→+∞f (x_n) = b.

Criterio de Cauchy para la existencia del l´ımite de una funci´ on

Proposici´on Sean:

(X , τ ) un espacio topologico, (Y , d ) un espacio m´etrico completo, M ⊂ X ,

a ⊂ X un punto de acumulaci´on en X, f : M → Y una funci´on.

Suponga adem´as que existe una base local numerable de τ en a.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

a) lim

x →af (x ) = b,

b) ∀ε > 0 ∃V ∈ τ (a) tal que ∀x , y ∈ V d(f (x ), f (y )) < ε.

Demostracion a) =⇒ b)

 2 > 0 Supongamos

x →alimf (x ) = b

∃V ∈ τ (a) ∀x ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ x , y ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ d (f (y ), b) < ₂^

d (f (x ), f (y )) < 

Demostracion a) =⇒ b)

 2 > 0 Supongamos

x →alimf (x ) = b

∃V ∈ τ (a) ∀x ∈ V d (f (x ), b) < ₂^

x , y ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ d (f (y ), b) < ₂^

d (f (x ), f (y )) < 

Demostracion a) =⇒ b)

 2 > 0 Supongamos

x →alimf (x ) = b

∃V ∈ τ (a) ∀x ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ x , y ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ d (f (y ), b) < ₂^

d (f (x ), f (y )) < 

Demostracion a) =⇒ b)

 2 > 0 Supongamos

x →alimf (x ) = b

∃V ∈ τ (a) ∀x ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ x , y ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ d (f (y ), b) < ₂^

d (f (x ), f (y )) < 

Demostracion a) =⇒ b)

 2 > 0 Supongamos

x →alimf (x ) = b

∃V ∈ τ (a) ∀x ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ x , y ∈ V

d (f (x ), b) < ₂^ d (f (y ), b) < ₂^

d (f (x ), f (y )) < 

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge

Demostracion b) =⇒ a)

Sea ε > 0

∃V ∈ τ (a)

∀x , y ∈ V d (f (x ), f (y )) < ε

Sea (x_n)_n∈

n→∞lim xn = a

∃k ∈ ∀n, m ≥ k x_n, x_m ∈ V

(f (x_n))_n∈ es de Cauchy

Y es completo

(f (x_n))_n∈ converge